2.3解不等式相关题型(教学课件)——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

法叫穿根引线法.
1.求不等式( − 1)( − 2)( + 1) > 0的解集
2.求不等式 3 − ≥ 0的解集
3.求不等式 4 − 3 2 < 0的解集
典例2解不等式:x3+2x2-x-2>0.
解:原不等式可化为(x+1)(x-1)(x+2)>0.将方程(x+1)(x-1)(x+2)=0的
各个根-2,-1,1标在数轴上,并用穿根法依次通过每一个根.如图:
所以,原不等式的解集为{x|-2<x<-1或x>1}.
Байду номын сангаас
注意:难进行因式分解的不等式需结合试根法或大除法。
三、绝对值不等式的解法
≤ ⇔ − ≤ ≤
≥ ⇔ ≤ −或 ≥
标志：含有绝对值的不等式.
通法：确定分点去绝对值。
f(x)-ag(x)
①与
g(x)
>0 同解;②与 g(x)[f(x)-ag(x)]>0 同解
如果分式不等式是大于等于零或小于等于零时,变形为整式不等式时要注
意分母不为0.
通分乘方不变号，有等分母取不到
-2
典例 1(1)(2020 陕西咸阳高一期末)不等式+2<0 的解集是(
A.(-2,2)
B.(-2,2]
特殊解法：套公式或两边平方。
大于取两边，小于取中间
例1 求不等式| + 2| ≥ 3的解集。
通法：①令绝对值内部的式子为0，求出分点，
确定讨论区间。
②根据讨论区间去绝对值。
+ ≤ ⇔ − ≤ + ≤
+ ≥ ⇔ + ≤ −或 + ≥
解：令 + 2 = 0,得x=-2.
所以，该不等式的解集为{| ≤ −5或 ≥ 1}
练习：不等式 + 2 ≥ 1 − 的解集。
解： x + 2 ≤ −(1 − )或x + 2 ≥ 1 − ，解得 ≥
1
2
所以，该不等式的解集为{| ≥ − }.
例2：求不等式 + 2 ≥ |1 − |的解集。
两边同正，可同时平方去绝对值。
解不等式
解分式不等式
解高次不等式
通分乘方不变号，
有等分母取不到
穿针引线法
通法：分类讨论
思想
解不等式
解绝对值不等式
特法：用公式
解根式不等式
两边平方，注意
偶次根号
一、分式不等式的解法
()
若 f(x)与 g(x)是关于 x 的多项式,则不等式 >0(或<0)称为分式不等
()
式. 原则:利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解.
0 < < 10
练习：求不等式 4 − 2 < 的解集
{|2 < ≤ 4}
例2 求不等式 2 + 1 − 2 > 1的解集.
解：原式等价于 2 + 1 > 1 + 2
2 + 1 > 0
所以有, 2
或2x + 1 ≤ 0,
+ 1 > (2 + 1)2
1
1
解得− < < 0或 ≤ − ,
成若干个不可约因式的积,
具体操作:
(1)将不等式化为标准形式:一端为0,另一端为一次因式(因式中x的
系数为正)或二次不可分解因式的积.
(2)求出各因式的实数根,并在数轴上依次标出.
(3)自最右端上方起,用曲线自右至左依次由各根穿过数轴,遇到奇
次重根要一次穿过,遇到偶次重根要穿而不过.
(4)记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.这种方
所以解集为(-1,2].
+ 1 ≠ 0,
答案:(1)A (2)D
-2
(2)由+1≤0 得
点评如果分式不等式是大于等于零或小于等于零时,变形为整式不
等式时要注意分母不为0.
二、简单高次不等式的解法
不等式中未知数的最高次数高于2,这样的不等式称为高次不等式.
解决这一类不等式的基本方法是:在解y<0(或>0)时,将多项式分解
2
2
综上，该不等式解集为{| < 0}.
例3 求不等式 9 − 2 > 6 − 2 的解集。
−3 ≤ ≤ 3
9 − 2 ≥ 0
解：原式等价于
,解得 0 ≤ ≤ 6 ,
6 − 2 ≥ 0
3
2
2
<
9 − > 6 −
2
3
综上，该不等式解集为{|0 ≤ < }.
分式不等式
同解不等式
f(x) > 0
f(x) < 0
f(x)
①与
或
同解;②与 f(x)g(x)>0 同
g(x) > 0
g(x) < 0
>0
g(x)
解
f(x) > 0
f(x) < 0
f(x)
①与
或
同解;②与 f(x)g(x)<0 同
g(x) < 0
g(x) > 0
<0
g(x)
解
f(x)
>a(a≠0)
g(x)
2
小结：根式不等式题型：
≥0
1. < ⇔ > 0
< 2
≥0
≥0
2. > ⇔ ≥ 0 或 < 0
> 2
≥0
3. < ⇔ ≥ 0
>
练习：求不等式 2 + 3 < 4 + 3
{|0 ≤ < 2}
解分式不等式
通分乘方不变号，
有等分母取不到
（1）当x ≤ −2时，−( + 2) ≥ 3，所以，x ≤ −5;
(2) 当x > −2时， + 2 ≥ 3，所以，x ≥ 1;
所以，该不等式的解集为{| ≤ −5或 ≥ 1}
法二：解： ∵ | + 2| ≥ 3，∴ x + 2 ≤ −3或x + 2 ≥ 3，解
得 ≤ −5或 ≥ 1，
C.(-2,0)
D.(0,2)
-2
(2)不等式+1≤0 的解集是(
A.(-∞,-1)∪(-1,2]
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪[2,+∞)
D.(-1,2]
)
)
-2
<0 等价于(x-2)(x+2)<0,所以-2<x<2,所以解集为(-2,2).
+2
解析:(1)由
(-2)( + 1) ≤ 0,
标志：含有根式的不等式.
方法：转化思想，注意根号下要大于等于0，以及两边同时平方的条件.
例1 求 2 2 − 6 + 4 < + 2的解集。
2 2 − 6 + 4 ≥ 0
解：原不等式等价于൞
解得
+2>0
2 2 − 6 + 4 ≤ ( + 2)2
≥ 2或 ≤ 1
> −2 ，所以该不等式的解集为{|2 ≤ < 10或0 < ≤ 1} ቍ
解：因为 + 2 ≥ |1 − |，
所以( + 2)2 ≥ 1 − 2 ;
所以 2 + 4 + 4 ≥ 1 − 2 + 2 ;
1
所以6 ≥ −3,所以 ≥ − .
2
练习：不等式 − 1 + 3 ≥ |3 + |的解集.
1
{| ≤ }
2
1
− ,
2
四、根不等式的解法
解高次不等式
穿针引线法
通法：分类讨论
思想
解不等式
解绝对值不等式
特法：用公式
解根式不等式
两边平方，注意
偶次根号