1逆序与对换

1
7
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8
6
3
5
4
0 1 0 0 1 3 4 4 5 t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18 故此排列为偶排列.
2） n n 1 n 2 321
2 1 解：n n 1 n 2 3 n 3 n 2 n1 0 1 2 n n 1 t n 1 n 2 2 1 2 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列； 当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列. 计算排列的逆序数，并讨论奇偶性.
设排列为 2）
欲 a1 al a b1 bm b c1 cn 即 a1 al a b1 bm b c1 cn 对换 a, b
a1 al b b1 bm a c1 cn
m 次相邻对换
a1 al b b1 bm a c1 cn a1 al ab1 bm bc1 cn ,
一、排列与逆序 1、引例
没有重复元素
“１２３４５６”六个数字可以组成多少个六位数？ 2、定义 把ｎ个不同的元素排成一列，叫做这ｎ个元素的 全排列（或排列）. 特别：把ｎ个不同的数码１、２、…、ｎ组成 的有序数组称为一个ｎ级（阶、元）排列. 记作： p1 p2 pn .or . x1 x2 xn . ｎ级排列共有 n !种 12 21 如： ２级排列共有２种： 123 132 213 231 312 321 ３级排列共有６种：
t 0 1 2 ( n 2) ( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 0 n( n 1)
2 k 1 2 k 1 2 2 k 2 3 2 k 3 k 1 k
分析 0 1
tk
2


k 1 k 1 2 2 当 k 为偶数时，该排列为偶排列； 当 k 为奇数时，该排列为奇排列.






二、对换
1、定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不 动，这种作出新排列的手续叫做对换. 特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换. 例 1）
前两个数对换
ｓ个 偶排列 所以 s t ｔ个 奇排列 所以 t s
前两个数对换
故必有 s t .
三、小结
１ ｎ个不同的元素的所有排列种数为ｎ!
２ 排列具有奇偶性.
３ 一次对换，排列改变奇偶性.
4 ｎ个元素(ｎ＞１)共有ｎ!个ｎ阶排列,其 中奇、偶排列各占一半.
例 求下面排列的逆序数，并确定奇偶性. (2n 1),(2n 3),,5,3,1,2,4,6,,(2n 2),(2n) 解 从前往后求排在元素前面且比元素大的 数的个数，而后求和.
a1 al a b b1 bm c1 cn
m 1次相邻对换
2m 1 次相邻对换
a1 al bb1 bm ac1 cn ,
所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
推论
奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.
定理2 ｎ个元素(ｎ＞１)共有ｎ!个ｎ阶排列,其中 奇、偶排列各占一半. 证明: 设共有ｓ个奇排列,ｔ个偶排列，现证ｓ＝ｔ. ｓ个 奇排列 ｔ个 偶排列
请同学们以最快的速度写出所有４级排列. 3、逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, ｎ个不同 的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 在一个排列 p1 pi pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj pn 中，若数 pi p j , 则称这两个数组成一个逆序. 定义 排在元素 pi 前面比 pi 大的元素的个数称为元素 pi 的逆序. 例 排列３２５１４中， 逆序 逆序 分析 3 2 5 1 4 逆序
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bm b c1 cn
2）
a1 al b b1 bm a c1 cn
2、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性。 证明：设排列为 1） 对换 a, b a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm 易见除 a, b 外，其它元素的逆序数不改变， 若 ab a 的逆序数不变，而 b 的逆序数减1； 对换后 若 ab a 的逆序数增1，而 b 的逆序数不变. 对换后 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。
逆序
逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 记为 t .or . .or . N ( P1 Pi Pj Pn )
4、排列的奇偶性
逆序数为奇数的排列称为奇排列；
逆序数为偶数的排列称为偶排列. 例1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 1） ２１７９８６３５４ 解： 2