福建省福州三中11-12学年高二上学期期末考试数学理试题扫描版
福建省福州市高二数学上学期期末考试试题 理 新人教A版
第5题图高二数学理试题本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．命题“0x R ∃∈，20020x x ++<”的否定是A ．0x R ∃∈，20020x x ++≥ B ．x R ∀∈，220xx ++≥C ．x R ∀∈，220x x ++< D ．x R ∀∈，220x x ++> 2．下列有关命题的说法正确的是 A ．命题“若21x=，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“若x y =，则22x y =”的逆否命题是假命题C ．命题“若220a b +≠，则,a b 全不为0”为真命题D ．命题“若αβ≠”，则cos cos αβ≠”的逆命题为真命题 3．抛物线2ax y =的焦点坐标为 A ．)0,41(aB ．)0,4(aC ．)41,0(aD ．)4,0(a4．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则,x y 的值是A ．11,22x y ==B ．11,2x y ==C ．1,12x y == D ．1,1x y == 5．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为 A ．10 B ．120- C . 120D 106．过点(2,2)P -，且与2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是A ．12422=-y xB ．14222=-x yC ．14222=-y x D ．12422=-x y 7．“方程21x m +23y m=1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是A ．312m <<B ．12m <<C ．23m <<D ．13m <<8．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线22:1169x y C -=的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上， 则sin sin sin A BP-的值等于A B C ．54 D ．459．已知抛物线x y 42-=上的焦点F ，点P 在抛物线上，点()1,2-A ，则要使||||PF PA +的值最小的点P 的坐标为A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,41 C ．()22,2-- D ．()22,2- 10．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别是AB 、中点，GC ⊥平面ABCD ，且2GC =，则点B 到平面EFG 离为 A ．1010 B ．11112 C ．5311．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点,,,A B C D 的四边形为菱形，若菱形ABCD 的离心率是 A B 12．双曲线1y x=的实轴长和焦距分别为 A 2 B ．2,．4 D ．第17题图第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置. 13．已知向量(1,0,1)a =-，(1,2,3),b k R =∈，且()ka b -与b 垂直，则k 等于 ***** .14．设1F ，2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且120F P PF ⋅=，则△12F PF 的面积为 ***** .15．已知抛物线28y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上的任意点，则线段PF 中点的轨迹方程是***** .16．有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽 ***** 米.17．如图，甲站在水库底面上的点D 处，乙站在水坝斜面上的点C 处，已知测得从C 、D 到库底与水坝的交线的距离分别为102DA =米、10CB =米，AB 的长 为10米，CD 的长为6 面角的大小为 ***** 度.18．已知平面α经过点(1,1,1)A ，且(1,2,3)n =是它的一个法向量. 类比曲线方程的定义以及求曲线方程的基本步骤，可求得平面α的方程是 ***** .三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ；(Ⅱ) 求二面角C DF E --的余弦值. 20．（本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A B ,两点.(Ⅰ)求弦AB 的长度；(Ⅱ)若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标.A DFEB G C21．(本小题满分12分)已知双曲线C 与椭圆14822=+y x 有相同的焦点，实半轴长为3. (Ⅰ)求双曲线C 的方程； (Ⅱ)若直线2:+=kx y l 与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ,且2OA OB ⋅>(其中O 为原点),求k 的取值范围.22．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD 中，01,2,90AB BD ABD ==∠=，将它们沿对角线BD折起，折后的点C 变为1C ，且12AC =．(Ⅰ)求证：平面ABD ⊥平面1BC D ；(Ⅱ)E 为线段1AC 上的一个动点，当线段1EC 的长为多少时,DE 与平面1BC D 所成的角为030？23．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，121,,A A B 是椭圆C 的顶点，若椭圆C 的离心率32e =，且过点2(2,)2. (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)作直线l ，使得21//l A B ，且与椭圆C 相交于P Q 、两点（异于椭圆C 的顶点），设直线1A P 和直线1B Q 的倾斜角分别是,αβ，求证：αβπ+=.参考答案一、选择题：1－12：BDCADB ADABCC二、填空题：13．7 14．1 15. 244y x =- 16． 17．135 18.2360x y z ++-=三、解答题：19．解: (Ⅰ)证法一：∵//,//AD EF EF BC ， ∴//AD BC . 又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形， ∴ //AB DG .∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ， ∴//AB 平面DEG . 证法二：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直.以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2），G （2，(0,2,2),(2,2,0),(2,0,2)ED EG AB ===-,设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z = 则00ED n EG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨+=⎩，令1y =,得(1,1,1)n =--.∴220AB n ⋅=-+=，即AB n ⊥.∵AB ⊄平面DEG , ∴//AB 平面DEG . (Ⅱ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量.设平面DCF 的法向量为0000(,,)n x y z =，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴0000FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00002020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令01z =,得0(1,2,1)n =-.则0cos ,6n EB <>==-， ∴二面角C DF E --的余弦值为 20．解：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由2244y x y x=-⎧⎨=⎩得x 2-5x +4=0,Δ>0. 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,∴|AB12|x x -= 法二：解方程得：x =1或4，∴A、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB=(Ⅱ)设点2(,)4o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d ,则d =△PA B =21·53=12，∴2482o o y y --=. ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）.21．解：(Ⅰ)设双曲线的方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ,2,3==c a ,1=∴b ,故双曲线方程为1322=-y x .yzx(Ⅱ)将2+=kx y 代入1322=-y x 得0926)31(22=---kx x k 由⎩⎨⎧>∆≠-00312k 得,312≠k 且12<k设),(),,(2211y x B y x A ,则由2>⋅得 )2)(2(21212121+++=+kx kx x x y y x x =2)(2)1(21212++++x x k x x k2231262319)1(222>+-+--+=k k k k k ,得.3312<<k 又21k <，2113k ∴<<,即)1,33()33,1( --∈k 22． (Ⅰ)22211112AC AC AB BC AB BC =⇒=+⇒⊥又AB BD ⊥，111,,BC BD BC D BC BD B ⊂⋂=平面1AB BC D∴⊥平面AB ABD⊂平面∴平面ABD ⊥平面1BC D（Ⅱ）在平面1BC D 过点B 作直线l BD ⊥,分别直线,,l BD BA 为x ，y ，z 建立空间直角坐标系B-xyz则A(0,0,1)，C 1(1,2,0)，D(0, 2,0)∴),1,2,0(),1,2,1(1-=-=AD AC )1,0,0(=BA设1(2,)AE AC λλλλ==-，则(2,1),[0,1]E λλλλ-∈ ∴)1,22,(λλλ--=又)1,0,0(=是平面BC 1D 的一个法向量依题意得sin 30|cos ,|oBA DE =<>，即1|2=解得21=λ，即1||1C E =时，DE 与平面1BC D 所成的角为030． 23. 解：（Ⅰ）由已知得：2222222112c aab c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴2,1a b ==，∴椭圆C 的方程为2214x y += （Ⅱ）由（Ⅰ）知：1(2,0)A -，2(2,0)A ，1(0,1)B21//l A B ∴2112l A B k k ==-故可设直线l 的方程为12y x m =-+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y由221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得222220x mx m -+-= ∴2244(22)0m m =-->，即m <<212122,22x x m x x m +==-,P Q 异于椭圆C 的顶点，∴,22ππαβ≠≠,∴111tan 2A P y k x α==+，1221tan B Q y k x β-== ∴tan tan αβ+=121212y y x x -+=+211212(2)(1)(2)x y x y x x ++-=+2112211222(2)x y x y y x x x +---+1112y x m =-+，2212y x m =-+∴tan tan αβ+=21122112111()()2()2222(2)x x m x x m x m x x x -++-+--+--+121212(1)()22(2)m x x x x m x x -+-+-=+2122(1)(22)22(2)m m m m x x ---+-=+0= ∴tan tan tan()01tan tan αβαβαβ++==-又,(0,)αβπ∈，∴ (0,2)αβπ+∈,故αβπ+=.。
高二上学期期末考试数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．等差数列{an }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（ ） A ．B ．C ．2D ．-141212【答案】A【分析】由条件，可得，又可得答案. 486210a a a +==65a =106410a a d =+=【详解】等差数列中，，则{}n a 486210a a a +==65a =，所以，则 1064546a a d d =+=+=41d =14d =故选：A2．已知函数可导，且，（ ）0()3f x '=000()()limx f x x f x x xΛ→+∆--∆=∆A ．-3 B ．0C ．3D ．6【答案】D【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.000()()limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【详解】000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆000()()lim x f x f x x x ∆→--∆+∆.()026f x '==故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.3．已知数列{an }的通项公式为an ＝－2n 2＋21n ，则该数列中的数值最大的项是（ ） A ．第5项 B ．第6项C ．第4项或第5项D ．第5项或第6项【答案】A【分析】根据，结合二次函数的性质即可得出答案.2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭【详解】解：，2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，且， *21,564n N ∈<<5655,54a a ==所以数值最大的项为第5项． 故选：A ．4．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线()()32212f x x a x ax =+++()f x ()y f x =方程为（ ） A ． B ．C ．D ．2y x =-y x =-2y x =y x =【答案】A【分析】根据该函数为奇函数，求出a 的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求0f '（）出切线的方程【详解】，函数为奇函数，有，即()()32212f x x a x ax =+++()()f x f x -=-，()()()()()3232212212x a x a x x a x ax ⎡⎤-++-+-=-+++⎣⎦故，即，10a +=1a =-所以，所以，，， ()322f x x x =-()262f x x ='-00f =（）02f '=-（）所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：. ()y f x =2-2y x =-故选：A.5．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．函数在区间上是减函数 ()f x (3,0)-B ．函数在区间上是减函数 ()f x (3,2)-C ．函数在区间上是减函数 ()f x (0,2)D ．函数在区间上是单调函数 ()f x (3,2)-【答案】A【分析】根据函数的导函数>0时单调递增，时单调递减，依次判断选项即()y f x =()f x '()0f x '<可.【详解】由函数的导函数的图像知，()y f x =()f x 'A ：时，，函数单调递减，故A 正确； (30)x ∈-，()0f x '<()f x B ：时，或， (32)x ∈-，()0f x '<()0f x '>所以函数先单调递减，再单调递增，故B 错误；()f x C ：时，，函数单调递增，故C 错误； (02)x ∈，()0f x '>()f x D ：时，或， (32)x ∈-，()0f x '<()0f x '>所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D 错误. ()f x 故选：A6．设是等差数列的前项和，若，则（ ） n S {}n a n 891715a a =1517S S =A ．2 B ．C ．1D ．0.51-【答案】C【分析】利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可 【详解】解：因为在等差数列中，， {}n a 891715a a =所以， 1151511588117171179915()15()152152117()17()172172a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯故选：C7．下列结论正确的是（ ）A ．若为等比数列，是的前n 项和，则，，是等比数列 {}n a n S {}n a n S 2n n S S -32n n S S -B ．若为等差数列，是的前n 项和，则，，是等差数列{}n a n S {}n a n S 2n n S S -32n n S S -C ．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“ “的充要{}n a m n p q ，，，m n p q +=+m n p q a a a a +=+条件D ．满足的数列为等比数列 1n n a qa +＝{}n a 【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和性质可以判定B 选项正确，利用特例判定其余选项错误. 【详解】若为等比数列，设公比为，是的前n 项和，{}n a 0q q ≠，n S {}n a 设，当时，，，，则，，不是等比数()1na -＝2n =0S ＝0S S -=0S S -＝S S S -S S -列，所以A 选项错误；若为等差数列，是的前n 项和，设公差为， {}n a n S {}n a d 则，12n n S a a a +++ ＝，22212212n n n n n n n S S a a a a a a n d S n d ++-++++++++ ＝＝（）＝，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-+++++++-+ ＝＝（）＝（）所以，，是等差数列，所以B 选项正确；n S 2n n S S -32n n S S -为等差数列，考虑，，，所以C 选项错误；{}n a 1n a =1234a a a a +=+1234+≠+考虑常数列，，，满足，数列不是等比数列，所以D 选项错误. {}n a 0n a =0q =1n n a qa +={}n a 故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式()f x R 0x >'2()()0xf x f x x->()20f -=的解集是（ ） ()0f x x>A ． B ． ()()2,00,2-⋃()(),22,-∞-+∞ C ． D ．()()2,02,-+∞ ()(),20,2-∞- 【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得()f x R ()f x x 0x >'2()()0xf x f x x ->为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集； ()f x x 0x <()f x x()()220f f -==【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，， ()f x R 0x >'2()()0xf x f x x->∴为增函数，为偶函数，为奇函数，()f x x ()f x ()f x x∴在上为增函数， ()f x x(),0∞-∵，()()220f f -==若，，所以； 0x >()202f =2x >若，，在上为增函数，可得， 0x <()202f -=-()f x x (),0∞-20x -<<综上得，不等式的解集是. ()0f x x>()()2,02,-+∞ 故选：C.二、多选题9．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的n 为（ ） {}n a 13a =()*111n n a n a +=-∈+N 3n a =A ．17 B ．16C ．8D ．7【答案】BD【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案. 【详解】由，， 13a =111n n a a +=-+得，，，214a =-343a =-43a =所以数列是周期为3的数列，{}n a 所以，．81714a a ==-7163a a ==故选：BD ．10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是 n S {}n a n 21,(*)n n S a n N =+∈A ．B ．516a =-563S =-C ．数列是等比数列 D ．数列是等比数列{}n a {}1n S +【答案】AC【解析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等11a =-1(2)n n n a S S n -=-≥{}n a 比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为为数列的前项和，且， n S {}n a n 21,(*)n n S a n N =+∈所以，因此，1121S a =+11a =-当时，，即，2n ≥1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C 正确；{}n a 1-2因此，故A 正确；451216a =-⨯=-又，所以，故B 错误；2121n n n S a =+=-+552131S =-+=-因为，所以数列不是等比数列，故D 错误. 110S +={}1n S +故选：AC.【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 11．已知函数，则（ ） ()31443f x x x =-+A ．在上单调递增 ()f x ()0,∞+B ．是的极大值点 2x =-()f x C ．有三个零点()f x D ．在上最大值是 ()f x []0,34【答案】BCD【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项()f x ()0f x '=x ()f x 判断即可．【详解】解：因为 ()31443f x x x =-+所以， 2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-令，解得或，()0f x '=2x =-2x =与随的变化情况如下表： ()f x '()f x xx(,2)-∞- 2-(2,2)- 2(2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；()f x (,2)-∞-(2,)+∞(2,2)-A 是的极大值点，故正确；2x =-()f x B 因为，，，， (6)440f -=-<28(2)03f -=>()423f =-()652f =由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确； ()f x C 当的定义域为时，()f x []0,3在，上单调递减，在，上单调递增，()f x [02](23]又， ，(0)4f =()31f =故选：．BCD 12．“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是（ ） A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9732410⨯+C ．“提丢斯数列”的前31项和为 30321211010⨯+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 【答案】BC【分析】根据题意得，由此利用等比数列的性质即可求出结果.20.4,1324,210n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅+≥⎪⎩【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，当时，{}n a 3n ≥326243241010n n n a --=⋅+⋅+=2n =，符合该式，当时，不符合上式，故，故A 错误；20.7a =1n =10.4a =20.4,1324,210n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅+≥⎪⎩，故B 正确；“提丢斯数列”的前31项和为979932410a ⨯+=()3002923232121223051051010⨯++⋅⋅⋅++⨯=+，故C 正确；令，即，得，又，故不超过20的有23242010n -⋅+≤219623n -≤2,3,4,5,6,7,8n =120a <8项，故D 错误. 故选：B C.三、填空题13．在等比数列中，，则_____. {}n a 7125a a =891011a a a a =【答案】25【分析】根据等比数列下标和的性质即可得到结论. 【详解】在等比数列中，， {}n a 7125a a =则， 891011811910712712()()()()25a a a a a a a a a a a a ===故答案为：25【详解】时到直线的距离最短， 22,1,(1,0)21y x P x ==∴='-所以点230x y -+=15．设Sn 是数列{an }的前n 项和，且a 1＝－1，an ＋1＝SnSn ＋1，则Sn ＝__________. 【答案】－. 1n【详解】试题分析：因为，所以，所以，11n n n a S S ++=111n n n n n a S S S S +++=-=111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所1111n n S S +-=-11a =-11111S a ==-1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1-以，所以． 11(1)(1)n n n S =----=-1n S n=-【解析】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到， ，确定数列是首项和公差1111n n S S +-=-111S =-1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方1-法的积累与总结，属于中档试题． 16．设函数f (x )＝x 3－－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是22x ________.【答案】7(,2-∞【分析】利用导数求得函数在上的值域，即可列出不等式求得结果. []1,2-【详解】，令，得或，2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =∴在和上为增函数，在上为减函数， ()y f x =2()3-∞-，(1)+∞，2(1)3-，∴在处有极大值，在处有极小值，()f x 23x =-1x =极小值为17(1)12522f =--+=而，111(1)12522f -=--++= ∴在上的最小值为， ()f x [12]-，72对于任意都有成立，得的范围. 1[]2x ∈-，()f x a >a 72a <故答案为：.7(,)2-∞【点睛】该题考查利用导数求函数在区间上的最值，属于基础题目.四、解答题17．设是公比为正数的等比数列，，. {}n a 12a =214a a =+(1)求的通项公式；{}n a (2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n 项和. {}n b {}n n a b +n S 【答案】(1)123n n a -⨯＝(2) 231n n +﹣【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知易得值，则数列的通项可求； q {}n a q {}n a （2）由已知可得的通项，利用分组求和法，求解. {}n b n S 【详解】（1）设为等比数列的公比， q {}n a 则由，得，解得q ＝3， 12a =214a a =+224q =+∴的通项为；{}n a 123n n a -⨯＝（2）由已知可得， ()12121n b n n =+=﹣﹣∴，12321n n n a b n +⨯+﹣＝（﹣）1122n n n S a b a b a b =+++ +++()()1212n n a a a b b b =+++ +++ 2(13)(121)132n n n-+-=+-.231n n =+﹣18．已知函数()2ln f x x x =+（1）求的极值；()()3h x f x x =-（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围. ()()g x f x ax =-a【答案】(1)见解析；（2）a ≤【分析】（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分()h x 段，求得函数的单调区间，进一步求得极值（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利()()g x f x ax =-()()‘00g x x ≥>a 用基本不等式求得最值可得答案【详解】（1）由已知可得()()233h x f x x lnx x x =-=+-，()()2‘2310x x h x x x-+=>令，可得或()2‘2310x x h x x-+==12x =1x =则当时，，当时， ()1012x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，，()‘0h x >112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()‘0h x <在，上为增函数，在上为减函数 ()h x ∴102⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1+∞，112⎛⎫⎪⎝⎭则 ()()12h x h ==-极小值,()15224h x h ln ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭极大值(2)()()2g x f x ax lnx x ax =-=+-， ()‘12g x x a x=+-由题意可知恒成立，()()‘00g x x ≥>即12min a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭时， 0x > 12x x +≥x =故12min x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则a ≤【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题19．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n 项的和，且. {}n a n S {}n a 22n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a(2)设，求数列的前n 项和. 12n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1)，21n a n =+*N n ∈(2)269n n + 【分析】（1）利用公式，分两种情况讨论，即可求解. ()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩（2）根据已知条件，结合裂项相消法，即可求解.【详解】（1）∵，22n S n n =+∴当时，，1n =113a S ==当时，，2n ≥()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+对时，等号也成立，1n =故，.21n a n =+*N n ∈（2）＝＝， 12n n n b a a +=2(21)(23)n n ++112123n n -++故前n 项和＝ 11111135572123n T n n =-+-++-++ 11232369n n n -=++20．已知函数. 22()ln 1x f x x x -=-+（1）判断函数的零点个数；()f x （2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a 的取值范围. 4()()2()1a g x f x a x +=-+∈+R 1x 2x ()g x 【答案】（1）有且仅有1个零点；（2）.(),4-∞-【分析】（1）先判断函数的单调性，再结合，即可知零点个数；()10f =（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，也是方程1x 2x ()0g x '=(0,)+∞在内的两个不同的实数解，再根据实根分布知识即可解出．()()2210h x x a x =+++=(0,)+∞【详解】（1）由题知函数的定义域为，()f x ()0,∞+对任意恒成立， ()22212(1)2(1)(1)0(1)(1)x x x f x x x x x +---'=-=≥++()0,x ∈+∞当且仅当时，，所以在上单调递增.1x =()0f x '=()f x ()0,∞+又，所以函数有且仅有1个零点. ()2121ln1011f ⨯-=-=+()f x（2）因为， ()()42ln 11a a g x f x x x x +=-+=-++所以. ()()2221(2)10(1)(1)a x a x g x x x x x x +++'=+=>++由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.1x 2x ()0g x '=(0,)+∞令，又，且函数图象的对称轴为， ()()221h x x a x =+++()010h =>()h x 22a x +=-所以只需 220,(2)40,a a -->⎧⎨∆=+->⎩解得，即实数的取值范围为.4a <-a (),4-∞-21．已知数列的前n 项和，，且满足.{}n a n S 11a =12n n S na +=(1)求；n a (2)若，求数列的前n 项和.(1)2n a n n b a =+⋅{}n b n T 【答案】(1)n a n =(2)12n n T n +⋅＝【分析】（1）由题意可得，可得，累乘即可得； ()121n n S n a --＝11n n a n a n ++=n a n =（2）由，利用错位相减即可求和. 12n n b n =+⋅（）【详解】（1）由题意可得.....①，12n n S na +＝当时，......②，2n ≥()121n n S n a --＝①﹣②得，，可得， ()121n n n a na n a +--＝11n n a n a n ++=又，， 2122a S ==2121a a =综上，时，， 1n ≥11n n a n a n ++=当时，＝， 2n ≥3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅ 2341231n n ⋅⋅⋅⋅- ∴，∴， 1n a n a =n a n =又满足，11a =n a n =综上，.n a n =（2） )12(12n a n n n b n a =+⋅=+⋅（）数列的前n 项和，.......① {}n b 1231223242...212n n n T n n ⋅+⋅+⋅++⋅++⋅﹣＝（），.........②23122232...212n n n T n n +⋅+⋅++⋅++⋅＝（）①﹣②可得 ()12112+222...2122n n n n T n n ++-++++-+⋅=-⋅＝，∴.12n n T n +⋅＝22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，是坐标原点.22(0)y px p =>F 221243x y -=O （1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线相交于，两点，:22l y x =-A B ①求；AB ②若，且在抛物线上，求实数的值.OA OB mOD += D m 【答案】（1）；（2）①5；②. 24y x =13【解析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可. (1,0)12p =p （2）联立直线与抛物线方程得，利用韦达定理结合焦半径公式可求出，设2310x x -+=AB ，根据向量的坐标运算即可求解.()00,D x y 【详解】（1）双曲线方程可化为， 221243x y -=2211344x y -=因此，所以双曲线的一个焦点是， 2131,144c c =+==(1,0)于是抛物线的焦点为，则， 22(0)y px p =>(1,0)F 12p =24p =故抛物线的方程为．24y x =（2）①依题意，由可得，设， 2224y x y x=-⎧⎨=⎩2310x x -+=()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理知，123x x +=1225AB FA FB x x ∴=+=++=②设，则由，得， ()00,D x y OA OB mOD += ()01213x x x m m=+=()01212y y y m m =+=由于D 在抛物线上，因此，可得． 2412m m=13m =【点睛】方法点睛：本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦12AB x x p =++点，则必须用一般弦长公式．。
2021-2022学年福建省福州市福清市第三中学高二数学理期末试卷含解析
2021-2022学年福建省福州市福清市第三中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为( )A B C D参考答案：B略2. 在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上两个动点，又有一定点，则的最小值是（）A、10B、11C、12D、13参考答案：A略3. 已知实数4，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D.或参考答案：C4. 函数的定义域为（）A B C D参考答案：B5. 已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（）A．B． C． D．参考答案：C6. 使函数y=xsinx+cosx是增函数的区间可能是（）A．（，）B．（π，2π）C．（，）D．（2π，3π）参考答案：C【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】对给定函数求导后，把选项依次代入，看哪个y′恒大于0，就是哪个选项．【解答】解：y′=（xsinx+cosx）′=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx，当x∈（，）时，恒有xcosx＞0．故选：C．7. 已知数列为等差数列，其前项和为，，则为( ）A. B. C. D. 不能确定参考答案：B8. 直线3x+4y-13=0与圆的位置关系是：（）A. 相离;B. 相交;C. 相切;D. 无法判定.参考答案：C略9. 将函数的图像平移后所得的图像对应的函数为，则进行的平移是（）A、向右平移个单位B、向左平移个单位C、向右平移个单位D、向左平移个单位参考答案：B10. 设为等差数列的前n项和，若，则＝( )A、3B、9C、21D、39参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f（x）=x3+ax（x∈）在x=l处有极值，则曲线y= f（x）在原点处的切线方程是_____参考答案：12. 设不同的直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则下列推理中①；②；③；④正确的命题序号是．参考答案：②③④略13. △ABC内有任意三点都不共线的2 014个点，加上A、B、C三个顶点，共2 017个点，把这2 017个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为▲．参考答案：4029略14. 设函数f（x）=g（x）+x2，若曲线y=g（x）在点（1，g（x））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（写出一般式）参考答案：6x﹣y﹣2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程求出g'（1）与g（1），再通过求f'（1）求出切线的斜率，以及切点坐标，即可求出切线方程．解答：解：∵曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，∴g'（1）=2，g（1）=3∵f（x）=g（x2）+x2，∴f'（x）=g'（x2）×2x+2x即f'（1）=g'（1）×2+2=6，f（1）=g（1）+1=4∴切点坐标为（1，4），斜率为6∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 6x﹣y﹣2=0故答案为：6x﹣y﹣2=0点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及如何求切线方程，题目比较新颖，属于基础题．15.参考答案：略16. △ABC的三个内角为A、B、C，且2 C – B = 180°，又△ABC的周长与最长边的比值为m，那么m的最大值为。
2023-2024学年福州市高二数学上学期期末考试卷附答案解析
2023-2024学年福州市高二数学上学期期末考试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分2024.01一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{}n a 中，若11a =，2410a a +=，则20a =（）A．38B．39C．40D．412．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与椭圆22195x y +=的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A．=1x -B．1x =C．2x =D．2x =-3．若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x -6y +m =0内切，则m =（）A．25B．9C．-9D．-114．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2by ax x =+（a ，b 为常数）过点()2,5P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则（）A．1a =-，2b =B．1a =，2b =C．1a =-，2b =-D．1a =，2b =-5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l，过点2F且与l 平行的直线交双曲线C 于点M，若123MF MF =，则双曲线C 的离心率为（）D．36．已知函数()()2e x f x x ax=--在()0,5上为减函数，则a 的取值范围是（）A．(),5e -∞B．[)5e,+∞C．()1,+∞D．[)1,+∞7．如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设nA 是第n 次挖去的小正三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小正三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小正三角形面积之和），则（）A．2A =B．nA 是等差数列C．3164nn A ⎛⎫= ⎪⎝⎭D．前n次挖去的所有小正三角形面积之和为3144n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦8．已知函数ln ()xf x x =，直线:(21)l y a x =-，若有且仅有一个整数0x ，使得点()()00,P x f x 在直线l 上方，则实数a 的取值范围是（）A．[ln 2,ln3)B．(ln 2,ln 3]C．ln 3ln 2,156⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．ln 3ln 2,156⎛⎤⎥⎝⎦二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（）A．圆C 的半径3r =B．点(1,在圆C 的内部C．直线:30l x +=与圆C 相切D．圆()22:14C x y '++=与圆C 相交10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法正确的是（）A．若221n S n =+，则{}n a 是等差数列B．若112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则{}n a 是等比数列C．若{}n a 是等差数列，则199100199S a =D．若{}n a 是等比数列，则299101100S S S ⋅>11．已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线()22002200:10,0x y E a b a b -=>>的公共左，右焦点，P （在第一象限）为它们的一个交点，且1260F PF ∠=，直线2PF 与双曲线交于另一点Q ，若222PF F Q =，则下列说法正确的是（）A．1PF Q △的周长为165aB．双曲线E的离心率为C．椭圆C的离心率为D．124PF PF =12．已知0a >，0b >且ln ae b a b +>+，则下列结论一定正确的是（）A．a b >B．ae b >C．2ae b +>D．ln 0a b +>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若直线1l ：210x my ++=与直线2l ：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为．14．设函数()f x 的导数为()f x '，且()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫=⎪⎝⎭'．15．已知双曲线2C ：2212y x -=的下、上焦点分别为1F ，2F ．点P 在x 轴上，线段1PF 交C 于Q 点，2PQF 的内切圆与直线2QF 相切于点M ，则线段MQ 的长为．16．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，nn S b n =，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”．已知数列{}n b 是数列{}n a 的“均值数列”且n b n =，设数列⎧⎫的前n 项和为n T ，若()2132nm m T -<对*n ∈N恒成立，则实数m 的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数()323422f x x x ax =+-+．(1)若函数()()()36ln 49g x x x a x f x =-+-+，求()g x 的单调递增区间；(2)若()f x 有两个都小于0的极值点，求实数a 的取值范围．18．在ABC 中,角A B C ､､的对边分别为,,a b c ,且满足()2cos cos 0c b A a C ++=.(1)求角A 的值;(2)若14,6a c ==,求ABC 的面积.19．如图，⊥AE 平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，AD AB ⊥，2AB AD ==，4AE BC ==.(1)求证：//AD BC ；(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点)3,0F ，长半轴长与短半轴长的比值为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设B 为椭圆C 的上顶点，直线():1l y x m m =+≠与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若BM BN ⊥，求直线l 的方程．21．已知数列{}n a 满足1122n n n a a a +=+（N n *∈），11a =.(1)证明:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若记n b 为满足不等式111()(),N 22n n k a n -*≤∈<的正整数k 的个数，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求关于n的不等式2024n S <的最大正整数解.22．已知函数()2e x x ax af x ++=．(1)当2a =时，求()f x 在()()1,1f --处的切线方程；(2)当0x ≥时，不等式()2f x ≤恒成立，求a 的取值范围．1．B【分析】根据1241,10a a a =+=，求出d ，然后用公式计算即可.【详解】在等数列{}n a 中，1241,10a a a =+=，所以1242410a d d +=+=，解得2d =，所以2011939a a d =+=，故选：B.2．D【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆22195x y +=的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为2x =-，故选：D.3．D【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆1C 的圆心为()10,0C ，半径11r =；圆2C 的圆心为()24,3C ，半径为22r =250,25m m -><），由于两圆内切，所以1212C C r r =-，1=15=，15=（无解）或15-，解得11m =-.故选：D4．C【分析】由题意将点()2,5P -代入2b y ax x =+得452b a +=-，求导得22by ax x =-'，由题意将点()2,5P -代入得7442b a -=-，联立即可得解.【详解】∵函数2b y ax x =+的导数为22by ax x =-'，∴曲线在点()2,5P -处的切线斜率为44bk a =-，由两直线平行可得7442b a -=-①.又∵点()2,5P -在曲线2by ax x =+上，∴452ba +=-②，由①②解得1a =-，2b =-.故选：C.5．B【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l 的方程为b y xa =，因此直线2MF 的倾斜角α的正切值为ba ，即sin tan sin ,cos (0)cos b bk ak k a ααααα==⇒==>，所以有()()22111cos a bk ak ck k c c α+=⇒=⇒=⇒=，设21,3MF m MF m==，由双曲线定义可知：1222MF MF a m a m -==⇒=⇒21,3MF a MF a==，由余弦定理可知：()()2222232223a a a c a c c a e c =+-⋅⋅⇒=⇒=故选：B 6．D【分析】由题意可得()0f x '≤在()0,5上恒成立，即()1e x a x ≥-在()0,5上恒成立，令()()1e xg x x =-，求出()g x 取值范围即可.【详解】因为函数()()2e x f x x ax=--在()0,5上为减函数，所以()()e 2e 0x x f x x a =-+--≤'在()0,5上恒成立，所以()1e xa x ≥-在()0,5上恒成立，令()()1e x g x x =-，所以()()e 1e e 0x x x g x x x -=-'=-+<，所以()g x 在()0,5上单调递减，所以()()()54e 501g g x g -=<<=，故1a ≥，所以a 的取值范围是[)1,+∞.故选：D.7．D【分析】根据图形可知：每次挖去的小三角形面积之和构成一个以16为首项，以34为公比的等比数列，利用等比数列通项公式和求和公式对选项一一判断即可得出答案.【详解】原正三角形的面积为，由题意可知：第n 次挖去13n -个小正三角形，且每次挖去的小三角形面积之和构成一个以为首项，以34为公比的等比数列，所以13(164n n A -=⨯，故C 不正确；123(16464A =⨯=，故A 不正确；nA 是等比数列，故B 不正确；由等比数列的求和公式可得前n次挖去的所有小正三角形面积之和为:313413414nn ⎛⎫- ⎪⎤⎛⎫⎝⎭=-⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，故D 正确.故选：D.8．C【分析】由定义域得0x 为正整数，由导数法研究()ln xf x x =的图象，直线l 过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，由数形结合可判断0x 的值，进而列不等式组确定参数范围.【详解】点()()00,P x f x 在直线l 上方，即()000ln 21x a x x >-，因为0x >，所以()ln 21x a x x >-有且仅有一个正整数解.设()()2ln 1ln ,x x f x f x x x -='=，则()()()0,e ,0,x f x f x '∈>单调递增；()()()e,+,0,x f x f x '∈∞<单调递减，所以()()1e ef x f ≤=.又()()()010;10;10x f x x f x x f x <<<==>>，，，，故可得()f x图象如下图，直线:(21)l y a x =-过定点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，当0a ≤，()ln 21xa x x >-有无数个正整数解，不合题意，故0a >，又()ln 21x a x x >-有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即()()ln 241ln 3ln 22ln 3156613a a a ⎧>-⎪⎪⇒≤<⎨⎪≤-⎪⎩.故选：C.【点睛】关键点点睛：直线l 过定点，则原命题可转化为直线l 绕定点旋转，从而满足条件，可由导数法研究()f x 的图象，由数形结合列式求解.9．ACD【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，然后逐个分析判断即可【详解】由2260x y x +-=，得22(3)9x y -+=，则圆心(3,0)C ，半径13r =，所以A 正确，对于B，因为点(1,3，所以点(1,在圆C 的外部，所以B 错误，对于C，因为圆心(3,0)C到直线:30l x +=的距离为13d r ==，所以直线:30l x +=与圆C 相切，所以C 正确，对于D，圆()22:14C x y '++=的圆心为(1,0)C '-，半径22r =，因为4CC '=，12124r r r r -<<+，所以圆()22:14C x y '++=与圆C 相交，所以D 正确，故选：ACD 10．BC【分析】由前n 项和求得na 后判断AB，根据等差数列、等比数列的性质判断CD．【详解】选项A，2n ≥时，221212(1)142n n n a S S n n n -=-=+---=-，113a S ==，26a =，310a =，3221a a a a -≠-，{}n a 不是等差数列，A 错；选项B，1112a S ==-，2n ≥时，11111(1(1(222n n nn n n a S S --=-=--+=-，又1112a S ==-符合上式，所以1()2n n a =-，{}n a 是等比数列，B 正确；选项C，若{}n a 是等差数列，则1199100199100199()199222199a a a a S +⨯===，C 正确；选项D，若1n a =，则n S n=，99101991019999S S ⋅=⨯=，而22100100100009999S ==>，D 错误，故选：BC．11．BCD【分析】设2QF t=，则22PF t=，由双曲线定义得1022PF t a =+，102QF t a =+，再由余弦定理得03a t =，然后由椭圆定义得5a t =，利用余弦定理求得c =，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．【详解】设2QF t=，则22PF t=，1022PF t a =+，102QF t a =+，1PF Q△中由余弦定理22211112cos QF PF PQ PF PQ F PQ=+-∠，得222000(2)(22)92(22)3cos60t a t a t a t t +=++-+⋅⋅︒，化简得03a t =，10228PF t a t =+=24PF =，D 正确；又12210a PF PF t=+=，所以5a t =，又1027QF t a t=+=，1PF Q △的周长为18837185t t t t a++==，A 错误；12PF F △中，122F F c=，由余弦定理得2224(8)(2)282cos 60c t t t t =+-⨯⨯⨯︒，所以c =，因此双曲线的离心率为1033c e a t ===，B 正确；椭圆的离心率为2131355c t e a t ==，C 正确，故选：BCD．12．BC【分析】利用特殊值法可判断AD 选项的正误；构造函数()ln f x x x=-，分析函数()f x 的单调性，分1b ≥、01b <<两种情况讨论，利用函数()f x 的单调性可判断B 选项的正误；证明对数平均不等式：对任意的1x 、+2x R ∈且12x x ≠，121212ln ln 2x x x x x x -+<-，利用对数平均不等式可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，取2a =，b e =，则2ln 12a e b e e a b +=+>+=+，但a b >不成立，A 选项错误；对于B 选项，由ln a e b a b +>+可得ln a e a b b ->-，即ln ln a ae e b b ->-，构造函数()ln f x x x =-，其中0x >，()111x f x x x -'=-=.当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，①若1b ≥，则函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，由ln ln a a e e b b ->-可得()()a f e f b >，且1ae >，故a e b >；②若01b <<，则ab e <.综上，ae b >，B 选项正确；先证明对任意的1x 、+2x R ∈且12x x ≠，121212ln ln 2x x x xx x -+<-，不妨设12x x >，即证()1122112122212ln1x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++，令121x t x =>，即证()21ln 01t t t -->+，令()()21ln 1t g t t t -=-+，则()()()()222114011t g t t t t t -'=-=>++，故函数()g t 在()1,+∞上为增函数，当1t >时，()()10g t g >=，所以，对任意的1x 、+2x R ∈且12x x ≠，121212ln ln 2x x x x x x -+<-，因为ln ln a a e e b b ->-，则ln ln a ae b e b ->-，所以，12ln ln a a a e b e be b +->>-，可得2a e b +>，C 选项正确.对于D 选项，取2a =，31b e =，则231ln 32a e b e a b e +=->+=+，但ln 230a b +=-<，D 选项不正确.故选：BC.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13．0或12【分析】根据直线垂直列方程，化简求得m 的值.【详解】由于两直线垂直，所以()22210m m m m -=-=，解得0m =或12m =.故答案为：0或1214．1【分析】根据题意，求导可得()f x '，令π3x =，即可得到π3f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为()πsin cos 3f x f x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，所以()πcos sin 3f f x xx ⎛⎫'- ⎪⎝⎭'=，令π3x =，则ππππcos sin 3333f f ⎛⎫⎛⎫''=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π1π3232f f ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得π3f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以()sin f x x x'=-，所以55531ππsin π166622f ⎛⎛⎫'=-=---= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为：1【分析】根据三角形内切圆的性质以及双曲线的定义来求得MQ.【详解】由双曲线2212y x -=得a =如图，设三角形2PQF 的内切圆与直线12,PF PF 相切于,N E ，则22,,MF EF MQ NQ PN PE===，根据双曲线的定义有21QF QF -=即21||||||22MF MQ QF +-=，则()()2122EFPE MQ NQ QF NQ PN +++-++=，即21||2||||22PF MQ PF +-=，所以222,2MQ MQ ==.故答案为：216．()1,2-【分析】先求得nS ，然后求得na ，进而求得n T ，求得n T 的最小值，由此解不等式求得m 的取值范围.【详解】依题意2,nn n S b n S n n ===，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 也符合上式，所以21n a n =-.111212122121n n n n a a n n ++--=+-++，所以315321212112222n n n n T ⎫⎫⎛⎫+--+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，{}n T 是单调递增数列，最小值为1312T =，所以()21333122n m m T -=<+-，()()22120m m m m --=+-<，解得12m -<<.故答案为：()1,2-【点睛】已知n S 的表达式，求n a 的通项公式，可以利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来进行求解，在求解的最后，化的进一步运用.17．(1)()0,1，()2,+∞(2)3,016⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，解不等式，即可求得答案；（2）由题意可得23340x x a +-=有两个不相等的负数根，根据一元二次方程的根的分布，列不等式求解，即可得答案.【详解】（1）因为()()()3236ln 496ln 922g x x x a x f x x x x =-+-+=+-+，且定义域为()0,∞+，所以()()()312639x x g x x x x --'=+-=，（0x >），令()0g x '>，得01x <<或2x >．所以()g x 的单调递增区间为()0,1，()2,+∞．（2）因为()323422f x x x ax =+-+，所以()2334f x x x a '=+-，又因为()f x 有两个都小于0的极值点，所以23340x x a +-=有两个不相等的负数根1x ，2x ，所以()1212Δ94340303403a x x a x x ⎧⎪=-⨯⨯->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=->⎪⎩，解得3016a -<<，所以实数a 的取值范围为3,016⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．(1)2π3A =；(2).【分析】(1)先用正弦定理边化角,再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解;(2)利用余弦定理求出b 边,然后代入三角形面积公式计算即可.【详解】（1）解:由题意知()2cos cos 0b c A a C ++=,在ABC 中,将正弦定理代入有()2sin sin cos sin cos 0B C A A C ++=,所以2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=,即()2sin cos sin 0B AC A ++=,即()2sin cos sin π0B A B +-=,即2sin cos sin 0B A B +=,因为0πB <<,所以sin 0B ≠,所以1cos 2A =-,因为0πA <<,所以2π3A =；（2）由(1)知2π3A =,在ABC 中,由余弦定理可知222cos 2b c a A bc +-=,即2221614226b b +--=⨯⨯,解得10b =或16-（舍）,所以11sin 10622ABC S bc A ==⨯⨯⨯ .19．(1)证明见解析.(2)49.【分析】（1）运用线面平行判定定理、面面平行判定定理可证得面BCF //面AED ，运用面面平行性质可证得//AD BC .（2）建立空间直角坐标系，运用坐标法求线面角即可.【详解】（1）证明：∵//CF AE ，CF ⊄面AED ，AE ⊂面AED ，∴//CF 面AED ，又∵//BF 面AED ，BF CF F ⋂=，BF 、CF ⊂面BCF ，∴面BCF //面AED ，又∵面BCF ⋂面ABCD BC =，面ADE 面ABCD AD =，∴//AD BC .（2）以A 为原点，分别以AB、AD、AE 所在直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,4)E ，∴(2,2,0)BD =- ，(2,0,4)BE =- ，(2,4,4)CE =--，设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z = ，则220240n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1z =，则2x =，2y =，则(2,2,1)n =，设直线CE 与平面BDE 所成角为ϕ，则84sin |cos ,|639CE n ϕ=<>==⨯ .所以直线CE 与平面BDE 所成角为49.20．(1)2214x y +=(2)35y x =-【分析】（1）由条件写出关于,,a b c 的方程组，即可求椭圆方程；（2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示0BM BN ⋅=，即可求参数m .【详解】（1）由题意得，c =2a b =，222a b c =+，2a ∴=，1b =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）依题意，知()0,1B ，设()11,M x y ，()22,N x y ．联立2244y x mx y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得2258440x mx m ++-=．()2Δ1650m ∴=->，即m <<1m ≠，1285m x x -+=，212445m x x -=．BM BN ⊥ ，0BM BN ∴⋅=．()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-=，()2244821(1)055m m m m --∴⨯+-+-=，整理，得25230m m --=，解得35m =-或1m =（舍去）．∴直线l 的方程为35y x =-．21．(1)证明见解析，21n a n =+(2)7【分析】（1）1122n n n a a a +=+两边取倒数得到11112n n a a +-=，从而得到1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，求出112nn a +=，求出通项公式；（2）在（1）的基础上解不等式得到12121n n k +-≤<-，从而得到2n n b =，()1012n nn b n a -=+⋅>，数列{}nS 递增，再利用错位相减法求和得到2nn S n =⋅，结合78896,2048S S ==，得到答案.【详解】（1）由1122n n n a a a +=+取倒数得122n nn a a a ++=，故11112n n a a +-=，又111a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，则()1111122nn n a +=+-=，所以21n a n =+；（2）当111()(,N 22n n k a n -*≤∈<时，1121212nn k -⎛⎫⎛⎫<≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，故11222n nk -+≤<，解得12121n n k +-≤<-，所以满足条件的整数k 的个数为()121212n n n+---=，即2nn b =，所以()1212021nn n nb n a n -==+⋅>+，故数列{}n S 递增，所以()012122324212n n S n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，则()12312223242212n nn S n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ ，两式相减可得()()2122222212212212n n nn nn S n n n ---=++++-+⋅=+-+⋅=-⋅- ，所以2nn S n =⋅，.因为787872896,822048S S =⨯==⨯=，所以782024S S <<，因此，满足2024n S <的最大正整数n 的值为7.22．(1)e 0x y +=(2)2a ≤【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程.（2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()2222,e e x xx x x f x f x '++-=∴=．故切线的斜率()1ek f '=-=-，又()1e,f -=∴切点为()1,e -∴切线方程为()e e 1y x -=-+，化简得e 0x y +=．（2）法1：当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故22e x x ax a++≤，也就是22e x x ax a ++≤，即()212e x a x x +≤-，由10x +>得22e 1x x a x -≤+，令()()22e 01x x h x x x -=≥+，则()()()()()2222e212e 2e2(1)(1)xx xx x x x x h x x x '-+----==++，令()2e 2x t x x =--，则()2e 1x t x =-'，可知()t x '在[)0,∞+单调递增，则()()01t x t '≥='，即()0t x '>在()0,∞+恒成立，．故()t x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00t x t ≥=，故()0h x '≥在[)0,∞+恒成立．所以()h x 在[)0,∞+单调递增，而()02h =，所以()2h x ≥，故2a ≤．法2：因为当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故max ()2f x ≤，由()()()()2220eexxx x a x a xf x x ⎡⎤-'---+-⎣⎦==≥，令()0f x '=，得0x =或2x a =-，①当20a -≤，即2a ≥时，()0f x '≤在[)0,x ∈+∞上恒成立，()f x \在[)0,∞+上单调递减，()max 0()02af x f a e ∴===≥，∴2a >不合题意，2a =合题意．②当20a ->，即2a <时，当[)0,2x a ∈-时()0f x ¢>，当()2,x a ∈-+∞时()0f x '<，故()f x 在[)0,2a -上单调递增，在()2,a -+∞上单调递减，()max 24()2e a af x f a --∴=-=，设220,e tt a t y +-=>=，则10e t ty --=<'恒成立，2e t t y +∴=在()0,∞+上单调递减，故2022e 1t t ++<=即max ()2f x <，合题意．综上，2a ≤．法3：因为当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，也就是22e xx ax a ++≤，即22e 0xx ax a ---≥恒成立，令()[)22e ,0,x h x x ax a x ∞=---∈+，令()()()2e 2,2e 2x x S x h x x a S x -''==-=-，()0,e 1,0x x S x '≥∴≥∴≥ 恒成立，()h x '∴在[)0,∞+上单调递增．()min ()02h x h a'=='∴-．①当20a -≥，即2a ≤时，()()0,h x h x ≥'∴在[)0,∞+上单调递增，()min ()020h x h a ∴==-≥，合题意；②当20a -<，即2a >时，ln02a >，因为()020h a '=-<，2ln 0ln 22a a h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=，即02e 2x x a =+．()h x ∴在[)00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．()()()0222min 00000000()2e 220x h x h x x ax a x a x ax a x a x ∴==---=+---=-+-<，不合题意．综上，2a ≤．【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式的恒成立问题，可以利用参变分离，利用导数求出新函数的最值，或者直接对含参数的函数就导数的符号分类讨论，从而可求函数的最值.。
2023-2024学年福建省福州市高二上册期末考试数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省福州市高二上册期末考试数学试题一、单选题1．直线10x y -+=的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．120°D ．135°【正确答案】B【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可.【详解】10x y -+=的斜率为1，故倾斜角θ满足tan 1θ=，又倾斜角大于等于0°小于180°，故倾斜角为45°.故选：B2．抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为（）A ．132B ．116C ．18D ．4【正确答案】B【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解.【详解】解：抛物线的标准方程为218x y =，所以焦点坐标为10,32F ⎛⎫⎪⎝⎭，其准线方程为132y =-，所以抛物线28y x =的焦点到其准线的距离为111323216d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选：B 3．数列262,4,,20,3--的一个通项公式可以是（）A ．()12nn a n=-⋅B ．()31n nn na n ⋅-=-C ．()1221n nn a n+-=-⋅D ．()311nn n a n-=-⋅【正确答案】D【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.【详解】选项A ：()331236a =-⨯⨯=-，不符合题意；选项B ：()222327122a -=-⨯=，不符合题意；选项C ：()212222132a +-=-⨯=不符合题意；而选项D 中的通项公式满足数列262,4,,203--，故选：D4．与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(-的双曲线方程是（）A ．224194x y -=B ．22194x y -=C ．224194y x -=D ．22194y x -=【正确答案】A【分析】设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，将点(-代入求解即可.【详解】设与双曲线221916x y -=有共同渐近线的双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，∵所求双曲线过点(-，∴(-代入22(0)916x y λλ-=≠，得912916λ-=，即14λ=，∴与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(-的双曲线方程是2219164x y -=，即224194x y -=.故选：A.5．已知{}n a 为等比数列，475628a a a a +-＝,＝，则10a ＝（）A ．1B ．1-C ．1或8-D ．8-【正确答案】C【分析】利用等比数列的性质计算出47,a a ，进而求得10a 的值．【详解】∵{}n a 为等比数列，设公比为q ，由47475628a a a a a a +-＝,＝=，则可得：4742a a -＝,＝，则37412a q a ==-，则261041412a a q ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭＝＝4724a a -＝,＝，则3742a q a ==-，则()()26104228a a q -⨯-=-＝＝故选：C.6．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，若1a ，3a ，7a 成等比数列，则1a d的值为（）A ．2±B ．2C ．4±D ．4【正确答案】B【分析】根据等比数列的性质可知，2173a a a =，再代入等差数列的基本量，化简即可求解.【详解】因为{}n a 是公差不为零的等差数列，且1a ，3a ，7a 成等比数列，所以2173a a a =，即2111(6)(2)a a d a d +=+，化简得212a d d =，又因为0d ≠，所以12a d=．故选：B ．7．已知两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，且满足2132n n A n B n +=+，则66a b =（）A ．1320B ．2335C ．2538D ．2741【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质、前n 项和公式推理计算作答.【详解】两等差数列{}n a ，{}n b ，前n 项和分别是n A ，n B ，满足2132n n A n B n +=+，所以1116611111111661111111221112322311235112a a a a a a Ab b b b b b B +⨯+⨯+======++⨯+⨯.故选：B8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且FA FB =-，则AB =（）A ．3B ．6C ．8D ．12【正确答案】C【分析】作1BB l ⊥，根据共线向量可确定F 为AB 中点，根据三角形中位线性质可求得1BB ，根据抛物线定义可求得BF ，进而得到AB .【详解】由抛物线方程知：()1,0F ，:1l x =-，设准线l 与x 轴交于点1F ，作1BB l ⊥，垂足为1B ，FA FB =-，F ∴为AB 中点，又11//FF BB ，1124BB FF ∴==，由抛物线定义知：14BF BB ==，28AB BF ∴==.故选：C.二、多选题9．已知双曲线C ：22197y x -=，则下列选项中正确的是（）A ．C 的焦点坐标为()4,0±B ．C 的顶点坐标为()0,3±C ．C 的离心率为43D ．C 的焦点到渐近线的距离为3【正确答案】BC【分析】根据已知条件，可知双曲线的焦点在y 轴上，3a =，7b ，4c =，然后逐项判断双曲线的性质即可.对于D 项，根据点到直线的距离求出即可判断.【详解】由已知，双曲线的焦点在y 轴上，且29a =，27b =，则216c =，所以3a =，7b =，4c =.所以C 的焦点坐标为()0,4-、()0,4，故A 项错误；顶点坐标为()0,3、()0,3-，故B 项正确；离心率43c e a ==，所以C 项正确；730x -=730x +=，焦点()0,430x +==D 项错误.故选：BC.10．已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b = ，则下列结论正确的是（）A ．()2//a b a +B ．5a =C ．()56a a b⊥+D ．a与b 夹角的余弦值为6【正确答案】BC【分析】对于A ：利用空间向量平行的条件判定；对于B ：求出向量a ，b的模长判定；对于C ：向量垂直转化为数量积为0验证即可；对于D ：根据向量夹角公式计算.【详解】因为2(1,2,7)a b +=-，()2,1,1a =-- ，而127211-≠≠--，故A 不正确；因为|||a b =5a = ，故B 正确；因为2(56)565(411)6(645)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+++⨯--+=，故C 正确；又5a b ⋅=-，则cos ,6a b <=- ，故D 不正确．故选:BC ．11．已知圆22:6430C x y x y +-+-=，则下列说法正确的是（）A ．圆C 的半径为18B ．圆C 截x 轴所得的弦长为C ．圆C 与圆22:(6)(2)1E x y -+-=相外切D ．若圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，则实数m 的取值范围是()()19,2426,21⋃--【正确答案】BC【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径;根据点到弦的距离可求出弦长；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C 上有且仅有两点到直线的距离为1【详解】A ：将一般式配方可得：()()223216,4C x y r -++=∴=，A 错；B ：圆心到x 轴的距离为2，弦长为=B 对；C ：由题意4,1C E r r ==，5C E CE r r ===+，所以圆C 与圆E 外切，C 对；D ：圆C 上有且仅有两点到直线340x y m ++=的距离为1，d 表示圆心与直线的距离，11r d r ∴-<<+，则35<<，解之:()()14,2426,16m ∈⋃--，D 错；故选：BC.12．“太极图”是中国传统文化之一，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形2216x y +=，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是（）A ．黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界所在圆的方程为()2224x y +-=B ．直线780x y -+=与白色部分有公共点C ．点(),P x y 是黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点，则3x y -的最大值为4D ．过点()3,1M 作互相垂直的直线1l 、2l ，其中1l 与圆2216x y +=交于点A 、C ，2l 与圆2216x y +=交于点B 、D ，则四边形ABCD 面积的最大值是22【正确答案】ABD【分析】对于A ：确定它的圆心和半径可以确定答案；对于B ：只需考虑白色部分的圆心到直线的距离与其半径的大小可判断；对于C ：可用数形结合的思想解决；对于D ：运用弦长公式求出面积的表达式可得最值.【详解】对A ：圆心()0,2，半径为12r =，圆的方程为()2224x y +-=，A 对；对B ：分析易知，直线780x y -+=与白色部分是否有交点只需判断y 轴左侧部分即可，左侧为半圆，圆心()0,2-，半径为22r =，圆心()0,2-到直线780x y -+=的距离为2d =<，则直线780x y -+=与白色部分的y 轴左侧半圆相交，B 对；对C ：令3x y b -=，则b 为直线3y x b =-在y 轴上截距的相反数，故我们将()0,4-代入可得4b =，2=，所以，24b =>，故b 的最大值不是4，C 错；对D ：如图OE BD ⊥于,E OM OE t ==，BD ∴==,AC ==112222ABCD S AC BD ∴=⨯⨯=⨯=≤四边形，225,t OM =∴=≤D 对.故选：ABD.三、填空题13．已知方程221410x y k k+=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为___________.【正确答案】{4k k <或}10k >【分析】根据双曲线的22,x y 项的系数异号列不等式求解.【详解】方程221410x y k k+=--表示双曲线，则()()4100k k --<，解得4k <或10k >故{4k k <或}10k >14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352=S ，则579a a a ++=___________.【正确答案】12【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由等差数列知，11313713()13522a a S a ⋅+===，74a ∴=，579733412a a a a ∴++==⨯=.故1215．如图所示，高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为2cm 时，水面宽度为6cm ，当水面再上升2cm 时，水面宽度为______cm.【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线方程，代入点的坐标，求出抛物线方程，进而得到4y =时，x =±.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为22x py =，由题意得：点()3,2A 在抛物线上，所以49p =，解得：94p =，抛物线方程为292x y =，则当水面再上升2cm 时，即4y =时，故294182x =⨯=，解得：x =±故水面宽度为故答案为.四、双空题16．椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，这个圆称为该椭圆的“蒙日圆”，圆心是椭圆的中心．已知长方形R 的四条边均与椭圆22:163x y C +=相切，则C 的蒙日圆方程为_______________；R 的面积的最大值为_________________．【正确答案】229x y +=18【分析】设两条互相垂直的切线的交点为()00,P x y ，分为两切线存在斜率为0和斜率不为0两种情况讨论，斜率不为0时，设切线方程为00()(0)y y k x x k-=-≠.联立2222001()x y a by y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，利用Δ0=整理成关于k 的一元二次方程，利用两直线垂直斜率之积为1-，化简整理即可求解C 的蒙日圆方程；要使圆的内接四边形面积最大，即四边形为正方形时，结合面积公式即可求解.【详解】设两条互相垂直的切线的交点为()00,P x y ，当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P 的坐标是(,)a b ±，或(,)a b ±-.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P 的坐标是000(,)(,x y x a ≠±且0)y b ≠±，所以可设曲线C 的过点P 的切线方程是00()(0)y y k x x k -=-≠.由2222001()x y a b y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，得2222222220000()2()()0a k b x ka kx y x a kx y a b +--+--=，由其判别式的值为0，得222222200000()20(0)x a k x y k y b x a --+-=-≠，因为,PA PB k k （,PA PB k k 为过P 点互相垂直的两条直线的斜率）是这个关于k 的一元二次方程的两个根，所以220220PA PBy b k k x a -⋅=-，由此，得2222001PA PB k k x y a b ⋅=-⇔+=+，即C 的蒙日圆方程为：229x y +=；因为蒙日圆为长方形的外接圆，设3r OA ==，AOB θ∠=，则矩形面积公式为214sin 18sin 2S r θθ=⋅⋅=，显然sin 1θ=，即矩形四条边都相等，为正方形时，max 18S =.故229x y +=；18.五、解答题17．已知数列{}n a 满足111,32n n a a a +==+，证明{}1n a +为等比数列，并求{}n a 的通项公式.【正确答案】证明过程见详解，1231n n a -=⋅-.【分析】根据题意即可证明()1131n n a a ++=+，从而确定{1}n a +为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解{}n a 的通项公式.【详解】因为132n n a a +=+，所以()1131n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，则1123n n a -+=⋅，所以1231n n a -=⋅-18．已知点()3,1M ，及圆()()22124x y -+-=．（1）求过M 点的圆的切线方程；（2）若过M 点的直线与圆相交，截得的弦长为【正确答案】（1）3450x y --=或3x =；（2）1y =或43150x y +-=【分析】（1）当直线斜率不存在时可知与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为310kx y k --+=，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得k ，从而得到所求切线方程；（2）由（1）知直线斜率必存在，设直线方程为310kx y k --+=，根据垂径定理可知圆心到直线距离1d =，从而构造出方程求得k ，进而得到所求直线方程.【详解】（1）当直线斜率不存在时，方程为：3x =，与圆相切；当直线斜率存在时，设方程为：()13y k x -=-，即310kx y k --+=∴圆心到直线距离2d ==，解得：34k =∴切线方程为：35044x y --=，即3450x y --=综上所述：过M 的切线方程为：3450x y --=或3x =（2）由（1）知，过M 直线与圆相交，则直线斜率必存在设直线方程为：()13y k x -=-，即310kx y k --+=∴圆心到直线距离d =又相交弦长为2，则=1d ==解得：0k =或43-∴所求直线方程为：1y =或43150x y +-=本题考查圆的切线方程的求解、根据直线与圆相交所得弦长求解直线方程的问题；关键是能够熟练应用圆心到直线的距离构造方程求得结果，属于常考题型.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD，2,PA AD BD ===(1)求二面角P CD B --余弦值的大小：(2)求点C 到平面PBD 的距离．【正确答案】(1)2(2)3【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量求解即可；（2）求出平面PBD 的法向量，再求出平面的斜线PC 所在的向量PC ，然后求出PC在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示：由2,PA AD BD ===()()()0,0,0,0,0,2,0,2,0A P D ，在Rt BAD 中,2AD =,BD =,所以2AB =，所以()2,0,0B ,()2,2,0C ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA为平面BCD 的一个法向量，且()0,0,2PA =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c = ，则022202200n PC n PC a b c b c n PD n PD ⎧⎧⊥⋅=+-=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⊥⋅=⎩⎪⎪⎩⎩，取11,0b c a =⇒==，所以()0,1,1n =，设二面角P CD B --的大小为θ，由图可知θ为锐角，所以2c s o PA n PA nθ⋅===⋅，故二面角P CD B --余弦值的大小为2.（2）由（1）题得()2,0,2PB =- ,()0,2,2PD =-,设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =，则00m PB m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x z y z -=⎧⎨-=⎩，取1x =，故()1,1,1m = ，又()2,2,2PC =-，所以C 到平面PBD 的距离为.3m PC d m ⋅==20．有下列3个条件：①382a a +=-；②728S =-；③2a ，4a ，5a 成等比数列.从中任选1个，补充到下面的问题中并解答问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*12N n n n S S a n +=++∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)n S 的最小值并指明相应的n 的值．【正确答案】(1)212n a n =-；(2)n =5或者6时，n S 取到最小值30-.【分析】（1）由已知可得12n n a a +-=，则{}n a 是公差为2的等差数列，若选①，则由382a a +=-列方程可求出1a ，从而可求出通项公式；若选②，则由728S =-列方程可求出1a ，从而可求出通项公式；若选③，则由2a ，4a ，5a 成等比数列可得()2425a a a =，由此可求出1a ，从而可求出通项公式；（2）由（1）可得22111211124n S n n n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，再由二次函数的性质可求出其最小值.【详解】（1）因为12n n n S S a +=++,所以12n n a a +-=，即{}n a 是公差为2的等差数列，选择条件①：因为382a a +=-，所以1292a d +=-，则12922a +⨯=-，解得110a =-，所以212n a n =-；选择条件②：因为728S =-，所以1767282a d ⨯+=-，解得110a =-，所以212n a n =-；选择条件③：因为2a ，4a ，5a 成等比数列，所以()2425a a a =，即2111(3)()(4)a d a d a d +=++，解得110a =-，所以212n a n =-；（2）由（1）可知110a =-，2d =，所以22(1)1112110211224n n n S n n n n -⎛⎫=-+⨯=-=--⎪⎝⎭，因为*N n ∈，所以当5n =或者6时，n S 取到最小值，即min )0(3n S =-21．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为正方形，AB =BC =2，且AB BC ⊥，E ，F 分别为AC 和CC 1的中点，D 为棱11A B 上的点．(1)证明：BF DE ⊥；(2)在棱A 1B 1上是否存在一点M ，使得异面直线MF 与AC 所成的角为30°？若存在，指出M 的位置；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在；M 是A 1B 1中点【分析】(1)以B 为原点建立空间直角坐标系，证得0BF DE ⋅=即可得出结论.(2)先设出M 的坐标，利用空间向量求异面直线夹角公式可以解得M 的位置.【详解】（1）证明：由直三棱柱ABC -A 1B 1C 1可得1BB ⊥平面ABC ，且AB BC ⊥，故以B 为原点，BA ，BC ，1BB 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B ，(0,2,1)F ，(1,1,0)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，设1B D m =，且[0,2]m ∈，则(,0,2)D m ，∴(0,2,1)BF = ，(1,1,2)DE m =-- ，由220BF DE ⋅=-=，∴BF DE ⊥（2）可设1B M n =，且[0,2]n ∈，则(,0,2)M n ，(,2,1)MF n =--，(2,2,0)=- AC ，由异面直线MF 与AC 所成的角为30°可得cos ,MF AC = 整理得2870n n -+=，即1n =或7n =（舍），所以存在点M ，M 是A 1B 1中点.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上一点P 到两个焦点的距离之和为4，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()4,0D -的直线与椭圆交于A 、B 两点，1F 为左焦点，记直线1AF 的斜率为1AF k ，直线1BF 的斜率为1BF k ，求证：110AF BF k k =+．【正确答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题意可知，椭圆长轴24a =，再由离心率可计算得23b =，即得椭圆方程；（2）设出直线AD 的方程，与椭圆方程联立，分别写出11,AF BF k k 的表达式，结合韦达定理即可证明.【详解】（1）由题意得2412a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩则21a c =⎧⎨=⎩，故2223b a c =-=，所以，椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）如下图示所示：由题意可知，直线斜率必然存在，设AD 为()4y k x =+，()(),,,A A B B A x y B x y ，且()11,0F -，联立直线和椭圆方程并整理得：()2222343264120k x k x k +++-=，所以223234A B k x x k +=-+，22623144A B k x x k -=+，且()2144140k ∆=->，即1122k -<<，而()()11441111A B A B AF BF A B A B k x k x y yk k x x x x +++=+=+++++()()2581A B A B A B A B k x x x x x x x x +++⎡⎤⎣⎦=+++，又()2222221281246032258034342434A B A B k k k x x x x k k k -++++=-+=+++，所以110AF BF k k =+,得证.。
福建省福州三中2011-2012学年高二下学期期中考试数学(理)试题(扫描版).pdf
2014中考物理复习知识点练习--选择题5 1．下列实验现象的相关解释正确的是 A．甲图中，纸片会靠拢，是因为吹气时两纸片间气体流速增大，压强减小 B．乙图中，滚摆上升时，滚摆的势能转化为滚摆的动能 C．丙图中，右指感觉疼，是因为右指受到的压力更大 D．丁图中，罩内传出的铃声逐渐减弱，说明电铃振动逐渐变弱 2、天平、刻度尺、温度计、电压表是我们实验中常用的基本测量仪器。
如图6所示，图中表示的是一些同学对这四种仪器的操作和使用情况，其中不正确的是 A 3．学生的校园生活中有很多物理现象，下列描述正确的是 A．近视眼镜利用了凹透镜对光的会聚作用 B．冬季用暖气取暖是通过热传递方式改变物体内能的 C．看见校服呈蓝色，是因为校服吸收了蓝色的光 D．饮水机上的指示灯是发光二极管，它利用半导体材料制成 4．关于运动项目中所涉及的物理知识，下列分析正确的是 A．骑自行车刹车时，不能马上停下来，是因为人和车具有惯性 B．滑雪时，人从高处自由滑下，速度越来越快，是因为重力势能转化为动能 C．人登上较高的山顶时，会感觉不适，是因为山顶气压大于山脚下的气压 D．人潜入较深的水中时，必须穿潜水服，是因为液体压强随深度增加而增大 5．通过直接感知的现象，推测无法直接感知的事实，是常用的物理方法。
下列根据现象所作出的推测符合事实的是 A．扩散现象 推测 分子是运动的 B．电路中的灯泡发光 推测 电路中有电流 C．小磁针放在磁体旁受力偏转 推测 磁体周围有磁场 D．街边的路灯同时亮、灭 推测 路灯是串联的 6.下面有关安全教育的说法或解释正确的是 Ａ.发生雷电时，不能在高大的建筑物下躲避，而可以在树下躲避 Ｂ.一旦发生电火灾应先打开消防栓用水灭火，再切断电源 Ｃ.在火车站或地铁站的站台边，有１m的安全警戒线，应用的原理是气体的流速与压强的关系 Ｄ.坐在行驶的汽车前排的人要系上安全带，是为了减小刹车时人的惯性 7、下列与汽车有关的说法正确的是 A、所用燃料是汽油，它是一种可再生能源 B、加油时，能闻到汽油是扩散现象 C、汽油机在做功冲程中，机械能转化为内能 D、急刹车时，车胎表面温度升高是由于热传递造成的 8．从1929年英国广播公司开始首次播放电视节目至今，电视的发展记载着人类科技文明的不断进步，电视使地球“变小”了。
2024年福建省福州三中物理高二上期末教学质量检测试题含解析
B.a点的电势比b点的高
C.c点的电场强度比d点的大
D.c点的电势比d点的低
8、远距离输电装置如图所示，升压变压器和降压变压器均为理想变压器，当k由2改接为1时，下列说法正确的是（ ）
A.电压表读数增大
B.电流表读数增大
C.电流表读数减小
D.输电线上损失的功率减小
9、如图所示，D是一只理想二极管，水平放置的平行板电容器AB内部原有带电微粒P处于静止状态．下列措施下，关于P的运动情况的说法正确的是()
(2)在“测定电源的电动势和内阻”的实验中，已连接好部分实验电路。
①按如图甲所示的实验电路，把图乙中剩余的电路连接起来_______；
②在如图乙所示的电路中，为避免烧坏电表，闭合开关前，滑动变阻器的滑片应置于________端（填“A”或“B”）；
③图丙是根据实验数据作出的U—I图象，由图可知，电源的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω；
【题目详解】由图看出，AC段电场线比BC段电场线密，则AC段场强最大，根据公式U=Ed可知，AC间电势差UAC大于BC间电势差UCB，所以UAC＞ UAB＝25V，即φA-φC＞25V，又φA=30V，可知φC＜5V．故C正确，AB错误．而负电荷在电势低处，电势能较大，故D错误；故选C
2、CD
【解题分析】若两小球电性相同，两个完全相同的金属小球，将它们相互接触再分开，带电量先中和后平分，设金属球A和B带电量为Q，7Q，所以A、B所带的电荷相等都为4Q，根据库仑定律得
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）若保持B的大小不变而将方向改为垂直于斜面向上，求金属杆的加速度
参考答案
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
第三中学11—12学年上学期高二期末考试数学(文)(无答案)
内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学11—12学年上学期 高二期末考试数学（文）3、若函数c bx ax x x f ++-=23)(的导函数为偶函数，则a 的值为（ ）A 、-1B 、1C 、0D 、24、（普通文科做）已知i 为虚数单位，则2012i 的值为（ ）A 、iB 、i -C 、-1D 、14、（文科实验做）已知i 为虚数单位，则2012)1(i +的值为（ ）A 、20122B 、20122-C 、10062D 、10062-5、O 、A 、B 、C 为空间四个点，又→OA 、→OB 、→OC 为空间的一个基底，则下列选项中错误的为（ ）A 、O 、A 、B 、C 四点不共线 B 、O 、A 、B 、C 四点共面但不共线C 、O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线D 、O 、A 、B 、C 四点不共面6、已知椭圆的长轴为短轴的2倍，焦点在x 轴上，且过点)22,2(，则该椭圆的标准方程为（ ） A 、12822=+y x B 、1422=+y x C 、141622=+y x D 、1422=+y x 7、已知双曲线过点)3,4(-，)230,5(，则该双曲线的标准方程为（ ）A 、14822=-y xB 、16922=-y xC 、151022=-y xD 、151022=-x y 8、已知)3,1,2(-=a ，),2,4(x b -= ，且b a ⊥，则x 的值为（ ）A 、310 B 、53 C 、95 D 、103 9、如图，空间四边形OABC 中，a OA =→，b OB =→，c OC =→，点M 在OA 上，且OM=2MA ，点N 为BC 的中点，则→MN 为（ ） A 、c b a 213221+- B 、c b a 212132++- C 、c b a 212121-+ D 、c b a 213232-+ 10、（普通文科做）已知xx x f 4)(+=，则)(x f 的单调递增区间为（ ）A 、]2,(--∞B 、），∞+2[C 、），与∞+--∞2[]2,( D 、），∞+⋃--∞2[]2,( 10、（文科实验做）已知)0,12,1(--=t t a ，),,2(t t b = ，则||a b -的最小值为（ ）A 、5B 、6C 、2D 、311、已知x x x f cos sin )(+=，则在)2,0[π内)(x f 的单调递减区间为（ ） A 、)4,0[π B 、)45,4(ππ C 、)23,45(ππ D 、)2,45(ππ 12、设)0)(()(2≠++=c c bx ax x x f 在1±=x 处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是（ ）A 、 (a,b)B 、(a,c)C 、(b,c)D 、(a+b,c+b)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
最新福建省福州市高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)
福建省福州市高二数学上学期期末考试试题 理（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1、已知复数3i1iz +=-，其中为i 虚数单位，则复数的共轭复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、双曲线221102x y -=的焦距为 （ ）A ．．．．3、若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．2=xB ．4=xC ．2-=xD ．4-=y4、条件p ：,2>x 3>y ，条件q ：5>+y x ，6>xy ，则条件p 是条件q 的（ ） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．即不充分也不必要条件 D ．充要条件5、在等差数列{}n a 中，24=a ，且651021=+++a a a ，则公差d 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．26、已知R m ∈，若复数i m m m m z )152()65(22--+++= 为纯虚数，则m 为（ ） A ．3- B ．3-2或- C ．2- D ．57、下列命题错误．．的是： （ ） A ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实 数根，则0≤m ”；B ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；C ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件；D ．若q p ∨为真命题，则q p ,至少有一个为真命题。
8、设椭圆的标准方程为22135x y k k+=--，其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（ ） A ．54<<k B ．53<<k C ．3>k D ．43<<k 9、ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形10、过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=11、如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）A ．220n +B ．20n +C ．210n +D ．10n +12、斜率为2的直线l 过双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．e >5B ．1<e <3C ．1<e <5D ．e <2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年福建省福州市三山中学高二数学理期末试题含解析
2021年福建省福州市三山中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数a、b、c的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选 D2. 双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为A．B．C．D．参考答案：A3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）．A．B．C．D．参考答案：A作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，所以在原图形中对应的线段平行于轴且长度不变，点和在原图形中对应的点和的纵坐标是的倍，则，所以．故选．4. 采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的机率为( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】等可能事件的概率；简单随机抽样．【专题】概率与统计．【分析】方法一：可按照排列的意义去抽取，再利用等可能事件的概率计算即可．方法二：可以只考虑第三次抽取的情况．【解答】解：方法一：前两次是从去掉a以外的9个个体中依次任意抽取的两个个体有种方法，第三次抽取个体a只有一种方法，第四次从剩下的7个个体中任意抽取一个可有种方法；而从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本，可有种方法．∴要求的概率P==．方法二：可以只考虑第三次抽取的情况：个体a第三次被抽到只有一种方法，而第三次从含10个个体的总体中抽取一个个体可有10种方法，因此所求的概率P=．故选A．【点评】正确计算出：个体a前两次未被抽到而第三次被抽到的方法和从含10个个体的总体中依次抽取一个容量为4的样本的方法是解题的关键．5. 数列{a n}的通项，其前n项和为S n，则S30为()A．470 B．490 C．495D．510参考答案：A6. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交曲线右支于点，若．则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：C7. 已知不同直线a，b，l，不同平面α，β，γ，则下列命题正确的是（）A．若a⊥l，b⊥l，则a∥b B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若β⊥γ，b⊥γ，则b∥βD．若α⊥l，β⊥l，则α∥β参考答案：D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；空间位置关系与距离．【分析】对四个选项进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a⊥l，b⊥l，则a，b平行、相交或异面，不正确；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系；对于C，若β⊥γ，b⊥γ，则b∥β或b?β，不正确；对于D，垂直于同一直线的两个平面平行，正确．故选：D．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题．8. 设实数满足，则的取值范围是（）(A) (B) (C) (D)参考答案：A9. 若直线和x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内做等边△ABC ，如果在第一象限内有一点使得△ABP和△ABC的面积相等，则m的值为A. B. C. D.参考答案：C10. 关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0有两个不相等正根的充要条件是（）A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜0 C．a＜0 D．0＜a＜1参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0有两个不相等正根的充要条件是：，解出即可得出．【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0有两个不相等正根的充要条件是：，解得﹣1＜a＜0．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 以棱长为1的正方体的各个面的中心为顶点的几何体的体积为__________。
福建省福州三中高二上学期半期考试(数学理)答案不全.doc
福建省福州三中高二上学期半期考试（数学理）本试卷分第I 卷（模块考试）和第II 卷（能力考试）两部分，共150分，考试时间1。
第I 卷（模块考试卷，共100分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若a>b,则不等式成立的是（ ）A ．a+c<b+cB ．b-a<0C ．ba 11< D ．1>b a2．已知等差数列}{n a ，若124a a +=，3416a a +=，则该数列的公差为 （ ）A ．2B ．3C ．6D ．73．一元二次不等式022<--x x 的解集为（ ）A ．{}21|<<-x xB ．{}21|>-<x x x 或C ． {}12|<<-x xD ．{}12|>-<x x x 或4．数列Λ11,22,5,2,则52是该数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第10项D ．第11项 5．在ABC ∆中，已知a=8,B=60,C=75,则b= （ ） A ．42B ．43C ．46D ．332 6．已知等比数列{}n a 中，44=a 则62a a ⋅等于 （ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 7．在△ABC 中，若23a=bsinA ，则B 为（ ） A ．323ππ或B ． 6πC ．3πD ．656ππ或-8．在等差数列{}n a 中，若,1264=+a a n S 是数列{}n a 的前n 项和,则9S 的值为 （ ） A ．48B ．54C ． 60D ．669．在△ABC 中，已知ab c b a 2222+=+，则角C= （ ） A ．30°B ．150°C ．135°D ．45°10．已知点P ）（00,y x 和点A （2,3）在直线l ：x+4y-6=0的异侧，则（ ）A ．0400>+y xB ．0400<+y xC ．6400<+y xD ．6400>+y x 11．在下列函数中，最小值是2的是（ ）A ．xx y 55+=B ．)101(lg 1lg <<+=x xx y C ．)(33R x y xx∈+=-D ．)20(sin 2sin π<<+=x x x y 12．将连续)3(2≥n n 个正整数填入n n ⨯方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方数阵。
2023-2024学年福建省福州市高二上册期末质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省福州市高二上册期末质量检测数学试题一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，23427a a a =，624a =，则公比q =（）A ．－2B ．2C ．3D ．2或－2【正确答案】B【分析】由23427a a a =可得33a =，即可求出公比.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为{}n a 为等比数列，所以3234327a a a a ==，所以33a =，所以3638a q a ==，解得2q =．故选：B ．2．如果直线220++=ax y 与直线320x y --=互相垂直，那么实数=a （）A ．23B ．23-C ．32D ．6【正确答案】A【分析】通过两条直线的垂直，利用斜率乘积为1-，即可求解a 的值.【详解】解：因为直线220++=ax y 与直线320x y --=互相垂直，所以312a-⨯=-，解得23a =.故选：A.3．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．112【正确答案】A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案.【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =．记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BA l ^于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+= ，当且仅当P 为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.4．若等差数列的首项是24-，且从第10项开始大于0，则公差d 的取值范围是（）A ．8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(),3-∞C ．8,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．8,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【正确答案】D【分析】直接写出等差数列的通项公式，由90a且100a >联立不等式组求得公差d 的取值范围．【详解】解： 等差数列的首项是24-，则等差数列的通项公式为24(1)n a n d =-+-，要使从第10项开始为正，则由10924902480a d a d =-+>⎧⎨=-+⎩ ，解得：833d < ．故选：D ．5．在正四面体ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，若AB a=，AC b = ，AD c = ，则BF =（）A ．1122a b c-+ B ．1144a b c+-C ．1144a b c-++ D ．1144a b c-+【正确答案】C【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意得，()1111122244BF BA AF AB AE AB AD AC AB AC AD =+=-+=-+⨯+=-++ 1144a b c =-++ ．故选：C ．6．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点M 是过坐标原点O 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=-则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C 1D【正确答案】C【分析】由1212MF MF MF MF +=- 得到120MF MF ⋅=，12MF MF ⊥ ，结合260MOF ∠=︒，求出2MF c =，12tan 60MF MF =⋅︒=，利用双曲线定义得到方程，求出离心率.【详解】不妨设点M 在第一象限，由题意得：221212MF MF MF MF +=- ，即11221221222222MF MF MF MF MF MF MF MF +⋅+=-⋅+ ，故120MF MF ⋅=，故12MF MF ⊥ ，因为O 为12F F 的中点，所以21MO OF OF ==，因为260MOF ∠=︒，故2MOF 为等边三角形，故2MF c =，12tan 60MF MF =⋅︒=，由双曲线定义可知：122MF MF a -=，2c a -=，解得.1c a ==故选：C.7．图①是程阳永济桥又名“风雨桥”，因为行人过往能够躲避风雨而得名．已知程阳永济桥上的塔从上往下看，其边界构成的曲线可以看作正六边形结构，如图②所示，且各层的六边形的边长均为整数，从内往外依次成等差数列，若这四层六边形的周长之和为156，且图②，则最外层六边形的周长为（）A ．30B ．42C ．48D ．54【正确答案】C【分析】设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为1a ，2a ，3a ，4a 成等差数列，这四层六边形的周长之和为156，由()12346156 a a a a +++=得到1,a d 的关系，再根据阴影部分，由()22216S a a =-=得到1,a d 的关系联立求解.【详解】设该图形中各层的六边形边长从内向外依次为1a ，2a ，3a ，4a 成等差数列，由题意得()12346156 a a a a +++=，即123426a a a a +++=，所以12313a d +=，因为阴影部分的面积()222164S a a =⨯-=，所以21211a d d +=，联立得151a d =⎧⎨=⎩或174112a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（不合题意舍），故4138a a d =+=，所以最外层六边形的周长为48．故选：C ．8．设()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“||,||,||AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（）A ．充要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据给定条件，求出点F 的坐标，线段||,||,||AF BF CF 长，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】椭圆221259x y +=右焦点的(4,0)，因点()11,A x y 在此椭圆上，155x -≤≤，22119925x y =-，则14||55AF x =-，同理24||55CF x =-，而9||5BF =，1212441845)(5)(8)55||||2||(55x x x CF B x AF F -+--=--+-=，于是得12||||2||08AF CF BF x x +-=⇔=+，所以“||,||,||AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的充要条件.故选：A二、多选题9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且91011S S S =<，则（）A ．0d <B ．100a =C ．150S <D ．89S S >【正确答案】BCD【分析】先求出100a =，110a >，判断出0d >，得到等差数列{}n a 为递增数列，利用等差数列的性质对四个选项一一验证.【详解】因为91011S S S =<，所以101090a S S =-=，1111100a S S =->，所以11100d a a =->.故A 错误，B 正确；因为0d >，所以等差数列{}n a 为递增数列.因为100a =，所以8102020a a d d =-=-<，91000a a d d =-=-<，所以()15181515152022a a a S +⨯==<.故C 正确；因为9890S S a -=<，所以89S S >.故D 正确.故选：BCD10．已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【正确答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l 的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r ，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r ，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2d r ，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r =，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,...称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1,4,9,16,...称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（）A ．621a =B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．1231111 (1)n n a a a a n ++++=+D ．*,2m m ∀∈≥N ，总存在*,p q ∈N ，使得m p q b a a =+成立【正确答案】ABD【分析】利用等差数列求和，分别求出{}n a ，{}n b ，进而结合裂项求和法逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】三角形数构成数列{}:1,12,123,1234,...n a ++++++，易得()112 (2)n n n a n +=+++=；正方形数构成数列{}:1,13,135n b +++，1357,...+++，易得()212113 (212)n n n n n b +-=+++-=；对于A ：621a =，故A 正确；对于B ：令212252n n n a +==，解得49n =；令21225n b n ==，解得35n =.故B 正确；对于C ：∵()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴123111112 (2111)n n a a a a n n ⎛⎫++++=-= ⎪++⎝⎭，故C 错误；对于D ：取,1p m q m ==-，且*,2m m ∈≥N ，则()()21122m m m m m +-=+，即1m m m b a a -=+，故*,2m m ∀∈≥N ，总存在*,p q ∈N ，使得m p q b a a =+成立，故D 正确.故选：ABD.12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1,,AB BC CC 的中点，点P 在线段11B D 上，//BP 平面EFG ，则（）A ．1D C 与EF 所成角为60︒B ．点P 为线段11B D 的中点C ．三棱锥P EFG -的体积为12D ．平面EFG 截正方体所得截面的面积为【正确答案】ABD【分析】以A 为原点，AB，AD ，1AA 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解，判断选项A 、B ；对于C ，利用等体积法求出三棱锥P EFG -的体积；对于D ：先判断出平面EFG 截正方体所得截面为正六边形EFGHIJ .直接求体积.【详解】以A 为原点，AB，AD ，1AA 为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,0,0,A ()2,0,0,B ()2,2,0,C ()0,2,0,D ()10,0,2,A ()12,0,2,B ()12,2,2,C ()10,2,2,D ()1,0,0,E ()2,1,0,F ()2,2,1G .则()10,0,2,BB = ()112,2,0,B D =- ()()12,0,2,1,1,0,D C F E -== ()0,1,1FG =.对于A ：设1D C 与EF 所成角为θ，则1111cos cos 241,0410D C F D C F D C FE E E θ===+⋅=+⨯+⨯+，且π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3θ=.故A 正确；对于B ：点P 在线段11B D 上，可设111,01B P B D λλ=≤≤ ，所以()12,2,0B P λλ=-，所以()112,2,2BP BB B P λλ=+=-.设(),,n x y z = 为面EFG 的一个法向量，所以()00,,00n FG y z n x y z n EF x y ⎧⋅=++=⎪=⎨⋅=++=⎪⎩ ，不妨设1x =，则()1,1,1n =-.因为//BP 平面EFG ，所以2220n BP λλ⋅=--+= ，解得.12λ=所以11112B P B D =.即点P 为线段11B D 的中点.故B 正确.对于C ：因为//BP 平面EFG ，所以点,B P 到平面EFG 的距离相等.所以11111113326P EFG B EFG G BEF BEFV V V SCG ---===⨯=⨯⨯⨯⨯=.故C 错误.对于D ：分别取11C D ，11A D ，1AA 的中点为,,H I J ，连接1,,,,,GH HI IJ JE JG A B .在正方体1111ABCD A B C D -中，//,//,AC JG AC EF 所以//,JG EF 所以,,,E F G J 四点共面.同理可证：,,,,,E F G J H I 共面.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，所以22112=+=EF 同理可求.2FG GH HI IJ JE =====所以平面EFG 截正方体所得截面为正六边形EFGHIJ 2.面积为1622sin 60332⨯︒=故D 正确.故选：ABD三、填空题13．已知向量()0,2,2a =-，向量)6,3,1b =，则向量a 在向量b方向上的投影为____________．【正确答案】1-【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.【详解】因为()0,2,2a =-，)6,3,1b =，所以()0623214a b ⋅=-⨯+⨯=-，22a = 4b = ，所以向量a 在b方向上的投影数量为4cos ,14a b a b a a b a a b b⋅⋅-⋅=⋅===-⋅.故答案为.1-14．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，121916a a =，则28223log log a a +=___________.【正确答案】4【分析】由条件，结合等比数列性质可得82316a a =，再对数运算性质求28223log log a a +即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，所以3122198a a a a =，又121916a a =，所以82316a a =，所以2822328234log log log a a a a ==+，故4.15．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过坐标原点的直线交E 于P ，Q 两点，且22PF F Q ⊥，且2212PF Q S a =，228PF F Q +=，则E 的标准方程为__________.【正确答案】221168x y +=【分析】首先证明四边形12PFQF 为矩形，设12,PF m PF n ==，得到方程组22222841122m n a m n c mn a ⎧⎪+==⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解出即可.【详解】连接11,PF QF ，因为12,OP OQ OF OF ==，所以四边形12PFQF 是平行四边形，所以12PF F Q =，21PF QF =，又22PF F Q ⊥ ，所以四边形12PFQF 为矩形，设12,PF m PF n==则由题意得22222841122m n a m n c mn a⎧⎪+==⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩则2228b a c =-=，则标准方程为221168x y +=，故答案为.221168x y +=四、双空题16．如图，在平面直角坐标系中一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,i n =⋯⋯．且,i i x y Z ∈．记n n n a x y =+，如1(1,0)A 记为11a =，2(1,1)A -记为20a =，以此类推．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2024a =______；2022S =______．【正确答案】4487-【分析】由题意推得第n 圈8n 个点对应的这8n 项的和为0，从而得n 圈所有点对应的项的和为0，判断出前22圈共有2024个数，可得20240S =，从而确定2024a 所在点的坐标为(22,22)，则可求得2024a ，再求得2023a ，即可求得2022S .【详解】由题意，第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点，由对称性可知81280S a a a =+++= ；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点，由对称性可知248910240S S a a a -=+++= ，即240S =，以此类推，可得第n 圈8n 个点对应的这8n 项的和为0，即n 圈所有点对应的项的和2(1)44820n n n n S S ++⨯==，设2024a 在第k 圈，则(88)81684(1)2k kk k k ++++==+ ，由此可知前22圈共有2024个数，故20240S =，则()2022202420242023S S a a =-+，2024a 所在点的坐标为(22,22)，则2024222244a =+=，2023a 所在点的坐标为(21,22)，则2023212243a =+=，故()20222024202420230(4443)87S S a a =-+=-+=-故44;87-五、解答题17．已知直线l ：()()22140m x m y m +-++-=，圆C .224680x y x y +--+=(1)求证：直线l 恒过定点，并求出定点坐标；(2)若直线l 的倾斜角为45°，求直线l 被圆C 截得的弦长.【正确答案】(1)证明见解析，()3,2.(2)【分析】对于（1），将()()22140m x m y m +-++-=化为()21240m x y x y -++--=即可得答案；对于（2），由（1）结合题意可得l 方程，求得l 到圆C 圆心距离，结合圆半径可得答案.【详解】（1）l ：()21240m x y x y -++--=，联立210,240,x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得3,2,x y =⎧⎨=⎩故直线l 恒过定点()3,2.（2）由题意直线l 的斜率2121m k m +==+，得1m =，∴l ：10x y --=圆C ：()()22235x y -+-=，圆心()2,3C ，半径r =，圆心C 到直线l 的距离d ==所以直线l 被圆C 所截得的弦长为=18．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足1325162,12,4,a S b b a ====．(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)将数列{}n a 中与数列{}n b 相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求100T ．【正确答案】(1)2n a n =，2nn b =;(2)11302.【分析】（1）利用基本量代换列方程组分别求出公差和公比，即可求出{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）判断出公共项，利用公式法求和.【详解】（1）设正项等差数列{}n a 的公差为d .因为132,12,a S ==所以()()111122a a a d d ++=++，解得：2d =，所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.设正项等比数列{}n b 的公比为q .因为25164,b b a ==所以21451432b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得：122b q =⎧⎨=⎩，所以112n nn b b q -==.（2）根据（1）的结论，所以数列{}n b 的前8项依次为：2、4、8、16、3264、128、256，对应数列{}n a 第1、2、4、8、16、32、64、128项，故数列{}n c 的前100项为数列{}n a 的前107项，剔除数列{}n b 的前7项的数列.设数列{}n b 的前n 项和为Bn ，所以710010772(1107)1072(21)11302221T S B ⨯+⨯⨯-=-=-=-.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，1n n Sn a n+=+．(1)求证：数列{}n a 为等差数列；(2)设13n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)证明见解析(2)3nn T n =⋅【分析】（1）易得2n n S na n n =-+，再利用通项和前n 项和的关系求解；（2）易得()1213n n b n -⋅=+，再利用错位相减法求解.【详解】（1）解：∵1nn S n a n+=+，∴2n n S na n n =-+，当2n ≥时，()()()()2211111n n n n n a S S na n n n a n n --⎡⎤=-=-+----+-⎣⎦，()()1121n n na n a n -=----，∴()()()11121n n n a n a n ----=-，∵10n -≠，∴()122n n a a n --=≥，∴数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列．（2）由（1）得()32121n a n n =+-=+，∴()1213n n b n -⋅=+，∴()0121335373213n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，则()()12313335373213213n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-++，两式相减得()12312323232323213n nn T n --=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-+，()()1313322132313n n n n n --=+⨯-+=-⋅-，∴3nn T n =⋅．20．如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为正方形，二面角S AB D --为直二面角，SAB SBA ∠=∠，点M 为棱AD 的中点．(1)求证：SD MC ⊥；(2)若SA AB =，点N 是线段BD 上靠近B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析；【分析】（1）取AB 的中点O ,连接,SO DO .证明出MC ⊥平面SOD ，即可得到SD MC ⊥；（2）取CD 的中点G ,连接OG .由（1）可知,,OB OS OG 两两垂直.以O 为坐标原点,,,OB OG OS所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】（1）取AB 的中点O ,连接,SO DO .因为SAB SBA ∠=∠,所以SA SB =,所以SO AB ⊥.又二面角S AB D --为直二面角,所以SO ⊥平面ABCD .因为MC ⊂平面ABCD ，所以SO MC ⊥.在正方形ABCD 中,,O M 分别为,AB AD 的中点,所以△DAO ≌△CDM ,所以ODM MCD ∠=∠.又90MCD DMC ∠+∠=︒,所以90ODM DMC +∠=︒∠,所以MC DO ⊥.因为OD OS O = ,OD ⊂平面SOD ,OS ⊂平面SOD ,所以MC ⊥平面SOD .又SD平面SOD ,所以MC SD ⊥.（2）取CD 的中点G ,连接OG .由（1）可知,,OB OS OG 两两垂直.以O 为坐标原点,,,OB OG OS所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设2,AB =则()()(()()1,0,0,1,0,0,,1,1,0,1,2,0A B S M D ---.所以((()()1,1,,,2,2,0,2,1,0SM AS BD BM =-==-=-.则12241,,0,,,0.33333BN BD MN BN BM ⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面SMN 的一个法向量(),,n x y z = .则041033n SM x y n MN x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，不妨设1,y =则1.4n ⎛= ⎝⎭设直线SA 与平面SMN 所成角为θ，则1|101|4sin cos ,AS n AS n AS nθ⨯+⨯⋅==⨯所以直线SA 与平面SMN 21．若椭圆2222:1,(0)x y E a b a b+=>>过抛物线24x y =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点．(1)求椭圆E 的方程；(2)不过原点O 的直线:l y x m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，求ABO 面积的最大值以及此时直线l 的方程．【正确答案】(1)2213x y+=(2)ABO l 的方程为y x =【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的,,a b c 的关系求解；(2)利用韦达定理求出弦长AB ，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.【详解】（1）抛物线24x y =的焦点为(0,1)，所以1b =，因为双曲线221x y -=的焦点坐标为()),，所以222a b -=则23a =，所以椭圆E 的方程为2213x y +=.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2246330x mx m ++-=，因为直线:l y x m =+与椭圆E 交于A 、B 两点，所以223616(33)0m m ∆=-->解得24m <，由韦达定理可得21212333,24m m x x x x -+=-=，由弦长公式可得AB =点O 到直线l的距离为d所以11||||22OAB S d AB m =⋅⋅=⨯⨯△1,4=当且仅当22m =即m =时取得等号，所以ABCl的方程为y x =22．设以ABC 的边AB 为长轴且过点C 的椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>椭圆Γ的离心率12e =，ABC面积的最大值为AC 和BC 所在的直线分别与直线:4l x =相交于点M ，N .（1）求椭圆Γ的方程；（2）设ABC 与CMN 的外接圆的面积分别为1S ，2S ，求21S S 的最小值.【正确答案】（1）22143x y +=；（2）94.【分析】（1）运用椭圆的离心率公式、三角形面积公式和,,a b c 的关系，可得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设()00,C x y ()00y ≠，将直线AC 、直线BC 分别与直线:4l x =，求出M 、N 的坐标，可得0020444y x MN x ⋅-=-；设ACB α∠=，1r ，2r 分别为ABC 和CMN 外接圆的半径，利用正弦定理可得12sin ABr α=，22sin MNr α=，可求的()2022104344x S S x -=⋅-，再利用二次函数的性质，即可求出结果.【详解】（1）依题意：2221,2122c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩椭圆Γ的方程为22143x y +=.（2）设()00,C x y ()00y ≠，则2200143x y +=，()2,0A -，()2,0B .直线002:2y x AC y x +=+与直线:4l x =联立得0064,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭.直线002:2y x BC y x -=-与直线:4l x =联立得0024,2y N x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭.000020004462224y x y y MN x x x ⋅-=-=+--.设ACB α∠=，1r ，2r 分别为ABC 和CMN 外接圆的半径，在ABC 中12sin AB r α=，所以12sin AB r α=.在CMN 中()22sin MN r πα=-，所以22sin MN r α=，()()()()22002222220022222211016444164y x xMNy x S rS r AB x ππ⋅---====-.又()2200344y x =-，所以()()()()2220002222100344434444x x x S S x x ---==⋅--.令04t x =-，而022x -<<，所以26t <<.()2222221333144812444111281S t t S t t t t t =⋅=⋅=⋅-+---⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23141111233t =⋅⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.所以3t =，即01x =时，21S S 取得最小值，最小值为94.本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查了考生综合分析问题和基本的运算能力，属于中档题．。
2023-2024学年福建省福州市高二上册期末联考数学试题(含解析)
2023-2024学年福建省福州市高二上册期末联考数学试题一、单选题1．渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是A ．2B ．1CD ．2【正确答案】C本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a b =，所以c =则该双曲线的离心率为e ca==，故选C ．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.2．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【正确答案】B【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+，解得2m =或3-，故选B.本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.3．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c = ，则下列向量中与BM相等的向量是（）A ．1122-++ a b cB ．1122a b c++C ．1122a b c--+ D ．1122a b c-+ 【正确答案】A【分析】根据题意结合空间向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()111111111111112222BM BB B M BB B D BB A D A B a b c =+=+=+-=-++uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r r r r，根据空间向量基本定理可知：只有1122-++ a b c 与BM相等.故选：A.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（）A ．2B ．7C ．14D ．28【正确答案】C【分析】由等差数列的性质与前n 项和公式求解，【详解】由题意得4536a a a a +=+，则42a =，而17747()7142a a S a +===，故选：C5．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A ．4B ．9C ．10D ．18【正确答案】C【分析】根据题意结合抛物线的定义可得10p =，即可得结果.【详解】由题意可得：22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，设抛物线22(0)y px p =>上横坐标为4的点为()04,A y ，则492pAF =+=，解得10p =，故该抛物线的焦点到准线的距离为10p =.故选：C.6．已知点(1,3)A ，(2,1)B --.若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(,2]-∞-C ．1(,2],2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】D【分析】由题意，求直线所过的定点，作图，根据斜率的变化规律，可得答案.【详解】由直线方程()21y k x =-+，令=2x ，解得=1y ，故直线过定点()2,1，如下图：则直线PA 的斜率13221PA k -==--，直线PB 的斜率111222PB k +==+，由图可知.12,2k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D.7．已知椭圆C ：22x a ＋22y b＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．2C ．3D ．3【正确答案】D【分析】由题意画出图形，可得222b b c +=，再由222a b c =+结合离心率公式求解．【详解】如图，由题意可得，222b b c +=，即()2222a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即3c e a ==．故选：D ．8．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋅⋅⋅，即()()121F F ==，()()*1(2)(3,)F n F n F n n n =-+-≥∈N ，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（）A ．1346B ．673C ．1347D ．1348【正确答案】C【分析】由已知条件写出数列{}n a 的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案.【详解】由题意可得：若0n a =，等价于()F n 为偶数，若1n a =，等价于()F n 为奇数，则1234561,1,0,1,1,0,a a a a a a ======⋅⋅⋅，猜想：*1,321,31,0,3n n k a n k k n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩N ，当1k =时，1231,1,0a a a ===成立；假设当()*1k m m =≥∈N 时，323131,1,0m m m a a a --===成立，则()()32,31F m F m --为奇数，()3F m 为偶数；当1k m =+时，则()()()31313F m F m F m +=-+为奇数，()()()32331F m F m F m +=++为奇数，()()()333132F m F m F m +=+++为偶数，故3132331,1,0m m m a a a +++===符合猜想；得证*1,321,31,0,3n n k a n k k n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩N ，则连续三项之和为2，故数列{}n a 的前2020项的和为()1232020167321347a a a a +++⋅⋅⋅+=+⨯=.故选：C.方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.二、多选题9．以下能判定空间四点P 、M 、A 、B 共面的条件是（）A ．23MP MA MB=+ B ．111236OP OA OB OM =++ C ．0PM AB ⋅=uuu r uu u r D ．PM AB【正确答案】ABD【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断.【详解】对A ：若23MP MA MB =+，结合向量基本定理知：,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r 为共面向量，故四点P 、M 、A 、B 共面，A 正确；对B ：若111236OP OA OB OM =++ ，且1111236++=，结合向量共面的性质知：四点P 、M 、A 、B 共面，B 正确；对C ：若0PM AB ⋅=uuu r uu u r，则PM AB ⊥，可知直线,PM AB 的位置关系：异面或相交，故四点P 、M 、A 、B 不一定共面，C 错误；对D ：若PM AB，可知直线,PM AB 的位置关系：平行或重合，故四点P 、M 、A 、B 共面，D 正确；故选：ABD.10．已知曲线22:1C mx ny +=，（）A ．若0m n >>，则CB ．若0m n >>，则CC ．若0mn <，则C 是双曲线D ．若0mn >，则C 是椭圆【正确答案】AC【分析】根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质逐项分析判断.【详解】对A 、B ：若0m n >>，则110m n<<，由于221mx ny +=，即22111x y m n+=，表示焦点在y 轴的椭圆，则2211,a b n m ==，可得c e a =故A 正确，B 错误；对C ：若0mn <，即,m n 异号，则11,m n异号，当110,0m n><故221mx ny +=，即22111x y m n-=-表示焦点在x 轴上的双曲线；当110,0m n<>故221mx ny +=，即22111y x n m-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，综上所述：若0mn <，则C 是双曲线，C 正确；对D ：若0mn >，曲线C 不一定是椭圆，例如0m n =>，曲线C 是圆，D 错误；故选：AC.11．已知圆22:20C x y x +-=，点A 是直线3y kx =-上任意一点，若以A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】AB【分析】由题意可得圆心()1,0C 到直线3y kx =-的距离大于2，利用点到直线的距离公式求得k 的范围，可得结论.【详解】圆22:20C x y x +-=即()2211x y -+=，则圆心为()1,0C ，半径1r =，依题意圆心()1,0C 到直线3y kx =-的距离大于22>，k <<，又Z k ∈，所以2k =-或1-或0.故选：AB12．设等比数列{an }的公比为q ，其前n 项和为Sn ，前n 项积为Tn ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a --<0.则下列结论正确的是（）A ．0<q <1B ．a 7a 9<1C ．Tn 的最大值为T 7D ．Sn 的最大值为S 7【正确答案】ABC【分析】依题意可得a 1>1，0<q <1，进而可得结果.【详解】∵a 1>1，a 7·a 8>1，7811a a --<0，∴a 7>1，0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；27981a a a =<，故B 正确；因为a 7>1，0<a 8<1，所以T 7是Tn 中的最大项，故C 正确；因为a 1>1，0<q <1，所以Sn 无最大值，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．已知空间向量(1,2,3)a =- ，(2,2,1)b = ，则向量a 在向量b上的投影向量是_____________.【正确答案】221,,999⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据投影向量的计算公式，代值计算即可.【详解】由题意可得：()1222311,3a b b ⋅=⨯+-⨯+⨯==r r r ，则向量a 在向量b上的投影向量是()21221cos ,,,9999b a b b a b a a ba b b b a b b b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⎛⎫⎪ =⨯=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭r r rr r r r r r r rr r r r r r .故答案为.221,,999⎛⎫⎪⎝⎭14．数列{}n a 中，11a =，132(2)n n a a n -=+≥，则此数列的通项公式n a =_________.【正确答案】1231n -⨯-【分析】依题意可得()1131n n a a -+=+，即可得到{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式.【详解】因为132(2)n n a a n -=+≥，所以()1131n n a a -+=+，又11a =，所以112a +=，所以{}1n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1123n n a -+=⨯，则1231n n a -=⨯-.故1231n -⨯-15．已知双曲线22:13y C x -=的左焦点为1F，顶点(0,Q ，P 是双曲线C 右支上的动点，则1PF PQ +的最小值等于__________.【正确答案】6【分析】利用双曲线的性质，得到122PF PF =+，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可．【详解】结合题意，绘制图像：根据双曲线的性质可知1222PF PF a -==，得到122PF PF =+，所以12222PF PQ PF PQ QF +=++≥+，而(()20,,2,0Q F ，所以24QF =，所以最小值为6.本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等．16．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AD 与11A C 之间的距离是__________.【分析】建系，求利用空间向量设点,M N ，根据题意结合空间中的两点间距离公式运算求解.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()1111,0,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1A D A C ，可得()()1111,0,1,1,1,0=AD AC -=-uuu r uuu u r ，设()()1111000111,,,,,,,AM AD A N A C M x y z N x y z λμ==uuu r uuu r uuu r uuu u r ，则()001,0,=AM x z -uuu r ，可得00010x y z λλ-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即00010x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()1,0,M λλ-，同理可得：()1,,1N μμ-，则MN =，当且仅当2λμ=时，等号成立，，当且仅当23λ=时，等号成立，故3MN ≥，当且仅当223λμ==，即111121,33AM AD A N AC ==uuu r uuu r uuu r uuu u r 时等号成立，即直线1AD 与11A C 之间的距离是3.故答案为.33方法点睛：利用空间直角坐标系处理问题的基本步骤：（1）建立适合的坐标系并标点；（2）将图形关系转化为数量关系；（3）代入相应的公式分析运算.四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，*12,n n a a n +=∈N ，数列{}n b 等差数列，且12b a =，3234b a a a =++.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .【正确答案】(1)12n n a -=，64n b n =-(2)2231=-+-n n S n n 【分析】（1）根据等比数列的定义，直接写出n a ，由等差数列的基本量运算，结合已知条件，求得1,b d ，即可求得n b ；（2）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前n 项和公式，直接求解即可.【详解】（1）由题意可知：数列{}n a 是以首项为11a =，公比2q =的等比数列，故11122n n n a --=⨯=，等差数列{}n b 的公差为d ，则12312342214b a b b d a a a ==⎧⎨=+=++=⎩，解得126b d =⎧⎨=⎩，故()26164n n b n =+-=-.（2）由题意可得：()()()121122n n n n c c c a b a b a S b =++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()()()()112121222864n n n a a a b b b n -=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-()226412231122n n n n n n +--=-=-+--，故2231=-+-n n S n n 18．已知空间三点()()()202112304,,，,,，,,A B C ---，设a AB =，b AC = ．(1)若3c = ，BC c ∥，求c .(2)求a 与b的夹角的余弦值;(3)若ka b + 与2ka b -互相垂直，求k ．【正确答案】(1)()2,1,2c =-- 或()2,1,2c =-(2)(3)2k =或52k =-．【分析】对于（1），设出向量c的坐标，由模的公式和向量共线的坐标表示可得答案.对于（2），利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得答案.对于（3），运用向量垂直的条件：数量积为0，结合向量的平方即为模的平方可得答案.【详解】（1）因()2,1,2BC =-- ，且BC c ∥，则可设()22,,c λλλ=-- .又3c =33λ==，得1λ=±.故()2,1,2c =-- 或()2,1,2c =-.（2）由题可得()1,1,0a AB == ，()1,0,2b AC ==- .则cos ,a ba b a b⋅===⋅（3）由（2）得a = ，b = 1a b ⋅=- .又ka b + 与2ka b -互相垂直，则()()02ka ka b b -+⋅= 22220k a ka b b ⇔-⋅-= 22220k aka b b⇔-⋅-= 22100k k ⇔+-=.解得：2k =或52k =-19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0,120A OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =.(1)求直线BC 的方程；(2)求OAB 的外接圆M 的方程.【正确答案】0y +-=(2)()(2214x y -+=【分析】（1）根据题意求点,B N 的坐标，根据直线的点斜式方程运算求解；（2）设OAB 的外接圆的一般式方程，代入点,,O A B ，解出,,D E F ，即可得结果.【详解】（1）过点B 作BM x ⊥轴，垂足为M ，由题意可得：60BAM ∠=︒，则cos 1,sin AM AB BAM BM AB BAM =∠==∠故点(B ，延长CB 交x 轴于点N ，由题意可得：60ABN ∠=︒，则ABN 为等边三角形，可得2AN AB ==，即点()4,0N ，则直线BC 的斜率k =所以直线BC 的方程为)4y x =-0y +-=.（2）由（1）可得：()()(0,0,2,0,3O A B ，设OAB 的外接圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则042012330F D F D F ⎧=⎪++=⎨⎪++=⎩，解得2230D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故OAB 的外接圆M 的方程为222230x y x +--=，即()(22134x y -+=.20．如图，已知多面体111111,,,ABC A B C A A B B C C -均垂直于平面111,120,4,1,2ABC ABC A A C C AB BC B B ∠=︒=====．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面111A B C ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成角的正弦值．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ3913【分析】（Ⅰ）方法一：通过计算，根据勾股定理得111111,AB A B AB B C ⊥⊥,再根据线面垂直的判定定理得结论；（Ⅱ）方法一：找出直线AC 1与平面ABB 1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【详解】（Ⅰ）［方法一］：几何法由11112,4,2,,AB AA BB AA AB BB AB ===⊥⊥得11122AB A B ==所以2221111A B AB AA +=，即有111AB A B ⊥.由2BC =，112,1,BB CC ==11,BB BC CC BC ⊥⊥得11B C =，由2,120AB BC ABC ==∠=︒得AC =由1CC AC ⊥，得1AC =2221111AB B C AC +=，即有111AB B C ⊥，又11111A B B C B = ，因此1AB ⊥平面111A B C .［方法二］：向量法如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知各点坐标如下：()()()()()1110,,1,0,0,0,,1,0,2,0,,A B A B C -因此111112),(1,2),(0,23)AB A B AC ==-=,由1110AB A B ⋅= 得111AB A B ⊥；由1110AB AC ⋅=得111AB A C ⊥，所以1AB ⊥平面111A B C .（Ⅱ）［方法一］：定义法如图，过点1C 作111C D A B ⊥，交直线11A B 于点D ，连结AD .由1AB ⊥平面111A B C 得平面111A B C ⊥平面1ABB ，由111C D A B ⊥得1C D ⊥平面1ABB ，所以1C AD ∠是1AC 与平面1ABB 所成的角.由1111115,22,21B C A B AC ===得1111116cos 77C A B C A B ∠=∠=所以13CD =，故11139sin C D C AD AC ∠==因此，直线1AC 与平面1ABB 3913［方法二］：向量法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.由(I)可知11(0,3,1),(1,3,0),(0,0,2)AC AB BB ===,设平面1ABB 的法向量(,,)n x y z =.由100n AB n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即3020x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，可取(3,1,0)n =-，所以11139sin cos ,13||AC n AC n AC n θ⋅===⋅ .因此，直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值是3913.［方法三］：【最优解】定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，点1C 到平面1ABB 距离为d （下同）．因为1C C ∥平面1ABB ，所以点C 到平面1ABB 的距离等于点1C 到平面1ABB 的距离．由条件易得，点C 到平面1ABB 的距离等于点C 到直线AB 的距离，而点C 到直线ABd =1sin d AC θ===．［方法四］：定义法+等积法设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，由条件易得111111A B B C A C ===2221111111111111cos 2A B B C AC A B C A B B C +-∠==⋅111sin A B C ∠=于是得11111111111sin 2A B C S A B B C A B C =⋅⋅∠=△，易得114AA B S =△．由111111C AA B A A B C V V --=得1111111133AA B A B C S d S AB ⋅=⋅△△，解得d =故1sin 13d AC θ===．［方法五］：三正弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，易知二面角11C AA B --的平面角为6BAC π∠=，易得11sin C AA ∠=，所以由三正弦定理得111sin sin sin 213C AA BAC θ=∠⋅∠⨯=．［方法六］：三余弦定理的应用设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ，如图2，过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，易得CG ⊥平面1ABB ，所以CG可看作平面1ABB的一个法向量．结合三余弦定理得11sin cos ,cos cos13AC CG C AC GCA θ=〈=∠⋅∠=〉 ．［方法七］：转化法＋定义法如图3，延长线段1A A 至E ，使得1AE C C =．联结CE ，易得1EC AC ∥，所以1AC 与平面1ABB 所成角等于直线EC 与平面1ABB 所成角．过点C 作CG AB ⊥，垂足为G ，联结GE ，易得CG ⊥平面1ABB ，因此EG 为EC 在平面1ABB 上的射影，所以CEG ∠为直线EC 与平面1ABB 所成的角．易得CE =，CG =sin13CG CEG CE ∠=．［方法八］：定义法＋等积法如图4，延长11,A B AB 交于点E ，易知2BE =，又2AB BC ==，所以AC CE ⊥，故CE ⊥面11AAC C ．设点1C 到平面1ABB 的距离为h ，由1111E AA C C AA E V V --=得1111113232AA AE h AA AC CE ⨯⋅⋅=⨯⋅⋅，解得h =又1AC =，设直线1AC 与平面1ABB 所成角为θ，所以sin13θ==．【整体点评】（Ⅰ）方法一：通过线面垂直的判定定理证出，是该题的通性通法；方法二：通过建系，根据数量积为零，证出；（Ⅱ）方法一：根据线面角的定义以及几何法求线面角的步骤，“一作二证三计算”解出；方法二：根据线面角的向量公式求出；方法三：根据线面角的定义以及计算公式，由等积法求出点面距，即可求出，该法是本题的最优解；方法四：基本解题思想同方法三，只是求点面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通过直线平移，利用等价转化思想和线面角的定义解出；方法八：通过等价转化以及线面角的定义，计算公式，由等积法求出点面距，即求出．21．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2221n n n S a a =+-，*n ∈N .(1)证明：数列{}n a 是等差数列；(2)若数列{}n b 满足12nn n a b -=，记12n n T b b b =+++ ，证明.3n T <【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用n a 与n S 的关系，即可证明{}n a 是等差数列（2）利用错位相减法求得n T ，可以证明3n T <【详解】（1））当1n =时，2111221S a a =+-，得11a =，当2n ≥时，2111221n n n S a a ---=+-，又2221n n n S a a =+-，两式相减得，2211222n n n n n a a a a a --=-+-，整理得221122n n n n a a a a --+=-，∵10n n a a -+≠，∴112n n a a --=，∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列.（2）由（Ⅰ）可知，数列{}n a 的通项公式为12n n a +=，故1122n n n na nb -+==，∴2231222n n n T +=+++ ①，23112312222n n n T ++=+++ ②，①－②得，231111111111111122222222n n n n n n n T +-+++⎛⎫=++++-=+-- ⎪⎝⎭ ，故111333222n n n n n n T -++=--=-，∴3n T <..22．已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左顶点为(20)M -，2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(10)N ，的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当MA MB取得最大值时，求MAB △的面积．【正确答案】（1）22:142x y C +=；（2【分析】(1)由左顶点M 坐标可得a=2，再由ce a=可得c ，进而求得椭圆方程．(2)设l 的直线方程为1x ty =+，和椭圆方程联立221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(2)230t y ty ++-=，由于0∆>，可用t 表示出两个交点的纵坐标12y y +和12y y ⋅，进而得到MA MB的关于t 的一元二次方程，得到MA MB取最大值时t 的值，求出直线方程，而后计算出MAB △的面积．【详解】(1)由题意可得：2a =，2c a =，得c =2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程:22:142x y C +=(2)当直线l 与x 轴重合，不妨取(2,0),(2,0)A B -，此时0MA MB =当直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为：1x ty =+,设1122(,),(,)A x y B x y ，联立221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)230t y ty ++-=，显然0∆>，12222t y y t -+=+，21232y y t -⋅=+.所以1212(2)(2)MA MB x x y y =+++1212(3)(3)ty ty y y =+++21212(1)3()9t y y t y y =++++22232(1)3922tt t t t --=+++++22233692t t t ---=++229392t t --=++2152t =+当0=t 时，MA MB取最大值152.此时直线l 方程为1x =，不妨取(1,A B ，所以AB =又3MN =,所以MAB ∆的面积132S =本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题．。
福建省福州市三中金山中学2024年高二数学理上学期期末试卷含解析
福建省福州市三中金山中学2024年高二数学理上学期期末试卷专业课理论基础部分一、选择题：1.下列函数中，奇函数是（）A. y=x²B. y=x³C. y=|x|D. y=-x2.已知函数f(x)=x²-2x+1，下列函数中与之相似的是（）A. g(x)=x²+2x+1B. g(x)=x²-2x-1C. g(x)=x²+2x-1D. g(x)=x²-2x+33.下列不等式中，正确的是（）A. x²≥0B. x²≤0C. x²=0D. x²≠04.已知a²+b²=25，ab=10，则a+b的值为（）A. 5B. -5C. 10D. -105.下列数列中，为等差数列的是（）A. 2, 4, 6, 8B. 1, 3, 5, 7C. 1, 2, 3, 4D. 2, 4, 6, 10二、判断题：1.若两个函数的图像关于y轴对称，则这两个函数一定相等。
（）2.若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则f’(x)在同一区间上非负。
（）3.若a|x|=b，则x=±b/a。
（）4.任何两个实数的和都是实数。
（）5.若a>b，则a²>b²。
（）三、填空题：1.若函数f(x)=x²-4x+c的图像经过点(2, 0)，则c=______。
2.已知数列{an}为等差数列，a1=1, a5=5，则公差d=______。
3.若矩阵A=，则A的行列式det(A)=______。
4.若复数z=3+4i，则|z|=______。
5.设平面直角坐标系中，点P(x, y)在直线y=2x+1上，则x的取值范围是______。
四、简答题：1.简述函数的单调性及其定义。
答案：函数的单调性指函数在定义域内某区间上的增减性。
若对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间[x1, x2]上单调递减。