[合集3份试卷]2020甘肃省酒泉市高二数学下学期期末考试试题

同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为1
2
，且彼此相互独立，若X 为4名同学通过测试的人数，则D （X ）的值为（） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩 甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.
丁：要是我能及格，大家都能及格.
成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
3．以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是 A ．38=0+x y -
B ．3=+0+4x y
C ．36=0+x y -
D ．3=+0+3x y
4．已知函数||()||x f x e x =+，若关于x 的方程()f x k =有两个相异实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞ C ．()1,0-
D ．(),1-∞-
5．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ） A ．141种
B ．140种
C ．51种
D ．50种
6．当1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）
A ．()()
()2
2f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦
B ．()
()()2
2f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ C ．()()
()2
2f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦
D ．()
()()2
2f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦
7．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．10
B ．15
C ．20
D ．25
8．若角α是第四象限角，满足1
sin cos 5
αα+=-
，则sin 2α=（ ）
A ．
2425
B ．2425
-
C ．
1225
D ．1225
-
9．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ） A ．3
B ．18
C ．12
D ．6
10．若()0'4f x =，则()()
000
2lim x x x f x f x
∆→+∆-=∆（ ）
A ．2
B ．4
C ．18
D ．8
11．已知函数（
），若有且仅有两个整数
，使得
，
则的取值范围为
A ．[）
B ．[）
C ．[）
D ．[）
12．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 A ．18
B ．24
C ．28
D ．36
二、填空题：本题共4小题
13．如图，网格纸上小正方形的边长为1cm ，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__．
14．已知函数2()(3)x f x x e =-，给出以下结论：
①曲线()y f x =在点(0,3)处的切线方程为310x y -+=； ②在曲线()y f x =上任一点处的切线中有且只有两条与x 轴平行； ③若方程()f x m =恰有一个实数根，则36m e -<-；
④若方程()f x m =恰有两个不同实数根，则02m e ≤<或36m e -=-. 其中所有正确结论的序号为__________．
15．一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后
放回，共取5次，设取到红球的个数为X ，若()7
2
E X =，则m 的值为________. 16．已知函数2y
x 与函数()0y kx k =>的图象所围成的面积为32
3
，则实数k 的值为______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知,,a b c ∈R ，2221a b c ++=. （1）求证：||3a b c ++≤
；
（2）若不等式2
11()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立，求实数x 的取值范围. 18．如图，已知长方形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点．将ADM ∆沿AM 折起，
使得平面ADM ⊥平面ABCM ． （I ）求证：AD ⊥BM ；
（II ）若点E 是线段DB 上的一动点，当二面角E AM D --的余弦值为
2
2
时，求线段DE 的长．
19．（6分）已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB AD ===，点M N 、在线段
PB DC 、上（不为端点）
，且满足,BM MP DN NC λλ==，其中0λ>.
（1）若1λ=，求直线MN 与平面ABCD 所成的角的大小；
（2）是否存在λ，使MN 是PB DC ，的公垂线，即MN 同时垂直PB DC ，？说明理由.
20．（6分）某地方政府召开全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了200件作为样本，检测一项质量指标值．若该项质量指标值落在
[)20,40内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图所示的是设备改造前样本的频率分布直方图．
（1）若设备改造后样本的该项质量指标值服从正态分布2(30,5)N ，求改造后样本中不合格品的件数； （2）完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量标值与设备改造有关． 0
设备改造前 设备改造后 合计 合格品件数 不合格品件数 合计
附参考公式和数据： 若()2
~,X N
μσ，则()0.68P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.95P X
μσμσ-<+≈．
()20P K k ≥ 0.150 0.100 0.050 0.025
0.010
0k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
21．（6分）在四棱锥S ABCD -中，//AD BC ，AC BC ⊥，222AC SD AD BC SC ====，E 为棱SC 上一点（不包括端点），且满足AE AD ⊥.
（1）求证：平面SAC ⊥平面ABCD ；
（2）F 为SD 的中点，求二面角F AC B --的余弦值的大小. 22．（8分）已知函数()2121f x x x =+--，x ∈R
（Ⅰ）求不等式()1
f x≤的解集；
（Ⅱ）若方程
()
2
f x
a x
+=有三个实数根，求实数a的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A
【解析】
【分析】
由题意知X～B（4，1
2
），根据二项分布的方差公式进行求解即可．
【详解】
∵每位同学能通过该测试的概率都是1
2
，且各人能否通过测试是相互独立的，
∴X～B（4，1
2），
则X的方差D（X）＝4
1
2
⨯⨯（1
1
2
-）＝1，
故选A．【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X～B（4，1
2
）是解决本题的关键．
2．A
【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．
详解：若甲预测正确，则乙，丙，丁都正确，乙：丁肯定能及格.
丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，故甲预测错误.
故选A.
点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．3．B
【解析】
【分析】
求出AB的中点坐标，求出AB的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程．
【详解】
因为(1,3)A ，(5,1)B -，
所以AB 的中点坐标(2,2)-，直线AB 的斜率为311
153
-=+， 所以AB 的中垂线的斜率为：3-，
所以以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是23(2)y x -=-+，即340x y ++=． 故选：B 【点睛】
本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力． 4．B 【解析】
分析：将方程()f x k =恰有两个不同的实根，转化为方程x
e k x =-恰有两个不同的实根，在转化为一
个函数x
y e =的图象与一条折线y k x =-的位置关系，即可得到答案.
详解：方程()f x k =恰有两个不同的实根，转化为方程x
e k x =-恰有两个不同的实根，
令x
y e =，y k x =-，
其中y k x =-表示过斜率为1或1-的平行折线，
结合图象，可知其中折线与曲线x
y e =恰有一个公共点时，1k =，
若关于x 的方程()f x k =恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1,)+∞，故选B.
点睛：本题主要考查了方程根的存在性及根的个数的判断问题，其中把方程的实根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，作出函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及分析问题和解答问题的能力. 5．A 【解析】
分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0、1、2、3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．
详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，
所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，
所以共有0112233
6656463C C C C C C C +++=141种．
故选：A ．
点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键． 6．D 【解析】 【分析】
对函数进行求导得出()f x 在1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上单调递增，而根据1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
即可得出2x x <，从而得出()
()()21f x f x f <<，从而得出选项．
【详解】
∵()f x xlnx =，∴()1ln f x x '=+，
由于1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，函数在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，
由于
1
12
x <<，故2x x <，所以()
()()210f x f x f <<=， 而()2
0f x ⎡⎤>⎣⎦，所以()()()2
2
f x f x f x <<，故选D.
【点睛】
本题主要考查增函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及积的函数的求导，属于中档题. 7．B 【解析】
分析：利用二项展开式的通项公式求出()6
1x +的第1r +项，令x 的指数为2求出展开式中2x 的系数．然后求解即可． 详解：()61x +6
展开式中通项16r r
r T C x +=，
令2r
可得，222
3615T C x x == ，
∴()6
1x +展开式中x 22x 项的系数为1， 在()6
1x x +的展开式中，含3x 项的系数为：1． 故选：B ．
点睛：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键． 8．B 【解析】 【分析】
由题意利用任意角同角三角函数的基本关系，求得sin2α的值． 【详解】
解：∴角α满足1sin cos 5αα+=-，平方可得 1+sin2125α=，∴sin224
25
α=-， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 9．C 【解析】 【分析】
分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地. 【详解】
大学生小红与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，分两种情况计算：有一人和小红同地，无人与小红同地.
小红恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数3223
3212m A C A =+=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．D 【解析】 【分析】
通过导数的定义，即得答案. 【详解】 根据题意得，
()()()()()000000
022lim
2lim 2'82x x f x f f x f f x x x x
x x x ∆→∆→+∆-+∆-===∆∆，故答案为D.
【点睛】
本题主要考查导数的定义，难度不大. 11．D 【解析】
【分析】
设g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，对g（x）求导，将问题转化为存在2个整数x i使得g（x i）在直线h（x）=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）＜0，g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，求得a的取值范围．
【详解】
设g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=ax﹣a，
则g′（x）=e x（3x+2），
∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，
x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴x=﹣，取最小值，
∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），
g（1）﹣h（1）=2e＞0，
直线h（x）=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，
∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e﹣1+2a＜0，
∴a＜，
g（﹣2）=﹣，h（﹣2）=﹣3a，
由g（﹣2）﹣h（﹣2）≥0，解得：a≥，
故答案为[）.
故选D.
【点睛】
本题考查求函数的导数，利用导数判断函数的单调性和极值问题，涉及转化的思想，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．12．D
【解析】
分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。

详解：类型1：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙两人则有13A ，另外3人派往2个地区2
3A ，共有18种。

类型2：设甲、乙两位专家需要派遣的地区有甲乙丙三人则有1
33A ，另外2人派往2个地区2
2A ，共有18种。

综上一共有36种，故选D
点睛：有限制条件的分派问题，从有限制条件的入手，一般采用分步计数原理和分类计数原理，先分类后分步。

二、填空题：本题共4小题 13．
43
【解析】 【分析】
由三视图可分析，几何体应是相同的两个三棱锥，并排放置，并且三棱锥的某个顶点的三条棱两两垂直，根据图中数据直接计算体积. 【详解】
由三视图可分析，几何体应是相同的两个三棱锥，并排放置，并且三棱锥的某个顶点的三条棱两两垂直，
1142212323V ∴=⨯⨯⨯⨯⨯=.
故填：43
.
【点睛】
本题考查了根据三视图计算几何体的体积，属于简单题型. 14．②④ 【解析】
分析：对函数()f x 进行求导，通过导数研究函数()f x 的性质从而得到答案．
详解：
()()
()()(
)
2223332x x x f x x e x e x x e '
'
=-+-=--'，
①()()03,03,f f ='=则曲线()y f x =在点()0,3处的切线方程为()330,y x -=- 即330x y -+=，故①不正确；
②令()0,1f x x ='∴=或3x =-，即在曲线()y f x =上任一点处的切线中有且只有两条与x 轴平行；正确；。