数学建模五步法与灵敏度分析

灵敏度分析
简介：
研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。

在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。

通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。

因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及在对各种方案进行评价时都是很重要的。

用途：
主要用于模型检验和推广。

简单来说就是改变模型原有的假设条件之后，所得到的结果会发生多大的变化。

举例（建模五步法）：
一头猪重200磅，每天增重5磅，饲养每天需花费45美分。

猪的市场价格为每磅65美分，但每天下降1美分，求出售猪的最佳时间。

建立数学模型的五个步骤：
1.提出问题
2.选择建模方法
3.推到模型的数学表达式
4.求解模型
5.回答问题
第一步：提出问题
将问题用数学语言表达。

例子中包含以下变量：猪的重量w（磅），从现在到出售猪期间经历的时间t（天），t天内饲养猪的花费C（美元），猪的市场价格p（美元/磅），出售生猪所获得的收益R（美元），我们最终要获得的净收益P（美元）。

还有一些其他量，如猪的初始重量200磅。

（建议先写显而易见的部分）
猪从200磅按每天5磅增加
（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）
饲养每天花费45美分
（C美元）=（0.45美元/天）*（t天）
价格65美分按每天1美分下降
（p美元/磅）=（0.65美元/磅）-（0.01美元/磅）*（t天）
生猪收益
（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）
净利润
（P美元）=（R美元）-（C美元）
用数学语言总结和表达如下：
参数设定：
t=时间（天）
w=猪的重量（磅）
p=猪的价格（美元/磅）
C=饲养t天的花费（美元）
R=出售猪的收益（美元）
P=净收益（美元）
假设：
w=200+5t
C=0.45t
p=0.65-0.01t
R=p*w
P=R-C
t>=0
目标：求P的最大值
第二步：选择建模方法
本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题
第三步：推导模型的数学表达式子
P=R-C （1）
R=p*w （2）
C=0.45t （3）
得到R=p*w-0.45t
p=0.65-0.01t （4）
w=200+5t （5）
得到P=（0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t
令y=P是需最大化的目标变量，x=t是自变量，现在我们将问题转化为集合S={x:x>=0}上求函数的最大值：
y=f（x）=（0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x （1-1）
第四步：求解模型
用第二步中确定的数学方法解出步骤三。

例子中，要求（1-1）式中定义的y=f （x）在区间x>=0上求最大值。

下图给出了（1-1）的图像和导数（应用几何画板绘制）。

在x=8为全局极大值点，此时f（8）=133.20。

因此（8，133.20）为f在整个实轴上的全局极大值点，同时也是区间x>=0上的最大值点。

第五步：回答问题
根据第四步，8天后出售生猪的净收益最大，可以获得净收益133.20美元。

只要第一步中的假设成立，这一结果正确。

数学建模五步方法总结：
第一步：提出问题
（1）列出问题中涉及的变量，包括适当的单位；
（2）注意不要混淆变量和常量；
（3）列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式；
（4）检查单位从而保证你的假设有意义；
（5）用准确的数学术语给出问题的目标。

第二步：选择建模方法
（1）选择解决问题的一个一般的求解方法；
（2）一般地，这一步的成功需要经验，技巧和熟悉相关文献。

第三步：推导模型的数学表达式
（1）将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法所需要的形式；（2）将第一步中的一些变量名改成与第二步所用的记号一致；
（3）记下任何补充假设，这些假设是为了使第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做出的。

第四步：求解模型
（1）将第二步中所选用的一般求解过程应用于第三步得到表达式的特定问题；（2）注意你的数学推导，检查是否有错误，你的答案是否有意义；
（3）采用适当的技术，计算机代数系统，图形工具，数值计算的软件等，都能
扩大你能解决问题的范围，并能减少计算错误。

第五步：回答问题
（1）用非技术性的语言将第四步的结果重新表述；
（2）避免数学符号和术语；
（3）能理解出处提出的问题的人就应该能理解你给出的答案。

灵敏度分析
数据是由测量，观察有时甚至完全猜测得到的，因此，我们要考虑数据不准确的可能性。

上例中，生猪现在的重量，现在的价格，每天饲养花费都很容易测量，而且有相当大的确定性。

但是猪的生长率则不那么确定，而价格的下降率则确定性更低，记r为价格的下降率，现在假设r的实际值不同，对几个不同的r值重复前面的求解过程，我们会对问题的解关于r的敏感程度有所了解。

下表给出了几个不同r值求出的计算结果。

根据表格绘制图形，我们可以看到售猪的最优时间对参数r很敏感。

r（美元/天）x（天）
0.008 15.0
0.009 11.1
0.010 8.0
0.011 5.5
0.012 3.3
对灵敏度的更系统的分析是将r视为未知参数，按前面的步骤求解，写出p=0.65-rt。

得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+5x）-0.45x。

使得导数为0，得到x=（7-500r）/25r，当x>=0时，只要0<r<=0.014。

对于猪的生长率g同样不确定，我们有w=200+gt，得到y=f（x）=（0.65-rx）（200+gx）-0.45x。

使得导数为0，得到x=5*(13g-49)/2g。

当x>=0时，得到g>=3.769。

我们将灵敏度数据用相对改变量表示，例如：r下降10%导致了x增加了39%，而g下降了10%导致了x下降了34%。

如果x的改变量Δx，则Δx/x表示相对改变量。

如果r改变了Δr，导致了x有Δx的改变量，则相对改变量的比值为（Δx/x）/（Δr/r），令Δr→0，我们有（Δx/x）/（Δr/r）→（dx/dr）*（r/x）。

我们称这个极限值为x对r的灵敏度，即为S（x，r）。

在售猪问题中，r=0.01和x=8得到dx/dr=-7/25r2=-2800，因此S（x，r）=(dx/dr)*(r/x)=-2800*(0.01/8)=-7/2，即若r增加2%，则x下降7%。

由于
dx/dg=245/2g2=4.9,我们有S（x，g）=(dx/dg)*(g/x)=4.9*（5/8）=3.0625。

于是猪的生长率增加1%，会导致大约等待3%的时间再将猪售出。

灵敏度分析的成功应用要有较好的判断力，通常即不可能对模型中的每个参数都计算灵敏度分析，也没有特别的要求。

我们需要选择那些有较大不确定性的参数进行灵敏度分析。

对灵敏度系数的解释还要依赖与参数的不确定程度，主要问题是数据的不确定程度影响答案的置信度。

在这个问题中，我们通常认为猪的生长率g比价格下降率r更可靠。

如果我们观察了猪或者其他类似动物在过去的生长情况，则g有25%的误差会是很不寻常的，但对r的估计有25%的误差则不足为奇。

数学模型的稳健性
一个数学模型称为稳健的，是指即使这个模型不完全精确，由其导出的结果也是正确的。

在实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使能够建立一个完美的精确模型，我们也可能采取较为简单和易于处理的方法。

出于数学处理的方便和简化的目的，常常要做一些假设，建模者有责任要考察这些假设是否太特殊，以致使模型的结果无效。

上例中我们主要是假设猪的重量和每磅的价格都是时间线性函数。

假设一年后，猪的重量为200+5*365=2025磅，卖出收益为0.65-0.01*365=-3美元/磅。

一个更为实际的模型应该考虑到这些函数的非线性性，又考虑到随着时间的推移不确定性的增加。

考察售猪问题中的线性假设。

基本方程为P=pw-0.45t。

如果模型初始数据和假设没有与实际相差太远，则售猪的最佳时间应该有令P求导为0得到。

计算后有p'w+pw'=0.45，得到只要猪价比饲养的费用增长快，就应暂时不卖出。

其中，p'w为价格下降带来的损失，pw'为猪增重而增加的价值。

考虑更一般的模型的情况，猪的未来增长和价格的未来变化并不确定。

假设如下情况，一个农民有一头重量大约是200磅的猪，上一周猪每天增重约5磅，五天前猪价为70美分/磅，但现在是65美分/磅，根据现有数据我们可以得出何时出售，问题是p'和w'在未来几周内不会保持常数，因此，两者不会是时间的线性函数。

但是只要在这段时间内，两者变化不太大，假设他们保持为常数而导致的误差就不会太大。

一
辈子时光在匆忙中流逝，谁都无法挽留。

多少人前半生忙忙碌碌，奔波追逐，后半生回望过去，难免感叹一生的碌碌无为，恨时光短暂，荒废了最好的光阴。

人过中年，不停跟时间妥协，之所以不争抢，处世淡然，完全是经过世故的淬炼，达到心智的成熟。

现实生活中，不乏完美主义者，终日在不食人间烟火的意境中活着，虚拟不切合实际。

如此，唯有活在当下，才是真正的人生笺言。

常常想，不想活在过去的人，是经历了太多的大起大落，不想被束缚在心灵蜗居里的人，是失去的太多，一番大彻大悟后，对视的眼神定会愈发清澈，坦然笑对人生的雨雪冰霜。

对于随波逐流的人们，难免要被世俗困扰，不问过去，不畏将来又将是怎么样的一种纠葛，无从知晓。

不得不说，人是活在矛盾中的。

既要简单，又难淡然，挣扎在名利世俗中，一切身不由己，又有那样的生活是我们自己想要的呢？
人前，你笑脸相迎，带着伪装的面具，不敢轻易得罪人；人后，黯然伤怀，总感叹命运的不公平，人生的不如意；常常仰望别人的幸福，而忽视了自己，却不知你与他所想要的幸福，都只得一二，十之八九只有在希冀中追求，不是吗？
人活一辈子，心怀梦想，苍凉追梦，难能可贵的是执着向前，义无反顾，最惧怕瞻前顾后，退缩不前。

一生短暂如光影交错，有几个人能放下牵绊，有几个人能不难为自己，活的精彩呢！
我们的一生，是匆忙的行走，谁的人生，不是时刻在被命运捉弄中前行。

我想，我是无法和命运抗衡的，却又时刻想做真实的自己。

眼下的生活是一面镜子，对照着卑微的自己，心有万千光芒，无法放弃的却总是太多太多。

中年，人生的分水岭，不再有小女孩的浪漫情怀，撒娇卖萌，穿着也越发简单，舒适即可。

年轻时可以穿紧身裙，牛仔裤，甚至小一码的高跟鞋，不惜磨破了脚板，夹痛了脚趾，依旧笑魇如花，人前卖弄。

年少时，青春做砝码，别人的一句赞美能心头飘飘然，走在马路上，陌生男子的回头率，成了青春的资本，忘乎所以。

年龄越大，对身边的一切似乎没了热情，争吵，攀比，打扮，都没了兴趣。

有人说，女人要爱自己，打扮的漂漂亮亮的才行，而我却恰恰相反，正如有一天涂了口红出门，儿子吓了一跳，一句太庸俗，再昂贵品牌的口红你都不适合，让我哑然失笑。

原来，他宁愿喜欢素面朝天的妈妈，也不想要矫揉造作的中年妇女，我必须保持最初的简洁，亦或简单。

居家女人虽平庸，却总想活出真我。

不喜欢的东西，学会舍弃，生活趋于安静。

每天打理家务，照顾子女，空闲的时间看看书，散散步，陪婆婆去买菜，少一些功利心，多一些平常心，生活便达到了想要的简单。

人过中年天过午，流逝的时间不会等我的。

不想为难自己了，几十年光阴里，不停做着事与愿违的选择，极力说服自己，多替别人想想，多顾及别人的感受，却忽视了委屈的自己。

我承认，给自己负担，就是难为自己。

不愿意放下，就是心态使然。

其实，你大可不必为了别人改变自己，为自己活着，才是真理。

从今天起，不愿意迎合的人，选择放手；卑鄙下流，虚情假意的损友，拒绝交往，只要随心随意，什么都不是难题。

要明白，他们走近你的世界，只想利用你，却从不顾及你的感受，既保持若即若离，又想无偿索求，时刻为难着你，美其名曰这是一份难得的缘。