衢江区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

衢江区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞ 2． 设集合M={x|x ＞1}，P={x|x 2﹣6x+9=0}，则下列关系中正确的是（ ） A ．M=P B ．P ⊊M C ．M ⊊P D ．M ∪P=R 3． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b
的等比中项，则+的最小值为（ ）
A ．8
B ．4
C ．1
D ．
4． 函数
是（ ）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
5． 已知f （x ）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f （x ）＞xf ′（x ）恒成立，则不等式x 2f （）﹣f （x ）＞0的解集为（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（1，+∞）
D ．（2，+∞）
6． 下列命题正确的是（ ）
A ．已知实数,a b ，则“a b >”是“22
a b >”的必要不充分条件
B ．“存在0x R ∈，使得2
010x -<”的否定是“对任意x R ∈，均有2
10x ->” C ．函数13
1()()2x
f x x =-的零点在区间11(,)32
内
D ．设,m n 是两条直线，,αβ是空间中两个平面，若,m n αβ⊂⊂，m n ⊥则αβ⊥
7． 已知向量=（2，1），
=10，|+|=
，则||=（ ）
A ．
B ．
C ．5
D ．25
8． “a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 直线： （为参数）与圆：（为参数）的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交且过圆心
D ．相交但不过圆心 10．抛物线y=﹣8x 2的准线方程是（ ）
A ．y=
B ．y=2
C ．x=
D ．y=﹣2
11．矩形ABCD 中，AD=mAB ，E 为BC 的中点，若，则m=（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
12．在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）
A ．
B ． C.
D ．
2
二、填空题
13．已知关于 的不等式
在
上恒成立，则实数的取值范围是__________
14．函数y=f （x ）的图象在点M （1，f （1））处的切线方程是y=3x ﹣2，则f （1）+f ′（1）= ．
15．自圆C ：22(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．
1310 B ．3 C ．4 D ．2110
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
16．已知正四棱锥O ABCD -的体积为2 则该正四棱锥的外接球的半径为_________
17．在复平面内，记复数+i 对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量
所对应
的复数为 ．
18．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，
在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *
）中，
经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．
三、解答题
19．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试． （Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率； （Ⅱ）若设选出男生的人数为X ，求X 的分布列和EX ．
20．在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为：A （0，4）；B （﹣3，0），C （1，1） （1）求点C 到直线AB 的距离； （2）求AB 边的高所在直线的方程．
21．已知α、β、是三个平面，且c α
β=，a βγ=，b αγ=，且a b O =．求证：、
、三线共点．
22．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x 的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；
（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．
23．（本题满分12分）在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，边7
2
c =
，且
tan tan tan 3A B A B +=-ABC ∆的面积为ABC S ∆=
a b +的值．
24．已知椭圆Γ：（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为，过点A的直线l与椭圆交于另一点
M．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
衢江区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 2． 【答案】B
【解析】解：P={x|x=3}，M={x|x ＞1}； ∴P ⊊M ． 故选B ．
3． 【答案】B 【解析】解：∵
是5a 与5b
的等比中项， ∴5a •5b
=（
）2
=5，
即5a+b =5， 则a+b=1，
则+=（+）（a+b）=1+1++≥2+2=2+2=4，
当且仅当=，即a=b=时，取等号，
即+的最小值为4，
故选：B
【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．4．【答案】B
【解析】解：因为
=
=cos（2x+）=﹣sin2x．
所以函数的周期为：=π．
因为f（﹣x）=﹣sin（﹣2x）=sin2x=﹣f（x），所以函数是奇函数．
故选B．
【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．5．【答案】C
【解析】解：令F（x）=，（x＞0），
则F′（x）=，
∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，
∴F（x）为定义域上的减函数，
由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，
得：＞，
∴＜x，∴x＞1，
故选：C．
6．【答案】C
【解析】
考
点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．
【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断,p q q p ⇒⇒的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断. 7． 【答案】C
【解析】解：∵|+|=
，||=
∴（+）2
=
2
+
2
+2
=50，
得||=5 故选C ．
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．
8． 【答案】A
【解析】解：由“a ＞b ，c ＞0”能推出“ac ＞bc ”，是充分条件，
由“ac ＞bc ”推不出“a ＞b ，c ＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac ＞bc ，但是a ＜b ，c ＜0， 故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题
9． 【答案】D
【解析】【知识点】直线与圆的位置关系参数和普通方程互化 【试题解析】将参数方程化普通方程为：直线：圆
：
圆心（2,1），半径2． 圆心到直线的距离为：
，所以直线与圆相交。

又圆心不在直线上，所以直线不过圆心。

故答案为：D 10．【答案】A
【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=，
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．
11．【答案】A
【解析】解：∵AD=mAB，E为BC的中点，
∴=+=+=+，
=﹣，
∵，
∴•=（+）（﹣）=||2﹣||2+=（﹣1）||2=0，
∴﹣1=0，
解得m=或m=﹣（舍去），
故选：A
【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．
12．【答案】B
【解析】
考点：正弦定理的应用.
二、填空题
13．【答案】
【解析】
因为在上恒成立，所以，解得
答案：
14．【答案】 4 ．
【解析】解：由题意得f ′（1）=3，且f （1）=3×1﹣2=1
所以f （1）+f ′（1）=3+1=4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，要注意分清f （a ）与f ′（a ）．
15．【答案】D 【
解
析
】
16．【答案】
118
【解析】因为正四棱锥O ABCD -的体积为22，设外接球的半径为R ，依轴
截面的图形可知：22211(2)(
)28
R R R =-+∴= 17．【答案】 2i ．
【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（
+i ）（cos60°+isin60°）=（
+i ）（
）=2i
，故答案为 2i ．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i ）
（cos60°+isin60°），是解题的关键．
18．【答案】
．
【解析】设A （1，1），B （﹣1，﹣1），则直线AB 过原点，且阴影面积等于直线AB 与圆弧所
围成的弓形面积S 1，由图知，
，又，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C 74=35种情况；若4人全是男生，共有C 84
=70种情况；
故全为女生的概率为=．…
（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C 154
，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…
P （X=0）=
=
；P （X=1）=
=
；P （X=2）=
=
；
P （X=3）==；P （X=4）==．…
EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=
．…
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
20．【答案】
【解析】解（1）∵
，
∴根据直线的斜截式方程，直线AB ：
，化成一般式为：4x ﹣3y+12=0，
∴根据点到直线的距离公式，点C 到直线AB 的距离为
；
（2）由（1）得直线AB 的斜率为，∴AB 边的高所在直线的斜率为
，
由直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，
∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．
21．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：平面的基本性质与推论．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，
前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．
（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人，
∴这2人成绩均不低于90分的概率P==．
【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．
23．【答案】11 2．
【解析】
试
题解析：由tan tan tan 3A B A B +=-
可得
tan tan 1tan tan A B
A B
+=-tan()A B +=
∴tan()C π-=tan C -=tan C =∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
.
又ABC ∆的面积为ABC S ∆=1sin 2ab C =，即12ab =6ab =. 又由余弦定理可得222
2cos c a b ab C =+-，∴2227()2cos 23
a b ab π=+-，
∴22227()()32a b ab a b ab =+-=+-，∴2121()4a b +=，∵0a b +>，∴112
a b +=.1 考点：解三角形问题．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到两角和与两角差的正切函数公式、三角形的面积、正弦定理和余弦定理，以及特殊角的三角函数值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，其中熟练掌握基本公式和灵活运用公式是解答本题的关键，属于中档试题． 24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，
所以所求的椭圆方程为；
（Ⅱ）假设存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆后的右焦点F 且与直线x ﹣2y ﹣2=0相切，
因为以AM 为直径的圆C 过点F ，所以∠AFM=90°，即AF ⊥AM ，
又
=﹣1，所以直线MF 的方程为y=x ﹣2，
由消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，
所以M（0，﹣2）或M（，），
（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，
则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==≠，
所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；
（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（），半径为r===，
所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，
所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时k AF=，所以直线l的方程为y=﹣+2，即x+2y﹣4=0，
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．
【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．。