江苏省常州市西夏墅中学高中数学课件选修2-2《2.3 数学归纳法(1)》
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6
（4）此时，左边增加的项是 (k＋1)2．
（5）从左到右如何变形？
第十一页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
例3 用数学归纳法证明．
12＋22＋32＋ ＋n2＝ n(n＋1)(2n＋1)，n∈N 6
证明
（1）当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝ 1× 2× 3＝，1等式成立． （2）假设当n＝k时6 ，等式成立，就是
12＋22＋32＋
那么
＋k 2＝ k(k＋1)(2k＋1) 6
第十二页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
12＋22＋32＋ ＋k 2＋(k＋1)2 ＝ k(k＋1)(2k＋1) ＋(k＋1)2
6 ＝ k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2
6 ＝ (k＋1)(2k 2＋7k＋6)
6 ＝ (k＋1)(k＋2)(2k＋3)
这就是说，当n＝k＋1时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．
第九页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
[来源:Z|xx|]
例2 用数学归纳法证明n∈N*
12＋22＋32＋…＋n2＝ n(n＋1)(2n＋1)
思
6
考 ？
（1）第一步应做什么？此时n0＝
1，左＝
12，
．
2．已知：
f
(n)＝
1＋ n＋1
1 n＋2
＋
＋
1 3n＋1
，则
f (k＋1) 等于
3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)
＝ 1 n(n＋1)(n＋2) 3
4．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋
＋(－1)n－1 n2＝(－1)n－1 n(n＋1) 2
第十五页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
，证明当n＝k＋1时命题也成立． 这种证明方法就叫做 数学归纳法 ．
第四页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
[来源:Z|xx|]
验证n＝n0时命 题成立
归纳奠基
若n＝k(k≥n0)时命题成立， 证明n＝k＋1时命题也成立.
归纳推理
命题对从n0开始所有的 正整数n都成立
第五页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
6
＝ (k＋1)(k＋1)＋12(k＋1)＋1
6这就是说，当n＝k＋1时等 Nhomakorabea也成立．
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立． 第十三页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
如下证明对吗？
证明 ①当n＝1时，左边＝1 右边＝1
等式成立．
②设n＝k时，有 1＋3＋5＋＋(2k－1)＝k 2
1＋3＋5＋ ＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1] ＝[1＋2(k＋1)－1](k＋1)
例2 用数学归纳法证明：当n∈N*
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
证明：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1
等式成立．
（2）假设当n＝k时，等式成立，就是
1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2
那么
第八页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]
＝k 2＋[2(k＋1)－1] ＝k 2＋2k＋1 ＝(k＋1)2
[来源:学科网ZXXK]
第二页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
思考
从一个袋子里第一次摸出的是一个白球，接着 ，如果我们有这样一个保证：“当你这一次摸出的 是白球，则下一次摸出的一定也是白球.”
能判断这个袋子里装的全是白球吗?
能判断．
第三页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
什么是数学归纳法？
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下 面的方法来证明它的正确性： 1．先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2．然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立
想一想
（1） 第一步，是否可省略？
反例
不可以省略．
（2）第二步，从n＝k（k≥n0）时命题成立的假设出发 ，推证 n＝k＋1 时命题也成立．既然是假设，为什么 还要把它当成条件呢？
这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性．
第六页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
例：已知数列{an}为等差数列，公差为d， 求证：通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
小结：
重点：两个步骤、一个结论； 注意：奠基基础不可少，
归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉．
第十六页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
高中数学 选修２-2
第一页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
问题情境
12＋1＋41＝43
22＋2＋41＝47
因为n＝41时，
32＋3＋41＝53
n2＋n＋41＝412＋41＋41
42＋4＋41＝61
＝41×43是一个合数
52＋5＋41＝71
都是质数，
于是可以用归纳推理提出猜想
任何形如n2＋n＋41(n∈N*)的数都是质数 结论是错误的．
当n＝k时，等式左边共有 项k ，
第k项是
k2
．
（2）假设n＝k时命题成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝ k(k＋1)(2k＋1) 6
第十页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
（3）当n＝k＋1时，命题的形式是
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝ (k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]
证明：
（1）当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1，结论成立．
（2）当n＝k时，结论成立，ak＝a1＋(k－1)d，
那么∵ak＋1＝ak＋d
∴ak＋1＝a1＋(k－1)d＋d ＝a1＋kd＝a1＋[(k＋1)－1]d
所以n＝k＋1时，结论也成立．
综合（1）、（2）知an＝a1＋(n－1)d．
第七页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
2 ＝(k＋1)2
即n＝k＋1时，命题成立．
根据①②问可知，对n∈N*，等式成立． 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明．
第十四页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
三、巩固练习：
1．用数学归纳法证明：“ 1＋a＋a2＋
＋a
n＋1＝
1－a n＋2 1－a
a
≠
1，n”∈ N
在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是
（4）此时，左边增加的项是 (k＋1)2．
（5）从左到右如何变形？
第十一页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
例3 用数学归纳法证明．
12＋22＋32＋ ＋n2＝ n(n＋1)(2n＋1)，n∈N 6
证明
（1）当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝ 1× 2× 3＝，1等式成立． （2）假设当n＝k时6 ，等式成立，就是
12＋22＋32＋
那么
＋k 2＝ k(k＋1)(2k＋1) 6
第十二页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
12＋22＋32＋ ＋k 2＋(k＋1)2 ＝ k(k＋1)(2k＋1) ＋(k＋1)2
6 ＝ k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2
6 ＝ (k＋1)(2k 2＋7k＋6)
6 ＝ (k＋1)(k＋2)(2k＋3)
这就是说，当n＝k＋1时等式也成立． 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立．
第九页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
[来源:Z|xx|]
例2 用数学归纳法证明n∈N*
12＋22＋32＋…＋n2＝ n(n＋1)(2n＋1)
思
6
考 ？
（1）第一步应做什么？此时n0＝
1，左＝
12，
．
2．已知：
f
(n)＝
1＋ n＋1
1 n＋2
＋
＋
1 3n＋1
，则
f (k＋1) 等于
3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)
＝ 1 n(n＋1)(n＋2) 3
4．用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋
＋(－1)n－1 n2＝(－1)n－1 n(n＋1) 2
第十五页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
，证明当n＝k＋1时命题也成立． 这种证明方法就叫做 数学归纳法 ．
第四页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
[来源:Z|xx|]
验证n＝n0时命 题成立
归纳奠基
若n＝k(k≥n0)时命题成立， 证明n＝k＋1时命题也成立.
归纳推理
命题对从n0开始所有的 正整数n都成立
第五页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
6
＝ (k＋1)(k＋1)＋12(k＋1)＋1
6这就是说，当n＝k＋1时等 Nhomakorabea也成立．
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N*都成立． 第十三页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
如下证明对吗？
证明 ①当n＝1时，左边＝1 右边＝1
等式成立．
②设n＝k时，有 1＋3＋5＋＋(2k－1)＝k 2
1＋3＋5＋ ＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1] ＝[1＋2(k＋1)－1](k＋1)
例2 用数学归纳法证明：当n∈N*
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
证明：
（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝12＝1
等式成立．
（2）假设当n＝k时，等式成立，就是
1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2
那么
第八页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
1＋3＋5＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]
＝k 2＋[2(k＋1)－1] ＝k 2＋2k＋1 ＝(k＋1)2
[来源:学科网ZXXK]
第二页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
思考
从一个袋子里第一次摸出的是一个白球，接着 ，如果我们有这样一个保证：“当你这一次摸出的 是白球，则下一次摸出的一定也是白球.”
能判断这个袋子里装的全是白球吗?
能判断．
第三页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
什么是数学归纳法？
对于某些与正整数n有关的命题常常采用下 面的方法来证明它的正确性： 1．先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2．然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立
想一想
（1） 第一步，是否可省略？
反例
不可以省略．
（2）第二步，从n＝k（k≥n0）时命题成立的假设出发 ，推证 n＝k＋1 时命题也成立．既然是假设，为什么 还要把它当成条件呢？
这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性．
第六页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
例：已知数列{an}为等差数列，公差为d， 求证：通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
小结：
重点：两个步骤、一个结论； 注意：奠基基础不可少，
归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉．
第十六页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
高中数学 选修２-2
第一页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
问题情境
12＋1＋41＝43
22＋2＋41＝47
因为n＝41时，
32＋3＋41＝53
n2＋n＋41＝412＋41＋41
42＋4＋41＝61
＝41×43是一个合数
52＋5＋41＝71
都是质数，
于是可以用归纳推理提出猜想
任何形如n2＋n＋41(n∈N*)的数都是质数 结论是错误的．
当n＝k时，等式左边共有 项k ，
第k项是
k2
．
（2）假设n＝k时命题成立，即
12＋22＋32＋…＋k2＝ k(k＋1)(2k＋1) 6
第十页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
（3）当n＝k＋1时，命题的形式是
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 ＝ (k＋1)[(k＋1)＋1][2(k＋1)＋1]
证明：
（1）当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1，结论成立．
（2）当n＝k时，结论成立，ak＝a1＋(k－1)d，
那么∵ak＋1＝ak＋d
∴ak＋1＝a1＋(k－1)d＋d ＝a1＋kd＝a1＋[(k＋1)－1]d
所以n＝k＋1时，结论也成立．
综合（1）、（2）知an＝a1＋(n－1)d．
第七页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
2 ＝(k＋1)2
即n＝k＋1时，命题成立．
根据①②问可知，对n∈N*，等式成立． 第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明．
第十四页，编辑于星期日：十三点 五十七分。
三、巩固练习：
1．用数学归纳法证明：“ 1＋a＋a2＋
＋a
n＋1＝
1－a n＋2 1－a
a
≠
1，n”∈ N
在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是