2024-2025学年浙江省宁波市三锋联盟高二(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年浙江省宁波市三锋联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l 过点A(1,2)，B(3,4)，则直线l 的倾斜角为( )A. −π
6
B. −π
3
C. π
4
D. π
3
2.直线l 1：x−y +1=0与直线l 2：2x−2y +3=0的距离是( )A.
24
B.
22
C.
2 D. 1
3.“0<t <1”是“曲线x 2
t +y 2
1−t
=1表示椭圆”的( )A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ,OB =b ,OC =c ，点M 在线段OA 上，且OM =2MA ，点N 为BC 的中点，则MN =( )
A. −23a +12b +1
2c B. 12a−23b +1
2c C. 1
2a +1
2b−1
2c
D. 2
3a +2
3b−1
2c
5.在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =1，AA 1=
2，则异面直线AC 1与BC 所成角的余弦
值为( )A.
33
B. −
33
C.
66
D. −
66
6.已知点A(3,0)，B(5,0)，C(0,5)，圆M ：(x−2)2+(y +2)2=1，一条光线从A 点发出，经直线BC 反射到圆M 上的最短路程为( )A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.已知直线l：x−y−2=0与圆O：x2+y2=1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为( )
A. 3π
4B. 2π
3
C. π
2
D. π
6
8.设椭圆C的两个焦点是F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于点P，Q，若|PF2|=|F1F2|，且3|PF1|=4|Q F1|，则椭圆C的离心率为( )
A. 1
3B. 5
7
C. 3
5
D. 3
4
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知F1，F2分别是椭圆C：x2
9+y2
5
=1的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正
确的是( )
A. △PF1F2的周长为10
B. △PF1F2面积的最大值为25
C. 椭圆C的焦距为6
D. 椭圆C的离心率为4
9
10.已知圆O1：x2+y2+2x=0与圆O2：x2+y2−2x−2y−2=0交于A，B两点，则( )
A. 两圆的公切线有2条
B. AB直线方程为2x+y+1=0
C. |AB|=25
5
D. 动点P(x,y)在圆O1上，则x2+(y−1)2的最大值为2+1
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在四边形A1B1
C1D1所在的平面内，若|AE|=5，AC⊥DF，则下述结论正确的是( )
A. 二面角A1−BD−A的平面角的正切值为2
B. CF⊥AC1
C. 点E的轨迹是一个圆
D. 直线DF与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为3
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.a=(2,x,−1)，b=(1,2,0)，a⋅b=2，则|a|=______．
13.已知正四面体P−ABC的棱长为1，空间中一点M满足PM=xPA+yPB+zPC，其中x，y，z∈R，且x+y+z=1.则|PM|的最小值______．
14.已知点P是椭圆x2
25+y2
16
=1上一动点，Q是圆(x+3)2+y2=1上一动点，点M(6,4)，则|PQ|−|PM|的最
大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知直线l1经过点A(2,3)．
(1)若l1与直线l2：x+2y+4=0垂直，求l1的方程；
(2)若l1在两坐标轴上的截距相等，求l1的方程．
16.(本小题15分)
已知直线l：y=kx+1，l与圆C：(x−1)2+y2=4交于A，B两点，点Q在圆C上运动．
(1)当|AB|=23时，求k；
(2)已知点P(2,1)，求PQ的中点M的轨迹方程．
17.(本小题15分)
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D、E分别是AA1、BC的中点，AC=BC=1，AA1=2，∠BCA=90°．
(1)求证：AE//平面C1BD；
(2)求点E到平面C1BD的距离．
18.(本小题17分)
如图，已知等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=1
2
BC=2，E是BC的中点，AE⋂BD=M，将△BAE 沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD．
(1)求证：CD⊥平面B1DM；
(2)求B1E与平面B1MD所成的角；
(3)在线段B1C上是否存在点P，使得MP//平面B1AD，若存在，求出B1P
B1C
的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知F1、F2分别为椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(26
3
,1)在椭圆C上，离心率为1
2
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线I交椭圆C于D、E两点，S△ADE=182
7
，求直线l的方程．
(3)若过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x
a2+y0y
b2
=1，利用上述结论，设d是从椭圆中心到椭圆在点Q处
切线的距离，当Q在椭圆上运动时，判断d2|QF1||QF2|是否为定值.若是求出定值，若不是说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.A
5.C
6.B
7.C
8.B
9.AB
10.AB
11.BCD
12.5
13.6
3
14.6
15.解：(1)由题可知，l2的斜率为−1
2
，
设l1的斜率为k，因为l1⊥l2，所以−1
2
k=−1，则k=2，
又l1经过点A(2,3)，所以l1的方程为y−3=2(x−2)，即2x−y−1=0；
(2)若l1在两坐标轴上的截距为0，即l1经过原点，设l1的方程为y=kx，
将A(2,3)代入解析式得2k=3，解得k=3
2
，
故l1的方程为3x−2y=0，
若l1在两坐标轴上的截距不为0，则设l1的方程为x
a +y
a
=1，
由2
a +3
a
=1，得a=5，
故l1的方程为x+y−5=0，
综上，l1的方程为x+y−5=0或3x−2y=0．
16.解：(1)由题意可知：圆C：(x−1)2+y2=4的圆心C(1,0)，半径r=2，
则圆心C(1,0)到直线l的距离d=r2−(|AB|
2
)2=1，
可得|k +1|
1+k 2=1，解得k =0．
(2)设M(x,y)，
因为点P(2,1)，且M 为PQ 的中点，则Q(2x−2,2y−1)，
又因为点Q 在圆C 上，则(2x−2−1)2+(2y−1)2=4，整理得(x−3
2)2+(y−1
2)2=1，所以点M 的轨迹方程为(x−3
2)2+(y−1
2)2=1．
17.解：(1)证明：因为ABC−A 1B 1C 1为直三棱柱，
则C 1C ⊥平面ABC ，且∠BCA =90°，
以C 的原点，CA ,CB ,CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AC =BC =1，AA 1=2，且D ，E 分别是AA 1，BC 的中点，则C(0,0,0),A(1,0,0),C 1(0,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),E(0,12
,0)，所以AE =(−1,12
,0)，C 1B =(0,1,−2),C 1D =(1,0,−1)，设平面C 1BD 的法向量为n =(x,y,z)，则
{
n ⋅C 1B =y−2z =0
n ⋅C 1D =x−z =0
，
则{
x =z
y =2z ，取z =1，则x =1，y =2，则平面C 1BD 的一个法向量为n =(1,2,1)，因为AE⊄平面C 1BD ，且AE ⋅n =0，则AE//平面C 1BD ．
(2)由(1)可知，平面C 1BD 的一个法向量为n =(1,2,1)，且EB =(0,12
,0)，则点E 到平面C 1BD 的距离d |EB n ||n |
=
2×1
2
6
=
66
．
18.(1)证明：∵AD//BC ，E 是BC 的中点，∴AB =AD =BE =1
2BC =2，
故四边形ABED 是菱形，从而AE ⊥BD ，
∴△BAE 沿着AE 翻折成△B 1AE 后，AE ⊥B 1M ，AE ⊥DM ，又∵B 1M ∩DM =M ，∴AE ⊥平面B 1MD ，
由题意，易知AD//CE ，AD =CE ，∴四边形AECD 是平行四边形，故AE //CD ，∴CD ⊥平面B 1DM ；(2)解：∵AE ⊥平面B 1MD ，
∴B 1E 与平面B 1MD 所成的角为∠EB 1M ，
由已知条件，可知AB =AE =CD ，AB =AD =BE =12
BC =2，∴△B 1AE 是正三角形，∴∠EB 1M =30°，∴B 1E 与平面B 1MD 所成的角为30°；
(3)假设线段B 1C 上是存在点P ，使得MP//平面B 1AD ，过点P 作PQ//CD 交B 1D 于Q ，连结MP ，AQ ，如下图：∴AM//CD//PQ ，∴A ，M ，P ，Q 四点共面，又∵MP//平面B 1AD ，∴MP//AQ ，
∴四边形AMPQ 为平行四边形，故AM =PQ =12
CD ，∴P 为B 1C 中点，
故在线段B 1C 上存在点P ，使得MP//平面B 1AD ，且B 1P
B 1
C =12
．
19.解：(1)由题可得：{
(2
6
3)2
a 2
+1b 2=1e =c a
=1
2a 2=b 2+c 2
，解得：a =2，b = 3，故椭圆C 的方程为x 2
4
+
y 2
3
=1；(2)由(1)知，A(−2,0)，F 2(1,0)，若直线l 的斜率不存在，则x =1，代入椭圆方程可得14
+
y 2
3
=
1，故|y|=32
，
此时S △ADE =12|2y||AF 2|=12
×3×3≠18
2
7
，
故直线斜率存在，如图，
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y =k(x−1)，D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，联立 {
y =k(x−1)
x 24
+y 23
=1，化简得：(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，显然Δ>0，
则x 1+x 2=
8k 2
4k 2+3，x 1⋅x 2=4k 2−124k 2+3，所以S △ADE =1
2
|y 2−y 1|⋅|AF 2|=12
×3×|k(x 2−x 1)| =32 k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]
=
32
k 2[(8k 24k 2+3
)2−4×4k 2−124k 2
+3
] =18
2
7
，
化简得：17k 4+k 2−18=0，即(k 2−1)(17k 2+18)=0，解得k =±1，
所以直线l 的方程为：y =±(x−1)；
(3)依题意，设椭圆上的点Q(x 0,y 0)，则过点Q(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x 4+y 0y
3=1，
即3x 0x +4y 0y−12=0，又x 2
04
+y 2
03
=1，则y 20=3−3x 2
4
，x 20≤4，
则原点到切线的距离为d =12
9x 20+16y 20=12
48−3x 20
，
又|QF 1|= (x 0+c )2+y 20= (x 0+1)2+3(1−
x 2
04
)=1
2|x 0+4|，同理|QF 2|=1
2
|x 0−4|，
则|QF 1||QF 2|=14|x 20−16|=14
(16−x 2
0)，
故d 2|QF 1||QF 2|=144
48−3x 20
×1
4
(16−x 20)=12，为定值．。