广东省广州市象贤中学2020年高三数学文联考试题

广东省广州市象贤中学2020年高三数学文联考试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
首先转化题意，要使函数与的图象上存在关于轴对称的点，只需
关于轴的对称的函数图象与的图象有交点，从而利用数形结合即可得到本题的答案.
解答：
要使函数与的图象上存在关于轴对称的点，只需关于轴的对称的函数图象与的图象有交点即可，即设
与相切时，切点为，则，又点与两点连线斜率，由图知的取值范围是
时，函数图象与的图象有交点，即范围是
时，函数与的图象上存在关于轴对称的点，故选B.
说明：本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想.导数以及直线斜率的灵活应用，属于难题
2. 执行如图所示的程序框图，则输出的a值是
A．2
B．-3
C．-
D．
参考答案：
D
3. （5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）
A．0 B． 1 C． 2 D．eln2
参考答案：
C
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据分段函数的解析式，求出函数值即可．
解答：解：∵函数f（x）=，
∴f（e）=lne=1，
∴f（f（e））=f（1）=21=2．
故选：C．
点评：本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目．
4. 已知是偶函数，在(－∞,2]上单调递减，，则的解集是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.
【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；
因此，由得；
又在上单调递减，则在上单调递增；
所以，当即时，由得，所以，
解得；
当即时，由得，所以，
解得；
因此，的解集是.
【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.
5. 抛物线的焦点坐标为
A. B. C.
D.
参考答案：
B
6. 已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案：
B
略
7. 本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有
（）
A．330种B．420种C．510种D．600种
参考答案：
A
种类有（1）甲，乙，丙，方法数有；（2）甲，乙，丙；或甲，乙，丙；或甲，乙，丙——方法数有；（3）甲，乙，丙；或甲，乙，丙
；或甲，乙，丙——方法数有.故总的方法数有种.
8. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（单位：cm3）（）
A．πB．2πC．4πD．8π
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，
其底面是一个半径为1cm的半圆，故S=cm2，
高为h=2cm，
故柱体的体积V=Sh=πcm3，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
9. （5分）已知集合 A={y|y=2﹣x，x＜0}，集合B={x|x≥0}，则A∩B=（）
A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）
参考答案：
A
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A中y的范围确定出A，找出A与B的交集即可．
解答：由A中y=2﹣x，x＜0，得到y＞1，即A=（1，+∞），
∵B=[0，+∞），
∴A∩B=（1，+∞），
故选：A．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
10. 在平面直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，设(m,n∈R)，则的最大值为
（）
A．-1 B．1 C. 2 D．3
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，直线圆.若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是▲．
参考答案：
12. 设是单位向量，且的最大值为________．
参考答案：
13. 若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线
扫过中的那部分区域的面积为 .
参考答案：
答案：
14. 已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是．
参考答案：
5
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得：A（3，1），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5．故答案为：5．
15. 若则__________.
参考答案：
16. 的展开式中，常数项为20，则实数a的值为．
参考答案：
1
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】利用通项公式即可得出．
【解答】解：的通项公式为：T r+1==a r x6﹣2r．
令6﹣2r=0，或6﹣2r=﹣1，
解得r=3，r=（舍去）．
∴a3=20，解得a=1．
故答案为：1．
17. 方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为．
参考答案：
x=0和x=1
【考点】对数的运算性质．
【分析】由对数的运算性质化对数方程为关于3x的一元二次方程，求得3x的值，进一步求得x值得答案．
【解答】解：由log2（9x+7）=2+log2（3x+1），得
log2（9x+7）=log24（3x+1），
即9x+7=4（3x+1），
化为（3x）2﹣4?3x+3=0，
解得：3x=1和3x=3，
∴x=0和x=1．
故答案为：x=0和x=1．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在数列{a n}中，，且对任意，成等差数列，其公差为. （1）若，求的值；
（2）若，证明成等比数列（）；
（3）若对任意，成等比数列，其公比为，设，证明数列
是等差数列.
参考答案：
（1），.（2）见证明；（3）见证明；
【分析】
（1）由成等差数列且公差为2可计算的值.
（2）由可得，再根据得到，从而可证成等比数列.
（3）利用成等比数列且公比为可得，对该递推关系变形后
可得为等差数列.
【详解】（1）因为对任意，成等差数列，
所以当时，成等差数列且公差为2，
故，故.
（2）证明：由题设，可得，所以
，
由得，，
从而，所以.
于是，
所以当时，对任意的，成等比数列.
（3）由成等差数列，及成等比数列，
可得，所以，
当时，可知，，
从而，即，
所以数列是公差为1的等差数列.
【点睛】数列中的奇数项、偶数项问题，可分别求出奇数项、偶数项的通项后再讨论它们的性质，要证明一个数列是等差数列，关键是找到关于该数列的递推关系且满足等差数列的定义.
19. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.
（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.
参考答案：
20. （2016?湘潭一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】函数最值的应用．
【分析】（1）求导数，求得函数的单调性，即可求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在
x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）化简方程，分离参数，再构建新函数，确定函数的单调性，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，
∴φ′（x）==；
x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0
∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增
∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣；
（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2=﹣，∴a=﹣x3，
设y=﹣x3，则y′=﹣3x2，
∵x∈[]
∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减
∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，
∴y∈[]
∴a∈[]
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．
21. (本小题满分10分)选修4— 5:不等式选讲
设函数，其中a>0.
(1)当a=3时,求不等式的解集；
(II)若不等式的解集为，求a的值.
参考答案：
解：（Ⅰ）当时，可化为.--------------2分
由此可得或.
故不等式的解集为. --------------------5分
(Ⅱ) 由得，此不等式化为不等式组
--------------------------7分
即
因为，所以不等式组的解集为
由题设可得，故.-----------------------------------10分
22. （本小题满分13分）
设椭圆C:（）的离心率，右焦点到直线的距离,O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O 到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值.
参考答案：
(本小题满分13分)
（1）由得，所以，由右焦点到直线的距
离
得，解得，所以椭圆C的方程为-------6分
（2）设
当直线AB的斜率不存在时，由已知得O到直线AB的距离；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，与椭圆C：
联立消去得，
，，因为，所以
所以所以
整理得，O到直线AB的距离
因为，所以，即弦AB长度的最小值是 ------------------------13分
略。