《一元二次方程根的判别式》练习题
第2章 一元二次方程根的判别式问题专题测试（含解析）
浙教版八下数学第2章《一元二次方程》根的判别式问题专题测试考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.一元二次方程有两个相等的实数根，那么实数的取值为（）A. ＞2B. ≥2C. ＝2D. ＝2.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )A. B. 且 C. D. 且3.关于的方程的两个根互为相反数，则k值是（）A. -1B.C. 2D. -24.下列方程①，②，③，④没有实数根的是（）A. ①②③④B. ①③C. ②④D. ②③④5.若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则a 的取值范围是（）A. B. C. D.6.若关于的一元二次方程有实数根，则的非负整数值是（）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,37.已知的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（）。
A. 有两相等实根B. 有两相异实根C. 无实根D. 不能确定8.已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c-a）=0根的情况是（）.A. 方程无实数根B. 方程有两个不相等的实数根C. 方程有两个相等的实数根D. 无法判断9.关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（）.A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________12.若关于x的方程有两个相等的实数根，则式子的值为________13.如果恰好只有一个实m数是关于x的方程的根，则k=________．14.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是________.15.若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m－3=0有一个根是0，则m=________，另一根为________。
一元二次方程根的判别式练习题
2.3 一元二次方程根的判别式要点感知 关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△= .（1）△>0⇔原方程有 的实数根，其根为x 1= ，x 2= .(2)△=0⇔原方程有 的实数根，这两个根为x 1=x 2=2b a -. (3)△<0⇔原方程 实数根.注意：在运用一元二次方程根的判别式时，要注意二次项系数a 的条件.预习练习1-1 (2013·昆明)一元二次方程2x 2-5x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定1-2 (2013·大连)若关于x 的方程x 2-2x+m=0没有实数根，则实数m 的取值范围是( )A.m ＜-1B.m ＞-1C.m ＜1D.m ＞11-3 (2012·梧州)关于x 的一元二次方程(a+1)x 2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是(B)A.a ＞-5B.a ＞-5且a ≠-1C.a ＜-5D.a ≥-5且a ≠-1知识点1 不解方程，判断根的情况1.(2013·泰州)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是( )A.x 2-3x+1=0B.x 2+1=0C.x 2-2x+1=0D.x 2+2x+3=02.一元二次方程ax 2+bx+c=0中a ，c 异号，则方程的根的情况是( )A.b 为任意实数，方程有两个不等的实数根B.b 为任意实数，方程有两个相等的实数根C.b 为任意实数，方程没有实数根D.无法确定3.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：(1)3x 2-2x-1=0； (2)2x2-x+1=0； (3)4x-x 2=x 2+2.知识点2 根据根的情况，确定字母系数的取值范围4.(2013·钦州)关于x 的一元二次方程3x 2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A.m ＜3B.m ≤3C.m ＞3D.m ≥35.已知(m-1)x 2+2mx+(m-1)=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( )A.m>12B.m<12且m ≠1C.m>12且m ≠1D.12＜m ＜1 6.(2013·张家界)若关于x 的一元二次方程kx 2+4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是 .7.已知关于x 的方程2x 2-(4k+1)x+2k 2-1=0，问当k 取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根.8.(2013·成都)一元二次方程x 2+x-2=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根9.(2013·西宁)已知函数y=kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k-1=0根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定10.(2013·广州)若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断11.(2013·潍坊)已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0，下列说法正确的是( )A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解12.(2013·新疆)如果关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是.13.(2013·兰州)若4a-=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是.14.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)3x2-5x-1=0；(2)x2-8x+16=0；(3)2x2+3x+4=0.15.已知关于x的方程2x2+kx-1=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.挑战自我16.(2013·乐山)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k 的值.参考答案课前预习要点感知b2-4ac (1)两个不相等242b b aca-+-242b b aca--(2)两个相等-(3)没有≠0预习练习1-1 A1-2 D1-3 B当堂训练1.A2.A3.(1)Δ=(-2)2-4×3×(-1)=16＞0，∴方程有两个不相等的实数根.(2)Δ=(-1)2-4×2×1=-7＜0，∴方程没有实数根.(3)原方程可整理为x 2-2x+1=0，∴Δ=(-2)2-4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根.4.A5.C6.17.∵a=2，b=-(4k+1)，c=2k 2-1，∴Δ=b 2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k 2-1)=8k+9.(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即8k+9＞0，解得k ＞98-. (2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即8k+9=0，解得k=-98-. (3)∵方程没有实数根，∴Δ＜0，即8k+9＜0，解得k<-98-. 课后作业8.A 9.C 10.A 11.C 12.k ≤413.k ≤4且k ≠014.(1)Δ=(-5)2-4×3×(-1)=37>0，∴方程有两个不相等的实数根.(2)Δ=(-8)2-4×1×16=0，∴方程有两个相等的实数根.(3)Δ=32-4×2×4=-23<0，∴方程没有实数根.15.(1)∵b 2-4ac=k 2-4×2×(-1)=k 2+8，无论k 取何值，k 2≥0，∴k 2+8＞0，即b 2-4ac ＞0， ∴方程2x 2+kx-1=0有两个不相等的实数根.(2)由题意得2×(-1)2-k-1=0，∴k=1，∴原方程为2x 2+x-1=0.解得x 1=12，x 2=-1. 即k=1，方程的另一个根为x=12. 16.(1)∵Δ=(2k+1)2-4(k 2+k)=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根.(2)一元二次方程x 2-(2k+1)x+k 2+k=0的解为x=212k +，即x 1=k ，x 2=k+1. 当AB=k ，AC=k+1，且AB=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k=5；当AB=k ，AC=k+1，且AC=BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4. 所以k 的值为5或4.。
根的判别式练习题(含答案解析)
根的判别式练习题一．填空题（共8小题）1．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．3．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是．4．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是．5．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为．6．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m 的值．7．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝时，△ABC是等腰三角形；当k＝时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．8．若关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，则a的值为．二．解答题（共2小题）9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．10．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程mx2+（3m+1）x+3＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≤且m≠0．【分析】根据判别式的意义得到m≠0，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4m≥0且m≠0，解得：m≤且m≠0，故答案为：m≤且m≠0．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．3．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是0．【分析】根据方程有实数根可知△≥0，据此求出m的取值范围，从而得到m的最大整数值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，∴△≥0，∴[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，∴﹣8m+4≥0，解得，m≤，故m的最大整数值是0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．4．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是10．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．5．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为10．【分析】讨论：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0可求出对应的n的值；当a＝b时，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10．【解答】解：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得4﹣12+n﹣1＝0，解得n＝9，此时方程的根为2和4，而2+2＝4，故舍去；当a＝b时，Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10，故答案为10．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．6．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m 的值1或﹣9．．【分析】通过解方程x2﹣2x＝0，可得出方程的根，分x＝0为两方程相同的实数根或x ＝2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x＝0是两个方程相同的实数根，将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝1符合题意；②若x＝2是两个方程相同的实数根，将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝2符合题意．综上此题得解．【解答】解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．①若x＝0是两个方程相同的实数根．将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：m﹣1＝0，∴m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，∴m＝1；②若x＝2是两个方程相同的实数根．将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：4+6+m﹣1＝0，∴m＝﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，∴m＝﹣9．综上所述：m的值为1或﹣9．故答案为：1或﹣9．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．7．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝3或4时，△ABC是等腰三角形；当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．【分析】（1）此题要分两种情况进行讨论，若AB＝BC＝5时，把5代入方程即可求出k 的值，若AB＝AC时，则Δ＝0，列出关于k的方程，解出k的值即可；（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2＝25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．【解答】解：（1）因为Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．∵无论k取何值，Δ＞0，∴AB≠AC，故k只能取3或4；（2）根据根与系数的关系：AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，则AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25，即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，解得k＝2或k＝﹣5．根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积k2+3k+2＞0，解得k ＞﹣1，∴k＝2．故答案为：3或4；2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件8．若关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，则a的值为0．【分析】根据关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，可知是一元一次方程，依此求出a的值．【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，∴a＝0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根．二．解答题（共2小题）9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0，且m﹣1≠0，解得：m≠1，所以m＞0且m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程mx2+（3m+1）x+3＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．【分析】（1）分类讨论：当m＝0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，方程为一元二次方程，再进行判别式得到Δ＝（3m﹣1）2，易得△≥0，故判别式的意义得到方程有两个实数根，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）先利用求根公式得到x1＝﹣3，x2＝﹣，再利用方程有两个不同的整数根，且m 为正整数和整数的整除性易得m＝1．【解答】（1）证明：当m＝0时，方程变形为x+3＝0，解得x＝﹣3；当m≠0时，Δ＝（3m+1）2﹣4m•3＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2，≥0，即△≥0，∴此时方程有两个实数根，所以不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）解：根据题意得m≠0且Δ＝（3m+1）2﹣4m•3＝（3m﹣1）2＞0，x＝，所以x1＝﹣3，x2＝﹣，∵方程有两个不同的整数根，且m为正整数，∴m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．。
一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；
《一元二次方程的解法及根的判别式》练习
《一元二次方程的解法及根的判别式》练习1．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( ) A．2018 B．2008 C．2014 D．20122．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝33．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，②x2－2x－3＝0，下列说法正确的是( )A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解4．若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m的值等于( ) A．1 B．2 C．1或2 D．05．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a－1＝0有两个根，分别为x1，x2，且21x－x1x2＝0，则a的值是( )A．a＝1 B．a＝1或a＝－2 C．a＝2 D．a＝1或a＝26．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k<－2 B．k<2 C．k>2 D．k<2且k≠17．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”，若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )A．a＝c B．a＝bC．b＝c D．a＝b＝c8．若将方程x2＋6x＝7化为(x＋m)2＝16，则m＝_______．9．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中较大的根是_______．10．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是_______．11．若a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是_______．12.如果关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取值范围是_______．13.对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝22,,a ab a bab b a b⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根．则x1*x2＝_______．14.若关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)（β＋3）＝_______．15．选择适当的方法解下列方程：(1)(x＋1)(x－3)＝2x－6；(2)3(x－3)2＝x2－9.16．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．17.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？18．阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看成一个整体，然后设x2－1＝y……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x故原方程的解为x1，x2，x3x4解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0.参考答案1.A2.A3.B4.B5.D6.D7.A8.39.6 10.－1或411．没有实数根12．a≥－1 13．－3或3 14．915.(1)x1＝1，x2＝3 (2)x1＝3，x2＝616．n＝－2，m＝117．(1)x1＝11mm+-，x2＝1 (2)m＝2或318．(1)换元(2)x1x2。
一元二次方程根的判别式,作业
一元二次方程根的判别式练习11、方程2x2+3x－k=0根的判别式是；当k 时，方程有实根。
2、关于x的方程kx2+(2k+1)x－k+1=0的实根的情况是。
3、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。
4、关于x的方程(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=0的根的情况是。
5、当m 时，关于x的方程3x2－2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数根。
6、如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是。
7、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。
8、不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：(1)(a+1)x2－2a2x+a3=0(a>0)(2)(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=09、m、n为何值时，方程x2+2(m+1)x+3m2+4mn+4n2+2=0有实根?10、求证：关于x的方程(m2+1)x2－2mx+(m2+4)=0没有实数根。
11、已知关于x的方程(m2－1)x2+2(m+1)x+1=0，试问：m为何实数值时，方程有实数根?12、已知关于x的方程x2－2x－m=0无实根(m为实数)，证明关于x的方程x2+2mx+1+2(m2－1)(x2+1)=0也无实根。
13、m为何值时，方程2(m+1)x2+4mx+2m－1=0。
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个实数根；(3)有两个相等的实数根；(4)无实数根。
14、不解方程判别根的情况2x2－4x+1=0；15、不解方程判别根的情况4y(y－5)+25=0；16、不解方程判别根的情况(x－4)(x+3)+14=0；17、试证：关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+2(a－2)=0一定有两个不相等的实数根。
18、若a＞1，则关于x的一元二次方程2(a+1)x2+4ax+2a－1=0的根的情况如何?19、若a＜6且a≠0，那么关于x的方程ax2－5x+1=0是否一定有两个不相等的实数根?为什么?若此方程一定有两个不相等的实数根，是否一定满足a＜6且a≠0?20、.a为何值时，关于x的一元二次方程x2－2ax+4=0有两个相等的实数根?21、已知关于x的一元二次方程ax2－2x+6=0没有实数根，求实数a的取值范围。
一元二次方程的根的判别式练习题
一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x＝_______________．(2)b2－4ac＝0⇔方程有________个________的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0⇔方程__________实数根．二、例变讲练例1 方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个__________的实数根．变1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0例2 已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；(2)说明不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．变3 已知关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__________．例4 若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________．变4 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__________三、课堂训练一级1. 若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝_________．2. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝03. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_________．4. 若关于x的方程x2－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=_____________5. 若关于x的方程x2＋x－94a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．6. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m≥2C．m≤2且m≠1 D．m≥－2且m≠17. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是_________．8. 求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．10. 等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．第7课时 一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x ＝_______________． 两，不相等，－b±b2－4ac 2a(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有________个________的实数根，x 1＝x 2＝______________．(3)b 2－4ac ＜0⇔方程__________实数根．两，相等，－b 2a，无 二、例变讲练例1 方程3x 2－2x －1＝0的根的判别式为b2－4ac ＝16，此方程有两个__________的实数根．不相等变1 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x －1＝0 D例2 已知关于x 的方程x 2－3x ＋2－m 2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m 的代数式表示)；解：b 2－4ac ＝4m 2＋1；(2)说明不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．解：b 2－4ac ＝4m 2＋1≥1>0，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －3)x －3m ＝0.求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．解：Δ＝(m －3)2－4×(－3m)＝m 2－6m ＋9＋12m＝m 2＋6m ＋9＝(m ＋3)2，∵无论实数m 取何值，总有(m ＋3)2≥0，即Δ≥0，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x 2＋2x －m ＝0有实数解，则m 的取值范围是______________．m≥－1变3 已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． m>1例4 若关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．k>－1且k≠0变4 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________，k≤5且k≠1三、课堂训练一级1. 若关于x 的方程x 2－4x －c ＝0的根的判别式Δ＝4，则c ＝_________．-32. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A ．(x －1)2＝0B ．x 2＋2x －19＝0C ．x 2＋4＝0D ．x 2＋x ＋1＝0B 3. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是_________．m<－44. 若关于x 的方程x 2－x －k ＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为 x ＝x=_____________－14， x 1＝x 2＝125. 若关于x 的方程x 2＋x －94a ＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________．a>－196. 已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m≤2B ．m≥2C ．m≤2且m≠1D ．m≥－2且m≠1C7. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x2－4x －5＝0没有实数根，则k 的取值范围是_________．k ＜158. 求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0总有两个不相等的实数根．证明：根据题意得：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5，∵m2≥0，∴16m 2＋5＞0，即Δ＞0，∴不论m 为任何实数，原方程总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋2)x ＋2m ＝0.(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－4×1×2m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：将x ＝1代入原方程，得：1－(m ＋2)＋2m ＝0，∴m ＝1，∴方程的另一个根为2×11＝2. 当1，2为直角边长时，斜边长＝12＋22＝5，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋5＝3＋5；当2为斜边长时，另一直角边长＝22－12＝3，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋3＝3＋ 3.综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3＋5或3＋ 3.10. 等腰三角形的边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，求n 的值．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a ＝2或b ＝2，②a ＝b 两种情况，①当a ＝2或b ＝2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，∴x ＝2，把x ＝2代入x 2－6x ＋n －1＝0得22－6×2＋n －1＝0，解得：n ＝9，当n ＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x2－6x ＋n －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0，解得：n ＝10，综上所述：n ＝10.。
一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok1.1) 对于方程2x-5x-a=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25+8a，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以25+8a>0，解得a>-25/8，所以a的取值范围为a>-25/8.2) 当方程的两个根互为倒数时，根据一元二次方程的求根公式，有x1x2=-a/2，又因为x1x2=1/x1，所以x1^2=-a/2，代入原方程得2x-5x-2x1^2=0，解得x1=±√(5/2)，代入x1x2=-a/2得a=5.2.1) 将方程展开得x^2-5x+6-p=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25-24+4p=1+4p，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以1+4p>0，解得p>-1/4，所以p的取值范围为p>-1/4.2) 当p=2时，代入方程得(x-3)(x-2)=2，展开得x^2-5x+4=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1，x2=4.3.将方程化简得2kx+k-2=0，由于方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ=0，解得k=1，代入方程得3x-1=0，解得x=1/3.4.1) 将方程化简得x^2+(4-a)x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=(4-a)^2-12，要使方程有实数根，即Δ≥0，所以(4-a)^2-12≥0，解得a∈(-∞,4-2√3]∪[4+2√3,+∞)。
2) 当a=4-2√3时，代入方程得x^2+(4-4+2√3)x+3=0，解得x1=√3-1，x2=-(√3+1)。
5.1) 将方程化简得4x^2-4mx+m^2-4m+1=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=16m-4m^2，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以m∈(-∞,0)∪(1,4]。
2) 当m=4时，代入方程得4x^2-16x+17=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(4-√3)/2，x2=(4+√3)/2.6.1) 将方程化简得4x^2-3x-m=0，由于方程有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=9+16m>0，解得m>-9/16，所以m的最小整数值为-1.2) 当m=-1时，代入方程得4x^2-3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1/4，x2=1.7.根据一元二次方程的求根公式，判别式Δ=25-12m，要使判别式为1，即Δ=1，解得m=2或m=1/3.当m=2时，代入方程得2x^2-10x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√13)/2，x2=(5+√13)/2.当m=1/3时，代入方程得x^2-5/3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√5)/6，x2=(5+√5)/6.8.删除此段落。
完整版)一元二次方程的根的判别式练习题
完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac，即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13，当k>-13时，方程有实根。
2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0，根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1，当k 不等于0时，方程有实根。
3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根，即b^2-4ac=0，即4-4m=0，解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0，根的情况为一个实根为-k，一个实根为k+4.5.当m=-1时，关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0，有两个不相等的实数根。
6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0，根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23，要使方程没有实数根，根的判别式小于0，即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1，解得m=1或m=-1/4，但由于题目中要求判别式的值等于4，所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0，根据韦达定理，α+β=-c，αβ=c，所以方程的两个根为α和β。
9.1) 当a>0时，判别式为4a^4-4a^3，即a^3>1时有两个实数根，否则无实数根。
2) 判别式为4k^2-4(k^2+4)，即-16，所以方程无实数根。
10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0，根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8，要使方程有实数根，根的判别式大于等于0，即(m-n+1)^2>=2，解得m-n=-1+sqrt(2)，即m=n-1+sqrt(2)。
一元二次方程根的判别式练习题
一元二次方程根的判别式练习题Last revision on 21 December 2020一元二次方程根的判别式练习题（一）填空1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．2．a是有理数，b是___，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．4．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．5．方程4mx2 -mx＋1=0有两个相等的实数根，则m____．6．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2 ）x2 +2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为．7．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．8．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k___．9．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．（二）选择10．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2 +x＋2有两相等的实数根，则m值为[]．11．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为[]．A2个；B．1个；C．0个；D．不确定．12．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为[]．13．若一元二次方程（1-2k）x2 +8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是[]．A．2；B．0；C．1；D3．14．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是[]．A．1；B．2；C．-1；D．0．15．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是[]．A．-1B．0；C．1；D．2．16．若方程k（x2-2x＋1）-2x2＋x＝0有实数根，则[]17．若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则[]．18．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2 -4m+n）=0的根为有理数，则n的值为[]．A4；B．1；C．-2；D．-6．（三）综合练习19．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+（a2＋b2－c2）x＋b2=0无解．20．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x＋（3a2 +4ab＋4b2＋2）=0有实数根．21．一元二次方程（m-1）x2 +2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．22．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+k2+2k-4=0：（1）有两个相等的实数根；2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．23．若方程3kx2 -6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．24．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．25．若方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．26．若方程（k+2）x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．27．若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．28．已知方程x2＋2x＋1＋m=0没有实数根．求证方程x2＋（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．。
一元二次方程根的判别式练习题
一元二次方程根的判别式练习题一元二次方程根的判别式练题一）填空1.方程x^2+2x-1+m=0有两个相等实数根，则m=1．2.a是有理数，b是整数，方程2x^2+(a+1)x-(3a^2-4a+b)=0的根也是有理数．3.当k＜1时，方程2(k+1)x^2+4kx+2k-1=0有两个实数根．4.若关于x的一元二次方程mx^2+3x-4=0有实数根，则m 的值为正数．5.方程4mx^2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m=1/4．6.若m是非负整数且一元二次方程(1-m^2)x^2+2(1-m)x-1=0有两个实数根，则m的值为0或2．7.若关于x的二次方程kx^2+1=x-x^2有实数根，则k的取值范围是[0,1/4]．8.二次方程(k^2-1)x^2-6(3k-1)x+72=0有两个实数根，则k=3或-2/3．9.若一元二次方程(1-3k)x^2+4x-2=0有实数根，则k的取值范围是[-1/3,1/3]．二）选择10.关于x的方程：m(x^2+x+1)=x^2+x+2有两相等的实数根，则m值为[1/2]．11.当m＞4时，关于x的方程(m-5)x^2-2(m+2)x+m=0的实数根的个数为B．1个．12.如果m为有理数，为使方程x^2-4(m-1)x+3m^2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为(m-1)^2．13.若一元二次方程(1-2k)x^2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是D．3．14.若一元二次方程(1-2k)x^2+12x-10=0有实数根，那么k 的最大整数值是A．1．15.方程2x(kx-5)-3x^2+9=0有实数根，k的最大整数值是D．2．16.若方程k(x^2-2x+1)-2x^2+x=0有实数根，则k=1/2．17.若方程(a-2)x^2+(-2a+1)x+a=0有实数根，则a∈(0,1/2]∪[2,∞)．18.若m为有理数，且方程2x^2+(m+1)x-(3m^2-4m+n)=0的根为有理数，则n的值为D．-6．三）综合练19.如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a^2x^2+(a^2+b^2-c^2)x+b^2=0无解．20.当 $a=-1$，$b=0$ 时，方程$x^2+2(1+a)x+(3a^2+4ab+4b^2+2)=0$ 有实数根。
九年级：一元二次方程-根的判别式-道经典考试题-有详细解答
九年级数学，一元二次方程，有一个非常重要的内容，就是根的判别式。
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式是，△=b2-4ac.①若△=b2-4ac＞0，则一元二次方程有两个不相等实数根。
②若△=b2-4ac=0，则一元二次方程有两个相等的实数根。
③若△=b2-4ac＜0，则一元二次方程没有实数根。
反之，亦成立。
题型一，根据△的情况来判定方程的根的情况。
例1题中，第1小题，原方程没有实数根，则△＜0,得出m的取值范围。
再把m的取值范围，代入到第2小题的△=b2-4ac中，得出结论。
例2题，第1小题，不解方程，判定根的情况，是不是很简单？通过计算，△=b2-4ac=4＞0，所以，原方程有两个不相等的实数根.第2小题，原方程有一个根是x=3，代入原方程，即可求出m的值.例3题，原方程有两个实数根，那么就有可能是两个相等，或者两个不相等实数根。
所以，△=b2-4ac≥0，即可求出t的值。
后面要是学了二次函数的同学就很容易理解，暂时还没有学到二次函数的同学，可以暂时略过。
例4题，a,b是等腰三角形的两边，而且是一元二次方程的两个根。
凡是讲到等腰三角形，没有明确腰和底的时候，一定要记得分类讨论。
不管是哪种题型，只要和等腰三角形有关.例5题，一元二次方程有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0，即可求出m的取值。
再分别代入代数式，求出代数式的值，非常简单常见的考试题型。
例6题，第1小题，求证方程总有两个不相等的实数根。
那么只要计算△=b2-4ac的结果，判定它的正负性，就好。
第2小题，把已知的一个根代入原方程，即可求出m的值。
当然，此题不需要求出m的取值，整体代入更简单。
例7题，先根据，根与系数的关系，分别得到两根之和，和两根之积的代数式，依据题意得出一个关于m的方程，解得m=6或者m=-4再根据题意，原方程有两个实数根，即△=b2-4ac≥0，求出m的取值范围，得出符合题型的m的值。
例8题，二次根式，被开方数≥0，一次函数X的系数≠0，所以k-1＞0，求出k＞1.再根据根的判别式，△=b2-4ac＜0，所以原方程没有实数根。
一元二次方程之判别式专项练习60题（有答案）ok
一元二次方程判别式专项练习60题（有答案）﹣a=01．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x5x﹣的取值范围．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．．=0．2．已知关于x的方程（）﹣p p2=0的方程（x x﹣3）（x﹣2）﹣）求证：方程有两个不相等的实数根；（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．时，求该方程的根．（k﹣2）2=x有两个相等的实数根，求k的值与方程的根．的值与方程的根．+2kx+（3．已知关于x的方程x2+2kx+有实数根．﹣a+3=0有实数根．的方程 x4．若关于x的方程x2+4x+4x﹣的取值范围；（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．为符合条件的最小整数，求此时方程的根．5．已知关于x的方程．的取值范围；（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；为符合条件的最大整数，求此时方程的根．）在（11）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．（2）在（．展示你的分析能力：6．展示你的分析能力：有两个不相等的实数根．﹣m=8有两个不相等的实数根．+3x﹣已知关于x的方程x2+3x的最小整数值是多少？（1）求m的最小整数值是多少？﹣m=8中解出x的值．的值．+3x﹣（2）将（）将（11）中求出的m值，代入方程x2+3x7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣5x+3=0的判别式为1，求m的值及该方程的根．的值及该方程的根．8．已知关于x 的方程kx 2﹣2x+1=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 使（使（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．的值；如果不存在，请说明理由．9．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（2k+12k+12k+1））x+4x+4（（k ﹣）=0（1）判断方程根的情况；）判断方程根的情况；（2）k 为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．1010．若关于．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）为k 选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．1111．已知关于．已知关于x 的一元二次方程的一元二次方程 x x 2+2mx++2mx+（（m+2m+2））（m ﹣1）=0=0（（m 为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m 的值；如果方程没有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．1212．当．当k 取什么值时，关于x 的一元二次方程（1）有两个不相等的实数根？）有两个不相等的实数根？ （2）没有实数根？）没有实数根？1313．已知关于．已知关于x 的方程是ax 2﹣3（a ﹣1）x ﹣9=09=0．． （1）证明：不论a 取何值，总有一个根是x=3x=3；； （2）当a ≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．时，利用求根公式求出它的另一个根．1414．若．若k 是一个整数，已知关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 最大可以取多少？为什么？多少？为什么？1515．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m+2m+2））x+2m x+2m﹣﹣1=01=0．． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）当m=m=﹣﹣2时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．1616．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=01=0，， （1）若方程有一个根是1，求k 的值；的值；（2）若方程没有实数根，求实数k 的取值范围．的取值范围．1717．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣9=0（1）求证：无论m 取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1=m+1，求，求m 的值．的值．1818．已知．已知p 为质数，使二次方程x 2﹣2px+p 2﹣5p 5p﹣﹣1=0的两根都是整数，求出p 的所有可能值．的所有可能值．1919．．m 是什么实数时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数根？个互不相等的实数根？2020．设关于．设关于x 的方程x 2﹣4x+4x+（（y ﹣1）|x |x﹣﹣2|+22|+2﹣﹣2y=0恰有两个实数根，求y 的负整数值．的负整数值．2121．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0+2mx+m+2=0．．（1）方程两根都是正数时，求m 的取值范围；的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．的取值范围．2222．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx+m 2﹣2m=02m=0．． （1）当m=1时，求方程的根．时，求方程的根． （2）试判断方程根的情况．）试判断方程根的情况．2323．已知．已知a 、b 、c 是三角形的三条边长，且关于x 的方程（的方程（c c ﹣b ）x 2+2+2（（b ﹣a ）x+x+（（a ﹣b ）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．试判断三角形的形状．2424．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m mx+m﹣﹣2=02=0，求证：无论，求证：无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根．2525．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0．． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；的值； （2）若方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，求，求的值．的值．2626．关于．关于x 的方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k ﹣1是方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0的一个解，求k 的值．的值．2727．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+m +2x+m﹣﹣1=0 （1）若1是方程的一个根，求m 的值；的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．的取值范围．2828．若关于．若关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围．2929．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（3k 3k﹣﹣2）x ﹣6k=06k=0，， （1）求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC 的一边a=6a=6，另两边长，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．3030．已知一元二次方程．已知一元二次方程x 2﹣5x+k=05x+k=0．． （1）当k=6时，解这个方程；时，解这个方程；（2）若方程x 2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；的取值范围；3131．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（m+1m+1m+1））x+m=0（1）求证：不论m 取何实数，方程都有实数根；取何实数，方程都有实数根；（2）为m 选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．3232．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣2x+2k 2x+2k﹣﹣3=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．为符合条件的最大整数，求此时方程的根．3333．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=02=0．． （1）讨论此方程根的情况；）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值．的值．3434．关于．关于x 的一元二次方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求p 的取值范围；的取值范围； （2）若，求p 的值．的值．3535．实数．实数k 取何值时，一元二次方程x 2﹣（﹣（2k 2k 2k﹣﹣3）x+2k x+2k﹣﹣4=0 （1）有两个正根；）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；）有两个异号根，且正根的绝对值较大； （3）一个根大于3，一个根小于3．3636．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． ①求k 的取值范围；的取值范围； ②试判断直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5），并说明理由．，并说明理由．3737．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=02=0．． （1）若﹣）若﹣11是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根． （2）对于任意实数m ，判断方程根的情况，并说明理由．，判断方程根的情况，并说明理由．3838．证明：无论．证明：无论m 为何值，关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．总有两个不相等的实数根．3939．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求，若方程有两个相等的实数根，求m 的值．的值．4040．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx kx﹣﹣2=02=0．．（1）求证：无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根；取何值，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1•x 2，求k 的值．的值．4141．已知方程．已知方程m 2x 2+（2m+12m+1））x+1=0有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．4242．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个实数根．有两个实数根． （1）求m 的范围；的范围； （2）若方程两个实数根为x 1、x 2，且x 1+3x 2=8=8，求，求m 的值．的值．4343．如果关于．如果关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣m ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，当m 在它的取值范围内取最大整数时，求的值．的值．4444．若关于．若关于x 的一元二次方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，分别是x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；的取值范围； （2）若有x 1+x 2=x 1x 2，则k 的值是多少．的值是多少．4545．已知关于．已知关于x 的方程k 2x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+1=0有两个实数根x 1、x 2 （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k ，若不存在，请说明理由．，若不存在，请说明理由．4646．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0x+k=0．．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实根．取什么实数值，这个方程总有实根． （2）若等腰△）若等腰△ABC ABC 的一腰长a=4a=4，另两边，另两边b 、c 恰好是这个方程的两根，求△恰好是这个方程的两根，求△ABC ABC 的周长．的周长．4747．已知．已知x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0是关于x 的一元二次方程方程．的一元二次方程方程． （1）方程有两根不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围． （2）方程有一根为1，求k 的取值．的取值．（3）方程的两根两根互为倒数，求k 的取值．的取值．4848．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k k ﹣1）x 2+2x +2x﹣﹣5=0有两个不相等的实数根，求：有两个不相等的实数根，求： ①k 的取值范围．的取值范围．②当k 为最小整数时求原方程的解．为最小整数时求原方程的解．4949．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（m m ﹣1）x 2﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）x+2=0x+2=0．． （1）求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根； （2）若方程只有整数根，求整数m 的值．的值．5050．已知关于．已知关于x 的方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．． （1）小明同学说：“无论k 为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？”你认为他说的有道理吗？ （2）若方程的一个根是﹣）若方程的一个根是﹣11，求另一根及k 的值．的值．5151．已知关于．已知关于x 的一元二次方程．（1）m 取什么值时，方程有两个实数根？取什么值时，方程有两个实数根？（2）设此方程的两个实数根为a 、b ，若y=ab y=ab﹣﹣2b 2+2b+1+2b+1，求，求y 的取值范围．的取值范围．5252．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根有实根 （1）求k 的取值范围的取值范围 （2）若方程的两实根的平方和等于1111，求，求k 的值．的值．5353．如果一元二方程．如果一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m 、n 的值．的值．5454．已知，关于．已知，关于x 的一元二次方程：的一元二次方程：ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=01=0，， （1）当a 取什么值时，方程有实数根？取什么值时，方程有实数根？（2）设x 1，x 2为方程两根，为方程两根，y=x y=x 1+x 2﹣x 1•x 2，试比较y 与0的大小．的大小．5555．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=0（1）x=2是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根． （2）对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．，判断方程的根的情况，并说明理由．5656．已知关于．已知关于x 的方程．（1）若方程只有一个根，求k 的值并求出此时方程的根；的值并求出此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k 的值．的值．5757．已知关于．已知关于x 的方程4x 2+4+4（（k ﹣1）x+k 2=0和2x 2﹣（﹣（4k+14k+14k+1））x+2k 2﹣1=01=0，它们都有实数根，试求实数，它们都有实数根，试求实数k 的取值范围．围．5858．已知关于．已知关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0 （1）若方程有实数根，求k 的取值范围的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3a=3，另两边，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．5959．已知关于．已知关于2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．）求证：该方程一定有两个不相等的实数根． （2）若已知该方程的一个根是﹣）若已知该方程的一个根是﹣11，请求出另一个根．，请求出另一个根．参考答案：1．（1）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△==（﹣（﹣55）2﹣4×2×（﹣×（﹣a a ）＞）＞00，解得a ＞﹣，即a 的取值范围为a ＞﹣；（2）根据题意得=1=1，，解得a=a=﹣﹣2，方程化为2x 2﹣5x+2=05x+2=0，变形为（，变形为（，变形为（2x 2x 2x﹣﹣1）（x ﹣2）=0=0，， 解得x1=，x 2=2=2．．2．（1）证明：方程整理为x 2﹣5x+65x+6﹣﹣p 2=0=0，， △=（﹣（﹣55）2﹣4×1×（×（66﹣p 2） =1+4p 2， ∵4p 2≥0， ∴△＞∴△＞00，∴这个方程总有两个不相等的实数根；∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x 2﹣5x+2=05x+2=0，， △=1+4=1+4××4=174=17，，∴x=， ∴x 1=，x 2=．3．方程整理得x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+x+（（k ﹣2）2=0=0①，①，①， 由题意得（由题意得（2k 2k 2k﹣﹣1）2﹣4（k ﹣2）2=0=0，， 解得． 将代入①得，解得4．（1）△）△=4=42﹣4（3﹣a ）=4+4a =4+4a．． ∵该方程有实数根，∵该方程有实数根，∴4+4a 4+4a≥≥0． 解得a ≥﹣≥﹣11．（2）当a 为符合条件的最小整数时，为符合条件的最小整数时，a=a=a=﹣﹣1． 此时方程化为x 2+4x+4=0+4x+4=0，方程的根为，方程的根为x 1=x 2=﹣2 2 5．（1）∵该方程有两个不相等的实数根，）∵该方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△=3=32﹣4×1×=9=9﹣﹣3m 3m＞＞0．解得m ＜3．∴m 的取值范围是m ＜3； （2）∵）∵m m ＜3，∴符合条件的最大整数是m=2m=2．． 解得x==． ∴方程的根为x 1=，x 2=．故答案为：故答案为：m m ＜3，x 1=，x 2=6．（1）化为一般形式得：）化为一般形式得：x x 2+3x +3x﹣﹣m ﹣8=0△=9+4=9+4（（m+8m+8）＞）＞）＞00， 解得m ＞﹣，∴m 的最小整数值m=m=﹣﹣1010．．（2）把m=m=﹣﹣10代入原方程得x 2+3x+10=8+3x+10=8，， 即x 2+3x+2=0解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=﹣27．∵△．∵△==（﹣（﹣55）2﹣4×m ×3=253=25﹣﹣12m 12m，， ∴由题意得：∴由题意得：252525﹣﹣12m=112m=1，， ∴m=2m=2，，当m=2时，方程为2x 2﹣5x+3=05x+3=0，， 两根为x 1=1=1，，x 2=．答：答：m m 的值为2，方程的根为1和．8．（1）根据题意得k ≠0且△≥且△≥00，即4﹣4k 4k≥≥0，解得k ≤1，所以k 的取值范围为k ≤1且k ≠0； （2）存在，）存在，k=k=k=﹣﹣1．理由如下：．理由如下： 根据题意得x 1+x 2=，x 1•x 2=，∵（∵（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1，∴x 1•x 2+x 1+x 2+1=k +1=k﹣﹣1，即++1=k +1=k﹣﹣1， 化为整式方程得k 2﹣2k 2k﹣﹣3=03=0，， ∴（∴（k k ﹣3）（k+1k+1））=0=0，， ∴k 1=3=3，，k 2=﹣1， ∵k ≤1且k ≠0； ∴k=k=﹣﹣1 19．①∵△①∵△==（2k+12k+1））2﹣4×1×4（k ﹣）=4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣16k+8=4k 2﹣12k+9=12k+9=（（2k 2k﹣﹣3）2≥0， ∴该方程有两个实根；∴该方程有两个实根；②若方程有两个相等的实数根，则△②若方程有两个相等的实数根，则△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，， ∴（∴（2k 2k 2k﹣﹣3）2=0=0，， 解得：解得：k=k=，把k=时代入原式得：时代入原式得：x 2﹣（﹣（22×+1+1））x+4x+4（（﹣）=0 x 2﹣4x+4=04x+4=0，， 解得：解得：x=2x=2x=2；； ∴方程两根均为2．1010．．（1）根据题意得k ≠0且△且△==（k+2k+2））2﹣4k 4k××=4k+4=4k+4＞＞0， 解得k ＞﹣＞﹣11且k ≠0；（2）取k=1k=1，方程化为，方程化为x 2+3x+=0=0，， △=4k+4=8=4k+4=8，， ∴x==， ∴x 1=，x 2=1111．．△=（2m 2m））2﹣4（m+2m+2））（m ﹣1）=4m 2﹣4m 2﹣4m+8=4m+8=﹣﹣4m+84m+8．．（1分）分）（1）因为方程有两个不相等的实数根，）因为方程有两个不相等的实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＞＞0，所以m ＜2．（2分）分） （2）因为方程有两个相等的实数根，）因为方程有两个相等的实数根， 所以﹣所以﹣4m+8=04m+8=04m+8=0，所以，所以m=2m=2．．（2分）分） 因为方程没有实数根，因为方程没有实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＜＜0，所以m ＞2 21212．．（1）根据题题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＞0， 解得k ＜1且k ≠0；（2）根据题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＜0， 解得k ＞1 11313．．（1）证明，将x=3代入方程，得代入方程，得 左边左边=9a =9a =9a﹣﹣9（a ﹣1）﹣）﹣9=99=99=9﹣﹣9=0=9=0=右边，右边，右边， 所以，方程总有一个根是x=3x=3；；（2）当a ≠0时，△时，△=9=9=9（（a ﹣1）2+4+4××9=99=9（（a+1a+1））2， 所以，所以，x x 1==3=3，，x 2==﹣，即方程的另一个根是x=x=﹣﹣．1414．．∵一元二次方程∵一元二次方程（（1﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，实数根，∴1﹣k ≠0，且△＞，且△＞00，即22﹣4×（×（11﹣k ）×（﹣）×（﹣11）＞）＞00， 解得k ＜2， 又∵又∵k k 是整数，是整数，∴k 的取值范围为：的取值范围为：k k ＜2且k ≠1的整数，的整数， =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00， ∴方程有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m=m=﹣﹣2时，方程变形为x 2﹣5=05=0，， 解得x 1=，x 2=﹣，∴方程的两根互为相反数∴方程的两根互为相反数1616．．（1）∵）∵x=1x=1是方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=0的一个根，的一个根，∴12+2+2××1+k 1+k﹣﹣1=01=0，，解得，解得，k=k=k=﹣﹣2； （2）∵方程没有实数根，）∵方程没有实数根，∴b 2﹣4ac 4ac＜＜0，即22﹣4（k ﹣1）＜）＜00， 解得k ＞2 21717．．（1）证明：方程的根的判别式△）证明：方程的根的判别式△==（m ﹣2）2﹣4×1×（﹣（﹣99）=（m ﹣2）2+36∵无论m 取何实效（取何实效（m m ﹣2）2+36+36＞＞0恒成立恒成立 ∴这个方程总有两个不相等的实数根∴这个方程总有两个不相等的实数根 （2）解由根与系数的关系．得α+β=2=2﹣﹣m 则2α+β=α+α+β=α+2+2﹣﹣m∵2α+β=m+1=m+1，∴，∴α+2+2﹣﹣m=m+1m=m+1，则，则α=2m =2m﹣﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m ﹣2）α﹣9=0 则（则（2m 2m 2m﹣﹣1）2+（m ﹣2）（2m 2m﹣﹣1）﹣）﹣9=0 9=0 整理，得2m 2﹣3m 一2=0 解，得m 1=2=2，，m 2=﹣．1818．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，∴△∴△=4p =4p 2﹣4（p 2﹣5p 5p﹣﹣1）=4=4（（5p+15p+1）为完全平方数，）为完全平方数，）为完全平方数， 从而，从而，5p+15p+1为完全平方数为完全平方数设5p+1=n 2，注意到p ≥2，故n ≥4，且n 为整数为整数 ∴5p=5p=（（n+1n+1））（n ﹣1）， 则n+1n+1，，n ﹣1中至少有一个是5的倍数，即n=5k n=5k±±1（k 为正整数）为正整数）∴5p+1=25k 2±10k+110k+1，，p=k p=k（（5k 5k±±2）， 由p 是质数，是质数，5k 5k 5k±±2＞1， ∴k=1k=1，，p=3或7当p=3时，已知方程变为x 2﹣6x 6x﹣﹣7=07=0，，解得x 1=﹣1，x 2=7=7；；当p=7时，已知方程变为x 2﹣14x+13=014x+13=0，解得，解得x 1=1=1，，x 2=13 所以p=3或p=7p=7．．1919．∵△．∵△．∵△=b =b 2﹣4ac=164ac=16﹣﹣4（5﹣m ）=4m =4m﹣﹣4＞0 ∴m ＞1当x ≥0时，方程是x 2﹣4x+54x+5﹣﹣m=0m=0，，方程有两个不同的根，则两个的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 ∴1＜m ＜5当x ＜0时，方程是x 2+4x+5+4x+5﹣﹣m=0m=0，方程有两个不同的根，，方程有两个不同的根，则两个根的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 则1＜m ＜5∴1＜m ＜5时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数（|x |x﹣﹣2|2|﹣﹣2）[|x [|x﹣﹣2|+2|+（（1+y 1+y））]=0]=0，， 则|x |x﹣﹣2|=2或|x |x﹣﹣2|=2|=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1））， 故2=2=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1））， 则y=y=﹣﹣3，当|x |x﹣﹣2|=22|=2，且，且1+y 1+y＞＞0时，时， 则y ＞﹣＞﹣11，故y 的负整数值为：﹣的负整数值为：﹣3 3 3 2121．．（1）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（3分）分）即∴﹣∴﹣22＜m ≤﹣≤﹣11…（7分）分）（2）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（10分），即∴m ＜﹣＜﹣1 1 12222．．（1）当m=1时，原方程变为：时，原方程变为：x x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0 解得：；（2）△）△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×（×（m m 2﹣2m 2m））=8m =8m，， 当m ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；时，原方程有两个不相等的实数根； 当m=0时，原方程有两个相等的实数根；时，原方程有两个相等的实数根； m ＜0时，原方程没有实数根时，原方程没有实数根2323．由已知条件△．由已知条件△．由已知条件△=4=4=4（（b ﹣a ）2﹣4（c ﹣b ）（a ﹣b ）=4=4（（a ﹣b ）（a ﹣c ）=0=0，， ∴a=b 或a=c a=c，， ∵c ﹣b ≠0则c ≠b ，∴这个三角形是等腰三角形∴这个三角形是等腰三角形 2424．△．△．△=m =m 2﹣4（m ﹣2） =m 2﹣4m+8 =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00，∴无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 2525．．（1）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根， ∴（∴（m m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， ∴m 2﹣2m+12m+1﹣﹣4m 4m﹣﹣8=08=0，， m 2﹣6m 6m﹣﹣7=07=0，， ∴m=7或﹣或﹣11；（2）∵方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，， ∴m 2﹣9m+2=m+29m+2=m+2，， ∴m 2﹣10m=010m=0，， ∴m=0或m=10m=10，，当m=0时，方程为：时，方程为：x x 2+x+2=0+x+2=0，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去； ∴m=10m=10，， ∴=4 =42626．．（1）由题意，知（﹣）由题意，知（﹣22）2﹣4（k ﹣1）＞）＞00， 解得k ＜2，即k 的取值范围为k ＜2．（2）由题意，得（）由题意，得（k k ﹣1）2﹣2（k ﹣1）+k +k﹣﹣1=0 即k 2﹣3k+2=0解得k 1=1=1，，k 2=2=2（舍去）（舍去）（舍去） ∴k 的值为12727．．（1）把x=1代入方程，得1+2+m 1+2+m﹣﹣1=01=0，所以，所以m=m=﹣﹣2； （2）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞∴△＞00，即22﹣4（m ﹣1）＞）＞00， 解得m ＜2．所以m 的取值范围为m ＜2 22828．∵关于．∵关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根， ∴，解得k ＞．所以k 的取值范围是k ＞且k ≠2．2929．．（1）证明：∵△）证明：∵△=b =b 2﹣4ac=4ac=（（3k 3k﹣﹣2）2﹣4•（﹣6k 6k））=9k 2﹣12k+4+24k=9k 2+12k+4=+12k+4=（（3k+23k+2））2≥0 ∴无论k 取何值，方程总有实数根．取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则，则△=0=0．．∴（∴（3k+23k+23k+2））2=0=0，解得：，解得：，解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；不能构成三角形，故舍去； ②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=6 代入方程：代入方程：662+6+6（（3k 3k﹣﹣2）﹣）﹣6k=0 6k=0 ∴k=k=﹣﹣2则原方程化为x 2﹣8x+12=0 （x ﹣2）（x ﹣6）=0 ∴x 1=2=2，，x 2=6 即b=6b=6，，c=2此时△此时△ABC ABC 三边为6，6，2能构成三角形，能构成三角形， 综上所述：△综上所述：△ABC ABC 三边为6，6，2． ∴周长为6+6+2=146+6+2=14．．3030．．（1）k=6k=6，方程变为，方程变为x 2﹣5x+6=05x+6=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x ﹣3）=0=0，，∴x 1=2=2，，x 2=3=3；；（2）根据题意△）根据题意△==（﹣（﹣55）2﹣4k 4k＞＞0，解得k ＜；（3）根据题意得x 1+x 2=5=5，，x 1，•x 2=k =k，， 而2x 1﹣x 2=2=2，， ∴x 1=， ∴x 2=， ∴k=×=3131．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣﹣（m ﹣1）]2﹣4m=m 2+2m+1+2m+1﹣﹣4m=4m=（（m ﹣1）2， 又∵不论m 取何实数，总有（取何实数，总有（m m ﹣1）2≥0， ∴△≥∴△≥00，∴不论m 取何实数，方程都有实数根．取何实数，方程都有实数根． （2）∵由求根公式得=∴x 1=m =m，，x 2=1=1，，∴只要m 取整数（不等于1），则方程的解就都为整数且不相等．相等．如取m=2m=2，则原方程有两个不相等的整数根，分别是，则原方程有两个不相等的整数根，分别是x 1=2=2，，x 2=1=1．．3232．．（1）△）△==（﹣（﹣22）2﹣4（2k 2k﹣﹣3）=8=8（（2﹣k ）． ∵该方程有两个不相等的实数根，∵该方程有两个不相等的实数根， ∴8（2﹣k ）＞）＞00，解得k ＜2．（2）当k 为符合条件的最大整数时，为符合条件的最大整数时，k=1k=1k=1．． 此时方程化为x 2﹣2x 2x﹣﹣1=01=0，方程的根为，方程的根为x==1±．即此时方程的根为x 1=1+，x 2=1=1﹣﹣．3333．．（1）当k=k=﹣﹣1时，方程﹣时，方程﹣4x 4x 4x﹣﹣4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；此方程有一个实数根；当k ≠﹣≠﹣11时，方程（时，方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0是一元二次方程，二次方程，△=（3k 3k﹣﹣1）2﹣4（k+1k+1））（2k 2k﹣﹣2）=（k ﹣3）2． ∵（∵（k k ﹣3）2≥0，即△≥，即△≥00，∴k 为除﹣为除﹣11外的任意实数时，此方程总有两个实数根．外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根；取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0中a=k+1a=k+1，，b=3k ﹣1，c=2k c=2k﹣﹣2，∴x=，∴x 1=﹣1，x 2=﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k 为正整数，为正整数， ∴当k=1时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，0； 当k=3时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，﹣，﹣11． ∴k=1k=1，，3 33434．．（1）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴△≥∴△≥00，即12﹣4×1×（×（p p ﹣1）≥）≥00，解得p ≤， ∴p 的取值范围为p ≤；（2）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴x 12﹣x 1+p +p﹣﹣1=01=0，，x 22﹣x 2+p +p﹣﹣1=01=0，， ∴x 12﹣x 1=﹣p+1=0p+1=0，，x 22﹣x 2=﹣p+1p+1，， ∴（﹣∴（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）（﹣（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）=9=9，， ∴（∴（p+1p+1p+1））2=9=9，， ∴p 1=2=2，，p 2=﹣4，∵p ≤， ∴p=p=﹣﹣4 43535．．（1）设方程的两个正根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）≥）≥0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＞0 ②，②，解①，得：解①，得：k k 为任意实数，为任意实数， 解②，得：解②，得：k k ＞2，所以k 的取值范围是k ＞2；（2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＜0 ②，②， 解①，得：解①，得：k k ≠，解②，得：＜k ＜2，所以k 的取值范围是＜k ＜2； （2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， （x 1﹣3）（x 2﹣3）＜）＜0 0 ②，②， 解①，得：解①，得：k k ≠，由②，得：由②，得：x x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+9+9＜＜0， 又x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4，代入整理，得﹣代入整理，得﹣4k+144k+144k+14＜＜0， 解得k ＞． 则k ＞．3636．．（1）∵关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根，等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac 4ac＞＞0∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣4（k 2+2+2）＞）＞）＞0 0 ∴4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣4k 2﹣8＞0， ∴4k 4k＞＞7， 解得，解得，k k ＞；（2）假设直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5）， ∴5=5=（（2k 2k﹣﹣3）×（﹣）×（﹣22）﹣）﹣4k+74k+74k+7，即﹣，即﹣，即﹣8=8=8=﹣﹣8k 8k，， 解得k=1k=1＜＜；又由（又由（11）知，）知，kk ＞；∴k=1不符合题意，即直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7不通过点A （﹣（﹣22，5）3737．．（1）把x=x=﹣﹣1代入原方程得：代入原方程得：1+m 1+m 1+m﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：m=1m=1m=1，，∴原方程为x 2﹣x ﹣2=02=0．．解得：解得：x=x=x=﹣﹣1或2， ∴方程另一个根是2；（2）∵△）∵△=b =b 2﹣4ac=m 2+8+8＞＞0，∴对任意实数m 方程都有两个不相等的实数根．方程都有两个不相等的实数根． 3838．∵△．∵△．∵△==（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×1×（﹣×（﹣2m 2m 2m﹣﹣4） =4=4（（m 2+2m +2m））+16 =4=4（（m 2+2m+1+2m+1﹣﹣1）+16 =4=4（（m+1m+1））2+12+12＞＞0，∴关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．根．3939．∵关于．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0有两个相等的实数根，个相等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，，即：（m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， 解得：解得：m=7m=7或m=m=﹣﹣1， ∴m 的值为7或﹣或﹣1 14040．．1）证明：∵）证明：∵a=1a=1a=1，，b=b=﹣﹣k ，c=c=﹣﹣2∴△∴△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣k k ）2﹣4×1×（﹣×（﹣22）=k 2+8+8，， ∵k 2＞0， ∴△＞∴△＞00，∴无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根．取何值，方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵，；又∵又∵x x 1+x 2=x 1•x 2 ∴k=k=﹣﹣2．4141．当．当m 2=0=0，即，即m=0m=0，方程变为：，方程变为：，方程变为：x+1=0x+1=0x+1=0，有解；，有解；，有解；当m 2≠0，即m ≠0，原方程要有实数根，则△≥，原方程要有实数根，则△≥00， 即△即△==（2m+12m+1））2﹣4m 2=4m+1=4m+1≥≥0， 解得m ≥﹣，则m 的范围是m ≥﹣且m ≠0； 所以，所以，m m 的取值范围为m ≥﹣ 4242．．（1）△）△=4=4=4﹣﹣4m 4m，，∵有两个实数根，∵有两个实数根， ∴4﹣4m 4m≥≥0， ∴m ≤1； （2）∵，解得，，∴m=x 1x 2=﹣3 34343．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△∴△=4+4=4+4=4+4（（1﹣m ）=8=8﹣﹣4m 4m＞＞0，且1﹣m ≠0，∴，∴m m ＜2，且m ≠1．当m=0时，无意义，故m ≠0， 则m 的最大整数值为﹣的最大整数值为﹣11，所以=4=4××1+1=51+1=5．．答：=5=5．．4444．．（1）∵方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，有两个实数根， ∴△≥∴△≥00，即4k 2﹣4（ k 2+2k +2k﹣﹣5 ）≥）≥00， ∴﹣∴﹣8k+208k+208k+20≥≥0 ∴k ≤；（2）∵）∵x x 1+x 2=﹣2k 2k，，x 1x 2=k 2+2k +2k﹣﹣5， 而x 1+x 2=x 1x 2，∴﹣∴﹣2k=k 2k=k 2+2k +2k﹣﹣5，即k 2+4k +4k﹣﹣5=0 解得k 1=﹣5，k 2=1=1，， 又∵又∵kk ≤， ∴k=k=﹣﹣5或1 14545．．（1）（2k 2k﹣﹣1）2﹣4k 2×1≥0， 解得：解得：k k ≤， 且：且：k k 2≠0， ∴k ≠0， ∴k ≤且k ≠0；（2）不存在，）不存在，∵方程有两个的实数根，∵方程有两个的实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴==﹣=﹣2k+1=02k+1=0，，k=，∵k ≤且k ≠0； ∴不存在∴不存在4646．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣（﹣（﹣（k+1k+1k+1））]2﹣4k=k 2+2k+1+2k+1﹣﹣4k=4k=（（k ﹣1）2≥0，∴无论k 取什么实数值，这个方程总有实根；取什么实数值，这个方程总有实根；（2）∵等腰△）∵等腰△ABC ABC 的一边长a=4a=4，， ∴另两边b 、c 中必有一个数为4，把4代入关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0中得，中得， ∴1616﹣﹣4（k+1k+1））+k=0+k=0，， 解得：解得：k=4k=4k=4，， 所以b+c=k+1=5∴△∴△ABC ABC 的周长的周长=4+5=9=4+5=9=4+5=9．．4747．．（1）∵方程有两根不相等的实数根，）∵方程有两根不相等的实数根， ∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）＞）＞00， ∴k ＞﹣；（2）把x=1代入原方程得1+1+（（2k+12k+1））+k 2﹣2=02=0，， 整理得k 2+2k=0+2k=0，， 解得k=0或﹣或﹣22；（3）设两实数根为：）设两实数根为：x x 1，x 2，由根与系数的关系：由根与系数的关系：x x 1x 2=k 2﹣2=12=1，，解得k=k=±±4848．①由题意得，．①由题意得，．①由题意得，222﹣4（k ﹣1）•（﹣5）＞）＞00．解得，．且k ﹣1≠0，即k ≠1 故且k ≠1．（2）k 的最小整数是k=2k=2．则原方程为．则原方程为x 2+2x +2x﹣﹣5=0 故此时方程的解为：，4949．．（1）证明：∵△∵△=[=[=[﹣﹣（2m 2m﹣﹣1）]2﹣4×（m ﹣1）×2=4m 2﹣12m+9=12m+9=（（2m 2m﹣﹣3）2≥0，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根； （2）x==，x 1==2=2，，x 2==，∵方程只有整数根，∵方程只有整数根，∴m ﹣1=1=±±1， 解得：解得：m=0m=0或2 2 5050．．（1）有道理，）有道理，△=k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+8+8，， ∴k 2≥0，∴k 2+8+8＞＞0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；为何实数，方程总有实数根；（2）∵方程的一个根是﹣）∵方程的一个根是﹣11， ∴2×（﹣×（﹣11）2﹣k ﹣1=01=0，，解得：解得：k=1k=1k=1，，把k=1代入方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=0得方程2x 2+x +x﹣﹣1=01=0，， 解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=， 故另一根是，k 的值是1 15151．．（1）∵△≥）∵△≥00，方程有两个实数根，，方程有两个实数根， ∴12﹣4×1×m ≥0，解得m ≤1， ∴当m ≤1时，方程有两个实数根；时，方程有两个实数根； （2）∵方程的两个实数根为a 、b ， ∴b 2﹣b+m=0m=0，，ab=m ， ∴y=m ﹣2（b 2﹣b ）+1 =m ﹣2×（﹣m ）+1 =m+1m+1，， ∵m ≤1， ∴y ≤+1+1，， 即y ≤．5252．．（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根，有实根，∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）≥）≥00，解得：；（2）设方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0设其两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=﹣（﹣（2k+12k+12k+1）），x 1•x 2=k 2﹣2， ∵x 12+x 22=11=11，，∴（∴（x x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=11=11，， ∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣2（k 2﹣2）=11=11，， 解得k=1或﹣或﹣33； ∵k ≥﹣， ∴k=1k=1．．5353．∵一元二方程．∵一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2， ∴4+4m 4+4m﹣﹣n=0n=0①，①，①， 又∵根的判别式为0， ∴△∴△=m =m 2﹣4×（×（2m 2m 2m﹣﹣n ）=0=0，， 即m 2﹣8m+4n=08m+4n=0②，②，②， 由①得：由①得：n=4+4m n=4+4m n=4+4m，，把n=4+4m 代入②得：代入②得：m m 2+8m+16+8m+16﹣﹣0， 解得m=m=﹣﹣4， 代入①得：代入①得：n=n=n=﹣﹣1212，， 所以m=m=﹣﹣4，n=n=﹣﹣1212．． 5454．．（1）∵方程有实数根，）∵方程有实数根， ∴△≥∴△≥00， 即16+4a 16+4a≥≥0， 解得a ≥﹣≥﹣44．由于ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， 可知a ≠0，∴a ≥﹣≥﹣44且a ≠0． （2）∵）∵ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， ∴x 1+x 2=﹣， x 1•x 2=﹣， ∴y=y=﹣﹣+=﹣．当﹣当﹣44≤a ＜0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＞0； 当a ＞0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＜0． 5555．．（1）将x=2代入方程得：代入方程得：44﹣2m 2m﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：m=1m=1m=1，，方程为x 2﹣x ﹣2=02=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x+1x+1））=0=0，， 解得：解得：x=2x=2或x=x=﹣﹣1， 则方程的另一根为﹣则方程的另一根为﹣11； （2）∵△）∵△=m =m 2+8+8≥≥8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∴方程有两个不相等的实数根． 5656．．（1）∵方程只有一个根，）∵方程只有一个根，∴此方程是一元一次方程，即k ﹣=0=0，， ∴k=；代入原方程得﹣x=1x=1，解得，解得x=x=﹣﹣；（2）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根，∴，∴k 1=0=0，，k 2=﹣6．5757．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根， ∴，解得﹣≤k ≤．5858．．（1）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0方程有实数根，方程有实数根，∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）≥）≥00， 解得：解得：k k ≥﹣且k ≠0；（2）①若a=3为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则△，则△，则△=0=0=0．． ∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）=0=0，， 解得：解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0 ∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为3，2，2能构成三角形，能构成三角形， ∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+2+2=83+2+2=83+2+2=8；；②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=3 代入方程：代入方程：kx kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0得：得：k k ×32+2+2（（k+4k+4））×3+3+（（k ﹣4）=0 ∴解得：∴解得：k=k=k=﹣﹣，∵x 1×x2=bc====3c =3c，，∴c=，∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+3+3+3+=．5959．．（1）证明：∵△）证明：∵△=k =k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+4+4＞＞0， ∴该方程一定有两个不相等的实数根；∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：设另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得：，根据根与系数的关系可得：x x 1•x 2=﹣， ∵一个根是﹣∵一个根是﹣11， ∴x 1•（﹣1）=﹣，解得：解得：x x 1=6060．∵一元二次方程．∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=44ac=4（（m+1m+1））2﹣4m 2=8m+4=8m+4≥≥0， ∴，∵1212＜＜m ＜4040，，由求根公式由求根公式，∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴2m+1必须是完全平方数，必须是完全平方数， ∴m=24 m=24。
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• 2.3 一元二次方程根的判别式
● 双基演练
1．一般地，对于一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0），当 b 2-4ac ≥0 时，它的根是_____，当 b 2-4ac<0 时，方程_________．
2．方程 ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，则有________， 若有两个不相等的实 数根，则有_________，若方程无解，则有__________．
3．若方程 3x 2+bx+1=0 无解，则 b 应满足的条件是________．
4．已知方程 x 2+px+q=0 有两个相等的实数，则 p 与 q 的关系是________．
5．不解方程，判定 2x 2-3=4x 的根的情况是______（•填“两个不等实根”或“两个相等实 根或没有实根”）．
6．已知 b ≠0，不解方程，试判定关于 x 的一元二次方程 x 2-（2a+b ）x+（a+ab-2b 2） =0 的 根的情况是________．
7．以下是方程 3x 2-2x=-1 的解的情况，其中正确的有（ ）．
A ．∵b 2-4ac=-8，∴方程有解
B ．∵b 2-4ac=-8，∴方程无解
C ．∵b 2-4ac=8，∴方程有解
D ．∵b 2-4ac=8，∴方程无解
8．一元二次方程 x 2-ax+1=0 的两实数根相等，则 a 的值为（ ）．
A ．a=0
B ．a=2 或 a=-2
C ．a=2
D ．a=2 或 a=0
9．已知 k ≠1，一元二次方程（k -1）x 2+kx+1=0 有根，则 k 的取值范围是（ ）．
A ．k ≠2
B ．k>2
C ．k<2 且 k ≠1
D ．k 为一切实数
10．已知 a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程 a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0 的两根相等，• 则△ABC 为（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．任意三角形
11．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0 中，有实数根的方程 有（ ）
A ．0 个
B ．1 个
C ．2 个
D ．3 个
● 能力提升
12．不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x 2
（2）x 2-（1+2 3 ）x+ 3 +4=0
13．当 c<0 时，判别方程 x 2+bx+c=0 的根的情况．
• （C ）x 2+2x+3=0 （D ） x •
14．不解方程，判别关于 x 的方程 x 2-2kx+（2k -1）=0 的根的情况．
15．要建一个面积为 150m 2 的长方形养鸡场，为了节约材料， 鸡场的一边靠着原有的一堵
墙，墙长为 am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35m ．
（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度 a 对解题有什么作用．
演练场
16．在下列方程中，有实数根的是（ ）
（A ）x 2+3x+1=0
（B ） 4x + 1 =-1
1
= x - 1 x - 1 17．关于 x 的一元二次方程 x 2＋kx －1=0 的根的情况是（ ）
A 、有两个不相等的同号实数根
B 、有两个不相等的异号实数根
C 、有两个相等的实数根
D 、没有实数根
18．关于 x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a －4＝0 有一个实数根是 x ＝0．则 a 的值为
（ ）．
A 、1 或－4
B 、1
C 、－4
D 、－1 或 4
19．若关于 x 的一元二次方程 x 2 - 3x + m = 0 有实数根，则 m 的取值范围是
．
20．若 0 是关于 x 的方程（m -2）x 2+3x+m 2-2m -8=0 的解，求实数 m 的值， 并讨论此方程 解的情况．
21．将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多 少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2 吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请 说明理由．
• •
2
答案:
-b ± b 2 - 4ac 1．x= ，无实数根 2．b 2-4ac=0，b 2-4ac>0，b 2-4ac<0 2a
3．b 2<12 4．p 2-4q=0 5．有两个不等实根 6．有两个不等实根
7．B 8．B 9．D 10．C 11．B
12．（1）化为 3x 2-5x-2=0 b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，有两个不等实根．
（2）b 2-4ac=1+4 3 +12-4 3 -16=-3<0，没有实根．
13．∵c<0 ∴b 2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．
14．b 2-4ac=4k 2-4（2k -1）=4k 2-8k+4=4（k -1）2≥0，•
∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．
15．（1）设鸡场垂直于墙的宽度为 x ，
则 x （35-2x ）=150，解得 x=7.5，x=10，
若对墙的长度 a 的面不作限制，则当 x=7.5 时，鸡场的宽为 7.5m ，长为 20m ， 当 x=10 时， 鸡场宽为 10m 长为 15m ， （2）当 15≤a<20 时，只能为 10，即鸡场的长可以为 15m ，也可以为 20m ．
16．A 17。
B 18。
C
19． m ≤ 9
4 20．解：由题知：
（m-2）·02+3×0+m 2-2m-8=0
∴m 2-2m-8=0．
利用求根公式可解得 m 1=2，或 m 2=-4．
当 m=2 时，原方程为 3x=0，此时方程只有一个解，解为 0．
当 m=-4 时，原方程为-6x 2+3x=0．
∴x （-6x+3）=0．
∴x 1=0 或 x 2= 1 ．
即此时原方程有两个解，解分别为 0，
1 2 ． 21.（1）解：设剪成两段后其中一段为 xcm ，则另一段为（20-x ）cm
由题意得：(x
)2+(
4
20-x
4
)2=17解得：x=16，x=4
12
当x=16时，20-x=4
1
当x=4时，20-x=16
2
答：（略）
（2）不能理由是：
x20-x
()2+()2=12
44
整理得：x2-20x+104=0
∵△=b2-4ac=-16<0∴此方程无解即不能剪成两段使得面积和为12cm2。