福建省龙岩市连城二中高三(上)开学数学试卷

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
2016-2017学年福建省龙岩市连城二中高三（上）开学数学试卷
（文科）
一、选择题
1．下面的结论正确的是（）
A．ax∈Q，则a∈N B．a∈N，则a∈{正整数}
C．x2﹣1=0的解集是{﹣1，1}D．正偶数集是有限集
2．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（）
A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4）
4．在等差数列{a n}中，若a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于（）
A．8 B．13 C．16 D．26
5．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣a i x）2＜1（i=1，2，3）都成立的x取值范围是（）
A．B．C．D．
6．命题“若函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是（）
A．若log a2＜0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数
B．若log a2≥0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数
C．若log a2＜0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数
D．若log a2≥0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数
7．设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．
8．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
A．B． C．D．
9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为（）分数 5 4 3 2 1
人数20 10 30 30 10
A．B．C．3 D．
10．如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
11．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β
12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+a，若f（x+1）是奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，a）处的切线方程是（）
A．x=0 B．x=2 C．y=2 D．y=4
二、填空题
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a=______．
14．若变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值是______．
15．阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a=______，i=______．
（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”）
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab、∈P
（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是______．（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题
17．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．
18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日
温差x（°C）10 11 13 12 8
发芽数y（颗）23 25 30 26 16
（1）求这5天的平均发芽率；
（2）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m、n，用（m，n）的形
式列出所有的基本事件[视（m，n）与（n，m）相同]，并求满足“”
的事件A的概率．
19．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA1′分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中
（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上是否存在一点M，满足BM∥平面APQ，若存在试确定点M的位置，若不存在请说明理由．
20．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n2﹣2S n﹣a n S n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a1，a2；
（2）求S n的表达式．
21．设直线l：y=k（x+1）与椭圆x2+4y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（I）证明：a2＞
（Ⅱ）若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．
22．已知函数．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．
2016-2017学年福建省龙岩市连城二中高三（上）开学数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下面的结论正确的是（）
A．ax∈Q，则a∈N B．a∈N，则a∈{正整数}
C．x2﹣1=0的解集是{﹣1，1}D．正偶数集是有限集
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】A、根据N Q，因此a∈Q，则a∈N不正确；B、{正整数}表示以非0自然数作
为元素的集合，对集合概念的理解；C、x2﹣1=0的解为﹣1，1，正确；D、正偶数集是无限集．逐个排除，即可得到答案．
【解答】解：A、a∈Q，则a∈N，若a=∈Q，但a∉N，故A不正确；
B、a∈N，则a∈{自然数}，{正整数}表示以正整数作为元素的集合，故不正确；
C、x2﹣1=0的解为﹣1，1，所以它的解集是{﹣1，1}，故正确；
D、正偶数集是无限集，故不正确．
故选C．
2．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．
【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i
∴复数对应的点的坐标是（1，2）
这个点在第一象限，
故选A．
3．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则=（）
A．（﹣5，﹣10） B．（﹣4，﹣8）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣2，﹣4）
【考点】平面向量坐标表示的应用．
【分析】向量平行的充要条件的应用一种做法是根据平行求出向量的坐标，然后用向量线性运算得到结果；另一种做法是针对选择题的特殊做法，即排除法．
【解答】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4，
故选B．
4．在等差数列{a n}中，若a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于（）
A．8 B．13 C．16 D．26
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质和已知可得a7=1，再由等差数列的求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．
【解答】解：∵在等差数列{a n}中a3+a5+2a10=4，
∴2a4+2a10=4，∴a4+a10=2，
∴2a7=2，解得a7=1，
∴数列的前13项的和S13=
==13a7=13×1=13，
故选：B．
5．已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣a i x）2＜1（i=1，2，3）都成立的x取值范围是（）
A．B．C．D．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】先解出不等式（1﹣a i x）2＜1的解集，再由a1＞a2＞a3＞0确定x的范围．
【解答】解：，
所以解集为，又，
故选B．
6．命题“若函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是（）
A．若log a2＜0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数
B．若log a2≥0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数
C．若log a2＜0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数
D．若log a2≥0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数
【考点】四种命题．
【分析】根据逆否命题的定义，先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，就得到原命题的逆否命题．
【解答】解：命题“若函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是若log a2≥0，则函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在其定义域内不是减函数．故选：B．
7．设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．
【解答】解：∵y=e x+ax，
∴y'=e x+a．
由题意知e x+a=0有大于0的实根，令y1=e x，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，
结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，
故选A．
8．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
A．B． C．D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】图2所示方向的侧视图，由于平面AED仍在平面HEDG上，故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，易得选项．
【解答】解：解题时在图2的右边放扇墙（心中有墙），
图2所示方向的侧视图，由于平面AED仍在平面HEDG上，
故侧视图中仍然看到左侧的一条垂直下边线段的线段，可得答案A．
故选A．
9．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为（）分数 5 4 3 2 1
人数20 10 30 30 10
A．B．C．3 D．
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可．
【解答】解：∵，
∴
=
=，．
故选B．
10．如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．
【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，
故选A．
11．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用图形可得AB∥l∥m；A对
再由AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对
又AB∥l⇒AB∥β，C对
AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直，所以D 不一定成立．
【解答】解：如图所示AB∥l∥m；A对
AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对
AB∥l⇒AB∥β，C对
对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故错．
故选D．
12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+a，若f（x+1）是奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，a）处的切线方程是（）
A．x=0 B．x=2 C．y=2 D．y=4
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】运用奇函数的性质，若f（x+1）是奇函数，则f（1）=0，求得a，再求函数的导数，求出切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．
【解答】解：由于函数f（x）=x3﹣3x2+a，若f（x+1）是奇函数，
则f（1）=0，即有1﹣3+a=0，解得，a=2，
f（x）=x3﹣3x2+2，导数f′（x）=3x2﹣6x，
则在切点（0，2）处的斜率为0，
则切线方程为：y=2．
故选：C．
二、填空题
13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a=．【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理求得sinC的值，进而求得C，进而求得A推断a=c，答案可得．
【解答】解：由正弦定理，
∴
故答案为
14．若变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值是70．
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】先画出可行域，再把z=3x+2y变形为直线的斜截式，则直线在y轴上截距最大时z 取得最大．
【解答】解：画出可行域，如图所示
解得B（10，20）
则直线z=3x+2y过点B时z最大，所以z max=3×10+2×20=70．
故答案为70．
15．阅读程序框图，若输入m=4，n=3，则输出a=12，i=3．
（注：框图中的赋值符号“=”，也可以写成“←”或“：=”）
【考点】程序框图的三种基本逻辑结构的应用；循环结构．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出m和n的最小公倍数a．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是计算并输出m和n的最小公倍数a．
∵输入m=4，n=3
∴a=12，
而a=12=m•1•2• (i)
故此时i=3，
故答案为：12，3
16．设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab、∈P
（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数；
②整数集是数域；
③若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域；
④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是①④．（把你认为正确的命题的序号都填上）
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】本题考查的主要知识点是新定义概念的理解能力．我们可根据已知中对数域的定义：设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a﹣b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，对四个命题逐一进行判断即可等到正确的结果．
【解答】解：当a=b时，a﹣b=0、=1∈P，故可知①正确．
当a=1，b=2，不满足条件，故可知②不正确．
对③当M中多一个元素i则会出现1+i∉M所以它也不是一个数域；故可知③不正确．
根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．
故答案为：①④．
三、解答题
17．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（I）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；
（II）先根据正弦函数的单调性求出f（x）的值域，再把方程有解转化为f（x）与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围．
【解答】解：（I）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x
=1﹣cos（+2x）﹣cos2x
=1+sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）+1．
∴周期T=π；
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，
∴单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，（k∈Z）．
（II）∵x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，
∴sin（2x﹣）∈[，1]，
所以f（x）的值域为[2，3]，
而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]
18．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日
温差x（°C）10 11 13 12 8
发芽数y（颗）23 25 30 26 16
（1）求这5天的平均发芽率；
（2）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m、n，用（m，n）的形
式列出所有的基本事件[视（m，n）与（n，m）相同]，并求满足“”
的事件A的概率．
【考点】概率的意义．
【分析】（1）要求种子的平均发芽率，把所有的发芽的种子数相加，除以所有参与实验的种子数，得到发芽的百分率．
（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件可以通过列举得到事件数，满足条件的事件也可以在前面列举的基础上得到事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：（1）由题意知，这五天的平均发芽率
=0.24=24%
（2）由题意知，本题是一个古典概型，
m，n的取值情况有（23，25）（23，30）（23，26）（23，16）（25，30）（25，26）
（25，16）（30，26）（30，16）（26，16），共有10个基本事件，
满足条件的“”的事件A包含的基本事件为（25，30）（25，26）（30，26）
∴P（A）=
19．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA1′分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中
（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上是否存在一点M，满足BM∥平面APQ，若存在试确定点M的位置，若不存在请说明理由．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）根据AB，BC，AC三边满足AC2=AB2+BC2，可知AB⊥BC，而AB⊥BB1，BC∩BB1=B，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面BC1，又PQ⊂平面BC1，根据线面垂直的性质可知AB⊥PQ；
（Ⅱ）在底边AC上取点M，使得AM：MC=3：4，过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，从而四边形PBMN为平行四边形，对边平行BM∥PN，由线面平行的判定定理得BM∥平面APQ．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AB=3，BC=4，
所以AC=5，从而AC2=AB2+BC2，
即AB⊥BC．
又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BC1，又PQ⊂平面BC1
所以AB⊥PQ
（Ⅱ）在底边AC上存在一点M，使得AM：MC=3：4，满足BM∥平面APQ，
证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
∵AM：MC=3：4，
∴AM：AC=MN：CQ=3：7
∴MN=PB=3，
∵PB∥CQ，
∴MN∥PB，
∴四边形PBMN为平行四边形，
∴BM∥PN，
∴BM∥平面APQ，
∴BM∥平面APQ，此时有=．
20．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n2﹣2S n﹣a n S n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a1，a2；
（2）求S n的表达式．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）在递推关系中，令n=1，求得a1，令n=2，求得a2的值．
S n﹣2S n+1=0，求得S1，S2，S3的值，猜测，（2）由题设可得得S n
﹣1
用数学归纳法证之．
【解答】解：（1）当n=1时，由已知得．
同理，可解得．
，
（2）由题设S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0，当n≥2（n∈N*）时，a n=S n﹣S n
﹣1
S n﹣2S n+1=0．（*）
代入上式，得S n
﹣1
由（1）可得．由（*）式可得．
由此猜想：
证明：①当n=1时，结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，
即，那么，由（*）得，∴．
所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，对所有正整数n都成立．因
．
21．设直线l：y=k（x+1）与椭圆x2+4y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（I）证明：a2＞
（Ⅱ）若=2，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）依题意，直线l显然不平行于坐标轴，y=k（x+1）可化为x=﹣1，代入椭圆
方程，运用判别式大于0，即可得证；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用韦达定理和向量共线的坐标表示，运用三角形的面
积公式，由不等式的性质可得S=|OC|•|y1﹣y2|=|y2|=，再议等号
成立的条件，可得a，进而得到椭圆方程．
【解答】解：（I）证明：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，
故y=k（x+1）可化为x=﹣1，
将x=﹣1代入x2+4y2=a2，得（+4）y2﹣y+1﹣a2=0，①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，
得△=﹣4（+4）（1﹣a2）＞0，
整理得（+4）a2＞4，
即a2＞；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由①，得y1+y2=，
由=2，即y1=﹣2y2，代入上式，得y2=﹣，
于是，△OAB的面积S=|OC|•|y1﹣y2|
=|y2|=，
其中，上式取等号的条件是4k2=1 即k=时，
由，可得y2=，
将k=，y=﹣及k=﹣，y=，
这两组值分别代入①，均可解出a2=5．
所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是x2+3y2=5．
22．已知函数．（a∈R）
（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f
（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（2）令，
则g（x）的定义域为（0，+∞）．证g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立即得证．求出g′（x）分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，利用极值求出a的范围即可．
【解答】解（Ⅰ）当a=1时，，．
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴，
（Ⅱ）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵．
①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，．
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0．
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足．
由此求得a的范围是[，]．
综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．
2016年9月23日。