黑龙江省大庆铁人中学2021届高三数学下学期冲刺模拟考试试题(一)文

黑龙江省大庆铁人中学2021届高三数学下学期冲刺模拟
考试试题（一）文
答题时长：120分钟 满分：150分
一、
选择题：（每小题5分，满分60分）
1、 设函数y =的定义域为A ，函数212
x
x y =+的值域为B ，函数0.5log 21y x =- 的单调递增区间为C ，则A
()B C =（ ）
A. φ
B. 1
,22⎛⎫
⎪⎝⎭ C. []2,1 D. 1
,22⎛⎤
⎥⎝⎦
2、已知复数3
3+1i z i i
+=
-，则z =（ ）
A. B. 2 C. D.
3赵爽弦图（右图），是由4设直角三角形中较小的锐角为θ，且cos 2θ将赵爽弦图薄纸片（右图阴影部分）平铺桌面上， 随机撒上一把豆子，如果落在中间小正方形上的
豆子颗数为10，则估计落在赵爽弦图薄纸片（阴影部分）上的豆子颗数约为（ ）
A. 50
B. 40
C. 30
D. 20
4、设平面向量()1,a y =，(),1b x =-，()3,1c =，若a b ⊥且()2a b +∥c ，则下列结论中 错误的是（ ）
A ．向量a 与向量a b -的夹角为4
π
B. 向量b 在向量a b +上的投影为1
C. a b a b +=-
D. 与向量(),x y 同向的单位向量的相反向量是(),x y --
5、设,x y 满足约束条件203260330x y x y x y --≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，则z x y =+的最小值与最大值分别为（ ）
A. 7-和3
B. 5-和2
C. 7-和5
D. 0和3
6、已知函数()(
)()()()2
sin cos sin sin sin cos 2f x x x x x x x πππ⎫
⎛⎫
=+---++ ⎪⎪
⎝
⎭⎭
，令()()()0g x f x φφ=->，若()g x 在62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调，则φ的最小值为（ ）
A. 24π
B. 12π
C. 6
π D. 4π
7、 设0,0a b >>，则“直线1x
y a
b
+=与圆221x y +=有公共点”的充分不必要条件是（ ）
A.
22111a b +≤ B. 2211
1a b
+≥ C. 2ab ≤ D. 2ab ≥
8、所有棱长均为1的三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 43π
B. 73
π
C. 4π
9与k 值正确的一组值为（ ）
A. k=2020,S=
20212020
B. k=2020,S=2021
4041
C. k=2021,S=2021
4041
D. k=2021,S=2021
2020
10、设122a =，13
3b =，13
1log 2
c =则,,a b c 的大小关系为（ ）
A. a b c >>
B. b a c >>
C. c b a >>
D. b c a >>
11、已知椭圆()01:
112
1
22
1
21>>=+
b a b y a x C 与双曲线()0,01:
222
2
22
2
22>>=-
b a b y a x C 的焦点相同，
设左右焦点分别为21,F F ，1C 与2C 在第一象限交点为P ，θ221=∠PF F ，1C 与2C 的离心率
分别为1e 与2e ，则下列选项正确的是（ ）
A. 2221222221sin cos e e e e =+θθ
B. 2221222221cos sin e e e e =+θθ
C. 1sin cos 222221=+θθe e
D. 1cos sin 222221=+θθe e 12、已知定义在R 上的函数
满足()()114f x f x ++-=，()=2+sin g x x π，设两函数图象
交点坐标分别为()()()1122,,,,,n n x y x y x y ，，其中n 为正整数，则1212n
n
y y y x x x +++=++
+（ ）
A. 12
B. 2
C. 1
2
- D. 2- 二、填空题：（每小题5分，共计20分）
13、某校学生高中、初中、小学共计1420人，其中高中学生540人，初中学生480人，现在采用分层抽样方法抽取部分学生调查身体健康状况，在抽取的样本中初中学生有24人，则样本中小学学生的人数为 .
14、函数()()tan 0,2f x A x πωφωφ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭
的部分
图象如右图，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
12πf . 15、定义在()+∞,0上的函数()()⎪⎩⎪
⎨⎧>-≤<--=2,22
120,11x x f x x x f ，若对0>∀x ，都有()k x xf ≤成立，则实
数k 的取值范围是 .
16、已知三角形ABC 中，内角A,B,C 所对边分别为a ，b ，c ，三角形ABC 的面积为S ，若2224333S b c a =+-，则=c
b a
sin
三、解答题：（满分70分）
17、（本题满分12分）已知数列{}n a 是首项11=a 的等比数列，其前n 和为n S ，且6S 是4S 与5S 的等差中项
（1）求数列{}n a 的通项公式
（2）令()n n n a b 21log 1+-=，求数列{}n b 前n 和为n S 的和n T
8
3π
8π
x
y
1
O
18、（本题满分12分）如图，矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，E 、F 分别在AD 、CD 上，且AE=CF=1，将三角形CDE 沿CE 折起，使点B 在面CDE 上的投影H 恰在直线DE 上 （1）求证：CD ⊥BE ； （2）求证：HF ∥面ABCE ； （3）求四棱锥D-ABCE 的体积
19、（本题满分12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过
m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方
式
第二种生产方
B
A
C
D
E
F A
B
C
D
F E
H
式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
()2P K k ≥
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
20、（本题满分12分）已知抛物线C ：24x y =，过点(,0)P t （其中0t >）作互相垂直的两直线1l ，2l ，
直线1l 与抛物线C 相切于点Q （在第一象限内），直线2l 与抛物线C 相交于A ，B 两点. （1）当1t =时，求直线1l 的方程； （2）求证：直线2l 恒过定点.
21、（本题满分12分）已知函数x x x x f ln )(+=. （1）求)(x f 的最值
（2）若对0>∀x ，)()1(x f x k <-恒成立，求整数k 的取值集合
22、（本题满分10分）已知曲线C ：1422=+x y ，直线⎪⎩⎪⎨
⎧-=+=t
y t x 22222（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程和极坐标方程；
（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
23、（本题满分10分）已知不等式：41+<-+x x x 的解集为()n m , （1）求n m ,的值；
（2）设0,0>>b a ，且()a n b m -=+1，求证：ab b a 9≥+
大庆铁人中学高三冲刺模拟试题（一） 文科数学参考答案
一、选择题：CABDA BCBBB AB
1、【C 】：[]=0,2A ，()B=0,1，1C=,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
，()B C=,1-∞，()1
+2
B C ⎡⎫
=∞⎪⎢⎣
⎭
，
， A
()122B
C ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
2、【A 】：
3
3=11i z i i i
+=
++-，z = 3、【B 】：3cos 2
5θ=，1tan 2
θ=15，
落入小正方形与大正方形的豆子颗数比为1
5
，所以落入赵爽弦图上的豆子颗数为40 4、【D 】由a b ⊥得x y =，由()2a b +∥c 得65y x -=，解得=1x y =
与向量(),x y 同向的单位向量的相反向量是,22⎛-- ⎝⎭
，D 错误 5、【A 】可行域为三角形ABC ，其中A ()0,3，B 59,2
2⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，C ()2,0，
min 7z =-，max 3z =
6、【B 】()=2sin 213f x x π⎛⎫-+ ⎪⎝
⎭
，()2cos 212g x f x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭
，
()g x 的一个单调递减区间为02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，，所以()g x 在62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调
7、【C 1≤，即2222a b a b +≥，
2
211
1a b
+≥ 若2ab ≤，则有22222a b ab a b ≤≤+，直线与圆有公共点
8、【B 】棱柱为正棱柱，R =7=3S π
9、【B 】()1
12112111+-
=+++⨯+
=k k k S ，2020=k 时，20214041
=S 10、【B 】186>=a ，196>=b ，12log 3<=c ，c a b >> 11、【A 】设n PF m PF ==21,，则212,2a n m a n m =-=+
2121,a a n a a m -=+=，在21F PF ∆中：θ2cos 24222mn n m c -+=
2222221cos sin c a a =+θθ，2
221222221sin cos e e e e =+θθ
12、【B 】()()114f x f x ++-=即()x f 图象关于点()2,1对称，而()x g 的一个对称中心为()2,1，即()x g 图象关于点()2,1对称，所以()x f 与()x g 的交点必关于点()2,1对称，
n x x x n =+++ 21，n y y y n 221=+++
二、填空题： 20 ；32-；⎪⎭⎫⎢
⎣⎡+∞,2
3
；32. 13、抽样比为1:20，小学生400人，抽出20人
14、()⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=42tan πx x f ，3246
tan 12-=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-πππf
15、
()()x
k
x f k x xf ≤
⇔≤
12,,415,213,1≥-≥≥≥n k k k k 即12
12--≥n n k （n 为正整数）， 23
≥k
16、∵2
2
2
33b c a =+-，∴
()22221sin 332cos 2
bc A b c b c bc A =+-+-， 22
cos b c A A bc +-=，∴2sin 6b c A c b π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又2sin 26A π⎛⎫-≤ ⎪⎝
⎭，2b c c b +≥， ∴当且仅当32π=A ，b c =时等式成立，此时6π==C B ，32sin sin sin sin ==C
B A
C b a 三、解答题：
17、【解】（1）设公比为q ，则5462S S S +=即0265=+a a
解得：21-=q ，1
21-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=n n a ------5分
（2）()()111--=+n b n n
()()1132101--++-+-=+n T n n
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=是偶数是奇数n n n n T n ,2
,2
1
-------10分
18、【解】（1）CD ⊥DE ，CD ⊥BH ⇒CD ⊥面BDE ⇒CD ⊥BE -----4分 （2）由（1）可得CD ⊥BD ，所以BD=BE=5，所以H 是DE 中点 所以HF ∥CE
所以HF ∥面ABCE ； ------8分 （3）设四棱锥的高为h
三棱锥D-BCE 的体积BH S h S V DCE BCE ⨯=⨯=∆∆3
13
1 3
4=
h 四棱锥D-ABCE 的体积9
16
3
1=
⨯=h S V ABCE 梯形 ----12分 19、【解】（1）第二种生产方式的效率更高． ---------------2分
理由如下：
（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．
（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高．
（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．---------4分
（2）由茎叶图知7981802
m +==． --------6分
列联表如下：
------------8分
（3）由于2
2
40(151555)10 6.63520202020
K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， ----------------------10
分
所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差
异． -----------------------12分
20、【解】（1）24
x y =则'2x y =， 设00(,)Q x y ，则00021x y x =-20041
x x =-，解02x =， 此时(2,1)Q ，1l ：1y x =-. ----------5分
（2）由0'|x x PQ y K ==0002x y x t ⇒=-2004x x t
=-， 解得00x =（舍）或2t ，
此时2(2,t )Q t ，
PQ K t =则1AP K t =-得2l ：1()y x t t
=--，即(1)0t y x -+=过定点(0,1). ---12分 21、【解】（1）定义域为：0>x
x x f ln 2)(+='
令0ln 2)(=+='x x f ，得2-=e x 当 ()2,0-∈e x 时，()0<'x f ，()x f 递减， 当()+∞∈-,2e x 时，()0>'x f ，()x f 递增 在2-=e x 处，()x f 取得最小值为()22---=e e f 所以)(x f 的最小值为2--e ，无最大值 -----------4分
（2）对0>∀x ，)()1(x f x k <-恒成立⇔()01ln >--+x k x x x 恒成立 ⇔0ln 1>++-x x k k 恒成立
构造函数：()x x
k
k x p ln 1++-=，（0>x ）
()221x k x x x k x p -=+-=' 当0≤k 时，()0>'x p ，()x p 单调递增
取e x 1=，有()011≤-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛k e e p ，不符合题意
当0>k 即1≥k 时，
令()0='x p ，得：k x =
当()k x ,0∈时，()0<'x p ，()x p 单调递减 当()+∞∈,k x 时，()0>'x p ，()x p 单调递增 在k x =处，函数()x p 取得最小值为()k k k p ln 2+-= 令()0ln 2>+-=k k k p 构造函数：()x x x q ln 2+-=，（1≥x ） ()0111≤-=
+-='x
x x x q ，()x q 单调递减 ()011>=q
()02ln 2>=q ()03ln 13>+-=q ()04ln 24<+-=q 所以使()0ln 2>+-=x x x q 的整数为：3,2,1=x
所以整数k 的取值集合为{
}3,2,1 ------------12分 22、【解】(1) 曲线C 的参数方程为： ⎩⎨⎧==θθsin 2cos y x （θ为参数）， 直线l 的普通方程为：0262=-+y x ，极坐标方程为：θ
θρcos 2sin 26+= -----5分 （2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,sin θ)到l 的距离为：52
6sin 2cos 2-+=
θθd ， 则534sin 5445sin 0-⎪⎭⎫ ⎝⎛+==πθd PA ， 当14sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ 即45πθ=时， ||PA 取得最大值，最大值为5
516；
当14sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ 即4πθ=时，||PA 取得最小值，最小值为5
58. -------10分
23、【解】（1）原不等式可化为：
⎩⎨⎧+<+--<410x x x x 或⎩⎨⎧+<+-≤≤4110x x x x
或⎩⎨⎧
+<-+>4
11x x x x
解得：51<<-x
所以：5,1=-=n m ------5分
（2）由（1）得：14=+b a ()945411≥⎪⎭⎫
⎝⎛++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b b a b a ab b a
当且仅当b a
a b
4=即⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧
==3
1
61
b a 时取等
所以ab b a 9≥+ --------10分。