重庆市铜梁、江津等七校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题含解析

2024—2025学年度上期高二半期七校联考
数学试题（答案在最后）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.
第I 卷（选择题
共58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.已知直线()
:l x a a =∈R ，则直线l 的倾斜角为（
）
A.0
B.
π
2
C.π
D.不存在
【答案】B 【解析】
【分析】根据直线l 的方程可得出其倾斜角.
【详解】因为直线l 的方程为()x a a =∈R ，故l x ⊥轴，所以，直线l 的倾斜角为π2
.故选：B.
2.已知双曲线C 的虚轴长为2，一个焦点为)
，则C 的渐近线方程为（
）
A.14
y x =±
B.y =
C.4y x
=± D.2
y x =±
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意求出a 、b 的值，即可得出双曲线C 的渐近线方程.
【详解】由题意可知，双曲线C 的焦点在x 轴上，设其标准方程为()222210,0x y
a b a b
-=>>，
由题意可得22
22
b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩
，解得41a b =⎧⎨=⎩，故双曲线的渐近线方程为14
b y x x a =±=±.故选：A.
3.直线l 的一个方向向量为()4,2,2m =- ，平面α的一个法向量为()2,1,n x =-
，若//l 平面α，则x =
（）
A.5-
B.5
C.1
- D.1
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意可得m n ⊥
，结合空间向量数量积的坐标运算可求得x 的值.
【详解】直线l 的一个方向向量为()4,2,2m =- ，平面α的一个法向量为()2,1,n x =-
，
因为//l 平面α，则m n ⊥ ，所以，8222100m n x x ⋅=--+=-=
，解得5x =.故选：B.
4.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，13AA =，90BAD ∠=，1160BAA DAA ∠=∠=
，
则1AC =（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得1AC 的长.
【详解】如下图所示：
由题意可得,90AB AD =
，11,,60AB AA AD AA == ，
由空间向量数量积的定义可得0AB AD ⋅=uu u r uuu r
，
111cos 602332
AB AA AB AA ⋅=⋅=⨯⨯=
，同理可得13AD AA ⋅= ，
由空间向量的平行六面体法则可得1
1AC AB AD AA =++ ，所以，(
)
()
2
22211
111
2AC AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅
()449203329=+++⨯++=
，即1AC =
.
故选：C.
5.已知抛物线2:8C y x =，过点()1,1M 作弦AB ，弦AB 恰被点M 平分，则弦AB 所在直线的斜率为（）
A.
12
B.2
C.
14
D.4
【答案】D 【解析】
【分析】利用点差法可求得直线AB 的斜率.【详解】设点1,1、2,2，
因为点1,1为线段AB 的中点，则122x x +=，122y y +=，若直线AB x ⊥轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意，
由题意可得211
222
88⎧=⎪⎨=⎪⎩y x y x ，将这两个等式作差可得()()()1212128y y y y x x -+=-，
即()()121228y y x x -=-，所以，直线AB 的斜率为12
12
4y y x x -=-.
故选：D.
6.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PDC 是正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，
E 为线段PC 的中点.记异面直线AP 与BE 所成角为θ，则cos θ的值为（
）A.
64
B.64
-
C.
104
D.
4
-
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，过P 作PO DC ⊥，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及异面直线的夹角公式，代入计算，即可求解.
【详解】过P 在平面PDC 内作PO DC ⊥，垂足为点O ，
因为侧面PDC 是正三角形，所以O 是CD 的中点，又因为平面PDC
⊥底面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PDC ，
所以⊥PO 底面ABCD ，
以O 为坐标原点，DA 、OC 、OP
的方向分别为x 、y 、z
轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设2AB =，则()2,1,0A -、()2,1,0B
、(P 、130,
,22E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
则(AP =-
，12,,22BE ⎛⎫
=-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以，cos cos ,4AP BE AP BE AP BE θ⋅===
==⋅ ，故选：C.
7.已知两点(),0M a 、()(),00N a a >
，若圆(()
2
2
24x y -+-=上存在点P ，使90MPN ∠= ，则
a 的取值范围为（
）
A.
(]0,5 B.[]
1,5 C.
[]2,5 D.[]
1,4【答案】B 【解析】
【分析】设点(),P x y ，求出点P 的轨迹方程为()2
2
2
=≠±+a
x a x y ，可知圆222x y a +=与
圆
(
()2
224x y +-=有公共点，利用圆与圆的位置关系看得出关于a 的不等式组，由此可解得正实数a
的取值范围.
【详解】设点(),P x y ，则(),MP x a y =- ，(),NP x a y =+
，
因为90MPN ∠=
，则MP NP ⊥ ，所以，()()2
0MP NP x a x a y ⋅=-++= ，
化简可得222x y a +=，故点P 的轨迹方程为()222
=≠±+a x a x y ，
由题意可知，圆222x y a +=
与圆(()
2
2
24x y +-=有公共点，
两圆圆心距为
3d =
，
所以，22a d a -≤≤+，即232a a -≤≤+，因为0a >，解得15a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,5.故选：B.
8.若(,0)F c 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，过F 作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线
交于,A B 两点（A 为垂足，F 在线段AB 上），且满足||8||BF AF =，则该双曲线的离心率e =（）
A.
5
4
B.
85
C.
53
D.
43
【答案】D 【解析】
【分析】根据垂直关系写出过点F 的直线AB 的方程，分别联立直线AB 与两渐近线的方程求出点A 、B 的横坐标，由||8||BF AF =知8BF FA =
，从而得()8B A c x x c -=-，带入A x 、B x 可得a 、c 的关系式，化简方程即可求得离心率.
【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为：b y x a
=±，设过点(,0)F c 与渐近线垂直的方程为()a
y x c b
=-
-，由() b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得2A a x c =，
由() b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
，得222
B a c x a b =-，因为||8||BF AF =，所以8BF FA =
，则()8B A c x x c -=-，
所以2222
8a c a c c a b c ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
，化简得4224925160c a c a -+=，即42925160e e -+=，
解得21e =（舍去）或2
169e =，则43
e =.故选：D
【点睛】与斜率为k 的直线垂直的直线斜率为1
k
-
.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）
9.已知12,F F 是椭圆22:154x y C +=的左、右焦点，,A B 是左、右顶点，P 为C 上异于,A B 的一点，延长
1PF 交椭圆于点Q ，则下列结论正确的是（
）
A.椭圆C 的离心率55e =
B.||PQ 的最小值为
5
C.12F PF 的周长为2+
D.12F PF 的面积的最大值为1
【答案】AC 【解析】
【分析】由离心率的定义可得A 正确；由通径长可得B 错误；由椭圆的定义可得C 正确；当点P 在上顶点时面积最大可得D 错误；
【详解】
对于A ，由题意可得1a c ==，所以5
c e a =
=
，故A 正确；
对于B ，||PQ 的最小值为椭圆的通径长22
b a ==B 错误；
对于C ，由椭圆的定义可得12F PF 的周长为1212222PF PF F F a c ++=+=，故C 正确；对于D ，因为1222F F c ==，当三角形的高最大时面积最大，即点P 为短轴端点时面积最大，
所以12F PF 的面积的最大值为1211
22222
F F b ⋅=⨯⨯=，故D 错误；故选：AC.
10.已知动点(),M x y 与两定点()0,0O 、()3,0A 的距离之比为1
2
，设动点M 的轨迹为C ，下列结论正确的是（
）
A.C 的方程为()2
214x y -+=B.MAO △面积的最大值为3C.MAO ∠
最大时，MA =D.设()3,3P ，则1
2
MP MA +
的最小值为【答案】BCD 【解析】
【分析】根据已知距离之比建立关系即可得出轨迹方程，可判断A 选项；易得M 到OA 的最大距离为2，即可求出MAO △最大面积，可判断B 选项；当MAO ∠最大时，直线AM 与圆()2
214x y ++=相切，利用勾股定理可判断C 选项；由题意得出2MA MO =，当M 为线段OP 与圆C 的交点时，12
MP MA +取最小值，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，设s ，由题
12
MO
MA =
12
=
，整理得()2
214x y ++=，A 错；
对于B 选项，OAM △以OA 为底，且M 到OA 的最大距离为半径2，所以OAM △面积的最大值是
1
3232
⨯⨯=，B 对；对于C 选项，当MAO ∠最大时，此时，直线AM 与圆()2
214x y ++=相切，取点()1,0C -，则CM AM ⊥，且4AC =，
由勾股定理可得AM =
==，C 对；
对于D 选项，由题意可得2MA MO =，
则1
2
MP MA MP MO OP +
=+≥==，当且仅当M 为线段OP 与圆C 的交点时，等号成立，
所以，1
2
MP MA +的最小值为32D 对.故选：BCD.
11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，
22SA AB DE ===，M 、N 分别是线段BC 、BS 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点D 、C ），则下列说法正确的是（
）
A.存在点Q ，使得NQ BS ⊥
B.存在点Q ，使得//EQ BS
C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是
1
3
D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大【答案】ABD 【解析】
【分析】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A 选项；利用共线向量的坐标表示可判断B 选项；由Q AMN N AMQ V V --=，求体积最大值判断C 选项；向量法求线面角的正弦值的变化情况判断选项D.
【详解】SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，
以A 为坐标原点，AB 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由22SA AB DE ===，得0,0,0、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、
()0,2,1E 、()0,0,2S 、()1,0,1N 、()2,1,0M ，
对于A ，假设存在点()(),2,002Q m m ≤≤，使得NQ SB ⊥，
则()1,2,1NQ m =-- ，又()2,0,2SB =-
，则()2120NQ SB m ⋅=-+=
，解得：0m =，
即点Q 与D 重合时，NQ SB ⊥，A 对；
对于B ，假设存在点()(),2,002Q m m ≤≤，使得//EQ BS ，
因为()2,0,2BS =- ，(),0,1EQ m =-
，
因为//EQ BS ，则存在λ∈R ，使得EQ BS λ=
，即()(),0,12,0,2m λ-=-，
所以，221m λλ=-⎧⎨=-⎩，解得1
12m λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩
，
故当点Q 为线段CD 的中点时，//EQ BS ，B 对；对于C 选项，连接AQ 、AM
、AN ，
设()02DQ m m =≤≤，
因为22
AMQ ABCD ABM QCM ADQ m S S S S S =---=-
，当0m =，即点Q 与点D 重合时，AMQ S △取得最大值2，
又点N 到平面AMQ 的距离1
12
d SA =
=，所以，()()max max 12
2133Q AMN N AMQ V V --==⨯⨯=，C 错；对于D ，由上分析知()1,2,1NQ m =-- ，()1,1,1NM =- ，()2,0,0DC =
，
若(),,n x y z = 是面QMN 的法向量，则()120
n NQ m x y z n NM x y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩
，令1x =，则()1,2,3n m m =--
，
设直线DC 与平面QMN 所成的角为θ，
sin DC n DC n θ⋅====
⋅ 因为函数()2
53222f x m ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭在0,2上单调递减，
则当点Q 自D 向C 处运动时，即m 逐渐增大时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大，D 对.故选：ABD
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面
角θ满足sin h
l
θ=
（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a
为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的
正弦值为sin cos ,a n θ=
.
第II 卷（非选择题共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知直线l ：(1)290(R)m x y m m -+--=∈，则直线l 恒过定点_______.【答案】()
2,11
【解析】
【分析】把直线方程变形为关于m 的方程，令2090x x y -=⎧⎨-+-=⎩
解出即可；【详解】由题意可得()290m x x y --+-=，令2090x x y -=⎧⎨-+-=⎩
，解得2,11x y ==，所以直线l 恒过定点()2,11，
故答案为：()
2,1113.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则点1A 到直线AE 的距离为____________.
【答案】
3【解析】
【分析】方法1：如图点1A 到直线AE 的距离为等腰三角形1AA E △边AE 所对应的高，由等面积法可得答案；方法2：如图建立空间直角坐标系，由空间向量知识可得答案.
【详解】方法1：由正方体棱长为2
，则11A C AC ==，又E 为1CC 的中点，
则1113C E CE AE A E =====，.
点1A 到直线AE 的距离为等腰三角形1AA E △边AE 所对应的高h ，
取1A A 中点为F ，连接EF ，则EF 为边1AA 上的高，
则1111122233
AA E AA EF S AA EF AE h h AE ⋅⨯=⋅=⋅⇒=== ；方法2：如图建立空间直角坐标系，则()()()10,0,00,0,22,2,0A A C ，，，
()()12,2,22,2,1C E ，，()()10,0,22,2,1AA AE == ，.
则1AA 在AE 上的投影向量为：122442,,9999AA AE n AE AE AE
⋅⎛⎫=⋅== ⎪⎝⎭ .则1A 到直线AE
的距离3d ====.
故答案为：3.
14.椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.
已知椭圆()22
2:1024x y C b b
+=<<，1F 、2F 为其左、右焦点.M 是C 上的动点，点(N ，且1MN MF +的最大值为6，则b =____________.动直线l 为椭圆C 的切线，右焦点2F 关于直线l 的对称点
为(),P m n ，则点P 到直线0x y ++=的距离d 的取值范围为____________.
【答案】
①.②.[]1,9【解析】【分析】根据椭圆定义可得出122MF MF a +=，可得出122MN MF NF a +≤+，当且仅当M 为射线2NF 与椭圆的交点时，等号成立，可求出a 的值，进而可得出b ，根据椭圆的光学性质可得出点P 的轨迹
是以()1F 为圆心，半径为4的圆，结合圆的几何性质可求得d 的取值范围.【详解】根据椭圆定义得122MF MF a +=，所以，12222MN MF MN MF a NF a +=-+≤+，
当且仅当M 为射线2NF 与椭圆的交点时，等号成立，
因为1MN MF +的最大值为6，且2a =，则22NF =
=，解得c =，
则b ===.
设l 切椭圆于点A ，
由椭圆的光学性质可得P 、A 、1F 三点共线，111224F P F A AP F A AF a =+=+==
，
则点P 的轨迹是以()12,0F 为圆心，半径为4的圆，所以，()12,0F 到直线20x y ++=262
52-+=，
由圆的几何性质可知，点P 到直线20x y ++=的距离最小值541-=，最大值549+=，即[]1,9d ∈.2；[]
1,9.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知()0,2A 、()1,1B 、()2,2C -、()2,1D -四点.
（1）求经过A 、B 、C 三点的圆M 的方程；
（2）若直线l 过点D 且与圆M 相切，求直线l 的方程.
【答案】（1）()()22
3225
x y +++=（2）20x -=或125190
x y +-=【解析】
【分析】（1）设圆M 的标准方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，将点A 、B 、C 的坐标代入圆M 的
方程，求出a 、b 、2r 的值，即可得出圆M 的方程；
（2）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l 的斜率不存在时，直接检验即可；在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()12y k x +=-，利用点到直线的距离公式可得出关于k 的方程，解出k 的值，综合可得出直线l 的方程.
【小问1详解】
设圆M 的标准方程为()()()22
20x a y b r r -+-=>，
因为()0,2A 、()1,1B 、()2,2C -三点都在圆M 上，则()()()()(
)()222222222021122a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+--=⎪⎩，解得23225a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，
因此，圆M 的方程为()()22
3225x y +++=.
【小问2详解】
由（1）可知，圆M 的圆心为()3,2M --，半径为=5r ,
①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为2x =，此时，圆心M 到直线l 的距离为5，合乎题意；②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=，因为直线l 与圆M
5=，解得125k =-此时，直线l 的方程为()12125
y x +=--，即125190x y +-=.综上，直线l 的方程为20x -=或125190x y +-=.
16.如图，
已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，M 、N 分别为AB 、PC 的中点
.
（1）求证：MN ⊥平面PCD ；
（2）求PB 与平面PMC 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2
【解析】
【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得MN ⊥平面PCD ；
（2）利用空间向量法可求得PB 与平面PMC 所成角的正弦值.
【小问1详解】
因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，
以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则()002P ,
,、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()1,0,0M 、()1,1,1N 、()2,0,0B ，()0,2,2PD =- ，()2,0,0CD =- ，()
0,1,1MN = 设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则22020
n PD y z n CD x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1y =，得()0,1,1n = ，则//MN n ，故MN ⊥平面PCD .
【小问2详解】
由（1）知()1,0,2PM =- ，()1,2,0MC = ，()2,0,2PB =- ，
设平面PMC 的一个法向量为(),,m a b c = ，
则2020m PM a c m MC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2a =，得()2,1,1m =- ，设直线PB 与平面PMC 所成角为θ
，则sin 6PD m PD m θ⋅===⋅ ，
即直线PB 与平面PMC 所成角的正弦值为
．17.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()03,A y 在抛物线C 上，且4AF =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点()2,0T 的直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若点()1,1B --满足1BM BN ⋅= ，求直线l 的方程.
【答案】（1）24y x =；
（2）24y x =-+.
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的定义可求出p 的值，由此可得出抛物线C 的方程；
（2）根据题意，设直线l 的方程为2x my =+，设点1,1、2,2，将直线l 的方程与抛物线的方程
联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得m 的值，即可得出直线l 的方程.【小问1详解】
抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2p x =-
，因为点()03,A y 在抛物线C 上，且4AF =，
由抛物线的定义可得342
p AF =+=，解得2p =，因此，抛物线C 的方程为24y x =.
【小问2详解】
若直线l y ⊥轴，则直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，不合乎题意，
故可设直线l 的方程为2x my =+，设点1,1、2,2，
由224x my y x =+⎧⎨=⎩，整理得2480y my --=，则216320m ∆=+>，
由韦达定理可得124y y m +=，128y y =-，
因为()()11111,13,1BM x y my y =++=++ ，()()22221,13,1BN x y my y =++=++ ，
所以()()()()121233111BM BN my my y y ⋅=+++++= ，
即()()()2121213190m y y m y y +++++=，即()
()28143190m m m -++++=，即24410m m ++=，解得12m =-
，因此，直线l 的方程为122
x y =-+，即24y x =-+.18.如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，将正方形ABCD 沿EF 折成如图2所示的二面角，使得2AD =，点M 是线段AB
上的动点（包含端点）.
+
（1）若M 为AB 的中点，直线MF 与平面ADE 的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；
（2）是否存在点M ，使二面角C EM F --为60o ？若存在，求出线段AM 的大小；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）点O 在EA 的延长线上，且2AO =，证明见解析
（2）存在，线段AM 为
154【解析】
【分析】（1）由题意点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线上，延长EA ，FM 交于点O ，连接OD ，可得点O 位置；连接DF 交EC 于点N ，可得//MN OD ，从而可证；
（2）取AE 的中点H ，连接DH ，则DH AE ⊥，可证DH ⊥平面ABFE ，过点H 作直线//HT EF ，以为坐标原点，以HA ，HT ，HD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设出点M 的坐标，利用向量法求解即可.
【小问1详解】
直线MF ⊂平面ABFE ，∴点O 在平面ABFE 内，也在平面ADE 内，
∴点O 在平面ABFE 与平面ADE 的交线AE 上，
延长,EA FM 交于点O ，连接OD ，如图所示，
AO //BF ，M 为AB 的中点，∴OAM △与FBM 全等，
∴,2OM MF AO BF ===，
∴点O 在EA 的延长线上，且2AO =，
连接DF 交EC 于点N ，连接MN ，
四边形CDEF 为矩形，∴N 是DF 的中点，
∴MN 为DOF 的中位线，∴MN //OD ，
又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，
∴直线//OD 平面EMC .
【小问2详解】
如图，由已知可得EF EA ⊥，EF DE ⊥，
又EA DE E = ，,EA DE ⊂平面ADE ，∴⊥EF 平面ADE ，
又EF ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE ⊥平面ADE ，
2DE AE AD ===，∴ADE V 为等边三角形，
取AE 的中点H ，连接DH ，则DH AE ⊥，
平面ABFE ⊥平面ADE ，平面ABFE ⋂平面ADE AE =，DH ⊂平面ADE ，
∴DH ⊥平面ABFE ，过点H 作直线HT //EF ，
以H 为坐标原点，以HA ，HT ，HD 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则(1,0,0)E -
，D
，(0,C ，(1,4,0)F -
，则(1,EC = ，
设(1,,0)M t （04t ≤≤），则(2,,0)EM t = ，
设平面EMC 的法向量为(,,)m x y z =
，则00
m EM m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即2040x ty x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩
，取=y -
x =，8z t =-，∴平面EMC
的一个法向量为,)m t =-- ，
又平面ABFE 的一个法向量为(0,0,1)n = ，
要使二面角C EM F --的大小为60o ，
则||1|cos ,|2
||||m n m n m n ⋅<>===⋅ ，解得154t =，∴存在点M ，使二面角C EM F --为60o ，
此时线段AM 为154
.19.已知O 为坐标原点，12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，C 的离心率为12
，点M 是C 上一点，1||MF 的最小值为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知,A B 是椭圆C 的左、右顶点，不与x 轴平行或重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，记直线AP 的斜率为1k ，直线BQ 的斜率为2k ，且212k k =.
①证明：直线l 过定点；
②设APQ 的面积为S ，求S 的最大值.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）①证明见解析；②
1669.【解析】
【分析】（1
）应用离心率公式及焦点到椭圆距离的最值列方程组求解2,a b ==，即可求出椭圆方程；
（2）①设直线方程联立方程组得出韦达定理再应用斜率公式得出232PB k k =-，再结合韦达定理计算求出23
n =即可得出定点；②先表示面积121||||2S AN y y =⋅-计算化简结合对勾函数得出最值.【小问1详解】由题可知，12c e a ==，1a c -=解得2,1a c ==，
∴b ==∴椭圆C 的方程为22143
x y +=.【小问2详解】
①证明：设直线l 的方程为(2)x ty n n =+≠±，1122)(,),(,P x y Q x y ，由22
143x y x ty n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222(34)63(4)0t y nty n +++-=，222(6)4(34)3(4)0nt t n ∆=-+⨯->，即22340t n -+>，∴212122263(4),3434
nt n y y y y t t -+=-=++， 11(,)P x y 在椭圆C 上，∴2211143
x y +=，即22113(4)4y x =-，∴22
111112211113(4)3422444PB x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---，∴21322PB k k k ==-，即232
PB k k =-， 1122)(,),(,P x y Q x y 在直线l 上，
∴1122,x ty n x ty n =+=+，∴2112122222121121222(2)(2)(2)()(2)PB y y y y y y k k x x ty n ty n t y y t n y y n =⋅==--+-+-+-++-
222222
223(4)3(2)343(4)6(2)4(2)(2)3434
n n t n t n n t n n t t -++==----+-++，∴3(2)34(2)2n n +=--，即23
n =，此时2223234309t n t -+=+
>，∴直线l 的方程为23x ty =+，即直线l 过定点2(,0)3
.②解：记直线l 过定点2
(,0)3
N ， (2,0)
A -∴8||3AN =，
121||||2S AN y y =⋅-=，1212224321,34334t y y y y t t +=-=-⋅++，
∴12211632732
||||22736S AN y y t =⋅-=
+1
4
=，
令)m =+∞
，则4S m m =+， 4m m
+
在)+∞上单调递增，∴
当m =时，S
有最大值49=.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造对勾函数形式应用函数的单调性得出函数的最值进而求出面积
的最大值.。