2021届高考数学专题：立体几何之内切球和外接球(答案不全)

高考数学中的内切球和外接球问题

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .

例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为，则该球的体积为

______________.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为

，则此球的表面积

为 .

例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.

A.π16

B. π20

C. π24

D.π32

3.求多面体的外接球的有关问题

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

8

9，底面周长为３，则这个球的体积为 .

241,2,3

二、构造法(补形法)

1、构造正方体

例6 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.

例 7 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

A. π3

B. π4

C. π33

D. π6

例8 在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分布沿ED 、FC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）. A. π2734 B.π26 C. π86 D. π24

6

例9 已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 .

2、构造长方体

例10.已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥DC ，若AB=6,AC=

132,AD=8，则球的体积是 .

三.多面体几何性质法

例1 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.π16

B.π20

C.π24

D.π32

四.寻求轴截面圆半径法

例12.正四棱锥S-ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的体积为 .

五 .确定球心位置法

例13.在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3

125

高考题汇编

1.（2020年全国三·理科15）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．

2.（2018年全国三·理科10）设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且

其面积为D ABC -体积的最大值为

A ．

B ．

C ．

D ．

3.（2017年全国三·理科8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A ．π

B ．3π4

C ．π2

D ．π4

4.（2016年全国三·理科10）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，

8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）

A ．4π

B ．92π

C ．6π

D ．323

π 5.（2020年全国二·理科10）已知ABC ∆是面积为

4

39的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上。若球O 的表面积为π16，则O 到平面ABC 的距离为 A. 3 B. 23 C. 1 D. 2

3 6.（2020年全国一·理科10）已知A 、B 、C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为ABC ∆的外接圆。若⊙O 1的面积为π4，1OO AC BC AB ===，则球O 的表面积为

A. π64

B. π48

C. π36

D. π32

7.（2019年全国一·理科12）已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长

为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，△CEF =90°，则球O 的体积为

A ．

B ．

C ． D

高考题汇编参考答案 1.π32

2.B

3.B

4.D

5.C

6.A

7.D