高职高考数学课程初步立体几何
立体几何职业高中数学教案
立体几何职业高中数学教案
主题：体积和表面积的计算
教学目标：
1. 了解立体几何中体积和表面积的概念；
2. 能够计算常见几何体的体积和表面积；
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：
1. 熟练掌握计算几何体体积和表面积的方法；
2. 能够准确应用所学知识解决实际问题。
教学内容：
1. 体积的计算公式及常见几何体的体积计算；
2. 表面积的计算公式及常见几何体的表面积计算；
3. 实际问题的解决方法。
教学过程：
1. 引入：通过展示一些常见的几何体，引导学生认识体积和表面积的概念；
2. 讲解体积的计算方法，例如长方体、正方体、圆柱体等几何体的体积计算公式；
3. 讲解表面积的计算方法，例如长方体、正方体、圆柱体等几何体的表面积计算公式；
4. 练习：让学生进行一些练习，巩固所学知识；
5. 应用：设计一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题；
6. 总结：对本节课的重点内容进行总结。
教学资源：
1. PowerPoint课件；
2. 教科书《高中数学立体几何》；
3. 尺规、圆规、铅笔等绘图工具。
评估方法：
1. 课堂练习的成绩；
2. 实际问题的解决情况；
3. 课后作业的完成情况。
高职高考数学重点知识点
高职高考数学重点知识点数学在高职高考中是一个非常重要的科目，不仅需要掌握基本概念和运算方法，还需要掌握一些重点知识点。
本文将介绍一些高职高考数学的重点知识点。
一、线性方程组线性方程组是数学中一个重要的内容，也是高职高考中的一个重点。
掌握解线性方程组的方法是解题的基础。
在解线性方程组的过程中，可以应用消元法、代入法、加减消法等方法，同样重要的是注意变量的消去和不要漏解。
二、函数与方程函数与方程也是高职高考数学中的重点知识点。
对于函数，需要掌握函数的概念、函数的性质以及函数的图像等。
对于方程，需要掌握一元一次方程、一元二次方程、一元二次不等式等的解法。
同时，还需要学会应用函数和方程解决实际问题。
三、立体几何立体几何也是高职高考数学中的一个重点。
在立体几何中，需要掌握立体的表面积和体积的计算方法，还需要掌握平行四边形、三角形、矩形等的性质和计算方法。
此外，掌握立体几何中的画图和判断等基本技巧也是非常重要的。
四、概率与统计概率与统计是高职高考数学中的另一个重点。
在概率与统计中，需要掌握事件与概率、随机变量与分布、统计图与统计量等的概念和性质。
同时，还需要学会应用概率与统计解决实际问题。
五、导数与微分导数与微分是高职高考数学中的一项重要内容。
在导数与微分中，需要掌握导数的定义和性质，学会应用导数求函数的极值、切线方程和函数的图像等。
同时，还需要学会应用微分求函数的增减性、凸凹性和最值等。
六、数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是高职高考数学中的一个重点知识点。
在数列与数学归纳法中，需要掌握等差数列、等比数列的性质和计算方法，还需要学会应用数学归纳法解决数列问题。
总之，以上提到的知识点是高职高考数学中的重点。
掌握这些知识点是解题的基础，也是取得好成绩的关键。
希望广大考生能够加强对这些知识点的学习和理解，提高数学解题能力，取得优异的成绩。
职高数学——立体几何
平面的基本性质一、高考要求:理解平面的基本性质、二、知识要点:1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、2、平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α、(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论:推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ 、3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、三、典型例题:例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内、证明:∵a ∥b ∴a 、b 可以确定一个平面α、∵m ∩α=A,m ∩β=B, ∴A ∈α,B ∈α又A ∈m,B ∈m∴m ⊂α、 ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内、四、归纳小结:1、证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都就是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上、2、共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件、五、基础知识训练:(一)选择题:1、下列说法正确的就是( )A 、平面与平面只有一个公共点B 、两两相交的三条直线共面C 、不共面的四点中,任何三点不共线D 、有三个公共点的两平面必重合2、在空间,下列命题中正确的就是( )A 、对边相等的四边形一定就是平面图形B 、四边相等的四边形一定就是平面图形C 、有一组对边平行的四边形一定就是平面图形D 、有一组对角相等的四边形一定就是平面图形3、过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数就是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或3个4、空间四点,其中三点共线就是这四点共面的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件(二)填空题:5、空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面、6、检查一张桌子的四条腿的下端就是否在同一个平面内的方法就是 、(三)解答题:7、已知A 、B 、C 就是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线、8、已知1 ∥2 ∥3 ,且m ∩1 =A 1,m ∩2 = A 2,m ∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面、直线与直线的位置关系一、高考要求:1、掌握两直线的位置关系、掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性;2、了解异面直线概念、了解异面直线的夹角、垂直与距离的概念、二、知识要点:1、两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内、2、平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行、3、异面直线的夹角、垂直与距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角、成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b、与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线,两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离、三、典型例题:例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH就是平行四边形、思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状就是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状就是 ;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状就是、例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E就是AA1的中点、(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1与BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1与BD1间的距离、四、归纳小结:1、平行线的传递性就是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变、2、两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解、五、基础知识训练:(一)选择题:1、在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹就是圆;(3)有三个角就是直角的四边形就是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条、A、0个B、1个C、2个D、3个2、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行、A、1个B、2个C、3个D、4个3、下列关于异面直线的叙述错误的个数就是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线就是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线就是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线与这个平面内不经过该点的任意直线就是异面直线;(4)分别与两条异面直线同时相交的两条直线一定就是异面直线、A、0个B、1个C、2个D、3个4、下列命题中,结论正确的个数就是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A、1个B、2个C、3个D、4个5、教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A、垂直B、平行C、相交D、异面6、设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系就是( )A、异面B、相交C、不相交D、相交或异面7、设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系就是( )A、平行B、平行或相交C、平行或异面D、平行或相交或异面8、(2002高职-4)已知m,n就是异面直线,直线 平行于直线m,则 与n( )A、不可能就是平行直线B、一定就是异面直线C、不可能就是相交直线D、一定就是相交直线(二)填空题:9、平行于同一直线的两直线的位置关系就是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系就是、10、若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为、11、空间两个角α与β,若α与β两边对应平行,当α=50º时,则角β= 、(三)解答题:12、、已知A、B与C、D分别就是异面直线a、b上的两点,求证:AC与BD就是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证与证明过程)13、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1、(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离、14、已知空间四边形OABC的边长与对角线长都为1,D、E分别为OA、BC 的中点,连结DE、(1)求证:DE就是异面直线OA与BC的公垂线;(2)求异面直线OA与BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离、直线与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握直线与平面的位置关系、2.了解直线与平面平行的判定与性质,理解平行投影概念、掌握空间图形在平面上的表示方法、3.掌握直线与平面垂直的判定与性质、理解正射影与三垂线定理及其逆定理、掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念、二、知识要点:1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点、2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行、用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α、直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面与已知平面相交,那么这条直线就与交线平行、用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b、3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍就是按或线段;(2)平行线的平行射影仍就是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比、4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图、画直观图通常用斜二测画法、5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面、用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么 ⊥α、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行、用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b、6.斜线及其在平面内的射影:一条直线与一个平面相交但不与它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线与平面的交点称为斜足、从平面外一点向平面引垂线与斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足与垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影、这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离、斜线与它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角、定理:从平面外一点向平面引垂线与斜线、(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长、(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长、7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果与一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也与这条斜线垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA、三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果与在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也与这条斜线在平面内的射影垂直、用符号语言叙述为:如果PO与PA分别就是平面α的垂线与斜线,AO就是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO、三、典型例题:例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别就是AB、PC的中点、(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD、例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长、例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明、四、归纳小结:1、在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”,反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2、平行射影的性质就是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的、如果平行于投射线,则线段或直线的像就是一个点、3、由直线与平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个就是,到两点距离相等的点的轨迹就是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个就是,三垂线定理及其逆定理、这个定理就是判定空间线线垂直的一个重要方法,就是计算空间中两条直线的夹角与线段长度等有关问题的重要基础、它的证明的思想方法十分重要、4、在直线与平面所成的角中要重点掌握公式:cosθ=cosθ1cosθ2、在公式的基础上得到了“斜线与它在平面内的射影所成的角就是斜线与这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论、直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º、五、基础知识训练:(一)选择题:1、如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的就是( )A 、 AB ⊥PD B 、 AB ⊥PCC 、 OD ⊥PC D 、 AB ⊥PO2、直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围就是( )A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C 、 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3、由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形就是( )A 、半径为34cm 的圆B 、半径为24cm 的圆C 、半径为334cm 的圆 D 、半径为22cm 的圆 4、设a 、b 就是两条异面直线,在下列命题中正确的就是( )A 、有且仅有一条直线与a 、b 垂直B 、有一个平面与a 、b 都垂直C 、过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D 、过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5、下列命题中正确的就是( )A 、若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B 、若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D 、若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6、两条直线a 、b 与平面α成的角相等,则a 、b 的关系就是( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上三种情况都有可能7、PA,PB,PC 就是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都就是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A 、21 B 、36 C 、33 D 、23 8、直线a 就是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角就是( )A 、60ºB 、45ºC 、90ºD 、135º9、矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A 、513B 、517 C 、921 D 、12951 10、在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )A 、5B 、52C 、53D 、5411、在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 就是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离就是( )A 、25B 、27C 、211D 、419 12、已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 就是△ABC 的外心,则( )A 、 SA=SB=SCB 、 SA ⊥SB,且SB ⊥SCC 、∠ASB=∠BSC=∠CSAD 、 SA ⊥BC(二)填空题:13、如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 、14、在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系就是 、15、两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能就是 、(三)解答题:16、证明直线与平面平行的判定定理、17、从平面外一点P 向平面引垂线PO 与斜线PA,PB 、(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长、18、一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P 、(1)P 到三角形三顶点的距离都就是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都就是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离、19、已知直角△ABC 在平面α上, D 就是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长、20、如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β、求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB 、21、已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ、求证:cos α=cos βcos γ、22、 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1、(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD 、平面与平面的位置关系一、高考要求:1.掌握平面与平面的位置关系、2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质、二、知识要点:1.平面与平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线、2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行、用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β、平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行、用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b、3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面、在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角、二面角的大小可用它的平面角来度量、平面角就是直角的二面角叫做直二面角、4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直、用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β、三、典型例题:例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面、例2:已知二面角α- -β的平面角就是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值、例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α、四、归纳小结:1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”,反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”,反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”、2.二面角θ满足0º≤θ≤180º、求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角、五、基础知识训练:(一)选择题:1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA、①与②B、③与④C、②D、④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面就是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边就是否与这个面密合就可以了、这种检查方法的依据就是( )A、平面的基本性质B、三垂线定理C、平面与平面垂直的判定定理D、直线与平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β、其中正确的两个命题就是( )A、①与②B、③与④C、②与④D、①与③4.如果直线 ,m与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m⊂α与m⊥γ,那么必有( )A、α⊥γ且 ⊥mB、α⊥γ且m∥βC、 m∥β且 ⊥mD、α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β与直线 、m,则α⊥β的一个充分条件就是( )A、 ⊥m, ∥α,m∥βB、 ⊥m,α∩β= ,m⊂αC、 ∥m, m⊥β, ⊂αD、 ∥m, ⊥α,m⊥β6.若异面直线a、b, a⊂α, b⊂β,则平面α、β的位置关系一定就是( )A、平行B、相交C、平行或相交D、平行或相交或重合7.下列命题中,正确的就是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A、(1)(2)B、(2) (3)C、(3)(4)D、(2)(3)(4)8.过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A、1个B、2个C、3个D、4个4,PA⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C的大小为( ) 9.设正方形ABCD的边长为6A 、3πB 、4πC 、2πD 、32π (二)填空题:10. 已知二面角就是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都就是a,则两个垂足间的距离就是 、11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离就是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数就是 、12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件就是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件就是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件就是β内有一条直线与直线a 平行、 其中正确命题的序号就是 、13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则 ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β,则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m,则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β,且α∥β,则m ∥ 、其中正确的命题就是(只写序号) 、14. 已知直线 与平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出您认为正确的一个命题 、15. α、β就是两个不同的平面,m 、n 就是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n;②α⊥β;③n ⊥β;④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出您认为正确的一个命题: 、16. 设X,Y,Z 就是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的就是 、①X,Y,Z 就是直线; ②X,Y 就是直线,Z 就是平面; ③X,Y 就是平面,Z 就是直线; ④X,Y,Z 就是平面、设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系就是 、17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长就是 ,EF 的长就是 、18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2π),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= 、(三)解答题:19. 已知一个二面角就是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都就是3,求两个垂足间的距离、20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B,AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长、翻折问题一、高考要求:掌握立体几何中图形翻折问题的解法、二、知识要点:解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题、三、典型例题:例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º、(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值、例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离、四、归纳小结:1、折叠前一般就是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后就是立体图形,要用立体几何知识解答;2、未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答、五、基础知识训练:(一)选择题:1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A 、30ºB 、45ºC 、60ºD 、90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离就是( ) A 、a B 、a 26 C 、a 33 D 、a 415 3. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( )A 、a 22B 、a 23C 、a 23 D 、a 2 (二)填空题:4. E 、F 分别就是正方形ABCD 的边AB 与CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= 、5. 如图,ABCD 就是正方形,E 就是AB 的中点,如将△DAE 与△CBE 分别沿虚线DE 与CE 折起,使AE 与BE重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD所成的二面角为 度、(三)解答题:6.一个直角三角形的两条直角边各长a与b,沿其斜边上的高h折成直二面角,试求此时a与b两边夹角α的余弦、7.把长宽各为4与3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,试求顶点B与D的距离、8.已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成90º的二面角,求B、D两点之间的距离、空间图形性质的应用一、高考要求:掌握空间图形的性质在测量与实际问题中的应用、二、知识要点:1、空间图形的性质在测量中的应用;2、空间图形的性质在实际问题中的应用、三、典型例题:例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果您手中只有测角器与皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离、请说出您的测量方法,并求出该距离、例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结:空间图形的性质在测量与实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题、五、基础知识训练:(一)填空题:1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离就是、2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线与CP垂直、(二)解答题:3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达、在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度、。
中职数学教学立体几何 ppt课件
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桌子
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两个平面平行的性质： 如果一个平面与两个平行平面相交， 那么它们的交线平行． 如图所示，如果 // ，平面 与 、 都相交，交线分别为m、n，那么
m∥n．
运用知识 强化练习
画出下列各图形： （1）两个水平放置的互相平行的平面． （2）两个竖直放置的互相平行的平面． （3）与两个平行的平面相交的平面．
创设情境 兴趣导入
将铅笔放到与桌面平行的位置，用矩形
硬纸片的面紧贴铅笔，矩形硬纸片的一边
铅笔
紧贴桌面(如图)，观察铅笔及硬纸片与桌面
的交线，发现它们是平行的．
创设情境 兴趣导入
直线与平面的三种位置关系
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直线与平面平行的性质： 如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面 和这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 如图所示，设直线 l 为平面 与平面 的交线，直线m在平面 内且m ∥ 则 m ∥ l ．
B
A
C
四.平面的性质 性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面。
“确定一个平面”指 的是“存在着一个平面， 并且只存在着一个平面” ．
1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面． 2．两条相交直线可以确定一个平面． 3．两条平行直线可以确定一个平面．
A
(1)
(2)
（3）
例 在长方A体 BCDA1B1C1D1中，画出 A、 由C、D1
创设情境 兴趣导入
将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点； 抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有1个公共点；把铅笔放到 文具盒(文具盒在桌面上)上面，铅笔与桌面就没有公共点了．
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职高数学——立体几何97083教学提纲
平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2.平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ.3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.三、典型例题：例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内.证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α.∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m∴m ⊂α. ∴a 、b 、m 三条直线在同一平面内.四、归纳小结：1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.平面和平面只有一个公共点B.两两相交的三条直线共面C.不共面的四点中,任何三点不共线D.有三个公共点的两平面必重合2.在空间,下列命题中正确的是( )A.对边相等的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )A.1个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .（三）解答题：7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G,求证:E 、F 、G 三点共线.8.已知1λ∥2λ∥3λ,且m ∩1λ=A 1,m ∩2λ= A 2,m ∩3λ=A 3,求证: 1λ、2λ、3λ、m 四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是 ;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 ;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是 .例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1和BD1间的距离.四、归纳小结：1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变.2.两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线;(4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A.1个B.2个C.3个D.4个5.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A.垂直B.平行C.相交D.异面6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( )A.异面B.相交C.不相交D.相交或异面7.设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系是( )A.平行B.平行或相交C.平行或异面D.平行或相交或异面8.(2002高职-4)已知m,n是异面直线,直线λ平行于直线m,则λ和n( )A.不可能是平行直线B.一定是异面直线C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9.平行于同一直线的两直线的位置关系是 ;垂直于同一直线的两直线的位置关系是 .10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为 .11.空间两个角α和β,若α和β两边对应平行,当α=50º时,则角β= . （三）解答题：12..已知A、B和C、D分别是异面直线a、b上的两点,求证:AC和BD是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证和证明过程)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离.14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线;(2)求异面直线OA和BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离.直线与平面的位置关系一、高考要求：1.掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方法.3.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点.2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a⊄α,那么a∥α.直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b.3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号语言表述为:如果λ⊥a,λ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么λ⊥α.直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行.用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b.6.斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理:从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA.三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和这条斜线在平面内的射影垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO.三、典型例题：例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P∉α、λ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥λ,PA⊥α,PB⊥λ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明.四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”，反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,则线段或直线的像是一个点. 3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是,三垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法,是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础.它的证明的思想方法十分重要.4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cos θ=cos θ1cos θ2.在公式的基础上得到了“斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论.直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如图,PO ⊥平面ABC,O 为垂足,OD ⊥AB,则下列关系式不成立的是( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥PCC. OD ⊥PCD. AB ⊥PO2.直线λ与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线λ异面,则λ与a 所成角的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3.由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形是( )A.半径为34cm 的圆B.半径为24cm 的圆C.半径为334cm 的圆 D.半径为22cm 的圆 4.设a 、b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a 、b 垂直B.有一个平面与a 、b 都垂直C.过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5.下列命题中正确的是( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6.两条直线a 、b 与平面α成的角相等，则a 、b 的关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.21B.36C.33D.23 8.直线a 是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a 与α所成的角是( )A.60ºB.45ºC.90ºD.135º9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A.513B.517C.921 D.12951 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( )A.5B.52C.53D.5411.在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离是( )A.25B.27 C.211 D.419 12.已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 是△ABC 的外心,则( )A. SA=SB=SCB. SA ⊥SB,且SB ⊥SCC.∠ASB=∠BSC=∠CSAD. SA ⊥BC（二）填空题：13.如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 .14.在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系是 .15.两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能是 .（三）解答题：16.证明直线与平面平行的判定定理.17.从平面外一点P 向平面引垂线PO 和斜线PA,PB.(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长;(3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长.18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P.(1)P 到三角形三顶点的距离都是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P 到三角形三条边的距离都是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19.已知直角△ABC 在平面α上, D 是斜边AB 的中点, DE ⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC 的长.20.如图,平面α∩β=CD,EA ⊥α,EB ⊥β,且A ∈α,B ∈β.求证:(1)CD ⊥平面EAB;(2)CD ⊥直线AB.21.已知PO ⊥平面ABO,PB ⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.求证:cos α=cos βcos γ.22. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1.(1)求直线DA 1与AC 1的夹角;(2)求证:AC 1⊥平面A 1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1.掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线.2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β.平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行.用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b.3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β.平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β.三、典型例题：例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例2:已知二面角α-λ-β的平面角是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值.例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α.四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.二面角θ满足0º≤θ≤180º.求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA.①和②B.③和④C.②D.④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是( )A.平面的基本性质B.三垂线定理C.平面和平面垂直的判定定理D.直线和平面垂直的判定定理3.已知直线λ⊥平面α,直线m⊂平面β，有下面四个命题:①α∥β⇒λ⊥m;②λ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒λ∥m;④λ⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③4.如果直线λ,m与平面α、β、γ满足:λ=β∩γ,λ∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且λ⊥mB.α⊥γ且m∥βC. m∥β且λ⊥mD.α∥β且α⊥γ5.对于平面α、β和直线λ、m,则α⊥β的一个充分条件是( )A.λ⊥m,λ∥α,m ∥βB.λ⊥m,α∩β=λ,m ⊂αC.λ∥m, m ⊥β,λ⊂αD.λ∥m,λ⊥α,m ⊥β6. 若异面直线a 、b, a ⊂α, b ⊂β,则平面α、β的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或相交或重合7. 下列命题中,正确的是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8. 过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直(3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9. 设正方形ABCD 的边长为64,PA ⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C 的大小为( ) A.3π B.4π C.2π D.32π （二）填空题：10. 已知二面角是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a,则两个垂足间的距离是 .11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数是 .12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α内有一条直线与β垂直; ②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β内有一条直线与直线a 平行. 其中正确命题的序号是 .13. 设m 、λ为直线,α、β为平面,给出下列命题: ①λ垂直于α内的两条相交直线,则λ⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若λ⊥α,α∥β，则λ⊥β;④若m ⊂α,λ⊂β,且λ⊥m ，则α⊥β;⑤若m ⊂α,λ⊂β，且α∥β，则m ∥λ.其中正确的命题是(只写序号) .14. 已知直线λ和平面α、β,给出三个论断:①λ⊥α,②λ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 .15. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断: ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .16. 设X,Y,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是 .①X,Y,Z 是直线; ②X,Y 是直线,Z 是平面; ③X,Y 是平面,Z 是直线; ④X,Y,Z 是平面. 设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系是 .17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长是 ,EF 的长是 .18. 二面角α-λ-β的度数为θ(0≤θ≤2π),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A ´B ´C ´, △ABC 的面积为S,则△A ´B ´C ´的面积S ´= .（三）解答题：19. 已知一个二面角是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离.20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B ，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长.翻折问题 一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题.三、典型例题：例1:已知△ABC 中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC 边上的高AD 为折痕使∠BDC=90º.(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C 到平面ABD 的距离;③求平面ABD 与平面ABC 所成的二面角的正切值.例2:已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成60º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后是立体图形,要用立体几何知识解答;2.未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 以等腰直角△ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕,折叠时使二面角B-AD-C 为90º,此时∠BAC 为( )A.30ºB.45ºC.60ºD.90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离是( )A.aB.a 26C.a 33D.a 4153. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC 的长为( )A.a 22B.a 23C.a 23 D.a 2 （二）填空题：4. E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= .5. 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度.（三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与b,沿其斜边上的高h 折成直二面角,试求此时a 与b 两边夹角α的余弦.7. 把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,试求顶点B 与D 的距离.8. 已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成90º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2.空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例1:如图,道路λ旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果你手中只有测角器和皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离.请说出你的测量方法,并求出该距离.例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚λ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与λ垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚λ成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离是 .2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线和CP垂直.（二）解答题：3.如图,所测物体BB´垂直于水平面α于点B´,底端B´不能到达.在α内取一点A,测得∠BAB´=θ1,引基线AC,使∠B´AC=θ2,在AC上取一点D,使BD⊥AC,又测得AD=a,求物体BB´的高度.。
[精品]人教版中职数学教案-第九章--立体几何18份教案
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[精品]人教版中职数学教案-第九章--立体几何18份教案9.1.1立体图形及其表示方法【教学目标】 1．初步感知身边的立体图形，会用斜二测画法画出平面图形以及简单几何体的直观图． 2．掌握斜二测画法的画图规则，体会由具体到抽象的认知过程．3．培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】斜二测画法画直观图．【教学难点】斜二测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系，从画平面图形的直观图入手，引导学生总结出斜二测画法的具体步骤．通过针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握用斜二测画法画出立体图形的直观图．【教学过程】环节导入教学内容平面图形与立体图形：几何图形都可以看成是点的集合．如果构成几何图形的点，都在一个平面上，那么这个几何图形是一个平面图形；否则，这个几何图形就是一个立体图形．如：直线、正方形、梯形、圆等是平面图形；正方体、棱柱、圆柱等是立体图形．问题怎样用平面图形来表示立体图形？ 1. 直观图的定义给定的一个几何图形，可以用具有立体感的平面图形去表示．这种平面图形通常叫做直观图． 2. 直观图的画法例1 画出下图所示的梯形ABCD的直观图．y D y′ C D′ C′ E A′ E′ A B x B′ x′ 画法 (1)在梯形ABCD上，以AB为x轴，A为原点，建立平面直角坐标系．画对应的x?轴和y?师生互动设计意图师：在初中，我们由以前接已经接触过很多几何图触过的几何图形．我们还知道，正方形导入，自然贴形是一个平面图形，正切．方体是一个立体图形．教师呈现实物魔从学生身方，以及魔方的图片．边的生活经验师：哪一个图片上出发进行新知的魔方更有立体感？的学习，有助于师：我们可以用平调动学生学习面图形去表示立体图积极性．形．教师给出直观图的定义，学生在实物与图片的对比中体会直观图．教师在黑板上边做教师对比讲边讲，一边是原图，一解，使学生明确边是直观图，对比讲解．图形中哪些量发生了变化，哪些量没有变化，便于下面总结画直观图的步骤．新课新课轴，使它们相交于点A?，且∠x?A?y?＝45°； (2)过点D作AB的垂线，设垂足为E； (3)在x?轴上截取A?E?=AE，E?B?=EB，然后作1E?D?平行于y?轴，而且使E?D?＝ED； 2(4)过点D?作x?轴的平行线D?C?，且D?C? =DC； (5)连接A?D?，B?C?，则四边形A?B?C?D?就是梯形ABCD的直观图．画直观图的基本步骤： (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x?轴和y?轴，使得它们的夹角为45°； (2) 图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x?轴或y?轴的线段； (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半； (4)连接有关线段．练习一 1．作边长为3 cm的正方形的直观图． 2．作边长为3 cm的等边三角形的直观图．例2 画长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图．画法：(1)用例1的方法画一个长为4，宽为3的长方形的直观图ABCD； (2)过A作z? 轴，使之垂直于x?轴，在z? 轴上截取AA? =2； (3)过点B，C，D分别作z?轴的平行线BB?，CC?，DD?，并使 BB? =CC? =DD?=2 cm，连接A? B?，B?C?，C?D?，D?A?； (4)擦去x?轴、y?轴、z?轴．并把看不到的线段引导学生根据例题总结出画直观图的基本步骤．教师强调重点，学生识记．指导学生在原图中如何建立坐标系画直观图更容易．学生根据例1的方法作出长方体底面的直观图，教师重点讲解步骤(2) (3) (4)．学生完成练习，进一步体会直观图的画法．学生在作图的过程中体会斜二测画法的作图规则．新课小结作业 AD，DC，DD?改成虚线．画立体图形直观图的方法和步骤： (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴和y轴，作出水平平面上图形的直观图（包括x′轴和y′轴）； (2)在立体图形中，过x轴或y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴或y轴，过x′轴或y′轴的交点取z′轴，且z′轴垂直于x′轴；(3)图形中平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段，且长度不变； (4)连接有关线段，擦去有关辅助线．上述画直观图的方法叫做斜二测画法．练习二作边长为2 cm的正方体的直观图．学生仿照例2的步骤，总结画立体图形直观图的步骤，教师加以指点．学生仿照例题进行学生通过练习，教师巡视指导．练习进一步掌教师对画的美观的握斜二测画法学生的练习进行展示．的步骤．师生共同回顾．教师可用“一斜二测”进行总结．斜二测画法的规则．教材 P109练习A组第1，2题．教材 P109练习 B组第1，2题．巩固斜二测画法．9.1.2 平面的基本性质【教学目标】1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论． 2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．【教学重点】平面的三个基本性质．【教学难点】理解平面的三个基本性质及其推论．【教学方法】这节课主要采用实例法．结合学生身边的实物，体会平面的无限延展性，并引导学生观察身边的物体以及现象，引导学生总结出平面的三个基本性质，逐个理解其内在的思想．同时教会学生能正确用图形语言与符号语言表示文字语言．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．【教学过程】环节教学内容公路、平静的海面、教室的黑板都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面的物体吗？师生互动教师呈现平面的图片，学生根据生活经验找出具有平面特点的实例．设计意图从学生身边的生活经验出发，对平面加以描述而不是定义，引发学生学习的兴趣．学生通过点与线的关系联想到点、线与面的关系．培养学生联想的能力．通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．导入新课 1．平面几何里所说的“平面”就是从桌面等物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的． 2．平面的表示方法常把希腊字母?，β，?等写在代表平面的平行四边形的一个角上来表示平面，如平面?、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．基本性质1 如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． A ? ? B ? 练习一教师从初中的点、线、面开始说起，逐步过渡到平面，并教会学生怎样表示平面．师：如果直线 l 与平面?有两个公共点，直线 l 是否在平面?内？生：是．新课在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并明理由：（1）直线AC1在平面CC1B1B内；（2）直线BC1在平面CC1B1B内．平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于来表示．基本性质1可表示为：如果A??，B??，那么直线AB ??．利用这个性质，可以判断一条直线是否在一个平面内．位置关系的符号表示：位置关系点 P 在直线 AB 上点 C 不在直线 AB 上点 M 在平面 AC 内点 A? 不在平面 AC 内直线 AB 与直线 BC 交于点 B 直线 AB 在平面 AC 内直线 AA?不在平面 AC 内符号表示 P ? AB C ? AB M ? 平面 AC A?? 平面 AC AB ∩ BC＝B AB ? 平面 AC AA?? 平面AC 基本性质2 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． a ? ? ? 练习二观察长方体，你能发现长方体中两个相交平面的公共直线吗？基本性质3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和直线外的一学生个别口答，其他学生进行评价，教师解决有争议的知识点．运用集合的符号表示点、线、面之间的位置关系．学生观察理解，条件容许时可作为练习，让学生分小组讨论完成．教师讲解基本性质2，同时教会学生怎样画两个平面相交．学生观察长方体，回答问题．教师创设实际情境：生活中经常看到用三角架支撑照相机．并让学生找出生活中类似的现象．例如自行车、门等．教师强调存在性和唯一性．学生在教师的引导下，理解学生在实际讨论中巩固平面的基本性质1．学生体会三种语言符号的联系与区别．教师结合生活经验启发学生．在这个过程中，逐步培养学生空间想象能力．学生体验感谢您的阅读，祝您生活愉快。
中职数学立体几何 ppt课件
▐ 平面的表示方法
平面可以用希腊字母表示，如α、β、γ等。也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点 或相对的两个顶点字母表示，如平面ABCD，平面AC或平面BD。
9.1 平面的基本性
▐ 例题
表示出长方体ABCD-A1B1C1D1的6个面。
平面AD1 平面AC 平面BC1 平面A1C1 平面DC1 平面AB1
面唯一，“有且只有”强调平面存在并且唯一这两方面，这就表明这个图形是确定的，所 以也可以说成“确定一个”.
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3推论1
（1） 直线与这条直线外的一点有且只有一个平面。直线与点A共属于平面α且平面α 唯一。
（1）
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3推论2
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。直线a,b共面于平面α，且平面α唯一。
画表示非水平非竖直放置的平面时，只要将 锐角画成不等于45°即可 .
9.1 平面的基本性
▐ 平面的画法
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画.
9.1 平面的基本性
▐ 例题
判断下列说法是否正确？ (1) 两个平面比一个平面厚 ; (2) 圆和平面多边形都可以表示平面 ; (3) 用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界； (4) 任何一个平面图形都是一个平面 ;.
以长方体为例，长方体由六个矩形 ( 包括内部 ) 围成 围成长方体的各个矩形叫做长方体的面 相邻两个面的公共边叫做长方体的棱 棱和棱的公共点叫做长方体的顶点
思考一下： 长方体有几个面？几条棱？几个顶点？Biblioteka 立体几何平面的基本性质
9.1 平面的基本性质
中职数学立体几何
机械设计中的立体几何
零件建模
机械设计师使用立体几何知识构建零件的三维模 型。
运动分析
通过立体几何对机械部件的运动轨迹、速度、加 速度等进行精确分析。
有限元分析
在机械设计中，有限元分析是一种常用的方法， 立体几何是实现这一方法的关键。
计算机图形学中的立体几何
3D建模
在计算机图形学中，3D建模是基础，立体几何提供了构建三维物 体的理论和技术。
在计算机图形学中，图形 变换是实现三维图形渲染 和动画的关键技术之一。
04
立体几何的实际应用
建筑中的立体几何
建筑设计
建筑师利用立体几何知识进行建 筑设计，如空间布局、角度计算、
透视效果等。
结构分析
建筑结构工程师使用立体几何来 分析建筑结构的稳定性、承重能
力等。
施工测量
在建筑施工过程中，需要进行精 确的测量和定位，立体几何提供
特点
立体几何具有抽象性和直观性，它通 过逻辑推理和证明来研究空间图形的 性质，同时借助图形和模型来直观地 理解空间关系。
立体几何的重要性
实际应用
数学学科基础
立体几何在建筑、工程、机械等领域 有着广泛的应用，如建筑设计、施工 图纸绘制、机械零件的制造等。
立体几何是数学学科中的基础课程之 一，对于后续学习其他数学课程，如 解析几何、微积分等具有重要意义。
中职数学立体几何
目录
• 立体几何概述 • 立体几何基础知识 • 立体几何的图形变换 • 立体几何的实际应用 • 立体几何的解题技巧 • 立体几何的练习题与答案
01
立体几何概述
定义与特点
定义
立体几何是研究三维空间中图形和几 何对象的一门学科。它主要探讨空间 中点、线、面、体之间的关系，以及 它们的性质、形状和度量。
职高数学立体几何教案
职高数学立体几何教案【篇一：职高立体几何测试题1】【篇二：职高数学教材分析】中等职业学校数学教材分析一、课程性质与任务数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。
数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。
本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。
二、课程教学目标1. 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。
2. 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。
3. 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。
三、教学内容结构本课程的教学内容由基础模块、职业模块和拓展模块三个部分构成。
1. 基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求。
基础模块上册包括集合、不等式、函数、指数函数与对数函数、三角函数。
基础模块下册包括数列、平面向量、直线和圆的方程、立体几何、概率与统计初步。
2. 职业模块是适应学生学习相关专业需要的限定选修内容，各学校根据实际情况进行选择和安排教学。
3. 拓展模块是满足学生个性发展和继续学习需要的任意选修内容，教学时数不做统一规定。
包括：三角公式及其应用、椭圆、双曲线、抛物线，概率与统计。
四、教学内容与要求（一）本大纲教学要求用语的表述1. 认知要求（分为三个层次）了解：初步知道知识的含义及其简单应用。
理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。
掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。
2. 技能与能力培养要求（分为三项技能与四项能力）计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。
计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。
立体几何高中数学知识点总结职高
立体几何高中数学知识点总结职高立体几何是高中数学教育中的重要组成部分，它不仅培养学生的空间想象力和逻辑思维能力，还是进一步学习高等数学和理解现实世界空间关系的基础。
本文将对高中立体几何的主要知识点进行总结，旨在帮助职业高中的学生更好地理解和掌握这一领域的基本概念、公式和解题技巧。
# 基本概念与定义在立体几何中，我们首先需要了解一些基础的概念和定义，这些是后续学习的基础。
点、线、面：点是没有大小、只有位置的几何概念；线是由无数个点组成的一维几何体，分为直线和曲线；面是由线围成的二维几何体。
平面：平面是无限延展且没有厚度的几何体，它是点和线的集合，满足任意两点间直线都在同一平面内的性质。
空间直线：空间直线是不局限于平面内的直线，它可以与平面相交、平行或在平面内。
立体图形：由平面或曲线围成的几何体，如多面体、旋转体等。
# 多面体多面体是由若干个平面围成的立体图形。
在高中数学中，我们主要学习以下几种典型的多面体：棱柱：由两个平行且相等的多边形和若干个平行四边形组成的多面体。
根据底面多边形的边数，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱等。
棱锥：由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。
底面多边形的顶点与侧面三角形的顶点相连接。
棱台：由两个平行的多边形和若干个梯形侧面组成的多面体。
这两个多边形称为棱台的上底和下底。
圆柱：由两个平行的圆面和连接这两个圆面的侧面组成的旋转体。
圆锥：由一个圆面和一个顶点组成的旋转体，顶点与圆面中心垂直。
圆台：由一个圆面和一个平行于该圆面的较小圆面，以及连接这两个圆面的侧面组成的旋转体。
# 体积与表面积对于立体图形，我们通常需要计算其体积和表面积。
体积：表示立体图形所占据空间的大小。
计算公式依赖于具体的几何体类型。
例如，棱柱的体积公式为底面积乘以高，圆锥的体积公式为底面积乘以高的三分之一。
表面积：表示立体图形所有表面的总面积。
同样，计算公式依赖于具体的几何体类型。
例如，棱锥的表面积为所有侧面三角形面积的和加上底面多边形的面积。
人教版中职数学《第十章,立体几何初步》全章PPT课件
2.异面直线所成的角：a,b是两条异面直线，经过空间任意一点O,作 直线a’,b’,使a’//a, b’//b,直线a’,b’所成的锐角（或直角）
3、异面直线垂直：两条异面直线所成的角是直角
a b.
例3、已知：正方体ABCD-A’B’C’D’ (1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BA’是异面直线
2、为什么自行车要支起后轮旁一只撑脚就能使自行车立在地面上
3、用集合符号表示下列语句
• （1）点A在直线L上 • （2）点B不在直线L上 • （3）直线l在平面α内 • （4）直线m与平面α有且只有一个公共点P
∈
∩
⊂
• 解：（1）A∈l
•
(2) B l
•
(3) l⊂α
• （4）m∩α=P
•
2、把一张长方形的纸对折两次，打开后如图所示，说明为什么这 些折痕是互相平行的。
•.
3、已知AC,BD是空间四边形ABCD的对角线，如图，且AC=BD,且 E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， 求证：四边形EFGH是菱形
•.
• 证明：因为E,F是AB,BC的中点
•
所以EF// AC
• 4.解：因为AC//BD,所以PA/PB=PC/PD,即4/(4+5)=3/PD,解得
•
PD=27/4
三、二面角
• 1、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
然有平面α//平面γ?为什么？ • 3.如图，设E,F,E’,F’分别是长方体ABCD-A’B’C’D’的棱
AB,,CD,A’B’,C’D’的中点，求证：平面ED’//平面BF’
•.
F′
E′
P
A
C
α
职教高考立体几何知识点
职教高考立体几何知识点职业教育高考中的立体几何知识点是数理化科目中的重要内容之一，对于考生来说，了解和掌握这些知识点不仅有助于应对高考中的相关题目，还能够对将来的职业发展起到积极的推动作用。
本文将从几何体、多面体、体积和表面积等方面介绍职教高考中的立体几何知识点。
1. 几何体几何体是立体几何研究的基本对象，包括球体、圆柱体、锥体、棱柱体等。
对于每种几何体，我们需要了解它们的特点、性质和相关公式。
例如，球体的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r为球体的半径；圆柱体的体积公式为V = πr²h，其中r为底面半径，h为高。
掌握了这些公式，考生就能够迅速计算出几何体的体积。
2. 多面体多面体是由多个平面的边界所围成的几何体，如四面体、六面体、八面体等。
对于每种多面体，我们需要了解它们的面数、顶点数、棱数以及其他相关性质。
例如，四面体具有四个面、四个顶点和六条棱，六面体具有六个面、八个顶点和十二条棱。
同时，我们还需要掌握多面体的表面积和体积的计算方法，如四面体的体积公式为V = (1/3)Ah，其中A为底面积，h为高。
3. 体积和表面积体积和表面积是立体几何中两个重要的概念，对于许多应用题和实际问题，我们需要计算出几何体的体积和表面积。
除了之前提到的几何体和多面体的计算公式，我们还需要了解一些常见图形的计算方法，如长方体、正方体和圆柱体等。
长方体的体积公式为V = lwh，其中l为长度，w为宽度，h为高度；正方体的表面积公式为S = 6a²，其中a为边长。
通过掌握这些公式，考生就能够快速计算出几何体的体积和表面积。
4. 空间几何与几何应用在职业教育中，几何知识不仅仅停留在理论层面，还有很多实际应用。
例如，在建筑和设计行业中，需要根据房间的尺寸和形状计算出体积和表面积，以确定材料的用量。
在制造工业中，需要根据产品的几何形状计算出体积和表面积，以确定制造工艺和成本。
因此，职业教育高考中的立体几何知识点不仅仅是为了应对考试，更是为了将来职业发展的需要。
第八章 立体几何初步(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第八章立体几何初步（公式、定理、结论图表）1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱互相平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.正棱柱、正棱锥的结构特征(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．3．旋转体的结构特征(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(3)三视图的长度特征：“长对正、高平齐、宽相等”，即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽．5．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．6．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．7．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l三者关系S圆柱侧＝2πrl――→r′＝rS圆台侧＝π(r＋r′)l――→r′＝0S圆锥侧＝πrl8.柱、锥、台和球的表面积和体积(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．10．空间直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(3)平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．11．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a12．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a ∥β，b ∥β，a ∩b ＝P ，a ⊂α，b ⊂α，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ∥b14．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．15．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.(3)直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°.16．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围是0°≤θ≤180°.17．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理l⊥α<常用结论>1．特殊的四棱柱2．球的截面的性质3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：5．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，6．异面直线的判定定理7．等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．8．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．9.线、面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．12．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．<解题方法与技巧>一、空间几何体概念辨析题的常用方法A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D[A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．图1图2B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]二、识别三视图的步骤(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．典例2：(1)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥ABCD 的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()A B C D(2)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()(1)A(2)A[(1)正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]三、由三视图确定几何体的步骤典例3:(1)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为()A．217B．25C．3D．2(1)C(2)B[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥PABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．图1图2圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝14×16＝4，OM＝2，∴MN＝OM2＋ON22 5.故选B.]四、由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．典例4：如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()A B C DA [由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A ，故选A.]五、空间几何体的直观图1．用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．2．原图形与直观图面积的关系典例5：(1)已知等腰梯形ABCD ，CD ＝1，AD ＝CB ＝2，AB ＝3，以AB 所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为()A.2B.24C.22D ．22(2)如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6cm ，O ′C ′＝2cm ，则原图形是()A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．一般的平行四边形(1)C (2)C [(1)法一(作图求解)：如图，取AB 的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，y 轴交DC 于点E ，O ，E 在斜二测画法中的对应点为O ′，E ′，过E ′作E ′F ′⊥x ′轴，垂足为F ′，因为OE ＝(2)2－12＝1，所以O′E′＝12，E′F′＝24.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝12×(1＋3)×24＝22，故选C.法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝12×(1＋3)×1＝2.由S直观图＝24S原图形，得S直观图＝24×2＝22，故选C.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2cm.所以OC＝OD2＋CD2＝(42)2＋22＝6(cm)，所以OA＝OC，由题意得OA綊BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]六、求解几何体表面积的类型及求法A．48＋πB．48－πC．48＋2πD．48－2π(2)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π(1)A(2)B[(1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.(2)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.]七、求体积的常用方法典例7：(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3(2)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为．(1)A (2)13[(1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1，高为3的半个圆锥和三棱锥SABC 组成的，如图，三棱锥的高为3，底面△ABC 中，AB ＝2，OC ＝1，AB ⊥OC .故其体积V ＝13×12×π×12×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1.故选A.(2)四棱锥A 1BB 1D 1D 的底面BB 1D 1D 为矩形，其面积S ＝1×2＝2，又四棱锥的高为点A 1到平面BB 1D 1D 的距离，即h ＝12A 1C 1＝22，所以四棱锥的体积V ＝13×2×22＝13.]八、空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．典例8：(1)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310(1)B(2)C[(1)如图，E是AC中点，M是△ABC的重心，O为球心，连接BE，OM，OD，BO.因为S△ABC＝34AB2＝93，所以AB＝6，BM＝23BE＝23AB2－AE2＝2 3.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝OB2－BM2＝2，所以当D，O，M三点共线且DM＝OD＋OM时，三棱锥DABC的体积取得最大值，且最大值V ma x＝13S△ABC×(4＋OM)＝13×93×6＝18 3.故选B.(2)如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC 的中点M .因为AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，所以BC ＝5.又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA＝132，故选C.]九、共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共线问题：①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．典例9：(1)以下命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A ．0B ．1C ．2D ．3(2)如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：①E ，C ，D 1，F 四点共面；②CE，D1F，DA三线共点．(1)B[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．](2)[证明]①如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．十、空间两条直线的位置关系典例10：(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c，给出下列命题：①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c.其中真命题有．(填序号)(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(填上所有正确答案的序号)．①②③④(1)①③(2)②④[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]十一、平移法求异面直线所成角的步骤典例11：(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD 所成角的正切值为()A.2 2B.32C.52D.72(2)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB ＝BC ＝CD ，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为()A.12B ．－12C.32D ．－32(1)C (2)A [(1)如图，连接BE ，因为AB ∥CD ，所以异面直线AE 与CD 所成的角等于相交直线AE 与AB 所成的角，即∠EAB .不妨设正方体的棱长为2，则CE ＝1，BC ＝2，由勾股定理得BE ＝ 5.又由AB ⊥平面BCC 1B 1可得AB ⊥BE ，所以tan ∠EAB ＝BE AB ＝52.故选C.(2)如图，分别取AB ，AD ，BC ，BD 的中点E ，F ，G ，O ，连接EF ，EG ，OG ，FO ，FG ，则EF ∥BD ，EG ∥AC ，所以∠FEG 为异面直线AC 与BD 所成的角．易知FO ∥AB ，因为AB ⊥平面BCD ，所以FO ⊥平面BCD ，所以FO ⊥OG ，设AB ＝2a ，则EG ＝EF ＝2a ，FG ＝a 2＋a 2＝2a ，所以∠FEG ＝60°，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为12，故选A.]十二、判定线面平行的四种方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．典例12：如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；(2)求证：GH ∥平面P AD .[证明](1)连接EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，E 为AD 中点，所以BC AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连接FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为FH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以FH ∥平面PAD .又因为O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为OH ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD .所以OH ∥平面P AD .又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD .又因为GH ⊂平面OHF ，所以GH∥平面PAD.十三、判定平面与平面平行的四种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．注意：谨记空间平行关系之间的转化典例13：已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分别为DB，DC的中点．(1)求证：平面EMN∥平面ABC；(2)求三棱锥AECB的体积．[解](1)证明：取BC中点H，连接AH，∵△ABC为等腰三角形，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN ∥AH ，∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC ，又M ，N 分别为BD ，DC 中点，∴MN ∥BC ，∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC ，又MN ∩EN ＝N ，∴平面EMN ∥平面ABC .(2)连接DH ，取CH 中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，由(1)知EN ∥平面ABC ，所以点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等，又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，∴DH ＝3，又N 为CD 中点，∴NG 又AC ＝AB ＝3，BC ＝2，∴S △ABC ＝12·|BC |·|AH |＝22，∴V E ABC ＝V N ABC ＝13·S △ABC ·|NG |＝63.十四、证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．典例14：如图，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为2的正三角形，M 为棱BC 的中点，BB 1＝3，AB 1＝10，∠CBB 1＝60°.(1)求证：AM ⊥平面BCC 1B 1；(2)求斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积．[解](1)证明：如图，连接B 1M ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，且M 为棱BC 的中点，所以AM ⊥BC ，且AM ＝3，因为BB 1＝3，∠CBB 1＝60°，BM ＝1，所以B 1M 2＝12＋32－2×1×3×cos 60°＝7，所以B 1M ＝7.又因为AB 1＝10，所以AM 2＋B 1M 2＝10＝AB 21，所以AM ⊥B 1M .又因为B 1M ∩BC ＝M ，所以AM ⊥平面BCC 1B 1.(2)设斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积为V ，则V ＝3VB 1ABC ＝3VA B 1BC＝3×13S △B 1BC ·|AM |＝12×2×3×sin 60°×3＝92.所以斜三棱柱ABCA1B1C1的体积为9 2 .十五、证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化典例15：(1)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM＝MD，DG＝GF，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵MG＝12EF＝32，BG＝CG2＋BC2＝52，∴BM＝MG2＋BG2＝7.∴BM≠EN.∵BM，EN是△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B.](2)如图，四棱锥PABCD中，△PCD为等边三角形，CD＝AD＝2AB，E，S，T，Q为CD，P A，PB，AD的中点，∠ABC＝∠BCD＝∠PEA＝90°，平面STRQ∩平面ABCD＝RQ.①证明：平面P AE⊥平面STRQ；②若AB＝1，求三棱锥QBCT的体积．[解]①证明：因为E为CD的中点，CD＝2AB，∠ABC＝∠BCD＝90°，所以四边形ABCE 为矩形，所以AE⊥CD.由已知易得RQ∥CD，所以RQ⊥AE.因为∠PEA＝90°，PE∩CD＝E，故AE⊥平面PCD，又因为AE⊂平面ABCD.故平面PCD⊥平面ABCD.因为PE⊥CD，所以PE⊥平面ABCD.因为RQ⊂平面ABCD，所以RQ⊥PE.又PE ∩AE ＝E ，所以RQ ⊥平面PAE .所以平面P AE ⊥平面STRQ .②由①可知，PE ⊥平面ABCD ，又T 是PB 的中点，∴点T 到平面BCQ 的距离为12PE ＝32，易知S △BCQ ＝12S 梯形ABCD ＝12×12×(1＋2)×3＝334.故三棱锥Q BCT 的体积V ＝13×334×32＝38.十六、求点到平面的距离(高)的两种方法(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．典例16:(1)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为．2[如图，过点P 作⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝ 2.](2)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．①证明：PO ⊥平面ABC ；②若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解]①证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .②作CH ⊥OM ，垂足为H .又由①可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.十七、求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．典例17:(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为()A．8B．62C．82D．83C[如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝2sin30°＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝42－(22＋22)＝22，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×22＝82.](2)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝23，∠BAD＝90°.①求证：AD⊥BC；②求异面直线BC与MD所成角的余弦值；③求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．[解]①证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.②如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND .又因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC .在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326.③如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又因为平面ABC ⊥平面，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34.所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34.十八、转化思想的应用(1)证明线面平行、面面平行可转化为证明线线平行；证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行．(2)从解题方法上讲，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．(3)求几何体的体积也常用转化法．如三棱锥顶点和底面的转化，几何体的高利用平行、中点，比例关系的转化等．典例18:如图，在四棱锥P ABCD 中，△PAD 是等腰直角三角形，且∠APD ＝90°，∠ABC ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2BC ＝8，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点(靠近C 点处)．(1)求证：平面MBD ⊥平面P AD ；(2)求三棱锥D MAB 的体积．[解](1)证明：由题易得BD ＝AD ＝42，∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴BD ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面P AD .又∵BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD .(2)过点P 作PO ⊥AD 交AD 于点O (图略)，∵平面PAD ⊥平面DAB ，平面PAD ∩平面DAB ＝AD ，∴PO ⊥平面DAB ，∴点P 到平面DAB 的距离为PO ＝2 2.∴V D MAB ＝V M DAB ＝13S △DAB ·13PO ＝13×12×(42)2×13×22＝3229.十九、解决平面图形翻折问题的步骤典例19：图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB ＝1，BE ＝BF ＝2，∠FBC ＝60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连接DG ，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积．[解](1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1＝3，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为4.二十、存在性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．典例20：如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．。
职高立体几何知识点
职高立体几何知识点9.1 平面的基本性质1.在立体几何中，有三种语言可以用来描述点、直线和平面之间的位置关系：图形语言、文字语言和符号语言。
2.根据位置关系，可以用不同的语言描述点、直线和平面之间的位置关系，例如点A在直线a上、点B在直线a外、直线a在平面α内等等。
3.符号语言可以用符号来表示位置关系，例如XXX表示点A在直线a上，a∥b表示直线a和直线b平行等等。
9.2 空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系可以分为相交、平行和异面三种情况。
2.平行线的传递公理指出，平行于同一直线的两条直线相互平行。
3.异面直线是指不在任何一个平面内的两条直线。
可以通过连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线来判定异面直线。
4.异面直线所成的角的范围是(0°，90°]，可以通过平移法来作异面直线成角的方法。
9.3 直线与平面的位置关系1.直线和平面的位置关系可以分为直线在平面内、相交和平行三种情况。
2.等角定理指出，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
3.线面平行的定义是指平面外的直线与平面无公共点，可以通过判定定理来判断。
4.线面垂直的定义是指一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面，可以通过判定定理和性质定理来判断。
5.面面平行的定义是指空间两个平面没有公共点，可以通过判定定理来判断。
推论：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面的两条线段平行，那么这两个平面是平行的。
判定定理2：如果有两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面互相平行。
面面平行的性质定理：如果两个平面互相平行，那么它们之间的平行线段长度相等。
面面垂直的定义：如果两个平面的二面角的平面角为90°，那么这两个平面是垂直的。
判定定理：如果一个平面与另一个平面的一条垂线相交，那么这两个平面是垂直的。
面面垂直的性质定理：如果两个平面是垂直的，那么它们之间的二面角的平面角为90°。
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平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法 : 平面是无限延展的 , 是没有边界的 . 通常用平行四边形表示平面 , 平面一般用希腊字母α、β、γ、来命名, 还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2. 平面的基本性质:(1) 如果一条直线上的两点在一个平面, 那么这条直线上的所有点都在这个平面. 这时我们说, 直线在平面或平面经过直线. 用符号语言表示为: 如果 A∈ a,B ∈ a, 且 A∈α ,B ∈α , 则 a? α.(2)经过不在同一条直线上的三点 , 有且只有一个平面 . 也可简单地说成 , 不共线的三点确定一个平面 . 它有三个推论 :推论 1: 经过一条直线和直线外的一点, 有且只有一个平面;推论 2: 经过两条相交直线, 有且只有一个平面;推论 3: 经过两条平行直线, 有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点 , 那么它们就有另外的公共点 , 并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线. 这时我们称这两个平面相交.用符号语言表示为: 如果A∈α ,A ∈β , 则α∩β = , 且 A∈.3.有关概念: 如果空间的几个点或几条直线都在同一平面, 那么我们就说它们共面; 如果构成图形的所有点都在同一平面 , 则这类图形叫做平面图形 ; 如果构成图形的点不全在同一平面 ,则这类图形叫做立体图形. 直线和平面都是空间的子集, 直线又是平面的子集.三、典型例题：例 1: 已知 E、 F、 G、 H 分别是空间四边形 ABCD各边 AB、 AD、 BC、CD上的点 , 且 EF 与 GH相交于点 P. 求证 : 点 B、 D、 P 在同一直线上 .证明 :∵ E∈ AB, F∈AD又AB∩ AD=A∴E、 F∈平面 ABD∴E F? 平面 ABD同理 GH? 平面 CBD∵E F 与 GH相交于点 P∴P∈平面 ABD,P∈平面 CBD, 又平面 ABD∩平面 ABD=BD∴P∈ BD即点 B、 D、P 在同一直线上 .例 2: 如图 , 已知直线 a∥ b, 直线 m与 a、b 分别交于点 A、B,求证 :a 、 b、 m三条直线在同一平面 .证明 : ∵ a∥b∴ a、b可以确定一个平面α.∵m∩α =A,m∩β =B,∴ A∈α ,B∈α又A∈ m,B∈ m∴m? α .∴ a、b、m三条直线在同一平面.四、归纳小结：1. 证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点 :(1) 确定平面 ;(2) 证明其余点、线在确定的平面 , 解题中应注意确定平面的条件 .五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列说确的是( )A. 平面和平面只有一个公共点C. 不共面的四点中, 任何三点不共线B.D.两两相交的三条直线共面有三个公共点的两平面必重合2. 在空间, 下列命题中正确的是( )A. 对边相等的四边形一定是平面图形C. 有一组对边平行的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形D. 有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线 , 则这三条直线确定的平面个数是 ( )A.1 个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点 , 其中三点共线是这四点共面的 ( )A. 充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5. 空间三条直线互相平行 , 但不共面 , 它们能确定个平面 , 三条直线相交于一点, 它们最多可确定个平面 .6. 检查一桌子的四条腿的下端是否在同一个平面的方法是.（三）解答题：7.已知 A、 B、C 是平面α外三点 , 且 AB、 BC、 CA分别与α交于点 E、 F、 G,求证 :E 、F、 G三点共线 .8. 已知 1 ∥ 2 ∥ 3 ,且m∩1=A1,m∩ 2 = A2,m∩3 =A3,求证: 1 、2、3、m四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系 . 掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念 . 了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种 :(1) 平行 : 没有公共点 , 在同一平面 ;(2) 相交 : 有且仅有一个公共点 , 在同一平面 ;(3) 异面 : 没有公共点 , 不同在任何一个平面 .2.平行直线的传递性 : 空间三条直线 , 如果其中两条直线都平行于第三条直线 , 那么这两条直线也互相平行 .3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念 : 经过空间任意一点 , 分别作与两条异面直线平行的直线, 这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角. 成 90o 角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线 , 异面直线 a 与 b 垂直 , 记作 a⊥ b. 和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线 , 对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段, 公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例 1: 已知空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA的中点 , 求证 :EFGH是平行四边形 .思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是; 如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是;如果AC=BD且AC⊥BD,四边形EFGH的形状是.例 2: 如图 , 长方体 ABCD-A1B1C1D1中 , 已知 AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是 AA1的中点 .(1)求证 :AC1、 BD1、 CA1、DB1共点于 O,且互相平分 ;(2)求证 :EO⊥ BD1,EO⊥ AA1;(3)求异面直线 AA1和 BD1所成角的余弦值 ;(4)求异面直线 AA1和 BD1间的距离 .四、归纳小结：1. 平行线的传递性是论证平行问题的主要依据; 等角定理表明角在空间平行移动, 它的大小不变 .2.两条异面直线所成的角θ满足 0o ＜θ≤ 90o , 且常用平移的方法化为相交直线所成的角 , 在三角形中求解 .五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中 , 以下命题中真命题的个数为 ( )(1) 垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆;(3)有三个角是直角的四边形是矩形 ; (4) 自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0 个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中 , 结论正确的个数是 ( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等 ;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直, 那么这两个角相等或互补 ;(4)如果两条直线同平行于第三条直线, 那么这两条直线互相平行 .A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3. 下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1) 不同在任何一个平面的两条直线是异面直线;(2) 既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3) 连结平面一点与平面外一点的直线和这个平面不经过该点的任意直线是异面直线;(4) 分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4.下列命题中 , 结论正确的个数是 ( )(1) 若 a∥ b, a ∥ c, 则 b∥ c; (2) 若 a⊥ b, a ⊥ c, 则 b∥c;(3) 若 a∥ b, a ⊥ c, 则 b⊥ c; (4) 若 a⊥ b, a ⊥ c, 则 b⊥c;A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.教室有一直尺 , 无论怎样放置 , 在地面总有这样的直线 , 它与直尺所在直线 ( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面6. 设 a、 b、 c 为空间三条直线, a ∥ b, a 、 c 异面 , 则 b 与 c 的位置关系是 ( )A. 异面B. 相交C. 不相交D. 相交或异面7.设 a、 b、 c 为空间三条直线 , 且 c 与 a、 b 异面 , 若 a 与 c 所成的角等于 b 与 c 所成的角 , 则 a 与 b 的位置关系是( )A. 平行B.8.(2002高职-4)已知A. 不可能是平行直线平行或相交 C.m,n 是异面直线 , 直线B.一定是异面直线平行或异面 D.平行或相交或异面平行于直线m,则和n()C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9. 平行于同一直线的两直线的位置关系是;垂直于同一直线的两直线的位置关系是.10. 若 a∥ b,c ⊥ a,d ⊥ b, 则 c 与 d 的关系为.11. 空间两个角α和β, 若α和β两边对应平行, 当α=50o时 , 则角β = .（三）解答题：12.. 已知A、B 和C、D 分别是异面直线a、 b 上的两点, 求证:AC 和BD是异面直线( 要求画出图形 , 写出已知, 求证和证明过程)13.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1.(1) 求直线 DA1与 AC的夹角 ;(2) 求直线 DA1与 AC的距离 .14.已知空间四边形 OABC的边长和对角线长都为 1,D、 E 分别为 OA、 BC的中点 , 连结 DE.(1) 求证 :DE 是异面直线 OA和 BC的公垂线 ;(2) 求异面直线 OA和 BC的距离 ;(3) 求点 O到平面 ABC的距离 .直线与平面的位置关系一、高考要求：1. 掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质, 理解平行投影概念 . 掌握空间图形在平面上的表示方法.3. 掌握直线与平面垂直的判定和性质. 理解正射影和三垂线定理及其逆定理. 掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1) 直线在平面 : 有无数个公共点 ;(2) 直线与平面相交 : 有且只有一个公共点;(3) 直线与平面平行: 没有公共点.2.直线与平面平行的判定: 如果平面外一条直线与平面一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为: 如果a∥ b,b ? α ,a α, 那么a∥α .直线与平面平行的性质: 如果一条直线平行于一个已知平面, 且过这条直线的平面和已知平面相交 , 那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为: 如果 a∥α ,a ? β , α∩β =b, 那么 a∥ b.3.当直线或线段不平行于投射线时, 平行射影具有下述性质 :(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线 ;(3) 在同一直线或平行直线上, 两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形 , 叫做空间图形的直观图 . 画直观图通常用斜二测画法 .5.直线与平面垂直的判定 : 如果一条直线垂直于平面两条相交直线, 那么这条直线就垂直于这个平面 .用符号语言表述为: 如果⊥a,⊥ b, a ?α ,b ?α ,a∩b=P,那么⊥α .直线与平面垂直的性质: 如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线互相平行 .用符号语言表述为: 如果 a⊥α , b ⊥α , 那么 a∥ b.6.斜线及其在平面的射影: 一条直线和一个平面相交但不和它垂直, 这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足 . 从平面外一点向平面引垂线和斜线 , 从这点到斜足间的线段长 , 称为从这点到平面间的斜线的长, 斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离. 斜线和它在平面的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理 : 从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1) 如果两斜线的射影的长相等, 那么两斜线的长相等, 射影较长的斜线也较长.(2) 如果两斜线长相等 , 那么射影的长也相等 , 斜线较长的射影也较长 .7.三垂线定理及其逆定理 :三垂线定理 : 平面的一条直线, 如果和一条斜线在这个平面的射影垂直这条斜线垂直.用符号语言叙述为: 如果 PO和 PA分别是平面α的垂线和斜线上的射影 , 而直线 a? α , 且 a⊥AO,那么 a⊥ PA.三垂线逆定理: 平面的一条直线, 如果和在这个平面的一条斜线垂直条斜线在平面的射影垂直.用符号语言叙述为: 如果 PO和 PA分别是平面α的垂线和斜线上的射影 , 而直线 a? α , 且 a⊥PA, 那么 a⊥ AO., 那么这条直线也和,AO 是斜线 PA在平面α, 那么这条直线也和这,AO 是斜线 PA在平面α三、典型例题：例 1: 已知 PA⊥矩形 ABCD所在平面 ,M、 N分别是 AB、 PC的中点 .(1)求证 :MN∥平面 PAD;(2)求证 :MN⊥ CD;(3)若∠ PDA=45o , 求证 :MN⊥平面 PCD.例 2: AD 、 BC分别为两条异面直线上的两条线段=8cm,AB⊥ BC,DC⊥ BC,求线段 BC的长 ., 已知这两条异面直线所成的角为30o , AD例 3:(99高职-22)(本题满分10 分 ) 已知平面α ,A ∈α、 B∈α、 Pα、? 关系中 :AB ⊥,PA ⊥α ,PB ⊥, 以其中的两个作为条件, 余下的一个作为结论命题 ( 用文字语言表述, 不得出现字母及符号, 否则不得分 ), 并予以证明 . α , 在以下三个, 构造一个真四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中 , 注意掌握通过“线线平行” 去判定“线面平行” ，反过来由“线面平行”去判定“线线平行” ; 通过“线线垂直”去判定“线面垂直” ，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直” .2. 平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的. 如果平行于投射线, 则线段或直线的像是一个点.3. 由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质, 其中最重要的有两个 : 一个是 , 到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是 ,三垂线定理及其逆定理 . 这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法, 是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础. 它的证明的思想方法十分重要 .4. 在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cos θ =cosθ1cos θ2. 在公式的基础上得到了“斜线和它在平面的射影所成的角是斜线和这个平面所有直线所成的角中最小的角”的结论. 直线与平面所成的角θ满足0o ≤θ≤ 90o .五、基础知识训练：（一）选择题：1. 如图 ,PO⊥平面 ABC,O为垂足 ,OD⊥ AB,则下列关系式不成立的是 ( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥ PCC. OD⊥ PCD. AB ⊥ PO2. 直线与平面α成的角 , 直线 a 在平面α , 且与直线异面,则与 a 所成角的取值围是3( )2B. , 2, D. ,A. 0, C.3 33 3 3 2 23.由距离平面α为 4cm 的一定点 P 向平面α引斜线 PA与平面α成 30o 的角 , 则斜足 A 在平面α的轨迹图形是 ( )A. 半径为 4 3 cm的圆B. 半径为 4 2 c m的圆C. 半径为 4 3cm的圆 D. 半径为 2 2 cm 的圆34.设 a、 b 是两条异面直线 , 在下列命题中正确的是 ( )A. 有且仅有一条直线与a、 b 垂直B.有一个平面与a、 b 都垂直C. 过直线 a 有且仅有一个平面与 b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a、 b 都相交5.下列命题中正确的是 ( )A. 若一条直线垂直于一个平面的两条直线, 则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面的无数条直线, 则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面 , 则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面 , 则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面6. 两条直线a、 b 与平面α成的角相等，则a、 b 的关系是 ( )A. 平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从 P 引出的三条射线, 每两条的夹角都是60o , 则直线 PC与平面 PAB所成角的余弦值为 ( )A.1B.6C.3D.3 233 28. 直线 a 是平面α的斜线 ,b ? α, 当 a 与 b 成 60o 的角 , 且 b 与 a 在α的射影成 45o 角时 ,a 与α所成的角是 ( )A.60 oB.45o C.90o D.135 o 9. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且 PA=1, P 到对角线 BD 的距离为 ( )A.13B.17 C.1 9 D.1 129 552510. 在△ ABC 中 ,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离为 ( ) A. 5 B. 2 5C.3 5D.4 511. 在直角三角形 ABC 中 ,∠B=90o , ∠ C=30o ,D 是 BC 边的中点 ,AC=2,DE ⊥平面 ABC,且 DE=1,则 E 到斜边 AC 的距离是 ( )5 B.7 C.11 D.19A.224212. 已知 SO ⊥平面α , 垂足 O, △ ABC? α , 点 O 是△ ABC 的外心 , 则 ( )A. SA=SB=SCB. SA⊥ SB, 且 SB ⊥ SCC. ∠ ASB=∠ BSC=∠ CSAD. SA⊥ BC（二）填空题：13. 如图 ,C 为平面 PAB 外一点 , ∠ APB=90o , ∠ CPA=∠CPB=60o , 且 PA=PB=PC=1,则 C 到平面 PAB 的距离为 .14. 在空间四边形ABCD 中 , 如果 AB ⊥ CD,BC ⊥ AD, 那么对角线 AC 与 BD 的位置关系是.15. 两条直线 a 、 b 在同一个平面上的射影可能是 .（三）解答题：16. 证明直线与平面平行的判定定理 .17. 从平面外一点 P 向平面引垂线 PO 和斜线 PA,PB.(1) 如果 PA=8cm,PB=5cm,它们在平面的射影长OA:OB=4: 3 , 求点 P 到平面的距离 ;(2) 如果 PO=k,PA 、 PB 与平面都成 30o 角 , 且∠ A PB=90o , 求 AB 的长 ;(3) 如果 PO=k,∠ OPA=∠ OPB=∠ A PB=60o , 求 AB 的长 .18. 一个正三角形的边长为 a, 三角形所在平面外有一点 P.(1)P到三角形三顶点的距离都是2 3a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面3成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离;(2)P到三角形三条边的距离都是6a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面6成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19. 已知直角△ ABC在平面α上 , D是斜边AB的中点, DE⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm, 求 EA,EB,EC 的长 .20.如图 , 平面α∩β =CD,EA⊥α ,EB ⊥β , 且 A∈α ,B ∈β .求证 :(1)CD ⊥平面 EAB;(2)CD⊥直线 AB.21. 已知 PO⊥平面 ABO,PB⊥ AB,又知∠ PAB=α , ∠ PAO=β , ∠ OAB=γ .求证 :cos α=cos β cosγ .22.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1.(1) 求直线 DA1与 AC1的夹角 ;(2) 求证 :AC1⊥平面 A1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1. 掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质 , 理解二面角概念 , 掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1) 平行 : 没有公共点 ;(2) 相交 : 有一条公共直线 .2. 平面与平面平行的判定: 如果一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面互相平行 .用符号语言表述为: 如果 a∩ b≠Φ , a ? α,b ? α , 且 a∥β ,b ∥β , 那么α∥β .平面与平面平行的性质: 如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 则它们的交线平行 .用符号语言表述为: 如果α∥β , γ∩α =a, γ∩β =b, 那么 a∥ b.3. 二面角 : 由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角, 这条直线称为二面角的棱 , 构成二面角的两个半平面称为二面角的面. 在二面角的棱上任取一点, 过这点在二面角的两个半平面分别作棱的垂线, 这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角. 二面角的大小可用它的平面角来度量. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.4. 平面与平面垂直的判定: 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直 .用符号语言表述为: 如果直线 AB? 平面α ,AB⊥β , 垂足为 B, 那么α⊥β .平面与平面垂直的性质: 如果两个平面互相垂直 , 那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 .用符号语言表述为: 如果α⊥β , α∩β =CD,AB? α , AB⊥ CD,B为垂足 , 那么 AB⊥β .三、典型例题：例 1: 试证明 : 如果两个平面垂直 , 那么在一个平面 , 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例 2: 已知二面角α - - β的平面角是锐角θ离为 4, 试求 sin2 θ的值 . , 若点C∈α ,C 到β的距离为3,C 到棱AB 的距例 3: 已知平面β⊥平面α, 平面γ⊥平面α, 且平面β∩平面γ=a, 求证 :a ⊥α .四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中 , 注意掌握通过“线面 ( 或线线 ) 平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”; 通过“线线垂直”去判定“线面垂直” ，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2. 二面角θ满足0o ≤θ≤ 180o . 求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设 a、 b、 c 表示直线 , α、β、γ表示平面 , 下面四个命题中 ,;①若a⊥ c, b ⊥ c, 则 a∥ b ②若α⊥γ, β⊥γ, 则α∥β③若a⊥ c, b ⊥α , 则a∥α④若a⊥α , a ⊥β , 则α∥βA. ①和②B. ③和④C. ②D. ④2.如图 , 木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时, 常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上 , 另一边在工件的另一个面上转动一下, 观察尺边是否和这个面密合就可以了. 这种检查方法的依据是( )A. 平面的基本性质B. 三垂线定理C. 平面和平面垂直的判定定理D. 直线和平面垂直的判定定理3.已知直线⊥平面α , 直线 m? 平面β，有下面四个命题 :①α∥β? ⊥ m;②∥ m ? α⊥β; ③α∥β? ∥ m;④⊥ m? α∥β. 其中正确的两个命题是( )A. ①与②4. 如果直线A. α⊥γ且B.③与④C.,m 与平面α、β、γ满足: =β∩γ⊥m B.α⊥γ且m∥β C. m②与④ D., ∥α ,m? α和∥β且⊥ m①与③m⊥γ , 那么必有 (D.α∥β且α⊥γ)5. 对于平面α、β和直线、 m,则α⊥β的一个充分条件是( )A. ⊥m, ∥α ,m∥βB. ⊥ m,α∩β=,m? αC. ∥ m, m⊥β , ? αD. ∥ m, ⊥α ,m⊥β6. 若异面直线 A. 平行a、 b, a ?B.α , b ?相交β , 则平面α、β的位置关系一定是( )C.平行或相交D.平行或相交或重合7.下列命题中 , 正确的是 ( )(1)平行于同一直线的两平面平行(2)平行于同一平面的两平面平行(3)垂直于同一直线的两平面平行(4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8.过平面外一点 P,(1) 存在无数个平面与平面α平行(2)存在无数个平面与平面α垂直(3) 存在无数条直线与平面α垂直(4)只存在一条直线与平面α平行其中正确的有 ( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个9. 设正方形 ABCD的边长为4 6 ,PA ⊥平面 AC,若 PA=12,则二面角 P-BD-C 的大小为 ( )A. B. C. D. 24 2 33（二）填空题：10. 已知二面角是 60o , 在它的部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a, 则两个垂足间的距离是.11. 在二面角的一个面有一个已知点A, 它到棱的距离是它到另一个面的距离的 2 倍, 则这个二面角的度数是.12. 有如下几个命题 : ①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α有一条直线与β垂直;②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α有无数条直线与β平行;③直线 a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β有一条直线与直线 a 平行 .其中正确命题的序号是.13.设 m、为直线 , α、β为平面 , 给出下列命题 : ①垂直于α的两条相交直线 , 则⊥α ;②若 m∥α , 则 m平行于α的所有直线; ③若⊥α ,α∥β，则⊥β ;④若m?α ,? β ,且⊥ m，则α⊥β ; ⑤若m? α , ? β，且α∥β，则m∥. 其中正确的命题是( 只写序号).14.已知直线和平面α、β , 给出三个论断 : ① ⊥α , ② ∥β , ③α⊥β , 以其中的二个论断作为条件 , 余下的一个作为结论, 写出你认为正确的一个命题.15. α、β是两个不同的平面 ,m、n 是平面α及β之外的两条不同直线 , 给出四个论断 : ① m ⊥n；②α⊥β；③ n⊥β；④m⊥α , 以其中三个论断作为条件 , 余下一个论断作为结论 , 写出你认为正确的一个命题:.16.设 X,Y,Z 是空间不同的直线或平面 , 对下面四种情形 , 使“ X⊥ Z 且 Y⊥Z? X∥ Y”为真命题的是.① X,Y,Z 是直线 ; ② X,Y 是直线 ,Z 是平面 ; ③X,Y 是平面 ,Z 是直线 ; ④X,Y,Z 是平面 .设两个平面α、β相交于m,且直线 a∥α ,a ∥β则直线 a 与 m的关系是.17. 如图 , 直线 AC、 DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3, 则 AB的长是,EF 的长是.18. 二面角α - - β的度数为θ (0 ≤θ≤), 在α面有△ ABC, △ ABC 在β的正射影为△A′2B′C′, △ABC的面积为 S, 则△ A′ B′C′的面积 S′ =.（三）解答题：19. 已知一个二面角是60o , 在它的部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离 .20. 已知 : 在 60o 二面角的棱上 , 有两个点A、B，AC、BD分别在这个二面角的两个面, 且垂直于线段 AB,且 AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求 CD的长 .翻折问题一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求: ①根据题意作出折叠前、后的图形;②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化, 哪些未发生变化; ③寻找解决问题的方法并正确解答问题. 三、典型例题：例 1: 已知△ ABC中 ,AB=AC=2,且∠ A=90o ( 如图 (1) 所示 ), 以 BC边上的高 AD为折痕使∠ BDC=90o .( 如图 (2) 所示 )①求∠ BAC;②求点 C 到平面 ABD的距离 ;③求平面ABD与平面 ABC所成的二面角的正切值.例 2: 已知等腰梯形ABCD,AB∥ CD,上底 =4, 下底 =6, 高 =3, 沿它的对角线求 B、 D 两点之间的距离. AC折成60o 的二面角,四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形 , 用平面几何知识解答即可 , 折叠后是立体图形 , 要用立体几何知识解答 ;2. 未发生变化的量可在折叠前的图形中解答, 发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 以等腰直角△A BC斜边 BC 上的高 AD 为折痕 , 折叠时使二面角B-AD-C 为 90o , 此时∠ BAC 为( )A.30 oB.45oC.60oD.90o2.把边长为 a 的正△ ABC沿高 AD折成 60o 的二面角 , 则点 A 到 BC的距离是 ( )A. aB. 6a C.3D.15 2a a3 43. 已知边长为 a 的菱形 ABCD,∠ A=60o , 将菱形沿对角线 BD 折成 120o 的二面角 , 则 AC 的长为( )A. 2aB.3 a C.3 a D.2a222（二）填空题：4. E 、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点 ,EF 交 BD 于 O,以 EF 为棱将正方形折成直二 面角 , 则∠ BOD=.5. 如图 ,ABCD 是正方形 ,E 是 AB 的中点 , 如将△ DAE 和△ CBE 分别沿虚线 DE 和 CE 折起 , 使 AE 与 BE 重合 , 记 A 与 B 重合后的点为 P, 则面 PCD 与面 ECD 所成的二面角为（三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与 b, 沿其斜边上的高 h 折成直二面角b 两边夹角α的余弦 .度 ., 试求此时 a 与7. 把长宽各为 4 与 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 , 试求顶点 B 与 D 的距离 .8. 已知等腰梯形 ABCD,AB ∥ CD,上底 =4, 下底 =6, 高 =3, 沿它的对角线 AC 折成 90o 的二面角 ,求 B 、 D 两点之间的距离 .空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2. 空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例 1: 如图 , 道路旁有一条河米尺 ), 不渡河能否测量出塔顶, 对岸有一铁塔C与道路的距离CD高 a 米 , 如果你手中只有测角器和皮尺 . 请说出你的测量方法 , 并求出该距离.( 刻度例 2: 斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚, 且成 30o 的小路上坡 , 每前进 100 米升高多少米?如果沿一条与坡脚么高 , 前进了多少米? 的二面角 , 在平面α沿一条与垂直成 45o 角的小路上坡, 仍升高这四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用, 重点在于理解题意, 画好能正确表示题意的图形 , 并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1. 正方体的棱长为a, 有一小虫 , 在正方体的表面上从顶点A爬到顶点 C′ , 则小虫爬行的最短距离是.2.在一长方体形的木块的面 A1C1上, 有一点 P, 过点 P 在平面 A1C1画一条直线和 CP垂直 .（二）解答题：3.如图 , 所测物体 BB′垂直于水平面α于点 B′ , 底端 B′不能到达 . 在α取一点 A, 测得∠ BAB′ =θ1, 引基线 AC,使∠ B′AC=θ2, 在 AC上取一点 D, 使 BD⊥ AC,又测得 AD=a,求物体 BB′的高度 .。
职高立体几何课程设计
职高立体几何课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解立体几何的基本概念，掌握立体图形的特征及分类。
2. 学生能运用立体几何的基本公式计算体积和表面积，解决实际问题。
3. 学生能通过观察和分析，识别和绘制常见的立体图形。
技能目标：1. 学生能够运用空间想象力，进行立体图形的构建和分解。
2. 学生能够运用几何画板等工具，准确绘制立体图形，并进行相关计算。
3. 学生能够运用立体几何知识，解决生活中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习立体几何，培养对几何美的感受，激发对数学学科的兴趣。
2. 学生在学习过程中，学会合作与交流，培养团队精神和解决问题的能力。
3. 学生通过解决实际问题，体会数学与生活的联系，增强学习的实用性和主动性。
课程性质：本课程为职业高中立体几何课程，注重理论与实践相结合，提高学生的空间想象力和实际应用能力。
学生特点：职业高中学生具有较强的动手能力和实际操作能力，但空间想象力有待提高。
教学要求：结合学生特点，注重启发式教学，运用直观教具和现代教育技术，提高学生的学习兴趣和参与度。
将课程目标分解为具体的学习成果，使学生在实践中掌握立体几何知识，提高解决问题的能力。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 立体几何基本概念：介绍立体图形的定义、分类及性质，如点、线、面的关系，平面与立体的相交等。
2. 立体图形的识别与绘制：学习正方体、长方体、圆柱、圆锥等常见立体图形的识别和绘制方法。
3. 立体几何的计算：掌握立体图形的体积、表面积计算公式，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等。
4. 空间想象力训练：通过实际操作、观察和思考，培养学生的空间想象力，提高对立体图形的理解。
5. 实际应用问题解决：运用立体几何知识，解决生活中的实际问题，如房屋装修、建筑工程等。
教材章节及内容安排：第一章：立体几何基本概念（第1-2节）第二章：立体图形的识别与绘制（第3-4节）第三章：立体几何的计算（第5-6节）第四章：空间想象力训练（第7-8节）第五章：实际应用问题解决（第9-10节）进度安排：本课程共计10课时，每课时45分钟。
职高立体几何知识点
9.1平面的基本性质㈠点、直线、平面之间平面的位置关系1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化A∈aB aA∈αBαaαbα直线直线平面★2 平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面。
推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
9.2 空间图形的位置关系1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a ∥b ，b ∥c a ∥c1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3 异面直线⑴ 定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵ 判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
1.4 异面直线所成的角⑴ 异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵ 作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)9.3直线与平面的位置关系1 线面平行1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
1.2 判定定理：1.3 性质定理：1 线面垂直1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
1.2 线面垂直的判定定理：图2-2 直线与平面的位置关系1.3 线面垂直的性质定理：⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：⑵ 垂直于同一平面的两直线平行。
即： 3 面面平行3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
河北高职单招数学立体几何知识点归纳
河北高职单招数学立体几何知识点归纳
以下是河北高职单招数学立体几何知识点归纳：
1. 空间几何体的结构特征：掌握常见空间几何体的结构特征，包括棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。
2. 空间几何体的三视图：掌握空间几何体的主视图、左视图和俯视图，能够根据三视图判断几何体的形状。
3. 空间几何体的表面积和体积：掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式，包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积。
4. 空间几何体中的线面关系：掌握空间几何体中的线面平行、线面垂直、面面垂直、二面角等关系，能够根据给定的条件判断线面关系。
5. 空间几何体的直观图：掌握空间几何体的直观图的绘制方法，能够根据给定的条件绘制几何体的直观图。
6. 空间向量的基本概念：了解空间向量的线性运算，掌握向量的模长、向量间的夹角等基本概念。
7. 向量的数量积和向量积：掌握向量的数量积和向量积的计算公式，能够根据给定的条件进行计算。
8. 向量的混合积：了解向量的混合积的概念，掌握混合积的计算公式。
9. 空间几何体的位置关系：掌握空间几何体的位置关系，包括平行、相交、垂直等关系，能够根据给定的条件判断位置关系。
10. 空间几何体的度量关系：掌握空间几何体的度量关系，包括距离、角度等，能够根据给定的条件计算度量值。
以上是河北高职单招数学立体几何知识点归纳，希望能够帮助到您。
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第四编 立体几何初步
第九章
立体几何初步
第一节 简单几何体的表面积和体积
1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积的计算公式如下：
2. 球、柱、锥、台的表面积及体积计算公式： 名 称 表面积S
体积V
棱 柱 底侧S S 2+ h S 底
棱 锥 底侧S S + h S 底3
1
棱 台 下底上底侧S S S ++
h S S S S )(3
1
下底上底下底上底⋅++ 球 24R π
33
4
R π 圆 柱 )(2r l r +π
h r 2π
圆 锥 )(r l r +π
h r 23
1π 圆 台 )()(222121r r l r r +++ππ
)(3
1
222121r r r r h ++π
第二节 三视图
1. 柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体.
（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体.
（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分.
（4）圆柱：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. l r
r
π2r
l
r
π2l
'
r r
'
2r πr
π2rl
s π2=侧rl
S π=侧()l
r r S '+=π侧
（5）圆锥：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体.
（6）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分. （7）球体：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
2. 空间几何体的三视图和直观图：
（1）三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）
（2）画三视图的原则：长对正，高齐平，宽相等. （3）直观图：斜二侧画法.
①在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的'x 轴和'y 轴，两轴相交于点'O ，且使)135(45︒︒='''∠或y O x ，它们确定的平面表示水平面.
②原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变；
③原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半.
第三节 空间几何体的平行问题
1. 线线平行的判断：
①平行于同一条直线的两条直线互相平行。
②平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
③如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行。
l
b a l
b l
a //
//⇒b a //
α
b
a
α
α
⊂b b a //⇒α
//a ⇒
b
a a =⊂βαβα //
b a //
④如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。
⑤
垂直于同一平面的两直线平行。
2. 线面平行的判断：
①线段与平面，不想交就平行。
②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
3. 面面平行的判断：
①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
α
β
λa
b
⇒
b
a
=
=
β
λ
α
λ
β
α
//
b
a//α
l
α
α//l
l⇒
∅
=
⇒b
a//
α
α
⊥
⊥
b
a
α
b
a
α
β
l
α
β
A
b aβ
β
α
α
⊂
⊂
=
b
a
A
b
a
b
a
//
//
β
//
a
⇒
⇒
α
β
α
⊂
l
//
β
//l
②垂直于同一条直线的两个平面平行。
第四节 空间几何体的垂直问题
1. 线线垂直的判断：
①如果一直线垂直于一平面，那么这条直线垂直于平面内所有直线。
②如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么它也必垂直于平行线中的另一条。
2. 线面垂直的判断：
①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，那么这条直线就垂直于这个平面。
②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
③如果一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
l α
β
⇒β
α⊥⊥l l β
α//l b
a ⇒
b
l b a ⊥//a l ⊥αl
b a
A
α
b
a αα⊂⊂=⊥⊥
b a A b a b l a l ⇒
α⊥l l
α
β
⇒⇒
α⊥a b a //α⊥b β
αα
//⊥l β
⊥l
④如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。
3. 面面垂直的判断：
①如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。
第五节
空间几何体的应用
1. 空间角求法 （将所有角的问题最后都转化为解三角形问题，尤其是直角三角形）： （1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角；异面直线所成角的范围为︒<<︒900α. （2）线面所成范围为︒≤≤︒900α.
① 线面平行或直线在平面内：线面所成的角为︒0； ② 线面垂直：线面所成的角为︒90；
③斜线与平面所形成角的范围为︒<<︒900α，即斜线与它在平面的射影所成的角.
（3）二面角：关键是找出二面角的平面角，方法有：定义法，三垂线定理法，垂面法；二面角的平面角的范围为︒<≤︒1800α.
2. 距离的求法：
（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长；点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长.
求点到面距离有下列方法:
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在平面上）； ②转换法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用等体积法.
（2）线线距离：关于异面直线距离，常用方法有：
①定义法，关键是确定出b a ,的公垂线段；
②转化为线面距离，即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面； α
βa
l ⇒
αβαβ
⊂⊥=⊥l a l a
a β
⊥l βαl βα⊂⊥l l ⇒
βα⊥
③转化为面面距离.
3.线面、面面距离：线面间距离、面面间距离与线线间距离、点线间距离常常互相转化. 例题：。