2007年高考理科数学“立体几何”题

2007年高考“立体几何”题1．(全国Ⅰ) 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45解：如图，连接BC 1，A 1C 1，∠A 1BC 1是异面直线1A B 与1AD所成的角，设AB=a ，AA 1=2a ，∴ A 1B=C 1B=5a ， A 1C 1=2a ，∠A 1BC 1的余弦值为45，选D 。

一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知 正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ． 解：一个等腰直角三角形DEF 的三个顶点分别在 正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知 正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF 上的中线DG=3. ∴ 斜边EF 的长为23。

四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小． 解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥， 由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，1A AB1B1A1D1C CDC 1A CFAD BCA S故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =得1SO =，SD =．SAB △的面积211122S ABSA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=， 得121133h S SO S =，解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ． 因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x 0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，12G ⎫⎪⎪⎝⎭，． 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，ODBCAS则α与β互余．D，(DS =．22cos 11OG DS OGDSα==，sin 11β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin ．2．(全国II) 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ）A．4B．4C．2D ．2解：已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，取A 1C 1的中点D 1，连接BD 1，AD 1，∠B 1AD 1是AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角，11sin 4B AD ∠==，选A 。

一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱 的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．解：一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。

正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm ，设正四棱柱的高为h ，∴ h=2，那么该棱柱的表面积为2+42cm 2.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB ∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． AEBCFSDEF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A =， 所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥．连结DM ，则DM EF ⊥． 故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠===所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(0B a a C ，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，． EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，． EF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥， 所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．3cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． AEBCFSD HG M所以二面角A EF D --的大小为arccos3． 3．（北京卷）平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 解：平面α∥平面β的一个充分条件是“存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥”，选D 。

如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角 B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； （III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值． 解：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =，CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ． ∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴==又12DE AO == ∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE ===OCADBAD∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan3． （III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD==． 当OD 最小时，CDO ∠最大， 这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OBOD AB==，tan CDO =， CD∴与平面AOB 所成角的最大值为arctan3．4．（天津卷）设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 （ ） A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥解：对于A 当,a b 与α均成0︒时就不一定；对于B 只需找个γαβ∥∥，且,a b γγ⊂⊂即可满足题设但,a b 不一定平行；对于C 可参考直三棱柱模型排除，故选D.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为__________.解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R ==故2414S R ππ==.如图，在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥ 底面,ABCD,,60,AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点.(I)证明CD AE ⊥； (II)证明PD ⊥平面ABE ；(III)求二面角A PD C --的大小.【分析】(I)证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面,ABCD CD ⊂平面,ABCD 故PA CD ⊥.APEBCD,,AC CD PAAC A CD ⊥=∴⊥平面PAC .而AE ⊂平面,PAC AE PC ∴⊥.(II)证明：由,60,PA AB BC ABC ==∠=︒可得AC PA =.E 是PC 的中点，AE PC ∴⊥.由(I)知，,AE CD ⊥且,PCCD C =所以AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面,PCD AE PD ∴⊥. PA ⊥底面,ABCD PD 在底面ABCD 内射影是,,AD AB AD AB PD ⊥∴⊥.又,ABAE A =综上得PD ⊥平面ABE .(III)解法一：过点A 作,AM PD ⊥垂足为,M 连结EM .由(II)知，AE ⊥平面,PCD AM 在平面PCD 内的射影是,EM 则EM PD ⊥.因此AM E ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知，得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得,,,.32PA a AD PD AE ====在Rt ADP ∆中，,..AM PD AM PD PA AD ⊥∴=.则..7a PA AD AM a PD === 在Rt AEM ∆中，sin AE AME AM ==所以二面角A PD C --的大小是sinacr 解法二：由题设PA ⊥底面,ABCD PA ⊂平面,PAD 则平面PAD ⊥平面,ACD 交线为.AD过点C 作,CF AD ⊥垂足为,F 故CF ⊥平面.PAD 过点F 作,FM PD ⊥垂足为,M 连结,CM 故.CM PD ⊥因此CMF ∠是二面角A PD C --的平面角. 由已知，可得30CAD ∠=︒.设,AC a =可得1,,,,.2PA a AD PD CF a FD ====FM D ∆∽,.FMFD PAD PA PD∆∴=于是，...a aFD PA FM PD === APEBCD M FM APEBCD在Rt CMF∆中，1tan aCF CMF FM === 所以二面角A PD C --的大小是arctan5．(上海卷) 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件： ． 解： 作图易得“能成为12,l l 是异面直线的充分条件”的是“21//s s ，并且1t 与2t 相交”或“//1t 2t ，并且1s 与2s 相交”。