平面向量部分常见的考试题型

合集下载

平面向量题型学霸总结五(含答案)-

平面向量题型学霸总结五(含答案)阳光老师:祝你学业有成一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知平面非零向量，满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积以及平面向量的投影．属于基础题．设出两向量的夹角，结合向量的数量积和向量垂直转化，再结合投影公式、夹角公式计算公式求解即可．【解答】解：设，两向量夹角为，则有，所以．故选D．2.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若角A，C，B成等差数列，且，则的形状为A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用等差数列的性质可得，由正弦定理可得，根据余弦定理可求，即可判断三角形的形状．【解答】解：由题意可知，，，则，所以，所以，故的形状为等边三角形．故选C．3.已知，，且，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.【答案】D【解析】略4.已知向量，，，若，则A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．【解答】解：；又；；解得．故选：C．5.已知向量，满足，为向量与向量的夹角，那么A. B. C. D. 0【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的夹角，向量的模，向量的数量积的计算，考查运算化简的能力，属于基础题．设向量，的夹角为，由，求得，再由向量夹角公式可得结论．【解答】解：设向量，的夹角为，，，可得，，解得，．故选C．6.已知向量，，则下列结论正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的模、数量积及判断两个平面向量的平行、垂直关系，属于基础题．由，，易求出向量的模，结合平面向量的数量坐标运算，对四个答案逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：，，，，故不正确，即A错误，故B错误，，易得，故C正确，D错误；故选C．7.已知两个单位向量，若，则的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】略8.设向量，，则下列结论中正确的是A. B.C. 与的夹角为D. 在方向上的投影为【答案】C【解析】【分析】本题考查向量的运算，共线，垂直的条件，考查了向量的夹角，向量的投影，属于基础题．利用向量共线的条件判断A，利用向量垂直的条件判断B，利用向量的夹角公式判断C，利用向量的投影公式判断D．【解答】解：A．，不平行，故A错误；B.，不垂直，故B错误；C.设的夹角为，则夹角为，故C正确；D.在方向上的投影为，故D错误．故选C．9.在中，若，则A. 一定是正三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是等腰三角形D. 形状无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形形状的判定和向量数量积的运算，属于基础题．根据向量数量积的运算化简，然后将运算结果运用于三角形中判定三角形的形状即可．【解答】解：在中，，，即．故：所以一定是等腰三角形．故答案为C．10.已知，，，则．A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】D【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查向量的数量积及模，考查向量的坐标运算，属于基础题．由，求出的坐标，根据，可求t，结合向量数量积的坐标运算即可求解．【解答】解：由，，则，，所以．故选D．11.已知向量，，若与的夹角为，则A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模，属于基础题．由题意可得，，即可求，由展开即可求解．【解答】解：由题意可知：，，，则．故选B．12.如图，，为互相垂直的两个单位向量，则A. 20B.C.D.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，得到向量，的终点坐标和起点坐标，从而得到向量a，b的坐标，即可得到和向量的坐标，再由模的公式即可得到答案．【解答】解：以，是互相垂直的单位向量，所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为，起点坐标为，的终点坐标为，起点坐标为，则有，，，即有．故选C．13.已知O为内一点且满足，若的面积为且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题为中档题．考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，得出O为三角形的重心是解决问题的关键．根据向量判断出点O为三角形的重心，由重心的性质得出的面积与面积的关系，利用向量的数量积公式和三角形的面积公式可求出，即可求出【解答】解：，，为三角形的重心，的面积为面积的，的面积为，，，，即，由可得，即，即，故选A14.已知向量，若，则与夹角为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角，两个向量的夹角公式，属于基础题．由题意可得与反向，故与的夹角即为与的夹角，利用两个向量的夹角公式求解即可．【解答】解：向量，，，若，则与反向，与的夹角即为与的夹角，设为，，，，即与的夹角为．故选A．二、不定项选择题（本大题共3小题，共12.0分）15.已知向量，，则A. 若与垂直，则B. 若，则的值为C. 若，则D. 若，则与的夹角为【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了向量的数量积公式，向量的模长公式，向量垂直的条件，平行的条件，夹角，属于较易题逐个判断即可得出结果．【解答】解：向量，，A.若与垂直，则，解得，故A错误；B.若，则，解得，则，，故B正确；C.若，则，，则，故C正确；D.若，则，，，，，故D错误．故选BC．16.对于任意向量，，，下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，，则D. 若，则【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查平面向量的基本概念以及数量积，属于较易题目，根据向量的定义和向量数量积的性质逐一判断即可．【解答】解：A项，若为零向量，零向量与任何向量都平行，则不能推出，故A项错误设与的夹角为，与的夹角为，则B项，，可得即，不能推出，故B项错误C 项，若，，由概念可得，故C正确；D项，即为，化简得于是有，故D项正确故选CD．17.已知向量，则A. B.C. 共线D. 夹角是钝角【答案】BCD【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算、模长公式、共线和夹角，属于基础题．利用已知条件逐个判断即可．【解答】解：由题意，得，对于A，因为，故错误；对于B，因为，故正确；对于C，因为，故与共线，故正确；对于D，因为，则，且与不共线，故与夹角是钝角，故正确，故选BCD．三、填空题（本大题共6小题，共30.0分）18.已知向量，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是．【答案】19.若a，b，a与b的夹角为，则a b_______，a b_______．【答案】【解析】【分析】本题考查向量的有关计算，属于基础题先求出向量和与向量差的平方，再开平方即可得到结果．【解答】解：由题可得：，．故答案为．20.已知a，b．当a b时，a b_______．当a b时，a b_______．当a b时，a与b的夹角为_______．【答案】【分析】本题考查向量的夹角，数量积及向量平行或垂直的公式，属于基础题．【解答】解：根据向量垂直的定义得，当时，；当时，向量的夹角为或，；，故，因此向量的夹角为．故答案为．21.已知向量，，，则________．【答案】4【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量的模，考查运算求解能力，属于基础题．利用平面向量数量积的坐标运算求解得，由向量的模得关于m的方程求解．【解答】解：因为，所以，则，，，，所以．故答案为4．22.已知向量，若，则；若，则【答案】2或，【解析】【分析】本题主要考查两个向量平行和垂直的性质，属于基础题．由条件利用两个向量平行和垂直的条件，求得t的值．【解答】解：向量，若，则，求得或，若，，求得，故答案为：2或，．23.已知向量，，，若，，则的值为________．【答案】10【解析】【分析】本题考查向量的数量积运算，向量的坐标运算，以及向量平行、垂直的条件，属于基础题．由解得x，由解得y，得到和，进而得解．【解答】解：由，可得，解得，则，由，可得，解得，则，即，则．故答案为10．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）24.已知向量，，若与向量垂直，求实数k的值；若向量，且与向量平行，求实数k的值．【答案】解：由题意得，垂直，，解得；由题意得，平行，，解得．【解析】本题考查了向量垂直与共线、向量共线定理，涉及向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由与向量垂直，再运用数量积公式化简即可求解；利用向量共线定理即可得出．25.已知向量a，b，c a b，求与c平行的单位向量的坐标．【答案】解：向量，，，与平行的单位向量的坐标为，即为或．【解析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的充要条件，还考查了向量的模和单位向量，由题意得，所以，所以与平行的单位向量的坐标为，即可得出结果．26.已知平面向量，．Ⅰ求与的夹角的余弦值；Ⅱ若向量与互相垂直，求实数k的值．【答案】解：Ⅰ，，，Ⅱ向量与互相垂直，，，，．【解析】本题主要考查了向量数量积的性质：向量夹角公式及向量垂直的性质的简单应用，属于基础题．Ⅰ由向量夹角公式，代入即可求解；Ⅱ由已知可得，，结合已知条件可求k．27.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角A的大小；若点D是BC的中点，且，求的面积的最大值．【答案】解：由题意，可得，，，又，．，当且仅当时等号成立，，，故面积的最大值为【解析】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式，求三角函数最值，考查基本不等式求最值，是基础题利用正弦定理将边角关系统一，结合余弦定理求解；首先利用正弦定理可得可得得出，，然后利用余弦定理可求解；由题可得，将其平分，再结合基本不等式解出，当且仅当时等号成立，进而得出，故面积的最大值为28.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．Ⅰ求sin B；Ⅱ若的周长为8，求的面积的取值范围．【答案】解：且，又，，，，．由题意知：，故，，，，或舍，即当时等号成立综上，的面积的取值范围为．【解析】直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．29.已知向量，，且函数．若，求的值；在中，且，求面积的最大值．【答案】解：因为，，，且，所以，即，所以，所以．由题可得，因为，所以，又，所以．在中，由余弦定理可得，即．所以，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为．【解析】本题考查向量的数量积，向量垂直的判定，二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的三角函数公式，三角形面积公式，余弦公式以及基本不等式的应用，属于中档题．因为，且，可得，即可得到，进而求解．由题可得，再根据，得到，结合，即可求出在中由余弦定理可得，即可求出，再根据三角形的面积公式即可得解．30.复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是，向量对应的复数是，向量对应的复数是，求点C在复平面内的坐标．【答案】解：，对应的复数为．设，则，，，，点C在复平面内的坐标为．【解析】本题考查复数的运算，以及向量的加减运算，首先，根据三角形法则用表示出，对应的复数相减，得出对应的复数，接下来，设出C点坐标为，用A点对应的复数以及C点对应的复数表示出，据此求出x和y的值，找到对应的点，即可得到答案．。

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

第13讲平面向量十大题型总结(解析版)-2024高考数学常考题型

第13讲平面向量十大题型总结【题型目录】题型一：平面向量线性运算题型二：平面向量共线问题题型三：平面向量垂直问题题型四：平面向量的夹角问题题型五：平面向量数量积的计算题型六：平面向量的模问题题型七：平面向量的投影问题题型八：万能建系法解决向量问题题型九：平面向量中的最值范围问题题型十：平面向量中多选题【典型例题】题型一：平面向量线性运算【例1】在ABC △中，D 是AB 边上的中点，则CB =（）A ．2CD CA+ B ．2CD CA- C ．2CD CA- D ．2CD CA+ 【答案】C【解析】：CA CD AC CD CD AC CD AD CD DB CD CB -=+=++=+=+=22【例2】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC-B ．1344AB AC-C ．3144+AB AC D ．1344+AB AC 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【例3】在ABC 中，点P 为AC 中点，点D 在BC 上，且3BD DC = ，则DP =()A ．1144AB AC+B ．1144AB AC--C ．1144AB AC-D ．1144AB AC-+【答案】B【解析】∵点P 为AC 中点，∴12AP AC = ,∵3BD DC =，()3AD AB AC AD ∴-=- ,∴1344AD AB AC =+ ,∴113244DP AP AD AC AB AC =-=-- =1144AB AC --,故选：B.【例4】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且EB AB AC λμ=+，则λ=________，μ=_________．【答案】3414-【解析】如下图所示：D Q 为BC 的中点，则()()111222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，E 为AD 的中点，所以，()1124AE AD AB AC ==+，因此，()131444EB AB AE AB AB AC AB AC =-=-+=- ，即34λ=，14μ=-.故答案为：34；14-.【例5】如图，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 中点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．2136AB AC+B ．2136AB AC-+C ．1263AB AC+D ．1263AB AC-+点F 为线段BC 的中点，13BD BA AD BA BC BA =+=+=+ 又2BD FE = ，2136FE AB AC ∴=-+.【题型专练】1.设,,D E F 分别为ABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=()A ．ADB ．12ADC ．12BCD ．BC【答案】A【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=，故选：A2.设D为△ABC所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CBλμ==+,则μλ=_____.【答案】3-【解析】如图所示：3CD CA AD CA BD=+=+，CA=+3(CD CB-)，即有CD=﹣1322CA CB+，因为CD CA CBλμ=+，所以λ=﹣12，μ=32，则μλ=﹣3，故答案为：﹣3.3.在ABC中，4AC AD=，P为BD上一点，若13AP AB ACλ=+，则实数λ的值（）A．18B．316C．16D．38【答案】C【解析】4AC AD=，14AD AC∴=，则14BD AD AB AC AB=-=-，1233BP AP AB AB AC AB AC ABλλ⎛⎫=-=+-=-⎪⎝⎭，由于P为BD上一点，则//BP BD，设BP k BD=，则21344kAC AB k AC AB AC k ABλ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，所以423kkλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得16λ=.4.在ABC 中，2AB =，4BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+=（）A ．13B ．23C ．38D ．58【答案】D【解析】AD 是BC 边上的高，∴90ADB ∠=︒，在ADB △中，1cos 22BD BD ABD AB ∠===，解得1BD =， 4BC =，∴14BD BC =，∴14AD AB BD AB BC =+=+， O 为AD 中点，∴1111122428AO AD AB BC AB BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ， AO AB BC λμ=+ ，∴1128AB BC AB BC λμ+=+ ，∴12λ=，18μ=，∴115288λμ+=+=.5.已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD=C ．3AO OD=D ．4AO OD =【答案】A【解析】D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，∵20OA OB OC ++=，∴0OA OD =+，即AO OD =.6．设D 为ABC 所在平面内一点，且满足3CD BD =，则（）A ．3122AD AB AC =-B ．3122=+AD AB ACC ．4133AD AB AC =-D ．4133AD AB AC=+ ∴2CB BD =，即12BD CB = .()12123122AD AB BD ABCBAB AB ACAB AC ∴=+=+=+-=- 故选：A.题型二：平面向量共线问题【例1】已知向量()1,2a =- ，()sin ,cos b αα= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2【例2】与模长为13的向量()12,5d =平行的单位向量为（）A ．1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1251313⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．1251313⎛⎫ ⎪，或1251313⎛⎫-- ⎪，D ．1251313⎛⎫- ⎪，或1251313⎛⎫- ⎪，【例3】已知向量()1,2AB =，(),7BC m =，()3,1CD =-，若A ，B ，D 三点共线，则m =________．【例4】设向量,a b 不平行，向量λ+a b 与2+a b 平行，则实数λ=___．【答案】21【解析】因向量λ+a b 与2+a b 平行，所以()b a b a ba μμμλ22+=+=+，所以⎩⎨⎧==μμλ21，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2121μλ【例5】在ABC ∆中，点P 满足3BP PC = ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（）A ．212+B ．12+C ．32D ．52【答案】B【解析】如下图所示：3BP PC = ，即()3AP AB AC AP -=- ，1344AP AB AC∴=+ ，AM AB λ= ，()0,0AN AC μλμ=>> ，1AB AM λ∴=，1AC ANμ= ，1344AP AM ANλμ∴=+ ，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选：B.【题型专练】1.已知非零向量a ，b ，c ，若(1)a x = ，，(41)b =- ，，且//a c ，//b c则x =（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-【答案】D【解析】：因非零向量c b a ,,，且//a c ，//b c ，所以a 与b 共线，所以()x 411=-⨯，所以41-=x 2.已知向量的(7,6)AB =，(3,)BC m =- ，(1,2)AD m =- ，若A ，C ，D 三点共线，则m =______.3.已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且35OA a b =+，47OB a b =+，OC a mb =+，若A ，B ，C 三点共线，则m =（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】A【解析】法一：b a b a b a OB AO AB 27453+=++--=+=，()b m a b m a b a OC BO BC 7374-+-=++--=+=，因A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC 共线，所以()[]()b m a b m a b a 73732-+-=-+-=+λλλ，所以()⎩⎨⎧-=-=7231m λλ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=131m λ法二：由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =．4.设12e e，是两个不共线的向量，若向量12m e ke =-+（k ∈R ）与向量212n e e =-共线，则A ．0k =B ．1k =C ．2k =D ．12k =【答案】D【解析】因为向量12=-+ m e ke （k ∈R ）与向量212=-n e e 共线，所以存在实数λ，使得λ=m n ，所以有2211(2)λ-+=- e ke e e ，因此12k λλ=⎧⎨-=-⎩，解得12k =.5.如图，在ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（）A ．1B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】连接AO ，由O 为BC 中点可得，1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，M 、O 、N 三点共线，122m n∴+=，2m n ∴+=.故选：C.6.已知M 为ABC 的边AB 的中点，N 为ABC 内一点，且13AN AM BC =+ ，则AMNBCNS S =△△（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B【解析】因为13AN AM BC =+，所以13MN BC = ，所以MN ∥BC ，又因为M 为边AB 的中点，所以点A 到MN 的距离等于点N 到BC 的距离，所以13AMNBCNMN S S BC== △△,题型三：平面向量垂直问题【例1】已知向量(1)(32)m =-，，=，a b ，且()+⊥a b b ，则m =（）A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】：()()()2,42,3,1-=-+=+m m b a ，因()b b a ⊥+，所以()0=⋅+b b a ，即()()()022122,32,4=--=--m m ，所以8=m 【例2】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】由题意可得：11cos 452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：22k =.【例3】已知单位向量,a b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（）A ．b a 2+B ．ba +2C ．ba 2-D ．ba -2【答案】D【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可．【解析】由已知可得：11cos 601122⋅=︒=⨯⨯=a b a b ．A ：∵215(2)221022+⋅=⋅+=+⨯=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；B ：∵21(2)221202+⋅=⋅+=⨯+=≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；C ：∵213(2)221022-⋅=⋅-=-⨯=-≠a b b a b b ，∴本选项不符合题意；D ：∵21(2)22102-⋅=⋅-=⨯-=b b b a b b ，∴本选项符合题意．故选D ．【例4】已知向量(2,1),(3,)a b m →→=-=，且()a b a →→→+⊥，则实数m =___________.【答案】1【分析】先求出+=(1,1)a b m →→+，再解方程1(2)1(1)0m ⨯-+⨯+=即得解.【详解】解：由题得+=(1,1)a b m →→+，因为()a b a →→→+⊥，所以()=0a b a →→→+g ，所以1(2)1(1)0,1m m ⨯-+⨯+=∴=.故答案为：1【例5】已知非零向量m,n 满足4|3|=m |n |，1cos ,3<>=m n ．若()t ⊥+n m n ，则实数t 的值为（）A ．4B ．–4C ．94D ．–94【答案】B 【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以2221|cos |3||t |||<,>|||=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n m n m n m n m n ||4334||3=-=-⨯=-n m ．故选B ．【例6】已知向量AB 与AC 的夹角120，且|AB |=3，|AC |=2，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为_____．【答案】712【解析】向量与的夹角为，且所以．由得，，即，所以，即，解得．【题型专练】1.ΑΒC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2ΑΒ= a ，2ΑC =+a b ，则下列结论正确的是（）A ．1=b B ．⊥a bC ．1⋅=a b D ．()4ΒC-⊥a b 【答案】D【解析】如图由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，故||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a ==，所以||1a = ，又22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=，所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，所以()4C a b +⊥B ，故选D ．2.已知1e ，2e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60 ，则实数λ的值是．【答案】33【解析】解法一：因1e ，2e 11==，021=⋅e e所以221212112122)()λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e ，12|2-=e ，12||λ+===e e ，2cos60λ==，解得：33λ=．解法二：建立坐标系，设()()1,0,0,121==e e ()()λλ,1,1,3212=+-=-e e e ，所以()()2221213λ+=+=-+=)()λλ-=+-3212e e e所以由数量积的定义得︒⨯+⨯=-60cos 1232λλ，解得：33λ=．3.已知向量()(),2,1,1a m b ==，若()a b b +⊥ ，则m =__________.【答案】4-【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由题意可得()1,3a b m +=+，则130m ++=，解得4m =-.故答案为：4-4.已知向量(,2),(2,4)m a a n a =+=- ，且()n m n ⊥-，则实数=a _____________．【答案】2【分析】根据向量坐标运算及向量垂直的坐标表示即得.【详解】因为(,2)(2,4)(2,2)m n a a a a -=+--=-，又()n m n ⊥- ，所以2(2)(2)40a a ⨯-+-⨯=，解得2a =．故答案为：2.5.在ABC 中，()1,2,3A k -，()2,1,0B -，()2,3,1C -，若ABC 为直角三角形，则k 的值为（）A ．23B ．83C ．－1D ．325-题型四：平面向量的夹角问题【例1】已知平面向量a ，b满足||4,||1== a b ，()a b b -⊥ ，则cos ,a b 〈〉= （）A ．14B ．4C．4D ．4【例2】已知(2,0)a = ，1,22b ⎛= ⎝⎭r ，则a b - 与12a b + 的夹角等于（）A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°【例3】已知向量a=（2，1），()3,1b =- ，则（）A．若c =-⎝⎭ ，则a c ⊥B ．向量a 在向量b 上的投影向量为12b-C ．a 与a b -D ．()//a b a+【例4】若向量a ，b 满足||a = ，(2,1)b =-，5a b ⋅=- ，则a 与b 的夹角为_________．【例5】已知向量a b ，满足566a b a b ==⋅=-，，，则cos ,a a b +=()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【例6】若非零向量,a b 满足32a b a b ==+，则a 与b 夹角的余弦值为________．【例7】设向量(68)=-，a ，(34)=，b ，t =+c a b，t ∈R ，若c 平分a与b 的夹角，则t 的值为．【答案】2【解析】解法一：()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t t c a 14100488366+=+++--=⋅；()()1425484363+=+++-=⋅t t t c b 510==因c 平分a 与b 的夹角，所以=c b c a ==，所以()1425214100+=+t t ，解得2=t解法二：因c 平分a 与b的夹角，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎫⎛=58,054,3108,6λλλb a c ，又因()t t b t a c 48,36++-=+=，所以()()t t 3658480+-=+⨯，解得2=t 【例8】已知A B C △的三个顶点分别为(3(60)(5A B C ，，，，，求ACB ∠的大小．【答案】C【解析】()()3,1,0,2=-=CB CA()()()2312022222=+==+-=所以21223012cos -=⨯⨯+⨯-==∠CB CA ACB ，所以︒=∠120ACB 【题型专练】1.设非零向量、ab满足||2||,||||a b a b b =+= ，则向量a 与b的夹角为（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒2.已知(2,1)a =-，||b =，且()10a b a +⋅= ，则,a b 〈〉= ___________.3.已知向量,a b 满足||1a =，||a b =+1)b =- ，则,a b 的夹角等于___________.4.若两个非零向量a 、b 满足2a b a b a +=-=，则a b - 与b 的夹角___________.5.已知单位向量a ，b 满足0a b ⋅=，若向量c =+，则sin ,a c ＝（）A B C D6.已知向量,a b 满足()()3,4,·28a b a b a b ==+-=，则向量a 与b 所成的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π37.已知向量a ，b 满足||2||2b a == ，|2|2a b -= ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知向量()PA =，(1,PB =，则APB ∠=A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】根据题意，可以求得2,2PA PB ===，所以333cos 222PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅，结合向量所成角的范围，可以求得150APB ∠=︒，故选D ．9.非零向量a ，b 满足：-=a b a ，()0⋅-=a a b ，则-a b 与b 夹角的大小为A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒【答案】A【解析】非零向量a ，b 满足()0⋅-=a a b ，∴2=⋅a a b，由-=a b a 可得2222-⋅+=a a b b a，解得=b ，()22cos 2θ-⋅⋅-∴===--a b ba b b a b ba b，θ为-a b 与b 的夹角，135θ∴= ，故选A ．10.已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos,=a c ___________.【答案】23【解析】因为2=c a，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．11.已知向量(4,3),(1,2)a b =-=-，,a b的夹角为θ，则sin θ=__________.【答案】55【解析】依题意[]0,πθ∈，所以255cos ,sin 55||||a b a b θθ⋅===-== .故答案为.12.已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （）A ．3531-B ．3519-C ．3517D ．3519【答案】D【思路导引】计算出()a ab ⋅+ 、a b + 的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值．【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．7a b +== ，因此()1919cos ,5735a ab a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+ ．故选D ．题型五：平面向量数量积的计算【例1】（2021新高考2卷）已知向量0,||1,||||2,a b c a b c a b b c c a ++====⋅+⋅+⋅=_______．【答案】29-【解析】方法一：因为0=++c b a ，所以()02=++cb a ，即0222222=+++++c b c a b a c b a所以0222441=+++++c b c a b a ，所以9222-=++c b c a b a ，所以29-=++c b c a b a 方法二：因为0=++c b a ，所以c b a -=+，所以()()22c b a -=+，即2222cb a b a=++所以4241=++b a ，所以21-=b a ，同理b c a -=+，所以()()22b ca -=+，即2222b c a c a =++，所以4241=++c a ，所以21-=c a ，同理a c b -=+，所以()()22a c b -=+，即2222a c b c b =++，所以1244=++c b ，所以27-=⋅c b ，所以29-=++c b c a b a 【例2】在△ABC 中，6,AB O =为△ABC 的外心，则AO AB ⋅等于A B ．6C ．12D ．18【答案】D【解析】试题分析：如图，过点O 作OD AB ⊥于D ，则()36018AO AB AD DO AB AD AB DO AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+=，应选D.【例3】已知边长为3的正2ABC BD DC = ，，则AB AD ⋅=（）A ．3B ．9C ．152D ．6【例4】已知ABC 为等边三角形，AB =2，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-，则λ=（）A ．12B ．12C ．12±D故选：A.【例5】在ABC 中，6A π=，||AB =||4AC =，3BD BC =，则AB AD ⋅=______．【答案】24-【分析】利用基底,AB AC 3AD AB BD AB BC =+=+ ,BC AC = 23AD AB AC ∴=-+ ,∴()232AB A AB AD AB AB C =⋅-+=-⋅ 【题型专练】1.如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC =，1AD = ，则AC AD ⋅=（）A ．B CD ．3-2.在ABC 中，3AB AC ==，DC BD 2=﹒若4AD BC ⋅=，则AB AC ⋅=______．3.ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，P 为线段BC 上任一点，则AP AC ⋅=（）A ．8B ．4C ．2D ．64.已知ABC 为等边三角形，D 为BC 的中点，3AB AD ⋅=，则BC =（）A BC ．2D ．45.如图，在ABC 中，3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足2AP mAC AB =+，若||3AC =，||4AB =，则AP CD ⋅的值为（）A ．-3B ．1312-C ．1312D ．1126．在平行四边形ABCD 中，AC ＝6，AB AD ⋅＝5，则BD ＝____________.【详解】AC AB BC AB AD =+=+ ，则2AC AB = 236226AD AB AD +=-⋅=，AD AB - ，则222BD AD AB AD =-⋅+ 7．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______【答案】73-##123-题型六：平面向量的模问题【例1】已知(1)t =，a ，(6)t =-，b ，则|2|+a b 的最小值为________．【答案】52【解析】：()()()40205362444462262,2222222+-=+-+++=-++=-+=+t t t t t t t t t t a对称轴2=t ，所以当2=t 时，524040202=+-=a 【例2】（2021新高考1卷）已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则：A ．12||||OP OP = B ．12||||AP AP =C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α===== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【例3】已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+a b =．【答案】324211244+⨯⨯⨯+====+3212==【例4】已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为θ，有下列四个命题1p ：||1+>a b ⇔θ∈[0，23π）2p ：||1+>a b ⇔θ∈(23π，π]3p ：||1->a b ⇔θ∈[0，3π）4p ：||1->a b ⇔θ∈(3π，π]其中真命题是（A ）1p ，4p (B)1p ，3p (C)2p ，3p (D)3p ，4p 【答案】A【解析】由||1+>a b 得，221∙>a +2a b +b ，即∙a b ＞12-，即cos θ=||||∙a b a b ＞12-，∵θ∈[0，π]，∴θ∈[0，23π），由||1->a b 得，22-1∙>a 2a b +b ，即∙a b ＜12，即cos θ=||||∙a b a b ＜12，∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3π，π]，故选A ．【例5】设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C【解析】对于A b b a a2222-=⇒+-=+⋅+⇒=θ，所以1cos -=θ，所以︒=180θ，所以A 错，B 错；C 对，D 有可能为︒0【题型专练】1．设向量(10)，a =，22()22=-b ，若t =+c a b (t ∈R)，则||c 的最小值为A B ．1C ．2D ．12【答案】C【解析】()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=t t t b t a c 22,22122,220,12222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 222122122121212222≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+++=t t t t t t 2.已知向量(1,2)a =- ，(21,1)b m =- ，且a b ⊥，则|2|a b -= （）A ．5B ．4C ．3D ．23.已知向量a ，b满足1a =，2b =，a b -=，则2a b +=（）A ．B ．C D4.已知[02π)αβ∈、，，(cos ,sin )a αα=r，(cos(),sin())b αβαβ=++，且23a b -=，则β可能为（）A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】BD【分析】根据向量模的运算列方程，化简求得cos β的值，进而求得正确答案.5.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1==a b ，则|2|a b += _____________．6.已知向量,a b 满足||2,(2,2)a b == ，且|2|6a b += ，则||a b += __________．7.设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b为单位向量，所以1a b ==r r所以1a b +==，解得：21a b ⋅=-所以a b -==8.设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵33-=+a b a b ，∴22(3)(3)-=+a b a b ，∴2269-⋅+=a ab b 2296+⋅+a a b b ，又||||1==a b ，∴0⋅=a b ，∴⊥a b ；反之也成立，故选C ．9.已知向量a ，b 夹角为045，且|a |=1，|2-a b |b |=．【答案】．【解析】∵|2-a b |=平方得224410-= a a b +b ，即260--=|b |b |，解得|b |=（舍）题型七：平面向量的投影问题【例1】已知向量(2,1),(1,1)a b =-= ，则a 在b上的投影向量的模为（）A B ．12C ．2D ．1【例2】已知6a =，3b =，向量a 在b 方向上投影向量是4e ，则a b ⋅ 为（）A ．12B ．8C ．-8D ．2【例3】已知平面向量a ，b ，满足2a =，1b =，a 与b 的夹角为23π，2b 在a 方向上的投影向量为（）A ．1-B ．12aC ．12a - D ．1【例4】已知平面向量a ，b 满足2=a ，()1,1b =，a b +=r r a 在b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭B ．()1,1C ．()1,1--D ．⎛ ⎝⎭【例5】已知O 为正三角形ABC 的中心，则向量OA 在向量AB 上的投影向量为（）A ．ABB C ．12AB-D ．12AB故选：C【例6】设向量a 在向量b 上的投影向量为m ，则下列等式一定成立的是（）A ．||a b m bb ⋅=⋅ B ．2||a b m bb ⋅=⋅ C ．m b a b⋅=⋅ D ．ma b a⋅=⋅【题型专练】1．已知()1,2a = ，()1,2b =- ，则a 在b上的投影向量为（）A ．36,55⎛⎫- ⎪B ．36,55⎛⎫- ⎪C ．36,55⎛⎫-- ⎪D ．36,55⎛⎫ ⎪2．如图，在平面四边形ABCD 中，120ABC BCD ∠=∠= ，AB CD =，则向量CD 在向量AB 上的投影向量为（）A ．2AB -B ．12AB -C ．12AB D ．2AB 【答案】B【分析】根据图形求出向量AB 与CD的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长AB ，DC 交于点E ，如图所示，3.已知向量()1,3a =，()2,4b =-，则下列结论正确的是（）A ．()a b a+⊥r r r B ．2a b +=C ．向量a 与向量b 的夹角为34πD ．b 在a的投影向量是()1,34.已知()3,1a =-，()1,2b =，下列结论正确的是（）A ．与b同向共线的单位向量是⎝⎭B ．a 与bC ．向量a在向量b 上的投影向量为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．15a b b⎛⎫-⊥ ⎪ 5.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若1,,120a b a b ===︒，则()2a b a+⊥r r r B ．点()()1,1,3,2M N --，与向量MN同方向的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．若20a b a b a +=-=≠ ，则+r r a b 与a b - 的夹角为60°D ．若向量()()2,1,6,2a b =-= ，则向量b 在向量a 上的投影向量为2a-同方向的单位向量为6．己知空间向量||3,||2a b ==，且2a b ⋅=，则b 在a 上的投影向量为________．【答案】29a ##29a7.已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b -B ．bC ．14b- D ．14b【答案】C 【详解】因为()a a b ⊥+ ，所以()0a a b ⋅+= ，即220,0a a b a a b +⋅=+⋅= ，又因为1a = ，设,a b 的夹角为θ，所以1a b ⋅=-，a 在b 上的投影为：cos b a b a θ⋅=⋅ ，所以a 在b 上的投影向量为214cos b a b b b ba b θ⋅⋅=⋅=⋅- .故选：C8.已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC．D．【答案】A【解析】AB =（2，1），CD =（5，5），则向量AB 在向量CD方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ9.若向量,a b满足22a a b =+= ，则a 在b 方向上投影的最大值是AB．CD．【答案】B【详解】由题意2,22a a b =+= ，所以2||4164b a b +⋅+=，设,a b 的夹角为θ，则2||8cos 120b b θ++= ，所以212cos 8b bθ+=- ，所以a 在b 方向上投影为2123cos 2()(48b b a bb θ+=⨯-=-+，因为3b b +≥cos a θ≤ ，故选B.题型八：万能建系法解决向量问题边长为a 的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识cos ,sin x r y r q q ==；（2）向量三点共线知识(1)OC OB OAl l =+-（对面女孩看过来）．【例1】如图，在等腰梯形ABCD 中，2,3,4AB BC CD BC BE ==== ，则CA DE ⋅=（）A ．43B ．154-C ．558-D ．6516-3315,0,,0,1,D C A ⎛⎛⎫⎛⎫【例2】如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE AC AF λμ=+()R λμ∈，，则λμ+的值为________．正八边形的中心【详解】、HD BF 所在的直线分别为x y 、轴建立平面直角坐标系，正八边形的中心M 点，3608⎛∠=∠=∠=∠= ⎝AOB COB AOH EOD 18045135-= ，所以22.5∠= BAC ，13522.5112.5∠-∠=-= HAB CAB ，所以∠HAC y 轴，、AOM MOC 为等腰直角三角形，2，则2=====OD OF OE OA OC ，()0,2F ，2===OM MC ，所以()2,2--A ，(2,-C【点睛】本题主要考查了平面向量坐标法解决几何问题，建立坐标系是解题的关键，还考查了向量的加法运算，考查方程思想及转化思想，属于中档题．【题型专练】1.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，10AB =，7BC =，2CD =，5AD =，则AC BD ⋅=___________.则5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，532,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，15,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，530,2D ⎛ ⎝953,22AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ ，1553,22BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，AC BD ∴⋅ 故答案为：15-.2.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+ ，则||PD = _________；PB PD ⋅=_________．【答案】(1).(2).1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+= ，则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =- ，因此，PD == ()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.题型九：平面向量中的最值范围问题【例1】如下图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，3BCD π∠=，CB CD ==M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为（）A ．83B ．214C ．114-D ．133-【例2】ABC 是边长为4的等边三角形，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且DE BC ⊥，则DA DE ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3则(0,0),(2,23),(4,0)C A B【例3】四边形ABCD 中，4AB =，60A B ∠=∠=︒，150D ∠=︒，则DA DC ⋅的最小值为（）AB ．C ．3D ．－3∴90,60DCB E ∠=︒∠= ，设CE x =，则3,DC x DA =∴()423cos150DA DC x x ⋅=-⋅⋅ 所以当1x =时，DA DC ⋅的最小值为【例4】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，9BC =，5AB =，cos 5B =，若M ，N 是线段BC上的动点，且1MN = ，则DM DN ⋅的最小值为（）A ．134B ．132C ．634D ．352//AD BC ，32AD =，9BC =，5AB =(9,0)C ∴，∴3cos 5A xB AB ==，3,4A A x y ==9(3,4),(,4)2A D ∴，【例5】已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，3AE BD ⋅=-，则AF BE⋅的最小值为（）A ．0B ．23C ．43D ．2【例6】已知向量a，b，c共面，且均为单位向量，0a b⋅=，则ab c++的最大值是（）A B C1D1【例7】骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，BEC △，ECD 均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP ⋅的最小值为（）A ．12B ．24C ．36D ．18故选：A【例8】已知AB AC ⊥ ，1AB t = ，AC t = ，若点P 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点(1,4)P ，1(,0)B t，(0,)C t ，所以11(1,4)(1,4)(1)(1)4(4)PB PC t t t t ⋅=----=-⨯--⨯- =1174t t --17-≤=13（当且仅当14t t =，即12t =时取等号），所以PB PC ⋅ 的最大值为13．故选A ．【题型专练】1．已知梯形ABCD 中，3B π∠=，2AB =，4BC =，1AD =，点P ，Q 在线段BC 上移动，且1PQ =，则DP DQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．112C ．132D ．1142．在ABC 中，902A AB AC ∠=== ，，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上运动，则AP MP ⋅的最小值为___________.【答案】78【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出3.ABC 为等边三角形，且边长为2，则AB 与BC 的夹角大小为120，若1BD =，CE EA =，则AD BE ⋅的。

高中数学高一平面向量常见题型分类总结

平面向量常见题型题型一、利用平面向量待定系数求参数值（平面向量基本定理的应用）例题1：在正方形中，分别是的中点，若，则的值为（）变式1：如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝___y ＝___题型二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合例题2：在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为变式2：已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC −−= 则221a ba b b+++的最小值是___________变式3：给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以ABCD ,M N ,BC CD AC AM BN λμ=+λμ+O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______.变式4：变式5：若非零向量a b 、满足a b b −=，则下列不等式恒成立的为（） A. 22b a b >− B. 22b a b <− C. 22a a b >− D. 22a a b <−题型三、坐标系法处理平面向量的数量积在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化解1. 数量积的定值问题例2.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=____变式6：如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是____________变式7：如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________2. 数量积的最值问题例3.平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=−==，则a b ⋅最小值是______变式8.已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .3. 数量积的范围问题例题3：如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______变式8：如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是变式9：在平面上，12AB AB ⊥ ，12121,OB OB AP AB AB ===+，若12OP <，则OA 的取值范围是题型四、平面向量的投影问题数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

平面向量经典例题30道

平面向量经典例题30道一、选择题1.已知|→a| = 3, |→b| = 2, 向量→a 和→b 的夹角为π/3，则→a · →b= A. 3 B. √3 C. -3 D. -√32.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/2，若→a - →b 与→a垂直，则→a 与→b 的夹角为 A. π/6 B. π/4 C. π/3 D. π/23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, →a 与→b 的夹角为π/4，若→a - λ→b 与→a +→b 共线，则实数λ 的值为A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D. √2/44.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若(→a +→b) · (→a - λ→b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D. √25.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，若(→a +→b) · (→a - →b) = 0，则实数λ 的值为A. -1 B. 1 C. -√2 D.√26.已知向量a = (-2, 3)，b = (1, -1)，若a 与b 的夹角为钝角，则a · b 等于( ) A. -4 B. -2 C. 0 D. 27.若平面向量a，b 满足|a| = 1，|b| = 2，且向量a，b 的夹角为π/4，若 a - λb 与 b 垂直，则实数λ 的值为( ) A. -1/2 B. 1/2 C. -√2/4 D.√2/48.已知F1，F2 是椭圆C：(x^2)/9 + (y^2)/4 = 1 的两个焦点，P 是C 上一点，且与F1，F2 在同一直线上，若|PF1| × |PF2| = 12，则P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 129.已知a = ，b = (-1, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( ) A. (0, +∞) B. (0, 1) ∪ (1, +∞) C. (-∞, 0) ∪ (0, +∞) D. (-∞, 0) ∪(1, +∞)10.已知向量a = (-2, 4)，b = (-1, 2)，若向量a - λb 与b 共线，则实数λ 的值为_______．11.已知向量a = (-2, 3)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．12.已知向量a = (-2, 3)，b = (-4, 1)，若a 与b 的夹角为锐角，则实数m的取值范围是_______．13.已知向量a = (-2, 1)，b = (λ, 2)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ 的取值范围是_______．14.在△ABC中，AB = (-1, 1)，AC = (2, 3)，则∠BAC = _______（用反三角函数的值表示）15.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (1, 2)，则BC = _______16.在△ABC中，AB = (-4, 3)，AC = (-1, 2)，且AB⊥AC，则BC = _______17.在△ABC中，AB = (2, -1)，AC = (-4, 3)，则BC = _______18.在△ABC中，AB = (3, -4)，AC = (-2, 3)，则BC = _______19.若点P 在直线l₁：x - 2y - 3 = 0 和直线l₂：3x + y - 1 = 0 的夹角平分线上，则点P 到直线l₃：x + 2y - 5 = 0 的距离为_______．20.已知等差数列{an} 中，a₁ = -1，且a₁，a₂，a₃ 三项及格率为5/4，若an= λ(n为正整数)，则实数λ 的取值集合为_______．二、填空题21.已知|→a| = 3, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则→a · _______ = 9√2．22.已知|→a| = 2, |→b| = 4, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，则_______ =(√3 + 1)/4．23.已知|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，若_______ =(-√5)/5，则实数λ 的值为_______．24.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．25.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，则_______ =_______．三、解答题26.若|→a| = 3, |→b| = 5, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求向量→a 在向量→b 上的投影．27.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/3，求(→a +→b) · (→a - λ→b)．28.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/4，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．29.若|→a| = 1, |→b| = 2, 向量→a 与→b 的夹角为π/6，求(→a +λ→b) · (→a - λ→b)．30.已知|a| = 1, |b| = 2, a与b的夹角为π/3, 若a - λb与b垂直，求实数λ的值．31.在△ABC中，AD为BC边上的中线，G为AD上靠近D的三等分点，若(1/2AB) · (AC - GC) = 0 ( ·表示向量的数量积)，求AG与BC边的夹角．32.在△ABC中，AB = AC = 2, 点D在BC上，且BD = DC, E,F分别是AB,AC上的点，且AE/EB = AF/FC = 1/2, AD与EF交于点G, 求向量EF ·向量AD 的值．33.若点A(x,y)在圆x²+y²=4上运动时，点B(x-3,y-4)也在圆上运动，求线段AB中点M的轨迹方程．34.在△ABC中，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，且EF平行于BC，AD与EF交于点M，BD=CD=1,AD=3,求向量EF ·向量BC．。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

完整版平面向量题型归纳

平面向量题型归纳向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】umr r1.向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。

注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

uuu r例：已知A （1,2）, B （4,2）,贝U 把向量 AB 按向量a =（ - 1,3）平移后得到的向量是mur r2•向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。

“ - nnna 的相反向量是一a 、AB ，则 ab 。

（ 2）若 a b,bc ,则 a c 。

（ 6）若 a//b,b//c ，贝U a//c 。

（ 3）平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。

其中正确的是 _____________ 题型1、基本概念 1：给出下列命题：r r r r 、、一//若|a |=|b |,则a = b ； //向量可以比较大小；//方向不相同的两个向量一定不平行；//若 a = b , b = C ，贝V a = C ； //若 a //b , b //C ，贝V a // C ； //0 a 0 ； // 0 a 0 ；其中正确的序号是 ________ 2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

3.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作:0 ,注意零向量的方向是任意的； 4.单位向量 :单位向量：长度为1的向量。

rr nunnnn若e 是单位向量，则|e| 1。

（与AB 共线的单位向量是|AB|5.相等向量 :长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;6.平行向量任何向量平行。

（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作: a // b ,规定零向量和提醒：//相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等; //两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念: 不包含两条直线重合；两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行//平行向量无传递性！（因为有0）;nun nnn//三点A B 、C 共线AB 、AC 共线;如图，在平行四边形ABCD 中,下列结论中正确的是（nun nuu nun nuu uuu A. AB CDB. AB AD BDuuu nun num nun nunC. AD AB ACD. ADBC 07.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

平面向量常见题型汇编(含答案)

变式11：如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为
解析：外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，
所以在上的投影为，而恰好为中点，
故考虑，
所以
2.范围问题
例题8：若过点的直线与相交于两点，则的取值范围是_______
解析：本题中因为位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过作直线的垂线，
，则，，
由，为中点可得：为中点，从而在方向上的投影分别为，由即可求得的范围为
3.综合问题
例题10：已知为直角三角形的外接圆，是斜边上的高，且，，点为线段的中点，若是中绕圆心运动的一条直径，则 _________
解析：本题的难点在于是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。
解析：由可将三角形放入平面直角坐标系中，建立如图坐标系，
其中，，
∵ ∴
∵ ，即当且仅当时取等号
∴
变式2：已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且 ,则的最小值是___________
分析：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
解析：，
变式9：在平面上，，，若，则的取值范围是
分析：以为入手点，考虑利用坐标系求解，题目中用字母表示：设，则，所求范围即为求的范围。下一步将题目的模长翻译成关系，再寻找关于的不等关系即可
解析：如图以为轴建立坐标系：设，

平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题(附答案)平面向量练题一．填空题。

1.XXX等于0.2.若向量a=(3,2)，b=(-1,1)，则向量2b-a的坐标是(-7,-3)。

3.平面上有三个点A(1,3)，B(2,2)，C(7,x)，若∠ABC=90°，则x的值为-16.4.向量a、b满足|a|=1,|b|=2,(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为90°。

5.已知向量a=(1,2)，b=(3,1)，那么向量2a-1b的坐标是(1,3)。

6.已知A(-1,2)，B(2,4)，C(4,-3)，D(x,1)，若AB与CD共线，则|BD|的值等于5.7.将点A(2,4)按向量a=(-5,-2)平移后，所得到的对应点A'的坐标是(-3,2)。

8.已知a=(1,-2),b=(1,x)，若a⊥b，则x等于-1.9.已知向量a,b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=5，则(2a-b)·a=-6.10.设a=(2,-3),b=(x,2x)，且3a·b=4，则x等于-2/3.11.已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3)，且BC∥DA，则x+2y的值为-5.12.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为60°。

13.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则OAOB+OC的最小值是5.14.将圆x+y=2按向量v=(2,1)平移后，与直线x+y+λ相切，则λ的值为-1.二．解答题。

15.设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)。

1）向量2AB+AC=(3,4)，其模为5.2）向量AB=(1,-1)，向量AC=(1,5)，则它们的夹角为arccos[(1*(-1)+5*1)/(sqrt(2)*sqrt(26))]≈69.4°。

3）向量BC=(2,4)，与向量(-4,2)垂直，故与向量(1,-1)垂直的单位向量为(1/sqrt(2),1/sqrt(2))。

平面向量练习的的题目(附问题解释)

平面向量练习题一．填空题。

1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量＝（1，2），＝（3，1），那么向量2－21的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与共线，则||的值等于________．7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______9. 已知向量a,b 的夹角为 120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹角；（3）试求与垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==，向量垂直于向量，向量平行于，试求,时=+的坐标.5.将函数y=－x 2进行平移，使得到的图形与函数y=x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=若存在不同时为零的实数k 和t,使 .,,)3(2t k t ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案1.2.（－3，－4）3.74.90°（21，321）．6.73．7.（－3，2）．8.－29.1210.31-11.012. 90°13.2-14.51--或（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2＋＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2＋|＝227)1(+-＝50．（2）∵ ||＝221)1(+-＝2．||＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ＝||||AC AB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．13．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ 故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a14．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a+tb(t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -=∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )18．解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y O B O C O BO C y x O C ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x B B 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ………10分 )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.19．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x . 由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.20．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即（2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。

完整版)平面向量历年高考题汇编——难度高

完整版)平面向量历年高考题汇编——难度高1.题目中给出了两个命题p和q，要求判断哪个是真命题。

p是关于向量a、b、c的等式，q是关于向量a、b、c的平行关系。

因为p和q都是关于向量a、b、c的命题，所以可以将它们合并成一个命题，即“若a·b＝，b·c＝，且a∥b，b∥c，则a·c＝”。

然后通过代入向量的坐标进行计算，可以得出a·c ＝，因此命题p和q都是真命题，答案为B。

2.已知AO＝(AB＋AC)，需要求出∠BAC的大小。

可以通过向量的几何意义进行推导，将向量AB和AC分别平移至点O，得到向量AO＝AB＋AC，这说明向量AO是向量AB和AC的合成向量。

根据三角形余弦定理，有cos∠BAC＝(AB·AC)/(AB*AC)，化简后得到cos∠BAC＝1/2，所以∠BAC ＝60°，答案为60.3.首先计算出向量a和向量b的夹角θ，有cosθ＝a·b/(|a||b|)，代入向量的坐标计算得到cosθ＝9/(√5*√21)，然后可以根据向量的线性运算得到向量c＝(m+4.2m+4)，并且c与a的夹角等于θ，c与b的夹角也等于θ。

根据向量的数量积公式，有cosθ＝c·a/(|c||a|)＝(m+6)/(√[(m+4)²+(2m+4)²]*√5)，代入cosθ的值计算得到m＝-2，因此答案为A。

4.根据中线定理，有EB＝FC＝AB/2，因此EB＋FC＝AB＝11，答案为A。

5.根据平行四边形对角线的性质，有OA＋OC＝OB＋OD＝2OM，因此OA＋OB＋OC＋OD＝4OM，答案为4OM。

6.根据向量的数量积公式，有a·b＝|a||b|cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

因为a＝1，|b|≤1，所以a·b＝|b|cosθ≤cosθ。

根据平行四边形面积公式，有|a×b|＝|a||b|sinθ/2，因此|a×b|≤|a||b|/2＝1/2.将a＝1，b＝1/2代入可得cosθ≥1/4，因此-3π/4≤θ≤3π/4，答案为[-3π/4.3π/4]。

平面向量题型总结

平面向量题型总结题型1.基本概念判断正误：（1）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。

（2）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；（3）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。

（4）若ma mb =，则a b =。

（5）若a 与b 均为非零向量，||||a b a b +=-，则a b ⊥。

2.给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b .（3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线.以上命题中，正确命题序号是A.（1）B.（2）C.（1）和（3）D.（1）和（4）题型2.向量的线性运算1.化简()()AB MB BO BC OM ++++=2.AB AC BC -+=_______;3..NQ QP MN MP ++-________=4.已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+5.与向量a =（12，5）平行的单位向量为（）A ．125,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．125,1313⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或 D ．125125,,13131313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或题型3平面向量基本定理1.下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=-2.在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（） A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 3.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=（）.A ．21+- B ．21--11已知a AB =，设平面向量a ) （Ｂ）(7,7 （Ｃ）()1,3A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2)4.若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC = A ．（-2,-4） B ． (3,4) C ． (6,10) D ． (-6,-10)题型5.求数量积1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+，（3）2)(-，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。