高中数学必修算法初步知识点讲义
高中数学必修3-算法初步精讲
高中数学必修3-算法初步精讲高中数学必修3-算法初步精讲§13.1 流程图一、知识导学1.流程图:是由一些图框和带箭头的流线组成的,其中图框表示各种操作的类型,图框中的文字和符号表示操作的内容,带箭头的流线表示操作的先后次序.2.算法的三种基本的逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构.3.根据对条件的不同处理,循环结构又分为两种:直到型(until型)循环:在执行了一次循环体之后,对控制循环条件进行判断,当条件不满足时执行循环体.满足则停止.如图13-1-3,先执行A框,再判断给定的条件p是否为“假”,若p为“假”,则再执行A,如此反复,直到p为“真”为止.当型(while型)循环:在每次执行循环体前对控制循环条件进行判断,当条件满足时执行循环体,不满足则停止.如图13-1-4,当给定的条件p成立(“真”)时,反复执行A框操作,直到条件p为“假”时才停止循环.图13-1-1 图13-1-2二、疑难知识1.“算法“没有一个精确化的定义,教科书只对它作了描述性说明,算法具有如下特点:(1)有限性:一个算法的步骤是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.(2)确定性:算法的每一步骤和次序应当是确定的.(3)有效性:算法的每一步骤都必须是有效的.2. 画流程图时必须注意以下几方面:(1)使用标准的图形符号.(2)流程图一般按从上到下、从左到右的方向画.(3)除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框具有超过一个退出点的唯一符号.(4)判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果.(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.3. 算法三种逻辑结构的几点说明:(1)顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的.在流程图中的体现就是用流程线自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤.(2)一个条件结构可以有多个判断框.(3)循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断.在循环结构中都有一个计数变量和累加变量.计数变量用于记录循环次数,累加变量用语输出结果,计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次. 三、经典例题[例1] 已知三个单元存放了变量x,y,z的值,试给出一个算法,顺次交换x,y,z的值(即y取x的值,z取y的值,x取z的值),并画出流程图.错解:第一步xy←第二步yz←第三步zx←流程图为图13-1-3错因:未理解赋值的含义,由上面的算法使得y,z均取x的值.举一形象的例子:有蓝和黑两个墨水瓶,但现在却把蓝墨水装在了黑墨水瓶中,黑墨水错装在了蓝墨水瓶中,要求将其互换,请你设计算法解决这一问题.对于这种非数值性问题的算法设计问题,应当首先建立过程模型,根据过程设计步骤完成算法. 我们不可将两个墨水瓶中的墨水直接交换,因为两个墨水瓶都装有墨水,不可能进行直接交换.正确的解法应为:S1 取一只空的墨水瓶,设其为白色;S2 将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中;S3 将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中;S4 将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中;S5 交换结束.p←{先将z的值赋给变量p,这时存放z的单元可作它正解:第一步z用}第二步yz←{再将y的值赋给z,这时存放y的单元可作它用}第三步xy←{同样将x的值赋给y,这时存放x的单元可作它用}第四步px←{最后将p的值赋给y,三个变量x,y,z的值就完成了交换}流程图为图13-1-4点评:在计算机中,每个变量都分配了一个存储单元,为了达到交换的目的,需要一个单元存放中间变量p.[例2]已知三个数a,b,c.试给出寻找这三个数中最大的一个算法,画出该算法的流程图.解:流程图为图13-1-5点评:条件结构可含有多个判断框,判断框内的内容要简明、准确、清晰.此题也可将第一个判断框中的两个条件分别用两个判断框表示,两两比较也很清晰.若改为求100个数中的最大数或最小数的问题则选择此法较繁琐,可采用假设第一数最大(最小)将第一个数与后面的数依依比较,若后面的数较大(较小),则进行交换,最终第一个数即为最大(最小)值.点评:求和时根据过程的类同性可用循环结构来实现,而不用顺序结构. [例3]画出求222210022+--Λ的值的算法流程图.++991-423解:这是一个求和问题,可采用循环结构实现设计算法,但要注意奇数项为正号,偶数项为负号.思路一:采用-1的奇偶次方(利用循环变量)来解决正负符号问题;图13-1-6 图13-1-7 思路二:采用选择结构分奇偶项求和;图13-1-8思路三:可先将222100222-++-Λ化简成+299431---Λ,转化为一个等差数列求和问题,易利用循环结构求出结果.199--1173-[例4] 设计一算法,求使200621232>22Λ成立的最小正整数n的+n+++值.解:流程图为图13-1-9点评:这道题仍然是考察求和的循环结构的运用问题,需要强调的是求和语句的表示方法.若将题改为求使200621232<22Λ成立的最大正整数++n++n的值时,则需注意的是输出的值.[例5]任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判断.解:算法为:S1 判断n是否等于2,若n=2,则n是质数;若n>2,则执行S2 S2 依次从2~n-1检验是不是的因数,即整除n的数,若有这样的数,则n不是质数;若没有这样的数,则n是质数.点评:要验证是否为质数首先必须对质数的本质含义作深入分析:(1)质数是只能被1和自身整除的大于1的整数.(2)要判断一个大于1的整数n是否为质数,只要根据定义,用比这个整数小的数去除n.如果它只能被1和本身整除,而不能被其它整数整除,则这个数便是质数.图13-1-10[例6]设计一个求无理数2的近似值的算法.分析:无理数2的近似值可看作是方程022=-x 的正的近似根,因此该算法的实质是设计一个求方程022=-x 的近似根的算法.其基本方法即运用二分法求解方程的近似解.解:设所求近似根与精确解的差的绝对值不超过0.005,算法:S1 令2)(2-=x x f .因为0)2(,0)1(><f f ,所以设2,121==x xS2 令2)(21x x m +=,判断)(m f 是否为0,若是,则m 为所求;若否,则继续判断)()(1m f x f 大于0还是小于0.S3 若)()(1m f x f >0,则m x =1;否则,令m x =2.S4 判断005.021<-x x 是否成立,若是,则21,x x 之间的任意值均为满足条件的近似根;若否,则返回第二步.点评:二分法求方程近似解的算法是一个重要的算法案例,将在第三节中详细阐述.四、典型习题1.已知两个单元分别存放了变量A 和B 的值,则可以实现变量B A ,交换的算法是( ). A .S1 A B ← B .S1 A C ←C .S1 A C ←D .S1 A C ← S2 B A ← S2 C B ←S2 B A ← S2 B D ← S3 BC ← S3 C B ← 1. 下面流程图中的错误是( )图13-1-11A .i 没有赋值B .循环结构有错C .S 的计算不对D .判断条件不成立3.将“打电话”的过程描述成一个算法,这个算法可表示为,由此说明算法具有下列特性 .4. 在表示求直线0byax(a,b为常数,且a,b不同时为0)的斜率的+c=+算法的流程图中,判断框中应填入的内容是5. 3个正实数,设计一个算法,判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在,画出这个算法的流程图.6.一队士兵来到一条有鳄鱼的深河的左岸.只有一条小船和两个小孩,这条船只能承载两个小孩或一个士兵.试设计一个算法,将这队士兵渡到对岸,并将这个算法用流程图表示.§13.2基本算法语句一、知识导学1.赋值语句用符号“←”表示,“yx←”表示将y的值赋给x,其中x是一个变量,y是一个与x同类型的变量或表达式.2.条件语句主要有两种形式:“行If 语句”和“块If语句”.“行If 语句”的一般形式为:If A Then B [Else C] .一个行If 语句必须在一行中写完,其中方括号中的Else部分可以缺省.“块If 语句”的一般格式为:If A ThenBElseCEnd ifThen 部分和Else 部分是可选的,但块If语句的出口“End if”不能省. 3.循环语句主要有两种类型:For语句和While语句.当循环的次数已经确定,可用“For”语句表示.“For”语句的一般形式为:For I from“初值”to step“步长”…End for上面“For”和“End for”之间缩进的步骤称为循环体.当循环次数不能确定是,可用“While”语句来实现循环.“While”语句的一般形式为:While A…End while其中A表示判断执行循环的条件.上面“While”和“End While”之间缩进的步骤称为循环体.二、疑难知识1.有的条件语句可以不带“Else”分支,即满足条件时执行B,否则不执行任何操作.条件语句也可以进行嵌套,在进行条件语句的嵌套时,书写要有层次.例如:If A ThenBElse if C ThenDElseEEnd if2.“For”语句是在执行过程中先操作,后判断.而“While”语句的特点是“前测试”,即先判断,后执行.若初始条件不成立,则一次也不执行循环体中的内容.任何一种需要重复处理的问题都可以用这种前测试循环来实现.三、经典例题[例1] 下列程序的运行结果是 .X←9Y8←If X>5 Then 7+Y←YIf X>4 Then 6+←YYIf X>3 Then 6+Y←YPrint Y错解:8+7=15错因:误认为在一个程序中只执行一个条件语句,与在一个条件语句中只选择其中一个分支相混淆.If A Then B [Else C] 若满足条件A 则执行B,否则是执行C,B和C是这个条件语句的分支,而这个程序省略了Else部分.正解:这里是有三个条件语句,各个条件语句是独立的,三个条件均成立,所以按顺序依次执行,结果为8+7+6+6=27.[例2] 下面的伪代码的效果是0←iWhile i <102⨯←i iEnd WhileEnd错解:执行10次循环错因:将For 语句和While 语句混淆. For 语句中有步长使循环变量不断变化,而While 语句则无.正解:无限循环下去,这是因为这里i 始终为0,总能满足条件“10<i ”,故是一个“死循环”.点评:“死循环”是设计循环结构的大忌,此题可改变i 的初始值或每一次循环i 都增加一个值.[例3]下面的程序运行时输出的结果是( )1←IWhile 5<I0←S1+←I II I S S *+←End whilePrint SEnd错解:第一次循环时,I 被赋予2,S 被赋予4;第二次循环时,I 被赋予3,S 被赋予4+23=13;第三次循环时,I 被赋予4,S 被赋予13+24=29;第四次循环时,I 被赋予5,S 被赋予545292=+.由于此时5=I ,故循环终止,输出S 为54.正解:由于0←S 在循环内,每经过一次循环后S 都被赋值0,因此,只要求满足条件的最后一次循环S 的值,即当4=I 时,16440=⨯+=S .[例4]用语句描述求使10007531<⨯⨯⨯⨯⨯n Λ成立的最大正整数n 的算法过程.解: 1←n1←TWhile 1000<T2+←n n n T T ⨯←End whilePrint 2-n点评:此题易错的是输出值,根据While 循环语句的特征当1000≥T 时跳出循环体,此时n 的值是1000≥T 时的最小的整数,则使1000<T 的最大整数应为n 的前一个奇数即2-n .[例5]已知当100100<<-x 时,1+=x y ,当100-≤x 时,4=y ,当100≥x 时,4-=x y ,设计一算法求y 的值.解: Read xIf 100100<<-x then1+←x yElse if 100≥x Then4-←x yElse4←yEnd ifEnd点评:嵌套If 语句可用如上的紧凑形式书写,要注意的是如不是采取紧凑形式,则需注意一个块If 语句对应一个End If ,不可省略或缺少.[例6]设计一个算法,使得输入一个正整数n ,输出1!+2!+3!+…+n !的值.写出伪代码.解:思路一:利用单循环,循环体中必须包括一个求各项阶乘的语句以及一个求和语句.Read n1←←S T For I from 1 to nTS S I T T +←⨯← End ForPrint S思路二:运用内外双重循环,但尤其注意的是每一次外循环T 的值都要从1开始.Read n0←SFor I from 1 to n1←TFor J from 1 to IJ T T ⨯←End ForT S S +←End ForPrint S四、典型习题1.下列的循环语句循环的次数为()For I from 1 to 7For J from 1 to 9Pint I+JEnd forEnd forEndA.7次B.9次C.63次D.16次2.运行下面的程序后输出的结果是,若将程序中的A语句与B语句的位置互换,再次执行程序后输出的结果为 .x←1y←While 3<x←′A语句y+yxx′B语句←x+1End WhilePrint x,yEnd3.伪代码描述的求T的代数式是,求S的代数式是 .Read n1←T0←SFor I from 1 to nI T T ⨯←I S S +←End forPrint T,S4.运行下面程序后输出的结果为For I from 10 to 1 step -2Print IEnd forEnd5. 将100名学生的一门功课的成绩依次输入并计算输出平均成绩.§ 13.3 算法案例一、知识导学1.算法设计思想:(1)“韩信点兵—孙子问题”对正整数m 从2开始逐一检验条件,若三个条件中有任何一个不满足,则m 递增1,一直到m 同时满足三个条件为止(循环过程用Goto 语句实现)(2)用辗转相除法找出b a .的最大公约数的步骤是:计算出b a ÷的余数r ,若0=r ,则b 为b a ,的最大公约数;若0≠r ,则把前面的除数b 作为新的被除数,继续运算,直到余数为0,此时的除数即为正整数b a ,的最大公约数.2.更相减损术的步骤:(1)任意给出两个正数,判断它们是否都是偶数.若是,用2约简;若不是,执行第二步.(2)以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数.(3)二分法求方程0)(=x f 在区间[]b a ,内的一个近似解*x 的解题步骤可表示为 S1 取[b a ,]的中点()b a x +=210,将区间 一分为二; S2 若()00=x f ,则0x 就是方程的根;否则判别根*x 在0x 的左侧还是右侧:若()()00>⋅x f a f ,()b x x ,*0∈,以0x 代替a ;若()()00<⋅x f a f ,则()0,*x a x ∈,以0x 代替b ;S3 若c b a <-,计算终止,此时0x x ≈*,否则转S1.二、疑难知识1.)int(x 表示不超过x 的整数部分,如0)32.0int(,5)86.5int(==,但当x 是负数时极易出错,如1)14.1int(-=-就是错误的,应为-2.2.),mod(b a 表示a 除以b 所得的余数,也可用a mod b 表示.3.辗转相除法与更相减损术求最大公约数的联系与区别:(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到.4.用二分法求方程近似解,必须先判断方程在给定区间[b a ,]上是否有解,即()x f 连续且满足()()0<b f a f .并在二分搜索过程中需对中点处函数值的符号进行多次循环判定,故需要选择结构、循环结构,即可用Goto 语句和条件语句实现算法.三、经典例题[例1]=)5int(π , =-)05.0int( ,=)9,67mod( , 45 mod 7= .A .16,-1,4,3 B.15,0,4,3 C.15,-1,3,4 D.15,-1,4,3 错解:根据)int(x 表示不超过x 的整数部分, ),mod(b a 表示a 除以b 所得的余数,选择B.错因:对)int(x 表示的含义理解不透彻,将不超过-0.05的整数错认为是0,将负数的大小比较与正数的大小比较相混淆.正解:不超过-0.05的整数是-1,所以答案为D.[例2] 所谓同构数是指此数的平方数的最后几位与该数相等.请设计一算法判断一个大于0且小于1000的整数是否为同构数.错解: 算法思想:求出输入数的平方,考虑其个位或最后两位或最后三位与输入数是否相等,若相等,则为同构数.Read xx x y *=If )10(y x = or )100(y x = or )1000(y x = ThenPrint xEnd ifEnd错因:在表示个位或最后两位或最后三位出现错误,“/”仅表示除,y/10,y/100,y/1000都仅仅表示商.正解:可用)1000,mod(),100,mod(),10,mod(y y y 来表示个位,最后两位以及最后三位.Read x=y*xxIf ))1000x=or )),mod((yx=(ymod(10,(ymod(,100x=or ))ThenPrint xEnd ifEnd[例3]《孙子算经》中的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”可以用下面的算法解决:先在纸上写上2,每次加3,加成5除余3的时候停下来,再在这个数上每次加15,到得出7除2的时候,就是答数.试用流程图和伪代码表示这一算法.解:流程图为:伪代码为:10 2m←20 3+m←m30 If ()35,m od ≠m Then Goto 2040 If 2)7,mod(=m ThenPrint mGoto 8050 End if60 15+←m m70 Goto 4080 End点评:这是孙子思想的体现,主要是依次满足三个整除条件.[例4]分别用辗转相除法、更相减损法求192与81的最大公约数.解:辗转相除法:S1 30281192ΛΛΛΛ=÷S2 2123081ΛΛΛΛ=÷S3 912130ΛΛΛΛ=÷S4 32921ΛΛΛΛ=÷S5 0339ΛΛΛΛ=÷故3是192 与81 的最大公约数.更相减损法:S1 11181192=-S2 3081111=-S3 513081=-S4 213051=-S5 92130=-S6 12921=-S7 3912=-S8 639=-S9 336=-故3 是192与81的最大公约数.点评:辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少.辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算,此时的小数就是两者的最大公约数,更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止,较小的数就是最大公约数.[例5]为了设计用区间二分法求方程0123=-+x x 在[0,1]上的一个近似解(误差不超过0.001)的算法,流程图的各个框图如下所示,请重新排列各框图,并用带箭头的流线和判断符号“Y”、“N ”组成正确的算法流程图,并写出其伪代码.(其中b a ,分别表示区间的左右端点)图13-3-2流程图为图13-3-3伪代码为10 Read b a ,20 2)(0b a x +←30 1)(23-+←a a a f40 1)(20300-+←x x x f 50 If 0)(0=x f Then Goto 12060 If 0)()(0<x f a f Then70 0x b ←100 End if80 Else90 0x a ←100 End if110 If 001.0≥-b a Then Goto 20120 Print 0x130 End点评:二分法的基本思想在必修一中已渗透,这里运用算法将二分法求方程近似解的步骤更清晰的表述出来.[例6] 用秦九韶算法计算多项式654323567983512)(x x x x x x x f ++++-+=在4-=x 时的值时,3v 的值为 .解: 根据秦九韶算法,此多项式可变形为()()()()()()1235879653++-+++=x x x x x x x f按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当4-=x 时的值:40-=v75)4(31-=+-⨯=v346)7()4(2=+-⨯-=v577934)4(3-=+⨯-=v故当4-=x 时多项式的值为57-.点评:秦九韶算法的关键是n 次多项式的变形.把一个n 次多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ改写成0121)))(()(a x a x a x a x a x f n n n +++++=--ΛΛ,求多项式的值,首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,这样把求n 次多项式的值问题转化为求n 个一次多项式的值的问题,这种方法成为秦九韶算法.这种算法中有反复执行的步骤,因此,可考虑用循环结构实现.四、典型习题1.以下短文摘自古代《孙子算经》一书,其引申出的“大衍求一术”称为“中国剩余原理”:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”答曰( ).A .二十一 B.二十二 C.二十三 D.二十四2.用辗转相除法求52与39的最大公约数的循环次数为( ).A .1次 B.2次 C.3次 D.5次3.下面程序功能是统计随机产生的十个两位正整数中偶数和奇数的个数,并求出偶数与奇数各自的总和.For I from 1 to 1010)90int(+*←Rnd xPrint x;If Thenxs s n n +←+←22122 Elsex s s +←11End IfEnd forPrintPrint “奇数个数=”;1n,“偶数个数=”;2n4.若一个数的各因子之和正好等于该数本身,则该数成为完数.请补充完整下列找出1~100之间的所有完数的伪代码.For a from 2 to 100c1For b from 2 toIf mod(a,b)=0 ThenEnd ifEnd ForIf ThenPrint aEnd ifEnd ForEnd5.设计求被9除余4,被11除余3的最小正整数的算法,画出流程图,写出伪代码.6.利用辗转相除法或更相减损术求324,243,135的最大公约数.。
2019高二数学必修3算法初步知识点:算法基本逻辑结构语文
高二数学必修3算法初步知识点:算法基本逻辑结构数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。
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算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
(1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤。
如在示意图中,A 框和B框是依次执行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执行B框所指定的操作。
(2)条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。
无论P条件是否成立,只能执行A框或B框之一,不可能同时执行A框和B框,也不可能A框、B框都不执行。
一个判断结构页 1 第可以有多个判断框。
(3)循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:①一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P成立时,执行A框,A框执行完毕后,再判断条件P是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A 框,直到某一次条件P不成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
②另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件P是否成立,如果P仍然不成立,则继续执行A框,直到某一次给定的条件P成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
注意:1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。
因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许死循环。
最新人教版高中数学必修3第一章《第一章算法初步》本章概要
第一章算法初步本章综述随着计算机技术的飞速发展,计算机已经普及到千家万户.你肯定玩过一些好玩的游戏,惊奇于它的灵活与机智,为什么它也会有智能?大家可能运行过一些方便的程序,它们简化了我们的繁杂的操作,让我们从简单,乏味、重复的操作中解脱出来,是什么在它们后面支持和控制着它们呢?其实,不是计算机本身,而是我们的算法.你想学习如何控制它们吗?那就跟我们来吧,进入算法精彩的世界.算法初步是高中阶段传统的数学基础知识以外的新增内容.在数学发展的历程中,寻求对一类问题的算法一直是数学发展的一个重要特点.我国古代数学发展的主导思想,就是构造“算法”来解决实际问题.在现代,算法已是数学及其应用科学中的重要组成部分,并成为计算机科学的重要基础.随着现代信息技术的飞速发展,算法在科学技术和社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面.算法思想也逐渐成为每一个现代人应具有的数学素养.算法是一个全新的课题,但我们并不陌生,数学必修一中我们学习过求函数零点的二分算法;数学必修二的解析几何初步中,我们把利用公式计算的几何问题进行分步求解,形成算法;又如解方程的算法、解不等式的算法等,这些算法都是对解决一类问题有效的通法,其过程称为“数学机械化”,即大量重复、循环、复杂的逻辑推理运算由计算机完成.我们在第一部分主要学习一下算法的概念以及它的特点和主要用处,研究一下算法的思想,算法的几种常见的结构,即三种结构:顺序结构、条件结构、循环结构以及用程序框图来简洁清晰地表示算法.体验一下用简单清晰的图形表示我们的思想,会发现数学简单中的美丽,你会发现算法实质上就是我们的思维过程.第二部分主要开始学习一些编程的基本语句,你可以尝试着自己来做一个算法程序,以解决一些繁杂的问题.这可是非常令人自豪的事情.第三部分主要介绍中国古代数学中的三个算法案例:辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法、进位制.本章的重点是算法的概念和算法的三种基本逻辑结构及对应的基本算法语句.正确理解算法的概念是我们以后设计算法的基础.顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑结构的重要性在于:理论上已经证明了,用它们可以表示一个算法.本章的难点是循环语句.对于我们来说,应用循环结构来实现反复执行的计算是一种新的思想和方法,刚开始时不容易掌握,学习时有一定的困难.本章是以知识应用为主的一章,在以前面各章知识为平台的基础上,详细地讨论各种问题的算法,是对以前的知识的抽象概括和进一步理解.本章所研究的算法是计算机科学的最主要的基础学科之一,是数学在计算机应用中的体现.由于计算机已经渗透到各个学科,算法作为大家以后学习的基础占有重要的位置.随着计算机的进一步普及,计算机技术会在我们的生活中起到不可取代的作用,而算法思想也成为我们每个现代人都应该具有的素质.。
高一数学必修三知识点讲义
高中数学必修3知识点一:算法初步1:算法的概念(1)算法概念:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.(2)算法的特点:①有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可.③顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.④不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.⑤普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.2:程序框图(1)程序框图基本概念:①程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
②构成程序框的图形符号及其作用学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
3:算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
(1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
高中数学必修(3)第一章算法初步(知识点汇总)
算法初步与程序框图1、算法的概念:算法通常指按照一定的规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
2、程序框图:用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形叫做程序框图或流程图。
(1)用框图表示算法步骤的一些常用的图形符号图形符号名称功能终端框(起止框)表示一个算法的起始和结束,是任何算法程序框图不可缺少的输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置处理框(执行框)赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等,它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内判断框判断某一条件是否成立,成立时出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”流程线连接程序框,表示算法进行的前进方向以及先后顺序连接点如果一个流程图需要分开来画,要在断开处画上连接点,并标出连接的号码(2)程序框图的结构形式①顺序结构;②条件结构;③循环结构;(3)基本算法语句①输入语句;②输出语句;③赋值语句;④条件语句;⑤循环语句;3、程序框图举例:开始11(1)(2)4、辗转相除法:5、更相减损术:6、秦九韶算法:7、二分法:8、进位制:9、流程图和结构图框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示,它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系,框图可分为流程图和结构图,流程图与结构图直观形象、简洁、明了,在日常生活中应用广泛.一、流程图:流程图常常用来表示一个动态过程,通常会有一个“起点”,一个或多个“终点”.程序框图是流程图的一种.流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤.它是由图形符号和文字说明构成的图示.流程图用于描述一个过程性的活动,活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元,基本单元之间用流程线联系.基本单元中的内容要根据需要而确定.可以在基本单元中具体说明,也可以为基本单元设置若干子单元.10、流程图的种类(1)算法流程图①算法流程图在必修课程中已经学过,它是一种特殊的流程图,主要适用于计算机程序的编写.②在算法流程图内允许有闭合回路.(2)工艺流程图①工艺流程图是常见的一种流程图,又称统筹图,在日常生活、生产实践等各方面经常用到工艺流程图.②用来描述具有先后顺序的时间特征的动态过程.③工艺流程图的构成由矩形框、流程线和名称(代号)构成.④工艺流程图可以有一个或多个“起点”,一个或多个“终点”,对于同一个矩形框可以有多个流出点和流入点.⑤在工艺流程图中不允许出现几道工序首尾相连接的圈图或循环回路.20、绘制流程图的一般过程首先,用自然语言描述流程步骤;其次,分析每一步骤是否可以直接表达,或需要借助于逻辑结构来表达; 再次,分析各步骤之间的关系;最后,画出流程图表示整个流程.二、结构图:表示一个系统中各部分之间的组成结构的框图叫做结构图.10、结构图的种类常用的结构图一般包括知识结构图、组织结构图、建筑结构图、布局结构图及分类结构图.20、绘制结构图步骤:(1)确定组成系统的基本要素,及它们之间的关系.(2)将系统的主体要素及其之间的关系表示出来.(3)确定主体要素的下位要素(从属主体的要素)“下位”要素比“上位”要素更为具体,“上位”要素比“下位”要素更为抽象.(4)逐步细化各层要素,直到将整个系统表示出来为止.三、结构图与流程图的区别:流程图和结构图不同.流程图是表示一系列活动相互作用、相互制约的顺序的框图.结构图是表示一个系统中各部分之间的组成结构的框图.流程图描述动态过程,结构图刻画系统结构.流程图通常会有一个“起点”,一个或多个“终点”,其基本单元之间由有向线连接;结构图则更多地表现为“树”状结构,其基本要素之间一般为逻辑关系.四、考点详解考点一:流程图类型一:算法流程图例1、写出方程0ax b += (,a b 为常数)的根的流程图.分析:因为,a b 是实数,要解方程需先判断a 是否为0,当0a ≠时,方程根为b x a =-;当0a =时,需再次判断b 是否为0,若0b =,则方程根为全体实数,若0b ≠,则方程无解,因此可以用算法中的条件结构来实现,相应程序语句是条件语句.解:根据以上的算法分析可得出算法流程图:点评:算法流程图是学习算法语言的必备工具,在使用时必须用其标准的图形符号.变式练习1:某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k 的值是( )A .4B .5C .6D .7类型二: 工序流程图例2、某工厂装配一辆轿车的工序、工序所花的时间及各工序的先后关系如下表所示:开始输入,a b0a ≠? b x a=- 0b ≠? 输出方程无解 输出方程根是全体实数输出原方程根为x 结束否 否是是注:紧前工序,即与该工序相衔接的前一工序.(1)画出装配该轿车的工序流程图;(2)装配一辆轿车的最短时间是多少小时?分析:要画工序流程图,首先要弄清整项工程应划分为多少道工序,这当然应该由上到下,先粗略后精细,其次是仔细考虑各道工序的先后顺序及相互联系、制约的程度,最后考虑哪些工序可以平行进行,哪些工序可以交叉进行.一旦上述问题都考虑清楚了,一个合理的工序流程图就成竹在胸了,依据其去组织生产,指挥施工,就能收到统筹兼顾的功效.解:(1)工序流程图如下图所示:(2)装配一辆轿车的最短时间是1154125340+++++=(小时).点评: 有关工序流程图应先理清工序大体分几个阶段,再对每一阶段细分,每一步应注意先后顺序,这是十分关键的,否则会产生错误.在画工序流程图时,不能出现几道工序首尾相接的圈图或循环回路.变式练习2:某成品的组装工序图如下,箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间(小时),不同车间可同时工作,同一车间不能同时做两种或两种以上的工作,则组装该产品所需要的最短时间是( )A. 11小时B. 13小时C. 15小时D. 17小时考点二: 结构图类型一: 知识结构图例3、设计一个结构图,表示《数学{5}》第二章“数列”的知识结构图. 分析:画知识结构图的过程与方法:首先,要对所画结构图从头到尾抓住主要脉络进行分解;然后将每一步分解进行归纳与提炼,形成一个个知识点,并将其逐一地写在矩形框内;最后,按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并且用线段相连,这样就画成了知识结构图.解:本章的知识结构图如下:点评:要熟悉知识结构,注意实际问题的逻辑顺序和概念上的从属关系,这个结构图从整体上反映了数列的结构,从左向右反映的是要素之间的从属关系.在画结构图时,应根据具体需要确定复杂程度,简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点.另外在画结构图时还应注意美观、明了. 变式练习3:下图是《集合》的知识结构图,如果要加入“子集”,则应该放在( )A. “集合的概念”的下位B. “集合的表示”的下位C. “基本关系”的下位D. “基本运算”的下位类型二: 组织结构图例4、下面为某集团的组织结构图,请据下图分析财务部和人力资源部的隶属关系.分析: 根据组织结构图,分析好各部门之间的从属关系,最后作答.解:由组织结构图可分析得:财务部直属总裁管理;而总裁又由董事长管理,董事长服从于董事会管理.人力资源部由董事长助理直接管理,董事长助理服从董事长管理,董事长又服从于董事会管理,董事会是最高管理部门.点评:有关组织结构图一般都呈“树”形结构.这种图直观,容易理解,被应用于很多领域中.在组织结构图中,可采用从上到下或从左到右的顺序绘制图,注意各单元要素之间的关系,并对整个组织结构图进行浏览处理,注重美观、简洁、明了.变式练习4:某公司做人事调整:设总经理一个,配有经理助理一名;设副经理两人,直接对总经理负责,设有6个部门,其中副经理A 管理生产部、安全部和质量部,经理B 管理销售部、财务部和保卫部;生产车间由生产部和安全部共同管理,公司配有质检中心和门岗。
高二数学必修3知识点:算法初步
高二数学必修 3 知识点:算法初步数学是利用符号语言研究数目、构造、变化以及空间模型等观点的一门学科。
以下是查词典数学网为大家整理的高二数学必修 3 知识点,希望能够解决您所碰到的有关问题,加油,查词典数学网向来陪同您。
1:算法的观点(1)算法观点:在数学上,现代意义上的算法往常是指能够用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤一定是明确和有效的,并且能够在有限步以内达成.(2)算法的特色 :①有限性:一个算法的步骤序列是有限的,一定在有限操作以后停止,不可以是无穷的.②确立性:算法中的每一步应当是确立的并且能有效地履行且获得确立的结果,而不该当是含糊其词 . ③次序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只好有一个确立的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有履行完前一步才能进行下一步,并且每一步都正确无误,才能达成问题 . ④不独一性:求解某一个问题的解法不必定是独一的,关于一个问题能够有不一样的算法 .与现在“教师”一称最靠近的“老师”观点,最早也要追忆至宋元期间。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云:“伯安入小学,颖第1页/共2页悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。
”于是看,宋元期间小学教师被称为“老师”有案可稽。
清朝称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见,“教师” 一说是比较晚的事了。
现在领会,“教师”的含义比之“老师”一说,拥有资历和学问程度上较低一些的差异。
辛亥革命后,教师与其余官员同样依法律委任,故又称“教师”为“教员”。
⑤广泛性:好多详细的问题,都能够设计合理的算法去解决,如默算、计算器计算都要经过有限、预先设计好的步骤加以解决 .教师范读的是阅读教课中不行缺乏的部分,我常采纳范读,让少儿学习、模拟。
如领读,我读一句,让少儿读一句,边读边记;第二通读,我高声读,我高声读,少儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗诵磁带,一边放录音,一边少儿频频聆听,在频频聆听中体验、品尝。
人教版高中数学必修三 第一章 算法初步算法初步的归纳总结
算法初步的归纳总结随着计算机科学和信息技术的发展,算法已经渗透到人们的方方面面,算法思想有助于我们理解数学与计算机技术的关系,促进数学思想及计算机技术的发展。
在必修3第二章算法初步的内容主要是算法的基本思想、算法的基本结构及设计、排序问题和几种基本语句。
1、对算法的基本思想的学习可以根据书本的例题及平时生活中的实例从而了解算法是解决某类问题的一系列步骤或程序。
学习和理解算法的必要性,体会一个问题可能存在多种算法,有优劣之分,并且要在有限步骤内解决问题,对二分法要有初步认识。
如P91练习2.2(必修3)中的分油问题就需要用尽可能少的步骤来解决,而且存在多种方法。
通过以上的方法就能加深对算法基本思想的理解。
2、算法的基本结构及设计首先介绍顺序结构与选择结构。
了解按照依次执行的算法是“顺序结构”,而需要进行判断,判断的结果决定后面的步骤,这样的结构是“选择机构”。
在学习选择结构时可通过判断“一年是不是闰年”的例题加深记忆,注意开始结束框、处理框、指向线和输入输出框的形式和格式,学会使用流程图描述算法。
接着介绍算法中的重要概念——边量,以及如何给变量赋值,学习将常数赋予变量,将含其他变量的表达式赋予变量,将含有变量自身的表达式赋予变量,理解这些赋值方式的意义,切实学会通过赋值的方式改变变量的值。
再介绍的循环结构是算法的另一种重要结构。
了解什么是循环体,循环变量和循环的终止条件。
在使用循环来描述算法时要先确定循环变量和初始条件;确定算法中反复执行的部分——循环体;最后确定循环的终止条件。
在P108例10(必修3)中第二步就是确定循环变量和初始条件,设下标i为循环变量,3为i的初始值。
第二步确定循环体,算法中反复执行部分为:A i=A i-1+A i-2 ,输出A i。
最后一步确定终止条件当i>50时,算法结束。
并由此作出算法流程图。
再以此方法画出二分法算法的流程图就能大大加深印象。
3、排序问题主要讲的两种排序算法:直接插入排序算法和冒泡排序算法。
苏教版学高中数学必修三算法初步算法的含义讲义
学习目标核心素养1.通过实例体会算法的思想,了解算法的含义.(难点)2.能按步骤用自然语言写出简单问题的算法过程.(重点、难点)3.了解算法的主要特点(有限性和确定性).(难点、易混点)1.通过书写算法提升学生的逻辑推理素养.2.借助解决实际问题的算法练习,培养学生的数学建模素养.1.算法的概念一般而言,对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法.广义地说,为解决某一问题而采取的方法和步骤,我们都可以称之为算法,不要认为只有“计算”才有算法.例如:广播操图解是广播操的算法,菜谱是做菜的算法,歌谱是一首歌曲的算法,空调说明书是空调使用的算法.我们过去学习的许多数学公式都是算法,加、减、乘、除运算法则以及多项式的运算法则也是算法.2.算法的特征(1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.(2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当模棱两可.(3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后续步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.(4)不唯一性:求解某一问题的算法不一定是唯一的,对于同一个问题可以有不同的算法.(5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.3.算法的设计要求(1)确定性和有限性是算法的两个重要特征,我们在写算法时,一定要注意满足这两个特征.(2)虽然解决一个问题的算法不是唯一的,但不同的算法有繁有简,因此在设计一个算法时,应本着简捷方便的原则进行.(3)要保证算法正确,且能够被计算机执行.1.下面的语句正确的是()1算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义;2一个算法可以无止境地运算下去;3完成一件事情的算法有且只有一种;4设计算法要本着简单、方便的原则.A.12B.34C.14D.24C[算法的步骤必须明确,其中不能含有模糊不清、让人误解的叙述,所以1正确;一个算法必须在执行有限步之后结束,且每一步都应在有限时间内完成,所以2错误;由于求解某一类问题的算法不是唯一的,所以3错误;算法设计要尽量简单,步骤应尽量少,所以4正确.]2.下列语句是算法的有________.(填序号)1解方程2x—6=0的过程是移项和系数化为1;2从济南到温哥华要先乘火车到北京,再转乘飞机;3解方程2x2+x—1=0;4利用公式S=πr2计算半径为3的圆的面积就是计算π×32.124[根据算法的含义知124都是算法,而3只是一个纯数学问题,没有确定的解决问题的步骤,不属于算法.]3.下面是求1+11+21+31+41的值的一个算法,请将其补充完整.第一步计算1+11,得12;第二步将第一步中的运算结果12与21相加,得到33;第三步将第二步中的运算结果33与31相加,得到64;第四步______________________________,即为最后结果.将第三步中的运算结果64与41相加,得到105[本题是一个连续相加的问题,可以按逐一相加的方法解决.]4.有人对命题“任何大于4的偶数都能写成两个奇质数之和”设计了如下操作步骤:第一步检验6=3+3.第二步检验8=3+5.第三步检验10=5+5.…利用计算机一直进行下去!请问:利用这种步骤________(填“能”或“不能”)证明猜想的正确性,这________(填“是”或“不是”)算法.不能不是[确定性和有限性是任何算法都必须满足的重要特点,若不满足则不能称之为算法.]算法的概念和特征1从南京到台湾旅游,先坐火车,再坐飞机抵达;2解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1;3方程x2—1=0有两个实根;4求1+2+3+4+5的值,先计算1+2=3,再求3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15.3[因为算法是为解决某类问题而设计的一系列可操作可计算的步骤,通过这些步骤能够有效地解决问题,因此124都是算法,3不是算法.]判断一个语句是不是算法,依据是算法的概念,它是解决一类问题的具体步骤,未给出步骤的解决方法,不能够称之为算法,即按照所给出的步骤,能将问题解决,则这些步骤就可以称为一个算法.1.下列对算法的描述正确的个数是________.1一个算法应包含有限的步骤,而不能是无限的;2算法中的每一个步骤都应当是确定的,而不应当是含糊的、模棱两可的;3算法中的每一个步骤都应当有效地执行,并得到确定的结果;4一个问题只能设计出一种算法.3[由算法的有限性知1正确;由算法的确定性知2正确;由算法的可输出性知3正确;对于同一个问题可以有不同的算法,因此4不正确.故正确的个数为3.]2.著名数学家华罗庚提出的“烧水泡茶”的两个算法如下,算法1:第一步烧水;第二步水烧开后,洗刷茶具;第三步沏茶.算法2:第一步烧水;第二步在烧水过程中,洗刷茶具;第三步水烧开后沏茶.其中更高效的算法是________,原因是________.算法2它更节约时间[算法不同,解决问题的繁简程度不同,我们研究算法,就是要找出解决问题的最好算法.在算法1中三步所用的时间为烧水、洗茶具和沏茶时间的和,而在算法2中所用的时间为烧水和沏茶时间的和,故算法2更高效.]算法的设计思路点拨:本题是一个连续相加的问题,加数的个数不多,可以按逐一相加的方法解决.注意到加数依次排列可构成一个等差数列,故也可运用公式1+3+5+…+(2n—1)=n2解决,当加数较多时,如计算1+3+5+…+99,逐个相加的方法显然是不可取的,除了使用公式1+3+5+…+(2n—1)=n2解决该问题之外,还有没有别的方法?为此,我们还可以引入变量和循环的方法解决.[解] 算法1:第一步计算1+3,得到4;第二步将第一步中的运算结果4与5相加,得到9;第三步将第二步中的运算结果9与7相加,得到16;第四步将第三步中的运算结果16与9相加,得到25;第五步将第四步中的运算结果25与11相加,得到36;第六步将第五步中的运算结果36与13相加,得到49.算法2:第一步取n=7;第二步计算n2;第三步输出运算结果.算法3:第一步使p=1;第二步使i=3;第三步使p+i的和仍放在变量p中,可表示为p=p+i;第四步使i的值加2,即i=i+2;第五步若i≤13,返回第三步,重新执行第三步及之后的第四、第五步,否则,算法结束,最后得到的p的值就是1+3+5+7+9+11+13的值.1.写出求1+3+5+7+9+11+13+15+17+19的一个算法.[解]第一步取n=10;第二步计算n2;第三步输出运算结果.2.写出求2+4+6+8+…+200的一个算法.思路点拨:运用公式2+4+6+8+…+2n=n(n+1).[解]第一步取n=100;第二步计算n(n+1);第三步输出运算结果.1.算法的设计目的设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法,它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤,然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来,从而达到计算机执行的目的.2.算法的设计要求(1)写出的算法必须能解决一类问题;(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少;(3)要保证算法正确,且计算机能够执行.3.设计算法的步骤(1)分析问题,寻找可以解决问题的一般的数学方法;(2)将问题的各种情况加以分类;(3)将每一类情况划分为若干步骤;(4)用简练的语言、数学符号和各种参数将各个步骤表达出来;(5)按照步骤的顺序将步骤列出来.提醒:(1)算法从初始步骤开始,每一个步骤只能有一个确定的后续步骤,从而组成一个步骤序列,序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解.(2)一个具体问题的算法不唯一.(3)不同的算法有简繁、优劣之分,但每一种算法都会使问题有一个最终的结果,对于一个具体的问题,我们可以找到一个算法步骤相对较少、执行步骤也较少的算法,即最优算法.算法在实际生活中的应用出来吗?写出解决这一问题的一种算法.思路点拨:可以两枚两枚地称,直到称出假银元为止,也可以先分组再称.[解] 法一:第一步任取2枚银元分别放在天平的两边,如果天平左右不平衡,则轻的一枚就是假银元,如果天平平衡,则进行第二步;第二步取下右边的银元,放在一边,然后把剩余的7枚银元依次放在右边进行称量,直到天平不平衡,偏轻的那一枚就是假银元.法二:第一步把银元分成3组,每组3枚;第二步先将两组分别放在天平的两边,如果天平不平衡,那么假银元就在轻的那一组里,如果天平左右平衡,则假银元就在未称的第3组里;第三步取出含假银元的那一组,从中任取两枚银元放在天平的两边,如果天平左右不平衡,则轻的那一枚就是假银元,如果天平两边平衡,则未称的那一枚就是假银元.算法在生活中的应用主要包括一些非数值型的问题.在设计算法时,应当先建立过程模型,也就是找到解决问题的方案,再把它细化为一步接一步的步骤,从而设计出算法.3.有蓝、黑两个墨水瓶,现把蓝墨水错装在了黑墨水瓶中,黑墨水错装在了蓝墨水瓶中,要求将两个墨水瓶中的墨水互换,请设计一个算法.[解] 由于两个墨水瓶中的墨水不能直接交换,故可以考虑通过引入第三个空墨水瓶来解决问题.算法如下:第一步取一个空的墨水瓶,设其为白色;第二步将黑墨水瓶中的蓝墨水倒入白瓶中;第三步将蓝墨水瓶中的黑墨水倒入黑墨水瓶中;第四步将白瓶中的蓝墨水倒入蓝墨水瓶中;第五步交换结束.4.两个大人和两个小孩一起渡河,渡口只有一条小船,每次只能渡一个大人或两个小孩,他们四人都会划船,但都不会游泳,他们如何渡河?请写出你设计的渡河的算法.[解] 因为每次只能渡一个大人或两个小孩,而船还要来回渡其他人,所以只能让两个小孩先渡河,然后回来一个,一直到四人全过河.第一步两个小孩同船渡过河去;第二步一个小孩划船回来;第三步一个大人独自划船渡过河去;第四步对岸的小孩划船回来;第五步两个小孩再同船渡过河去;第六步一个小孩划船回来;第七步余下的另一个大人独自划船渡过河去;第八步对岸的小孩划船回来;第九步两个小孩再同船渡过河去.1.本节课的重点是理解算法的概念,体会算法的思想,难点是掌握简单问题算法的表述.2.本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握算法的特征;(2)掌握设计算法的一般步骤;(3)会设计实际问题的算法.3.在解决某类数学问题时,逐一列举、验证计算量较大,不易操作,若根据题意把其分成几个组,先研究组与组之间的关系,再研究小组内的关系,可以减少操作步骤,使问题易于解决,这就是分组讨论思想.1.下列关于算法的说法,正确的个数为()1求解某一类问题的算法是唯一的;2算法必须在有限步操作之后停止;3算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊;4算法执行后一定产生确定的结果.A.1B.2C.3D.4C[由算法的特征(有限性、确定性、有序性、有输出等)可知234正确,但解决某一类问题的算法不一定是唯一的,故1错.]2.假设家中生火泡茶有下列几个步骤,最优的一个算法是________.A.生火;B.将水倒入锅中;C.找茶叶;D.洗茶壶茶杯;e.用开水冲茶.bacde [利用时间最短排序.]3.下列语句表达中是算法的是________.1从济南到巴黎可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达;2利用公式S=错误!ah计算底为1,高为2的三角形的面积;3错误!x>2x—4;4求M(1,2)与N(—3,—5)两点连线所在直线的方程,可先求直线MN的斜率,再利用点斜式方程求得.124[算法是解决问题的方法步骤,这个问题并不仅仅限于数学问题,124都是算法,而3没有确定的解题步骤,不是算法.]4.已知直角三角形的两条直角边长分别为3,4,设计一个算法,求该三角形的周长.[解] 先取a=3,b=4,再由勾股定理,求出斜边c=错误!,从而得周长l=a+b+错误!.算法如下:第一步取a=3,b=4;第二步计算c=错误!;第三步计算l=a+b+c;第四步输出l.。
高中数学必修3(人教A版)第一章算法初步1.1知识点总结含同步练习及答案
描述:例题:高中数学必修3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 算法初步 1.1 算法与程序框图一、学习任务1. 了解算法的含义,了解算法的基本思想,能用自然语言描述解决具体问题的算法.2. 了解设计程序框图表达解决问题的过程,了解算法和程序语言的区别;了解程序框图的三种基本逻辑结构,会用程序框图表示简单的常见问题的算法.二、知识清单算法 程序框图三、知识讲解1.算法算法(algorithm)是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 .可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类问题.描述算法可以有不同的方式.例如,可以用自然语言和数学语言加以描述,也可以借助形式语言(算法语言)给出精确的说明,也可以用框图直观地显示算法的全貌.算法的要求:(1)写出的算法,必须能解决一类问题,并且能重复使用;(2)算法过程要能一步一步执行,每一步执行的操作必须确切,不能含混不清,而且经过有限步后能得到结果.下列对算法的理解不正确的是( )A.一个算法应包含有限的步骤,而不能是无限的B.算法中的每一个步骤都应当是确定的,而不应当是含糊的、模棱两可的C.算法中的每一个步骤都应当是有效地执行,并得到确定的结果D.一个问题只能设计出一种算法解:D算法的有限性是指包含的步骤是有限的,故 A 正确;算法的确定性是指每一步都是确定的,故 B正确;算法的每一步都是确定的,且每一步都应有确定的结果,故 C 正确;对于同一个问题可以有不同的算法,故 D 错误.下列叙述能称为算法的的个数为( )描述:2.程序框图程序框图简称框图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.其中,起、止框是任何流程不可少的,表明程序的开始和结束.输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置.算法中间要处理数据或计算,可分别写在不同的处理框内.一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接.如果一个框图需要分开来画,要在断开处画上连接点,并标出连接的号码.①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;②依次进行下列运算:,,,,;③从枣庄乘火车到徐州,从徐州乘飞机到广州;④ ;⑤求所有能被 整除的正整数,即 .A. B. C. D.解:B①、②、③为算法.1+1=22+1=33+1=4⋯99+1=1003x >x +133,6,9,12,⋯2345写出解方程组的一个算法.解:方法一:代入消元法. 第一步,由 得 ;第二步,将 代入 ,得 ,解得 ;第三步,将 代入方程 ,得 ;第四步,得到方程组的解为 .方法二:加减消元法.第一步,方程 两边同乘以 ,得 ;第二步,将第一步所得的方程与方程 作差,消去 ,得 ,解得 ;第三步,将 代入方程 ,得 ,解得 ;第四步,得到方程组的解为 .{2x +y =74x +5y =112x +y =7y =7−2x y =7−2x 4x +5y =114x +5(7−2x )=11x =4x =4y =7−2x y =−1{x =4y =−12x +y =7510x +5y =354x +5y =11y 6x =24x =4x =42x +y =72×4+y =7y =−1{x =4y =−1例题:画程序框图的规则(1)使用标准的图形符号.(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画.(3)除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点.判断框是具有超过一个退出点的惟一符号.(4)判断框分两大类,一类判断框是“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果.(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.算法的三种基本逻辑结构顺序结构:语句与语句之间,框与框之间按从上到下的顺序进行.条件分支结构:在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程条件是否成立有不同的流向,条件结构就是处理这种过程的结构.循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,这就是循环结构.下列程序框图分别是解决什么问题的算法.解:(1)已知圆的半径,求圆的面积的算法.(2)求两个实数加法的算法.执行如图的程序框图,输出的 ______ .解:T =30四、课后作业 (查看更多本章节同步练习题,请到快乐学)某程序框图如图所示,若输出的 ,则判断框内为( )A. B. C. D.解:AS =57k >4?k >5?k >6?k >7?已知函数 ,对每次输入的一个值,都得到相应的函数值,画出程序框图.解:f (x )={2x +3,3−x ,x 2x ⩾0x <0x答案:1. 关于算法的说法中,正确的是 A .算法就是某个问题的解题过程B .算法执行后可以产生不确定的结果C .解决某类问题的算法不是唯一的D .算法可以无限地操作下去不停止C()答案:解析:2. 下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是 A .已知圆的半径求圆的面积B .随意抽 张扑克牌算到二十四点的可能性C .已知坐标平面内两点求直线方程D .加减乘除法运算法则B注意算法需按照一定的顺序进行.()4答案:解析:3. 执行如图所示的程序框图,如果输入的 ,则输出的 属于 .A .B .C .D .D取 ,得输出的 ,即可判断.t ∈[−2,2]S ()[−6,−2][−5,−1][−4,5][−3,6]t =−2S =64. 某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣.计算客户应付货款的算法步骤如下: :输入订单数额 (单位:件);输入单价 (单位:元);:若 ,则折扣率 ;若 ,则折扣率 ;若 ,则折扣率 ;若 ,则折扣率 ;:计算应付货款 (单位:元);:输出应付货款 .S 1x A S 2x <250d =0250⩽x <500d =0.05500⩽x <1000d =0.10x ⩾1000d =0.15S 3T =Ax (1−d )S 4T。
高中数学第一章算法初步-程序框图课件人教版必修三
s p(p - a)(p - b)(p - c)
第四步,输出s
输出s 结束
练习1:任意给定一种正实数,设计一种算法求以 这个数为半径旳圆旳面积,并画出程序框图表达.
解:算法环节为:
程序框图:
开始
第一步,输入圆旳半径 r .
第二步,计算s r2
输入r
第三步,输出s.
计算 s r 2
输出s
结束
例2、写出下列程序框图旳运营成果:
开始 输入a,b
a=2 b=4
S=a/b+b/a
输出S
(1)图中输出S= ;
结束
5/2
练习2:写出下列算法旳功能。
开始
输入a,b
d=a2+b2
c= d
输出c 结束
左图算法旳功能
求两数平方和
是 旳 算术平方根 ;
三、课时小结:
1、掌握程序框旳画法和功能。
2、了解什么是程序框图,懂得学习 程序框图旳意义。
(B)2. 下图形符号表达输入输出框旳是(B )
(C)矩形框
(B) 平行四边形框
(D)(C) 圆角矩形框 (D) 菱形框
(E)3.下图形符号表达处理数据或计算框旳是 A ()
(F)矩形框
(B) 平行四边形框
(G)(C) 圆角矩形框 (D) 菱形框
顺序构 造
开始 输入n
i=2
求n除以i旳余数
循环构造
输入n i=2
求n除以i旳余数
第三步,用i除n,得到余数r.
第四步,判断“r=0”是否成 立.若是,则n不是质数,结束算 法;不然将i旳值增长1,仍用i 表达.
第五步,判断“i>(n-1)”是否 成立.若是,则n是质数,结束算 法;不然返回第三步.
高中数学第1章算法初步1.2流程图讲义苏教版必修3
1.2 流程图1.流程图的概念流程图是由一些图框和流程线组成的,其中图框表示各种操作的类型,图框中的文字和符号表示操作的内容,流程线表示操作的先后次序.2.流程图的图形符号及其应用依次进行多个处理的结构称为顺序结构.顺序结构的形式如图所示,其中A和B两个框是依次执行的.顺序结构是任何一个算法都离不开的最简单、最基本的结构.4.选择结构先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构称为选择结构,也称为分支结构.如图所示,虚线框内是一个选择结构,它包含一个判断框,当条件p成立(或称为“真”)时执行A,否则执行B.思考1:一个选择结构只能有两个执行选项吗?[提示] 一个选择结构只能有两个执行选项.思考2:若有多于两种选项的情况怎样处理?[提示] 可以用多个选择结构嵌套组合来处理.5.循环结构(1)定义:在算法中,需要重复执行同一操作的结构称为循环结构.(2)分类:循环结构分为当型循环和直到型循环.①当型循环:先判断所给条件p是否成立,若p成立,则执行A,再判断条件p是否成立;若p仍成立,则又执行A,如此反复,直到某一次条件p不成立时为止,这样的循环结构称为当型循环.其示意图如图1所示:图1 图2②直到型循环:先执行一次循环体,再判断所给条件是否成立,若不成立,则继续执行循环体,如此反复,直到条件成立时为止,这样的循环结构称为直到型循环.其示意图如图2所示.1.下列对流程图的描述,正确的是( )A.流程图中的循环可以是无止境的循环B.选择结构的流程图有一个入口和两个出口C.选择结构中的两条路径可以同时执行D.循环结构中存在选择结构D[根据选择结构与循环结构的定义可知,A、B、C不正确.D正确.特别提醒:本题易错选B,判断框是一个入口和两个出口,但是选择结构中的两条路径,只能执行其一,不能同时执行,故B不正确.]2.如图所示的流程图的运行结果是________.第2题图第3题图5 2[根据流程图的意义可知,当a=2,b=4时,S=24+42=52.]3.阅读如图所示的流程图,运行相应的算法,输出的结果是________.11 [第一次运行,a=3;第二次运行a=11,11<10不成立,退出.] 4.如图是求实数x的绝对值的算法流程图,则判断框①中可填________.x >0或x ≥0 [根据绝对值定义解答,|x |=⎩⎪⎨⎪⎧x , x ≥0,-x , x <0.]①流程图中的图形符号可以由个人来确定; ②也可以用来执行计算语句; ③输入框只能紧接在起始框之后;④用流程图表示算法,其优点是将算法的基本逻辑结构展现得非常直接.④ [①中框图中的图形符号有严格标准,不能由个人确定;②中只能执行判断语句,不能执行计算语句;③中输入框不一定只能紧接在起始框之后.故①②③不正确,④正确.]1.理解流程图中各框图的功能是解此类题的关键,用流程图表示算法更直观、清晰、易懂.2.起止框用“”表示,是任何流程不可少的,表明程序的开始和结束.3.输入、输出框图用“”表示,可用在算法中任何需要输入、输出的位置,需要输入的字母、符号、数据都填在框内.4.处理框图用“”表示,算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内,另外,对变量进行赋值时,也用到处理框.5.判断框是唯一具有超过一个退出点的图框符号.1.流程图中,符号“”可用于________.(填序号) ①输入;②输出;③赋值;④判断.③ [流程图中矩形方框的功能是赋值和计算.]2.对于流程图的图框符号的理解,下列说法中正确的是________.(填序号) ①输入框、输出框有严格的位置限定; ②任何一个流程图都必须有起止框;③对于一个流程图而言,判断框中的条件是唯一确定的; ④判断框是唯一具有超过一个退出点的图框符号.②④ [任何一个流程图都必须有开始和结束,因此必须有起止框;输入框和输出框可以用在算法中的任意需要输入和输出的位置;判断框中的条件不是唯一的.]思路点拨:对于套用公式型的问题,要注意所给公式中变量的个数及输入、输出部分的设计.先写出算法,再画出对应的流程图.本题可用顺序结构解决.[解] 算法如下: S1 输入a ,b ,h ; S2 S ←12(a +b )·h ;S3 输出S . 流程图如图.应用顺序结构表示算法的步骤(1)仔细审题,理清题意,找到解决问题的方法; (2)梳理解题步骤;(3)用数学语言描述算法,明确输入量,计算过程,输出量; (4)用流程图表示算法过程. 提醒:规范流程图的画法 (1)使用标准的框图符号;(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画,流程线要规范; (3)除判断框外,其他框图符号只有一个进入点和一个退出点; (4)在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚.3.已知x =4,y =2,画出计算w =3x +4y 的值的流程图.[解] 本题可用顺序结构解决,利用流程图的定义及符号之间的联系即可画出流程图. 流程图如图:4.已知一个圆柱的底面半径为R ,高为h ,求圆柱的体积.设计一个解决该问题的算法,并画出相应的流程图.[解] 算法如下: 第一步,输入R ,h . 第二步,计算V ←πR 2h .第三步,输出V . 流程图如图所示:【例3】 设计一个算法,输入x 的值,计算并输出y 的值,且y =⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,1,x =0,x +1,x >0,试画出该算法的流程图.[解] 该函数是分段函数,当给出一个自变量x 的值时,必须先判断x 的范围,然后确定利用哪一段的解析式求对应的函数值.因为解析式分了三段,所以判断框需要两个,即进行两次判断.算法步骤如下: 第一步 输入x ;第二步 若x <0,则y ←-x +1;否则执行第三步; 第三步 若x =0,则y ←1;否则,y ←x +1; 第四步 输出y . 流程图如图所示:1.选择结构是在需要进行分类讨论时所应用的逻辑结构,但是在某些问题中,需要经过几次分类才能够将问题讨论完全,这样就需要选择结构的嵌套.所谓嵌套,是指选择结构内,又套有小的分支,对条件进行两次或更多次的判断.常用于一些分段函数的求值问题.选择结构中算法的流程要根据条件流向不同的方向,此结构中的主要部分是判断框.选择结构的嵌套中可以含有多个判断框.一般地,如果是分三段的函数,需要引入两个判断框;如果是分四段的函数,需要引入三个判断框…以此类推.其流程图如图所示.2.在选择结构中,反映的是“先判断,后执行”的思想.选择结构的两个分支在写算法时实质上是一个步骤,不能写成两个步骤.如果一个分支中还有两个子分支,这时有两种处理方法:(1)直接嵌套在这一步中; (2)用“转到”某一步.提醒:根据分段函数,设计算法流程图时,必须引入判断框,运用选择结构,当题目出现多次判断时,一定要先分清判断的先后顺序,再逐层设计流程图.5.如图所示的流程图,若输入的x的值为0,则输出的结果为________.1 [这是一个嵌套的选择结构,当输入x=0时,执行的是y←1,即y=1.故输出的结果为1.]6.设计一个求解一元二次方程ax2+bx+c=0的算法,并画出流程图.[解] 依据求解一元二次方程的方法步骤设计算法,算法步骤如下:S1 输入3个系数a,b,c;S2 计算Δ←b2-4ac;S3 判断Δ≥0是否成立.若是,则计算p←-b2a,q←Δ2a;否则,输出“方程没有实数根”,结束算法;S4 判断Δ=0是否成立.若是,则输出x1=x2=p;否则,计算x1←p+q,x2←p-q,并输出x1,x2.流程图如图所示:[1.循环结构有哪两种形式?[提示] 循环结构有当型循环结构和直到型循环结构两种常见形式.2.当型循环结构和直到型循环结构有何区别?[提示] 当型循环结构与直到型循环结构的区别为当型循环结构首先进行条件的判断,然后再执行循环体,而直到型循环结构是先执行一次循环体,然后再进行条件的判断.3.当型循环结构和直到型循环结构是否可以相互转化?[提示] 这两种循环结构可以相互转化,需要注意的是,两者相互转化时,所满足的条件不同.【例4】指出图中流程图的功能.如果用的是循环结构,则写出用的是哪一种循环结构,并画出用另一种循环结构表示的流程图.思路点拨:依据当型循环和直到型循环的结构特征判断、改写.图中是先执行再判断,故采用的直到型循环结构,可用当型循环结构改写.[解] 题图所示的是计算12+22+32+…+992的值的一个算法的流程图,采用的是直到型循环结构,可用当型循环结构表示,如图所示:1.读如图所示的流程图,完成下面各题:(1)循环体执行的次数是________.(2)输出的结果为________.(1)49 (2)2 450 [(1)∵i←i+2,∴当2n+2≥100时循环结束,此时n≥49.(2)S=0+2+4+6+…+98=2 450.]2.指出图中流程图的功能,如果是循环结构,指出是哪一种循环结构,并画出用另一种循环结构表示的流程图.[解] 依据当型循环和直到型循环结构的特征判断改写.此流程图的功能是计算1×3×5×7×…×97的值.是当型循环结构,可用直到型循环结构表示,如图所示:1.循环结构主要用于解决有规律的重复计算问题,如累加求和、累乘求积等.如果算法问题里涉及的运算进行了多次重复的操作,且先后参与运算的各数之间有相同的变化规律,就可以引入循环变量参与运算,构成循环结构.2.要用好循环结构,需要注意三个环节:(1)确定循环变量和初始值,初始值的确定要结合具体问题,这是循环的基础;(2)确定循环体,循环体是算法中反复执行的部分,是循环进行的主体;(3)确定终止循环的条件,因为一个算法必须在有限步骤内完成.3.转化与化归思想在循环结构中有重要应用.循环结构的两种形式,当型循环结构与直到型循环结构可以相互转化,需要注意的是,相互转化时所满足的判断条件不同.1.本节课的重难点是理解流程图的作用,能用顺序结构,选择结构,循环结构书写算法.2.含条件结构问题的求解策略(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则,分析功能;(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输入或输出的值;(3)明确要判断的条件是什么,判断后的条件对应着什么样的结果.3.利用循环结构表示算法的步骤利用循环结构表示算法,第一要先确定是利用当型循环结构,还是直到型循环结构;第二要选择准确的表示累计的变量;第三要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体.1.任何一种算法都离不开的基本结构为( )A.顺序结构B.选择结构C.循环结构D.顺序结构和选择结构A[顺序结构是最简单、最基本的结构,是任何一个算法都离不开的基本结构.]2.下列关于流程线的说法,不正确的是( )A.流程线表示算法步骤执行的顺序,用来连接图框B.流程线只要是上下方向就表示自上向下执行,可以不要箭头C.流程线无论什么方向,总要按箭头的指向执行D.流程线是带有箭头的线,它可以画成折线B[依据流程线的画法及其功能判断,A、C、D正确,B不正确.]3.根据所给流程图,当输入x=10时,输出的y的值为________.14.1 [由流程图可知,该流程图的作用是计算分段函数y =⎩⎪⎨⎪⎧1.2x , x ≤7,.9x -4.9, x >7的函数值.当输入x =10时,输出的y 值为1.9×10-4.9=14.1.]4.设计求1+3+5+7+…+99的算法,并画出相应的流程图.[解] 这是求50个数和的一道题,多次求和,可以利用循环结构完成.用变量S 存放求和的结果,变量I 作为计数变量,每循环一次,I 的值增加2.算法如下: S1 S ←0; S2 I ←1;S3 如果I ≤99,那么转S4,否则转S6; S4 S ←S +I ; S5 I ←I +2,转S3; S6 输出S . 流程图如图所示:。
高中数学必修3第一章算法初步课
赋值、计算.
思考3:已知函数 y=x3+3x2-24x+30, 求自变量x对应的函数值的算法步骤 如何设计? 第一步,输入一个自变量x的值. 第二步,计算y=x3+3x2-24x+30. 第三步,输出y.
开始
输入x y=x3+3x2-24x+30
思考4:该算法是什么逻辑结构? 其程序框图如何?
输出y 结束
程序:
INPUT a,b,c
(1)
y=(a+b+c)/3 PRINT y END
(2)
INPUT “Chinese,Maths,English=”;a,b,c y=(a+b+c)/3 PRINT “The average=”;y END
INPUT a INPUT b
(3)
INPUT c PRINT “The average=”;(a+b+c)/3 END INPUT “Chinese=”;a INPUT “Maths=”;b INPUT “English=”;c PRINT “The average=”;(a+b+c)/3 END
PRINT END A ,B
例3、写出计算一个学生语文、数学、英语 三门课的平均成绩的算法、程序框图和程序. 算法分析:
第一步,输入该学生数学、 语文、英语三门课的成绩. a + b+ c 第二步,计算 y = 3 第三步,输出y. 程序框图:
开始
输入a,b,c
a + b+ c y= 3
输出y 结束
1.2 基本算法语句
第一课时 输入语句、输出语句和赋值语句
思考1:在算法的程序框图中,输入框与输 出框是两个必要的程序框,我们用什么图 形表示这个程序框?其功能作用如何?
人教版高中数学必修三课件:第一章 算法初步(共25张PPT)
当型循环在每次执行循环体前对循环条件进行判 断,当条件满足时执行循环体,不满足则停止;(当条 件满足时反复执行循环体)
循环体
满足条件?
是
否
Until(直到型)循环
循环体
满足条件?
是 否
While(当型)循环 17
练习: 1.就逻辑结构,说 出其算法功能.
开始
2.此为某一函数的求值程序 图,则满足该流程图的函数 解析式为( ).
6
(2)构成程序框图的图形符号及其作用
终端框 (起止框) 输入、 输出框
表示一个算法的起始和结束
表示一个算法输 入和输出的信息
处理框
赋值、计算
(执行框)
判断某一条件是否成立,成
判断框
立时在出口处标明“是” 或“Y”,不成立时标明“否”
或“N”.
流程线
连接程序框
连结点
连接程序框图的两部分
7
6
开始
顺
(3)程序设计语言 1.2基本算法语句中讲解
4
算法初步
§1.1.2 程序框图
5
二、新课
1、程序框图 (1)程序框图的概念
程序框图又称流程图,是一种用规定的 程序框、流程线及文字说明来准确、直观地 表示算法的图形。
在程序框图中,一个或几个程序框的组 合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的 流程线将程序框连接起来,表示算法步骤的 执行顺序。
k 8 _________?_____
k=10 , s=1
是
s=s×k k=k-1
第7题图
否
输出s 结束
25
1
讲授新课
1.算法的定义
在数学中,算法通常是指按照一定规则 解决某一类问题的明确和有限的步骤.现在, 算法通常可以编成计算机程序,让计算机执 行并解决问题.
高中数学必修三:知识点
必修3:知识点一:算法初步 1:算法的概念(1)算法概念:通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. (2)算法的特点:①有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. ②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果。
③顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题. ④不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,但是答案是唯一的。
⑤普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决。
2: 程序框图(1)程序框图基本概念:①程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
3:算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
(1)顺序结构:顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来, 按顺序执行算法步骤。
如在示意图中,A 框和B 框是依次执行的,只有在 执行完A 框指定的操作后,才能接着执行B 框所指定的操作。
(2)条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的 算法结构。
高中数学必修3《算法初步》知识点讲义
第一章算法初步一.算法的概念1.算法的概念1、算法定义:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.2.算法的特点 :(1) 有穷性:一个算法在执行有限个步骤之后,必须结束.(2) 确定性:算法的每一个步骤和次序应该是确定的.(3) 可行性:原则上算法能够精确地元算,而且人们用笔和纸做有限次即可完成.(4) 不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.(5) 输出:一个算法有0 个或多个输入,以刻画运算对象的初始条件. 所谓0 个输入是指算法本身已经给出了初始条件 .(6) 输出:一个算法有 1 个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果,没有输出的算法是毫无意义的.3.算法的描述:自然语言、程序框图、程序语言。
例 1、写出 1× 2× 3× 4× 5×6 的一个算法 .解 : 按照逐一相乘的程序进行第一步 : 计算 1×2, 得到 2;第二步 : 将第一步的运算结果2与 3相乘,得到 6;第三步 :将第二步的运算结果6与 4相乘,得到 24;第四步 :将第三步的运算结果24与5相乘,得到 120;第五步 :将第四的运算结果120 与 6 相乘 , 得到 720;第六步 :输出结果 .例 2、写出按从小到大的顺序重新排列x, y, z 三个数值的算法.解 : (1) . 输入x, y, z三个数值;(2) . 从三个数值中挑出最小者并换到x 中;(3) . 从y, z中挑出最小者并换到y中;(4) . 输出排序的结果 .二.程序框图1、程序框图基本概念:(一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
必修知识点总结:第一章算法初步
1、程序框图基本概念:
(一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表
示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用
程起始和结束,是任何流程图不可少 的。
必修知识点总结:第一章-算法 初步
———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期:
1.1.1 算法的概念
高中数学必修 3 知识点总结
第一章 算法初步
1、算法概念:
在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步
式 式;(5)提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。
2、输出语句
(1)输出语句的一般格式
PRINT“提示内容”;表达式
图形 计算
Disp “提示内容”,变量
(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;(3)“提示内容”提示用户输入什么样的信息,表达式是
3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就
是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,
循环结构可细分为两类:
(1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后,
骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的.
高中数学必修三算法初步知识点讲解-教育文档
高中数学必修三算法初步知识点讲解一、考点(必考)概要:1、算法的概念:①由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或者是按照要求设计好的有限的计算序列,并且这样的步骤或序列能解决一类问题。
②算法的五个重要特征:ⅰ有穷性:一个算法必须保证执行有限步后结束;ⅱ确切性:算法的每一步必须有确切的定义;ⅲ可行性:算法原则上能够精确地运行,而且人们用笔和纸做有限次即可完成;ⅳ输入:一个算法有0个或多个输入,以刻划运算对象的初始条件。
所谓0个输入是指算法本身定出了初始条件。
ⅴ输出:一个算法有1个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果。
没有输出的算法是毫无意义的。
2、程序框图也叫流程图,是人们将思考的过程和工作的顺序进行分析、整理,用规定的文字、符号、图形的组合加以直观描述的方法(1)程序框图的基本符号:(2)画流程图的基本规则:①使用标准的框图符号②从上倒下、从左到右③开始符号只有一个退出点,结束符号只有一个进入点,判断符号允许有多个退出点④判断可以是两分支结构,也可以是多分支结构⑤语言简练⑥循环框可以被替代3、三种基本的逻辑结构:顺序结构、条件结构和循环结构(1)顺序结构:顺序结构描述的是是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
(2)条件结构:分支结构的一般形式两种结构的共性:①一个入口,一个出口。
特别注意:一个判断框可以有两个出口,但一个条件分支结构只有一个出口。
②结构中每个部分都有可能被执行,即对每一个框都有从入口进、出口出的路径。
以上两点是用来检查流程图是否合理的基本方法(当然,学习循环结构后,循环结构也有此特点)(3)循环结构的一般形式:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:①如左下图所示,它的功能是当给定的条件成立时,执行A 框,框执行完毕后,再判断条件是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行框,直到某一次条件不成立为止,此时不再执行A框,从b离开循环结构。
高三数学必修三算法初步要点归纳
高三数学必修三算法初步要点归纳以下是作者为大家整理的关于《高三数学必修三算法初步要点归纳》的文章,供大家学习参考!(1)算法的含义、程序框图①通过对解决具体问题进程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。
②通过仿照、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的进程。
在具体问题的解决进程中(如三元一次方程组求解等问题),知道程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环。
(2)基本算法语句:经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的进程,知道几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想。
(3)通过浏览中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的奉献。
2. 统计(约16课时)(1)随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境,知道随机抽样的必要性和重要性。
③在参与解决统计问题的进程中,学会用简单随机抽样方法从整体中抽取样本;通过对实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法。
④能通过实验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
(2)用样本估计整体①通过实例体会散布的意义和作用,在表示样本数据的进程中,学会列频率散布表、画频率散布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1),体会它们各自的特点。
②通过实例知道样本数据标准差的意义和作用,学会运算数据标准差。
③能根据实际问题的需求公道地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特点(如平均数、标准差),并作出公道的说明。
④在解决统计问题的进程中,进一步体会用样本估计整体的思想,会用样本的频率散布估计整体散布,会用样本的基本数字特点估计整体的基本数字特点;初步体会样本频率散布和数字特点的随机性。
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计整体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为公道的决策提供一些根据,认识统计的作用,体会统计思维与肯定性思维的差异。
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第一章算法初步
一.算法的概念
1.算法的概念
1、算法定义:在数学上,现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程
序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有穷性:一个算法在执行有限个步骤之后,必须结束.
(2)确定性:算法的每一个步骤和次序应该是确定的.
(3)可行性:原则上算法能够精确地元算,而且人们用笔和纸做有限次即可完成.
(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法.
(5)输出:一个算法有0个或多个输入,以刻画运算对象的初始条件.所谓0个输入是指算法本身已经给出了初始
条件.
(6)输出:一个算法有1个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果,没有输出的算法是毫无意义的.
3.算法的描述:自然语言、程序框图、程序语言。
例1、写出1×2×3×4×5×6的一个算法.
解:按照逐一相乘的程序进行
第一步:计算1×2,得到2;
第二步:将第一步的运算结果2与3相乘,得到6;
第三步: 将第二步的运算结果6与4相乘,得到24;
第四步: 将第三步的运算结果24与5相乘,得到120;
第五步: 将第四的运算结果120与6相乘,得到720;
第六步:输出结果.
例2、写出按从小到大的顺序重新排列,,
x y z三个数值的算法.
解:(1).输入,,
x y z三个数值;
(2).从三个数值中挑出最小者并换到x中;
(3).从,y z中挑出最小者并换到y中;
(4).输出排序的结果.
二.程序框图
1、程序框图基本概念:
(一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。
(二)构成程序框的图形符号及其作用
程序框名称功能
起止框
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图
不可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算
法中任何需要输入、输出的位置。
处理框赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标
明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:
1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
(三)、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构:
2、条件结构:
开始 输入x
x ≥0?
N
Y
21y x =- 21
y x =-输出y
结束
步骤n
步骤n+1
3、循环结构:
注意:1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。
因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环”。
2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。
计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。
计数变量和累加变量一般是同步执行的,累加一次,计数一次。
例、设计一个计算1+2+3+……+100的值得算法,并画出程序框图。
三.输入、输出语句和赋值语句
1、输入语句
2、输出语句
3、赋值语句
四.条件语句
1、条件语句的一般格式有两种:(1)IF —THEN —ELSE 语句;(2)IF —THEN 语句。
2、IF —THEN —ELSE 语句 IF —THEN —ELSE 语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。
图1 图2
3、IF —THEN 语句 IF —THEN 语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。
图形计算器
格式
INPUT “提示内容”;变量
INPUT “提示内容”,变量
PRINT “提示内容”;表达式
图形计算器
格式
Disp “提示内容”,变量
变量=表达式
图形计算器
格式
表达式 变量
IF 条件 THEN
语句1 ELSE
语句2 END IF
否
是 满足条件?
语句1
语句 2
满足条件?
语句
是
否
(图4)
IF 条件 THEN
语句 END IF
(图3)
五.循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。
对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。
即WHILE 语句和UNTIL 语句。
1、WHILE 语句
WHILE 语句的一般格式是 对应的程序框图是
2、UNTIL 语句
UNTIL 语句的一般格式是 对应的程序框图是
六.算法案例
1、辗转相除法与更相减损术
(1)、辗转相除法。
也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下: (1):给定两个正整数m ,n ; (2):计算m 除以n 所得的余数r ; (3):m=n ,n=r ;
(4)若r=0,则m ,n 的最大公约数等于m ;否则,返回第二步。
WHILE 条件
循环体 WEND
满足条件?
循环
否
是
满足条件?
循环
是
否
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
(2)、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。
在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母•子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
翻译为:(1):任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。
若是,用2约简;若不是,执行第二步。
(2):以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减小数。
继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。
2、秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念:f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0求值问题
把一个n次多项式f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0改写成如下形式:
f(x)=a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0
=( a n x n-1+a n-1x n-2+….+a1)x+a0
=(( a n x n-2+a n-1x n-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......
=(...( a n x+a n-1)x+a n-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1=a n x+a n-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+a n-2 v3=v2x+a n-3 ...... v n=v n-1x+a0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
54320123455()52 3.5 2.6 1.70.8.5()=((((52) 3.5) 2.6) 1.7)0.8.5;
55227;275 3.5138.5;138.55 2.6689.9;689.95 1.73451.2;3451.250.81f x x x x x x x f x x x x x x v v v v v v =++-+-=++-+-==⨯+==⨯+==⨯-==⨯+==⨯-=例1、已知一个次多项式为用秦九韶算法求这个多项式当时的值.7255.2.
=517255.2.
x 所以,当时,多项式的值等于
例2、
例3、
3、进位制
概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。
可使用数字符号的个数称为基数,基
数为n ,即可称n 进位制,简称n 进制。
现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。
对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。
比如:十进数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。
一般地,若k 是一个大于一的整数,那么以k 为基数的k 进制可以表示为:110()
110...(0,0,...,,)n n k n n a a a a a k a a a k --<<≤<,
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数
⑴把十进制转化为别的进制
89例、把化为二进制.
⑵把别的进制转化为十进制
(2)543210
(2)121202021212321621
51
=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+++=例、把二进110011制化为十进制.
110011
⑶把别的进制转化为别的进制
→→别的进制十进制别的进制
()2=.把上式中个步所得的余数从下到上排列,得到891011001。