湖北高考文科数学试题含答案(Word版)
2019年湖北省高考文科数学试卷及答案【word版】
湖北高考文科数学试题含答案Word版
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，则U A =ð A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i-=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠”的否定是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．若变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p << D ．312p p p <<6．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆybx a =+，则A ．0a >，0b <B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}-D. {21,3}--10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为 件.12．若向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=， 则||AB = .13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知π6A =，a =1，b = B = . 14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为9，则输出S 的值为 .第14题图15．如图所示，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，则正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.（Ⅰ）如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型，5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ）b =； （Ⅱ）λ= .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.第15题图19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ， 1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN .21．（本小题满分14分）π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12． 13．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100 17．（Ⅰ）12-；（Ⅱ）12三、解答题：18．（Ⅰ）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=-=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.（Ⅱ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤. 当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+， 化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20．证明：（Ⅰ）连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）如图，连接AC ，BD ，则AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥. 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥. 因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PNMN N =，所以直线1AC ⊥平面PQMN .21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得第20题解答图QBEM NACD 1C F 1D1A1BPe e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>； 由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．22．（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③ （ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点. 当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点. 综合（1）（2）可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。
2019年湖北文数高考试题文档版(含答案解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2－3B ．－2+3C ．2－3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学(湖北文科)(word版)含答案
2008 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共 4 页，满分150 分，考试时间120 分钟.★祝考试顺利★注间事项：1.答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上指定地点2. 选择题每题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题用0.5 毫米的黑色墨水署名笔答在答题卡上每题对应的答题地区内，答在试题卷上无效 .4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .1.设a (1, 2), b ( 3,4), c (3,2), 则 (a 2b)gcA. ( 15,12)B.0C.-3D.-112. (2 x3 1 ) 的睁开式中常数项是2x2105 1A.210 D.-105B. C.2 43.若会合P {1,2,3,4}, Q { x 0 x 5, x R}, 则A. “ x R ”是“x Q ”的充足条件但不是必需条件B. “ x R ”是“x Q ”的必需条件但不是充足条件C. “x R ”是“x Q ”的充要条件D. “x R ”既不是“x Q”的充足条件也不是“x Q ”的必需条件4.用与球必距离为 1 的平面去截面面积为，则球的体积为A. 32 8C. 8 28 2 3B. D.335.在平面直角坐标系xOy 中，知足不等式组x y ,x p 1的点 (x, y) 的会适用暗影表示为以下图中的6.已知f (x)在 R 上是奇函数，且 f (x 4) f (x),当 x (0, 2)时， f (x) 2x2 , 则f (7)A.-2B.2C.-98D.987.将函数y sin( x ) 的图象F向右平移个单位长度获得图象 F′，若 F′的一条对称3轴是直线 x , 则的一个可能取值是5 15 11 11C.A. B.12 D.121 12 128. 函数f ( x) 1n( x2 3x 2) x2 3x 4 的定义域为xA. ( , 4][2, )B. ( 4,0) (0,1)C. [ 4,0)(0,1]D. [ 4,0) (0,1]9.从 5 名男生和 5 名女生中选 3 人组队参加某集体项目的竞赛，此中起码有一名女生当选的组队方案数为A.100B.110C.120D.18010.以下图，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球邻近一点P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞翔，以后卫星在P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞翔，最后卫星在P 点第三次变轨进入以 F 为圆形轨道Ⅲ绕月飞翔，若用2c1和 2c2分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I 和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：① a1 c1 a2 c2; ② a1 c1 a2 c2 ; ③ c1a2 a1c2 ; ④c1 c2 . 此中正确式子的序号是a1 a2A. ①③B. ②③C.①④D. ②④二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分，把答案填在答题卡相应地点上.11. 一个企业共有 1 000 名职工， 下设一些部门， 要采纳分层抽样方法从全体职工中抽取一个 容量为 50 的样本，已知某部门有 200 名职工，那么从该部门抽取的工人数是 . 12. 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ，B ， C 所对的边，已知 a3, b 3, c 30 , 则A ＝.13.方程 2 x x 23的实数解的个数为.14. 明日上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己， 假定甲闹钟准时响的概率是 0.80，乙闹钟准时响的概率是 0.90，则两个闹钟起码有一准时响 的概率是.x 3 4cos ,，和圆 C 对于直线15.圆 C2 4sin ( 为参数 ) 的圆心坐标为 yx y 0 对称的圆 C ′的一般方程是.三、解答题：本大题共6 分小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满 12 分）已知函数 f ( x) sin xcosxcos 2x2.2 2 2（Ⅰ）将函数 f (x) 化简成 Asin( x) B(A 0,0,[0,2 )) 的形式，并指出f ( x) 的周期；（Ⅱ）求函数f ( x)在[ ,17] 上的最大值和最小值1217.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x)x 3 mx 2 m 2 x 1 （ m 为常数，且 m>0）有极大值 9.（Ⅰ）求 m 的值；（Ⅱ）若斜率为 -5 的直线是曲线 yf (x) 的切线，求此直线方程.18.（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1 中，平面 A 1 BC侧面 A 1 ABB 1.（Ⅰ）求证：ABBC ;（Ⅱ）若AA 1AC a，直线AC与平面A 1BC所成的角为，二面角A 1BCA 的大小为, 求证：2.19.（本不题满分 12 分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两 个矩形栏目（即图中暗影部分） ，这两栏的面积之和为 18000cm 2,周围空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，如何确立广告的高与宽的尺寸（单位： cm），能使矩形广告面积最小？20（本小题满分13 分）已知双同线x2 y 2的两个焦点为 F : ( 2,0), F : (2,0), 点 P(3, 7) C :a2 b21(a0, b 0)的曲线 C 上.（Ⅰ）求双曲线 C 的方程；（Ⅱ）记 O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 订交于不一样的两点E、F，若△OEF 的面积为22, 求直线l的方程21.（本小题满分14 分）已知数列{ a n} 和{ b n }知足： a1 , an 1 2a xn 4n , b n ( 1)n (a n 3n 21) ,其3中为实数， n 为正整数.（Ⅰ）证明：当18时，数列 { b n } 是等比数列；（Ⅱ）设 S n为数列 { b n } 的前n项和，能否存在实数，使得对随意正整数n，都有S n12? 若存在，求的取值范围；若不存在，说明原因.2008 年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）试题参照答案一、选择题：此题考察基础知识和基本运算 .第小题 5 分，满分 50 分 .1.C2.B3.A4.D5.C6.A7.A8.D 9.B10.B二、填空题：此题考察基础知识和基本运算，第小题 5 分，满分 25 分.11.1012.30°（或） 13.2615.（ 3，－ 2），（ x ＋ 2） 2＋（ y － 3） 2＝ 16（或 x 2＋ y 2＋4x － 6y － 3＝ 0）三、解答题：此题共 6 小题，共 75 分.16.本小题主要考察三角函数的恒等变换、周期性、单一性和最值等基本知识和运算能力.（满分 12 分）1 1 cos x 13 2 sin( x 3 解： (Ⅰ )f(x)= sinx+22(sin x cos x)22 4).222故 f(x)的周期为 2k π｛ k ∈Z 且 k ≠0｝ .(Ⅱ )由 π≤x ≤17π ，得5x45 .因为 f(x)＝2sin( x) 3 在 [ , 5]124324 2 4上是减函数，在 [5, 17]上是增函数 .412故当 x=5时， f(x)有最小值－32；而 f(π )=－ 2， f(17π)＝－6 6＜－2，42124因此当 x=π 时， f(x)有最大值－ 2.17.本小题主要考察应用导数研究函数性质的方法和基本运算能力解： (Ⅰ ) f ’(x) ＝ 3x 2+2mx －m 2=(x+m)(3 x － m)=0, 则 x=－ m 或x= 13.（满分 12 分）m,当 x 变化时， f ’(x)与 f(x) 的变化状况以下表：x( －∞ ,－ m)－ m(－ m, 1m )1 m( 1m ,+∞ )333f ’(x) +0 －0 +f (x)极大值极小值进而可知，当 x=－ m 时，函数 f(x)获得极大值 9，即 f(－m)＝－ m 3+m 3+m 3+1=9, ∴ m ＝2. (Ⅱ )由 (Ⅰ )知， f(x)= x 3+2x 2－ 4x+1,依题意知 f ’(x) ＝3x 2＋ 4x － 4＝－ 5，∴ x ＝－ 1 或 x ＝－ 1. 3又 f(－1)＝ 6， f(－ 1 )＝68，327因此切线方程为 y － 6＝－ 5(x ＋ 1),或 y － 68＝－ 5(x ＋ 1)，273即 5x ＋ y － 1＝ 0，或 135x ＋27y － 23＝0.18.本小题主要考察线面关系、 直线与平面所成角、 二面角等相关知识， 考察空间想象能力和推理论证能力.（满分 12 分）(Ⅰ )证明：如右图，过点 A 在平面 A 1ABB 1 内作 AD ⊥ A 1B 于 D ，则由平面 A 1BC ⊥侧面 A 1ABB 1,且平面 A 1BC ∩侧面 A 1ABB 1＝A 1B ，得 AD ⊥平面A 1 BC.又 BC 平面 A 1BC 因此 AD ⊥ BC.因为三棱柱 ABC － A 1B 1C 1 是直三棱柱 , 则 AA 1⊥底面 ABC,因此 AA 1⊥ BC.又 AA 1∩ AD =A,进而 BC ⊥侧面 A 1ABB 1,又 AB 侧面 A 1ABB 1， 故 AB ⊥BC.(Ⅱ )证法 1：连结 CD,则由 (Ⅰ )知∠ ACD 就是直线 AC 与平面 A 1BC 所成的角，∠ ABA 1 就是二面角 A 1 －BC － A 的颊角，即∠ ACD ＝ θ，∠ ABA 1 = .于是在 RtADC 中， sin θ=ADAD,在 Rt ADA 1 中， sin ∠AA 1D ＝AD AD,ACaAA 1 aθ1θ1θ1∴ sin =sin ∠ AA D ,因为 与∠ AA D 都是锐角，因此 ＝∠ AA D. 又由 Rt A 1 AB 知，∠ AA 1 D ＋ ＝∠ AA 1B ＋ ＝ ，故 θ＋ ＝ .22x 轴、 y证法 2：由 (Ⅰ )知，以点 B 为坐标原点，以 BC 、 BA 、 BB所在的直线分别为1轴、 z 轴，成立以下图的空间直角坐标系.设 AB =c （c ＜ a ＝，则 B(0,0,0) ， A(0,c,0)， C( a 2 c 2 ,0,0 ),A 1(0,c,a) ，于是 BC( a 2 c 2 ,0,0) ， BA 1 ＝（ 0， c,a ） ,AC ( a 2 c 2 , c,0) AA 1c,a 设平面 A 1BC 的一个法向量为n=(x,y,z),n ? BA 10, cy az0,则由得c 2 xn ? BC0,a 20.可取 n ＝（ 0，－ a ， c ），于是n · AC =ac ＞ 0， AC 与 n 的夹角 为锐角 ,则 与 互为余角sin =cos =n ? AC(0,a,c) ? ( a 2c 2 , c,0)c ,a2c2 ?(a2c 2 ) c 2a 2| n | ? | AC |c 2BA 1 ? BA( 0, a,c) ? (0,0, a)c,cos =a 2c 2 ? aa 2c 2|BA 1 |?| BA|因此 sin =cos =sin(2),又0＜，＜，因此 += .2219.本小题主要考察依据实质问题成立数学模型，以及运用函数、不等式等知识解决实质问题的能力 .（满分 12 分）解法 1：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则 ab=9000. ①广告的高为 a+20 ，宽为 2b+25 ，此中 a ＞0， b ＞ 0.广告的面积S＝ ( a+20)(2 b+25)＝2ab+40b+25a+500＝ 18500+25a+40b≥ 18500+2 25a ? 40b =18500+ 1000 ab 24500.当且仅当 25a＝ 40b 时等号成立，此时b= 5a ,代入①式得 a=120，进而 b=75. 8即当 a=120，b=75 时 ,S获得最小值 24500.故广告的高为 140 cm, 宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 .解法 2：设广告的高为宽分别为x cm， y cm，则每栏的高和宽分别为x－ 20，y 25,此中2x＞ 20， y＞ 25两栏面积之和为 2(x－ 20) y25 18000 ,由此得y= 18000 25,2 x 20广告的面积 S=xy=x( 1800025 )＝18000 25 x,整理得S= 360000 x 20 x 20 25(x 20) 18500.x 20因为 x－ 20＞ 0，因此 S≥2 36000025( x 20) 18500 24500 . x 20当且仅当 360000 25( x 20) 时等号成立，x 20此时有 (x－ 20)2＝ 14400( x＞20)，解得 x=140，代入 y= 18000+25,得 y＝ 175，x 20即当 x=140， y＝ 175 时， S 获得最小值24500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小 .20.本小题主要考察双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线地点关系等平面分析几何的基础知识，考察待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力. （满分 13 分）(Ⅰ )解法 1：依题意，由x2 y 21 （0＜a2＜4＝，a2+b2=4，得双曲线方程为4 a 2a 2将点（ 3，7）代入上式，得9 71 .解得 a2=18 （舍去）或 a2＝ 2，a 2 4 a 2故所求双曲线方程为x2 y 21.2 2解法 2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.2a=|PF 1|－ |PF 2|= (3 2)2 ( 7 ) 2 (3 2)2 ( 7)2 2 2 , ∴ a2 =2， b2=c2－ a2=2.∴双曲线 C 的方程为x2 y 2 1.2 2(Ⅱ )解法 1：依题意，可设直线l 的方程为 y=kx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得 (1－ k2)x2－ 4kx－ 6=0.∵直线 I 与双曲线 C 订交于不一样的两点E、 F,1 k2 0, k 1,∴2 2＞，＜ k＜3,( 4k ) 4 6(1 k ) 0 3∴k∈ (－3, 1 )∪ (1, 3 ).设 E(x1 ,y1),F(x2,y2) ，则由①式得 x1 +x 2= 4k 2 , x1x216 2 ,于是1 k k |EF|= ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 (1 k 2 )( x1 x2 ) 2= 1 k 2( x1 x2 ) 2 4x1 x2 1 k 22 23 k 2? ?| 1 k 2 |而原点 O 到直线 l 的距离 d＝2 ,1 k 2∴ S OEF = 1d?| EF | 1?2 ? 1 k 2 ? 2 23 k 2 2 2 3 k 2 .2 2 1 k 2 |1 k 2 | |1 k 2 |若S OEF＝2 2，即22 3 k 2 2 2 k 4 k 2 2 0, 解得k=± 2 , | 1 k2 |知足② .故知足条件的直线l 有两条，其方程分别为y= 2x 2 和 y 2x 2. 解法 2：依题意，可设直线l 的方程为 y=kx+2, 代入双曲线 C 的方程并整理，得 (1－ k 2)x 2－ 4kx － 6＝ 0.①∵直线 l 与比曲线 C 订交于不一样的两点 E 、 F ，1 k 20,k1,∴22＜ k ＜( 4k ) 4 6(1 k ＞ ，3.) 03 ∴ k ∈ (－ 3, 1 )∪ (1, 3 ).②设 E(x 1,y 1),F(x 2,y 2) ，则由①式得|x 1－ x 2|＝ ( x 1 x 2 ) 24x 1 x 22 23 k 2|1 k 2 ||1 k 2 .③|当 E 、 F 在同一支上时（如图 1 所示），S OEF ＝ |S OQF －S OQE |=1| x 2 ||1x 2 | ；| OQ | ?|| x 1 | | OQ | ?| x 122当 E 、 F 在不一样支上时（如图 2 所示），S OEF ＝ S OQF ＋S OQE ＝1| x 2 |)1x 2 | .| OQ | ?(| x 1 || OQ | ?| x122综上得 S OEF ＝ 1| OQ | ? | x 1x 2 |，于是2由|OQ|＝2 及③式，得 S OEF ＝2 23 k 2 .|1 k 2 |若S OEF ＝2 2，即22 3 k 22 2k 4 k 22 0 ,解得 k=±2 ,知足② .| 1 k 2 |故知足条件的直线 l 有两条，基方程分别为y= 2x 2 和 y= 2 2.21.本小题主要考察等比数列的定义、数列示和、不等式等基础知识和基本的运算技术，考 查剖析问题能力和推理能力.（满分 14 分）(Ⅰ )证明：假定存在一个实数n2a 1 a 2 ,即，使｛ a ｝是等比数列，则有a 2（23）2= 4 4 4 2 4 9 4 2 4 9 0,矛盾.93 9 9因此｛ a n｝不是等比数列 .（Ⅱ）证明：∵ b n 1 ( 1)n 1[ a a 1 3{ n 1} 21] ( 1)n 1( 2 a n 2n 14)2 (2b n.3 1),( a n 3n 21)3 3又18, b1 ( 18) 0. 由上式知 b n 0, b n 1 2(n N n ),b n 3故当18,时，数列｛b n｝是以（+18）为首项，2为公比的等比数列 .2 3（Ⅲ）当18时，由（Ⅱ）得b n ( 18)g( )n 1 , 于是3 (2) n ],3S n 18)g[1 (5 3当18 时， b n 0 ，进而 S n 0. 上式仍成立 .要使对随意正整数n , 都有 S n 12.即 3 g ( 2 n ] 12 20 18.18) [125 3 1 ( ) n3令 f ( n) 1 (2)n ,则3 5: 当n为正偶数时， 5当 n 为正奇数时，1 f (n) f (n) 1,53 9f (n)的最大值为 f (1).33于是可得20 18 6.5综上所述，存在实数，使得对随意正整数n ，都有 S n12;的取值范围为(, 6).高考数学(湖北文科)(word版)含答案11 / 11。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题及参考答案（湖北文1）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则U B A =I ð A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}【湖北文1解答】B U B A =I ð}.4,3{}5,4,3{}4,3,2{=I （湖北文2）已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等【湖北文2解答】D 在双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=中，都有1cos sin 222=+=θθc ，即焦距相等. 甲（湖北文3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A ．()p ⌝∨()q ⌝B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q【湖北文3解答】A 因为p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则p -是“没有降落在指定范围”，q -是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()p ⌝∨()q ⌝ .（湖北文4）四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：① y 与x 负相关且$2.347 6.423y x =-； ② y 与x 负相关且$3.476 5.648y x =-+； ③ y 与x 正相关且$5.4378.493y x =+； ④ y 与x 正相关且$ 4.326 4.578y x =--. 其中一定不正确．．．的结论的序号是 A ．①② B ．②③C ．③④D ． ①④【湖北文4解答】D 在○1中，y 与x 不是负相关；○1一定不正确；同理○4也一定不正确.（湖北文5）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是【湖北文5解答】C 可以将小明骑车上学的行程分为三段，第一段是匀速行驶，运动方程是一次函数，即小明距学校的距离是他骑行时间的一次函数，所对应的函数图象是一条直线段，由此可以判断A 是错误的；第二段因交通拥堵停留了一段时间，这段时间内小明距学校的距离没有改变，即小明距学校的距离是行驶时间的常值函数，所对应的函数图象是平行于x 轴的一条线段，由此可以排除D ；第三段小明为了赶时间加快速度行驶，即小明在第三段的行驶速度大于第一段的行驶速度，所以第三段所对应的函数图象不与第一段的平行，从而排除B. 故选C.（湖北文6）将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6【湖北文6解答】B因为sin ()y x x x =+∈R 可化为)6cos(2π-=x y （x ∈R ），将它向左平移π6个单位得x x y cos 26)6(cos 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=ππ，其图像关于y 轴对称. （湖北文7）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB u u u r在CD u u u r 方向上的投影为ABC． D． 【湖北文7解答】A =（2,1），CD =（5,5），则向量在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==θ. （湖北文8）x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数【湖北文8解答】D 函数()[]f x x x =-表示实数x 的小数部分，有)(][]1[1)1(x f x x x x x f =-=+-+=+ ，所以函数()[]f x x x =-是以1为周期的周期函数.（湖北文9）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元 【湖北文9解答】C 根据已知，设需要A 型车x 辆，B 型车y 辆，则根据题设，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>>≤-≤+,9006036,0,0,7,21y x y x x y y x 画出可行域，求出三个顶点的坐标分别为A(7，14)，B(5，12)，C(15，6），目标函数（租金）为y x k 24001600+=，如图所示. 将点B 的坐标代入其中，即得租金的最小值为： 3680012240051600=⨯+⨯=k （元）.（湖北文10）已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞【湖北文10解答】B ax x x f 21ln )('-+=，由()(ln )f x x x ax =-由两个极值点，得0)('=x f 有两个不等的实数解，即12ln -=ax x 有两个实数解，从而直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点. 过点（0，－1）作x y ln =的切线，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率01x k =，切线方程为110-=x x y . 切点在切线上，则01000=-=x x y ，又切点在曲线x y ln =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1-=x y . 再由直线12-=ax y 与曲线x y ln =有两个交点.，知直线12-=ax y 位于两直线0=y 和1-=x y 之间，如图所示，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得0＜a ＜21. 二、填空题：（湖北文11） i 为虚数单位，设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，若123i z =-，则2z = .【湖北文11解答】23i -+ 复数123i z =-在复平面内的对应点Z 1（2，－3），它关于原点的对称点Z 2为（－2,3），所对应的复数为322+-=z i.（湖北文12） 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 . 【湖北文12解答】（Ⅰ）7 ()747109459787101=+++++++++； （Ⅱ）2 []222222)74(2)75()77(3)78()79(2)710(101-+-+-+-+-+-=s =21040=. （湖北文13）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m 的值为2，则输出的结果i = .【湖北文13解答】4 初始值m =2，A =1，B=1,i =0，第一次执行程序，得 i=1，A=2，B=1，因为A <B 不成立，则第二次执行程序，得i=2，A =2×2=4，B =1×2=2，还是A <B 不成立，第三次执行程序，得 i=3，A=4×2=8，B=2×3=6，仍是A<B 不成立，第四次执行程序，得i =4，A =8×2=16，B =×4=24，有A <B 成立，输出i=4.（湖北文14）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = . 【湖北文14解答】4 这圆的圆心在原点，半径为5，圆心到直线l 的距离为1sin cos 122=+θθ，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点有4个，如图A 、B 、C 、D 所示.（湖北文15）在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤的概率为56， 则m = .【湖北文15解答】3 因为区间[2,4]-的长度为6，不等式||x m ≤的解区间为[－m ，m ] ，其区间长度为2m. 那么在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，要使x 满足||x m ≤的概率为56，m 将区间 [2,4]-分为[－2，m]和[m ，4] ，且两区间的长度比为5:1，所以m =3.（湖北文16）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） 【湖北文16解答】3 如图示天池盆的半轴截面，那么盆中积水的体积为()ππ19631061069322⨯=⨯++⨯=V （立方寸），盆口面积S =196π（平方寸），所以，平地降雨量为=⨯）（寸寸23196)(19633（寸）. 否A A m =⨯ 1i i =+ 输入m1, 1, 0A B i ===开始 结束是 ?A B <输出i第13题图B B i =⨯（湖北文17）在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =. （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是 ； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =， 则S = （用数值作答）.【湖北文17解答】（Ⅰ）3, 1, 6 S=S △DFG +S △DEF =1+2=3 ，N=1，L =6； （Ⅱ）79 根据题设△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =，有 14=+c b ， ○1由（Ⅰ）有36=++c b a ， ○2再由格点△DEF 中，S=2，N=0，L=6，得26=+c b ， ○3 联立○1○2○3，解得.1,1,21=-==a cb 所以当71N =，18L =时， S =791182171=-⨯+. （湖北文18）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c . 已知cos23cos()1A B C -+=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值.【湖北文18解得】（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=,即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）.因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由1133sin 53,22S bc A bc bc ==⋅==得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故21a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=.（湖北文19）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．【湖北文19解答】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----.若存在n ，使得2013n S ≥，则1(2)2013n --≥，即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时，(2)0n ->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012n n -=-≤-，即22012n ≥，则11n ≥.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N . （湖北文20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.【湖北文20解得】（Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B B d =，123C C d =，且123d d d << . 因此四边形1221A A B B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B I 平面MEFN ME =， 可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG . 又M 、N 分别为AB 、AC 的中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 的中点， 即DE 、FG 分别为梯形1221A A B B 、1221A A C C 的中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+，而123d d d <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形. （Ⅱ）V V <估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥. 而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥.第20题图由MN 是△ABC 的中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 的高， 因此13121231()(2)22228DEFG d d d d a a S S d d d ++==+⋅=++中梯形， 即123(2)8ahV S h d d d =⋅=++估中. 又12S ah =，所以1231231()()36ahV d d d S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d d d <<，得210d d ->，310d d ->，故V V <估. （湖北文21）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x +=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 的加权平均数.（i ）判断(1)f , f ,()bf a是否成等比数列，并证明()b f f a ≤； （ii ）a 、b 的几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 的调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 的取值范围.【湖北文21解答】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++. 当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增； 当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =>.故22(1)()[2b a b ab f f ab f a a b +=⋅==+, 即2(1)()[b f f f a =. ①所以(1),()bf f f a成等比数列.因2a b+(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()bf H a=，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤. ②当a b =时，()()b f f x f a a ===.这时，x 的取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01ba<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式， 得b x a ≤≤x 的取值范围为,b a ⎡⎢⎣； 当a b <时，1ba>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式， bx a ≤，即x 的取值范围为b a ⎤⎥⎦. （湖北文22）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由． 【湖北文22解答】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--.若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ.第22题图（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =B x =根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是2||||2A B x AD BC x = ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-， 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d =12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11A B x x λλ+=-. 由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.。
2021年湖北省高考文科数学试卷及答案(word版)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数 学〔文史类〕本试题卷共5页，22题。
全卷总分值150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★考前须知：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5,6}A =，那么UA =A ．{1,3,5,6}B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位，21i ()1i -=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R ，2x x ≠〞的否认是 A ．x ∀∉R ，2x x ≠ B ．x ∀∈R ，2x x = C ．x ∃∉R ，2x x ≠D ．x ∃∈R ，2x x =4．假设变量x ，y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩那么2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p ，点数之和大于5的概率记为2 p ，点数之和为偶数的概率记为3p ，那么 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p <<D ．312p p p <<6．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.50.5-0.52.0-3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+，那么 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b >C ．0a <，0b <D ．0a <，0b >7．在如下图的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是〔0，0，2〕， 〔2，2，0〕，〔1，2，1〕，〔2，2，2〕. 给出编号为①、②、③、④的四个图，那么该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，那么过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -. 那么函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为 A. {1,3} B. {3,1,1,3}--C. {23}D. {21,3}-10．?算数书?竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖〞的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 假设样本中有50件产品由甲设备生产，那么乙设备生产的产品总数为 件.12．假设向量(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=， 那么||AB = .13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . π6A =，a =1，b =，那么B = . 14．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假设输入n 的值为9，那么输出S 的值为 .第14题图15．如下图，函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．假设x ∀∈R ，()>(1)f x f x -，那么正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究说明：在考虑行车平安的情况下，某路段车流量F 〔单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时〕与车流速度v 〔假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒〕、 平均车长l 〔单位：米〕的值有关，其公式为2760001820vF v v l=++.〔Ⅰ〕如果不限定车型， 6.05l =，那么最大车流量为 辆/小时；〔Ⅱ〕如果限定车型，5l =, 那么最大车流量比〔Ⅰ〕中的最大车流量增加 辆/小时. 17．圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，假设定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，那么 〔Ⅰ〕b =； 〔Ⅱ〕λ= .三、解答题：本大题共5小题，共65分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．〔本小题总分值12分〕某实验室一天的温度〔单位：℃〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈. 〔Ⅰ〕求实验室这一天上午8时的温度； 〔Ⅱ〕求实验室这一天的最大温差.第15题图19．〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？假设存在，求n 的最小值；假设不存在，说明理由.20．〔本小题总分值13分〕如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ，1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：〔Ⅰ〕直线1BC ∥平面EFPQ ； 〔Ⅱ〕直线1AC ⊥平面PQMN .21．〔本小题总分值14分〕π为圆周率，e 2.71828=为自然对数的底数.〔Ⅰ〕求函数ln ()xf x x=的单调区间； 〔Ⅱ〕求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3π这6个数中的最大数与最小数.22．〔本小题总分值14分〕在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的轨迹为C .〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12． 13．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．〔Ⅰ〕1900；〔Ⅱ〕100 17．〔Ⅰ〕12-；〔Ⅱ〕12三、解答题：18．〔Ⅰ〕ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin33=-110()102=--=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.〔Ⅱ〕因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+， 又024t ≤<，所以πππ7π31233t ≤+<，ππ1sin()1123t -≤+≤.当2t =时，ππsin()1123t +=；当14t =时，ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.19．〔Ⅰ〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.〔Ⅱ〕当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.20．证明：〔Ⅰ〕连接AD 1，由1111ABCD A B C D -是正方体，知AD 1∥BC 1， 因为F ，P 分别是AD ，1DD 的中点，所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ， 故直线1BC ∥平面EFPQ ．〔Ⅱ〕如图，连接AC ，BD ，那么AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得1CC BD ⊥. 又1ACCC C =，所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC ，所以1BD AC ⊥.因为M ，N 分别是11A B ，11A D 的中点，所以MN ∥BD ，从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PNMN N =，所以直线1AC ⊥平面PQMN .第20题解答图QBEMN ACD 1C 〔F 1D1A1BP21.〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>，即0e x <<时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即e x >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e,)+∞．〔Ⅱ〕因为e 3π<<，所以eln3eln π<，πlne πln3<，即e e ln3ln π<，ππln e ln3<．于是根据函数ln y x =，e x y =，πx y =在定义域上单调递增，可得 e e 33ππ<<，3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中，最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及〔Ⅰ〕的结论，得(π)(3)(e)f f f <<，即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<，得3πln πln3<，所以π33π>； 由ln3ln e3e<，得e 3ln3lne <，所以e 33e <． 综上，6个数中的最大数是π3，最小数是e 3．22．〔Ⅰ〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x +，化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩〔Ⅱ〕在点M 的轨迹C 中，记1:C 24y x =，2:C 0(0)y x =<.依题意，可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①〔1〕当0k =时，此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，那么 由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-. ③〔ⅰ〕假设00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-，或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.〔ⅱ〕假设00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C 只有一个公共点，与2C 有一个公共点.当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.〔ⅲ〕假设00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-，或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。
湖北高考试题文数,word解析版
2019 年湖北高考试题（文数，word 剖析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思虑，多理解！数学〔文科〕本试题卷共 4 页，共 22 题。
总分值150 分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★本卷须知1、答卷前，考生务必然自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地址。
用一致供应的2B 铅笔将答题卡上试卷种类框涂黑。
A 后的方2、选择题的作答：每题选出答案后，用一致供应的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
答在试题卷、底稿纸上无效。
3、填空题和解答题的作答：用一致供应的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题地区内。
答在试题卷、底稿纸上无效。
4、考生必定保持答题卡的齐整。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
【一】选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .1、会合A{ x | x23x 20, x R}，B { x | 0x5, x N}，那么知足条件AC B的会合C的个数为A、 1B、 2C、 3D、42、容量为20 的样本数据，分组后的频数以下表：分组[10, 20)[20,30)[30,40)[40,50)[50, 60)[60,70)频数234542那么样本数据落在区间[10, 40)的频次为A、 0.35 B 、 0.45C 、 0.55D、 0.653、函数f ( x) x cos2 x 在区间[0,2π] 上的零点的个数为A、 2B、 3C、 4D、 5A、随意一个有理数，它的平方是有理数B、随意一个无理数，它的平方不是有理数C、存在一个有理数，它的平方是有理数D、存在一个无理数，它的平方不是有理数5、过点 P(1,1) 的直线，将圆形地区 {( x, y) | x y4} 分为两部分，使得这两部分的面积之22差最大，那么该直线的方程为A、x y 2 0B、y 10C、x y0D、x 3 y 4 0y6、定义在区间 [0, 2] 上的函数1yf (x) 的图象以以下列图，那么 y f (2 x) 的图象为O 1 2x 17、定义在 (,0) (0,第 6题图{ a n } ，{ f (a n )} 仍) 上的函数 f (x) ，若是对于随意给定的等比数列是等比数列， 那么称 f (x) 为“保等比数列函数” . 现有定义在 ( ,0) (0, ) 上的以下函数：① f ( x)x 2；②f ( x) 2x；③f ( x)| x | ；④ f ( x) ln | x |.那么其中是“保等比数列函数”的 f ( x)的序号为A 、①②B 、③④C 、①③D 、②④8、设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ，c . 假定三边的长为连续的三个正整数，且A B C ，3b 20a cosA ，那么sin A:sin B:sin C为A 、4:3: 2B 、5:6:7C 、5: 4:3D 、6:5: 49、设a,b, cR ，那么“ abc 1”是“1 1 1 ”的aba b ccA 、充足条件但不是必要条件B 、必要条件但不是充足条件C 、充足必要条件D 、既不充足也不用要的条件10、如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆 . 在扇形 OAB 内随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A 、 1 1B 、 12 ππC 、2 D 、 21 ππ第10题图【二】填空题：本大题共7 小题，每题 5 分，共 35 分 . 请将答案填在答题卡对应题号的位 置上 . 答错地址，书写不清，模棱两可均不得分. 11、一支田径运动队有男运动员 56 人，女运动员 42 人 . 现用分层抽样的方法抽取假定干人，假定抽取的男运动员有 8 人，那么抽取的女运动员有人、12、假定 3bi〔 a ， b 为实数， i 为虚数单位〕，那么 ab.1 a bii13、向量 a(1, 0) ， b (1, 1)，那么〔Ⅰ〕与2a b 同向的单位向量的坐标表示为；〔Ⅱ〕向量 b 3a 与向量 a 夹角的余弦值为 .14、假定变量 x, y 知足拘束条件x y1, 那么目标函数 z 2x3 y 的最小值是 .x y 1,3x y 3,15、某几何体的三视图以以下列图，那么该几何体的体积为 .16、阅读以以下列图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s .17、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 . 他们研究过以以下列图的三角形数：将三角形数 1，3， 6， 10， 记为数列 { a } ，将可被5 整除的三角形数按从小到大的 n次序组成一个新数列{ b n } . 能够推断：···〔Ⅰ〕 b是数列 { a } 中的第 ________项；2012n361〔Ⅱ〕 b1表示〕________. 〔用 k2 k 1第 16题图【三】解答题：本大题共 5 小题，共 65 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18、〔本小题总分值 12 分〕设函数 的图象对于直线x对f ( x) sin x 2 3sin x cos( x R )x cos x称，其中 ， 为常数，且 1., 1)(2〔Ⅰ〕求函数f (x) 的最小正周期；〔Ⅱ〕假定 y f (x)的图象经过点( π，求函数 f ( x) 的值域 .,0)419、〔本小题总分值 12 分〕某个实心零部件的形状是以以下列图的几何体， 其下部是底面均是正方形， 侧面是全等的等腰梯形的四棱台 A 1 B 1C 1 D 1 ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCDA 2B 2C 2D 2 .D 2C 2A 2B 2〔Ⅰ〕证明：直线B 1D 1平面ACC 2 A 2 ；〔Ⅱ〕现需要对该零部件表面进行防腐办理.AB 10，AB 20，AA 30 ， AA 13 〔单位：厘米〕 ，每平方1 121厘米的加工办理费为0.20 元，需加工办理费多少元？D C20、〔本小题总分值 13 分〕A B3，前三项的积为 8 .等差数列 { a }前三项的和为D 1 C 1n〔Ⅰ〕求等差数列{ a n } 的通项公式；A 1B 1〔Ⅱ〕假定 a 2 ， a ， a 成等比数列，求数列{| a |} 的前 n 项和 .第 19题图31n21、〔本小题总分值14 分〕设 A 是单位圆 x 2y 21 上的随意一点， l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线， D 是直线 l 与 x轴的交点， 点 M 在直线 l 上，且知足 | DM | m | DA | ( m 0, 且m 1) . 当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C 、〔Ⅰ〕求曲线 C 的方程，判断曲线 C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；〔Ⅱ〕过原点斜率为k 的直线交曲线 C 于 P ， Q 两点，其中 P 在第一象限，且它在 y 轴上的射影为点N ，直线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 可否存在 m ，使得对随意的 k 0，都有PQ PH ？假定存在，求 m 的值；假定不存在，请说明原因. 22、〔本小题总分值 14 分〕b ( x 0) ， n 为正整数， a ， b 为常数 . 曲线 y f (x) 在 (1, f (1))设函数f ( x) ax n (1 x)处的切线方程为 x y 1 .〔Ⅰ〕求 ， 的值；a b〔Ⅱ〕求函数f ( x)的最大值；〔Ⅲ〕证明：1 .f ( x)ne2018 年一般高等学校招生全国一致考试〔湖北卷〕数学〔文史类〕试题参照答案【一】选择题：A 卷： 1、D2、B3、 D4、B5、 A6、 B7、 C8、 D9、 A10、C【二】填空题：11、 612、 313、〔Ⅰ〕3 10 10 ；〔Ⅱ〕 2 5(,)5 101014、 215、 12π16、 917、〔Ⅰ〕 5030；〔Ⅱ〕 5k 5k 12【三】解答题：sinx cosx 2 3 sinx cos x18、解：〔Ⅰ〕因为 f ( x)22cos2x3 sin 2 x2sin(2 xπ.)6由直线 xπ是y f ( x)图象的一条对称轴，可得sin(2 所以，即k 1 、 2 π πk π π(k Z )( k Z )6 22 3又1 ， k Z ，所以 k1，故5 .(, 1)626π.所以 f ( x) 的最小正周期是5〔Ⅱ〕由 yf (x) 的图象过点 π，得π ，( ,0)f ()442.即5 π π 2sinπ ，即2sin(2 )4266故2sin(5 π，函数 f ( x) 的值域为 [ 2 f (x)x)23 6π，π )162,22].19、解：〔Ⅰ〕因为四棱柱 ABCDA 2B 2C 2D 2 的侧面是全等的矩形，所以AA 2AB， AA 2AD .又因为ABAD A，所以AA 2平面 ABCD .连结 BD ，因为 BD 平面 ABCD ，所以 AA 2BD.因为底面 ABCD 是正方形，所以 AC BD .依照棱台的定义可知， BD 与 B 1D 1 共面 .又平面 ∥平面 ，且平面BB 1D 1D平面ABCD BD ，ABCD A 1B 1C 1D 1平面 BBDD 平面 A B C 1 D1B D ，所以 B 1D 1∥ BD . 于是1 11 111由AABD ，ACBD ， B 1D 1∥ BD ，可得 AA B D，ACB D .22 1 111又因为AA 2ACA ，所以B 1 D 1平面ACC 2 A 2.〔Ⅱ〕因为四棱柱ABCDA 2B 2C 2D 2 的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S 1 S 四棱柱上底面 S 四棱柱侧面 (A 2B 2)24 AB AA 2 1024 10 30 1300 (cm 2) .又因为四棱台 ABCD ABCD 的上、下底面均是正方形， 侧面是全等的等腰1 1 1 1梯形，所以S 2S 四棱台下底面S 四棱台侧面 ( A 1B 1)241( ABA 1B 1 )h 等腰梯形的高2.1(10[1(20202420) 13210)]21120 (cm 2)22于是该实心零部件的表面积为 SS S1300 11202420 (cm 2) ，12故所需加工办理费为 0.2S 0.2 2420 484〔元〕.20、解：〔Ⅰ〕设等差数列 { a } 的公差为 d ，那么 a 2 ad ，aa2d ，n131由题意得3a 1 3d 3, 解得a 1 2, 或a 14,a 1 (a 1 d )( a 1 2d )8.d3,d3.所以由等差数列通项公式可得a 2 3(n 1) 3n 5，或a n 4 3(n1) 3n7.n故 a3n5 ，或an3n 7 .n〔Ⅱ〕当 a n 3n 5 时，a 2 ， a 3 ，a 1 分别为 1，4 ， 2 ，不可以等比数列；当 a n 3n 7 时， a 2 ， a 3 ， a 1 分别为 1， 2，4 ，成等比数列，知足条件 .故 3n 7, n 1,2,| a n | | 3n 7 |3n 7, n 3.记数列 {| a n |} 的前 n 项和为 S n .当 n 1 时， S 1 | a 1 | 4 ；当 n 2时， S 2| a 1 | | a 2 | 5；当 n3 时，S n S 2 | a 3 | | a 4 || a n | 5(3 3 7) (3 47)(3n 7)5(n2)[2 (3n 7)] 3n 21110. 当 n 2 时，知足此式 .222 n综上，4,n1,S n3 n 2 11n 10, n 1.2 221、解：〔Ⅰ〕如图1，设M (x, y) ， A( x 0 , y 0 ) ，那么由 | DM |m | DA | (m0, 且 m 1)，可得 x x 0，| y | m | y 0 |，所以 x 0 x ，| y 0 |1. ①| y |m因为 A 点在单位圆上运动，所以 x 0 2 y 0 21 . ②.将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2x 2y 2 1 ( m 0, 且 m 1)因为 m) ，所以m(0, 1) (1,当 0 m1时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 ( 1 m 2 , 0) ， ( 1 m 2 , 0) ；当 m 1时，曲线C 是焦点在 y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,m21) ， (0,m21).〔Ⅱ〕 解法 1：如图 2、 3， k，设P( x , kx ) ，H (x, y ) ，那么 Q(x ,kx )，112211N(0, kx )，1直线 QN 的方程为 y 2kx kx 1 ，将其代入椭圆 C 的方程并整理可得 (m24k 2 ) x24k 2 x x k 2 x 2 m20 .11依题意可知此方程的两根为x 1 ，x 2 ，于是由韦达定理可得2 ，即 2. x 1 x 24k x 1x 2m x 1m 2 4k 2m 2 4k 2因为点 H 在直线 QN 上，所以2 .y 2 kx 1 2kx 22km x 124k 2m.于是 PQ ( 2 x 1 ,2kx 1 )，PH(x 2x 1, y 2kx 1) (4k 2x 12 ,2km 2x 1m 2 4km 24k2 )而PQPH 等价于PQ4(2 m 2 )k 2 x 1 2，PH24k 2即2 m0 ，又m 0，得mm2，2故存在 m2 ，使得在其对应的椭圆2y 2上，对随意的 k 0，x21PH.都有 PQ yyy HA解法 2：如图 2、3，x 1 (0, 1) ，设, y 1 ) ，H ( x 2 , y 2 ) ，那么Q(P x 1 , y 1 ) ，H P( x1NMNPO ， xOxODxN (0, y 1 )QQ因为 P ， H 两点在椭圆 C 上，所以m 2 x 12y 1 2m 2 , 两式相减可得图 1图 2(0 m 2 x 22y 22m 2 ,图 3(m1)m 1) m ( x 1 x 2 2 ) ( y 1y 2 )0 第 21 题解答图 2222. ③依题意，由点 P 在第一象限可知，点 H 也在第一象限，且 P ， H 不重合，故 ( x 1x 2 )( x 1x 2 )0 . 于是由③式可得( y 1y 2 )( y 1y 2 ) m 2 . ④( x 1 x 2 )(x 1 x 2 )又Q ， N ， H三点共线，所以k QNkQH，即2y 1y 1 y 2 .x 1x 1 x 2于是由④式可得yyy2 1 ( yy 2)( yy )m 2 .k PQ k PH11112x 1 x 1 x 2 2 ( x 1x 2 )( x 1x 2 )2而 PQPH等价于k PQk PH1 ，即 m 2，又 m 0，得m2，21故存在 m 2，使得在其对应的椭圆2y 2上，对随意的 k 0 ，都有x2 1PQPH.22、解：〔Ⅰ〕因为 f (1) b，由点(1, b) 在xy1 上，可得 1 b1，即b 0.因为 f ( x) anxn1a(n1)x n ，所以 f(1)a.又因为切线 x y 1 的斜率为 1 ，所以 a 1，即a 1. 故a 1，b 0 .〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知， n (1 x) x n n 1 ，n 1 n .f ( x) x x f (x) ( n 1) x ( x)n 1 . 令 f ( x) 0 ，解得 n ，即 f (x) 在(0, ) 上有唯一零点x 0 nx n 1n 1在 (0, n 上， f (x) 0 ，故 f ( x)单一递加；)n 1 0 ， f ( x) 单一递减 .而在 ( n , ) 上， f (x)n 1 ) 上的最大值为. 故f (x) 在 (0,nf ( n ) ( n )n (1n ) nn 1 n 1n 1( n 1)n 1〔Ⅲ〕令1，那么11t1.(t ) ln t 1+ (t0) 0)t(t)2 =2( tt tt在(0, 1) 上，(t ) 0 ，故 (t ) 单一递减；而在 (1, ) 上 (t ) 0 ，(t ) 单一递加 .故 (t) 在(0, ) 上的最小值为 (1) 0.所以 (t) 0 (t1)，即 ln t 1 1 (t 1) .t令 t 1 1 ，得 ln n 1 1 ，即n 1 n 1 ，n n n 1ln( ) ln e1 . n所以 n 1 n 1 ，即 n n()e(n 1)n 1 nen由〔Ⅱ〕知，f ( x)n n1 ，故所证不等式建立 .( n1)n 1ne。
湖北高考文科数学答案解析
A 卷文科1．【答案】C【解析】因为N={x|x 是2的倍数}={…，0，2，4，6，8，…}，故{}2,4,8M N =所以C 正确. 2．【答案】D 【解析】由T=|212π|=4π，故D 正确. 3．【答案】B【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294f f f -=-==，所以B 正确.122b =+（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故1223,b -≤≤所以D 正确.10.【答案】B【解析】若△ABC 为等边三角形时，即a=b=c ，则max ,,1min ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则l =1；若△ABC 为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，则32max ,,,min ,,23a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩，此时l =1仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以B 正确.11.【答案】45【解析】210(1)x -展开式即是10个（1-x 2）相乘，要得到x 4，则取2个1-x 2中的（-x 2）相乘，其余选1，则系数为222410()45C x x ⨯-=，故系数为45. 12.【答案】5【解析】同理科 13.【答案】0.9744【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则3314(0.9)(10.9)0.2916P C =⨯-=；若共有4人被治愈，则42(0.9)0.6561P ==，故至少有3人被治愈概率120.9744P P P =+=.14.【答案】4【解析】设球半径为r ，则由3V V V +=球水柱可得33224863r r r r πππ⨯+⨯=⨯,解得r=4.15.【答案】[)2,22,0【解析】依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时12max (||||) 2 PF PF +=，当P 在椭圆顶点处时，取到12max (||||)PF PF +为(21)(21) =2 2 -++，故范围为[)2,22.因为00(,)x y 在椭圆2212x y +=的内部，则直线0012x x y y ⋅+⋅=上的点（x, y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.谢谢大家。
2024年湖北省高考数学真题及参考答案
2024年湖北省高考数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合{}553<<-=x x A ，{}3,2,0,13--=，B ，则=B A （）A.{}0,1-B.{}32， C.{}0,13--， D.{}2,0,1-2.若i z z+=-11，则=z （）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.已知向量()1,0=a，()x b ,2= ，若()a b b 4-⊥，则=x （）A.2- B.1- C.1D.24.已知()m =+βαcos ，2tan tan =βα，则()=-βαcos （）A.m3- B.3m -C.3m D.m35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为（）A.π32 B.π33 C.π36 D.π396.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥++<---=0,1ln 0,22x x e x a ax x x f x 在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.(]0，∞-B.[]0,1-C.[]1,1-D.[)∞+，07.当[]π2,0∈x 时，曲线x y sin =与⎪⎭⎫⎝⎛-=63sin 2πx y 的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数()x f 定义域为R ，()()()21-+->x f x f x f ，且当3<x 时，()x x f =，则下列结论中一定正确的是（）A.()10010>fB.()100020>fC.()100010<f D.()1000020<f二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，由选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值1.2=x ，样本方差01.02=S ，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.08.1，N ，假设失去出口后的亩收入Y 服从发正态分布()2,S x N ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,σμN ，则()8413.0≈+<σμZ P ）A.()2.02>>X PB.()5.0<>Z X PC.()5.0>>Z Y P D.()8.0<>Z Y P 10.设函数()()()412--=x x x f ，则（）A.3=x 是()x f 的极小值点B.当10<<x 时，()()2xf x f <C.当21<<x 时，()0124<-<-x f D.当01<<-x 时，()()x f x f >-211.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于2-，到点()02，F 的距离与到定直线()0<=a a x 的距离之积为4，则（）A .2-=aB .点()022，在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,y x 在C 上时，2400+≤x y三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于B A ,两点，若131=A F ，10=AB ，则C 的离心率为.13.若曲线x e y x+=在点()1,0处的切线也是曲线()a x y ++=1ln 的切线，则=a .14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己特有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分小于2的概率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知B C cos 2sin =，ab c b a 2222=-+.（1）求B ；（2）若ABC ∆的面积为33+，求c .16.（15分）已知()30，A 和⎪⎭⎫⎝⎛233，P 为椭圆()012222>>=+b a b y a x C ：上两点.（1）求C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP ∆的面积为9，求l 的方程.17.（15分）如图，四棱锥ABCD P -中，⊥P A 底面ABCD ，2==PC P A ，1=BC ，3=AB .（1）若PB AD ⊥，证明：∥AD 平面PBC ；（2）若DC AD ⊥，且二面角D CP A --的正弦值为742，求AD .18.（17分）已知函数()()312ln-++-=x b ax xx x f .（1）若0=b ，且()0≥'x f ，求a 的最小值；（2）证明：曲线()x f y =是中心对称图形；（3）若()2->x f ，当且仅当21<<x ，求b 的取值范围.19.（17分）设m 为正整数，数列242.1,,,+m a a a 是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j i <后剩余的m 4项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列.（1）写出所有的()j i ,，61≤<≤j i ，使数列62.1,,,a a a 是()j i ,一一可分数列；（2）当3≥m 时，证明：数列242.1,,,+m a a a 是()13,2一一可分数列；（3）从242,1+m ，， 中一次任取两个数i 和j ()j i <，记数列242.1,,,+m a a a 是()j i ,一一可分数列的概率的概率为m P ，证明：81>m P .参考答案一、单项选择题1.A解析：∵553<<-x ，∴3355<<-x .∵2513<<，∴1523-<-<-.∴{}0,1-=B A .2.C解析：∵i z z +=-11，∴()()i i i z i iz z i z -=+=⇒+=⇒-+=11111.3.D 解析：()4,24-=-x a b ，∵()a b b4-⊥，∴()044=-+x x ，∴2=x .4.A解析：∵()m =+βαcos ，2tan tan =βα，∴()()32121tan tan 1tan tan 1sin sin cos cos sin sin cos cos cos cos -=-+=-+=-+=+-βαβαβαβαβαβαβαβα.∴()m 3cos -=-βα.5.B解析：由32⋅==r rl S ππ侧可得32=l ，∴3=r .∴ππ33393131=⋅⋅==Sh V .6.B由()()0,1ln ≥++=x x e x f x为增函数，故此分段函数在R 上递增，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-=--1022a a a，解得01≤≤-a .7.C解析：∴32π=T .8.B解析：()()()123f f f +>，()22=f ，()11=f .()()()()()122234f f f f f +>+>，()()()()()1223345f f f f f +>+>，……()()()8912123410>+>f f f ，……，()()()9871233237715>+>f f f ，()()()15971377261016>+>f f f .∴()100020>f .二、多项选择题9.BC 解析：已知()21.08.1~，N X ，由题目所给条件：若随机变量Z 服从正态分布，()8413.0≈+<σμZ P ，则()8413.09.1≈<X P ，易得()1587.08413.012≈-<>X P .故A 错误，B 正确；对于C：()21.01.2~，N Y ，∴()5.01.2=>Y P ，即()()5.01.22=>>>Y P Y P ，故C正确；对于D：同上易得()8413.02.2≈<Y P .由正态密度曲线的对称性可知()()8.08412.02.22>≈<=>Y P Y P .故D 错误.10.ACD解析：对于A：()()()()()()31314122--=-+--='x x x x x x f .令()0='x f ，解得11=x ，32=x .x 变化时，()x f '与()x f 变化如下表：故A 正确；对于B：当10<<x 时，102<<<x x ，又()x f 在()1,0上单调递增，所以()()x f xf <2，故B 错误；对于C ：令()2112<<-=x x t ，则31<<x .()x f 在()3,1上单调递减，()()()13f t f f <<，()43-=f ，()11=f ，即()0121<-<-x f .故C 正确；对于D：()()()412--=x x x f ，()()()()()21421222---=---=-x x x x x f .∴()()()()()32122212-=--=--x x x x f x f .当01<<-x 时，()013<-x ，∴()()x f x f -<2成立.故D 正确.11.ABD解析：对于A：O 点在曲线C 上，O 到F 的距离和到a x =的距离之积为4，即42=⨯a ，解得2±=a .又∵0<a ，∴2-=a ，故A 正确；对于B：由图象可知曲线C 与x 轴正半轴相交于一点，不妨设B 点.设()0,m B ，其中2>m ，由定义可得()()422=+-m m ，解得22±=m .又∵2>m ，∴22=m ，故B 正确；对于C：设C 上一点()y x P ,，()()42222=++-x y x ，其中2->x .化简得曲线C 的轨迹方程为()()2222216--+=x x y ，其中2->x .已知2=x 时，12=y ，对x 求导()()2223232--+-=x x y .2122-==x y ，则在2=x 是下降趋势，即存在2<x 时，1>y 成立，故C 错误；对于D：()()2222216--+=x x y ，∵()022≥-x ，∴()22216+≤x y .∴240+≤x y .又∵20->x ，2400+≤x y ，则24000+≤≤x y y ，故D 正确.三、填空题12.23解析：作图易得131=A F ，52=AF ，且212F F AF ⊥，12222121=-=AF A F F F .由双曲线定义可得：8221=-=AF A F a ，6221==F F c ，则23==a c e .13.2ln 解析：1+='xe y ，20='==x y k ，切线l 的方程：12+=x y .设l 与曲线()a x y ++=1ln 的切点横坐标为0x ，110+='x y ，则2110=+=x k ，解得210-=x .代入12+=x y 可得切点为⎪⎭⎫⎝⎛-021，，再代入()a x y ++=1ln ，a +=21ln 0，即2ln =a .14.21解析：不妨确定甲的出牌顺序为7,5,3,1.乙随机出牌有2444=A 种基本事件.甲的数字1最小，乙的数字8最大.若数字1和数字8轮次不一致，乙最少得2分，甲最多2分.站在甲的视角下，分四种情况：①8对1，则7必得分（1）若得3分：3,5都得分，3对2,5对4（1种情况）（2）若得2分：3,5只有一个得分（ⅰ）：5得分，3不得分：5对2,3对4或6（2种情况）；5对4,3对6（1种情况）；（ⅱ）：3得分，5不得分：3对2,5对6（1种情况）；②8对3,7必得分5得分：5对2,4,7对应2种情况，共有422=⨯种情况；③8对5,7必得分3得分：3对2,7对应2中情况，共有221=⨯种情况；④8对7，最多得2分3得分，5得分：3对2,5对4（1种情况）.共有12种情况，甲总得分不小于2的概率为212412=.四、解答题15.解：（1）∵ab c b a 2222=-+，∴22222cos 222==-+=ab ab ab c b a C .∴22cos 1sin 2=-=C C .又∵B C cos 2sin =，∴22cos 2=B ，∴21cos =B ，∴3π=B .（2）∵33sin 21+==∆Bac S ABC ，∴333sin 21+=ac π.即434+=ac ……①由（1）易知4π=C ，3π=B .由正弦定理C c A a sin sin =，()CcC B a sin sin =+.∴4sin43sin πππc a =⎪⎭⎫ ⎝⎛+，∴224269c =+，∴c a 213+=.代入①式解得22=c .16.解：（1）将()30，A ，⎪⎭⎫⎝⎛233，P 代入椭圆12222=+b y a x 得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=149919222b a b ，可得⎪⎩⎪⎨⎧==91222b a ，∴3222=-=b a c ，∴32=a ，3=c .∴离心率21323===a c e .（2）①当l 斜率不存在时，29332121=⨯⨯=-⋅=∆A P ABP x x PB S ，不符，舍去.②当l 斜率存在时，设l 方程：()323-=-x k y .联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-191232322y x x k y 可得：()()()02736212342222=--++-++k k x k k x k.由韦达定理：()34273622+--=⋅k k k x x B P ，又3=P x ，∴()3491222+--=k k k x B .∵BP 与y 轴交点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-233,0k ，∴()9349123323213232122=+---⋅+=-+⋅=∆k k k k x x k S B P ABP 解得21=k 或23，∴l 方程x y 21=或0623=--y x .17.解：（1）证明：∵⊥P A 底面ABCD ，∴AD P A ⊥.又∵PB AD ⊥，∴⊥AD 平面P AB ，则AB AD ⊥.又∵1,32===BC AB AC ，，∴222BC AB AC +=，则BC AB ⊥，∴BC AD ∥.∵⊄AD 平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，∴∥AD 平面PBC .（2）以D 为原点，DA 为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.设0,0,,>>==q p q DC p DA ，满足4222==+AC q p ，则()()()()0,0,0,0,,0,20,0,0,D q C p P p A ，，.设平面APC 法向量为()111,,z y x m =，∴()()0,,200q p AC AP -==，，，.∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅==⋅002111qy px m AC z m AP ，取()0,,p q m = .设平面DPC 法向量为()()()0,,0,2,0,,,,222q DC p DP z y x n ===.∴⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅002222qy n DC z px n AP ，取()p n -=,0,2 .∴2222742142,cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+⋅+=p q p qn m .∴7142=+p q .又∵422=+q p ，∴3=p ，即3=AD .18.解：（1）0=b 时，()ax x x x f +-=2ln，∴()()022≥+-⋅='a x x x f .∴()22-≥x x a .又∵()2,0∈x ，设()()22-=x x x h ，当()2,0∈x 时，()2max -=x h ，∴2-≥a .∴a 的最小值为2-.（2）由题意可知()x f 的定义域为()20，.()()()()()a x b x a xx bx x a x x x f x f 2111ln 111ln1133=-+-++-++++-+=-++.∴()x f 关于()a ,1中心对称.（3）()212ln 3->-++-x b ax xx ，即()0212ln3>+-++-x b ax x x 即()()02112ln 3>++-+-+-a x b x a xx.令1-=x t ，则()1,0∈t ，()0211ln 3>++++-+=a bt at tt t g .()t g 关于()a +2,0中心对称，则当且仅当()1,0∈t 时，()0>t g 恒成立.需02=+a ，即2-=a ，()0≥'t g 在()1,0恒成立.()()()()22222212231223032112t t t b t bt bt t t t g --≥⇒--≥⇒≥+--+='.令2t m =，则()1,0∈m ，()()12122-=--=m m m m m h .()2max -=m h ，∴23-≥b ，即32-≥b .∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,32b .19.解：（1）从1,2,3,4,5,6中删去()j i ,剩下的四个数从小到大构成等差数列，记为{}k b ，41≤≤k .设{}k b 公差为d ，已知1=d ，否则，若2≥d ，则6314≥=-d b b ，又51614=-≤-b b ，故矛盾，∴1=d ，则{}k b 可以为{}4,3,2,1，{}5,4,3,2，{}6,5,4,3，则对应()j i ,分别为()()()2,16,16,5，，.（2）证明：只需考虑前14项在去掉()13,2后如何构成3组4项的等差数列，后面剩下的()34124-=-m m 可自然依序划分为3-m 组等差数列.则只需构造{}14,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,1的一组划分，使划分出的3组数均成等差数列，取{}{}{}14,11,8,512,9,6,310,7,4,1，，，这单租数均为公差为3的等差数列，对于剩下的()34-m 个数，按每四个相邻数一组，划分为3-m 组即可.由此可见去掉()13,2后，剩余的m 4个数可以分为m 组，每组均为等差数列，故3≥m 时，24,2,1+m 是()13,2可分数列，即2421,,,+m a a a 是()13,2可分数列.（3）证明：用数学归纳法证明：共有不少于12++m m 中()j i ,的取法使24,2,1+m 是()j i ,可分数列，①当1=m 时，由（1）知，有11132++=种()j i ,的取法，②假设当n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法，则当1+=n m 时，考虑数列{}64,,2,1+n 下对于()j i ,分三种情况讨论：1°当1=i 时，取()1,,,2,1,0,24+=+=n n k k j 则j i ,之间（不含j i ,）有k k 41124=--+个连续的自然数，可按形如{}{}{}14,4,14,249,8,7,65,4,3,2+--k k k k ，，， 划分，剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2,1,0+=n n k ，∴这种情况有2+n 种()j i ,的取法.2°当2=i 时，取()1,,,2,14+=+=n n k k j ，现以k 为公差构造划分为：{}13,12,11+++k k k ，，{}33,32,3,3+++k k k ，……{}14,13,12,1----k k k k ，{}k k k k 4,3,22,，{}24,23,22,2++++k k k k （注意当2=k 时，只有{}{}10,8,6,47,5,3,1，这两组）剩下的64,,44,34+++n k k ，也可按每四个连续自然数划分得到相应的等差数列，∵1,,,2+=n n k ，∴这种情况有n 种()j i ,的取法.3°当2>i 时，考虑{}64,,7,6,5+n 共24+n 个数，由归纳假设里n m =时，有至少12++n n 种()j i ,的取法.综合1°2°3°，当1+=n m 时，至少有()()()()1111222++++=+++++n n n n n n 中取法，由①②及数学归纳法原理，值共有不少于12++m m 种()j i ,的取法使24,2,1+m 为()j i ,可分数列，那么()()8188811681121411222222242=++++>++++=++++=++≥+m m m m m m m m m m m m C m m P m m ，∴81>m P .。
最新普通高等学校招生文科数学全国统一考试试题(湖北卷)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则UB A =I ð A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=地 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A．()p⌝∨()q⌝B．p∨()q⌝C．()p⌝∧()q⌝D．p∨q4．四名同学根据各自地样本数据研究变量,x y之间地相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且$ 2.347 6.423=-；②y与x负y x相关且$ 3.476 5.648=-+；y x③y与x正相关且$ 5.4378.493=+；④y与x正y x相关且$ 4.326 4.578=--.y x其中一定不正确．．．地 结论地 序号是 A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好地 图象是6．将函数sin ()y x x x =+∈R 地 图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到地 图象关于y 轴对称，则m地最小值是A．π12B．π6C．π3D．5π67．已知点(1,1)A-、(1,2)B、(2,1)C--、(3,4)D，则向量AB u u u r在CD u u u r方向上地投影为A．BC．D．8．x为实数，[]x表示不超过x地最大整数，则函数()[]f x x x=-在R上为A．奇函数B．偶函数C．增函数 D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号地客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆地载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)=-有两个极值点，则实数a地取f x x x ax值范围是A．(,0)-∞B．1(0,)2C．(0,1) D．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．地位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i为虚数单位，设复数z，2z在复平面内对应地点1关于原点对称，若123iz=-，则2z= . 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数地标准差为 .13．阅读如图所示地程序框图，运行相应地程序.若输入m地值为2，则输出地结果i= .14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 地 距离等于1地 点地 个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤地 概率为56，则m = . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形地 天池盆第13题图接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y地坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形地顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形地面积记为S，其内部地格点数记为N，边界上地格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应地1N=，4S=，0L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应地,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形地面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应地71N=，18L=，则S=（用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应地边分别是a，b，c.已知cos23cos()1-+=.A B C（Ⅰ）求角A地大小；（Ⅱ）若△ABC地面积S =5b =，求sin sin B C 地 值.19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 地 前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.（Ⅰ）求数列{}na 地 通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件地 所有n 地 集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方地 矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方地 矿层厚度分别为122B Bd =，123C Cd =，且123d dd <<. 过AB ，AC 地 中点M ，N 且与直线2AA 平行地 平面截多面体111222A B C A B C -所得地 截面DEFG 为该多面体地 一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上地 高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方地 矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -地 体积V ）时，可用近似公式V S h=⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S=++，试判断V 估与V 地 大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x+=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 地 单调性； （Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 地 加权平均数.（i ）判断(1)f ， ()bf a，()b f a是否成等比数列，并证明()()b bf f a a≤；（ii ）a 、b 地 几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 地 调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 地 取值范围.22．（本小题满分14分）第20题图如图，已知椭圆1C 与2C 地 中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合地 直线l 与1C ，2C 地 四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△BDM 和△ABN地 面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ地 值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第22题图普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题：11．23i -+ 12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．414．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3， 1， 6 （Ⅱ）79 三、解答题：18．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,ab c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin2147b c bcB C A A A a a a=⋅==⨯=.19． （Ⅰ）设数列{}na 地 公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}na 地 通项公式为13(2)n na-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有3[1(2)]1(2)1(2)n nn S ⋅--==----.若存在n ，使得2013nS≥，则1(2)2013n--≥，即(2)2012.n-≤-当n 为偶数时，(2)0n->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012nn -=-≤-，即22012n≥，则11n ≥.综上，存在符合条件地 正整数n ，且所有这样地 n 地 集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N .20． （Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B Bd =，123C Cd =，且123d dd << .因此四边形1221A AB B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B I 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M 、N 分别为AB 、AC 地 中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 地 中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A AB B 、1221A A C C 地 中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+， 而123d dd <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形.（Ⅱ）VV<估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥.而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC地 中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 地 高，因此13121231()(2)22228DEFGd d d d a aSS d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahVS h d d d =⋅=++估中.又12S ah =，所以1231231()()36ahV d dd S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d dd <<，得210dd ->，310d d ->，故VV<估.21． （Ⅰ）()f x 地 定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++.当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增；当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =.故22(1)()[2b a b abf f ab f a a b+=⋅==+， 即2(1)()[b f f f a =.①所以(1),()b f f f a成等比数列.因2a b +≥(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()b f H a=，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤.②当a b =时，()()b f f x f a a===.这时，x 地 取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01b a<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤x 地取值范围为,b a⎡⎢⎣；当a b <时，1b a>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a≤≤，即x 地取值范围为b a ⎤⎥⎦.22． 依题意可设椭圆1C 和2C 地 方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.m nλ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 地 方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22SAB ON a AB =⋅=，所以12||||SBD SAB =.在C 1和C 2地 方程中分别令0x =，可得Aym=，Byn=，D y m=-，于是||||1||||1BD A Byy BD m n AB yy m n λλ-++===---.若12SSλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n=+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22SAB ON a AB =⋅=.所以12||1||1SBD m n SAB m n λλ++===--.若12S Sλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 地 距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d=12d d =.又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==，即||||BD AB λ=.由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-.①将l 地 方程分别与C 1，C 2地 方程联立，可求得A x =Bx=. 根据对称性可知CBxx =-，DAxx =-，于是2||||2A B x AD BC x ===②从而由①和②式可得1(1)λλλ+=-.③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以2k>. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0tt λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ> 当11λ<≤+不存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=；当1λ>存在与坐标轴不重合地 直线l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 地 距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d=12d d =.又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11ABxxλλ+=-.由点(,)AAA x kx ，(,)BBB x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0AB xx >>，所以22AB xx >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为2k>，所以由2222222()()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABxxλ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+不存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=；当1λ>存在与坐标轴不重合地 直线l 使得12S S λ=.。
2022年湖北省高考文科数学试题及答案(word完整版)
2022年湖北省高考文科数学试题及答案(word完整版)数学试题（文史类）本试题卷共4页，三大题21小题。
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0．5毫米黑色黑水签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1,2,3,4,5,6,7,8,A1,3,5,7,B2,4,5,AB1．已知U则ðUA．6,8C．4,6,7B．5,7D．1,3,5,6,8341,2,1,12．若向量ab，则2a+b与ab的夹角等于A．B．C．D．3．若定义在R上的偶函数f()和奇函数g()满足f()g()e，则g()= A．eeB．(ee)C．(ee)D．(ee)．将两个顶点在抛物线y22p另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，(p0)上，则A．n0B．n1C．n2D．n35．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间10,12内的频数为A．18B．36C．54D．726．已知函数f(，若f()1，)inco,R的取值范围为A．，2k2k,kZ则B．，kk,kZC．D．，2k2k,kZ，kk,kZ6666557．设球的体积为V，它的内接正方体的体积为V，下列说法中最合适的是A．V比V大约多一半C．V比V大约多一倍B．V比V大约多两倍半D．V比V大约多一倍半8．直线2y100与不等式组0y0y243y20表示的平面区域的公共点有A．0个B．1个C．2个D．无数个9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A．1升B．6766升C．474升D．3733升10．若实数a，b满足a0,b0，且ab0，则称a与b互补，记(ab,)ab,那么(a,b)0是a与b互补的A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
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普通高校招生统一考试（湖北卷）数学（文史类）注意事项：1.答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4.考试结束，请将本试题和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 2.函数)21,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且的反函数是 A.)21,(2121≠∈-+=x R x x x y 且 B.)21,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 C.)1,()1(21≠∈-+=x R x x xy 且D.)1,()1(21-≠∈+-=x R x x xy 且3.“sin α=21”是“212cos =α”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种5.已知双曲线1412222222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=A.3B.5C.3D.26.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于A.21 B.22 C.23D.33 7.函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于 A.)2,6(-πB.)2,6(πC.)2,6(--πD.)2,6(π-8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 A.20xx 元 B.2200元 C.2400元 D.2800元9.设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{215+}，[215+],215+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
湖北文科数学试题及答案
湖北文科数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. √2C. πD. 1.5答案：B2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B3. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}答案：B4. 以下哪个是二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解？A. x = 2B. x = 3C. x = 4D. x = 6答案：A5. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第5项a5：A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A6. 根据题目分析，下列哪个选项是错误的？A. 错误选项B. 正确选项C. 另一个错误选项D. 另一个正确选项答案：A7. 已知直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (-3, 0)B. (0, 3)C. (1, 0)D. (0, 0)答案：A8. 以下哪个是圆的标准方程？A. (x-1)^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 2C. (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1D. x^2 + y^2 = 1答案：C9. 如果sinθ = 1/√2，那么cosθ的值是：A. -1/√2B. 1/√2C. 0D. 1答案：B10. 已知函数f(x) = ln(x)，求f'(x)：A. 1/xB. xC. -1/xD. x^2答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 若a + b = 7，a - b = 5，则a^2 - b^2的值是________。
答案：3612. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2，求f(1)的值是________。
答案：-413. 已知向量\( \vec{a} \) = (3, 4)，\( \vec{b} \) = (-1, 2)，求\( \vec{a} \)与\( \vec{b} \)的点积是________。
高考文科数学试题及答案湖北
绝密★启用前2005年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学试题卷(文史类）本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分。
考试时间120分钟.第I 部分（选择题 共60分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效。
3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 ( ）A ．9B ．8C ．7D ．62．对任意实数a ，b ,c ,给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件;④“a <5”是“a <3”的必要条件。
其中真命题的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知向量a =（－2，2），b =（5,k ）.若|a +b ｜不超过5,则k 的取值范围是 （ ） A ．[－4,6］ B ．［－6,4] C ．［－6，2］ D ．［－2，6］ 4．函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）5．木星的体积约是地球体积的30240倍，则它的表面积约是地球表面积的 （ )A ．60倍B ．6030倍C ．120倍D ．12030倍6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2,有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ )A ．163 B ．83 C ．316 D ．38 7．在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若c a c b b a //,,则⊥⊥； ②若c a c b b a ⊥⊥则,,//; ③若b a b a //,,//则ββ⊂；④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直。
湖北省2019年文数高考试题文档版(含答案)
- 1 - 绝密★启用前
湖北省2019年文科数学高考试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i 12i z
，则z = A ．2
B ．3
C ．2
D ．1 2．已知集合
1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ，，，则C U B A A ．1,6
B ．1,7
C ．6,7
D ．1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b
c ，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51
2（51
2≈0.618，
称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为
105cm ，头顶至脖子下端的长
度为26 cm ，则其身高可能是
a b c a c b c a b b c a。
2022年湖北高考试卷(文数,word解析版)
2022年湖北高考试卷（文数，word 解析版）数学（文科）【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @sina ）本试题卷共4页，共22题。
满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直截了当答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试终止后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.653．函数()cos2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 5．过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=6．已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示，则(2)y f x =--的图象为7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，假如关于任意给定的等比数列{}n a ，{()}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④ 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 A ．4:3:2B ．5:6:7C ．5:4:3D ．6:5:49．设,,a b c +∈R ，则“1abc =”是“111a b cab c++≤++”的A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A ．112π-B ．1πC ．21π-D ．2π第6题图O 1 2x1-1yAO 1 2x1-1yBO 1 2x1-1y C O 1 2x1-1y DO 1 2x1-1y 第10题图侧视图正视图 4 42俯视图11第15题图二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人. 现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人． 12．若3ii 1ib a b +=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b += .13．已知向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ； （Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为 .14．若变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩ 则目标函数23z x y =+的最小值是 .15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .17．传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}na ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}nb . 能够估量：（Ⅰ）2012b 是数列{}na 中的第________项；（Ⅱ）21k b-=________.（用k 表示）第16题图第17题图 10 6 3 1 ···三、解答题：本大题共5小题，共65分. 解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）设函数22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+⋅-+()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象通过点π(,0)4，求函数()f x 的值域.19．（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -. （Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知10AB =，1120A B =，230AA =，113AA =（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20．（本小题满分13分）已知等差数列{}na 前三项的和为3-，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{}na 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}na 的前n 项和.21．（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判定曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分14分）设函数()(1) (0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，a ，b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f处的切线方程为1x y +=. （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <. A 2 B 2 C 2D 2 CBADA 1B 1C 1D 1第19题图2020年一般高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：A 卷：1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 二、填空题：11． 6 12． 3 13．（Ⅰ）；（Ⅱ） 14． 2 15．12π 16． 9 17．（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -三、解答题：18．解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±， 因此ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ． 又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，因此1k =，故56ω=. 因此()f x 的最小正周期是6π5.（Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=. 故5π()2sin()36f x x =-()f x 的值域为[22-. 19．解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，因此2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为ABAD A =，因此2AA ⊥平面ABCD .连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，因此2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，因此AC BD ⊥.依照棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面. 又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D平面ABCD BD =，平面11BB D D平面111111A B C D B D =，因此B 1 D 1∥BD . 因此 由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，11AC B D ⊥.又因为2AAAC A =，因此11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，因此2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 因此2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+.因此该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=，故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩ 因此由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37na n =-.（Ⅱ）当35na n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩ 记数列{||}n a 的前n 项和为nS .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式. 综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩21．解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，因此0x x =，01||||y y m=. ① 因为A 点在单位圆上运动，因此22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且. 因为(0,1)(1,)m ∈+∞，因此当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)；当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,-，(0,.（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ， 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，因此由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即212224m x x m k =+.因为点H 在直线QN 上，因此2121222224km x y kx kx m k -==+.因此11(2,2)PQ x kx =--，22112121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++.而PQ PH ⊥等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k -⋅==+， 即220m -=，又0m >，得m故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >， 都有PQ PH ⊥.解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，因此222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 因此由③式可得212121212()()()()y y y y mx x x x -+=--+. ④ 又Q ，N ，H 三点共线，因此QNQH kk =，即1121122y y y x x x +=+.因此由④式可得211212*********()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+.而PQ PH ⊥等价于1PQPH kk ⋅=-，即212m-=-，又0m >，得m ，故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >，都有 PQ PH ⊥.22．解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.因为1()(1)n nf x anx a n x -'=-+，因此(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，因此1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)()1n n f x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯独零点01n x n =+. 在(0,)1n n +上，()0f x '>，故()f x 单调递增；而在(,)1nn +∞+上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()()(1)111(1)n n n n n n n f n n n n +=-=++++.（Ⅲ）令1()ln 1+(0)t t t t ϕ=->，则22111()= (0)t t t t t tϕ-'=->. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 因此()0(1)t t ϕ>>， 即1ln 1(1)t t t>->. 令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>， 因此11()e n n n ++>，即11(1)enn n n n +<+. 由（Ⅱ）知，11()(1)en n n f x n n +≤<+，故所证不等式成立.。
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绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =, 集合{1,3,5,6}A =, 则U A =ð A ．{1,3,5,6} B ．{2,3,7}C ．{2,4,7}D ． {2,5,7}2．i 为虚数单位, 21i ()1i-=+A ．1B ．1-C ．iD ． i -3．命题“x ∀∈R , 2x x ≠”的否定是 A ．x ∀∉R , 2x x ≠ B ．x ∀∈R , 2x x = C ．x ∃∉R , 2x x ≠D ．x ∃∈R , 2x x =4．若变量x , y 满足约束条件4,2,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩则2x y +的最大值是A ．2B ．4C ．7D ．85．随机掷两枚质地均匀的骰子, 它们向上的点数之和不超过5的概率记为1p , 点数之和大于5的概率记为2 p , 点数之和为偶数的概率记为3p , 则 A ．123p p p << B ．213p p p << C ．132p p p << D ．312p p p <<6．根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.50.5-0.52.0-3.0-得到的回归方程为ˆybx a =+, 则 A ．0a >, 0b < B ．0a >, 0b > C ．0a <, 0b <D ．0a <, 0b >7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中, 一个四面体的顶点坐标分别是（0, 0, 2）, （2, 2, 0）, （1, 2, 1）, （2, 2, 2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图, 则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②8．设,a b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根, 则过2(,)A a a ,2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3图③ 图①图④图② 第7题图9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数, 当0x ≥时, 2()=3f x x x -. 则函数()()+3g x f x x =- 的零点的集合为A. {1,3}B. {3,1,1,3}--C. {23}-D. {21,3}--10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周, 令相乘也. 又以高乘之, 三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h , 计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3. 那么, 近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 A ．227B ．258C ．15750D ．355113二、填空题：本大题共7小题, 每小题5分, 共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分.11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件, 采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产, 则乙设备生产的产品总数为 件.12．若向量(1,3)OA =-u u u r , ||||OA OB =u u u r u u u r , 0OA OB ⋅=u u u r u u u r,则||AB =u u u r.13．在△ABC 中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c . 已知π6A =, a=1, b =则B = . 14．阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 若输入n的值为9, 则输出S 的值为 .第14题图15．如图所示, 函数()y f x =的图象由两条射线和三条线段组成．若x ∀∈R , ()>(1)f x f x -, 则正实数a 的取值范围为 ．16．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下, 某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数, 单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶, 单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关, 其公式为2760001820vF v v l=++.（Ⅰ）如果不限定车型, 6.05l =, 则最大车流量为 辆/小时；（Ⅱ）如果限定车型, 5l =, 则最大车流量比（Ⅰ）中的最大车流量增加 辆/小时. 17．已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -, 若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M , 都有||||MB MA λ=, 则 （Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .三、解答题：本大题共5小题, 共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-, [0,24)t ∈. （Ⅰ）求实验室这一天上午8时的温度； （Ⅱ）求实验室这一天的最大温差.第15题图19．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：12a =, 且1a , 2a , 5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和, 是否存在正整数n , 使得n S 60800n >+？若存在, 求n的最小值；若不存在, 说明理由.20．（本小题满分13分）如图, 在正方体1111ABCD A B C D -中, E , F , P , Q , M , N 分别是棱AB , AD , 1DD , 1BB , 11A B , 11A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN .21．（本小题满分14分）π为圆周率, e 2.71828=L 为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求3e , e 3, πe , e π, π3, 3π这6个数中的最大数与最小数.22．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中, 点M 到点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离多1．记点M 的 轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设斜率为k 的直线l 过定点(2,1)P -. 求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.第20题图绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 二、填空题：11．1800 12． 13．π3或2π314．1067 15．1(0)6, 16．（Ⅰ）1900；（Ⅱ）100 17．（Ⅰ）12-；（Ⅱ）12三、解答题：18．（Ⅰ）ππ(8)108sin 81212f =⨯-⨯()()2π2π10sin 33=-110()102=-=.故实验室上午8时的温度为10 ℃.（Ⅱ）因为π1πππ()10sin )=102sin()12212123f t t t t =-+-+, 又024t ≤<, 所以πππ7π31233t ≤+<, ππ1sin()1123t -≤+≤. 当2t =时, ππsin()1123t +=；当14t =时, ππsin()1123t +=-. 于是()f t 在[0,24)上取得最大值12, 取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃, 最低温度为8 ℃, 最大温差为4 ℃.19．（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d , 依题意, 2, 2d +, 24d +成等比数列, 故有2(2)2(24)d d +=+,化简得240d d -=, 解得0d =或d =4. 当0d =时, 2n a =；当d =4时, 2(1)442n a n n =+-⋅=-,从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时, 2n S n =. 显然260800n n <+,此时不存在正整数n , 使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时, 2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+, 即2304000n n -->, 解得40n >或10n <-（舍去）,此时存在正整数n , 使得60800n S n >+成立, n 的最小值为41. 综上, 当2n a =时, 不存在满足题意的n ；当42n a n =-时, 存在满足题意的n , 其最小值为41.20．证明：（Ⅰ）连接AD 1, 由1111ABCD A B C D -是正方体, 知AD 1∥BC 1,因为F , P 分别是AD , 1DD 的中点, 所以FP ∥AD 1. 从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ , 且1BC ⊄平面EFPQ ,故直线1BC ∥平面EFPQ ．（Ⅱ）如图, 连接AC , BD , 则AC BD ⊥.由1CC ⊥平面ABCD , BD ⊂平面ABCD , 可得1CC BD ⊥. 又1AC CC C =I , 所以BD ⊥平面1ACC .而1AC ⊂平面1ACC , 所以1BD AC ⊥. 因为M , N 分别是11A B , 11A D 的中点, 所以MN ∥BD , 从而1MN AC ⊥. 同理可证1PN AC ⊥. 又PN MN N =I , 所以直线1AC ⊥平面PQMN .21.（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()∞0,+．因为ln ()x f x x =, 所以21ln ()xf x x -'=． 当()0f x '>, 即0e x <<时, 函数()f x 单调递增； 当()0f x '<, 即e x >时, 函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为(e,)+∞． （Ⅱ）因为e 3π<<, 所以eln3eln π<, πlne πln3<, 即e e ln3ln π<, ππln e ln3<．第20题解答图QBEM NACD 1C F 1D1A1BP于是根据函数ln y x =, e x y =, πx y =在定义域上单调递增, 可得 e e 33ππ<<, 3ππe e 3<<．故这6个数的最大数在3π与π3之中, 最小数在e 3与3e 之中． 由e 3π<<及（Ⅰ）的结论, 得(π)(3)(e)f f f <<, 即ln πln3lneπ3e<<． 由ln πln3π3<, 得3πln πln3<, 所以π33π>； 由ln3ln e3e<, 得e 3ln3lne <, 所以e 33e <． 综上, 6个数中的最大数是π3, 最小数是e 3．22．（Ⅰ）设点(,)M x y , 依题意得||||1MF x =+,||1x +,化简整理得22(||)y x x =+.故点M 的轨迹C 的方程为24,0,0,0.x x y x ≥⎧=⎨<⎩（Ⅱ）在点M 的轨迹C 中, 记1:C 24y x =, 2:C 0(0)y x =<.依题意, 可设直线l 的方程为1(2).y k x -=+由方程组21(2),4,y k x y x -=+⎧⎨=⎩ 可得244(21)0.ky y k -++= ①（1）当0k =时, 此时 1.y = 把1y =代入轨迹C 的方程, 得14x =. 故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4.（2）当0k ≠时, 方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+-. ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x , 则 由1(2)y k x -=+, 令0y =, 得021k x k+=-. ③ （ⅰ）若00,0,x ∆<⎧⎨<⎩ 由②③解得1k <-, 或12k >.即当1(,1)(,)2k ∈-∞-+∞U 时, 直线l 与1C 没有公共点, 与2C 有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.（ⅱ）若00,0,x ∆=⎧⎨<⎩ 或00,0,x ∆>⎧⎨≥⎩ 由②③解得1{1,}2k ∈-, 或102k -≤<.即当1{1,}2k ∈-时, 直线l 与1C 只有一个公共点, 与2C 有一个公共点. 当1[,0)2k ∈-时, 直线l 与1C 有两个公共点, 与2C 没有公共点.故当11[,0){1,}22k ∈--U 时, 直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.（ⅲ）若00,0,x ∆>⎧⎨<⎩ 由②③解得112k -<<-, 或102k <<.即当11(1,)(0,)22k ∈--U 时, 直线l 与1C 有两个公共点, 与2C 有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合（1）（2）可知, 当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-+∞U U 时, 直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--U 时, 直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--U 时, 直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.。