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平面向量同步练习

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平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。

18 B。

平面向量同步练习题(练习题)讲义

平面向量同步练习题(练习题)讲义
0 8．若 a = 1 , b = 2 ，a 与 b 的夹角为 60 ，若 (3a + 5b) ⊥ ( ma − b) ， m 的值为________ 则
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9．若菱形 ABCD 的边长为 2 ，则 AB − CB + CD = ________ 10．若 a = (2,3) ， b = (−4,7) ，则 a 在 b 上的投影为________ 11．已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ，向量 b = ( 3, −1) ，则 2a − b 的最大值是________ 12．若 A(1, 2), B (2,3), C (−2,5) ，试判断则△ABC 的形状________ 13．若 a = (2, −2) ，则与 a 垂直的单位向量的坐标为________ 14．若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a − b |= 2, 则 | a + b |= ________ 15．平面向量 a, b 中，已知 a = (4, −3) ， b = 1 ，且 a ⋅ b = 5 ，则向量 b = ________
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9．平面向量 a = ( 3, −1), b = ( ,
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1 3 ) ，若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ，满足条件： 2 2
r r r r r r r r x = a + (t 2 − 3)b ， y = −ka + tb ，且 x ⊥ y ，试求函数关系式 k = f (t ) 。

人教A版(2019)必修第二册《平面向量的概念》同步练习

人教A版(2019)必修第二册《平面向量的概念》同步练习

人教A 版（2019）必修第二册《6.1 平面向量的概念》同步练习一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知平面向量a →=(−2,1)，b →=(1,2)，则|a →−2b →|的值是( )A. 1B. 5C. √3D. √52.（5分）已知向量a →=(2,4),b →=(−2,m)，且|a →+b →|=|a →−b →|，则m =()A. √3B. 1C.2√33D. 23.（5分）已知四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，若BM →=xAB →+yAD →，则x +y =()A. 3B. 52C. 2D. −124.（5分）已知四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，设AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，则下列向量中与PM →相等的向量是( )A. 12a →+b →−c →B. a →+12b →−c →C. −a →−12b →+c →D. a →+12b →+c →5.（5分）已知直线上OA →，OB →的坐标分别为−1，2，则下列结论不正确的是( )A. OA →<OB →B. |OA →|<|OB →| C. |AB →|=3D. AB 的中点坐标为126.（5分）在△ABC 中，已知BC →=3BD →，则AD →=()A. 13(AC →+2AB →) B. 13(AB →+2AC →) C. 14(AC →+3AB →)D. 14(AC →+2AB →)7.（5分）下列说法中错误的是()A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线C. 单位向量的长度为1D. 相等向量一定是共线向量8.（5分）下列说法正确的是( )A. 单位向量均相等B. 单位向量e →=1 C. 零向量与任意向量平行D. 若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，则a →=±b →9.（5分）若平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等，则|a →+b →+c →|=( )A. √3B. 3C. 0D. 110.（5分）已知不共线的向量a →,b →,|a →|=2,|b →|=3,a →.(b →−a →)=1，则|a →−b →|=( )A. √3B. 2√2C. √7D. √2311.（5分）有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；①若向量AB →与CD →是共线的向量，则A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；①若|a |=|b |，则a =b 或a =-b ；①若a ①b =0，则a =0或b =0；其中正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 112.（5分）已知a →,b →为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )A. 如果a →与b →平行，那么a →与b →相等 B. a →与b →相等C. 如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →D. a →与b →共线二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是 ______.14.（5分）若向量AB →=−3CD →，则向量AB →与向量CD →共线.______ (判断对错) 15.（5分）给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；③若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →=DC →； ⑤若m →=n →，n →=p →，则m →=p →； ⑥若向a →//b →，b →//c →，则a →//c →． 其中错误的命题有______.(填序号)16.（5分）已知平面内三点A （2，-3），B （4，3），C （5，a ）共线，则a=____ 17.（5分）已知向量a →=(m,1),b →=(4−n,2),m >;0,n >;0，若a →//b →，则1m+8n的最小值为__________;三 、多选题（本大题共4小题，共20分） 18.（5分）下列命题中正确的是( )A. 单位向量的模都相等B. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C. 若⇀ a 与b →满足|a |>|b |，且⇀ a 与b →同向，则a →>b →D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 19.（5分）下列说法中，正确的个数是( )A. 时间、摩擦力、压强、重力、身高、温度、加速度都是向量；B. 向量的模是一个正实数；C. 相等向量一定是平行向量；D. 向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量． 20.（5分）下列关于平面向量的说法中，正确的是()A. 若a →=b →，b →=c →，则a →=c →B. 若a →//b →，b →//c →，则a →//c →C. 若xa →+yb →=0→，x ，y ∈R ，a →，b →不共线，则x =y =0 D. 若|a →+b →|=|a →−b →|，则|a →|2+|b →|2=|a →+b →|221.（5分）已知点P 为△ABC 所在平面内一点，且PA →+2PB →+3PC →=0→，若E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，则下列结论正确的是()A. 向量PA →与PC →可能平行 B. 向量PA →与PC →可能垂直 C. 点P 在线段EF 上D. PE ：PF =1：2四 、解答题（本大题共4小题，共48分）22.（12分）已知四点A(x,0)，B(2x ,1)，C(2,x)，D(6,2x ). (1)求实数x ，使向量AB →与CD →共线；(2)当向量AB →与CD →共线时，A ，B ，C ，D 四点是否存在同一直线上？23.（12分）如图，半圆的直径AB =6，C 是半圆上的一点，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD =1，BE =4，DE =3.[{"ℎ":"57.0","w":"837.0","x":"63.0","y":"509.0"}](1)求证：AC →//DE →;(2)求|AC →|.24.（12分）已知D,E,F 分别是ΔABC 各边AB ,BC ,CA 的中点，分别写出图中与DE →，EF →，FD →相等的向量．25.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知向量m→=(a,√3b)，n→=(cosA,sinB)，且m→//n→.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅰ)若c=5，cosB=√21，求a的值.7答案和解析1.【答案】B;【解析】解：a →−2b →=(−4,−3)． ∴|a →−2b →|=√(−4)2+(−3)2=5． 故选：B ．利用数量积运算性质即可得出．此题主要考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B;【解析】解：由题意可得|a →+b →|2=|a →−b →|2， 即a →2+2a →·b →+b →2=a →2−2a →·b →+b →2， 可得a →·b →=0，又a →=(2,4)，b →=(−2,m)， 即有2×(−2)+4m =0， 解得m =1， 故选：B.由已知条件结合向量模的求法可得a →·b →=0，再代入坐标运算即可求解． 此题主要考查了向量模的求法，向量数量积的坐标运算，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：∵四边形ABCD 满足AD →=14BC →，点M 满足DM →=MC →，∴BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点， ∴BM →=BD →+BC →2=BA →+AD →+4AD→2=−12AB →+52AD →.又∵BM →=xAB →+yAD →，∴x =−12，y =52， 故 x +y =2， 故选：C.由题意先求得BC →=4AD →，故点M 为线段DC 的中点，再利用平面向量的线性运算，借助平面向量的基本定理即可求解．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，平面向量的线性运算，属于中档题．4.【答案】B;【解析】解：∵四棱锥P −ABCD 底面为平行四边形，点M 为BC 中点，AB →=a →，AD →=b →，AP →=c →，∴PM →=PB →+12BC →=PA →+AB →+12BC →=−c →+a →+12b →， 故选：B.直接根据向量的三角形法则进行求解即可．此题主要考查了向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：向量不能比较大小，故A 不正确， ∵|OA →|=1，|OB →|=2，∴|OA →|<|OB →|，故选项B 正确， ∵AB →=OB →−OA →=2−(−1)=3，∴|AB →|=3，故选项C 正确， ∵A 的坐标为−1，B 的坐标为2，∴AB 的中点坐标为−1+22=12，故选项D 正确．故选：A.利用直线上的向量的坐标运算求解．此题主要考查了直线上的向量的坐标运算，考查了中点坐标公式，是基础题．6.【答案】A;【解析】解：根据向量的三角形法则得到AD →=AB →+BD →=AB →+13BC →=AB →+13(AC →−AB →)=23AB →+13AC →=13(2AB →+AC →)；故选：A.利用平面向量的三角形法则，将AD →用AB →,AC →表示，找出正确答案． 此题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题．7.【答案】B;【解析】解：零向量与任一向量平行，故A 正确； 方向相反的两个非零向量一定共线，故B 错误； 单位向量的长度为1，故C 正确；相等向量的模相等，方向相同，一定是共线向量，故D 正确． 故选：B.由零向量的概念判断A ；由相反向量的概念判断B ；由单位向量的概念判断C ；由相等向量的概念判断D.此题主要考查向量的基本概念，是基础题．8.【答案】C; 【解析】此题主要考查了向量的概念，属于基础题. 根据向量的概念逐一判定即可.解：单位向量的模相等且为1，但单位向量的方向不确定，故A 、B 错误； 零向量与任意向量平行，故C 正确；若向量a →,b →满足|a →|=|b →|，只能得出向量a →,b →的模相等，但向量a →,b →的方向不确定，故D 错误； 故选C.9.【答案】C;【解析】解：∵平面单位向量a →，b →，c →不共线且两两所成角相等； ∴a →，b →，c →两两夹角为120°，且|a →|=|b →|=|c →|=1；∴|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√(a →)2+(b →)2+(c →)2+2a →.b →+2a →.c →+2b →.c →=√3+6cos120° =0 故选：C ．根据三个向量不共线且两两所成的角相等可知，它们两两夹角为120°；再根据平面向量模的计算公式即可得出答案．该题考查了平面向量模的运算，属基础题．10.【答案】A;【解析】解：∵|a →|=2，|b →|=3，a →⋅(b →−a →)=1， ∴a →⋅b→−a 2→=a →⋅b →−4=1，∴a →⋅b →=5，∴|a →−b →|2=a 2→−2a →⋅b →+b 2→=4−2×5+9=3，∴|a →−b →|=√3， 故选：A ．由已知结合数量积的运算可得a →⋅b →=5，代入运算可得|a →−b →|2的值，求其算术平方根即得．此题主要考查平面向量数量积的运算，涉及向量的模长的求解，属中档题．11.【答案】D;【解析】此题主要考查平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．解：对于①，互为相反向量的两个向量模相等，命题正确；对于①，向量AB 与CD 是共线的向量，点A ，B ，C ，D 不一定在同一条直线上， 如平行四边形的对边表示的向量，原命题错误； 对于①，当|a |=|b |时，a =b 或a =-b 不一定成立， 如单位向量模长为1，但不一定共线，原命题错误； 对于①，当a ①b =0时，a =0或b =0或a ①b ，原命题错误； 综上，正确的命题是①，共1个． 故选D.12.【答案】C;【解析】解：∵a →,b →为两个单位向量，∴如果a →与b →平行，那么a →=b →或a →=−b →，故A 不正确，C 正确； 因为两向量相等的充要条件是模相等且方向相同，所以B 不正确； ∵a →,b →为两个单位向量，∴a →,b →为两个向量不一定平行，故D 不正确． 故选：C ．a →,b →为两个单位向量，它们的模是单位长度1，方向是任意的，根据两个单位向量的这两条性质，可以判断四个选项的真假．该题考查了命题的真假判断与应用，解答该题的关键是单位向量的定义及两向量相等的条件，同时考查了两向量的应用．13.【答案】（13，23，-23）;【解析】解：向量a →=(1,2,−2)， 可得|a →|=√1+4+4=3，所以与向量a →=(1,2,−2)方向相同的单位向量是：(13,23,−23). 故答案为：(13,23,−23).求出向量的模，然后求解单位向量即可．此题主要考查单位向量的求法，向量的模的计算，是基础题．14.【答案】对;【解析】解：向量AB →=−3CD →，根据平面向量的共线定理知， 向量AB →与向量CD →共线． 故答案为：对．根据平面向量的共线定理，判断即可．本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．15.【答案】①②③⑥;【解析】解：在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同，故①错误；在②中，若|a →|=|b →|，则a →与b →大小相等，方向不一定相同，故②错误； 在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形，故③错误； 在④中，在平行四边形ABCD 中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →，故④正确； 在⑤中，若m →=n →，n →=p →，则向量相等的定义得m →=p →，故⑤正确； 在⑥中，若向a →//b →，b →//c →，当b →=0→时，a →与c →不一定平行，故⑥不正确． 故答案为：①①①①．在①中，两个零向量相等，则它们的起点相同，终点不一定相同；在②中，a →与b →大小相等，方向不一定相同；在③中，若AB →=DC →，则A ，B ，C ，D 四点不一定构成平行四边形；在④中，由向量相等的定义得一定有AB →=DC →；在⑤中，由向量相等的定义得m →=p →；在⑥中，当b →=0→时，a →与c →不一定平行．该题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量相等、向量平行的合理运用．16.【答案】6;【解析】解：AB=(2，6) ，AC=(3，a+3) 由已知知AB ∥AC 所以2（a+3）=6×3 解得a=6 故答案为：617.【答案】92; 【解析】此题主要考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的充要条件，属于中档题. 由a →//b →，可得：n +2m =4，则1m+8n=14(n +2m )(1m+8n)，化简利用基本不等式求解即可．解：∵a →//b →，∴4−n −2m =0，即n +2m =4， ∵m >;0，n >;0， ∴1m +8n=14(n +2m )(1m +8n ) =14(10+n m+16m n)⩾14(10+2√n m·16mn)=92，当且仅当n =4m =83时取等号， ∴1m +8n 的最小值是92. 故答案为92.18.【答案】AD; 【解析】此题主要考查向量的有关概念，属于基础题．利用向量的有关概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.解：对于选项A ：单位向量的模均为1，故A 正确，对于选项B ：长度不等且方向相反的两个向量一定是共线向量，故B 错误， 对于选项C ：向量不能比较大小，故C 错误， 对于选项D ：根据相等向量的概念知，故D 正确. 故选AD .19.【答案】CD; 【解析】此题主要考查了向量的基本概念，熟练掌握向量，零向量，平行向量，向量的模的概念是解答该题的关键，属于基础题.直接由向量、零向量、向量相等，向量的模和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案．解：对于A ，时间没有方向，不是向量，故A 错误；对于B ，零向量的模为0，故B 错误；对于C ，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量，故C 正确；对于D ，根据零向量与任意向量共线，得到向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量，故D 正确．故选CD .20.【答案】ACD;【解析】解：若a →=b →,b →=c →，则一定a →=c →，∴A 正确；若a →与c →不平行，b →=0→，满足a →//b →,b →//c →，则得不出a →//c →，即B 错误；若xa →+yb →=0→,x,y ∈R,a →,b →不共线，则一定得出x =y =0，若x ，y 中有一个不为0，则可得出a →，b →共线，与已知不共线矛盾，∴C 正确；若|a →+b →|=|a →−b →|，则(a →+b →)2=(a →−b →)2，则a →·b →=0，从而得出|a →+b →|2=|a →|2+|b →|2，即D 正确．故选：ACD.A 显然正确；b →=0→时，可说明B 错误；根据平面向量基本定理即可说明C 正确；进行向量数量积的运算即可说明D 正确．此题主要考查了平面向量和共线向量基本定理，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．21.【答案】BC;【解析】解：∵PA →+2PB →+3PC →=0→，∴PA →+PC →+2(PB →+PC →)=0→，∵E 为AC 的中点，F 为BC 的中点，∴2PE →+2×2PF →=0→，∴PE →=−2PF →，∴P 为FE 的三等分点(靠近点F)，即PE ：PF =2：1，故C 正确，D 错误，∴向量PA →与PC →不可能平行，故A 错误；当|AC →|=2|EP →|=43|EF →|=23|AB →|时，向量PA →与PC →垂直，B 正确．故选：BC.由题意并根据平面向量线性运算可知PE →=12(PA →+PC →)，PF →=12(PB →+PC →)，代入等式可得PE →=−2PF →，即可判断C 和D ；根据平面中的位置关系，可判断A 和B.本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算及平面向量平行和垂直的判断，属中档题．22.【答案】解：（1）AB →=（x ，1），CD →=（4，x ），∵AB →与CD →共线，∴x 2-4=0，解得x=±2．∴当x=±2时，向量AB →与CD →共线．（2）取x=2时，A （2，0），B （4，1），C （2，2），D （6，4），直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，因此四点不共线．取x=-2时，A （-2，0），B （-4，1），C （2，-2），D （6，-4），直线AB 的方程为y-0=1−0−4−(−2)（x+2），化为：x+2y+2=0．点B ，D 满足直线AB 的方程，因此四点共线．;【解析】(1)AB →=(x,1)，CD →=(4,x)，利用向量共线定理解出x.(2)取x =2时，A(2,0)，B(4,1)，C(2,2)，D(6,4)，直线AC ⊥x 轴，而点B ，D 不在直线AC 上，即可判断出四点共线．取x =−2时，A(−2,0)，B(−4,1)，C(2,−2)，D(6,−4)，直线AB 的方程为：x +2y +2=0.验证点B ，D 是否满足直线AB 的方程，即可判断出结论．此题主要考查了向量共线定理、向量共线与直线平行的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】(1)证明：由题意知，在△DEB 中，BD =5，DE =3，BE =4，∴DE 2+BE 2=BD 2，∴△DEB 是直角三角形，∠DEB =90∘.又∵点C 为半圆上一点，∴∠ACB =90∘.∴AC//DE ，故AC →//DE →.(2)解：由AC//DE 知△ABC ∽△DBE.∴AC DE =AB BD ，即AC 3=65.∴AC =185，即|AC →|=185.;【解析】本题考查向量的概念及几何表示、平行向量的概念以及向量的模，属于基础题.(1)根据勾股定理可得DE ⊥BE ，因为AC ⊥BC ，故可得AC →//DE →；(2)由三角形相似得相似比，从而可求出答案.24.【答案】略;【解析】DE →=AF →=FC →；EF →=BD →=DA →；FD →=CE →=EB →.25.【答案】解：（Ⅰ）∵m →∥n →，∴asinB −√3bcosA =0，∴根据正弦定理得，sinAsinB −√3sinBcosA =0，且sinB ＞0，∴sinA =√3cosA ，tanA =√3，且A ∈（0，π），∴A =π3；（Ⅱ）∵cosB =√217，∴sinB =2√77，且C =2π3−B ， ∴sinC =sin(2π3−B)=√32×√217+12×2√77=5√714，且c=5， ∴根据正弦定理得，c sinC =b sinB ，即5√714=2√77，解得b=4，∴根据余弦定理得，a 2=b 2+c 2-2bccosA=16+25-2×4×5×12=21，∴a =√21．;【解析】(Ⅰ)根据m →//n →即可得出asinB −√3bcosA =0，然后根据正弦定理即可得出sinA =√3cosA ，然后即可求出A =π3；(Ⅰ)可先求出sinB =2√77，sinC =5√714，然后根据正弦定理可求出b 的值，进而根据余弦定理可求出a 的值．本题考查了平行向量的坐标关系，正余弦定理，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题．。

平面向量同步练习

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2.1平面向量的实际背景及基本概念 1 .在下列判断中，正确的是 ( )①长度为0的向量都是零向量； ②零向量的方向都是相同的； ③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向； ⑤任意向量与零向量都共线.A .①②③ B.②③④ C .①②⑤ D.①③⑤2. 下列关于向量的结论：(1)若|a | =|b |，贝U a = b 或a =- b ； (2)向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；⑶起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a 与b 同向，且| a |>| b |，则a >b. 其中正确的序号为() A. (1)(2)B.⑵(3) C . (4)D. (3) 3. 下列说法正确的是( ) ① 向量ABw &是平行向量，则 A B C D 四点一定不在同一直线上② 向量a 与b 平行，且| a | = | b |丰0,贝U a + b = 0或a - b = 016.已知E,F 分别是平行四边形 ABCD 勺边BC,CD 中点,AF 与DE 相交于点G,若AB = a , AD 二b ,则GC 用a, b 表示为 ________ .③向量AB 勺长度与向量BA 勺长度相等 A. ①③ 1. 向量 2. ④单位向量都相等B.②④ C .①④ D.②③—2_― T2向量的线性运算及其几何意义(AB MB) (BO BC) OM 化简后等于PM -PN MN 所得结果是3. 4. 化简 四边形ABCD 是平行四边形，则BC -CD BA 等于11 — r r -4-化简的丄［丄(2a 8b) -(4^ 2b)］结果是 _____________ 3 2 已知向量 a , b ，且 3(x+a )+2(x — 2a )—4(x —a+b )= 0，则 x = ___________ .若向量x 、y 满足2x +3y = a ,3x —2y = b , a 、b 为已知向量，贝U x = ________ ； y = —F T T T在矩形 ABCD 中，若 | AB |=3 J BC |=4，则 | AB AD |=已知正方形 ABCD 边长为J , AB 二a , BC 二b , AC =C ，则a b C 的模等于 已知|OA|=|a |=3 , |OB|=|b|=3，/ AOB=60，则 |a b|二 一10. 已知E 、F 分别为四边形 ABCD 勺边CD BC 边上的中点，设AD =a , BA = b ，则EF = _11. 在厶ABC 中，D E 、F 分别BC CA AB 的中点，点皿是厶ABC 的重心，则MA • MB - MC 等于12. 已知AD ，BE 分别是JABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD 二a , BE 二b ,则AC 是( ) 小、4 22 4 (A) a b (B) a b3 3 3 3 13. A. PA PB =0 B. PB PC =0 5. 6. 7. 8. 9. 42 (C) — a b (D)3 3 BC BA =2BP ,| 则( C. PC PA = 0 D. b 3 PA PB PC = 01 t T14. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD =2DB,CD =^CA — CB ,则’二• 斗 T 畔 畔F ・ ・15. 6、e 2是两个不共线的向量,且AB =2e •ke 2,CB=e 1 3e , ,C^2e^e 2 .若A B 、D 三点共线,则k 的值为 ______ .3 设t P 是^ A%C 所在平面内的一点屮2.3 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 蠹A . 52.已知平面向量A . - 1 a = (1 , B. B. 65 C ・¥ D. 13 —3) , b = (4 , — 2),入 a + b 与 a 垂直，则入=(1 C . -2 D. 2 3.已知 | a |=| A . 1 B T b | , .-1 a'_ b ，且(a + b ') — (k a - b )，则 k 的值是( ) C6), P ( 3, 4),且 AP =■ PB , x 和’的值分别为() C . -7 , - D . 5,- 5 5 5.已知向量a = ( 3, 1), b 是不平行于x 轴的单位向量，且 a • b = 3，贝U b 等于( ) 1, 4.已知平面内三点 A . -7 , 2A (-1 , 0), B( x , 」1 2 , 2 6. 设点M 是线段BC 的中点，点 A . 8 7. 已知a,b A. B. C. D. (1,0)JT &已知向量 A 30° B. 4 是非零向量且满足( A 在直线 BC 外, B C = 16, |A B + A C = |AB- A C ，则 | X M =( c. 2 a - 2b ) 丄a , 2 二 D. 1 (b -2a ) 丄b ,则a 与b 的夹角是( ) 5 二 6a =(1,2),b =(—2, M),|c|=、5,若(a b) 5 ,则a 与C 的夹角为 ( ) 2 D 150 °15 —,| a | = 3 , | b | = 5 ,贝U a 与b 的夹角是( B 60° 120 ° 9.已知△ ABC 中, XB= a , AC= b , a • b <0, &ABC =.30° B . 150 C . 210° D. 30° 或 150° 10. P 是厶ABC 所在平面上一点, PA PB 二 PB PC 二 PC PA ，贝U P 是厶 ABC 的(外心B 内心 重心 D 垂心 11. 已知向量 a=( cos msin v)，向量 b=( 、、3, -1)，则 |2a - b| 的最大值是12. (1) a = ( - 3,2) , b = (2,1) , c = (3 , - 1) , t € R13. (1) 已知向量 求|a + tb |的最小值及相应的t 值；(2)若a -tb 与c 共线，求实数t . 已知 XB= (6,1) , E3C = (x , y ) , &== ( - 2,- 3)，若 E3C// 5A ACL E3D 求x 、y 的值；(2)求四边形ABC 啲面积。

第二章 平面向量同步练习

第二章 平面向量同步练习

第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念1．下列说法正确的是 【 】 A ．平行向量就是其向量所在的直线互相平行 B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度为0D ．共线向量是在一条直线上的向量 2．已知下列命题：（1）若|a | = |b |，则a = b ；（2）两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若a = b ，b = c ，则a = c ； （4）若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的是 【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3.某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点.(1)作出向量AB 、BC 、CD (1 cm 表示200 m)； (2)求DA 的模.4.如右图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={a |a =，Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1. 已知正方形ABCD 的边长为1， 则AB BC AC ++=【 】A . 0B . 2C .2 D . 222.若O 为△ABC 内一点， 0O A O BO C ++=，则O 是△ABC 的 【 】 A ．内心 B ．外心 C ．垂心 D ．重心 3. 已知向量||||b a +=，其中,均为非零向量，则||的取值范围是____________4.已知两个力F 1，F 2的夹角是直角，且已知它们的合力F 与F 1的夹角是60︒，|F|=10N 求F 1和F 2的大小.5.用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则【 】A .a +b +c +d =0B .a -b +c -d =0C .a +b -c -d =0D .a -b -c +d =02.已知OA =a ， OB =b ，若|OA |=12，|OB |=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= .3.如右图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =，c -d =，并画出b -c 和a +d .4.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若AB =a ， BC =b ， OD =c ，试证明:c +a -b =OB .2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1. 点C ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 【 】A .0AD BE CF ++=B .0BD CF DF -+=C .0AD CE CF +-= D .0BD BE FC --=2.设四边形ABCD 中，有=21且||=||，则这个四边形是 【 】 A .平行四边形 B .矩形 C .等腰梯形 D .菱形3.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 【 】A .0PA PB += B .0PC PA += C .0PB PC +=D .0PA PB PC ++=4.已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA PB PC AC ++=u u r u u r u u u r u u u r，那么一定有 【 】A ．2PB CP =uu r uu r B ．2CP PB =uu r uu rC ．2AP PB =u u u r u u rD ．2PB AP =u u r u u u r2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理1. 设向量a ，()tb t R ∈ ，13()a b +是起点相同，终点共线的三个不共线向量，则实数t 的值等于【 】A .12B .16C .12- D .132.如右图，点E 为ABC ∆中 AB 边的中点，点F 为AC 的三等分点（靠近点A ），BF交CE 于点G ，若AG xAE yAF =+，则x y +等于【 】A .25B .35 C .45 D .753.如右图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +的值为_____________.4.在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量AG2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1.向量AB=(2，-1)，AC =(-4，1) 则BC = 【 】DAECa bBF GA . (-2，0)B .(6，-2)C . (-6，2)D . (-2，2)2.设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且= 4i + 2j ，AC = 3i + 4j ，则△ABC 的面积等于 【 】A .5B .9C .10D .153．若A (0， 1)， B (1， 2)， C (3， 4) 则AB -2BC = . 4．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ， 求P 点的坐标.2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且∥，则x = 【 】A ．9B ．6C ．5D ．12. 已知向量x b a b a x b a 则实数平行与若向量和,22),1,()2,1(-+==等于 【 】A ．21 B ．1 C ．31D ．2 3. 已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则nm等于 【 】 A ．21-B ．21C ．2-D ．2 4. 已知向量a = (-3 ，2 ) ， b =(x ， -4) ， 若a //b ，则x = 【 】 A 4 B 5 C 6 D 75. 已知27,65,2-=+-=+=，则点A 、B 、C 、D 中一定共线的三点是 . 2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义1.已知O 是△ABC 内一点，且满足→O A ·→O B ＝→O B ·→O C ＝→O C ·→O A ，则O 点一定是△ABC 的 【 】 A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心2.如右图，P 为△A O B 所在平面上一点，向量b OB a OA ==,，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量c =.若|a |=3，|b |=2，则c ·（a －b ）的值为A .5B .3C .25D .23 3.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= 4.已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜5.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1.已知a =(λ，２)，b =(-3，5)且a 与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是 【 】A .λ＞310 B .λ≥310 C .λ＜310 D .λ≤3102.给定两个向量a =(3，4)，b =(2，-1)且(a +x b )⊥(a -b)，则x 等于 【 】A .23B .223 C . 323 D . 423 3.已知a =(3，0)，b =(k ，5)且a 与b的夹角为43π，则k 的值为 .4.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ABC ＝90°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.5.四边形ABCD 中，=(6，1)， =(x ，y )，=(-2，-3). (1)若BC ∥，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC ⊥BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积. 2.5平面向量应用举例1. 已知平面上直线l 的方向向量e =),53,54(-点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O′和A ′，则λ=''O e ，其中λ= 【 】A ．511 B ．511- C ．2 D ．－2 2. 已知非零向量AB 与·=021，则ABC ∆为 【 】 A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形 C .等腰非等边三角形 D .等边三角形。

高一数学平面向量同步练习

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第二章平面向量一、选择题1．如图所示，ABCD中，«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»等于()．A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»2．在矩形ABCD中，|«Skip Record If...»|＝«Skip Record If...»，|«Skip Record If...»|＝1，则向量(«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»)的长等于()．A．2 B．2«Skip Record If...»C．3 D．4(第2题) 3．如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则«Skip Record If...»－«Skip Record If...»等于()．A．«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»4．下列说法中正确的是()．A．向量a与非零向量b共线，向量b与向量c共线，则向量a与c共线B．任意两个模长相等的平行向量一定相等C．向量a与b不共线，则a与b所在直线的夹角为锐角D．共线的两个非零向量不平行5．下面有四个命题，其中真命题的个数为()．①向量的模是一个正实数．②两个向量平行是两个向量相等的必要条件．③若两个单位向量互相平行，则这两个向量相等．④模相等的平行向量一定相等．A．0 B．1 C．2 D．36．下列说法中，错误的是()．A．零向量是没有方向的B．零向量的长度为0C．零向量与任一向量平行D．零向量的方向是任意的7．在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是()．A．«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»D．«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»8．下列向量组中能构成基底的是()．A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(-1，2)，e2＝(5，7)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，-3)，e2＝(«Skip Record If...»，-«Skip Record If...»)9．已知a＝(-1，3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于()．A．3 B．－2 C．«Skip Record If...»D．－«Skip Record If...»10．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③(b·c)·a－(c·a)·b不与c 垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的是()．A．①②B．②③C．③④D．②④二、填空题：11．若非零向量α，β 满足|α＋β|＝|α－β|，则α 与β 所成角的大小为．12．在ABCD中，«Skip Record If...»＝a，«Skip Record If...»＝b，«Skip Record If...»＝3«Skip Record If...»，M为BC的中点，则«SkipRecord If...»＝_______．(用a，b表示)13．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，那么a·b＝．14．设m，n是两个单位向量，向量a＝m－2n，且a＝(2，1)，则m，n的夹角为．15．已知«Skip Record If...»＝(6，1)．«Skip Record If...»＝(x，y)．«Skip Record If...»＝(-2，-3)．则向量«Skip Record If...»的坐标为______．三、解答题：16．如图，四边形ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知«Skip Record If...»＝a，«Skip Record If...»＝b，试用a，b表示«Skip Record If...»和«Skip Record If...»．17．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，求证△ABC是直角三角形．18．己知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，(1)k a＋b与a－3b垂直？(2)k a＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？19．已知|m|＝4，|n|＝3，m与n的夹角为60°，a＝4m－n，b＝m＋2n，c＝2m－3n．求：(1)a2＋b2＋c2．(2)a·b＋2b·c－3c·a．第二章平面向量(第12题)(第16题)参考答案一、选择题 1．答案： C解析：从图上可看出«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，而«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．2．D 解析：如图∵«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If...» ＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If...» ＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...» ＝2«Skip Record If...»． 3．D解析：向量可以自由平移是本题的解题关键，平移 的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知．∴«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．4．A解析：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的． 模长相等的平行向量可能方向相反，故B 不正确．向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，故C 不对．而选项D 中向量共线属于向量平行．5．B解析：正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素入手区分其他有关概念．①向量的模应是非负实数． ②是对的③两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此，这两个向量不一定相等． ④模相等且方向相同的向量才相等．(第3题) (第2题) (第1题)6．A解析：零向量是规定了模长为0的向量，其方向是任意的，它和任一向量共线，因此，«Skip Record If...»绝不是没有方向.7．B解析：如图，G 是重心，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，所以B 错．«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，所以不能选D ．8．B解析：利用e 1∥e 2«Skip Record If...»x 1y 2－x 2y 1＝0， 可得只有B 中e 1，e 2不平行，故应选B ． 9．C解析：由a ∥b ，得3x ＝1，∴x ＝«Skip Record If...»． 10．D解析：①平面向量的数量积不满足结合律．故①假；②由向量的减法运算可知|a |，|b |，|a －b |恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［(b ·c )·a － (c ·a )·b ］·c ＝(b ·c )·a ·c －(c ·a )·b ·c ＝0，所以垂直．故③假；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9·a ·a －4b ·b ＝9|a |2－4|b |2成立．故④真． 二、填空题 11．答案：90°．解析：由|α＋β|＝|α－β|，可画出几何图形，如图， |α－β|表示的是线段AB 的长度，|α＋β|表示线段OC 的长度，由｜AB ｜＝｜OC ｜，∴平行四边形OACB 为矩形，故向量 α 与 β 所成的角为90°． 12．答案：«Skip Record If...»a ＋«Skip Record If...»b ． 解：如图，由«Skip Record If...»＝3«Skip Record If...»，得4«Skip Record If...»＝3«Skip Record If...»＝3(a ＋b )，«Skip Record If...»＝a ＋«Skip Record If...»b ，(第7题)(第11题) (第12题)所以«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»(a＋b)－(a＋«Skip Record If...»b)＝－«Skip Record If...»a＋«Skip Record If...»b．13．答案：－63．解析：解方程组得«Skip Record If...»∴a·b=(－3)×5＋4×(－12)＝－63．14．答案：90°．解析：由a＝(2，1)，得|a|＝«Skip Record If...»，∴a2＝5，于是(m－2n)2＝5«Skip Record If...»m2＋4n2－4m·n＝5．∴m·n＝0．∴m，n的夹角为90°．15．答案：(x＋4，y－2)．解析：«Skip Record If...»＝(6，1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)．三、解答题16．答案：«Skip Record If...»＝b－«Skip Record If...»a，«Skip Record If...» =«Skip Record If...»a－b解：如图，连结CN，则AN«Skip Record If...»DC．∴四边形ANCD是平行四边形．(第16题)«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»=－b，又∵«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝0，∴«Skip Record If...»＝－«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝b－«Skip Record If...»a．∴«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝－b＋«Skip Record If...»a＝«Skip Record If...»a－b．17．解析：∵«Skip Record If...»＝(2－1，3－2)＝(1，1)，«Skip Record If...»＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)．∴«Skip Record If...»·«Skip Record If...»＝1×(－3)＋1×3＝0．∴«Skip Record If...»⊥«Skip Record If...»．∴△ABC是直角三角形．18．答案：(1)当k＝19时，k a＋b与a－3b垂直；(2)当k＝－«Skip Record If...»时，k a＋b与a－3b平行，反向．解析：(1)k a＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(k a＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3，2k＋2)·(10，－4)＝0，得10(k－3)＋(2k＋2)(－4)＝0．解得k＝19，即当k＝19时，k a＋b与a－3b垂直．(2)当k a＋b与a－3b平行时，存在实数λ，使k a＋b＝λ(a－3b)，由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»即当k＝－«Skip Record If...»时，k a＋b与a－3b平行，此时k a＋b＝－«Skip Record If...»a＋b，∵λ＝－«Skip Record If...»＜0，∴－«Skip Record If...»a＋b与a－3b反向．19．答案：(1)366，(2)－157．解析：∵｜m｜＝4，｜n｜＝3，m与n的夹角为60°，∴m·n＝|m||n|cos 60°＝4×3׫Skip Record If...»＝6．(1)a2＋b2＋c2＝(4m－n)2＋(m＋2n)2＋(2m－3n)2＝16｜m｜2－8m·n＋｜n｜2＋｜m｜2＋4m·n＋4｜n｜2＋4｜m｜2－12m·n＋9｜n｜2＝21｜m｜2－16m·n＋14｜n｜2＝21×16－16×6＋14×9＝366．(2)a·b＋2b·c－3c·a＝(4m－n)·(m＋2n)＋2(m＋2n)·(2m－3n)－3(2m－3n)·(4m－n)＝－16｜m｜2＋51m·n－23｜n｜2＝－16×16＋51×6－23×9＝－157．另解：a·b＋2b·c－3c·a＝b·(a＋2c)－3c·a＝…＝－157．。

6.2平面向量的运算-同步练习(含解析)人教A版(2019)高中数学必修第二册

6.2平面向量的运算-同步练习(含解析)人教A版(2019)高中数学必修第二册

6.2平面向量的运算 同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知单位向量a ，b 满足13a b ⋅= ，则a 在b 上的投影向量为（ ）A ．23bB ．12br C ．13b D ．23b-2．已知非零向量,,a b c满足a b = ，13c a = ，若c 为b 在a 上的投影向量，则向量,a b 夹角的余弦值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．153．在菱形ABCD 中，若2AC =，则AB CA ⋅=（ ）A ．2-B ．1C ．2D．4．已知ABCD 是平面四边形，设p ：AB＝3DC ，q ：四边形ABCD 是梯形，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a 与b为两个不共线的单位向量，则（ ）A ．()//a b a+ B ．()a a b⊥- C ．若π,3a b = ，则π,3a b b -= D ．若π,4a b a += ，则π,2a b =6．已知,a b，且()(2)a b a b λλ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．2B ．2±CD．7．已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭()()0,λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．若对于向量,,a b c ，a是一个单位向量，b = ，a 与b 的夹角为π4，2c b a =- ，则c a ⋅= （ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-二、多选题9．下列结论中正确的有（ ）A ．已知非零向量a ，b ，“a b ⊥ ”是“0a b ⋅=”的充要条件B ．已知四边形ABCD ，“AC AB AD =+”是“四边形ABCD 是平行四边形”的充要条件C ．已知非零向量a ，b ，“a b a b -=+ ”是“a 与b 共线”的充分不必要条件D ．已知非零向量a ，b ，“0a b ⋅>”是“a ，b 夹角为锐角”的必要不充分条件10．下列说法正确的是（ ）A ．向量a 在向量b 上的投影向量可表示为a b b b b⋅⋅ B ．若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角θ的范围是π,π2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．若ABC 是以C 为直角顶点的等腰直角三角形，则AB，BC 的夹角为45D ．若非零向量,a b 满足0a b ⋅=，则a b⊥ 11．已知21,e e 是夹角为2π3的单位向量，且12122,a e e b e e =+=-，则下列选项正确的是（ ）A B ．12a b ⋅=-r r C ．a 与b 的夹角为2π3D ．1e 在2e 方向上的投影向量为212e - 12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是:已知M 是ABC 内一点，,,BMC AMC AMB △△△的面积分别为,,A B C S S S ，且0A B C S MA S MB S MC ++=.以下命题正确的有（ ）A ．若::1:1:1ABC S S S =，则M 为ABC 的重心B ．若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ++=C ．若M 为ABC 的外心，则()()()0MA MB AB MB MC BC MA MC AC +=+=+=D ．若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则cos AMB ∠=三、填空题13．设,a b 均为单位向量，且,,a a b a b -+ 可按一定顺序成等比数列，写出一个符合条件的a b ⋅ 的值．14．已知向量3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为60︒，则a 在b方向上的投影是 ．15．化简向量运算：AB BC CD DA +++=．16．如图，在△ABC 中，||||AB AD AB AD +=- ，BC =，||2AD =，则AC AD ⋅=．四、解答题17．已知3a = ，4b = ，且a 与b的夹角为120︒.(1)求a b ⋅的值；(2)若()()2a b ka b +⊥- ，求实数k 的值；(3)求向量b 与向量a b +夹角的余弦值.18．已知OA a = ，OB b = ，1b = ，a 与b的夹角为45°．2OM a b λ=- ，3ON a b λ=- ．(1)求2a b +的值；(2)若向量OM ，ON的夹角为锐角，求实数λ的取值范围；(3)若四边形ABMN 为梯形，求λ的值．19．如图，已知O 为平面直角坐标系的原点．120OAB ABC ∠=∠=︒，24OA BC AB ===，(1)求OB 和OC的坐标；(2)求向量BC与向量OA 的夹角；(3)求向量BC在向量OA 上的投影向量的坐标．20．已知4a = ，3b =r ，()()23261a b a b -⋅+=.(1)求a 与b的夹角θ；(2)求2a b - ；(3)若AB a = ，BC b =，求ABC 的周长.21．在ABC 中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，AD 为角平分线，D 在线段BC 上.(1)求AD 的长度；(2)过点D 作直线交AB 、AC 于不同点E 、F ，且AE x AB =⋅ ，AF y AC =⋅ ，求12x y+的值参考答案：1．C【分析】根据投影向量的定义求解即可.【详解】根据已知条件有：1a b == ，又13a b ⋅=，所以1cos ,3a b a b a b ⋅==⋅，a 在b上的投影向量为()1cos ,3b a a bb b =.故选：C 2．B【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，向量的投影向量的计算公式，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果．【详解】由13c a = ，c 为b 在a上的投影向量，则有1cos ,cos ,cos ,3b a c a b a b a b a a b a a a ==⋅=⋅=⋅，所以,1cos 3a b = .故选：B.3．A【分析】利用()AB CA AO OB CA ⋅=+⋅展开计算即可.【详解】如图，因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又2AC =，所以()12cos1802AB CA AO OB CA AO CA OB CA AO CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯︒=-.故选：A.4．A【分析】根据向量共线的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】在四边形ABCD 中，若3AB DC =，则AB DC ，且3AB DC =，即四边形ABCD为梯形，充分性成立；若当,AD BC 为上底和下底时，满足四边形ABCD 为梯形，但3AB DC =不一定成立，即必要性不成立，故p 是q 的充分不必要条件．故选：A ．5．D【分析】根据向量共线和向量数量积的定义，向量垂直，向量的模以及向量夹角公式判断即可.【详解】选项A ：若()//a b a + ，则()a ab λ=+ ，即()1a b λλ-=，与a 与b为两个不共线的单位向量矛盾，故选项A 说法错误；选项B ：设a 与b的夹角为θ，则0πθ<<，cos 1θ<，所以()()22cos 1cos 0a a b aa b a a b θθ⋅-=-⋅=-=-≠，故选项B 说法错误；选项C ：若π,3a b = ，则π1cos 32a b a b ⋅== ，所以()()212a b b a b b -⋅=⋅-=- ，22221a b a a b b -=-⋅+= ，即1a b -=r r ，所以()1cos ,2a b b a b b a b b-⋅-==-- ，又0,πa b b ≤-≤ ，所以2π,3a b b -= ，故选项C 说法错误；选项D ：因为()()21a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅ ，()()222222a b a a b ba b +=+⋅+=+⋅，所以()cos ,a b a a b a a ba +⋅+===+1a b +⋅= 设a 与b的夹角为θ，则0πθ<<，cos 1θ≠-，所以cos 1a b a b θ⋅=≠-，1=，即0a b ⋅= ，所以π,2a b = ，故选项D 说法正确；故选：D 6．B【分析】根据条件，利用向量垂直,其数量积为0，建立等式，即可求出结果.【详解】因为()(2)a b a b λλ+⊥- ，所以222()(2)20a b a b a a b b λλλλ+⋅-=+⋅-=，又,a b，所以2220λ⨯-=，解得2λ=±，故选：B.7．B【分析】先根据||AB AB 、||AC AC分别表示向量AB、AC 方向上的单位向量，确定OP OA AP -= ，判断AP与BAC ∠的角平分线所在向量的关系推出选项．【详解】||AB AB ,||AC AC分别表示向量AB、AC 方向上的单位向量，∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线对应的AD 方向相同，又 ()||||AB AC OP OA AB AC λ=++ ，∴()AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ，∴P 在向量AD上移动，∴点P 的轨迹一定通过ABC 的内心故选：B.8．D【分析】根据数量积的定义及运算律求解即可.【详解】因为a是一个单位向量，b = a 与b 的夹角为π4，所以π1cos 14a b ⋅==，所以()222121c a b a a b a a ⋅=-⋅=⋅-=-=-.故选：D 9．ABCD【分析】A 选项，分,a b均为非零向量或其中之一为零向量或两者均为零向量，结合数量积公式和定义得到A 正确；B 选项，根据平面向量的加法法则得到B 正确；C 选项，两边平方得到a 与b反向共线，充分性成立，举出反例得到必要性不成立；D 选项，举出反例得到充分性不成立，利用向量数量积公式得到必要性成立，得到答案.【详解】A 选项，若,a b 均为非零向量，cos900a b a b a b ⊥⇔⋅=⋅︒=，综上，a b ⊥ ”是“0a b ⋅=”的充要条件，A 正确；B 选项，根据平面向量加法平行四边形法则，AC AB AD =+可以得到四边形ABCD 是平行四边形，反之也成立，故B 正确；C 选项，非零向量满足a b a b -=+ ，两边平方得222222a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ，故a b a b ⋅=-⋅，设,a b 的夹角为θ，由于cos a b a b θ⋅=⋅，故cos 1θ=-，故a 与b反向共线，充分性成立，若非零向量a 与b正向共线，则a b a b =++ ，必要性不成立，故C 正确；D 选项，非零向量,a b 正向共线时，满足0a b ⋅>，但此时a ，b 夹角为0，不是锐角，充分性不成立，当a ，b夹角为锐角时，cos 0a b a b θ⋅=⋅> ，必要性成立，D 正确.故选：ABCD 10．ABD【分析】对A ，根据投影向量公式求解即可；对B ，根据数量积公式判断即可；对C ，由向量夹角的定义判断即可；对D ，根据数量积公式判断即可.【详解】对A ，根据投影向量的定义可知，向量a在向量b 上的投影向量可表示为a b b bb⋅⋅，故A 正确；对B ，根据cos ,0a b a b a b ⋅=< ，可知，cos ,0a b < ，所以a 与b的夹角θ的范围是π,π2⎛⎤⎥⎝⎦，故B 正确；对C ，由向量夹角的定义可知，AB，BC 的夹角为135 ，故C 错误；对D ，若非零向量,a b 满足0a b ⋅= ，则cos 0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，故D 正确.故选：ABD 11．ACD【分析】对A ：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B ：借助数量积公式计算即可得；对C ：借助向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量的定义计算即可得.【详解】对A：a ===，故A 正确；对B ：()()22121212122π22cos 3a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=-+⋅ 1312122⎛⎫=-+⨯-=- ⎪⎝⎭，故B 错误；对C：b ====，故1cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，即2π,3a b =，故C 正确；对D ：122211222221cos ,2e e e e e e e e e e e ⋅⋅=⋅=-，故D 正确.故选：ACD.12．ABC【分析】对A ，根据面积关系可得0MA MB MC ++=，再结合重心的概念即可得解；对B ，内心为内切圆圆心，是角平分线的交点，利用面积公式即可得解；对C ，外心为外接圆圆心，是三角形各边垂直平分线的交点，利用垂直关系即可得解；对D ，根据奔驰定理结合面积关系即可得解.【详解】对于A ，取BC 的中点D ，连接,MD AM ，如图所示由::1:1:1A B C S S S =，则0MA MB MC ++=，所以2MD MB MC MA =+=- ，所以,,A M D 三点共线，且23A D M A = ，设,E F 分别为,AB AC 得中点，同理可得22,33CM CE BM BF == ，所以M 为AMC 的重心，故A 正确；对于B ， 由M 为ABC 的内心，则可设内切圆半径为r ，如图所示则111,,222A B C S BC r S AC r S AB r =⋅=⋅=⋅，所以1110222r BC MA r AC MB r AB MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅= ，故B正确；对于C ，如图所示，因为M 为ABC 的外心，所以MA MB MC ==，所以22MA MB = ，即220MB MA -= ，即()()0MB MA MB MA +⋅-= ，所以()0M B M A A B +⋅= ，同理可得，()0()0MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅= ，所以()()()0MA MB AB MB MC BC MA MC AC +⋅=+⋅=+⋅=，故C 正确；对于D ，延长AM 交BC 于点D ，延长BM 交AC 于点F ，延长CM 交AB 于点E ，如图所示，由M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则::3:4:5A B C S S S =，又ABC A B C S S S S =++ ，则43ABC ABC A BS SS S == ，， 设MD x MF y ==，，则32AM x BM y ==，，所以cos cos 23x y BMD AMF y x ∠==∠=，即2232x y =，所以cos BMD ∠=()cos cos πAMB BMD ∠=-∠=D 错误.故选：ABC.13【分析】设,a b 的夹角为θ，则可计算得2sin 2a b θ-= ，2cos 2a b θ+= ，再由等比中项定义可求解.【详解】由,a b 均为单位向量，设,a b 的夹角为[],0,πθθ∈，则π0,22θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos a b θ⋅ =，1a = ，2sin 2a b θ-====，2cos 2a b θ+==== ，当,,a a b a b -+ 成等比数列时，有224sin 2cos 2cos cos 202222θθθθ=⇒+-=，解得cos 2θ=cos 2θ=，则由二倍角公式得，2cos 2cos 12θθ=-=同理，当,,a b a b a +-成等比数列时，解得cos θ=，当,,a b a a b +- 成等比数列时，有114sin cos 2sin cos sin 22222θθθθθ=⇒==，此时，cos θ=14．38b 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即可.【详解】向量3a = ，4b = ，a 与b 的夹角为60︒，则634o 60c s a b =⋅=⨯︒ ，所以a 在b 方向上的投影是226348||a b b b b b ⋅== .故答案为：38b 15．0【分析】根据向量加法的运算法则即可求解.【详解】0AB BC CD DA AC CD DA AD DA +++=++=+= .故答案为：0 .16．【分析】由||||AB AD AB AD +=- 得AB AD ⊥ ，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果.【详解】由||||AB AD AB AD +=- ,可知22||||AB AD AB AD +=- ，0AB AD ∴⋅= ,则AB AD⊥ ()AC AD AB BC AD AB AD BC AD BC AD⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅2|AD AD =⋅==故答案为：17．(1)6-(2)13【分析】（1）根据数量积的定义计算可得；（2）依题意可得()()20a b ka b +⋅-= ，根据数量积的运算律计算可得；（3）首先求出a b + 、()a b b +⋅ ，再根据夹角公式计算可得.【详解】（1）因为3a = ，4b = ，且a 与b 的夹角为120︒，所以1cos1203462a b a b ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.（2）因为()()2a b ka b +⊥- ，所以()()20a b ka b +⋅-= ，即22220ka a b ka b b -⋅+⋅-= ，即()()22232640k k ⨯+-⨯--=，解得13k =.（3）因为a b +====，()226410a b b a b b +⋅=⋅+=-+= ，设向量b 与向量a b + 的夹角为θ，则()cos a b b a b b θ+⋅===+⋅ 即向量b 与向量a b +.18．(2)()⋃+∞(3)52或【分析】（1）将2a b + 平方开根号即可；（2）由向量OM ，ON 的夹角为锐角，可得0OM ON ⋅> 且向量OM ，ON 不共线，先根据0OM ON ⋅> 求出λ范围，再排除向量OM ，ON 共线时λ的值即可；（3）根据平面向量共线定理分别求出//AB NM 和//AN BM 时λ的值，即可得解.【详解】（1）11a b ⋅== ，2a b +====（2）因为向量OM ，ON 的夹角为锐角，所以0OM ON ⋅> 且向量OM ，ON 不共线，由0OM ON ⋅> ，得()()()222232360a b a b a b a b λλλλλ-⋅-=+-+⋅> ，即()24360λλλ+-+>，解得16λ<<，若向量OM ，ON 共线，则存在唯一实数μ，使得OM ON μ= ，即()23a b a b λμλ-=- ，所以23μλλμ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=综上所述，实数λ的取值范围为()⋃+∞；（3）()(),23AB OB OA b a NM OM ON a b λλ=-=-=-=-+- ，()()13,21AN ON OA a b BM OM OB a b λλ=-=--=-=-+ ，若//AB NM ，则存在唯一实数x ，使得NM xAB = ，即()()()23a b x b a λλ-+-=- ，所以23x xλλ-=-⎧⎨-=⎩，解得52λ=，若//AN BM ，则存在唯一实数y ，使得AN yBM = ，即()()1321a b y a b λλ⎡⎤--=-+⎣⎦，所以()1231y y λλ-=⎧⎨-=-+⎩，解得λ=综上所述，//AB NM ，//AN BM 不同时成立，所以四边形ABMN 为梯形，λ的值为52或.19．(1)OB OC == (2)向量BC 与向量OA 的夹角为120︒(3)BC 在向量OA 上的投影向量的坐标为(2,0)-【分析】（1）依题意求出A 、B 、C 的坐标，即可得解；（2）利用向量的夹角公式可求向量BC 与向量OA 的夹角；（3）首先求出BC ，OA ，再根据数量积的几何意义求出向量BC 在向量OA 上的投影，从而求出投影向量.【详解】（1）依题意(4,0)A ，设1122(,),(,)B x y C x y ，则14||cos(180)42cos 605x AB OAB =+︒-∠=+︒= ，1||sin(180)2sin 60y AB OAB =︒-∠=︒= 21||cos(180)54cos 603x x BC OAB ABC =-∠+∠-︒=-︒= ，21||sin(180)4sin 60y BC OAB ABC y =∠+∠-︒+=︒= ，所以B C，所以OB OC == ；（2）由（1）可得(2,(4,0)BC OA =-= ，设向量BC 在向量OA 的夹角为θ，所以1cos 2||||BC OA BC OA θ===- ，因为0180θ≤≤︒，所以120θ=°.所以向量BC 与向量OA 的夹角为120︒；（3）由（1）可得(2,(4,0)BC OA =-= ，所以在向量BC 在向量OA 上的投影长度为2424||BC OA OA -⨯==- ，所以BC 在向量OA 上的投影向量的坐标为12(4,0)(2,0)4||||BC OA OA OA OA ⨯=-⨯⨯=- ．20．(1)23π(2)(3)7【分析】（1）结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可；（2）利用()2222a b a b -=- ，展开化简即可得到答案；（3）结合（1）可得π3ABC ∠=，利用AC AB BC =+ 或余弦定理可得213AC =，从而求得ABC 的周长【详解】（1）()()23261a b a b -⋅+= ，()()2244361a a b b ∴-⋅-= ，又4a = ，3b =r ，6442761a b ∴-⋅-= ，616,cos 432a b a b a b θ⋅-∴⋅=-∴===-⨯ ，又0πθ≤≤，2π3θ∴=；（2）()()()22224216464976a b a a b b -=-⋅+=-⨯-+⨯= ，2a b ∴+= （3）因为AB 与BC 的夹角2π3θ=，πππ233ABC ∠∴=-=，又4== AB a ，3BC b == ，解法1：AC AB BC a b =+=+ ，()()()222221626913AC a a b b a b =+=+⋅+=+⨯-+= ，则AC =所以ABC 周长为437+=解法2：在ABC 中，由余弦定理得，22212cos 1692432AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯，213AC =，则AC =所以ABC 周长为437+=21．(1)23(2)3【分析】（1）根据角平分线定理，结合平面向量数量积的定义和运算性质、平面向量基本定理进行求解即可；（2）根据平面共线向量的性质，结合（1）的结论进行求解即可.【详解】（1）根据角平分线定理：21BD AB DC AC ==，23BD BC ∴=，()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ∴=+=+=+-=+ .22214444449999999AD AB AB AC AC ∴=+⋅+=-+= ，23AD ∴= ，即23AD =；（2）由（1）可知：12123333AD AB AC AE AF x y ==++ ，E 、D 、F 三点共线，12133x y ∴+=，123x y∴+=.。

高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4平面向量同步练习§2.2. 1 向量加减运算及几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．化简PM PN MN所得的结果是（）MPA．B．NP C．0 D．MN2．设OA a，OB b且|a|=| b|=6，∠AOB=120 ，则|a－b|等于（）0013．飞机从甲地按南偏东10方向飞行2022年km到达乙地，再从乙地按北偏西70方向飞行2022年km到达丙A．36 B．12 C．6 D．63．a，b为非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，则（）A．a与b方向相同B．a = b C．a =－4．在平行四边形ABCD中，若| BC BA | | BC ABb D．a与b方向相反|，则必有（）A．ABCD为菱形B．ABCD为矩形C ．ABCD 为正方形D．以上皆错5．已知正方形ABCD边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则|a+b+c|等于（）A．0 B．3 C．22*6．设( AB CD ) ( BC DA D．2) a，而b是一非零向量，则下列个结论：(1) a与b共线；（2）a + b = a；(3) a + b = b；(4)| a + b||a |+|b|中正确的是（）A．(1) (2) B．(3) (4) C．(2) (4) D．(1) (3) 二、填空题7．在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，则CA __________，BD_______．8．在a =“向北走20km”，b =“向西走20km”，则a +b9．若| AB | 8，| AC | 5，则| BC表示______________．|的取值范围为_____________．*10．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h，则河水的流速的大小为___________．三、解答题11．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OA 、OB 、OC 表示OD．12．如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：AB DC EF EF ．地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？*14．点D、E、F分别是△ABC求证：（1）AB 三边AB、BC、CA上的中点，BE AC CE；（2）EA FBDC 0．§2. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．已知向量a= e1-2 e2，b=2 e1+e2, 其中e1、e2不共线，则a+b 与c=6 e1-2 e2的关系为（A．不共线B．共线C．相等D．无法确定2．已知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于（）A．3 B．-3 C．0 D．2）平面向量同步练习3．若AB=3a, CD =－5a ,且| AD | | BC |,则四边形ABCD是（）A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰梯形4．AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，且AD =a , BE =b ,那么BC 为（）A．__-__3a＋3b B．3a－3b C．3a－3b D．－3a＋3b5．已知向量a ,b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b共线的条件是（）①2a -3b=4e且a+2b= -3e②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb=0 ③xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0) ④已知梯形ABCD，其中AB=a ,CD=bA．①② B．①③ C．② D．③④*6．已知△ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，若PA PB PC AB ，则（）A．P在△ABC 内部B．P在△ABC 外部C．P在AB边所在直线上D．P在线段BC上二、填空题7．若|a|=3,b与a方向相反,且|b|=5,则a= b8．已知向量e1 ,e2不共线，若λe1－e2与e1－λe2共线,则实数λ= 9．a,b是两个不共线的向量，且AB=2a＋kb , CB =a＋3b , CD =2a－b ,若A、B、D三点共线，则实数k的值可为*10．已知四边形ABCD中，AB =a－2c, CD =5a＋6b－8c对角线AC、BD的中点为E、F，则向量EF三、解答题11．计算：⑴(－7)×6a=⑵4(a＋b)－3(a－b)－8a= ⑶(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)=12．如图，设AM是△ABC的中线，AB=a , AC=b ,求AM13．设两个非零向量a与b不共线,⑴若AB =a＋b ,BC =2a＋8b ,CD=3(a－b) ,求证：A、B、D三点共线; ⑵试确定实数k，使ka＋b和a ＋kb共线.*14．设OA ,OB 不共线,P点在AB上,求证:OP =λOA +μOB且λ+μ=1(λ, μ∈R).§2. 3. 1平面向量基本定理及坐标表示（1）班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．e1=(0,0), e2 =(1,－2) ; B．e1=(-1,2),e2 =(5,7); C．e1=(3,5),e2 =(6,10); D．e1=(2,-3) ,e2 =(1, 324)2．已知向量a、b，且AB=a+2b , BC = -5a+6b , CD =7a-2b,则一定共线的三点是（）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C 、D D．A、C、D3．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe1＋μe2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a,使a=λe1＋μe2的λ, μ有无数多对；③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数k,使λ2e1+μ2e2=k(λ1e1+μ1e2)；④若实数λ, μ使λe1＋μe2=0，则λ=μ=0.平面向量同步练习A．①② B．②③ C．③④ D．仅②4．过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若AD =x AB , AE =y AC ,xy≠0，则11x y的值为（）A．4 B．3 C．2 D．15．若向量a=(1,1),b=（1,-1) ,c=(-2,4) ,则c= ( ) A．-a+3b B．3a-b C．a-3b D．-3a+b*6．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x, y)满足OC=αOA +βOB ，其中α,β∈R且α+β=1，则x, y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0二、填空题7．作用于原点的两力F1 =(1,1) ,F2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F3= ;8．若A(2,3)，B(x, 4),C(3,y),且AB=2 AC ,则x= ，y= ;9．已知A(2,3),B(1,4)且1 2AB =(sinα,cosβ), α,β∈(- 2,2),则α+β=*10．已知a=(1,2) ,b=(-3,2),若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为三、解答题11.已知向量b与向量a=(5,-12)的方向相反，且|b|=26,求b12．如果向量AB=i-2j , BC =i+mj ,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线。

北师大必修4高中数学平面向量 同步练习

北师大必修4高中数学平面向量 同步练习

平面向量 同步练习一.选择题(1) 若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为( ) A 30° B 60° C 120° D 150°(2) P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心(3)已知平行四边形ABCD 中, AD =(3, 7 ), AB =(-2, 3 ), 对角线AC, BD 交于点O,则的坐标为 ( )A (-21, 5)B (-21, -5)C (21, -5)D (21, 5)(4) 已知向量的夹角为与则若c a c b a c b a ,25)(,5||),4,2(),2,1(=⋅+=--==（ ）A 30°B 60°C 120°D 150°(5)为了得到函数y ＝sin(2x-6π)的图像,可以将函数y ＝cos2x 的图像 ( )A 向右平移6π个单位长度B 向右平移3π个单位长度 C 向左平移6π个单位长度 D 向左平移3π个单位长度(6) 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量=（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为||个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为（ ）A （－2，4）B （－30，25）C （10，－5）D （5，－10） (7) 在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是 （ ）A 5B －5C 23D23-(8) 已知a 、均为单位何量,它们的夹角为60°,那么| a + 3 | = ( ) A 7 B 10 C 13 D 4(9) 已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,CE BC =等于 （ ）A 2B 21C －3D －31(10) 已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则 （ ）A a ⊥eB a ⊥(a －e )C e ⊥(a －e )D (a ＋e )⊥(a －e ) 二.填空题(11)已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=___ (12)已知向量a 与的夹角为120°,且|a |=2, ||=5,则(2a -)·a = . (13已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是_______ (14) 直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________ 三.解答题 (15) 已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ.是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之.(16)如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问 与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.(17)已知两点M(-1,0), N(1, 0), 且点P 使⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列.(Ⅰ)点P 的轨迹是什么曲线?(Ⅱ)若点P 的坐标为(x0, y0), 记θ为,PN 的夹角, 求tan θ.A BC a（18）ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，已知a b c 、、成等比数列，且3cos 4B =（Ⅰ）求cot cot A C +的值（Ⅱ）设32BA BC ⋅=，求a c +的值。

人教版平面向量多选题专项训练单元同步练习试题

人教版平面向量多选题专项训练单元同步练习试题

人教版平面向量多选题专项训练单元同步练习试题一、平面向量多选题1．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+B ．若0⋅=⋅=a b a c ，则//b cC ．若////a b c ，则a b c a b c =++++D ．若0a b ⋅=，则a b a b +=- 答案：BD【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】A 选项，若与共线，与，都解析：BD【分析】假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确.【详解】A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0⋅=⋅=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以//b c ，即B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；D 选项，若0a b ⋅=，则()222222a b a b a b a b a b +=+=++⋅=+， ()222222a b a b a b a b a b -=-=+-⋅=+，所以a b a b +=-，即D 正确. 故选：BD.【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.2．已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．(7，9)答案：ABC【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.【详解】由点，，则选项A . ,所以A 选项正确.选项B. ,所以B 选项正确.选项C . ,所以C 选解析：ABC【分析】先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可.【详解】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确. 选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以C 选项正确. 选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确 故选：ABC【点睛】 本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.3．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 答案：ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；D ，由平解析：ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.4．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ）A ．0PA PB +=B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=D ．0PA PB PC ++= 答案：CD【分析】转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故即,故选：CD【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.解析：CD【分析】转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解【详解】由题意：3AB AC AP +=故())(AB AP AC AP AP +=--即PB PC AP +=0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=故选：CD【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒答案：BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解； 对于选项C中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A B a =<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC .【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =30A =︒，则B =（ ）A ．30B ．45︒C ．135︒D ．150︒答案：BC【分析】用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.【详解】解：根据正弦定理得： ，由于，所以或.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.解析：BC【分析】用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项.【详解】 解：根据正弦定理sin sin a b A B =得：1sin 2sin 12b A B a ===，由于1b a =>=，所以45B =或135B =.故选：BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形答案：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.8．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ）A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+答案：ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；对于B 选项，，由于为三解析：ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确； 对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.9．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -=B ．1()2AD AB AC =+ C ．8BA BC ⋅=D ．AB AC AB AC +=-答案：BC【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.【详解】对于A 选项：，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确；对于C 选项：，故正确；对于D 选项：，而，故解析：BC【分析】根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.【详解】对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错；对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，()111++++()222AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确； 对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA ⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=⨯=，故正确；对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC.【点睛】本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.10．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）A ．B ．23C ．23-D 答案：AD【分析】利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.【详解】由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角.因此，.故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同解析：AD【分析】利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值.【详解】 由正弦定理sin sin b a B A =，可得120sin 22sin 153b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.因此，cos B ==. 故选：AD.【点睛】本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.11．给出下列命题正确的是（ ）A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 答案：C【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B ，两边平方化简；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 解析：C 【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B ，两边平方化简a b a b +=+；对C ，根据向量相等的定义判断； 对D ，根据向量共线的定义判断. 【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.故选：C【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.12．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λab B ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-答案：AB 【分析】 根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 当时，则、方向相反且，则存在负实数解析：AB【分析】 根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A 选项正确，D 选项错误； 若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确.故选：AB.【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.13．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ）A ．00a ⋅=B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅C ．0a b a b ⋅=⇒⊥D ．()()22b b a b a a +-=⋅-答案：AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，，A 选项错误；对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，解析：AB 【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；对于D 选项，()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.14．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-答案：CD 【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD【点睛】解析：CD 【分析】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误；由()()2144440a b b a b b+⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.故选：CD 【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）A ．AB DC =B ．AB DC =C ．AB DC >D ．BC AD ∥答案：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故解析：BD 【分析】根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=，则ABC 的面积为（ ）A ．6B ．2C ．D 解析：B 【分析】由条件和余弦定理得到6ab =，再根据三角形的面积公式计算结果. 【详解】由条件可知：22226c a b ab =+-+，①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，② 所以由①②可知，62ab ab -=-，即6ab =，则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查解三角形，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型. 17．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：B 【解析】 【分析】利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】逐一考查所给的命题：①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确； ③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即()0CB AB AC ⋅+=；又因为AB AC CB -=， 所以()()0AB AC AB AC -⋅+=， 即||||AB AC =，所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形解析：A 【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，0B π<<，所以，2B π=，因此，ABC 是直角三角形.故选：A. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.19．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形解析：D 【分析】先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】因为()()()222BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.【点睛】判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．20．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2 B ．3C ．2D ．3解析：D 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！21．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2π D ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 解析：D 【详解】()22cos 32cos 23212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称； 当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数．本题选择D 选项.22．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，3cos 5A =，则b 等于（ ） A ．35 B ．107C ．57D．14解析：C 【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出． 【详解】 解：3cos 5A =，(0,180)A ∈︒︒．∴4sin 5A =，34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=．sin C ∴= 由正弦定理可得：sin sin b cB C=，∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ． 【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ） A．B．C ．12D．解析：A 【分析】由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】由题意，可得如下示意图令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠2221216()332333a ab ab ab abb =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立∴有48ab ≤∴113sin 4812322ABC S ab C ∆=≤⨯=故选：A 【点睛】本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 24．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1 B ．23-C ．13- D ．34-解析：B 【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-.故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.25．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，则12S S = A ．310 B ．38C ．25D ．421解析：A 【解析】∵2350OA OB OC ++=，∴()()23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且32OM ON=， ∴36132255410OACOMCCMNABC ABC SSSS S ⎛⎫==⨯=⨯= ⎪⎝⎭，即12310S S =．选A ． 26．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定 D ．若||b →确定，则θ唯一确定解析：B 【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈，所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1，所以2||b ta -的最小值也为1，即222min244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=，所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B 【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.27．下列说法中说法正确的有（ ）①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④ B ．①②④C ．①②⑤D ．③⑥解析：A 【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误； 对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．28．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）A ．5B ．C ．4D ．16解析：C 【分析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4A π=,再根据面积公式可求得6(2bc =,再代入余弦定理求解即可.【详解】ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈, ∴4A π=.∵1sin 1)24ABCSbc A ===-, ∴bc=6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得22()22cos a b c bc bc A =+--,∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.故选：C 【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 29．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：A 【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），0A π<<90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．30．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．以上均有可能解析：C 【分析】AB AB 和AC AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由12AB AC AB AC ⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。

平面向量 同步单元测试(含答案)

平面向量 同步单元测试(含答案)

平面向量 同步测试一、选择题：1.a 与b 是非零向量，下列结论正确的是A ．|a |＋|b |＝|a ＋b |B ．|a |－|b |＝|a －b |C ．|a |＋|b |＞|a ＋b |D ．|a |＋|b |≥|a ＋b |解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a 与b 同向时，取“＝”号.答案：D2.在四边形ABCD 中，DC AB =，且|AB |＝|BC |，那么四边形ABCD 为A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形解析：由AB ＝DC 可得四边形ABCD 是平行四边形，由|AB |＝|BC |得四边形ABCD 的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案：B3.已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D 的坐标为A ．（2，2）B ．（－6，0）C ．（4，6）D ．（－4，2）解析：设D （x ，y ），则AB ＝（5，3），DC ＝（－1－x ，3－y ），AD ＝（x ＋2，y －1），BC ＝（－4，－1）.又∵∥，∥，∴5（3－y ）＋3（1＋x ）＝0，－（x ＋2）＋4（y －1）＝0，解得x ＝－6，y ＝0.答案：B4.有下列命题：①++＝0；②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c ；③若a ＝（m ，4），则|a |＝23的充要条件是m ＝7；④若的起点为A （2，1），终点为B （－2，4），则与x 轴正向所夹角的余弦值是54.其中正确命题的序号是 A ．①② B ．②③C ．②④D ．③④ 解析：∵2=++，∴①错.②是数量积的分配律，正确.当m ＝－7时，|a |也等于23，∴③错.在④中，＝（4，－3）与x 轴正向夹角的余弦值是54，故④正确. 答案：C5.已知a ＝（－2，5），|b |＝2|a |，若b 与a 反向，则b 等于A ．（－1，25）B ．（1，－25） C ．（－4，10） D ．（4，－10）解析：b ＝－2a ＝（4，－10），选D.答案：D6.已知|a |＝8，e 是单位向量，当它们之间的夹角为3π时，a 在e 方向上的投影为 A ．43 B ．4 C ．42 D ．8＋23解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a 在e 方向上的投影即：a ·e ＝|a ||e |cos 3π＝8×1×21＝4. 答案：B7.若|a |＝|b |＝1，a ⊥b 且2a ＋3b 与k a －4b 也互相垂直，则k 的值为A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：∵a ⊥b∴a ·b ＝0又∵（2a ＋3b ）⊥（k a －4 b ）∴（2a ＋3b ）·（k a －4 b ）＝0得2k a 2－12b 2＝0又a 2=|a |2=1，b 2=|b |2=1解得k ＝6.答案：B8.已知a ＝（3，4），b ⊥a ，且b 的起点为（1，2），终点为（x ，3x ），则b 等于A ．（－51,1511） B ．（－1511,51） C ．（－51,154） D ．（51,154） 解析：b ＝（x －1，3x －2）∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0即3（x －1）＋4（3x －2）＝0，解得x ＝1511. 答案：C9.等边△ABC 的边长为1，＝a ，＝b ，＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于A ．0B ．1C ．－21D ．－23 解析：由已知|a |＝|b |＝|c |＝1，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－23. 答案：D10.把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为 A ．y ＝372+x B ．y ＝352-x C ．y ＝392-x D ．y ＝332+x 解析：把函数y ＝312-x 的图象按a ＝（－1，2）平移到F ′，则F ′的函数解析式为A ，即按图象向左平移1个单位，用（x ＋1）换掉x ，再把图象向上平移2个单位，用（y －2）换掉y ，可得y －2＝31)1(2-+x . 整理得y ＝372+x 答案：A11.已知向量e 1、e 2不共线，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a 与b 共线，则k 等于（ ）A ．±1B ．1C ．－1D ．0解析：∵a 与b 共线∴a ＝λb （λ∈R ），即k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2），∴（k －λ）e 1＋（1－λk ）e 2＝0∵e 1、e 2不共线.∴⎩⎨⎧=-=-010k k λλ 解得k ＝±1，故选A.答案：A12.已知a 、b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a －b |是a ⊥b 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件解析：|a ＋b |＝| a －b |⇔（a ＋b ）2＝（a －b ）2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b .答案：C二、填空题13.如图，M 、N 是△ABC 的一边BC 上的两个三等分点，AB ＝a ，AC ＝b ，则MN ＝ .解析：-=＝b －a ，∴＝3131=（b －a ）.答案：31（b －a ） 14.a 、b 、a －b 的数值分别为2，3，7，则a 与b 的夹角为 .解析：∵（a －b ）2＝7∴a 2－2a ·b ＋b 2＝7∴a ·b ＝3∴cos θ＝21||||=⋅b a b a ∴θ＝3π. 答案：3π 15.把函数y ＝－2x 2的图象按a 平移，得到y ＝－2x 2－4x －1的图象，则a ＝ . 解析：y ＝－2x 2－4x －1＝－2（x ＋1）2＋1∴y －1＝－2（x ＋1）2即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a ＝（－1，1）.答案：（－1，1）16.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b ||a －b |的值是 . 解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos 3π＝2×1×21＝1 ∴|a +b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×1＋12＝7，|a －b |2＝a 2－2 a ·b ＋b 2＝22－2×1＋1＝3∴|a ＋b |2|a －b |2＝3×7＝21∴|a ＋b ||a －b |＝21. 答案：21三、解答题：17.（本小题满分10分）已知A （4，1），B （1，－21），C （x ，－23），若A 、B 、C 共线，求x . 解：∵AB ＝（－3，－23），BC ＝（x －1，－1） 又∵∥ ∴根据两向量共线的充要条件得－23（x －1）＝3 解得x ＝－1.18.（本小题满分12分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝3a ＋5b ，d ＝m a －b ，c ⊥d ，求m 的值.解：a ·b ＝|a ||b |cos60°＝3∵c ⊥d ，∴c ·d ＝0即（3a ＋5b ）（m a －b ）＝0∴3m a 2＋（5m －3）a ·b －5b 2＝0∴27m ＋3（5m －3）－20＝0解得m ＝4229. 19.（本小题满分12分）已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.解：由已知，（a ＋3b ）·（7 a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2 b ）＝0，即7a 2＋16a ·b －15 b 2＝0 ①7a －30a ·b ＋8 b 2＝0 ②①－②得2a ·b ＝b 2代入①式得a 2＝b 2∴cos θ＝21||21||||22==⋅b b b a b a ， 故a 与b 的夹角为60°.20.（本小题满分12分）已知：在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AB 上的中线CD ＝m ，求证：a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 证明：∵DC AD AC DC BD BC +=+=,，两式平方相加可得a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2＋2（·＋·） ∵BD ·DC ＋AD ·DC＝|BD ||DC |·cos BDC ＋|AD ||DC |cos CDA ＝0∴a 2＋b 2＝21c 2＋2m 2. 21.（本小题满分14分）设i 、j 分别是直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A 、B 、C ，且＝－2i ＋m j ，＝n i ＋j ，＝5i －j ，⊥，求实数m 、n 的值. 解：∵OA ⊥OB ，∴－2n ＋m ＝0①∵A 、B 、C 在同一直线上，∴存在实数λ使AC ＝λAB ， AC ＝OC －OA ＝7i ＋［－（m ＋1）j ］ AB ＝OB －OA ＝（n ＋2）i ＋（1－m ）j ，∴7＝λ（n ＋2） m ＋1＝λ（m －1）消去λ得mn －5m ＋n ＋9＝0 ② 由①得m ＝2n 代入②解得m ＝6，n ＝3；或m ＝3，n ＝23. 22.（本小题满分14分）如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，A 为圆心，直径P Q ＝2ｒ，问：当P 、Q 取什么位置时，BP ·CQ 有最大值?解：BP ·＝（AB AP -）·（-）＝（-）·（－-）＝－r 2＋AB ·AP AC +·CB设∠BAC ＝α，PA 的延长线与BC 的延长线相交于D ，∠PDB ＝θ，则BP ·CQ ＝－r 2＋cb cos θ＋ra cos θ∵a 、b 、c 、α、r 均为定值，∴当cos θ＝1，即AP ∥BC 时，BP ·有最大值.。

高中数学《平面向量的应用 》同步练习

高中数学《平面向量的应用 》同步练习

高中数学《平面向量的应用》同步练习
高中数学《平面向量的应用》同步练习
【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了高中数学《平面向量的应用》同步练习，希望能给大家带来帮助!
当堂练习：
1.已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若
，则点P与△ABC的位置关系是 ( )
A、点P在△ABC内部
B、点P在△ABC外部
C、点P在直线AB上
D、点P在AC边上
2.已知三点A(1，2)，B(4，1)，C(0，-1)则△ABC的形状为 ( )
A、正三角形
B、钝角三角形
C、等腰直角三角形
D、等腰锐角三角形
3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为
，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则
的值为( )
A、300
B、600
C、900
D、1200
4.某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为 ( )
A、v-a
B、a-v
C、v+a
D、v
5.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h。

的合力为
，如上右图，在平行四边形
中，因为
，所以
.即
，所以细绳
受力最大.
当堂练习：
1.D;
2.C;
3.D;
4.A;
5. 5
km/h; 6. 粒子b相对于粒子a的位移为(1,7), S在Sa 方向上的投影为-5;
7.
8.
9.略;
10.|
|=14,cos&ang;ABC=。

高中试卷-6.4 平面向量的应用 同步练习(Word版含解析)(含答案)

高中试卷-6.4 平面向量的应用 同步练习(Word版含解析)(含答案)

平面向量的应用 练习一、选择题（共10题）1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若4a =，3b =，2sin 3A =，则B =( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32.如图，在重600N 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A. B.150N,150NC.D.300N,300N3.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=( )A.6 B.5 C.4 D.34.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC △的形状为( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度1v 的大小110km /h =v ，水流的速度2v 的大小24km /h =v ，设1v 和2v 所成的角为(0π)q q <<，若游船要从A 航行到正北方向上位于北岸的码头B 处，则cos q 等于( )A. B.25-C.35-D.45-6.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()4c a b =-+，π3C =，则ABC △的面积是( )A.3 C.7.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若π4A =，5a =，4c =，则满足条件的ABC △的个数为( )A.0B.1C.2D.无数多个8.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且60m AB BC ==，则建筑物的高度为( )A.mB.mC.mD.m9.若ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若()1sin sin 2C A B -=，且4b =，则22c a -=( )A. 10B. 8C. 7D. 410.在等腰梯形ABCD 中，//222AB DC AB BC CD ===，，P 是腰AD 上的动点，则|2PB PC -uuu r uuu r|的最小值为（ ）B.3D.274二、填空题（共4题）11.在ABC △中，若30B =°，AB =2AC =，则AB 边上的高是_____________.12.一条两岸平行的河流，水速为1m /s ，小船的速度为2m /s ，小船欲到河的正对岸，为使所走路程最短，小船应朝_______的方向行驶.13.在ABC △中，90ABC Ð=°，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上.若45BDC Ð=°，则BD =______________，cos ABD Ð=____________.14.设O 为ABC V 的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则sin BAC Ð的值为___________.三、计算题15.在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知5a=，1c b-=，1 cos7C=.（1）求B；（2）若内角B的平分线交AC于点D，求ABD△的面积.答案解析1.答案：A解析：因为4a =，3b =，2sin 3A =，所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得23sin 13sin 42b AB a´×===，又b a <，可得B 为锐角，则π6B =.2.答案：C解析：作平行四边形OACB ，使30,60AOC BOC Ð=°Ð=°，如图.在平行四边形OACB 中，60ACO BOC Ð=Ð=°，90OAC Ð=°，cos30OA OC °==u u r u u u r ，sin 30300N AC OC °==u u u r u u u r ，300N OB AC ==u u u r u u u r.3.答案：A解析：由sin sin 4sin a A b B c C -=，结合正弦定理，得2224a b c -=，所以22223b c a c +-=-.由余弦定理得2221cos 24b c a A bc +-==-，即23124c bc -=-，整理得6bc=.故选A.4.答案：D解析：由余弦定理得222cos 2c b a A bc+-=，222cos 2c a b B ac +-=，代入原式得2222222222222c a b c b a c b a a c bc c -++-+-=×-，所以22222222c a b c b a ac bc -++-=，所以222()()0a b c a b --+=，解得a b =或2220c a b -+=，则ABC △为等腰三角形或直角三角形.5.答案：B解析：设游般的实际速度为v ，1v 与河流南岸上游的夹角为a ，1AD =v u u u r ，2AC =v u u u r.以AD ，AC 为邻边作平行四边形如图所示，要使得游船正好航行到B 处，则12cos a =v v，即212cos 5a ==v v .又πq a =-，所以2cos cos(π)cos 5q a a =-=-=-，故选B.6.答案：B解析：由22()4c a b =-+可得22224c a b ab =+-+，又由余弦定理得22222π2cos3c a b ab a b ab =+-=+-，所以24ab ab -+=-，解得4ab =.则11sin 422ABC S ab C ==´△.故选B.7.答案：B4sin C=，sin sin C A \=<=，C A \<，所以C 只有一解，所以满足条件的ABC △只有1个，故选B.8.答案：D解析：设建筑物的高度为m h .由题图知，2PA h =，PB =，PC =.在PBA △和PBC △中，分别由余弦定理得，cos PBA Ð=，①cos PBC Ð=.②180PBA PBC °Ð+Ð=Q ，cos cos 0PBA PBC \Ð+Ð=.③由①②③，解得h =h =-.即建筑物的高度为m .9.答案：B解析：11sin()sin sin()22C A B A C -==+，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin C A C A A C A C -=+，即sin cos 3sin cos C A A C =，由正弦定理和余弦定理得：222222322b c a a b c c a bc ab +-+-×=×，即222222333b c a a b c +-=+-，即22244221632c a b -==´=，则228c a -=，故选B.10.答案：C解析：如图，以A 为原点，射线AB 为x轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得3(2,0),2B C æççè，设()P a ，其102a ≤≤，则3(2,),2PB a PC a æö=-=-ç÷ç÷èøuuu r uuu r ，所以52,2PB PC a æö-=-ç÷ç÷uuu r uuu r ，所以2PB-uuu r ==，所以当14a =时，|2|PB PC -uuu r uuu r ，故选：C 11.答案：1或2解析：由正弦定理sin sin AC ABB C=，得sin 30sin AB C AC °===.0150C <<°°Q ，60C \=°或120C =°.当60C =°时，90A =°，AB 边上的高为2；当120C =°时，30A =°，AB 边上的高为2sin 301´°=.12.答案：与水速成120°角解析：如图，为使小船所走路程最短，+船水v v 应与岸垂直.又|1,|||2,90AB AC ADC ====Ð=°v v u u u u r u u u r 船水∣∣，所以30CAD Ð=°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.13.解析：在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD BC C BDC =Ð，即45BD =BD =，则()43cos cos 4555ABD A Ð=-==°.14.解析：设ABC △外接圆的半径为R ，因为2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以2AC AO AB BO =-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ^，因为//AC BO ，所以OM BO ^，即π2BOM Ð=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R æöÐ=+Ð=-Ð=-=-=-=-ç÷èø，在BOC △中由余弦定理可得：BC ===，在ABC △中，由正弦定理可得：sin 2BC BAC R Ð===15.答案：（1）π3B =（2解析：（1）在ABC △中，由余弦定理得2222225(1)1cos 2107a b c b b C ab b +-+-+===，解得7b =，8c =.由余弦定理得2222564491cos 22582a c b B ac +-+-===´´.因为(0,π)B Î，所以π3B =.（2）由（1）知，π6ABD Ð=，22249642511cos 227814b c a A bc +-+-===´´，sin A =在ABD △中，ππsin sin πsin 66ADB A A æöæöÐ=--=+=ç÷ç÷èøèøππ11113sin cos cos sin 6614214A A +=´=.由正弦定理得sin sin AB AD ADB ABD =ÐÐ，所以8131142AD =，得5613AD =.所以ABD △的面积1156sin 82213S AD AB A =×=´´=。

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平面向量的概念及线性运算A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2． 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )＋PB →＝0 ＋PA →＝0 ＋PC →＝0 ＋PB →＋PC →＝03． 已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向4． (2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于 ( )A ．0二、填空题(每小题5分，共15分)5． 设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．6． 在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝___(用a ，b 表示)． 7． 给出下列命题：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上． 其中不正确的个数为________． 三、解答题(共22分)8． (10分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上9． (12分)在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ， AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量．( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |2． 已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于A ．2B ．3C ．4D ．53． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的 ( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线． 5. 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．6． 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.三、解答题7． (13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.平面向量基本定理及坐标表示A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分) 1． 与向量a ＝(12,5)平行的单位向量为( )或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213，－5132. 如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝143． 已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b4． 在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)二、填空题(每小题5分，共15分)5． 若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b ) (ab ≠0)共线，则1a ＋1b的值为________．6． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________． 7． 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →＝23OA →＋13OB →，则|AC →||AB →|＝三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方向相反 9． (12分)如图所示，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)2． 已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)3． 已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．1二、填空题(每小题5分，共15分)4． △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，且p∥q ，则角C ＝________. 5． 已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.6． 设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________． 三、解答题7． (13分)已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时a 的值．平面向量的数量积A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( )A ．－1B ．－12D ．12． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于C ．2 5D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( )A ．－32B ．－23二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC 等于( )C ．2 22． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2等于 A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________. 5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．6． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．平面向量的应用A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． 在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形2． 已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是 A ．－π6B ．－π33． 已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.6． 已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON→≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．7． 已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________.三、解答题(共22分)8． (10分)已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .9． (12分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8时，求函数f (x )＝2a·b ＋1的最大值，并求此时x 的值．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． 平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )|a |2|b |2－a ·b2|a |2|b |2＋a ·b22. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于( )C ．2D ．33． 已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中，AB →＝m ＋n ，AC →＝m －3n ，D 为BC 边的中点，则|AD →|等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题(每小题5分，共15分)4. 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ， 则x ＋y 的最大值是________．5． (2012·湖南)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.6． 已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．。

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