初中数学方法大全之构造法
初中数学方法大全之构造法
构造法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁难的数学问题时，用常规解法，或是无 从下手，或是解题过程异常繁杂，这时，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以 化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效。 一、以概念为框架构造 【例 1】已知方程 ax bx c 0(a 0) 的两根之和为 S1 ,两根平方和为 S 2 ，两根立1 CAD 2
五、以函数为突破构造 【例 5】如图：在一块长 60m、宽 48m 的矩形公园 ABCD 中，P、Q 分别位于边 AB、AD 上，且 AP=24m，AQ=12m，M 在线段 PQ 上，ME⊥BC，MF⊥CD。求：当 M 在什么位置上 时： （1）四边形 MEFC 周长最大； （2）四边形 MECF 面积最大。 【思路分析】以相似为突破口，设 DF=x，用 x 表示出 FM、FC 的长，用函数的增减 性解决周长与面积的最大值，但这样一来，本题的计算量就很大，而且也较麻烦。换一个思 路，以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴，利用函数思 想来解决本题，会有意料之外的效果。 解：以 AB、AD 所在的直线为坐标轴，建立平面直 角坐标系 xOy。 根据题意有： P(24,0), Q(0,12) ，易得 PQ 所在的直线 解析式为： y
设 M (m, ∴当 m=0 时，周长最大等于 192m； 当 m=0 时，面积最大等于 2160m2。 六、其它构造 【例 6】在锐角三角形 ABC 中，求作一个正方形 DEFG，使 D、E 都落在 BC 边上， F、G 分别落在 AC、AB 边上。 【思路分析】要想作出这样的正方形，确实有些困 难，我们可以把条件放宽：求作一个正方形，使其有三个 顶点落在两边上，这样的正方形就比较好作了，我们可以 马上作出一个这样的正方形 D1E1FG 这个正方形可以成 1 1。 为本题的一个跳板吗？实际上，我们得到的这个正方形， 可以利用位似去作出需要的正方形 DEFG 。 解： （略） 在学习数学的过程中，我们会遇到很多这样的题：有些题目有着深厚的“几何背景”， 这样的题我们可以恰当地构造出几何图形，以形助数；有些题目有着浓厚的“代数氛围”，我 们可以适时地构造出代数模型，以数解形；有些题目有着深刻的“函数味道”，我们可以合理 地以函数为框架进行构造。这样不但能够达到另辟蹊径，巧思妙解的目的，而且对培养创造 性思维也有很大的帮助。
因式分解之构造法
因式分解之构造法【知识要点】常用的构造方法1. 配方法：配成完全平方公式，平方差公式，立方和公式，立方差公式等；2. 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母替代它，从而简化运算过程，分解后要注意将新字母还原；3. 添拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。
【典例精析】（一） 配方法：1.若实数,,a b c 满足2226344210a b c ab bc c ++---+=，求,,a b c 的值。
2.已知,,a b c 满足2221346a b c ab bc ++=+，求235532a b c a b c ++++的值。
3.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
4.已知19952=+y x ，53=+y x 时，求229123y xy x ++的值。
21xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+)-(x+y-1)2（二）换元法：5.分解因式：42424(x -4x +1)(x +3x +1)+10x ()五羊杯赛题6.分解因式：2(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x7.分解因式：8.分解因式2(61)(21)(31)(1)x x x x x ----+换元法练习.将下列各式分解因式（1）22224()(2)12x xy y x xy y y ++++- （2）42242(1)(3)x x x x +-++-（3）22222()4()x xy y xy x y ++-+ (4) 2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++(5)222(231)22331x x x x -+-+-（三）添拆项法：9. 分解因式：42x -6x +110. 分解因式：6123x -x -111. 分解因式：x x 323+-12. 分解因式：15++a a13.求多项式2059416178222+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 最小时b a ,的值．添拆项法练习：（把下列各式因式分解）（1）3292624x x x +++ （2）32332a a a +++(3) 6424936x x x --+ (4) 32374a a +-(5)3221215a a a +-+ (6)343115x x -+课后作业1、分解因式 ：4322321x x x x ++++2、分解因式：33221a b ab a b -+++3、分解因式：326116x x x +++4、已知22524x y x y ++=+，求y xx y +的值。
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全初中数学中常用的几何模型有点线面体等，下面是一些具体的模型及其构造方法的介绍。
1.点：点是最基本的几何模型，没有大小和形状，通常用字母表示，如点A。
构造一个点的方法是利用直尺和量角器可以在纸上画出一个点。
2.线段：线段是由两个点A、B确定的一段有限长度的直线。
构造一个线段的方法是使用直尺在纸上连接两个点A、B。
3.直线：直线是不限长度的连续的直线，由无数个点连成。
构造一条直线的方法是使用直尺和铅笔，通过两个点A、B可以画出一条直线。
4.射线：射线是起始点A和其中一点B组成的，且延伸方向上没有终点的线段，A点称为射线的起点。
构造一个射线的方法是先画一个点A，然后通过这个点再延伸一段。
5.角：角是由两条射线共享一个端点所组成的图形，其中这个端点称为角的顶点，两条射线称为角的腿。
构造一个角的方法是先画出射线，然后再画出另一条射线与之相交，两射线的交点即为角的顶点。
6.平行线：平行线是在同一个平面上永远不会相交的直线。
构造平行线的方法是使用直尺和量角器，通过已知的一条直线上的一点和一条角度相等的直线可以画出平行线。
7.相交线：相交线是在同一个平面上交叉的直线。
构造相交线的方法是使用直尺和量角器，在纸上画出两条直线，交点即为相交线的点。
8.三角形：三角形是由三条线段组成的图形。
构造一个三角形的方法是使用直尺和量角器，先画出一个线段作为一条边，再使用量角器构造两条角度相等的线段作为其它两边。
9.直角三角形：直角三角形是一个角为90度的三角形。
构造直角三角形的方法是使用直尺和量角器，首先画出一条线段，然后构造一个90度的角作为其中一条边。
10.等边三角形：等边三角形是三边相等的三角形。
构造等边三角形的方法是使用直尺和量角器，首先画出一条线段作为其中一条边，然后通过量角器构造另外两条边，使得三边相等。
除了以上列举的几何模型，还有圆、四边形、多边形等，它们的构造方法有一些特定的规则，可以通过直尺、圆规和量角器等几何工具进行构造。
初中数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全(初二)
初二数学三角形全等常用几何模型及构造方法大全掌握它轻松搞定全等题！全等是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握~全等变换类型：（一）平移全等：平行等线段（平行四边形）（二）对称全等模型：角平分线或垂直或半角1：角平分线模型；2：对称半角模型；（三）旋转全等模型：相邻等线段绕公共顶点旋转1. 旋转半角模型2. 自旋转模型3. 共旋转模型4. 中点旋转如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE分析：将△ACE平移使EC与BD重合。
B\D，上方交点，左右两个三角形，两边和大于第三边！1：角平分线模型：说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
2：对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、45+ 22.5°、对称（翻折）15°+30°直角三角形对称（翻折）30+60+90直角三角形对称（翻折）翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
1. 半角：有一个角含1/2角及相邻线段2. 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等3. 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等（共顶点）4. 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题（专题七）1、旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
2、自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称3、共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
（接上------共旋转模型）模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形混用。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
初中数学—构造法
知识点拨【知识提要】1.代数构造；2.几何构造；3.其他一些构造。
【基本题型】1.证明存在符合题目条件的某个“事物”；2.说明某个“事物”的最大值或最小值（需要构造说明它存在）；3.其他一些杂题。
【解题技巧】1.构造一一对应方法；2.用组合数学的方法；3.极端的思想。
快乐热身【热身】求证：区间(0,1)上的实数和整个实数集中的实数一样多。
【解析】分析两个集合都有无穷多个实数，不能求出个数。
看起来，一条有限长的线段和一条无限长的直线里面的点不会一样多。
那么，要想说明两个无穷集合是一样大的，需要构造出一个一一对应的关系。
解令函数π()tanπ(01)2f x x x⎛⎫=-<<⎪⎝⎭，则易知()f x是从(0,1)到上的一一映射。
所第二讲构造法以，这两个集合里面的数一样多。
说明 证明两个集合的元素个数一样多（可能是无限集合），最常规的方法就是做一一对应。
热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 用构造法求147464712...47...52515250515256 (52)⨯⨯⨯⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯的值。
【解析】 分析 看起来是组合数的概率问题，可以构造一个模型。
解 分母出现52，那么考虑1到52的全排列。
第一个数是1的概率为152； 考虑第二项，4752是“前5项中没有出现1”的概率，且这显然与“第一个数是1”互斥；那么，475152⨯便是：前5项中没有出现1，且第一项为2的概率。
继续考虑第三项，4647505152⨯⨯⨯是前5项中没有出现1或2，且第一项为3的概率。
……最后一项是前5项中没有出现1，2，3，……，47，且第一项为48的概率。
综上所述，所求的数为第一项是前5项中最小的那项的概率，所以等于15。
说明 本题当然也可以用裂项法。
【例 2】 记n 为正整数，设n A 为数字和为n 且不含有1，3，4以外的数字的自然数个数，n B 为数字和为n 且不含有1，2以外的数字的自然数个数。
初中数学构造法的归纳整理(保证精品)
构造法深度探索构造法是一种重要而灵活的解题方法．应用构造法解题的关键有两点：第一，要有明确的方向，即为什么而构造；第二，必须弄清条件的本质特点，以便明确构造什么、如何构造，从而达到解题的目的．本讲通过实例分析深度探究各种构造法的应用．1 构造代数式初中数学竞赛中的某些与整数有关的整除问题，代数式的化简、求值等，直接考虑很难人手．然而，通过观察，适当构造多项式、有理化因式、对偶式、递推式等，从而出现熟悉的数学表达式，使问题得以解决．1．1 构造多项式例1 三个整数 a 、b 、c 的和是 6的倍数．那么，它们的立方和被 6除，求得到的余数.1．2 构造有理化因式例2 已知2002)2002)(2002(22=++++y y x x . 计算58664322+----y x y xy x .1．3 构造对偶式根据代数式的特点，构造与其相关联的对偶式，通过对二者的灵活处理，得到一些有用的关系式，从而解决问题．例3 已知βα、是方程012=--x x 的两根．则βα34+的值？1．4 构造递推式数学竞赛中的某些求值问题中如存在递推关系，可通过构造递推式解决问题．例4 实数y x b a ,,,满足3=+by ax ，722=+by ax ，1633=+by ax ， 4244=+by ax ，求55by ax +2 构造几何图形如果题目条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则通过作出与其相关的图形，可以将问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来．2．1 构造对称图形例5 已知 a 、b 是正数，且 a+b=2．求4122+++=b a u 的最小值.2．2构造矩形例6 已知0,0>>b a ，求以22b a +，224b a +，224b a +为三边长的三角形的面积。
2．3 构造圆例7 已知y x b a ,,,为正实数，且1,12222=+=+y x b a ，求证：1≤+by ax .2. 4 构造三角形例8 已知方程组满足 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++169312531222222z zx x y z y xy x ．求 xy+2yz+3xz 的值．例9 已知正数C B A c b a ,,,,,满足k c C b B a A =+=+=+,求证：.2k cA bC aB <++3 构造方程、不等式、函数3．1 构造二次方程方程是中学数学中解决问题的重要工具，根据题设条件及结论的特点，利用方程的有关知识，构造辅助方程解决有关问题，常能化难为易，化繁为简．例10已知实数 a ≠b ，且满足)1(33)1(2+-=+a a ;2)1(3)1(3+-=+b b ,则 ba a ab b+的值为.例11．已知a<0，b>0，且15152=+=+b b a a ．则代数式b b b b a 13+值为．3．2 构造不等式利用不等关系可解决与最值有关的数学问题 ．例12 设x,y 是非负整数， x+2y 是 5的倍数，x+y 是3的倍数，且2x+y ≥99．则7 x+5y 的最小值为 ．3．3 构造函数用函数的观点分析题目的条件、结构，构造出相应的函数关系式，可将某些数学问题转化为对函数相关性质的研究．例 13 已知实数0,0,0>≤<c b a ,且ac b ac b 242-=-，求ac b 42-的最小值.例14* 证明：在任意2013个互不相同的实数中，总存在两个数x ，y ，满足： )1)(1(1201222y x xy y x ++≤--.4 其他构造4．1构造反例构造反例的方法在历史上也曾被数学大师们运用，如欧拉推翻了费尔马的质数公式 例15 a 、b 、c 都是实数，考虑如下命题 ：(1)若 a 2+ab+c>O ，且c>1，则0<b<2；(2)若 c>1，且0<b<2，则a 2+ab+c>O ；(3)若0<b<2，且a 2+ab+c>O ，则c>1．试判断哪些命题正确，哪些命题不正确．说明理由。
(完整版)初中数学常用几何模型及构造方法大全
n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全，掌握它轻松搞定压轴题！几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i rb e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称.共旋转模型a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i rb e i n g a r e g o o d f o r s o 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学方法大全之构造法
构造法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁难的数学问题时，用常规解法，或是无从下手，或是解题过程异常繁杂，这时，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效。
一、以概念为框架构造
【例1】已知方程 20(0)ax bx c a ++=≠的两根之和为1S ,两根平方和为2S ，两根立方和为
2)x +
90 ,.
ac bd B D Rt ABC Rt CDA AC CA Rt ABC Rt CDA
a d
b
c =⇒
⎪∠=∠=︒⎭∆∆⎫⇒⎬=⎭
⇒∆∆⇒==∽≌
三、从公式特征构造
【例3】已知x 、y 、z 、r
都为正数，且满足2222,x y z z x +==。
求证：xy=rz 。
【思路分析】此题中，题设222x y z +=与勾股定理的结论非常相似，故可以从构造勾股定理入手进行本题的研究。
证明：如图，构造Rt △ABC ，使AC =x ，BC =y ，斜边AB =z 。
作CD ⊥AB 于D 。
由射影定理可知：2AC AD AB =⋅，则有：
性解决周长与面积的最大值，但这样一来，本题的计算量就很大，而且也较麻烦。
换一个思路，以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴，利用函数思想来解决本题，会有意料之外的效果。
解：以AB 、AD 所在的直线为坐标轴，建立平面直
角坐标系xOy 。
根据题意有：(24,0),(0,12)P Q ，易得PQ 所在的直线解
析式为：1122
y x =-+。
设1(,12)(024)2M m m m -
+≤≤，则136,602
MF m ME m =-=-。
∴周长12()2(3660)1922
MF ME m m m =+=++-=-+ 面积211(36)(60)(6)217822MF ME m m m =⋅=+-=-++ ∴当m =0时，周长最大等于192m ；
当m =0时，面积最大等于2160m 2。
六、其它构造
【例6】在锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 都落在BC 边上，F 、G 分别落在AC 、AB 边上。
【思路分析】要想作出这样的正方形，确实有些困
难，我们可以把条件放宽：求作一个正方形，使其有三个
顶点落在两边上，这样的正方形就比较好作了，我们可以
马上作出一个这样的正方形1111D E FG 。
这个正方形可以成为本题的一个跳板吗？实际上，我们得到的这个正方形，可以利用位似去作出需要的正方形DEFG 。
解：（略）
在学习数学的过程中，我们会遇到很多这样的题：有些题目有着深厚的“几何背景”，这样的题我们可以恰当地构造出几何图形，以形助数；有些题目有着浓厚的“代数氛围”，我们可以适时地构造出代数模型，以数解形；有些题目有着深刻的“函数味道”，我们可以合理地以函数为框架进行构造。
这样不但能够达到另辟蹊径，巧思妙解的目的，而且对培养创造性思维也有很大的帮助。