初中数学方法大全之构造法

初中数学方法大全之构造法

构造法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁难的数学问题时，用常规解法，或是无从下手，或是解题过程异常繁杂，这时，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，往往可以化繁为简，化难为易，收到事半功倍的功效。

一、以概念为框架构造

【例1】已知方程 20(0)ax bx c a ++=≠的两根之和为1S ,两根平方和为2S ，两根立方和为

2)x +

90 ,.

ac bd B D Rt ABC Rt CDA AC CA Rt ABC Rt CDA

a d

b

c =⇒

⎪∠=∠=︒⎭∆∆⎫⇒⎬=⎭

⇒∆∆⇒==∽≌

三、从公式特征构造

【例3】已知x 、y 、z 、r

都为正数，且满足2222,x y z z x +==。

求证：xy=rz 。

【思路分析】此题中，题设222x y z +=与勾股定理的结论非常相似，故可以从构造勾股定理入手进行本题的研究。

证明：如图，构造Rt △ABC ，使AC =x ，BC =y ，斜边AB =z 。作CD ⊥AB 于D 。

由射影定理可知：2AC AD AB =⋅，则有：

性解决周长与面积的最大值，但这样一来，本题的计算量就很大，而且也较麻烦。换一个思路，以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴，利用函数思想来解决本题，会有意料之外的效果。

解：以AB 、AD 所在的直线为坐标轴，建立平面直

角坐标系xOy 。

根据题意有：(24,0),(0,12)P Q ，易得PQ 所在的直线解

析式为：1122

y x =-+。

设1(,12)(024)2M m m m -

+≤≤，则136,602

MF m ME m =-=-。 ∴周长12()2(3660)1922

MF ME m m m =+=++-=-+ 面积211(36)(60)(6)217822MF ME m m m =⋅=+-=-++ ∴当m =0时，周长最大等于192m ；

当m =0时，面积最大等于2160m 2。

六、其它构造

【例6】在锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG ，使D 、E 都落在BC 边上，F 、G 分别落在AC 、AB 边上。

【思路分析】要想作出这样的正方形，确实有些困

难，我们可以把条件放宽：求作一个正方形，使其有三个

顶点落在两边上，这样的正方形就比较好作了，我们可以

马上作出一个这样的正方形1111D E FG 。

这个正方形可以成为本题的一个跳板吗？实际上，我们得到的这个正方形，可以利用位似去作出需要的正方形DEFG 。

解：（略）

在学习数学的过程中，我们会遇到很多这样的题：有些题目有着深厚的“几何背景”，这样的题我们可以恰当地构造出几何图形，以形助数；有些题目有着浓厚的“代数氛围”，我们可以适时地构造出代数模型，以数解形；有些题目有着深刻的“函数味道”，我们可以合理地以函数为框架进行构造。这样不但能够达到另辟蹊径，巧思妙解的目的，而且对培养创造性思维也有很大的帮助。