《概率论与数理统计》 作业解答

1
,
0, x −3 ≤
< −3 x<1
F
(X
)
=
3
5 6
,
1
≤ 1,
x 2
< ≤
2 x
11、设随机变量 X 的分布函数为 F(X)，用 F(X) 表示下述概率： （1）P {X ≤ a} ；（2）P {X = a} ；（3）P {X ≥ a} ；（4）P {X > a} . 解：（1）P {X ≤ a} = F (a) （2）P {X = a} = F (a − 0) （3）P {X ≥ a} = 1 − P {X < a} = 1 − F (a − 0) （4）P {X > a} = 1 − P {X ≤ a} = 1 − F (a)
X ∼ B(4, 0.2)
（2）
P {X
=
0}
=
C240 C245
,
P
{X
=
1}
=
C51C230 C245
,
P
{X
=
2}
=
C52C220 C245
,
统一可写为：
P {X
=
3}
=
C53C210 C245
,
P
{X
=
4}
=
C54 C245
P {X
=
k}
=
C5k C240−k C245
,
k
=
0, 1, 2, 3, 4
3、设随机变量 X 的分布律为
P {X = k} = C · ( 2 )k, k = 1, 2, 3. 3
求 C 的值.
解：由
P {X
=
1}
+
P {X
=
2}
+
P {X
=
3}
=
C
·
2 (( )
+
( 2 )2
+
( 2 )3)
=
1
33
3
得: 27
C= 38
4、随机变量 X 的分布律为
P {X = k} = (1 − a)ak, k = 0, 1, 2, 3, · · ·
14、设随机变量的概率密度为
f (x) = Ae−2|x|, −∞ < x < +∞
试求：（1）系数 A；（2）X 的分布函数.
解：（1）由
∫ +∞
∫ +∞
∫0
∫ +∞
f (x)dx = 1即A
e−2|x|dx = A(
e2xdx +
e−2xdx) = 1求得A = 1
−∞
−∞
−∞
0
（2）X 的分布函数:
∫ +∞
∫3
f (x)dx = 1即A xe−2x2 dx = 1求得A =
2
−∞
0
1 − e−9
（2）其中一发子弹被接受的概率为：
P {X
≤
2}
=
F (2)
=
∫2
−∞
Axe−2x2 dx
=
1
2 − e−9
∫2
0
xe−2x2 dx
所以，该批产品被接受的概率为：
1 − e−4 = 1 − e−9
=
(
1 1
2 习题解答
1、一批晶体管中有 9 个合格品和 3 个不合格品，从中任取一个安装在电子设备上，如果取出不合 格品不再放回，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布律.
1
2 习题解答
2
表 1: 离散型随机变量 X 的分布律
X
0
1
2
3
P{X=k} 0.75 0.2045 0.0409 0.0046
解：设在取得合格品以前已取出的不合格品数为随机变量 X，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3。分布律
6、某射手每次射击击中目标的概率为 0.8，现连续射击 30 次，写出击中目标的次数 X 的分布律，
并求出 30 次射击未击中目标的概率.
解：该射手射击只有击中与未击中两个结果，击中目标的概率 p=0.8，连续射击 30 次相当于做了 30 次
伯努利试验，则
X ∼ B(30, 0.8)
30 次射击未击中目标的概率：
1
±
3 舍去)
22
2
16、从一批子弹中任意抽出 5 发试射，如果没有一发子弹落在靶心 200m 以外，则整批子弹将被接 受, 设弹着点与靶心的距离 X（cm）的概率密度为
{ Axe−2x2 , 0 < x) < 3 f (X) =
0, 其他
试求：（1）系数 A；（2）该批子弹被接受的概率.
解：（1）由
x 1−x
<
1 或 1−x
4x
<
1 4
即有：X
<
l 5
或X
>
4l 5
而
P {X
<
l 5
}
=
F
(
l 5
)
=
1 5
,
P {X
>
4l 5
}
=
1
−
P
{X
leq
l 5
}
=
1
−
F
(
4l 5
)
=
1 5
,
所以，短的一段与长的一段之
比小于 1/4 的概率是 0.4.
18、设随机变量 Y 服从（0，5）上的均匀分布，求方程
X ∼ B(100, 0.01)
至少有两个粒子穿透屏蔽的概率:
P {X ≥ 2} = 1 − P {X = 0} − P {X = 1} = 1 − C1000(0.01)0(0.99)100 − C1100(0.01)1(0.99)99
2 习题解答
4
= 1 − 0.3661 − 0.3697 = 0.2642
P {X = 0} = (1 − 0.8)30 = 1.0737 × 10−21
7、一放射源放射出的任一粒子穿透某一屏蔽的概率是 0.01，现放射出 100 个粒子，求至少有两个 粒子穿透屏蔽的概率. 解：放射源放射出的粒子只有穿透与未穿透两个结果，穿透屏蔽的概率 p=0.01，连续放射出 100 个粒 子相当于做了 100 次伯努利试验，则
为：
9
39
P {X = 0} = = 0.75, P {X = 1} = × = 0.2045
Hale Waihona Puke 1212 11329 P {X = 2} = × × = 0.0409
12 11 10
3 2 19 P {X = 3} = 12 × 11 × 10 × 9 = 0.0046 离散型随机变量 X 的分布律：(见表 1)
− −
e−4 e−9
)5
17、在长为 l 的线段上随机地选取一点，将其分为两段，短的一段与长的一段之比小于 1/4 的概率
是多少？
解：设在线段上随机地选取一点 X，X 的分布函数为：
x 0, x < 0
F (x)
=
l
,
0
≤x 1, x
≤ ≥
1 1
2 习题解答
7
由短的一段与长的一段之比小于
1/4，可得
4x2 + 4xY + Y + 2 = 0
有实根的概率. 解：方程 4x2 + 4xY + Y + 2 = 0 有实根的充要条件是：
∆ = (4Y )2 − 4 × 4 × (Y + 2) = 16(Y + 1)(Y − 2) ≥ 0
解：（1）X 的分布函数；
∫x
0, x < 0
F (x) =
−∞
f (u)du
=
3x2
−
2x3,
0
≤ 1,
x x
< ≥
1 1
（2）由 P {x ≤ b} = P {x > b} 得到 F (b) = 1 − F (b) , 得 F (b) = 1/2 , 故：
√
3b2
− 2b3
=
1 ,b
=
1 (b
=
=
2}
=
1，
6
当 x < −3 时，F (x) = P {X ≤ x} = P {ϕ} = 0.
当
−3
≤
x
<
1
时，F (x)
=
P {X
≤
x}
=
P {−3}
=
1 3
.
当
1
≤
x
<
2
时，F (x)
=
P {X
≤
x}
=
P {−3}
+
P {1}
=
5 6
.
当 2 ≤ x 时，F (x) = P {X ≤ x} = P {−3} + P {1} + P {2} = 1. 可得：
1 ln 3 1 − P {X ≤ 1} = 1 − 3 − 3 = 0.3005
10、一个口袋中有六个球，在这六个球上标明的数字分别为 -3,-3,1,1,1,2，从袋中任取一个球，试求
取得的球上标明的数字 X 的分布律及分布函数.
解：由题意有：P {X
=
−3}
=
1 3
，P
{X
=
1}
=
1 2
，P
{X
∫x
1 e2x, x < 0
F (x) =
−∞
e−2|u|du
=
1
−
2 1 e−2x,
x
≥
0
2
2 习题解答
6
15、设随机变量 X 的概率密度为 { 6x(1 − x), 0 ≤ (x) ≤ 1
f (X) = 0, 其他
（1）求 X 的分布函数；
（2）确定满足 P {x ≤ b} = P {x > b} 的 b
2、做一系列独立试验，每次试验成功的概率为 p（0<p<1），求： （1）首次成功时试验次数 Y 的分布律； （2）在 n 次成功之前已经失败次数 X 的分布律. 解：设 Ai = {第 i 次试验成功}，i=1,2,3,... 则
（1）P {Y = k} = P (A1A2A3 · · · Ak) = P (A1)P (A2)P (A3) · · · P (Ak) = p(1 − p)k−1, k = 1, 2, 3, ...
A A
− +
π B
2 π
B
= =
0 1
解得：,
A
=
1 ,
2
B
=
1 π
2
1 P {−1 < X < 1} = F (1) − F (−1) = 2
f (x)
=
F ‘(x)
=
1 π
·
1
1 + x2 , x
∈
R
13、设随机变量 X 的分布函数为
{ 1 − (1 + x)e−x, x > 0
F (X) = 0, x ≤ 0
出的概率为 1/3，试求: （1）X 的分布律；
（2）放射出一个以上粒子的概率.
解：（1）由题意，X ∼ P (λ) ，且
P {X = 0} = λ0 e−λ = 1
0!
2
得 λ = ln 3，故 X 的分布律；
P {X = k} = (ln 3)k e− ln 3 = (ln 3)k
k!
3k!
（2）放射出一个以上粒子的概率:
（2）
P {X > s + t | X > s} = P {(X > s + t) ∩ (X > s)} = P {X > s + t} = P {X ≥ t}
P {X > s}
P {X > s}
5、一批产品共有 25 件，其中 5 件次品，从中随机地一个一个取出检查，共取 4 次，设 X 是其中 的次品数，若 （1）每次取出的产品仍放回； （2）每次取出的产品不再放回. 写出 X 的分布律. 解：（1）随机地一个一个取出仍放回，每次取出产品是次品的概率是 0.2，共取 4 次，相当于做 4 次伯 努利试验，则
8、设随机变量 X 服从泊松分布，且 P｛X=1｝=P｛X=2｝，计算 P｛X=4｝. 解：由题意，X ∼ P (λ) ，且
P {X = 1} = λ1 e−λ = P {X = 2} = λ2 e−λ
1!
2!
得λ=2
P {X = 4} = 24 e−2 ≈ 0.0902 4!
9、在一个周期内，从一个放射源放射出的粒子数 X 是服从泊松分布的随机变量，如果无粒子放射
试求 X 的概率密度，并计算 P｛X ≤ 1｝和 P｛X>3｝.
解：X 的概率密度：
{ f (x) = F ‘(x) = xe−x, x > 0
0, x ≤ 0
P {X ≤ 1} = F (1) = 1 − 2e−1 = 0.2642
P {X > 3} = 1 − P {X ≤ 3} = 1 − (1 − 4e−3) = 4e−3 = 0.1991
概率论与数理统计第二章作业解答
大龙在这里呢 2017 年 10 月 9 日
摘要 《概率论与数理统计》电子科技大学应用数学学院徐全智、吕恕主编，第二章作业题解答。
目录
1 题型分布
1
2 习题解答
1
1 题型分布
第二章《随机变量的分布》 随机变量的分布函数 在引进分布函数之前，我们只能孤立地研究随机试验的一个或数个事件，不能从整体去深入研究随机试 验。分布函数是一种分析性质良好的函数，便于处理，利用它可将许多概率论问题得以量化分析和简化 处理。 离散型随机变量 -分布律：习题 1-5 离散型随机变量 -伯努利试验与二项分布：习题 6-7 离散型随机变量 -泊松分布：习题 8-9 连续型随机变量 概率密度所对应的平面曲线称为随机变量 X 的概率曲线，根据积分的几何意义可知，分布函数值 F(X) 是概率曲线下从 −∞ 到 +∞ 的一块面积， 连续型随机变量 -分布律和概率密度：习题 10-17 连续型随机变量 -均匀分布：习题 18-19 连续型随机变量 -正态分布：习题 20-25
（1）a 可取何值？ （2）证明对于任意两个正整数 s 和 t，有
P {X > s + t | X > s} = P {X ≥ t}.
2 习题解答
3
解：（1） 得
∑ ∞
∑ ∞
P {X = k} = (1 − a) ak = (1 − a)
lim
1 − ak
=1
k→∞ 1 − a
k=0
k=0
0<a<1
12、（柯西分布）随机变量 X 的分布函数是 F (X) = A + Barctanx, −∞ < x < +∞,
2 习题解答
5
试求：（1）系数 A 和 B；
（2）X 落在区间（-1，1）内的概率；
（3）X 的概率密度.
解：（1）由
lim = 0, lim = 1
x→−∞
x→+∞
可得：
（2） （3）X 的概率密度：
（2）做 n+m 次独立试验，指定 n 次成功，m 次失败的概率为：(1 − p)mpn . 随机事件 {X = m} 发生相当于第 n+m 次必定成功，前 n+m-1 次试验中有 m 次失败，共有 Cnm+m−1 种方式，所以