西工大大学物理学习题册答案

西工大大学物理学习

题册答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第一章 真空中的静电场

一、选择题 1.C ；2.B ；3.C ；4.B ；5.B ；6.C ；7.E ；8.AD ； 9.B ；10.BD 二、填空题 1.

3

0281R

qb επ；由圆心指向缺口。 2. 0εq

；21Φ<Φ。 3. 均匀带电薄球壳。 4. 1

22

10

h h E E --ε；312C/m 1021.2-⨯。 5. N/C 100；2-9C/m 10.858⨯。 6. V 135-；V 45。

7. R Q q U q E 0006πε=

；00=∞C U q ；R Q q U q CE 0006πε-=；R

Q

q U q E 0006πε=∞。

8.

412

20R x q +πε； 2

322

)

(41R x qx πε

+； R

22； N/C 433362

0=R πεq

。 9. 有源场；无旋场（或保守场）。

三、问答题

答：E 电场强度从力的角度描述电场的性质，矢量场分布；U 从能和功的角度描述电场的性质，标量场。

E 与U 的关系为： U E grad -= ，⎰∞⋅=a

d l E U a

使用叠加原理计算电场强度，注意先将各个场源产生的电场强度分解到各坐标轴，然后再叠加。

使用叠加原理计算电势，要注意电势零点的选择。

四、计算与证明题：

1．证：（1） CD BC AB E E E E

++=

根据对称性分布，两段直导线AB 和CD 在O 点产生的电场强度大小相等，方向相反，则

0=+CD AB E E

。

在半圆形BC 上取电荷元d l ，则l q d d λ=，相应的在O 点产生d E 为 2

04d d a

l

E πελ= 由于对称分布分析可知0=x E ，设d E 和y 轴夹角为θ，且有θd d a l =

θθελ

θελd cos 4πcos 4πd d 020y a

a l E ==

a

a E y 02202πd cos 4πελθθελππ==⎰- j a εE 02πλ=∴ 得证

（2）半圆形BC 在O 点产生的电势为：a

εl

U 014πd d λ=

， ⎰=

=

a

εl a εU π0

014πd 4πλπ

λ

带电导线AB 或CD 在O 点产生的电势为：l l 024πd dU ελ=

， ⎰

==a

a

l dl U 20

22ln 44ππελ

ελ

总电势：)2ln 2π(4π20

21+=

+=ελ

U U U 得证 2．解：①取高斯面为同心球面，由高斯定理：∑⎰⎰=

==⋅q r E dS E S d E S

S

2

14επ ，得

当r ≤R 时，)( 4πππ3

4π343

01333

33R r R

Qr

E Q

R r r R Q r q <=

⇒

===∑ερ 当r >R 时 )( 4π1π42

020

22R r r

Q

E Q r E Q

q >=

⇒

=

⇒

=∑εε ② 选无穷远为势能零点。 当r ≤R 时，即球内一点电势为

)3(8d 4d 4d d d 22

020

3

0211R

r R Q r r Q r r R

Q r E r E r E U R

R

r

R

R r

r

-=+

=

⋅+⋅=⋅=⎰

⎰

⎰⎰⎰

∞

∞∞

πεπεπε 当r >R 时，即球外一点电势： r

Q

r r Q r E r E U r

r r 02

224d 4d d πεπε==

=⋅=⎰

⎰⎰∞

∞∞

③ 球内电荷虽沿径向分布不均匀，但电场仍是球形对称，则作高斯面为半径为r 的同心球面。

当r ≤R 时，选一个半径为r ＇、厚度为d r ＇的薄球壳，则

'd '2'd 'π4'1π2d )'(d 2

2

2r r R Q r r r R Q V r q ==

=ρ

高斯面内总电荷：2202'd '2)'(r R

Q

r r R Q dV r q r V ===∑⎰⎰ρ

由高斯定理： ∑⎰⎰=

==⋅q r E dS E S d E S

S

2

14επ 22

r R

Q

ε=

2

04R

Q E πε=

得证

3．解：由高斯定理可得各区域场强的分布为

当R r ≤，01=E ；当R r R 2<<，2

024r q E πε=

；当R r 2≥，2

034r

Q

q E πε+=

① 当R r 2≥，r Q q dr r Q q dr E U r

r

02

03344πεπε+=+==⎰

⎰∞

∞

， R Q

q U 0

8πε+=外 ②当R r R 2<<，⎰⎰

⎰⎰⎰∞∞∞++=

+=⋅=R R

r

R

R r

r

r

r

q Q r r q r E r E r E U 220220

23222d 4d 4d d d πεπε

R Q

r q R q Q R r q

0000848)211(4πεπεπεπε+

=++-=

⎰

⎰⎰

=

=⋅=R

R

R

R

R

R

r r q r E r E U 22

222d 4d d πε 内外R

q

08πε= ③当R r <，⎰⎰

⎰⎰⎰⎰∞∞∞++=

++=⋅=R R

R

R

R R

R r

r

r

r

q Q r r q r E r E r E r E U 220220

232211d 4d 4d d d d πεπε

R

q

Q R q Q R

q 0008288πεπεπε+=

++

=

R

q

Q U 082πε+=

内

④ q Q R

q

Q U 20

820-=⇒

=+=πε内，即外球面为负电荷，是内球面电量的两倍。

五、附加题

1.证：由高斯定理知，一个完整带电球面内场强处处为零，即0=E