初二下册数学证明题及答案

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初二数学证明试题

初二数学证明试题1.要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做_______．【答案】证明【解析】根据证明的概念直接填空即可。

要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做证明．【考点】本题考查的是证明的概念点评：解答本题的关键是熟练掌握证明的概念：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理一步一步推得结论成立．这样的推理过程叫做证明．2.证明几何命题时，表述要按照一定的格式，一般为：（1）按题意________；（2）分清命题的________，结合图形，在“已知”中写出______，在“求证”中写出______；（3）在“证明”中写出______．【答案】画出图形，条件和结论，条件，结论，推理过程【解析】根据证明几何命题的格式直接填空即可。

证明几何命题时，表述要按照一定的格式，一般为：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程．【考点】本题考查的是证明几何命题的格式点评：解答本题的关键是熟练掌握证明几何命题的格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程．3.在△ABC中，∠A+∠B=110°，∠C=2∠A，则∠A=______，∠B=_______．【答案】∠A=35°，∠B=75°【解析】根据∠A+∠B=110°，三角形的内角和为180°，即可求得∠C的度数，再根据∠C=2∠A 求得∠A的度数，从而得到∠B的度数。

∵∠A+∠B=110°，∴∠C=180°-（∠A+∠B）=70°，∵∠C=2∠A，∴∠A=35°，∴∠B=180°-∠A-∠C=75°.【考点】本题考查的是三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°．4.如图所示，AB∥CD，CE平分∠ACD并交AB于E，∠A=118°，则______．【答案】31°【解析】由AB∥CD，∠A=118°，根据平行线的性质可求得∠ACD的度数，再由CE平分∠ACD可求得∠ECD的度数，再根据平行线的性质即可得到结果。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)含辅助线证明题训练(含答案)

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形含辅助线证明题训练1.已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．2.在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．4.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E 作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC=120°，连接BG，CG，DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=90°，AB=8，AD=14，M是EF的中点，求DM的长．6.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．(1)求证：DP＝BF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求DP的长；(3)求证：CP＝BM＋2FN．7.如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM=AE；（2）连接CM，DF=2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC=2∠MCF，求ME的长．8.在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点．且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；（2）如图2．若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE＝EF．AC，将菱形ABCD绕着点B （3）如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE＝12顺时针旋转α°（0≤α≤360），请直接写出在旋转过程中DE的最大值．9.如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN=1.（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值.10.如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC的中点．求证：AF=BC+CF．11.已知：如图（1），点E、F分别为正方形ABCD的边BC、DC上的点，线段AE和AF分别交BD于点M和点N，连接MF，MF⊥AE于点M．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）如图（2），连接EF，当AD＝5，DF＝1时，求线段EF的长度；BD．（3）如图（3），作FR⊥BD于R．求证：RM=12BC，CE⊥AB于点E，F是AD的中点，连接12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=12EF，CF．求证：（1）EF=CF；（2）∠EFD=3∠AEF．13.如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．14.已知：如图，G为平行四边形ABCD中BC边的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2．（1）求证：E是AD的中点；（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，得∠3＝∠2，求证：CD＝BF+DF．15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED=EF：(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形．并证明你的结论(请先补全图形，再解答)：(3)若ED=EF，则ED与EF垂直吗?若垂直给出证明，若不垂直说明理由．16.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

初二数学压轴几何证明题(含答案)

1.四边形ＡBCＤ是正方形，△ＢEF是等腰直角三角形,∠BＥＦ＝９0°,BE＝ＥF,连接DF,G 为DF的中点，连接EG,CG,EC．ﻫ(1)如图1,若点Ｅ在ＣB边的延长线上，直接写出EG与GC 的位置关系及的值；ﻫ(2)将图1中的△BEＦ绕点Ｂ顺时针旋转至图2所示位置，请问(１）中所得的结论是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点Ｂ顺时针旋转α(0°<α<９0°),若BE＝１，AＢ=,当Ｅ，F,Ｄ三点共线时,求DF的长及tan∠ＡBＦ的值．解：（１）ＥＧ⊥CG，=,ﻫ理由是:过G作ＧH⊥ＥC于Ｈ,ﻫ∵∠FEB=∠DＣB=9０°，∴ＥF∥ＧＨ∥DC,ﻫ∵G为DF中点，ﻫ∴H为EＣ中点,ﻫ∴EG=ＧC，GH=(ＥF+DC）＝（ＥB＋ＢC）,ﻫ即ＧH=EH=HC，ﻫ∴∠ＥＧC=9０°，即△ＥＧC是等腰直角三角形，∴=；ﻫ（２）ﻫ解：结论还成立，ﻫ理由是:如图2,延长EG到H,使EG＝GＨ，连接CH、ＥC,过E作BC的垂线ＥM,延长CD,∵在△ＥFG和△ＨＤG中ﻫ∴△EFG≌△HDG（SAＳ）,∴ＤH=EF=BE,∠FEG＝∠DHＧ,∴EF∥ＤH,ﻫ∴∠1=∠2＝90°－∠3=∠4，ﻫ∴∠EBＣ=１80°－∠4=１80°－∠１=∠ＨDＣ，在△EBＣ和△HDC中ﻫ∴△EBC≌△HDC.ﻫ∴CＥ＝ＣH,∠ＢＣE=∠DCH,∴∠ECH＝∠DＣＨ+∠ＥＣD=∠BCE+∠ＥCD=∠ＢＣD=90°，∴△EＣH是等腰直角三角形,ﻫ∵G为ＥH的中点，ﻫ∴EG⊥GC，=,ﻫ即(１）中的结论仍然成立;ﻫﻫ（３）ﻫ解:连接BD，∵AＢ=，正方形AＢCD,ﻫ∴BＤ=２，ﻫ∴coｓ∠DＢE==,∴∠DBE=60°，ﻫ∴∠ABE=∠ＤBE-∠ABＤ=1５°,ﻫ∴∠ＡＢF=45°-１５°=３0°,∴ｔaｎ∠ABF＝，∴DE=BＥ=,∴ＤＦ＝ＤE-EＦ=-1．解析: （1)过G作GH⊥EＣ于H，推出EF∥GＨ∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH＝（EF＋ＤC）=(EB＋BC）,推出GH=ＥH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可;ﻫ（２)延长EG到H，使EG＝ＧH,连接CH、EC,过E作ＢC的垂线EM，延长ＣD，证△ＥFG≌△ＨDG，推出ＤH=EF=BE,∠ＦEG＝∠DHG,求出∠EBC=∠ＨＤC，证出△ＥBＣ≌△ＨDＣ，推出ＣＥ=CH,∠ＢCＥ=∠DＣH，求出△EＣＨ是等腰直角三角形,即可得出答案；3(ﻫ）连接BD，求出cｏs∠DBE＝＝，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=３０°，解直角三角形求出即可．2．已知正方形ABＣD和等腰直角三角形ＢEＦ，BE=EF，∠ＢEＦ＝9０°,按图１放置,使点E在BC上，取DF的中点Ｇ，连接ＥG，ＣＧ.（1)延长EG交DC于Ｈ，试说明:ＤＨ=BE.ﻫ(２）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,连接DF,取DＦ中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=ＣG且EG⊥CＧ．在设法证明时他发现：若连接BD，则D,E，B三点共线.你能写出结论“EＧ=CG且EG⊥CG”的完整理由吗?请写出来.ﻫ（３)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α<90°)，再连接DＦ,取DF的中点Ｇ(如图3),第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．(1）证明:∵∠BＥＦ=9０°，∴EＦ∥DH,ﻫ∴∠EFG=∠GDH,ﻫ而∠ＥGＦ＝∠DGH，ＧF＝GD，ﻫ∴△GEF≌△GＨD，ﻫ∴EF=DH，而BＥ=EF,ﻫ∴DH=BＥ;ﻫ（2）连接DB，如图，ﻫ∵△BＥF为等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°，ﻫ而四边形ＡBCD为正方形，∴∠DBC=45°，ﻫ∴D，E,B三点共线.ﻫ而∠ＢEF＝90°，∴△FED为直角三角形，ﻫ而Ｇ为DF的中点，∴EG=ＧＤ＝GＣ，∴∠ＥGC=2∠EDＣ=９0°，∴EG=CＧ且EG⊥CG;ﻫﻫ（3)第２问中的结论成立.理由如下：连接ＡC、ＢD相交于点O,取BF的中点M，连接OG、ＥM、MG，如图,ﻫ∵Ｇ为DＦ的中点,Ｏ为BD的中点，Ｍ为BF的中点,ﻫ∴OＧ∥BF,ＧM∥OB，ﻫ∴四边形ＯGMＢ为平行四边形,∴OＧ=BM，GM=OB,而EM=BM，ＯC＝OB,∴EM=OG，MＧ=OC,∵∠ＤOG＝∠GMF,而∠DＯC=∠EＭF=9０°,∴∠EMＧ=∠GOC，ﻫ∴△ＭEG≌△ＯGＣ,∴EG=CG，∠EGM=∠OCＧ，ﻫ又∵∠MGF=∠BDF,∠ＦＧC=∠GDC＋∠GＣD，∴∠EGC=∠ＥＧＭ＋∠MGF+∠FGC=∠BDF＋∠ＧＤC+∠ＧＣD+∠OCG=4５°+４５°=90°,ﻫ∴EＧ=ＣG且EG⊥CG.解析：(1）由∠BEF＝90°,得到EF∥ＤH,而GF=GD,易证得△GＥF≌△GHD，得EF=DH,而BE=EF，即可得到结论.ﻫ(2)连接DB，如图2，由△ＢＥF为等腰直角三角形,得∠ＥBＦ=４５°，而四边形ABCD为正方形，得∠DＢC=45°,得到D,E,B三点共线,而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EＧ=ＧD=GC，于是∠EＧC=2∠EDC=90°，即得到结论.ﻫ（３）连接ＡC、BＤ相交于点O,取BF的中点M，连接OG、EM、ＭG，由G为ＤF的中点，Ｏ为BD的中点,M为ＢＦ的中点,根据三角形中位线的性质得OＧ∥BＦ，GM∥OB，得到OG=BM,GM=OB，而EM＝BM，OC＝OB，得到EM=ＯG,MＧ=OC,又∠DOG=∠GMF,而∠DＯＣ=∠EMF ＝90°，得∠ＥＭG＝∠GOC，则△MEG≌△OＧC，得到ＥG=CG,∠EGM=∠OCG,而∠MGF=∠BD Ｆ,∠FＧC＝∠GDC+∠ＧCD，所以有∠ＥGC＝∠ＥGM+∠MGF＋∠FＧC=∠ＢDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=4５°+４５°=90°.３.已知正方形ABCD和等腰Ｒt△BEF,ＢＥ=EF,∠BEF＝90°，按图①放置,使点F在BC上，取ＤＦ的中点Ｇ，连接EG、CＧ.ﻫ(１）探索EＧ、CG的数量关系和位置关系并证明;ﻫ（2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接ＤF,取DF中点Ｇ（如图②)，问(１)中的结论是否仍然成立．证明你的结论;(３）将图①中△ＢEF绕B点转动任意角度(旋转角在０°到９0°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③）,问(１）中的结论是否仍然成立,证明你的结论.ﻫ解：(1）EＧ=CG且EG⊥CＧ．ﻫ证明如下：如图①,连接BD.∵正方形ABCＤ和等腰Ｒｔ△BＥF,∴∠EＢF＝∠DBＣ＝4５°．∴B、E、D三点共线.ﻫ∵∠DEF=9０°,Ｇ为DF的中点,∠DCB=90°,∴EG=DG＝ＧF＝CG.ﻫ∴∠ＥGＦ=２∠EＤＧ,∠CGＦ＝2∠CＤG．ﻫ∴∠ＥＧＦ＋∠CGF=2∠ED Ｃ=９0°，ﻫ即∠EGC=９0°,∴EG⊥CG．ﻫﻫ（2）仍然成立，证明如下:如图②,延长EG交CD于点H.ﻫ∵BE⊥EF，∴EF∥ＣD,∴∠1=∠2.ﻫ又∵∠3=∠４，ＦG=DＧ，ﻫ∴△FEG≌△DHG，∴EF＝DH，ＥＧ=GＨ．∵△BＥF为等腰直角三角形，∴ＢE=EＦ,∴BE=DH．ﻫ∵CD=BC,∴CＥ=ＣH．∴△EＣＨ为等腰直角三角形．又∵EG=GH,∴EＧ=CG且ＥＧ⊥CG．ﻫ(3）仍然成立.证明如下：如图③，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF交BＣ于Ｍ，连接ＥH、EC．∵GF=GＤ,∠HGＦ＝∠CGD,HG＝CG，ﻫ∴△HFG≌△CDG，ﻫ∴HＦ=CD，∠GHF＝∠ＧCD，∴HＦ∥CD．∵正方形ＡBCD，∴ＨＦ=ＢC，HF⊥BC．∵△ＢEＦ是等腰直角三角形,∴ＢE＝ＥF，∠EBC=∠HFE，∴△BＥC≌△FEH,ﻫ∴HE=EC,∠BEC＝∠FEH，ﻫ∴∠BEF＝∠HEC=90°，ﻫ∴△ECH为等腰直角三角形.又∵CG=GH,∴EG ＝CG 且ＥG ⊥C Ｇ.解析：（１）首先证明B 、Ｅ、Ｄ三点共线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=ＤG=GF=CG,得到∠ＥGF=2∠ＥＤG ，∠CGF=2∠ＣDG,从而证得∠EGC=9０°;ﻫ(2)首先证明△FE Ｇ≌△DHG,然后证明△ＥCH 为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG 且EG ⊥C Ｇ．ﻫ（3）首先证明：△BEC ≌△ＦEH,即可证得:△ECH 为等腰直角三角形，从而得到:ＥG=C Ｇ且EG ⊥CG.已知，正方形A ＢCD 中，△BEF 为等腰直角三角形,且BF 为底,取DF 的中点G,连接EG 、C Ｇ．ﻫ（1）如图1，若△B ＥF 的底边B Ｆ在BC 上,猜想E Ｇ和ＣG 的数量关系为＿___＿＿;ﻫ（2)如图2，若△B ＥF 的直角边BE 在ＢC 上,则(１）中的结论是否还成立？请说明理由；（３）如图3，若△B ＥF 的直角边BE 在∠DB Ｃ内,则(1）中的结论是否还成立?说明理由．解：（１)GC=EG,（1分)理由如下：ﻫ∵△ＢＥF 为等腰直角三角形,ﻫ∴∠DEF=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点, ∴EG= ＤF,∵A ＢCD 为正方形,ﻫ∴∠BCD=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点，∴CG= ＤF,ﻫ∴G Ｃ=EG;ﻫ（２)成立.如图，延长ＥG 交CD 于Ｍ,Ｄ,∵∠BEF ＝∠FEC=∠BCD=90°,∴EF ∥Ｃ1 2 1 ２∴∠EFG=∠MD Ｇ,ﻫ又∠E ＧF=∠DGM ，D Ｇ=ＦG ，∴△G ＥF ≌△ＧMD,ﻫ∴EG=MG,即G 为EM 的中点．∴ＣＧ为直角△EC Ｍ的斜边上的中线，ﻫ∴ＣG=G Ｅ= EM;（3)成立．ﻫ取BF 的中点H,连接ＥH ，GH ，取BD 的中点O,连接O Ｇ,OC ． ∵CB=CD,∠DCB=９0°，∴C Ｏ= BD .ﻫ∵DG=G Ｆ，ﻫ∴GH ∥ＢD ，且GH= BD ，ﻫＯG ∥ＢF,且OG= B Ｆ,ﻫ∴CO ＝ＧH ．∵△ＢEF 为等腰直角三角形． B Ｆ∴EH=∴EH=OG ． ∵四边形O ＢHG 为平行四边形, ∴∠BOG ＝∠BH Ｇ．∵∠B ＯC=∠BH Ｅ＝9０°. ∴∠GOC=∠ＥHG ．ﻫ∴△GOC ≌△E ＨG ．ﻫ∴EG=GC ．此题考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质.要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质,熟练运用全等知识是解本题的关键．解析:(1)E Ｇ=ＣG,理由为：根据三角形BEF 为等腰直角三角形，得到∠DEF 为直角，又G 为ＤF 中点，根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半，得到ＥG 为ＤF 的一半,同理在直角三角形DC Ｆ中,得到CG 也等于ＤF 的一半,利用等量代换得证;ﻫ(２）成立．理由为:延长ＥG 交CD 于M,如图所示,根据“A ＳA ”得到三角形E ＦG 与三角形ＧDM 全等,由全等三角形的对应边相等得到EG 与ＭG 相等，即G 为EM 中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到E Ｇ与ＣＧ相等都１２１2 １ 2 １ 2。

初二数学图形与证明试题

初二数学图形与证明试题1.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE,则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【解析】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，求得∠ABC=∠C=72°，且△ABC是等腰三角形．因为BD是△ABC的角平分线所以∠ABD=∠DBC=36°所以△ABD是等腰三角形．在△BDC中有三角形的内角和求出∠BDC=72°所以△BDC是等腰三角形．所以BD=BC=BE 所以△BDE是等腰三角形．所以∠BDE=72°, 所以∠ADE=36°, 所以△ADE是等腰三角形．共5个．故选D．【考点】角平分线的定义，三角形内角和、外角和，平角的定义．2.（本题满分8分）如图，已知□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，四边形OCED为菱形．（1）求证：□ABCD是矩形；（2）连接AE、BE，AE与BE相等吗？请说明理由．【答案】（1）参见解析；（2）相等，理由参见解析．【解析】（1）利用对角线相等的平行四边形是矩形证得结论．（2）证明AE，BE，所在的三角形：△ADE≌△BCE，证得结论．试题解析：（1）∵四边形ABCD为平行四边形∴ AC=2OC，BD=2OD，∵四边形OCED是菱形∴OC=OD∴AC=BD又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90º，∵四边形OCED是菱形，∴ DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠EDC+∠ADC =∠ECD+∠BCD，∴∠ADE=∠BCE，∴△ADE≌△BCE （SAS），∴AE=BE．【考点】1．矩形性质与判定；2．菱形性质的应用；3．证线段相等的方法．3.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．A．8B．6C．4D．3【答案】A．【解析】如图，过点A作AM⊥BC于点M,根据三角形的面积公式可得图中阴影部分的面积为,,由四边形DCFE是平行四边形可得DE=CF,又因，DE=CF可得BC=3DE，所以,即．所以图中阴影部分的面积为=8．故答案选A．【考点】平行四边形的性质；三角形的面积公式．4.如图，在□ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A．【解析】由平行四边形的性质可得AD=BC=6，AB=CD=4，再由平行线的性质和角平分线的定义可证得∠CED=∠CDE，所以CE=CD=4，即可得BE=BC-CE=6-4=2．故答案选A．【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质．5.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是．（填写一组序号即可）【答案】①③【解析】根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再根据AO=CO得出△AOD≌△COB，从而得出BO=DO，最后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．【考点】平行四边形的判定6.（3分）如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，连接BE，CE，则∠BEC的度数为．【答案】150°．【解析】由等边三角形的性质可得AD=DE，∠ADE=60°，由正方形的性质可得AD=DC，∠ADC=90°，所以DE=DC，CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，再根据等边对等角和三角形的内角和定理可得∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，同理可得∠AEB=75°，所以∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．7.若一个正方形的面积为8，则这个正方形的边长为（）A．4B．2C．D．8【答案】B【解析】正方形的面积等于正方形边长的平方，设正方形的边长为x，根据题意可得：=8，则x==2.【考点】正方形的性质8.（3分）下列各组数据中，不可以构成直角三角形的是（）A．7，24，25B．1.5，2，2.5C．，1，D．40，50，60【答案】D【解析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：A、72+242=625=252，故是直角三角形，不符合题意；B、1.52+22=6.25=2.52，故是直角三角形，不符合题意；C、12+（）2==（）2，故是直角三角形，不符合题意；D、402+502=4100≠602，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．【考点】勾股定理的逆定理．9.已知E为平行四边形ABCD外一点，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：平行四边形ABCD是矩形．【答案】详见解析.【解析】如图，连接AC、BD交于点O，连接OE，已知AE⊥CE，BE⊥DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OE=AC=BD，进而得到AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定平行四边形ABCD是矩形．．试题解析：证明：连接AC、BD交于点O，连接OE，∵AE⊥CE，BE⊥DE，∴OE=AC=BD，∴AC=BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD为矩形．【考点】平行四边形的性质；矩形的判定.10.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8B．9C．10D．11【答案】C．【解析】∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO=，∴BD=2BO=10，故选C．【考点】1.平行四边形的性质；2.勾股定理．11.（8分）如图，已知平行四边形ABCD，延长BC至E，使CE=BC，连接AC，DE，求证：AC=DE．【答案】见试题解析【解析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．试题解析：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵CE=BC，∴AD∥CE，AD=CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE．【考点】平行四边形的判定与性质．12.长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【答案】【解析】设DE=xcm，在折叠的过程中，BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．∴x=（cm）．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．13.如图，在平四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P为线段BC上一点（除端点外），连接PO并延长交AD于点Q，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE．（1）求证：BP=DQ；（2）已知AB=5，AC=6，若CD=BE，求△BDE的周长．【答案】见试题解析【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，OB=OD，AD=BC，CD=AB，得出∠OBP=∠ODQ，由ASA证明△BOP≌△DOQ，得出对应边相等即可；（2）先证明四边形ACED是平行四边形，得出DE=AC=6，再证明△BDE是直角三角形，根据勾股定理求出BD，即可得出结果．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，AD=BC，CD=AB，∴∠OBP=∠ODQ，在△BOP和△DOQ中，，∴△BOP≌△DOQ（ASA），∴BP=DQ；（2）解：∵AD=BC，CE=BC，∴AD=CE=BC，∵AD∥BC，∴AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE=AC=6，∵CD=BE，∴∠BDE=90°，BE=2CD=2AB=10，∴BD===8，∴△BDE的周长=BD+BE+DE=8+10+6=24．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．14.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：（1）CD的长；（2）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．（10分）【答案】（1）cm；（2）15cm2．【解析】(1)由勾股定理求得AB==13cm，再由S△ABC=×BC×AC=AB•CD即可求得CD的长；（2）已知BE为△ABC的边AC上的中线，根据S△ABE =S△ABC即可得△ABE的面积．试题解析：解：∵∠ACB=90°，BC=12cm，AC=5cm，∴AB==13cm，∵S△ABC=×BC×AC=30cm2，∴AB•CD=30，∴CD=cm；如图∵E为AC的中点，∴S△ABE =S△ABC=×30=15cm2．【考点】勾股定理；直角三角形面积的两种表示法；三角形的中线的性质．15.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米，求EC的长。

初二数学证明试题答案及解析

初二数学证明试题答案及解析1.如图的算式中字母ABC分别表示各不相同的一个数字，则B= ．【答案】6【解析】利用竖式左侧5+5+9=19，结果下面为1，也就是前面7+8+B相加后进位是2，故C=2，2+4+4=10，则7+8+B=21．解：∵竖式左侧5+5+9=19，结果下面为1，∴C=2，∵2+4+4=10，应进位1，∴7+8+1+B=22，∴B=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了推理与论证，根据加法法则分别分析得出C的值是解题关键．2.元旦联欢会上，林老师跟同学们玩猜匣游戏，礼物放在一只匣子中，谁猜中谁就可以得到这个礼物．三只匣子上都各有一句话．红匣子：礼物不在黄匣中；黄匣子：礼物不在此匣中；绿匣子：礼物在此匣中．林老师向同学们交了底：这三句话中，至少有一句是真的，而且至少有一句是假的．你猜猜看，礼物放在匣子中．【答案】红【解析】根据这三句话中，至少有一句是真的，而且至少有一句是假的，可以分别分析假设正确与否得出答案．解：根据红匣子：礼物不在黄匣中；黄匣子：礼物不在此匣中可以认为是对的，则绿匣子：礼物在此匣中，可以认为是错的．所以答案就是在红匣子．故答案为：红．点评：此题主要考查了推理论证，根据已知假设命题的真伪是解题关键．3.小明同学每天早上6：00钟起床，穿衣需要5min，煮早饭需要7min，他洗脸刷牙需要5min，吃早饭需要8min，吃完早饭就去上学，小明同学从开始起床到吃完早饭仅需要min．【答案】18【解析】本题需先根据题意得出最节省时间的方法，然后即可求出最少需要多少时间．解：小明起床后先煮饭需要7分钟，在煮饭的同时穿衣服需要5分钟、再刷牙需要5分钟，这时饭已煮完，在吃早饭需要8分钟所以小明同学从开始起床到吃完早饭仅需要18分钟．故答案为18．点评：本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用．4.甲乙两个布袋中各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个．从甲袋中拿出尽可能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，再从乙袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲袋中每种颜色的球不少于3个，这时甲袋中有个球，乙袋中有个球（拿出时不能看）．【答案】19球，5球【解析】注意满足题中的要求：从甲袋中拿出尽可能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，则从甲袋拿出最少要4个；再从乙袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲袋中每种颜色的球不少于3个，则最少要拿11个，据此求解．解：从甲袋拿出最少要4个，才可以保证至少有两个颜色一样的球．不妨设是白球拿了两个，红蓝各拿了一个，现在乙袋中有5红，5蓝，6白，一袋中有3红3蓝2白；再从乙袋中拿球保证至少有一个白球就可以保证一袋每种颜色球都不少于3个，而乙袋5红，5蓝，6白，保证至少拿到一个白球，最少要拿11个，即刚好是5红，5蓝，1白．这样最后甲袋有12﹣4+11=19球，乙袋12+4﹣11=5球．点评：解决问题的关键是读懂题意，尽量满足题中的要求，即是求解的途径．5.如图，电路中有4个电阻和一个电流表A，若没有电流通过电流表A，问电阻器断路的可能情况共有种．【答案】8+3=11种【解析】要使没有电流通过电流表A，则若总路上的电阻是断开的，其它的三个电阻无论是断开，还是通的都可以，共有23=8种情况；若总路上的电阻是通的，则每一个支路都不能是通的，所以下面的电阻一定是断开的，上面的两个电阻只要有一个是断开的即可，有3种情况．故共有11种情况．解：本题分两种情况：①若主路的电阻不通，那么这个电路必为断路．因此共有2×2×2=8种可能；②若主路的电阻通电，那么两条支路必须同时为断路，因此共有3种可能．故电阻器断路的可能情况共有8+3=11种．点评：此题的学科综合性较强，能够结合物理中的知识进行分析求解是解答本题的关键．6.有一地球同步卫星A与地面四个科研机构B、C、D、E，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处发送信息（如A不能同时给B、C发信息，它可先发给B，再发给C），它们彼此之间一次接发信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短时间为．【答案】4【解析】首先卫星A传递信息给B用时1（秒），然后B传给C（3秒）；同时卫星传给E（1秒），信息传给D和C的时候同时进行，所有动作在4秒钟内结束．解：开始的时候，时间0秒，卫星传给B（1秒）第1秒钟时候，B传给C（3秒）；同时卫星传给E（1秒），第2秒钟的时候，E传给D，所有动作在4秒钟内结束，故接到该信息时所需的最短时间为4秒，故答案为4．点评：本题主要考查推理与论证的知识点，解答本题的关键是注意卫星传递信息的同时性，此题难度不大．7.某学生连续观察了n天的天气情况，观察结果是：①共有5个下午是晴天；②共有7个上午是晴天；③共有8个半天是雨天；④下午下雨的那天上午是晴天，则该学生观察的天数n= ．【答案】10【解析】他们每天上午、下午各测一次，七次上午晴，五次下午晴，共下八次雨，所以共测了20次，所以这个学生工观察了10天．解：由题意，知：这位学生每天测两次，总共测的次数为7+5+8=20；因此x=20÷2=10（天）．故答案为：10．点评：此题主要考查了推理论证，解决本题的关键是得到学生观察天气的规律：每天上午、下午各测一次．8.为了从500只外形相同的鸡蛋中找到唯一的一只双黄蛋，检查员将这些鸡蛋按1﹣500的顺序排成一列，第一次先从中取出序号为单数的蛋，发现其中没有双黄蛋，他将剩下的蛋的原来位置上又按1﹣250编号（即原来的2号变为1号，原来的4号变成2号，…，原来的500号变成250号）．又从中取出新序号为单数的蛋进行检查，任没有发现双黄蛋，…，如此下去，检查到最后的一个是双黄蛋，问这只双黄蛋最初的序号是．【答案】256【解析】根据题意，知第一次剩下的是原来编号中的偶数，有250个，第二次剩下的4的倍数，即22的倍数，剩下125个，第三次剩下的是23的倍数，剩下62个，以此类推，最后剩下1个，则需取8次，即剩下28=256．解：根据分析，知最后剩下的是号是28=256．点评：此题要能够正确分析每一次取走的是原来的什么号数以及每一次剩下的个数．9.甲、乙、丙、丁和小强五位同学单循环比赛象棋，到现在为止甲已经赛了四盘，乙赛了三盘，丙赛了二盘，丁赛了一盘，则小强赛了盘．【答案】2【解析】根据甲赛的盘数，可知甲与乙、丙、丁和小强4人各赛了一盘．然后探究乙、丙、丁和小强4人之间赛的盘数（设小强赛的盘数为x），进而得到小强赛的总盘数．解：乙、丙、丁和小强除去与甲赛的一盘后，在他们之间赛的盘数分别是：2、1、0、x．即丁只和甲赛了一盘，没与乙、丙、小强比赛，则乙、丙、小强之间赛的盘数分别为2、1、x，假设丙与小强赛了一盘，那么乙赛的两盘都是与小强赛的，这与单循环比赛相矛盾，是不可能的，所以丙与乙赛了一场，乙又与小强赛了一盘，小强与甲也赛了一盘，故小强共赛了2盘．故填2．点评：解决问题的关键是读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行探讨、解答实际问题．10.10位小运动员，他们着装的运动服号码分别是1﹣10，能否将这10位运动员按某种顺序站成一排，使得每相邻3名运动员号码数之和都不大于15？【答案】不可能【解析】首先计算所有的号码之和是55，若每相连的3个号码数都不大于15，则前9个号码数的和不大于3×15=45，这样导致第10个号码必须为10；同理，后9个号码的和不大于45，可得出第一个号码必须为10，显然这是不可能的．解：不能．理由如下：因为所有号码的总和为55，如果每相连的3个号码数都不大于15，则前9个号码数的和不大于3×15=45，故第10个号码数不小于10，即只能为10．同理，后9个号码数的和不大于45，故第1个号码数不小于10，因此，也必须为10，显然这是不可能的．点评：解决本题的关键是能够根据总数的和以及每相连的3个号码数都不大于15，进行综合分析．11.问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论．【答案】8个【解析】本题可根据小“+”字形的中心来求，那么小“+”字形的中心应该在6×6的方格中，每3×3的方格中最多可放2个因此“+”字形的最多的个数为8个．解：8个．证明：设“+”字形的中心为中间的那个方格，显然所有的中心在6×6的方格内，而每个3×3的方格内最多放2个中心， 6×6的棋盘内够有3×3的个数为6×6÷（3×3）=4，因此最多的个数应该是4×2=8个．点评：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．12. 10名棋手参加比赛，规定：每两名棋手间都要比赛一次，胜者得2分，下和各得1分，输者得0分．比赛结果表明：棋手们所得分数各不相同，前两名棋手没输过，前两名的总分之和比第三名多20分，第四名得分与后四名得分总和相等，那么前六名得分分别是多少？【答案】17，16，13，12，11，9【解析】先设第k 名选手的得分为a k （1≤k≤10），得出a 1、a 2的值，再根据得出a 4≥12，求出a 3，再根据a 1≤a 3﹣1=12，求出a 4，最后根据a 1+a 2+a 3+…a 8+a 9+a 10=90分别求出a 5、a 6的值．解：设第k 名选手的得分为a k （1≤k≤10），依题意得：a 1＞a 2＞a 3＞…a 9＞a 10a 1≤1+2×（9﹣1）=17，a 2≤a 1﹣1=16，a 3+20=a 1+a 2，∴a 3≤13 ①，又后四名棋手相互之间要比赛=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，∴a 7+a 8+a 9+a 10≥12，∴a 4≥12而a 3≥a 4+1≥13，②∴由①②得：a 3=13，∴a 1+a 2=33，∴a 1=17，a 2=16，又∵a 1≤a 3﹣1=12，∴a 4=12， ∵a 1+a 2+a 3+…a 8+a 9+a 10=×2=90，∴17+16+13+12+a 5+a 6+12=90，而a 5+a 6≤a 5+a 5﹣1，即：a 5≥10\frac{1}{2}，又a5＜a 4=12， ∴a 5=11，a 6=9，故前六名得分分别是：17，16，13，12，11，9．点评：本题考查了推理与论证；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系是解题的关键．13. 我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．【答案】第一个人必胜【解析】第一个人可以两个两个的说，也可以一个一个的说，还可以有时说一个，有时说两个，但不论第二个人怎样变化，2，5，8，11，17，20这些数的主动权都在第一个人手中．解：第一个人必胜；因为是第一个人先说，所以主动权在第一个人，他肯定按2，5，8，11，17，20，报数，故第一个人必胜．点评：此题考查的知识点是推理与论证，解答此题需要逆向思维，因为是抢20，故应先从20倒推，20，17，11，8，5，2的顺序．14. 成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http ：∥www ．cdqzstu ．com”中的“cdqzstu ．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（） A ．90 B ．45 C ．88 D ．44【答案】D【解析】“cdqzstu ．com”中字母有10个．相同字母有2个．若第一个错误的字母是第一个字母c ，那么c 和它后面除c 外任何一个字母调换后都可能出现错误，则错误的种类可能有8种．若第1个错误的字母是第二个字母d ，排除和第一个字母已经计算过的错误后，可能出现的错误应该有8种，按照此种方法，错误的种类依次为：7，6，5，4，3，2，1；共有：16+7+6+5+4+3+2+1=44种．解：“cdqzstu．com”中共有10个字母；若c与后面的字母分别调换，则有：10﹣1=9种调换方法；依此类推，调换方法共有：9+8+7+…+1=45种；由于10个字母中，有两个字母相同，因此当相同字母调换时，不会出现错误．因此出现错误的种数应该是：45﹣1=44种．故选D．点评：解答本题时需注意：相同字母调换后结果不会出现错误．15.图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．11B．10C．8D．7【答案】C【解析】先找出从结点A向结点B传递信息可沿A﹣C﹣B和A﹣D﹣B路线同时传递，再找出每条路线通过的最大信息量，然后相加即可得到答案．解：由于信息可以分开沿不同路线同时传递，所以从结点A向结点B传递信息可经过结点D和结点B；又因为从结点A到结点D的最大信息量为5，从结点C到结点B的最大信息量为3，所以从结点A向结点B传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为5+3=8．故选C．点评：本题考查了推理与论证的方法：先分析题目所给的条件或要求，然后通过推理得到相关的结论．16.在一次1500米比赛中，有如下的判断：甲说：丙第一，我第三；乙说：我第一，丁第四；丙说：丁第二，我第三．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】假设甲说的前半句话是正确的，即丙第一，则乙的后半句是正确的，即丁第四，则丙说的后半句应是正确的，出现矛盾，所以必须是甲说的后半句是正确的，即甲第三，所以丙说的前半句是正确的，即丁第二，所以乙说的前半句是正确的，即乙第一．解：根据分析，知第一名应是乙．故选B．点评：此类题应从假设出发，经过推理，如果得到矛盾，则假设错误，再进一步推理即可．17.某市初中12支排球队进行比赛，如果采用单循环赛制，一共举行几场比赛（）A．11B．12C．66D．72【答案】C【解析】一共有12支球队，每支队伍要比赛的场数为11场，因此共需比赛（12×11）场，由于采用单循环赛制，因此需将重复的比赛场数去掉，即比赛的场数为（12×11）÷2=66场．解：由于采用单循环赛制，则一共举行的比赛场数为：（12×11）÷2=66（场）．故选C．点评：解答本题的关键是理解单循环赛的规则，即：每两个队只比赛一场．18.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热．此结论的得出运用的方法是（）A．观察B．实验C．归纳D．类比【答案】C【解析】由多种现象得到一个规律属于归纳．解：由多种现象得到一个规律属于归纳．故选C．点评：本题考查归纳的形成．所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式．它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断．19.甲、乙、丙、丁四位同学猜测自己的数学成绩，甲说：“如果我得优，那么乙也得优”；乙说：“如果我得优，那么丙也得优”；丙说：“如果我得优，那么丁也得优”，大家都没有说错，但只有三个人得优，请问甲、乙、丙、丁中谁没有得优（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】此题含有一个隐含条件，也就是丁没有说：如果我得优，那么甲也得优…解题可以从这里突破．也就是丁得优，而甲不得优．由此进行推理即可得到结论．解：∵这个题还有一个隐含条件，也就是丁没有说：如果我得优，那么甲也得优…，也就是丁得优，而甲不得优．如果甲不得优，乙可得可不得优；如果乙不得优，而丁可以得优也可以不得优；如果丁一定要得优，因为题中说有3人得优，所以按反推法，有丙也得优；如果问题是1人得优，那肯定是丁，如果2人得优，那肯定是丁、丙．如果3人得优，那肯定是丁、丙、乙．故选A．点评：此题比较麻烦，首先要找出题目的隐含条件，然后利用隐含条件进行推理才能正确得出结论．20. A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】首先利用已知得出A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，进而得出B队只能和C、D、E中的两个队比赛，再利用D队只赛过一场，得出B队必须和C、E各赛1场，即可得出E队赛过2场．解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），所以B队必须和C、E各赛1场，这样满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场．故选：B．点评：此题主要考查了推理论证，利用A队比赛场数得出B队、D队比赛过的对应球队是解题关键．。

初二数学下册证明题(中等难题含答案)

一：已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =．（1）求证：BG FG =；（2）若2AD DC ==，求AB 的长．二：如图，已知矩形ABCD ，延长CB 到E ，使CE=CA ，连结AE 并取中点F ，连结AE 并取中点F ，连结BF 、DF ，求证BF ⊥DF 。

DCEBGAF三：已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED.求证:AE 平分∠BAD.四、（本题7分）如图，△ABC 中，M 是BC 的中点，AD 是∠A 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB=12，AC=18，求DM 的长。

（第23题）EDBAF五、（本题8分）如图，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD交于点O ，且AC ⊥BD ，DH ⊥BC 。

⑴求证：DH=21（AD+BC ） ⑵若AC=6，求梯形ABCD 的面积。

六、(6分) 、如图，P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E 、F 分别为垂足，若CF=3,CE=4,求AP 的长.七、(8分)如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点．（1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；（2）判断并证明四边形MENF 是何种特殊的四边形？（3）当等腰梯形ABCD 的高h 与底边BC 满足怎样的数量关系时？四边形MENF 是正方形（直接写出结论，不需要证明）．选择题：15、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如图，依此规律第10个图形的周长为。

……第一个图第二个图第三个图 16、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为（―1，―3），若一反比例函数xky 的图象过点D ，则其解析式为。

初中数学证明题练习5套(含答案)

初中数学证明题练习5套（含答案）（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ．求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD ∴CD CO HG GO = ∴CD CO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。

求证：△PBC 是正三角形．（初二）证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG∴GN ∥AD ，GN=21AD∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG∴GM ∥BC ，GM=21BC∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB ⌒ =AB⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30°∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC∴DF BG FD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC 求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。

(必考题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(答案解析)(1)

一、选择题1．如图，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠=︒≠．点P 是直角边所在直线上一点，若PAB △为等腰三角形，则符合条件的点P 的个数最多为（）A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个2．如图，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，EF 经过点O 且//EF BC ，若7AB =，8AC =，9BC =，则AEF 的周长是（）A ．15B ．16C ．17D ．243．如图，在ABC 中，4AB AC ==，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则AMN 的周长为（）A ．12B ．4C ．8D ．不确定 4．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（） A ．8，10，12 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．7，24，25 5．如图，△ABC 中，DC =2BD =2，连接AD ，∠ADC =60°．E 为AD 上一点，若△BDE 和△BEC 都是等腰三角形，且AD =31+，则∠ACB =（）A ．60°B ．70°C ．55°D ．75°6．如图，在OAB 和△OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中一定正确的为（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 7．如图，在ABC 中，30C ∠=︒，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥交BC 于E ；点O 在DE 上，OA OB =，2OD =，4OE =，则BE 的长为（）A ．12B ．10C ．8D ．68．如图，在Rt ABC △中，90BAC ︒∠=，AD BC ⊥于点D ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则下列结论一定成立的是（）A ．AC AE =B ．EC AE = C ．BE AE =D ．AC EC = 9．如图，在四边形ABCD 中，90A BDC ∠=∠=︒，C ADB ∠=∠，点P 是BC 边上的一动点，连接DP ，若3AD =，则DP 的长不可能是（）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在ABC 中，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，与BC 交于点E ，分别以点E 和点C 为圆心、大于12EC 的长为半径作弧，两弧相交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若45B ∠=︒，2C CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（）A ．15︒B ．25︒C ．30D ．35︒11．如图，ABC 中，36A ∠=︒，72C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，//ED BC ，则图中等腰三角形的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．612．如图，A ，B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C 也在格点上，且ABC 为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C 的个数为（）A ．7B ．8C ．9D ．10二、填空题13．如图，已知ABC ∆中，90,C AC BC ∠=︒=，点D 在BC 上，DE AB ⊥，点E 为垂足，且DC DE =，联结AD ，则ADB ∠的大小为___________．14．如图，一副含30和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，6cm AC =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，连接BD ．则ABD △的面积最大值为_________2cm ．15．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，PD 垂直平分AB 连接BD 并延长，交边AC 于点E ．若BCE 是等腰三角形，则BAC ∠的度数为________．16．如图，已知△ABC 的周长是18，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝1，△ABC 的面积是_____．17．如图，AD 是△ABC 的平分线，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝DG ，AG ＝16，AE ＝8，若S △ADG ＝64，则△DEF 的面积为 ________．18．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，△ABC 的面积为60，AB ＝16，BC ＝14，则DE 的长等于_____．19．上午10时，一艘船从A 处出发以每小时25海里的速度向正北航行，中午12时到达B 处，从A 、B 两点观望灯塔C ，测得42DAC ∠=︒，84DBC ︒∠=，则B 到灯塔C 的距离是________海里．20．如图，ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，且6,33,AB AD E ==是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，PC 与PE 的和最小为______．三、解答题21．已知A （3， 5），B （-1， 2），C （1， 1）．（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC ；（2）△ABC 是直角三角形吗？请说明理由．22．已知：如图1，等边ABC 的边长为cm 6，点P ，Q 分别从B ，C 两点同时出发，点P 沿BC 向终C 运动，速度为1cm/s ；点Q 沿CA ，AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ．设它们运动的时间为s x ．（1）当x = 时，//PQ AB ；（2）若PQ AC ⊥，求x ；（3）如图2，当点Q 在AB 上运动时，若PQ 与ABC 的高AD 交于点O ，请你补全图形，猜想OQ 与OP 是否总是相等？并说明理由．23．如图，在Rt ABC △中，CM 平分ACB ∠交AB 于点M ，过点M 作//MN BC 交AC 于点N ，且MN 平分AMC ∠，若1AN =．（1）求B 的度数；（2）求CN 的长．24．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，点D 是BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）连结DF ，求证：AB 垂直平分DF ；（3）连结AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．25．如图．在△ABC 中，∠C =90 °，∠A =30°．（1）用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，连接EB ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB 平分∠ABC ．（3）求证：AE =EF ．26．已知：如图，在ABC 中，,90AC BC ACB =∠=︒，D 是AB 延长线上一点，过点C 作CE CD ⊥，使CE CD =，连结,BE DE ．（1）求证：AD BE =．（2）求DBE ∠的度数．（3）连结AE ，若ADE 是等腰三角形，1AB =，求DE ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】分为三种情况：①BP=AB，②AP=AB，③AP=BP，再求出答案即可．【详解】解：作BC、AC所在直线，然后分别以B、A点为圆心，以AB为半径作圆分别交BC、AC所在直线于6点，再作AB的垂直平分线与BC所在直线交于2点，总共符合条件的点P的个数最多有8个，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．能求出符合的所有情况是解此题的关键．2．A解析：A【分析】先根据平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角得到BE=OE，OF=CF，再进行线段的代换即可求出AEF的周长．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，，∵BO平分ABC∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，同理可得：OF=CF，∴AEF的周长为AE+AF+EF=AE+OE+OF+AF= AE+BE+CF+AF=AB+AC=7+8=15．故答案为：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定“等边对等角”，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键．3．C解析：C【分析】由角平分线的定义和平行线性质易证△BME和△CNE是等腰三角形，即BM＝ME，CN＝NE，由此可得△AMN的周长＝AB+AC．【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，∵MN//BC，∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，∵AB＝AC＝4，∴△AMN的周长＝4+4＝8．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．4．A解析：A【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角来判定即可．【详解】解：A、∵82＋102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；B、∵32＋42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵52＋122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵72＋242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，解题的关键是掌握勾股定理逆定理以及准确计算．5．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质求解即可；【详解】∵60EDC ∠=︒，∴60EBD BED ∠+∠=︒，∵△BDE 是等腰三角形，∴30EBD BED ∠=∠=︒，1BD DE ==，∵△BEC 是等腰三角形，∴30EBD ECD ∠=∠=︒，∵60EDC ∠=︒，∴90DEC ∠=︒，在Rt △DEC 中，∵30ECD ∠=︒，1DE =，∴tan 30DEEC ==︒又∵AD 1， ∴AE AD DE EC =-==，∴△AEC 为等腰三角形，又∵90DEC AEC ∠=∠=︒，∴45ECA EAC ∠=∠=︒，∴453075ACB ACE ECD ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．6．B解析：B【分析】由SAS 证明△AOC ≌△BOD 得出∠OCA=∠ODB ，AC=BD 即可判断①；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD ，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD ，得出∠AMB=∠AOB=40°，即可判断②；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS 证明△OCG ≌△ODH （AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分∠BMC ，即可判断④；由∠AOB=∠COD ，得出当∠DOM=∠AOM 时，OM 平分∠BOC ，假设∠DOM=∠AOM ，由△AOC ≌△BOD 得出∠COM=∠BOM ，由MO 平分∠BMC 得出∠CMO=∠BMO ，推出△COM ≌△BOM ，得OB=OC ，而OA=OB ，所以OA=OC 即可判断③；【详解】∵ ∠AOB=∠COD=40°，∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD ，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA OBOC ODAOC BOD=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故①正确；∴∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC=∠OHD=90°，在△OCG和△ODH中OCA ODBOGC OHD OC OD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG=OH，∴MO平分∠BMC，故④正确；∵∠AOB=∠COD，∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，∵△AOC≌△BOD∴∠COM=∠BOM，∵MO平分∠BMC∴∠CMO=∠BMO，在△COM和△BOM中，COM BOMOM OMCMO BMO∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△COM≌△BOM（ASA）∴OB=OC，∵OA=OB，∴OA=OC 与OA ＞OC 矛盾，故③错误；故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键；．7．C解析：C【分析】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，求得212CE DE ==，60CED ∠=︒，再根据条件得出9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，得到122EF OE ==，即可得解；【详解】连接OC ，过点O 作OF BC ⊥于F ，如图，∵2OD =，4OE =，∴6DE OD OE =+=，在Rt △CDE 中，30C ∠=︒，∴212CE DE ==，9060CED C ∠=︒-∠=︒， ∵D 为AC 的中点，DE AC ⊥，∴OA OC =，∵OA OB =，∴OB OC =，∵OF BC ⊥，∴12CF BF BC ==，在Rt △OEF 中， ∵60OEF ∠=︒， ∴9030EOF OEF ∠=︒-∠=︒，∴122EF OE ==， ∴10CF CE EF =-=，∴8BE BC CE =-=；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据角平分线的性质得出∠BAE=∠DAE ，再根据∠CEA=∠B+∠BAE ，∠CAE=∠CAD+∠DAE 得出∠CAE=∠CEA 即可得出答案．【详解】解：∵90BAC ∠=︒，∴∠BAE+∠DAE+∠CAD=90°，∠B+∠C=90°∵AD ⊥BC∴∠BAE+∠DAE+∠B=90°，∠DAE+∠DEA=90°，∠CAD+∠C=90°∵AE 平分BAD ∠∴∠DAE=∠BAE∵∠B+∠C=90°∴∠CAD=∠B∵∠CEA=∠B+∠BAE∴∠CEA=∠DAE+∠CAD=∠CAE∴AC=EC ，其他选项均缺少条件，无法证明一定相等，故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形两锐角和为90°，角平分线的定义以及等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．A解析：A【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出∠ABD ＝∠CBD ，角平分线的性质定理得AD ＝DH ，垂线段定义证明DH 最短，求出DP 长的最小值为3，即可得到正确答案．【详解】过点D 作DH ⊥BC 交BC 于点H ，如图所示：∵∠A=∠BDC=90°，又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2，故选：A．【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．10．A解析：A【分析】根据作图过程可得，AP是EC的垂直平分线，可得AE＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据∠B＝45°，∠C＝2∠CAD，即可求出∠CAD的度数，进而即可求解．【详解】解：由作图过程可知：AP是EC的垂直平分线，也是∠CAE的角平分线，∴AE＝AC，∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°，∵∠C＝2∠CAD，∴3∠CAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠EAD＝30°，=45°-30°=15°．∴BAE故选：A．【点睛】本题考查了作图−基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．11．C解析：C【分析】利用三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义求出各个角，再根据等腰三角形的判定定理，即可判断．【详解】解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°−72°−36°＝72°，∴∠ABC＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，∴∠AED＝∠ADE，∴△AED是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∠EDB＝∠EBD＝36°，∴△ABD，△BDE都是等腰三角形，∵∠BDC=180°-72°-36°=72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴△BDC是等腰三角形，∴等腰三角形有5个，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理，属于中考常考题型．12．B解析：B【分析】分两种情况：①AB为等腰三角形的底边；②AB为等腰三角形的一条腰；画出图形，即可得出结论．【详解】解：如图所示：①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．所以符合条件的点C共有8个．故选：B．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键，注意数形结合的解题思想．二、填空题13．5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可【详解】解：∵∠C ＝90°DE ⊥AB ∴∠C=∠AED=90°在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中∴Rt∆解析：5°【分析】首先根据角平分线的判定方法判定AD 是∠BAC 的平分线，然后利用外角性质求∠ADB 的度数即可.【详解】解：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB∴∠C=∠AED=90°，在Rt∆ACD 和Rt∆AED 中DE DC AD AD=⎧⎨=⎩， ∴Rt∆ACD ≌Rt∆AED ，∴∠CAD=∠EAD ，∴AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝12∠BAC ， ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠B ＝∠CAB ＝45°，∴∠CAD ＝22.5°，∴∠ADB=∠CAD ＋∠C ＝112.5°.故答案为：112.5°．【点睛】本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．14．cm2【分析】过点作于点作于点连接由直角三角形的性质可得cmcmcm 由可证△△可得由三角形面积公式可求则时有最大值【详解】解：cmcmcmcm 当点从点滑动到点时得△过点作于点作于点连接且且△△当时有解析：cm 2【分析】过点D 作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M ，连接BD '，AD '，由直角三角形的性质可得BC =，AB =，ED DF ==cm ，由“AAS ”可证△D NE ''≅△D MF ''，可得D N D M ''=，由三角形面积公式可求111222AD B S BC AC AC D N BC D M '''=⨯+⨯⨯-⨯⨯△，则E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值．【详解】解：6AC =cm ，30A ∠=︒，45DEF ∠=︒， 233BC ∴==cm ，43AB =cm ，32ED DF ==cm ，当点E 从点A 滑动到点C 时，得△E D F '''，过点D 作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M ，连接BD '，AD '，90MD N '∴∠=︒，且90E D F '''∠=︒，E D NF D M ''''∴∠=∠，且90D NE D MF ''''∠=∠=︒，E D D F ''''=，∴△D NE ''≅△()D MF AAS ''，D N D M ''∴=，AD B ABC AD C BD C S S S S '''=+-△△△△当E D AC ''⊥时，AD B S '△有最大值，1111123(623)2222AD B S BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯△ AD B S '∴△最大值1123(623)32(1239236)2=-⨯=cm 2．故答案为：(1239236)cm 2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定AD B S '△有最大值时的图形位置是本题的关键．15．45°或36°【分析】设∠BAD=∠CAD=α根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC ∠BEC 和∠C 再分三种情况讨论即可【详解】解：∵AD 平分∴设∠BAD=∠CAD=α∵AB=AC ∴∠AB解析：45°或36°．【分析】设∠BAD=∠CAD=α，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC 、∠BEC 和∠C ，再分三种情况讨论即可．【详解】解：∵AD 平分BAC ∠，∴设∠BAD=∠CAD=α，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=1802902αα︒-=︒-， ∵PD 垂直平分AB ，∴AD=BD ， ∴∠ABD=∠BAD=α,∠EBC=∠ABC-∠ABE=902α︒-，∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=3α,当BE=BC 时，∴∠BEC=∠C ，即903αα︒-=，解得22.5α=︒，∴245BAC α∠==︒；当BE=CE 时，∠EBC=∠C ，此时E 点和A 点重合，舍去；当BC=CE 时，∴∠EBC=∠BEC ，即9023αα︒-=，解得18α=︒，∴236BAC α∠==︒，故答案为：45°或36°．【点睛】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,垂直平分线的性质．掌握方程思想，能正确表示相关角是解题关键．16．9【分析】过点O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 与F 连接OA 根据角平分线的性质求出OEOF 根据三角形面积公式计算得到答案【详解】解：过点O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 连接OA ∵OB 平分∠ABCOD ⊥BC解析：9【分析】过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 与F ，连接OA ，根据角平分线的性质求出OE 、OF ，根据三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，∵OB 平分∠ABC ，OD ⊥BC ，OE ⊥AB ，∴OE ＝OD ＝1，同理可知，OF ＝OD ＝1，∴△ABC 的面积＝△OAB 的面积+△OAC 的面积+△OBC 的面积，＝12×AB ×OE +12×AC ×OF +12×BC ×OD ，＝12×18×1，＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键．17．16【分析】过点D 作于H 先利用三角形的面积公式计算出DH=8再利用角平分线的性质得到DF=DH=8接着证明得到证明得到利用等线段代换得到于是求出EF 的长然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D解析：16【分析】过点D 作DH AC ⊥于H ，先利用三角形的面积公式计算出DH=8，再利用角平分线的性质得到DF=DH=8，接着证明Rt DEF DGH △≌Rt △得到EF HG =，证明Rt ADF △≌Rt △ADH 得到AF AH =，利用等线段代换得到EF AG HG AE =--，于是求出EF 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D 作DH AC ⊥于H ，64S =△ADG ，16AG =1642AG DH ∴⨯⨯= 8DH ∴= AD 是ABC 的平分线，,DF AB DH AC ⊥⊥8DF DH ==∴在Rt DEF △和Rt DGH △中DE DG DF DH=⎧⎨=⎩\ ∴Rt DEF △≌Rt DGH △EF HG ∴=同理可得Rt ADF △≌Rt △ADHAF AH ∴=168EF AF AE AH AE AG HG AE EF =-=-=--=--4EF ∴= 11481622DEF S EF DF ∴=⨯⨯=⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定定理是解题关键．18．【分析】过点D 作DF ⊥BC 垂足为F 根据角平分线的性质得到FD=DE 再利用面积求DE 即可【详解】解：过点D 作DF ⊥BC 垂足为F ∵BD 是△ABC 的角平分线DE ⊥ABDF ⊥BC ∴FD=DEDE=4故答案为解析：【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，根据角平分线的性质得到FD=DE ，再利用面积求DE 即可．【详解】解：过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴FD=DE ，182ABD SAB DE DE =⋅=， 172CBDS BC DF DE =⋅=， ABC ABD DBC S S S =+△△△，8760DE DE +=，DE=4，故答案为：4．【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE ． 19．50【分析】根据题意得到证明BC=AB 即可得解；【详解】根据题意得：海里∵∴∴∴海里；故答案是50【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质结合方位角计算是解题的关键解析：50【分析】根据题意得到C BAC ∠=∠，证明BC=AB ，即可得解；【详解】根据题意得：22550AB =⨯=海里，∵42DAC ∠=︒，84DBC ︒∠=，∴42C DBC DAC ∠=∠-∠=︒，∴C BAC ∠=∠，∴50BC AB ==海里；故答案是50．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，结合方位角计算是解题的关键．20．【分析】连接BE 与AD 交于点P 连接CP 则BE 的长度即为PE 与PC 和的最小值根据三角形的面积公式即可证出从而得出结论【详解】如图连接BE 与AD 交于点P 连接CP ∵△ABC 是等边三角形AD ⊥BC ∴AD 垂直解析：33【分析】连接BE ，与AD 交于点P ，连接CP ，则BE 的长度即为PE 与PC 和的最小值，根据三角形的面积公式即可证出33BE AD ==，从而得出结论．【详解】如图，连接BE ，与AD 交于点P ，连接CP∵△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，∴AD 垂直平分BC ，BC=AC∴PC=PB ，∴PE+PC=PB+PE=BE ，根据两点之间线段最短，BE 的长就是PE+PC 的最小值，∵E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC∵ABC S =12BC·AD=12AC·BE 6,33AB AD ==6AB BC AC ∴===∴BE=AD=33 即PC 与PE 的和最小值是33故答案为：33．【点睛】本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）是，理由见解析【分析】（1）在平面直角坐标系中描出A 、B 、C 三点，再顺次连接三点即可做出△ABC ；（2）利用网格特点，分别求出AB 2、AC 2、BC 2，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】（1）如图所示；（2）△ABC 是直角三角形，理由为：∵AB 2=42+32=25，AC 2=22+42=20，BC 2=12+22=5，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°．【点睛】本题考查平面直角坐标系、勾股定理及其逆定理，熟练掌握网格结构和平面直角坐标系，准确找出对应点的位置，会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解答的关键． 22．（1）2x =；（2）65x =；（3）相等，画图和理由见解析【分析】（1）当PQ //AB 时，△PQC 为等边三角形，根据PC=CQ 列出方程即可解出x 的值；（2）当PQ ⊥AC 时，可得1=2QC PC ，列出方程解答即可；（3）作QH ⊥AD 于点H ，计算得出QH=DP ，从而证明△OQH ≌△OPD （AAS ）即可．【详解】解：（1）∵当PQ //AB 时，∴∠QPC=∠B=60°，又∵∠C=60°∴△PQC 为等边三角形∴PC=CQ ，∵PC=6-x ，CQ=2x ，由6-x=2x解得：2x =，∴当2x =时，PQ //AB ；（2）若PQ ⊥AC ，∵∠C=60°，∴∠QPC=30°， ∴1=2QC PC ，即12(6)2x x =-，解得：65x = ∴当65x =时，PQ AC ⊥；（3）补全图形如图理由如下：作QH AD ⊥于H ，ABC 等边三角形，AD BC ⊥．30QAH ∴∠=，132BD BC ==， 12QH AQ ∴=1(26)32x x =-=-， 3DP BP BD x =-=-，QH DP ∴=，在OQH △和OPD △中，QOH POD QHO PDO QH PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()OQH OPD AAS ∴△≌△，OQ OP ∴=．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，全等三角形的性质及判定，几何中的动点问题，解题的关键是灵活运用等边三角形及全等三角形的性质及判定． 23．（1）30B ∠=︒；（2）2．【分析】（1）先利用直角三角形的两个锐角互余，得到一个等式，再利用平行线的性质，角平分线的性质，用B 的代数式表示这个等式，转化为B 的方程求解即可；（2）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半计算MN ，再利用平行线的性质，角平分线的性质证明CN=MN ，问题得证．【详解】（1）∵CM 平分ACB ∠，MN 平分AMC ∠，∴ACM BCM ∠=∠，AMN CMN ∠=∠，又∵//MN BC ，∴AMN B ∠=∠，CMN BCM ∠=∠，∴B BCM ACM ∠=∠=∠，∵90A ∠=︒，∴90B ACB ∠+∠=︒，∴30B ∠=︒；（2）由（1）得，30AMN B ∠=∠=︒又∵90A ∠=︒ ∴12AN MN =∵1AN =∴2MN = ∵MCN CMN ∠=∠∴MN NC =，∴2CN =．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，根据条件，熟练将问题与相应的知识准确对接是解答关键．24．（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACF 是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）由AAS 证明△ACD ≌△CBF 即可；（2）由全等三角形的性质得CD ＝BF ，由CD ＝BD ，得BF ＝BD ，证出∠ABC ＝∠ABF ，由等腰三角形的性质即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得AD ＝CF ，由垂直平分线的性质得AD ＝AF ，得出AF ＝CF 即可．【详解】（1）证明：∵CE ⊥AD ，∠BCF +∠ADC ＝90°，∵∠BCA ＝90°，BF ∥AC ，∴∠CBF ＝180°﹣∠BCA ＝90°，∴∠BCF +∠CFB ＝90°，∴∠CFB ＝∠ADC ，在△ACD 和△CBF 中，ACD CBF ADC CFB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBF （AAS ）；（2）证明：由（1）得：△ACD ≌△CBF ，∴CD ＝BF ，∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD ，∴BF ＝BD ，∵∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，∴∠ABC ＝45°，∴∠ABF ＝90°﹣∠ABC ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABF ，∵BF ＝BD ，∴AB 垂直平分DF ；（3）解：△ACF 是等腰三角形，理由如下，如图：连接AF由（1）得：△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，由（2）得：AB垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理是解题关键．25．见解析【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE∴EB 平分∠ABC ．（3）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC∴BE=EF又∵AE= BE∴AE=EF【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．26．（1）见解析；（2）90°；（3【分析】（1）用SAS 证明△ACD ≌△BCE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠BAC=45°，可得∠DBE ；（3）分DA=DE ，DA=AE ，DE=AE ，三种情况根据等腰三角形的性质求解．【详解】解：（1）∵CE ⊥CD ，∴∠DCE=90°=∠ACB ，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD ，即∠ACD=∠ECB ，∴在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ；（2）由（1）可知：△ACD ≌△BCE ，∴∠EBC=∠BAC=45°，∴∠DBE=180°-∠EBC-∠ABC=90°；（3）∵△ADE 是等腰三角形，若DA=DE，则∠DAE=∠DEA，∵∠DAC=∠DEC，∴∠CAE=∠CEA，∴AC=EC，∵AC≠EC，∴DA≠DE；若DA=AE，∵∠EBA=90°，∴AE＞BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∴AE≠AD；若DE=AE，∵EB⊥AD，AE=DE，∴B是AD中点，∴AD=2AB=2BD=1，∵△ACD≌△BCE，∴BE=AD=2，由（2）可知：∠DBE=90°，∴DE=225+=；BE DB综上：DE的值为5．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是注意分类讨论，灵活运用等腰三角形的性质．。

初中数学几何证明经典题(含答案)

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证:CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE ，可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO,所以CD=GF得证。

2、已知:如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证:△PBC是正三角形．（初二）。

如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆,所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证。

如下图做GH⊥AB,连接EO.由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG，即△GHF∽△OGE，可得EOGF=GOGH=COCD，又CO=EO，所以CD=GF得证.APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知:如图,在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ．（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．(初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 AN FE CDMB· A HEOF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线,交圆于B 、C 及D 、E,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证:CE ＝CF ．(初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA,直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典1、已知:△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC 求：∠APB 的度数．(初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点,且∠PBA ＝∠PDA ．求证:∠PAB ＝∠PCB ．(初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证:AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．(初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．C BD A F PD E CB A APCBACPDA CBPD4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB，连接EO。

初二数学图形与证明试题答案及解析

初二数学图形与证明试题答案及解析1.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由.【答案】解：AB=CD，理由如下：∵∠1=∠2，,∠3=∠4∴∠1+∠3=∠2+∠4∴∠ABC＝∠DCB又∵ BC=CB∴△ABC≌△DCB（ASA）∴ AB=CD【解析】略2.（8分）图3.1、图3.2、图3.3均是单位为1的方格图.（1）请把方格图3.1中的带阴影的图形适当剪开，重新拼成正方形；（画出分割线，在图3.2中画出拼成正方形的草图）（2）所拼成正方形的边长为多少？周长为多少?（3）利用这个事实，在图3.3的数轴上画出表示的点A.（要求保留画图痕迹）（4）在图3.3的数轴上画出表示的点B.（要求保留画图痕迹）【答案】略【解析】（1）如图1、图2 （2）边长为，周长为4（3）（4）如图33.（8分）已知：如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别是M、N．求证：AE=MN【答案】见解析【解析】先证四边形MENC为矩形，得MN=EC．再证△ABE≌△CBE，可得AE=EC．因此AE=MN试题解析：证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN=CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE=∠CBE．在△ABE和△CBE中∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE=EC．∴AE=MN．【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4.菱形的周长为4，两个相邻的内角的度数之比为1：2，则较短的对角线长为（）．A．2B．C．1D．【答案】C．【解析】因为菱形邻角互补，所以x+2x=180，x=60，较短的对角线和菱形的两条边构成等边三角形，菱形边长是1，所以较短对角线长是1，故选C．【考点】菱形性质．5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB 的距离DE是（）A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】C【解析】如图：过D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD，∵CD=3cm，∴DE=3cm．故选：C．【考点】角平分线的性质．6.如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD【答案】B【解析】∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）；【考点】全等三角形的判定7.直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm，则连接两直角边的中点的线段长是．【答案】2．5cm【解析】根据勾股定理可求得斜边为5cm，然后根据连接两直角边的中点的线段是其中位线可求得线段的长为2．5cm．【考点】勾股定理，三角形的中位线8.如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C 重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】根据PE∥CB，PF∥CD可得四边形AFPE是平行四边形，因此可得△AOE≌△POF，因此阴影部分的面积为菱形面积的一半，然后根据菱形ABCD可知菱形的面积=×2×5=5，即阴影部分的面积为．故选B【考点】菱形的面积，三角形全等9.以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（）．A．1、2、3B．5、12、13C．1、1、D．6、7、8【答案】B．【解析】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，∵，故选B．【考点】勾股定理逆定理的应用．10.（3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）A．AB=CDB．当AC⊥BD时，它是菱形C．AB=ACD．当∠ABC=90°时，它是矩形【答案】C.【解析】选项A，根据平行四边形对边相等可得AB=CD，选项A正确；选项B，根据菱形的判定定理可得对角线相互垂直的平行四边形是菱形，选项B正确；选项C，无法得到AB=AC，选项C错误；选项D，根据矩形的判定定理可得有一个角是90°的平行四边形是矩形，选项D正确．故答案选C．【考点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定.11.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC+BD=36，△ABO的周长为30，求AB的长．【答案】12【解析】根据平行四边形的性质：对角线互相平分和已知条件AC+BD=36，可求出AO+BO的长，再由△ABO的周长为30，即可求出AB的长．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=AC，BO=DO=BD，∴AO+B0=（AC+BD）=18，∵△ABO的周长为30，∴AB=30﹣18=12．【考点】平行四边形的性质12.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）．A．9m B．7m C．5m D．3m【答案】D．【解析】为了不让羊吃到菜，必须小于等于点A到圆的最小距离．连接OA，交半圆O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA==10；又OE=OB=6，所以AE=OA﹣OE=4．因此选用的绳子应该不大于4m，故选：D．【考点】勾股定理的应用．13.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为 _________．【答案】或3【解析】①∠B′EC=90°时，根据翻折变换的性质求出∠AEB=45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，从而求出BE=AB；②∠EB′C=90°时，∠AB′E=90°，判断出A、B′、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据翻折变换的性质可得AB′=AB，BE=B′E，然后求出B′C，设BE=B′E=x，表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．【考点】翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理的应用14.如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【答案】证明见解析【解析】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．试题解析：证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG与△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．【考点】1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质．15.如果一个多边形的每一个外角都是45°，那么这个多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．1080°D．1260°【答案】C【解析】用多边形的外角和除以一个外角的度数可得多边形的，即多边形的边数为360°÷45°=8，再根据多边形的内角和公式可得多边形的内角和是（8-2）×180°=1080°．故答案选C．【考点】多边形的内外角和．16.如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，试说明BC＝EF．【答案】详见解析．【解析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，根据SAS可得△ABC≌△DEF，再由全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF．试题解析：证明：∵AB∥ED，∴∠A=∠D，又∵AF=DC，∴AC=DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF．∴BC=EF．【考点】全等三角形的判定及性质．17.如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠BAD=60°，则对角线AC的长为．【答案】8cm【解析】如图，连接BD与AC交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=8cm，∴AO=AD×sin∠ADB=8×=4，∴AC=2AO=8．故答案为8cm【考点】菱形的性质．18.（3分）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD长为_____________cm．【答案】4．【解析】连接AC，∵菱形ABCD的周长为16cm，∴AB=4cm，AC⊥BD，∵BC的垂直平分线EF经过点A，∴AC=AB=4cm，∴OA=AC=2cm，∴OB==2cm，∴BD=2OB=4cm．故答案为：4．【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．19.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F.（1）求证：△AEB≌△CFD；（2）连接AF，CE，若∠AFE=∠CFE，求证：四边形AFCE是菱形.【答案】见试题分析【解析】（1）利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法（AAS），得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出AE=CF，进而求出四边形AFCE是平行四边形．，再利用菱形的判定方法得出答案．试题解析：证明：（1）如图1.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB="DC."∴∠1=∠2.∵AE∥CF，∴∠3=∠4.在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD.（2）如图2.∵△AEB≌△CFD，∴AE=CF.∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形.∵∠5=∠4，∠3=∠4，∴∠5=∠3.∴AF=AE.∴四边形AFCE是菱形.【考点】平行四边形的性质以及菱形的判定和全等三角形的判定与性质20.如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（）A．120°B．115°C．110°D．105°【答案】C【解析】∵∠ADB=∠B+∠C，∠AEB=∠A+∠C，∴∠ADB=45°+38°=83°，∠AEB=27°+38°=65°，∴∠BDC=97°，∠ＡＥＣ＝１１５°，∵∠ＤＦＥ＋∠ＡＥＣ＋∠ＢＤＣ＋∠Ｃ＝３６０°，∴∠DFE=110°，故选C．【考点】1．三角形外角性质；2．四边形的内角和．21.如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段________（填一组即可）．【答案】答案不唯一，如AC=BD【解析】答案不唯一，如AC=BD；∵∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AB＝BA，∴△CAB≌△DBA，∴AC=BD．【考点】三角形全等的判定与性质．22.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是（）A．63cm B．51cm C．63cm或51cm D．以上都不正确【答案】C．【解析】试题解析：若腰长为25cm，底边长为13cm，则周长为：25+25+13=63（cm）；若腰长为13cm，底边长为15cm，则周长为：25+13+13=51（cm）；故它的周长是：63cm或51cm．故选C．【考点】1．等腰三角形的性质,2．三角形三边关系23.已知△ABC中，∠A、∠B、∠C三个角的比例如下，其中能说明△ABC是直角三角形的是（）A、2：3：4B、1：2：3C、4：3：5D、1：2：2【答案】B．【解析】选项A，当∠A、∠B、∠C三个角之比为2：3：4，根据三角形的内角和定理可求得∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°；选项B，当∠A、∠B、∠C三个角之比为1：2：3，根据三角形的内角和定理可求得∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°；选项C，当∠A、∠B、∠C三个角之比为4：3：5，根据三角形的内角和定理可求得∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°；选项D，当∠A、∠B、∠C三个角之比为1：2：2，根据三角形的内角和定理可求得∠A=36°，∠B=72°，∠C=72°．四个选项能说明△ABC是直角三角形只有选项B，故答案选B．【考点】三角形的内角和定理．24.（8分）在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC，BD是∠ABC的平分线，求∠A及∠BDC的度数．【答案】∠A=36°，∠BDC=72°．【解析】设∠A为x，根据已知可得∠C=∠ABC=2x，由三角形的内角和定理可得x+2x+2x=180°，解方程即可得∠A=36°．再由角平分线的性质及三角形的内角和定理即可求得∠BDC的度数．试题解析：解：设∠A为x，∵∠A=∠C=∠ABC，所以∠C=∠ABC=2x，∴x+2x+2x=180°解得，x=36°．即∠A=36°．又∵BD是角平分线，∠ABC=72°，∴∠DBC=36°，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°．【考点】三角形的内角和定理．25.（本题10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由;②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇?（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【答案】（1）①全等，理由见解析②1．5cm/s理由见解析（2）24s后在AC边相遇【解析】（1）①首先根据时间和速度分别求出BP、CQ和BD、PC边的长，然后根据SAS判定两个三角形全等．②首先判断出，然后利用全等三角形的性质得出边BP=CP，BD=CQ以及它们的长，再先求得点P运动的时间t，然后求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P 多走等腰三角形的两个边长．试题解析：（1）①全等，理由如下：∵t=1秒，∴BP=CQ=1×1=1cm，∵AB=6cm，点D为AB的中点，∴BD=3cm．又∵PC=BC-BP，BC=4cm，∴PC=4-1=3cm，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，∴点P，点Q运动的时间t==2，∴ =1．5cm/s；（2）24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．【考点】全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．26.如图，△ABC中，AB=5，AC=8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．18【答案】B．【解析】∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，∴ED=EB，FD=FC，∵AB=5，AC=8，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=5+8=13．故选B．【考点】1．等腰三角形的判定与性质；2．平行线的性质．27.如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1和∠2．则∠1+∠2= ．【答案】45°．【解析】连接AC，BC．由勾股定理，AC=BC=，AB=．∵，∴∠ACB=90°，∠CAB=45°．∵AD∥CF，AD=CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AC∥DF，∴∠2=∠DAC（两直线平行，同位角相等），在Rt△ABD中，∠1+∠DAB=90°（直角三角形中的两个锐角互余）；又∵∠DAB=∠DAC+∠CAB，∴∠1+∠CAB+∠DAC=90°，∴∠1+∠DAC=45°，∴∠1+∠2=∠1+∠DAC=45°．故答案为：45°．【考点】1．特殊角的三角函数值；2．网格型．28.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7【答案】D【解析】设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，解得：n=6，若截去一个角的多边形的直线经过两个顶点，则原多边形是七边形；若截去一个角的多边形的直线经过一个顶点，则原多边形是六边形；若截去一个角的多边形的直线不经过顶点，则原多边形是五边形，∴原多边形的边数为5或6或7，故选D．【考点】多边形29.已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为12，若AB=5，BC=4，AC= ．【答案】3．【解析】试题解析：∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF=4，∵△ABC的周长为12，AB=5，∴AC=12-5-4=3．【考点】全等三角形的性质．30.已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：△ABC≌△DEF．【答案】证明见解析．【解析】求出AC=DF，根据SAS推出两三角形全等即可；试题解析：证明：∵AF=DC，∴AF+CF=DC+CF，∴AC=DF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．【考点】1．全等三角形的判定与性质；2．平行线的判定．31.若直角三角形的三边长为6，8，m，则的值为（）．A．10B．100C．28D．100或28【答案】D．【解析】由题意分析可得，m为斜边或m为直角边．根据勾股定理计算：当m为斜边时，m2=62+82，所以m2=100；当m为直角边时，m2=82-62=64-36=28，所以的值为100或28．故本题选D．【考点】勾股定理．32.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹，6分）如图，OM，ON是两条公路，A，B是两个工厂，现欲建一个仓库P，使其到两条公路距离相等且到两工厂距离相等，请你确定该仓库P的位置．．【答案】答案见试题解析．【解析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，分别作出AB的垂直平分线，∠MON的平分线，相交于点P，则点P即为所要求作的仓库的位置．试题解析：解：如图所示，点P即为所要求在的仓库的位置．【考点】1．作图—应用与设计作图；2．作图题．33.如图，，，，，．则阴影部分的面积= ．【答案】24【解析】因为，，．所以由勾股定理可得AB=，又，所以∠ABD=90°，所以24．【考点】勾股定理及其逆定理．34.一个等腰三角形的两边长分别为3和7，那么这个三角形的周长是．【答案】17．【解析】（1）若3为腰长，7为底边长，由于3+3＜7，则三角形不存在；（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为7+7+3=17．故答案为：17．【考点】1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系．35.若直角三角形的斜边长为10 cm，则斜边上的中线长为 cm．【答案】5．【解析】∵直角三角形斜边长为10cm，∴斜边上的中线长为5cm．故答案为：5．【考点】直角三角形斜边上的中线．36.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．【答案】30°；4．【解析】根据等边三角形的性质得出∠B=60°，根据DE∥AB得出∠EDC=60°，根据垂直得出∠DEF=90°，根据三角形内角和定理可得∠F的度数；根据∠ACB=∠EDC=60°得出△EDC为等边三角形，则ED=DC=2，根据∠DEF=90°，∠F=30°得出DF=2DE=4．试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°∴DF=2DE=4．【考点】等边三角形的性质37.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于E，EF∥BD交CD于F，则图中等腰三角形的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【答案】C．【解析】∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∵DE∥AB∴△DEC为等腰三角形，∵∠A=36°∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC=36°=∠A，∴BD=AD，∴△ABD为等腰三角形，△BCD为等腰三角形，∵EF∥BD，∴△DEF为等腰三角形，△EFC为等腰三角形，△BED为等腰三角形．所以共有七个等腰三角形．故选C．【考点】1．三角形内角和定理；2．角平分线的性质；3．等腰三角形的判定与性质．38.如图，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF度数．【答案】74°．【解析】首先由三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，再由CE平分∠ACB求得∠ACE的度数，则由三角形的外角的性质就可求得∠CED=∠A+∠ACE，再结合CD⊥AB，DF⊥CE就可求解．试题解析：解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣40°﹣72°=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=34°，∴∠CED=∠A+∠ACE=74°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=74°．【考点】1．三角形的外角性质；2．角平分线的定义；3．三角形内角和定理．39.已知：如图，，点是的中点，，、分别交于点、．（1）图中有几组全等三角形，请把它们直接表示出来；（2）求证：．【答案】（1）△OBA≌△OCD，△OBE≌△OCF，△ABE≌△DCF；（见解析）【解析】（1）利用AAS可证△OBA≌△OCD，利用AAS可证△OBE≌△OCF，利用SAS可证△ABE≌△DCF；（2）根据和可得∠A=∠D，∠BEO=∠CFO，然后得到∠AEB=∠DFC，然后根据AAS定理判定△ABE≌△DCF，即可得EB=CF．试题解析：（1）△OBA≌△OCD，△OBE≌△OCF，△ABE≌△DCF（每个1分，共3分）（2）证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∵BE∥CF，∴∠BEO=∠CFO，∴∠AEB=∠DFC，在△EBA和△FCD中∴△ABE≌△DCF（AAS）．∴EB=CF．【考点】全等三角形的判定与性质．40.点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从点A出发向点B运动，点Q从点B出发向点C运动，它们同时出发，且速度都是1cm/s．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？【答案】（1） 60°．（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．【解析】（1）首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA，再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC=∠MQC．再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数．（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t．分别就①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值．试题解析：（1）∠CMQ=60°不变．∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°又由条件得AP=BQ，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ=∠ACP，∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=；∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．【考点】1．等边三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．直角三角形的性质．41.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于F,若BF=AC，则∠ABC等于（）A．45°B．48°C．50°D．60°【答案】A．【解析】根据三角形全等的判定可以证明,得到，．故选A．【考点】三角形全等的判定和性质．42.盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这是利用三角形的_________性．【答案】稳定【解析】三角形具有稳定性，在我们的实际生活中的很多地方都能用到，固定窗框就是一种应用．【考点】三角形的稳定性．43.如图，已知∠A=∠D，CO=BO，求证：△AOC≌△DOB．【答案】证明见解析【解析】根据∠A=∠D，CO=BO以及∠AOC=∠DOB利用AAS判定定理得出三角形全等．试题解析：在△AOC和△DOB中，∴△AOC≌△DOB（AAS）．【考点】三角形全等的判定44.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=4，PE=1．（1）求证：∠BPQ=60°（提示：利用三角形全等、外角的性质）（2）求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】（1）由于△ABC是等边三角形，那么有AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，而AE=CD，利用SAS可证△BAE≌△ACD，从而有∠1=∠2，由∠BAE=∠1+∠BAD=60°，等量代换则有∠2+∠BAD=60°，再利用三角形外角性质可得∠BPQ=60°；（2）在Rt△BPQ，易求∠PBQ=30°，于是可求BP，进而可求BE，而△BAE≌△ACD，那么有AD=BE=9．试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD，∴∠1=∠2，∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°，∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°，∴∠BPQ=60°；（2）∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，又∵∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×4=8，∴BE=BP+PE=8+1=9．【考点】1．等边三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质．45.如图，在四边形ABCD中，AB=DC，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC，且AE=AC，求证：（1）△ABE≌△CDA；（2）AD∥EC．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）直接根据SSS就可以证明△ABE≌△CDA；（2）由△ABE≌△CDA可以得出∠E=∠CAD，就可以得出∠ACE=∠CAD，从而得出结论．试题解析：（1）在△ABE和△CDA中∵△ABE≌△CDA（SSS）；（2）∵△ABE≌△CDA，∴∠E=∠CAD．∵AE="AC，"∴∠E="∠ACE"∴∠ACE="∠CAD，"∴AD∥EC．【考点】全等三角形的判定与性质．46.如图，要测量河岸相对的两点间的距离，先在的垂线上取两点，使得，再定出的垂线，使点在同一条直线上，测得的的长就是的长，根据的原理是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】试题解析：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选B．【考点】全等三角形的应用．47.如下图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BCB．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CDD．AB=CD，AD=BC【答案】C【解析】本题主要根据平行四边形的判定方法进行判定就可以得到答案．A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、对角线互相平分的四边形是平行四边形；D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【考点】平行四边形的判定48.（2015秋•句容市月考）如图，点P是∠ABC的平分线上一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M、N．求证：（1）∠PMN=∠PNM；（2）BM=BN．【答案】见解析【解析】（1）根据角平分线的性质得到PM=PN，根据等腰三角形的性质证明即可；（2）根据同角的余角相等解出证明．证明：（1）∵PB是∠ABC的平分线，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM=PN，∴∠PMN=∠PNM；（2）∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB=∠PNB=90°，又∠PMN=∠PNM，∴∠BMN=∠BNM，∴BM=BN．【考点】角平分线的性质．49.下列命题：①如果，，为一组勾股数，那么，，仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是，，，且，那么。

初二数学----几何证明初步经典练习题(含答案)

几何证明初步练习题1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推理过程：○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。

3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。

4. 已知，如图，AE//DC ，∠A=∠C ，求证：∠1=∠B.5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题6.求证:两条直线相交有且只有一个交点.7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。

求证：AB 与CD 必定相交。

8.2一．角平分线－－轴对称9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长第9题图第10题图第11题图分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12FC=12(AC-AB)=2．10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ．分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ．11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ．分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ．CBA DE FDAB C B AE DN M B DA C二、旋转12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ．求证：45EAF ∠=．分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90得ABG ．∴GAB FAD ∠=∠．易证ΔAGE ≌ΔAFE ．∴ 1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠=13、如图，点E 在ΔABC 外部，D 在边BC 上，DE 交AC 于F ．若123∠=∠=∠，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ．分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转1∠所得．则有B ADE ∠=∠． ∵12B ADE ∠+∠=∠+∠，且12∠=∠．∴B ADE ∠=∠．又∵13∠=∠． ∴BAC DAE ∠=∠．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ． 14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．分析：将ΔABF视为ΔADE 绕Ａ旋转90顺时针即可．∵90FAB BAE EAD BAE ∠+∠=∠+∠=．∴F B A ∠=∠．又∵90FBA EDA ∠=∠=，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌ΔADE ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．平移第14题图第15题图第16题图第17题图三、平移15、如图，在梯形ABCD 中，BD ⊥AC ，AC ＝８，BD ＝１５．求梯形ABCD 的中位线长．分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB ．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．16、已知在ΔABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 上一点，Ｅ为AC 延长线一点，且BD ＝CE ．求证：DM ＝EM 分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得． ∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF ．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧 --倍长四、倍长17、已知，ＡＤ为ABC 的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE ≌ΔCDA ． ∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．E18、如图，AD 为ΔABC 的角平分线且BD ＝CD ．求证：AB ＝AC ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD ≌ΔECD ．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵BAD CAD ∠=∠．∴E CAD ∠=∠．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABD C ∠=∠=．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD ≌ΔBCE ． ∴CBE BAD ∠=∠．∴60BPQ PBA PAB PBA DBP ∠=∠+∠=∠+∠=．易证ΔBPQ ≌ΔBFQ ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD ∠=．∴ΔBPF 为等边三角形． ∴ＢＰ＝２ＰＱ．中位线五、中位线、中线：20、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，Ｅ和Ｆ分别为BD 与AC 的中点,求证：1()2EF BC AD =-．分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD 中位线，ＦＧ为ΔACD 的中位线．∴ＥＧ∥＝12BC ，FG ∥＝12AD ．∵AD ∥BC ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EF BC AD =-．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半21、已知，在ABCD 中BD AB 21=．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．求证：ＥＦ＝ＥＧ．分析：连接ＢE ．∵BD AB 21=，ＡＥ＝O Ｅ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴BD EG 21=．又ＥＦ为ΔAOD 的中位线．∴AD EF 21=．∴ＥＦ＝ＥＧ．22、在ΔABC 中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2B BCE ∠=∠．分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴Rt ΔCDG ≌Rt ΔEDG （ＨＬ）． ∴ＥＧ＝ＣＧ．∵ＤＥ＝ＢＥ．∴B BDE DEC BCE ∠=∠=∠+∠．∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DEC BCE ∠=∠．∴2B BCE ∠=∠．几何证明初步测验题（1）一、选择题（每空3 分，共36 分）1、使两个直角三角形全等的条件是（）A、一组锐角对应相等B、两组锐角分别对应相等C、一组直角边对应相等D、两组直角边分别对应相等2、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E．则∠C ＝（）A．20° B．25° C．30° D．40°第2题图第4题图第6题图第7题图3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．有两个角是直角 B．有两个角是钝角 C．有两个角是锐角 D．一个角是钝角，一个角是直角4、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是( )A．∠2=45° B．∠1=∠3 C．∠AOD+∠1=180° D．∠EOD=75°30’5、下列说法中，正确的个数为（）①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线③在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则△ABC是直角三角形④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2<b<18A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6、如图，在AB=AC的△ABC中，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于F，E在AB 边上，使ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（）A、50°B、65°C、70°D、75°7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A. B. C.5 D.49、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（）A．仅小明对 B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都对第9题图第10题图第11题图第12题图10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•则四个结论正确的是（）．①点P在∠A的平分线上; ②AS=AR; ③QP∥AR; ④△BRP≌△QSP.A．全部正确; B．仅①和②正确; C．仅②③正确;D．仅①和③正确11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠1=∠②③∠+∠2=90°④=3:4:5⑤A．1 B．2 C．3 D．412、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．13B．12C．23D．不能确定二、填空题（每空3 分，共15 分）13、命题“对顶角相等”中的题设是_________ ,结论是___________。

初二数学证明(含答案_证明题有过程)

18-9AB E FC D23．（本题8分）.如图,已知:△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F.求证:FD 2=FB.FC.24．（本题8分）已知ABC △，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．（1）求AE AC的值；（2）若AB a FB EC ==，，求AC 的长．25.（本题8分）如图：已知△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ ∥AB ，P 点在AC 上(与A 、C 不重合)，Q 在BC 上．(1) 当△PQC 的面积等于四边形PABQ 面积的31，求CP 的长． (2)当△PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长．(3)试问：在AB 上是否存在一点M ，使得△PQM 为等腰直角三角形，若不存在，请简要说明理由：若存在，请求出PQ 的长．23、连接FA,证明FAC Δ∽FBA Δ,由于FD FA ,命题获证。

24、法一：连接AD FC ,;法二：过F E 或者做平行线，命题获证，在命题获证的基础上第二问求出。

25、(1)用相似CPQ Δ∽CAB Δ(2)设出x PC 表示出CQ ,利用周长列出方程，求出PC（3）当∠PQM=90°时（画图）过P 作PN ⊥AB 于N设PQ=QM=PN=MN=a∠QMB=∠ANP=90°∠B=90°-∠A=∠APN∴△MQB ∽△NAP ∽△CAB∴AN:PN=AC:BC ，BM:QM=BC:BC∴MB=3/4a ，AN=4/3a∵AB=AN+NM+MB∴3/4a+4/3a+a=5∴PQ=a=60/37当∠QPM=90°时同理有PQ=60/37当∠PMQ=90°时过P 作PN ⊥AB 于N,过Q 作QR ⊥AB 于R,过M 作MS ⊥PQ 于S设PN=QR=a则PQ=MN=2a类似前两种情况可得△RQB ∽△NAP ∽△CAB∴RB=3/4a,AN=4/3a∵AB=AN+NM+MB∴3/4a+4/3a+2a=5∴a=60/49 ∴PQ=2a=120/4926、（1）1 :：0.8=X ：4.08 求出甲树高X=5.1米（2）先求墙壁上的影长展开在地上的距离 1 ：0.8=1.2：X 求出X=0.96米得出落在地面上的影长一共为0.96+2.4=3.36米则 1：0.8=X：3.36 求出乙树高X=4.2米（3）台阶高0.3米投影到地面则影长为1:0.8=0.3：X 求出X=0.24 则在水平面上的总影长为0.24+0.2+4.4=4.84米则1:0.8=X：4.84求出丙树高X=6.05米（4）1.6：2=X：3.2求出X=2.56米则1：0.8=2.56：X 求出斜面上的影子落在水平面上的影长X=2.048米则丁树在水平面上的总影长为2.048+2.4=4.448 则1：0.8=X：4.448 求出丁树高X=5.56米。

(典型题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》测试题(答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，EF 经过点O 且//EF BC ，若7AB =，8AC =，9BC =，则AEF 的周长是（）A ．15B ．16C ．17D ．242．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，AD ⊥BC 于点D ，∠ABC 的平分线分别交 AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交 BC 于点N ，连接EN ，下列结论：①△AFE 为等腰三角形；②DF= DN ；③AN = BF ；④EN ⊥NC ．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，等腰直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，延长AM 交BC 于点N ，连接NE ．下列结论：①AE AF =；②AM EF ⊥；③DF DN =；④//AD NE ．正确的有（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 4．如图，在ABC 中，4AB AC ==，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作//MN BC 分别交AB 、AC 于M 、N ，则AMN 的周长为（）A ．12B ．4C ．8D ．不确定 5．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （3，2），点P （m ，0），若△POA 是等腰三角形，则m 可取的值最多有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =64°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点E 、F 分别在BC 、AC 上，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠BEO 的度数是（）A ．26°B ．32°C ．52°D ．58° 7．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（） A ．8，10，12B ．3，4，5C ．5，12，13D ．7，24，25 8．下列几组数能作为直角三角形三边长的是（） A ．3，4，6 B ．1，1，3 C ．5，12，14 D ．5，25，5 9．如图，ABC 中，D 、E 为线段BE 上两点，且AC DC =，BA BE =，若52DAE BAC ∠=∠，则DAE ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒10．如图所示，O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOE ，∠DOE =90°，则①∠AOD 与∠BOE 互为余角；②OD 平分∠COA ；③若∠BOE =56°40'，则∠COE =61°40'；④∠BOE =2∠COD ．结论正确的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1 11．等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角是40°，则这一等腰三角形的底角为（）A ．65°B ．25°C ．50°D ．65°或25° 12．已知，如图在ABC 中，AB AC =，AD 是三角形的高，若20CAD ∠=︒，则B 的度数是（）A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒二、填空题13．如图．在ABC 中，2AB AC ==，40B C ∠=∠=︒，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．（1）点D 从B 向C 的运动过程中，BDA ∠逐渐变____（填“大”或“小”）；（2）在点D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．_____．14．如图，△ACD 是等边三角形，若AB ＝DE ，BC ＝AE ，∠E ＝115°，则∠BAE ＝_____°．15．如图，己知等边△ABC 的边长为8cm ，∠A ＝∠B ＝60°，点D 为边BC 上一点，且BD ＝3cm ．若点M 在线段CA 上以2cm/s 的速度由点C 向点A 运动，同时，点N 在线段AB 上由点A 向点B 运动，△CDM 与△AMN 全等，则点N 的运动速度是______16．如图在第一个△A1BC 中，∠B ＝40°，A 1B ＝BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E……如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为_____________．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（0，6），点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为_____．18．如图，AD 是△ABC 的平分线，DF ⊥AB 于点F ，DE ＝DG ，AG ＝16，AE ＝8，若S △ADG ＝64，则△DEF 的面积为 ________．19．如图，D 是等边三角形ABC 外一点，3AD =，2CD =，则BD 的最大值是________________．20．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 是它的角平分线，若:3:2AB AC =，且2BD =，则点D 到直线AB 的距离为______．三、解答题21．如图，ABE △是等腰三角形，AB AE =，45BAE ∠=︒，过点B 作BC AE ⊥于点C ，在BC 上截取CD CE =，连接AD 、DE 并延长AD 交BE 于点P（1）求证：AD BE =；（2）试说明AD 平分BAE ∠．22．如图，已知平行四边形ABCD ．（1）用直尺和圆规作出ABC ∠的平分线BE ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点F （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在第（1）题的条件下，求证：ABE △是等腰三角形．23．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论．如图，现要在ABC 内建一中心医院，使医院到,A B 两个居民小区的距离相等，并且到公路AB 和AC 的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．24．已知，如图，线段BC．（1）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D．（用不带刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，在l上取点A（点D除外），连接AC，AB，过点D分别作DM⊥AC于点M，DN⊥AB于点N．求证:DM=DN．25．如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A（﹣2，3），B（4，0），交y轴于点C；（1）求直线AB的关系式；（2）求△OBC的面积；（3）做等腰直角三角形PBC，使PC＝BC，求出点P的坐标．26．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（3）若Q以（2）中的速度从C点出发，同时P以原来的速度从B点出发，在△ABC的三边上逆时针运动，问：经过多少时间P、Q两点第一次相遇？在何处相遇？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先根据平行线的性质、角平分线的定义、等边对等角得到BE=OE，OF=CF，再进行线段的代换即可求出AEF的周长．【详解】解：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，，∵BO平分ABC∴∠EBO=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴BE=OE，同理可得：OF=CF，∴AEF的周长为AE+AF+EF=AE+OE+OF+AF= AE+BE+CF+AF=AB+AC=7+8=15．故答案为：A【点睛】本题考查了等腰三角形的判定“等边对等角”，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键．2．D解析：D【分析】利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的全等，角平分线的定义，逐一判断即可．【详解】∵∠BAC=90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC ，∴∠DBF+∠DFB=90°，∠ABE+∠AEF=90°，∠ABE=∠DBF，∴∠AEF=∠DFB=∠AFE，∴△AFE为等腰三角形，∴结论①正确；∵△AFE为等腰三角形，M为EF 的中点，∴∠AMF=90°，∴∠DBF=∠DAN，∵∠BAC=90°，∠C=45°，AD⊥BC于点D，∴AD=BD，∴△DBF≌△DAN，∴DF= DN，AN=BF，∴结论②③正确；∵∠ABM=∠NBM，∴∠BMA=∠BMN= 90°，BM=BM，∴△BMA≌△BMN，∴AM=MN，∴BE是线段AN的垂直平分线，∴EA=EN，∴∠EAN=∠ENA=∠DAN，∴AD∥EN，∵AD⊥BC∴EN⊥NC，∴结论④正确；故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的全等，线段的垂直平分线的定义和性质，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握知识，灵活运用知识是解题的关键．3．D解析：D【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°，继而可得∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，即可判断①；由M为EF的中点且AE=AF可判断②；作FH⊥AB，证△FBD≌△NAD可判断③，证明△EBA≌△EBN（SAS），推出∠BNE=∠BAM=90°，即可判断④．【详解】解：∵∠BAC=90°，AC=AB ，AD ⊥BC ，∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD ，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC=22.5°， ∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5° ∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE ，故①正确；∵M 为EF 的中点，∴AM ⊥EF ，故②正确；∵AM ⊥EF ，∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN ，在△FBD 和△NAD 中，FBD DAN BD ADBDF ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△FBD ≌△NAD （ASA ），∴DF=DN ，故③正确；∵∠BAM=∠BNM=67.5°，∴BA=BN ，∵∠EBA=∠EBN ，BE=BE ，∴△EBA ≌△EBN （SAS ），∴∠BNE=∠BAE=90°，∴∠ENC=∠ADC=90°，∴AD ∥EN ．故④正确，综上，正确的结论有：①②③④故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．4．C解析：C【分析】由角平分线的定义和平行线性质易证△BME 和△CNE 是等腰三角形，即BM ＝ME ，CN ＝NE ，由此可得△AMN 的周长＝AB +AC ．【详解】解：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∠ACE ＝∠BCE ，∵MN //BC ，∴∠CBE ＝∠BEM ，∠BCE ＝∠CEN ，∴∠ABE ＝∠BEM ，∠ACE ＝∠CEN ，∴BM ＝ME ，CN ＝NE ，∴△AMN 的周长＝AM +ME +AN +NE ＝AB +AC ，∵AB ＝AC ＝4，∴△AMN 的周长＝4+4＝8．故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 5．C解析：C【分析】分两种情况分析：①以点OP 为底，②OP 为腰，讨论点P 的个数，再求出m 的值即可.【详解】解：由点P （m ，0）知点P 在x 轴上，分两种情况：当OP 为底时，以A 点为圆心OA 为半径画圆，交x 轴于点P ，以OA=AP 为腰，点P 的坐标为m=2×3=6，当OP 为腰时，以O 为圆心，OA 长为半径，画圆交x 轴于两点P ，点P 在y 轴左侧或右侧，OP=OA=222313+=，∴m=13±，点P 在y 轴右侧，以OA 为底，作AO 的垂直平分线交x 轴与P ，过A 作AB ⊥x 轴，OP=AP=()2223m +-，则m=()2223m +-，解得m=136，综上，共有4个点P ，即m 有4个值，故选择：C.【点睛】本题考察等腰三角形的性质，解题时分两种情况进行讨论，注意以点A、O为顶角顶点时应以点为圆心画弧线，避免有遗漏．6．C解析：C【分析】连结OB，根据角平分线定义得到∠OAB=32°，再根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，则∠OBA=∠OAB，所以得出∠1，由于AB=AC，OA平分∠BAC，根据等腰三角形的性质得OA垂直平分BC，则BO=OC，所以得出∠1=∠2，然后根据折叠的性质得到EO=EC，于是∠2=∠3，再根据三角形内角和定理计算∠OEC，解答即可．【详解】解：连结OB、OC，∵∠BAC=64°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，∴∠OAB=32°，∵AB=AC，∠BAC=64°，∴∠ABC=∠ACB=58°，∵OD垂直平分AB，∴OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=32°，∴∠1=58°-32°=26°，∵AB=AC，OA平分∠BAC，∴OA垂直平分BC，∴BO=OC，∴∠1=∠2=26°，∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO=EC，∴∠2=∠3=26°，∴∠BEO=∠2+∠3=52°，故选择:C．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．A解析：A【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角来判定即可．【详解】解：A、∵82＋102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A选项符合题意；B、∵32＋42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B选项不符合题意；C、∵52＋122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故C选项不符合题意；D、∵72＋242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，解题的关键是掌握勾股定理逆定理以及准确计算．8．D解析：D【分析】要能作为直角三角形三边长，需验证两小边的平方和等于最长边的平方．【详解】解：A、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；B、12+12≠32，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；C、52+122≠142，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，不符合题意；D52+（52＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．9．A解析：A【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠BAE ＝∠BEA ，∠ADC ＝∠DAC ，然后分别用外角的知识表示出这个关系，进而结合5∠DAE ＝2∠BAC 可得出∠DAE 的值．【详解】解：∵AC ＝DC ，BA ＝BE ，∴∠DAE +∠EAC ＝∠ADE ＝∠B +∠BAD ①，∠EAD +∠BAD ＝∠AED ＝∠C +∠EAC ②，①+②可得：∠DAE +∠EAC +∠EAD +∠BAD ＝∠B +∠BAD +∠C +∠EAC ，整理，得∠DAE +∠BAC ＝180°﹣∠DAE ，又5∠DAE ＝2∠BAC ，设∠DAE =2x ，则∠BAC =5x ，上式即为2x +5x =180°－2x ，解得：x =20°，即∠DAE ＝40°．故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，有一定的难度，解答本题需用到等腰三角形的两底角相等、三角形的内角和等于180°．10．B解析：B【分析】由平角的定义与90DOE ∠=︒，即可求得AOD ∠与∠BOE 互为余角；又由角平分线的定义，可得22AOE COE AOC ∠=∠=∠，即可求得2BOE COD ∠=∠，若5640BOE ∠=︒'，则6140COE ∠=︒'．【详解】解：90DOE ∠=︒，90COD COE ∴∠+∠=︒，90EOB DOA ∴∠+∠=︒，故①正确； OC 平分AOE ∠，22AOE COE AOC ∴∠=∠=∠；1801802BOE AOE COE ∴∠=︒-∠=︒-∠，90COD COE ∠=︒-∠，2BOE COD ∴∠=∠，90AOD BOE ∠=︒-∠，故②不正确，④正确；若5640BOE ∠=︒'，180AOE BOE ∠+∠=︒，11(180)(1805640)614022COE BOE ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'．故③正确；∴①③④正确．故答案为：B ．【点睛】此题考查了平角的定义与角平分线的定义．题目中要注意各角之间的关系，解题时要仔细识图．11．D解析：D【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【详解】解：①当为锐角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠A ＝50°，∴∠B=∠C=180502︒-︒ =65°； ②当为钝角等腰三角形时，如图：∵∠ADE ＝40°，∠AED ＝90°，∴∠BAC ＝∠ADE+∠AED ＝40°+90°＝130°，∴∠B=∠C=1801302︒-︒ =25°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 12．D解析：D【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD ＝∠CAD ＝20°，∠ABC ＝∠ACB ，根据三角形内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的高，∴∠BAD ＝∠CAD ＝20°，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝180402︒-︒＝70°，故选：D ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的高线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．小80°或110°【分析】（1）由题意易得由点D 从B 项C 的运动过程中逐渐变大可求解问题；（2）由题意可分①若AD=DE 时②若时③若时则点D 与点B 重合点E 与点C 重合与题意矛盾故不符合题意；然后根据等腰解析：小 80°或110°【分析】（1）由题意易得140BDA BAD ∠=︒-∠，由点D 从B 项C 的运动过程中，BAD ∠逐渐变大可求解问题；（2）由题意可分①若AD =DE 时，②若AE DE =时，③若AE AD =时，则点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，与题意矛盾，故不符合题意；然后根据等腰三角形的性质及角的等量关系可进行求解．【详解】解：（1）∵180BDA B BAD ∠+∠+∠=︒，∴140BDA BAD ∠=︒-∠，∵点D 从B 项C 的运动过程中，BAD ∠逐渐变大，∴BDA ∠逐渐变小；故答案为小；（2）若AD =DE 时，∵,40AD DE ADE =∠=︒，∴70DEA DAE ∠=∠=︒，∵DEA C EDC ∠=∠+∠，40B C ∠=∠=︒，∴30EDC ∠=︒，∴180110BDA ADE EDC ∠=︒-∠-∠=︒；若AE DE =时，∵,40AE DE ADE =∠=︒，∴40EDA DAE ∠=∠=︒，∴100DEA ∠=︒，∵DEA C EDC ∠=∠+∠，∴60EDC ∠=︒，∴18080BDA ADE EDC ∠=︒-∠-∠=︒；若AE AD =时，则点D 与点B 重合，点E 与点C 重合，与题意矛盾，故不符合题意；综上所述：当80BDA ∠=︒或110°时，△ADE 的形状可以是等腰三角形；故答案为80°或110°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．125【分析】先证明得到再根据三角形内角和得到所求角中两角的和最后与等边三角形内角相加就得到结果【详解】解：是等边三角形在与中故答案为125【点睛】这道题考察的是等边三角形的性质全等三角形的判定和性解析：125【分析】先证明ABC DEA ≌，得到BAC ADE ∠∠＝，再根据三角形内角和得到所求角中两角的和BAC DAE ∠+∠，最后与等边三角形内角CAD ∠相加就得到结果．【详解】解：ACD 是等边三角形，AC AD ∴＝，60CAD ∠︒＝在ABC 与DEA 中， =⎧⎪=⎨⎪=⎩AB DE BC AE AC AD ABC DEA SSS ∴≌（）BAC ADE ∴∠∠＝18011565BAC DAE ADE DAE ∴∠+∠∠+∠︒-︒︒＝＝＝6560125BAE BAC DAE CAD ∴∠∠+∠+∠︒+︒︒＝＝＝故答案为125．【点睛】这道题考察的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和的概念．解题的关键在于熟练掌握这些相关知识点．15．cm/s 或cm/s 【分析】由于∠C=∠A 所以当△CDM 与△AMN 全等时分两种情况：①△CDM ≌△AMN ；②△CDM ≌△ANM 根据全等三角形的对应边相等求出AN 再根据速度=路程÷时间求解即可【详解】解解析：cm/s 或52cm/s 【分析】由于∠C=∠A ，所以当△CDM 与△AMN 全等时，分两种情况：①△CDM ≌△AMN ；②△CDM ≌△ANM ．根据全等三角形的对应边相等求出AN ，再根据速度=路程÷时间求解即可．【详解】解：设点M 、N 的运动时间为ts ，则CM=2tcm ．∵三角形ABC 是等边三角形，∴∠C=∠A=60°，∴当△CDM 与△AMN 全等时，分两种情况：①如果△CDM ≌△AMN ，那么AN=CM=2tcm ，∴点N 的运动速度是2t t=2（cm/s ）； ②如果△CDM ≌△ANM ，那么CM=AM=12AC=4cm ，AN=CD=BC-BD=5cm ， ∴点M 的运动时间为：42=2（s ）， ∴点N 的运动速度是52cm/s ．综上可知，点N 的运动速度是2或52cm/s ．故答案为：2 cm/s 或52cm/s ．【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边三角形的性质，路程、速度与时间之间的关系，进行分类讨论是解题的关键．16．【分析】根据等腰三角形的性质可求出△CBA1的底角的度数再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质可求出△DA1A2的底角的度数同理可求出△EA2A3△FA3A4…底角的度数再找出其规律即可得出第n 个解析：11702n -︒⨯【分析】根据等腰三角形的性质，可求出 △CBA 1 的底角的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质，可求出 △DA 1A 2 的底角的度数．同理可求出 △EA 2A 3 、 △FA 3A 4 …底角的度数．再找出其规律即可得出第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数．【详解】在 △CBA 1 中， ∠B=40° ， A 1B=CB ，∴ ∠BA 1C=∠BCA 1=（180°−40°)÷2=70° ，又∵ A 1A 2=A 1D ， ∠BA 1C 是 △A 1A 2D 的外角．∴ ∠DA 2A 1=∠A 2DA 1=12∠BA 1C=12×70° ．同理可得：∠EA 3A 2=∠A 3EA 2=12∠DA 2A 1=12×12×70°=(12)2×70° ， ∠FA 4A 3=∠A 4FA 3=12∠EA 3A 2=(12)3×70°，综上可知规律：第n 个三角形中以 An 为顶点的底角度数是：112n -×70° ，故答案为 70° ×112n -．【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质，求出 ∠DA 2A 1 、 ∠EA 3A 2 、 ∠FA 4A 3 的度数，找出其规律是解答本题的关键． 17．【分析】以AP 为边作等边三角形APE 连接BE 过点E 作EF ⊥AP 于F 由SAS 可证△ABE ≌△ACP 可得BE ＝PC 则当BE 有最小值时PC 有最小值即可求解【详解】解：如图以AP 为边作等边三角形APE 连接B解析：92【分析】以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF ⊥AP 于F ，由“SAS”可证△ABE ≌△ACP ，可得BE ＝PC ，则当BE 有最小值时，PC 有最小值，即可求解．【详解】解：如图，以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF ⊥AP 于F ，∵点A 的坐标为（0，6），∴OA ＝6，∵点P 为OA 的中点，∴AP ＝3，∵△AEP 是等边三角形，EF ⊥AP ，∴AF ＝PF ＝32，AE＝AP ，∠EAP ＝∠BAC ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAP ，在△ABE 和△ACP 中， AE AP BAE CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACP （SAS ），∴BE ＝PC ，∴当BE 有最小值时，PC 有最小值，即BE ⊥x 轴时，BE 有最小值，∴BE 的最小值为OF ＝OP ＋PF ＝3＋32＝92， ∴PC 的最小值为92，故答案为92．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．18．16【分析】过点D 作于H 先利用三角形的面积公式计算出DH=8再利用角平分线的性质得到DF=DH=8接着证明得到证明得到利用等线段代换得到于是求出EF 的长然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D解析：16【分析】过点D 作DH AC ⊥于H ，先利用三角形的面积公式计算出DH=8，再利用角平分线的性质得到DF=DH=8，接着证明Rt DEF DGH △≌Rt △得到EF HG =，证明Rt ADF △≌Rt △ADH 得到AF AH =，利用等线段代换得到EF AG HG AE =--，于是求出EF 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】过点D 作DH AC ⊥于H ，64S =△ADG ，16AG =1642AG DH ∴⨯⨯= 8DH ∴= AD 是ABC 的平分线，,DF AB DH AC ⊥⊥8DF DH ==∴在Rt DEF △和Rt DGH △中DE DG DF DH=⎧⎨=⎩\ ∴Rt DEF △≌Rt DGH △EF HG ∴=同理可得Rt ADF △≌Rt △ADHAF AH ∴=168EF AF AE AH AE AG HG AE EF =-=-=--=--4EF ∴=11481622DEF S EF DF ∴=⨯⨯=⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定定理是解题关键．19．5【分析】将AD 顺时针旋转60°得连结可得AD=DD′=AD′可证△ABD′≌△ACD （SAS ）可得BD′=CD 由BD′+DD′≥BD 当BD′D 三点在一线时BD 最大BD 最大=BD′+DD′=5【详解解析：5【分析】将AD 顺时针旋转60°，得AD '，连结BD '，可得AD=DD′=AD′，可证△ABD′≌△ACD （SAS ），可得BD′=CD ，由BD′+DD′≥BD ，当B 、D′、D 三点在一线时，BD 最大，BD 最大=BD′+DD′=5．【详解】解：∵将AD 顺时针旋转60°，得AD '，连结BD '，则AD=DD′=AD′，∴△ADD′是等边三角形，又∵等边三角形ABC ，∴∠BAC=∠D AD '，∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°，∴AB=AC ，AD′=AD ，∴△ABD′≌△ACD （SAS ），∴BD′=CD ，∴BD′+DD′≥BD ，当B 、D′、D 三点在一线时，BD 最大，BD 最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．故答案为：5．．【点睛】本题考查三角形旋转变换，等边三角形判定与性质，掌握三角形旋转变换的性质，等边三角形判定与性质，用三角形三边关系确定B 、D′、D 共线是解题关键．20．【分析】根据角平分线的性质利用面积比求出BD:DC=3:2代入求值即可【详解】解：∵平分∠BACDC ⊥ACDE ⊥AB ∴DC=DE ∵∴即点到直线的距离为故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质解题关解析：43【分析】根据角平分线的性质，利用面积比求出BD:DC=3:2，代入2BD =求值即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DC=DE ，12ABD S AB DE =⨯⨯，12ACD S AC CD =⨯⨯, 132122ABD ACD AB DE S S AC CD ⨯⨯==⨯⨯, 12ABD S DB AC =⨯⨯， 1212ABD ACD DB AC S S AC CD ⨯⨯=⨯⨯， 32BD CD =， ∵2BD =，∴43CD =， 43ED = 即点D 到直线AB 的距离为43，故答案为：43．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题关键是利用面积公式，通过角平分线的性质得出面积比，再根据面积比求出边长比．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用SAS 证明△BCE ≌△ACD ，根据全等三角形的对应边相等得到AD=BE ．（2）根据△BCE ≌△ACD ，得到∠EBC=∠DAC ，由∠BDP=∠ADC ，得到∠BPD=∠DCA=90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD 平分∠BAE ．【详解】证明：（1）∵BC ⊥AE ，∠BAE=45°，∴∠CBA=∠CAB ，∴BC=CA ，在△BCE 和△ACD 中，90BC AC BCE ACD CE CD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴AD=BE ．（2）∵△BCE ≌△ACD ，∴∠EBC=∠DAC ，∵∠BDP=∠ADC ，∴∠BPD=∠DCA=90°，∵AB=AE ，∴AD 平分∠BAE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明△BCE ≌△ACD ．也考查了等腰三角形三线合一的性质．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）以B为圆心，小于AB长为半径画弧，交AB，BC于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，交AD的延长线于点E，交DC于点F；（2）根据角平分线的性质和平行线性质可得等腰三角形中有2个角相等，即可得到所求三角形是等腰三角形．【详解】解：（1）如图：（2）根据作图可知12CBE ABE ABC ∠=∠=∠，又四边形ABCD是平行四边形//AE BC∴即AEB CBE∠=∠∴在ABE△中，AEB ABE∠=∠∴AE=AB，即ABE△是等腰三角形【点睛】考查角平分线的画法及等腰三角形的判定；用到的知识点为：等角对等边．23．见解析【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．【详解】解：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，则P为这个中心医院的位置．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．24．（1）见解析；（2）见解析（1）根据垂直平分线的尺规作图方法即可作出直线l；（2）根据垂直平分线的性质可AB=AC，BD=DC，再根据等腰三角形的三线合一得到∠DAB=∠DAC，然后根据角平分线的性质即可证得DM=DN．【详解】解：（1）如图直线l即为所求；（2）证明：∵直线l是线段BC的垂直平分线，点A是直线l上一点，∴AB=AC，BD=DC，∴∠DAB=∠DAC∵ DM⊥AC，DN⊥AB∴ DM=DN【点睛】本题考查了基本尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、角平分线的性质，熟练掌握这些知识的灵活运用是解答的关键．25．（1）122y x=-+；（2）4OBCS=；（3）P为（2，6）或（-2，-2）【分析】（1）设直线AB的解析式为：y kx b=+，把点A（-2，3），B（4，0）即可得到结论；（2）由（1）知点C的坐标为（0，2），利用三角形面积直接求解即可；（3）分①当点P在直线BC上方，②当点P在直线BC下方两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可．（1）设直线AB的解析式为：y kx b=+，把点A（-2，3），B（4，0）代入得，23 40k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：122 kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的关系式为：122y x=-+；（2）由（1）知：点C的坐标为（0，2），∴OB=4，OC=2，∴△OBC的面积为：11OB OC42422OBCS=⨯=⨯⨯=；（3）①当点P在直线BC上方时，过P作PE⊥y轴于E，如图：∵△OBC是等腰直角三角形，且PC=BC，∴∠PCB=90︒，∴∠PCE+∠EPC =90︒，∠PCE+∠OCB =90︒，∴∠EPC =∠OCB，在△EPC和△OCB中，90PEC COBEPC OCBPC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPC≅△OCB，∴EC=OB=4，EP=OC=2，∴点P的坐标为（2，6），②当点P在直线BC下方时，过P1作P1F⊥y轴于F，如图：同理可证1FPC OCB≅，∴FC=OB=4，P1F=OC=2，∴点P1的坐标为（-2，2），综上，点P的坐标为（2，6）或（-2，2）．本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形，利用数形结合是解题的关键．26．（1）全等，见解析；（2）Q 的运动速度为154cm /s ；（3）803s 在AB 边上，距离A 点6cm 处【分析】（1）由SAS 证明即可；（2）根据全等三角形的性质得出4BP PC cm ==，5CQ BD cm ==，则可得出答案；（3）由题意列出方程1532104x x =+⨯，解方程即可得解；【详解】（1）∵1t s =，点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，∴313BP CQ cm ==⨯=，∵10AB cm =，点D 为AB 的中点，∴5BD cm =，又∵PC BC BP =-，8BC cm =，∴835PC cm =-=，∴PC BD =，又∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在△BPD 和△CQP 中，PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BPD CQP SAS ≅；（2）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，∴BP 与CQ 不是对应边，即BP CQ ≠，∴若BPD CPQ ≅，且B C ∠=∠，则4BP PC cm ==，5CQ BD cm ==，∴点P 、点Q 的运动时间4()33BPt s ==， ∴515443Q CQ t υ=== cm /s ；（3）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意可得：1532104x x =+⨯，解得：803x=，803803⨯=cm，△ABC的周长为1010828cm++=，运动三圈：28384cm⨯=＞80cm，84804cm-=，1046cm-=，∴经过803后点P与点Q第一次相遇，在AB边上，距离A点6cm处．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，特别是利用方程的思想解决几何问题，培养学生综合解题的能力．。

[必刷题]2024八年级数学下册几何证明专项专题训练(含答案)

[必刷题]2024八年级数学下册几何证明专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在△ABC中，若AB=AC，点D是BC的中点，则下列结论正确的是（）A. AD垂直于BCB. BD=DCC. ∠BAC=90°D. ∠ABC=∠ACB2. 下列关于平行线的性质，错误的是（）A. 同位角相等B. 内错角相等C. 同旁内角互补D. 两直线平行，则它们的任意一对对应角相等3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列关于全等三角形的判定，错误的是（）A. SASC. AASD. SSD5. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=70°，则边BC与边AC的长度关系是（）A. BC > ACB. BC = ACC. BC < ACD. 无法确定6. 下列关于相似三角形的性质，正确的是（）A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 对应角互补D. 对应边相等7. 若等腰三角形的底角为45°，则其顶角的度数是（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°8. 在平行四边形ABCD中，若AB=6cm，AD=8cm，则对角线AC的长度可能是（）A. 4cmB. 10cmC. 12cm9. 下列关于圆的性质，错误的是（）A. 圆的半径都相等B. 圆的直径是半径的两倍C. 圆的周长与半径成正比D. 圆的面积与半径成正比10. 在直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点是（）A. (a,b)B. (a,b)C. (a,b)D. (b,a)二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

（）2. 平行线的同旁内角互补。

（）3. 两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形全等。

（）4. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

初二数学图形与证明试题答案及解析

初二数学图形与证明试题答案及解析1.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，∴①正确；∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，∴②错误；点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，，即，解得x=3，点G与点D重合时，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，∴③正确；过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8-3）-3=2，由勾股定理得EF=2，∴④正确；【考点】图形的翻折、勾股定理．2.如图，沿折叠后，点落在边上的处，DE∥BC，，则的度数为．【答案】80°．【解析】先根据折叠的性质可得∠ADE=∠ED，再由平行线的性质可得∠B=∠ADE=50°，由平角的性质即可求=180°-∠ADE-∠ED=180°-50°-50°=80°．【考点】折叠的性质；平行线的性质；平角的性质．3.如图，在□ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=_____度．【答案】20．【解析】∵ DB=DC，∴∠DBC=∠C=70°，∵是□ABCD，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=70º，∵AE⊥BD于E，∴∠AED=90º，∴∠DAE=90-70=20º．【考点】平行四边形性质．4.如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为（）．A．菱形B．正方形C．矩形D．一般平行四边形【答案】A．【解析】此题先判定四边形ABDC为平行四边形，再通过邻边相等判定四边形ABDC为菱形，∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB,又∵折叠角相等，∴∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB,∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,∴AB∥DC,AC∥BD,∴四边形ABDC为平行四边形，又∵折叠边相等，AB=BD,∴四边形ABDC为菱形．【考点】菱形的判定．5.将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为度．【答案】45【解析】如图所示：过点C作AB的垂线垂足是E，∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状，并使其面积为矩形木框的，∴BC=CE，∵sin∠CBE==，∴∠CBE=∠A=45°．【考点】1.矩形的性质；2.平行四边形的性质．6.（本题10分）如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不到点A）．设点E，F 同时出发移动t秒．（1）在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是，始终保持不变；（2）如图2，连接EF，设EF交BD于点M，当t=2时，求AM的长；（3）如图3，点G，H分别在边AB，CD上，且GH=cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t的值．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）；（3）3．【解析】（1）判断三角形CDE和三角形CBF全等是解题的关键；（2）此题过点E作EN∥AB，交BD于点N，证明△EMN≌△FMB，得出EM=FM，于是AM是直角三角形AEF斜边EF中线，只要求出EF长，AM长就求出来了；（3）设EF与GH交于P，连接CE，CF，若∠EPH=45°，前面已证∠EFC=45º，显然GH∥CF，又有AF∥DC，可判断四边形GFCH是平行四边形，CF=GH=，在Rt△CBF中，用勾股定理求出BF长，即t值求出．试题解析：（1）∵点E，F的运动速度相同，且同时出发移动t秒，∴DE=BF=t，又∵CD=CB，∠CDE=∠CBF，∴△CDE≌△CBF，∴CE=CF，∠DCE=∠BCF，∠ECF=∠ECB＋∠BCF=∠ECB＋∠DCE=90º，∴△CEF的形状是等腰直角三角形；（2）先证△EMN≌△FMB，过点E作EN∥AB，交BD于点N，∴∠END=∠ABD=∠EDN=45°，∴EN="ED=BF=2" ，可证△EMN≌△FMB（AAS），∴EM=FM，Rt△AEF中，AE=4，AF=6+2=8，EF=，∴AM=EF=．（3）连接CE，CF，设EF与GH交于P，由（1）得∠CFE=45°，又∠EPH=45°，∴GH∥CF，又AF∥DC，∴四边形GFCH是平行四边形，∴CF=GH=，在Rt△CBF中，得BF=3，∴t=3．【考点】1．正方形性质；2．三角形全等及勾股定理的运用；3．平行四边形的判定与性质．7.下列命题中是真命题的有（）个．①相等的角是对顶角；②两直线被第三条直线所截，内错角相等；③若m2=n2，则m=n；④平行四边形的对角线互相平分；⑤一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．A．0B．1C．2D．3【答案】B．【解析】命题①相等的角是对顶角，如两个直角相等，但两个直角不一定是对顶角，命题①错误；命题②两直线被第三条直线所截，内错角相等，命题②错误，正确的为两条平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等；命题③若m2=n2，则m=n，如，但2≠-2，命题③错误；命题④平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质可得，命题④正确；命题⑤一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定可得一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，命题⑤错误．故答案选B．【考点】命题与定理．8.已知，如图，点B、E、C、F四点在同一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AC、DE相交于点O，BE=CF．求证：AC=DF．【答案】详见解析．【解析】已知AB∥DE，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再由BE=CF可得BC=EF，根据SAS可判定△ABC≌△DEF，即可得AC=DF．试题解析：证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF．【考点】平行线的性质；全等三角形的判定及性质．9.（3分）下列各组数据中，不可以构成直角三角形的是（）A．7，24，25B．1.5，2，2.5C．，1，D．40，50，60【答案】D【解析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：A、72+242=625=252，故是直角三角形，不符合题意；B、1.52+22=6.25=2.52，故是直角三角形，不符合题意；C、12+（）2==（）2，故是直角三角形，不符合题意；D、402+502=4100≠602，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．【考点】勾股定理的逆定理．10.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800，则斜边长为．【答案】30．【解析】∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又∵已知三边的平方和为1800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为=900，∴斜边长==30．故斜边长为30．【考点】勾股定理．11.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对【答案】A．【解析】如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE，根据三角形中位线定理可得：EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．故选A．【考点】三角形中位线定理．12.已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．②B．①②C．①③D．②③【答案】D．【解析】①∵22+32=13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32+42=52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12+（）2=22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③．故选D．【考点】勾股定理的逆定理．13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是．【答案】8【解析】∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，∴OC=OD=2，∴四边形CODE是菱形，∴DE=CE=OC=OD=2，∴四边形CODE的周长=2×4=8；【考点】1.菱形的判定与性质；2.矩形的性质．14.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？求出四边形ABCD的面积．【答案】36.【解析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求；这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．试题解析：∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，∴△ABD、△BDC是直角三角形，∴∠A=90°，∠DBC=90°，∴这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积=3×4÷2+5×12÷2，=6+30，=36．故这个零件的面积是36．【考点】1.勾股定理的逆定理；2.勾股定理．15.等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC为16cm，面积为 .【答案】48cm2.【解析】如图所示，∵AB=AC=10cm，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=8cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=cm.∴S△ABC=BC•AD=×16×6=48cm2.【考点】1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．【答案】四边形GECF是菱形，理由详见解析．【解析】根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．试题解析：四边形GECF是菱形，理由如下：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，∴GE=CE．在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），∴GE=EC，∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB，又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA，∵Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，∴GE=EC=FC，又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECF是菱形．【考点】菱形的判定．17.将一副常规的三角尺如图放置，则图中∠AOB的度数是（）A．75°B．95°C．105°D．120°【答案】C【解析】由已知可得∠ACO=45°-30°=15°，根据三角形外角的性质可得∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°．故答案选C．【考点】三角形外角的性质．18.下列说法错误的是（）A．一个三角形中至少有一个角不少于60°B．三角形的中线不可能在三角形的外部C．三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分D．直角三角形只有一条高【答案】D【解析】选项A，根据三角形的内角和定理可知一个三角形中至少有一个角不少于60°，选项A正确；选项B，三角形的中线都在三角形的内部，不可能在三角形的外部，选项B正确；选项C，根据等底同高的两个三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分，选项C正确；选项D，直角三角形由三条高，其中两条是直角边，选项D错误．故答案选D．【考点】三角形的内角和定理；三角形的高线、中线．19.如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC＝35°，则∠BAD＝_______．【答案】35°．【解析】已知△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质可得∠CAB=∠EAD，所以∠EAC=∠CAB-∠EAB，∠BAD=∠EAD-∠EAB，即∠BAD=∠EAC=35°．【考点】全等三角形的性质．20.如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，试说明BC＝EF．【答案】详见解析．【解析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，根据SAS可得△ABC≌△DEF，再由全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF．试题解析：证明：∵AB∥ED，∴∠A=∠D，又∵AF=DC，∴AC=DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF．∴BC=EF．【考点】全等三角形的判定及性质．21.（3分）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD 长为_____________cm．【答案】4．【解析】连接AC，∵菱形ABCD的周长为16cm，∴AB=4cm，AC⊥BD，∵BC的垂直平分线EF经过点A，∴AC=AB=4cm，∴OA=AC=2cm，∴OB==2cm，∴BD=2OB=4cm．故答案为：4．【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．22.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，【答案】D．【解析】A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．【考点】解直角三角形．23.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】B．【解析】试题解析：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．故选B．【考点】全等三角形的应用．24.如果等腰三角形的一个角为80°，那么它的一个底角为__________．【答案】50°或80°．【解析】试题解析：由题意知，分两种情况：（1）当这个80°的角为顶角时，则底角=（180°-80°）÷2=50°；（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．【考点】等腰三角形的性质25.一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是_________．【答案】10cm．【解析】如图，可以把A和B展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6．矩形的宽是圆柱的高8．根据勾股定理可得，爬行的最短路程是矩形的对角线的长为10cm．【考点】最短路径问题；勾股定理．26.在等腰三角形中有一个角是50°，它的顶角是（）或（）．【答案】50°，80°．【解析】因为题目中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．①50°是底角，则顶角为：180°-50°×2=80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．【考点】三角形内角和定理、等腰三角形的性质．27.（12分）如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．【答案】详见解析．【解析】如图，根据三角形外角的性质可得∠B+∠D=∠1，∠A+∠C=∠2，在由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即可得∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°．试题解析：解：如图∵∠1是△BDF的外角，∴∠B+∠D=∠1，同理∠A+∠C=∠2，由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即，∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°．【考点】三角形外角的性质；三角形内角和定理．28.如图，△ABC中，AB=5，AC=8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．18【答案】B．【解析】∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，∴ED=EB，FD=FC，∵AB=5，AC=8，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=5+8=13．故选B．【考点】1．等腰三角形的判定与性质；2．平行线的性质．29.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若AB=10，则CD的长等于．【答案】5．【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AB，∵AB=10，∴CD=×10=5．故答案为：5．【考点】直角三角形斜边上的中线．30.等腰三角形中有一个角等于70º，则它的底角度数是（）A．70ºB．55ºC．40º或55ºD．70º或55º【答案】D．【解析】①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣70°）÷2=55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，因为70°+70°＜180°，符合三角形内角和定理；故选D．【考点】1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．31.到三角形三边距离相等的点是（）A．三角形三边垂直平分线的交点B．三角形有三条高的交点C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三条中线的交点【答案】C．【解析】∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF，∴O在∠A的平分线上，同理O在∠B的平分线上，O在∠C的平分线上，即O是三条角平分线的交点，故选C．【考点】1．角平分线的性质；2．三角形的角平分线、中线和高．32.若等腰三角形一个外角等于100，则它的顶角度数为（）．A．20°B．80°C．20°或80°D．无法确定【答案】C．【解析】①若100°是顶角的外角，则顶角=180°﹣100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°﹣100°=80°，那么顶角=180°﹣2×80°=20°．故选C．【考点】1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．33.下列说法中，错误的有（）①周长相等的两个三角形全等；②周长相等的两个等边三角形全等；③有三个角对应相等的两个三角形全等；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】①全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故①错误；②周长相等的等边三角形，边长也相等，根据SSS可判定两三角形全等，故②正确；③判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故③错误；④有两边对应相等，且两边的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），故④错误；所以错误的结论有①③④，故选C．【考点】全等三角形的判定．34.（本题7分）△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．（1）如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°．请在图中画出△ABC关于点B 的伴侣分割线，并注明角度；（2）△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．【答案】（1）答案见试题解析；（2）当y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣或y=135°﹣x时△ABC存在伴侣分割线．【解析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别进行分析．试题解析：（1）如图所示：（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°﹣x，当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且y＞x；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时180°﹣x﹣y=y﹣90°，∴y=135°﹣，当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时∠A=45°，∴y=135°﹣x．综上所述，当y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣或y=135°﹣x时△ABC存在伴侣分割线．【考点】1．作图—应用与设计作图；2．分类讨论．35.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE= ．【答案】15°．【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°．∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2=（90°﹣60°）÷2=15°．【考点】1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．正方形的性质．36.如图，△ABC中，∠C=90°．（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AC=4，BC=3，求CP的长．【答案】（1）作图见解析；（2）CP的长为．【解析】（1）作∠CAB的平分线，交BC于点P，过点P作PD⊥AB于D，则PC=PD；（2）先利用HL证明Rt△ADP≌Rt△ACP，得出AD=AC=3，再设PC=x，则PD=x，BP=4-x，在Rt△BDP中，由勾股定理得出（4-x）2=x2+12，解出x的值即可．试题解析：（1）如图，点P即为所求；（2）∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，∴PD=PC．在Rt△ADP和Rt△ACP中，∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL）．∴AD=AC=4．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=5．∴BD=5﹣4=1．设PC=x，则PD=x，BP=3﹣x，在Rt△BDP中，由勾股定理，得PD2＋BD2=PB2，即（3﹣x）2=x2＋12，解得：x=．答：CP的长为．【考点】1．角平分线的性质；2．勾股定理；3．作图—基本作图．37.若等腰三角形底角为72°，则顶角为（）A．108°B．72°C．54°D．36°【答案】D【解析】根据三角形内角和以及等腰三角形的性质可得：顶角的度数为：180－72×2=36°．【考点】等腰三角形38.（10分）如图，在等腰RT△中，，，点是斜边的中点，点、分别为、边上的点，且．（1）判断与的大小关系，并说明理由；（2）若，，求△的面积．【答案】（1）（1分）连接，证明全等（其它方法酌情给分）；（2）【解析】（1）连接AD，利用三线合一可得到AD⊥BC，AD=CD=BD，从而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得△DCF≌△ADE后即可证得DF=DE；（2）根据（1）中结论可证：△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，利用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入三角形面积公式计算即可．试题解析：（1）连接AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD=CD=BD，∵DE⊥DF，∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，即∠CDF=∠ADE，在△DCF和△ADE中，∠C=∠DAE，∠CDF=∠ADE，CD=AD，∴△DCF≌△ADE（AAS），∴DF=DE；（2）解：由（1）知：AE=CF=6，同理AF=BE=8．∵∠EAF=90°，∴．∴EF=10，又∵由（1）知：△AED≌△CFD，∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形，，，【考点】等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．39.如图，△ABC中，∠BAC=100°，EF， MN分别为AB，AC的垂直平分线，如果BC="12" cm，那么△FAN的周长为 cm，∠FAN= ．【答案】12，20°．【解析】∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，∴AF=BF，AN=CN，∴△FAN的周长为：AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=12cm；∴∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，∵△ABC中，∠BAC=100°，∴∠BAF+∠CAN=∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°，∴∠FAN=∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）=20°．故答案为：12，20°．【考点】线段垂直平分线的性质．40.一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7B．7或9C．7D．9【答案】B【解析】根据三角形的三边关系，得：第三边大于8-3=5，而小于两边之和8+3=11．又第三边应是奇数，则第三边等于7或9．故选B．【考点】三角形三边关系41.如图，△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE=60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E．（1）如图1，点D在BC上，求证：CA=CD+CE；（2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系．【答案】（1）证明见试题解析；（2）CA=CE-CD．【解析】（1）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CA=CD+CE；（2）首先在AC延长线上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CA=CE﹣CD．试题解析：证明：（1）在AC上截取CM=CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM是等边三角形，∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC，∴∠ADM=∠EDC，∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD，在△ADM和△EDC中，∵∠ADM=∠EDC，MD=CD，∠AMD=∠ECD，∴△ADM≌△EDC（ASA），∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；（2）CA=CE﹣CD．证明：在AC的延长线上截取CM=CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠DCM=60°，∴△CDM是等边三角形，∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E，∴∠ACE=∠DCE=60°，∴∠ECD=∠AMD，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDM，∴∠ADM=∠EDC，在△ADM和△EDC中，∵∠ADM=∠EDC，MD=CD，∠AMD=∠ECD，∴△ADM≌△EDC（ASA），∴AM=EC，∴CA=AM﹣CM=CE﹣CD．【考点】1．等边三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质．42.下列三条线段，能组成三角形的是（）A．3，3，3B．3，3，6C．3，2，5D．3，2，6【答案】A．【解析】选项B， 3+3=6；选项C， 3+2=5；选项D， 3+2<6．根据三角形的三边关系可得选项B、C、D不能构成三角形，故答案选A．【考点】三角形的三边关系．43.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= ．【答案】55°．【解析】试题分析:在△ABD与△ACE中，因∠BAC=∠DAE，即∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD，可得∠1=∠CAE．又因为AB=AC，AD=AE，根据SAS可判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等可得∠2=∠ABD．再由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2 =25°+30°=55°．【考点】全等三角形的判定及性质．44.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=41°，∠2=51°，那么∠3的度数等于．【答案】10°．【解析】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°=108°，则∠3=360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2=10°．故答案为：10°．【考点】1．多边形内角与外角；2．三角形内角和定理．45.如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为 cm．【答案】3．4【解析】根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=（5－x）cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得：，解得：x=3．4【考点】折叠图形的性质、勾股定理46.计算：如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AC=DF．【答案】见解析【解析】根据FB=CE得出BC=EF，根据平行得出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，从而得出三角形全等．试题解析：∵FB=CE ∴BC=EF ∵ AB∥ED ∴∠B=∠E ∵ AC∥EF ∴∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEF ∴AC=DF【考点】三角形全等的判定及性质47.已知等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（）A．17B．15C．13D．13或17【答案】A【解析】当3为腰时，则3+3=6＜7，不能构成三角形，则等腰三角形的腰长为7，底为3，则周长为：7+7+3=17．【考点】等腰三角形的性质48.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，则PQ=___ __．【答案】2【解析】过点P作PE⊥OB，根据题意可得：∠COP=∠CPO=15°，根据外角的性质可得：∠ECP=30°，根据直角三角形的性质可得：PE=2，根据角平分线的性质可得：PQ=PE=2．【考点】角平分线的性质、直角三角形49.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两锐角相等【答案】D【解析】A可利用SAS来判定全等，故正确；B可利用AAS来判定全等，故正确；C可利用HL判定全等，故正确；D面积相等不一定退出两直角三角形全等，没有相关的判定方法，故不正确．故选D【考点】直角三角形全等的判定50.在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠A的度数为（）A．72°B．45°C．36°D．30°【答案】C【解析】根据三角形的内角和可知∠A+∠B+∠C=180°，即5∠A=180°，解得∠A=36°．故选C【考点】三角形的内角和51.如图，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE，则还需添加一个条件是．【答案】∠B＝∠C等【解析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又由AE公共边，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件为：当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．【考点】全等三角形的判定52.△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，且AD=CD=BC，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°【答案】B．【解析】试题解析：∵AB=AC，AD=CD=BC，∴∠A=∠ACD，∠B=∠ACB=∠CDB，设∠A=x°，则∠ACD=∠A=x°，∴∠B=∠ACB=∠CDB=∠A+∠ACD=2x°∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴x+2x+2x=180，∴x=36，∴∠A=36°．故选B．【考点】等腰三角形的性质．53.如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点．试说明：AF⊥CD．【答案】参见解析．【解析】连接AC、AD．利用已知条件证明△ABC≌△AED（SAS）．得出AC=AD．因为点F 是CD的中点．所以利用等腰三角形性质即可得出AF⊥CD．试题解析：连接AC、AD．在△ABC和△AED中，∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SAS）．∴AC=AD．∴△ACD为等腰三角形．∵F为CD的中点，∴AF⊥CD．【考点】1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形性质．54.（2015秋•句容市月考）已知△ABC中，∠BAC=150°，AB、AC的垂直平分线分别交BC 于E、F．求∠EAF的度数．【答案】120°．【解析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，EA=EB，FA=FC，则∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，∠EAF=∠BAC﹣∠EAB﹣∠FAC=140°﹣（∠B+∠C）．解：设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=150°∴x+y=30°．∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，∴EA=EB，FA=FC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C．∴∠EAF=∠BAC﹣（x+y）=150°﹣30°=120°．【考点】线段垂直平分线的性质．55.下面每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．3、4、5B．6、8、10C．D．5、12、13【答案】C【解析】能构成直角三角形则说明两条短的边的平方和等于长的边的平方．3²+4²=5²；6²+8²=10²；5²+12²=13²．【考点】直角三角形的判定56.已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．【答案】证明见解析.【解析】先根据∠1=∠2得出BD=CD，再由SSS定理得出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质即可得出结论．试题解析：∵∠1=∠2，∴BD=CD，在△ABD与△ACD中，∵，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC．【考点】全等三角形的判定与性质．57.如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=20米，CD=10米，求这块草地的面积．【答案】150．【解析】所求四边形ABCD的面积=S△ABE -S△CED．分别延长AD，BC交于点E，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后代入三角函数进行求解．。

初二数学几何证明与推理练习题及答案20题

初二数学几何证明与推理练习题及答案20题1. 题目：已知ABCD是一个平行四边形，证明AC=BD。

证明：由平行四边形的定义，可知AB∥CD和AD∥BC。

在ABCD中，我们连接AC和BD，假设它们的交点为E。

因为AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=180°（内错角性质）。

又由于AD∥BC，所以∠BCD+∠CDE=180°（内错角性质）。

综上，∠ABC+∠CDE=180°，即△ABC与△CDE互补。

根据互补角的性质，△ABC与△CDE全等，因此AC=BD得证。

2. 题目：已知ABCD是一个矩形，证明BD是直径。

证明：由矩形的定义，可知AB∥CD和AD∥BC。

在矩形ABCD中，我们连接角BAD的角平分线BE和角BCD的角平分线CF，它们相交于点O。

因为角BAD和角BCD都是直角（矩形的性质），所以∠BAE=∠CFO=90°。

由于角平分线的性质，∠BAE=∠CAE，∠CFO=∠CDO。

因此，在△BAE和△CFO中，∠CAE=∠CDO，且∠BAE=∠CFO。

根据AA相似三角形的性质，△BAE与△CFO相似。

因此，AE/CF=BA/CO=1/2（相似三角形的对应边比例相等）。

由此可得，CO=2AE，即CO=2BO。

由于OC=OC（公共边），所以△BOC为等腰三角形，即BO=BC。

综上所述，BD=2BO=2BC，即BD是直径。

3. 题目：已知△ABC中，AB=AC，垂直平分线BM过点B交AC于点M，证明∠ABM=∠ACM。

证明：由题意可得AB=AC，BM⊥AC，且BM平分∠ABC。

连接AM和CM。

在△ABC中，由于AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。

由垂直平分线的性质，BM平分了∠ABC，所以∠ABM=∠CBM。

同理，在△ACB中，由于AB=AC，所以∠ACB=∠ABC。

由垂直平分线的性质，BM平分了∠ACB，所以∠CBM=∠ACM。

综上所述，∠ABM=∠CBM=∠ACM得证。

人教版初二数学8年级下册第18章(平行四边形)证明题专题训练(含答案)

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形证明题专题训练1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形EBFD 是平行四边形．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF= 1AB，连接DE，AD，EF，DF．2（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，3．如图所示，ABCDF．求证：四边形AFCE是菱形．AC BD交于点,O过点O任作直线分别交4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线,AB CD于点E F,、．求证：OE OF =．5．已知：如图，在ABCD 中，,E F 是对角线BD 上两个点，且BE DF =．求证：.AE CF =6．已知：如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB 、CD 的延长线分别相交于点E 、F ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A 、E 、C 、F 为顶点的四边形是菱形？并给出证明．7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ，OE 与AB 交于点F ．（1）求证：四边形AEBO 的为矩形；（2）若OE ＝10，AC ＝16，求菱形ABCD 的面积．8．已知：如图，在ABC 中，中线,BE CD 交于点,,O F G 分别是,OB OC 的中点．求证：（1）//DE FG ；（2）DG 和EF 互相平分．9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，且AB ＝AC ，CF 是∠ACB 的角平分线交AB 于点F ，在AD 上取一点E ，使AB ＝AE ，连接BE 交CF 于点P ．（1）求证：BP ＝CP ；（2）若BC ＝4，∠ABC ＝45°，求平行四边形ABCD 的面积．10．如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，OA=OB，E、F分别是OC，OD中点．(1)求证：OD=OC．(2) 求证：四边形AFBE平行四边形．11．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE＝AF．（1）求证：CE＝CF；（2）若∠ECF＝60°，∠B＝80°，试问BC＝CE吗？请说明理由．12．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．13．如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD 和CB于点E，F连接AF，CE．（1）求证：OE＝OF；（2）求证：四边形AFCE是菱形．14．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D在AB边上一点．过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；　（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．19．在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE，EB平分∠AEC，（1）如图1，判断△BCE的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠A=90°，BC=5，AE=1，求线段BE的长．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．参考答案：1．解：证明：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形．2．（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE=12 AB，∵AF=12 AB，∴DE=AF，DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，∴EF=AD，∵AB=6，AC=8，BC=10，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∵点D是BC的中点，∴AD=12BC=5，∴EF=AD=5．3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AE FC ，AO CO =，∴EAC FCA ∠=∠，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴EF AC ⊥，在AOE △与COF 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ASA AOE COF ≌△△，∴EO FO =，∴四边形AFCE 为平行四边形，又∵EF AC ⊥，∴四边形AFCE 为菱形．4．解：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠EAO =∠FCO ，在△AEO 和△CFO 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEO ≌△CFO （ASA ），∴OE =OF ．5．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE =∠CDF ．在△ABE 和△CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CDF （SAS ）∴AE =CF ．6．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB =OD ，∵AE //CF ，∴∠E =∠F ，∠OBE =∠ODF ，在△BOE 与△DOF 中，E F OBE ODF OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE ≌△DOF （AAS ）；（2）当EF ⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OE =OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OC ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AECF 是菱形．7．解：（1）证明：∵//BE AC ，//AE BD ，∴四边形AEBO 为平行四边形，又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，∴90AOB ∠=︒，∴平行四边形AEBO 为矩形；（2）∵四边形AEBO 为矩形，∴AB ＝OE ＝10，又∵四边形ABCD 为菱形，∴AO ＝12AC ＝8，∴90AOB ∠=︒，∴6BO ==，∴BD ＝2BO ＝12，∴菱形ABCD 的面积＝12121696⨯⨯=．8．（1）在△ABC 中，∵BE 、CD 为中线∴AD =BD ，AE =CE ，∴DE ∥BC 且DE =12BC ．在△OBC 中，∵OF =FB ，OG =GC ，∴FG ∥BC 且FG =12BC ．∴DE ∥FG（2）由（1）知：DE ∥FG ，DE =FG ．∴四边形DFGE 为平行四边形．∴DG 和EF 互相平分9．解：（1）设AP 与BC 交于H ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝12BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．10．证明：（1）∵AC∥DB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC=OD；（2）∵E是OC中点，F是OD中点，∴OE=12OC，OF=12OD，∵OC=OD，∴OE=OF，又∵OA=OB，∴四边形AFBE是平行四边形．11．（1）证明：∵ABCD是菱形，∴AB ＝AD ，BC ＝CD ，∠B ＝∠D ，∵AE ＝AF ，∴AB ﹣AE ＝AD ﹣AF ，∴BE ＝DF ，在△BCE 与△DCF 中，∵BE DF B D BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△DCF ，∴CE ＝CF ；（2）结论是：BC ＝CE ．理由如下：∵ABCD 是菱形，∠B ＝80°，∴∠A ＝100°，∵AE ＝AF ，∴180100402AEF AFE ︒-︒∠=∠==︒由（1）知CE ＝CF ，∠ECF ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴∠CEF ＝60°，∴∠CEB ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠B ＝∠CEB ，∴BC ＝CE ．12．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =DC ，∠A =∠D =90°，∵M 为AD 中点，∴AM =DM ，在△ABM 和△DCM ，AM DM A D AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△DCM （SAS ）；（2）解：当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形，理由：当四边形MENF 是正方形时，则∠EMF =90°，∵△ABM ≌△DCM ，∴∠AMB =∠DMC =45°，∴△ABM 、△DCM 为等腰直角三角形，∴AM =DM =AB ，∴AD =2AB ，即当AB ：AD =1：2时，四边形MENF 是正方形．13．解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∵AC 的中点是O ，∴OA ＝OC ，在EOA △和FOC 中，AOE COF AO COEAO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()EOA FOC ASA ∴ ≌，∴OE ＝OF ；（2）∵OE ＝OF ，AO ＝CO ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 是菱形．14．证明：（1）∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBF ，∵BD平分∠ABC，∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝12∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，DF，DH，∴FH＝12∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC DH＝6，∴DF＝，∴菱形BEDF的边长为15．（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，AG=AG AB=AF ⎧⎨⎩，∴△ABG ≌△AFG （HL ）；（2）∵△ABG ≌△AFG ，∴∠BAG ＝∠FAG ，∴∠FAG ＝12∠BAF ，由折叠的性质可得：∠EAF ＝∠DAE ，∴∠EAF ＝12∠DAF ，∴∠EAG ＝∠EAF ＋∠FAG ＝12（∠DAF ＋∠BAF ）＝12∠DAB ＝12×90°＝45°；（3）∵E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝12CD ＝12×6＝3，设BG ＝x ，则CG ＝6﹣x ，GE ＝EF ＋FG ＝x ＋3，∵GE 2＝CG 2＋CE 2∴（x ＋3）2＝（6﹣x ）2＋32，解得：x ＝2，∴BG ＝2．16．（1）证明：∵DE ⊥BC ，∴∠DFB ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACB ＝∠DFB ，∴AC ∥DE ，∵MN ∥AB ，即CE ∥AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE ＝AD ；（2）解：四边形BECD 是菱形，理由是：∵D 为AB 中点，∴AD ＝BD ，∵CE ＝AD ，∴BD ＝CE ，∵BD ∥CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD ，∴四边形BECD 是菱形．17．（证明：（1）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴AB ∥DE ，AB ＝DE （平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B ＝∠EDC （两直线平行，同位角相等）；又∵AB ＝AC （已知），∴AC ＝DE （等量代换），∠B ＝∠ACB （等边对等角），∴∠EDC ＝∠ACD （等量代换）；∵在△ADC 和△ECD 中，AC ED ACD EDC DC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△ECD （SAS ）；（2）∵四边形ABDE 是平行四边形（已知），∴BD ∥AE ，BD ＝AE （平行四边形的对边平行且相等），∴AE ∥CD ；又∵BD ＝CD ，∴AE ＝CD （等量代换），∴四边形ADCE 是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC （等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC ＝90°，∴▱ADCE 是矩形．18．证明：（1）∵BF=DE ，∴BF EF DE EF -=-，即BE=DF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt △ABE 与Rt △CDF 中，AB CD BE DF =⎧⎨=⎩,∴Rt ABE Rt CDF ∆∆≌（HL ）；（2）如图，连接AC 交BD 于O ，∵Rt ABE Rt CDF ∆∆≌，∴ABE CDF ∠=∠，∴//D AB C ，∵=D AB C ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠CBE=∠AEB ，∵EB 平分∠AEC ，∴∠CBE=∠BEC ，∴CB=CE ，∴△CBE 是等腰三角形；（2）如图2中，∵四边形ABCD 是平行四边形，∠A=90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=5，在Rt △ECD 中，∵∠D=90°，ED=AD-AE=4，EC=BC=5，3AB CD ∴====，在Rt AEB 中，∵∠A=90°，AB=3．AE=1，BE ∴===20．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD CB CD AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中,AB AD BAF DAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD ，∵∠CFE=∠AFB ，∴∠AFD=∠CFE ，∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵∠BAC=∠DAC ，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.。

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AC．
D
A （ 1）求证： BG FG；
（2）若 AD DC 2，求 AB 的长．
B
G
C
E
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二：如图，已知矩形 ABCD，延长 CB 到 E，使 CE=CA，连结 AE 并取中点 F，连结 AE 并取中点 F，连结 BF、DF，求证 BF ⊥ DF。
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精品文档 k 的图象过点 D，则其 x
于点 F，一：解：（ 1
， DE⊥ AC ABC 90°
ABC AFE．
A AC AE EAF
CAB，
ABC≌△ AFE AB AF．连接 AG，
AG＝ AG,AB＝ AF， B D F
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G
E 篇二 : 《初二数学下册证明题 ( 中等难题 _含答案 ) 》
一．计算题
21
66 ( 6)6
(6x
40 39（简便计算）
4)(3x
2)
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精品文档 33
( a b)( a b)
(a
(a b c)2
b c)(a b c)
六、 (6 分 ) 、如图， P 是正方形 ABCD对角线 BD上一点， PE ⊥DC，PF⊥ BC，E、F 分别为垂足，若 CF=3,CE=4,求 AP的长 .
七、 (8 分 ) 如图，等腰梯形 ABCD中， AD∥ BC，M、 N 分别是 AD、 BC的中点， E、 F 分别是 BM、
CM的中点．
五、（本题 8 分）如图，四边形 ABCD为等腰梯形， AD∥BC， AB=CD，对角线 AC、 BD
交于点 O，且 AC⊥BD， DH⊥BC。
⑴求证： DH=
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精品文档 1
（AD+BC） 2
⑵若 AC=6，求梯形 ABCD的面积。
2xy 34
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1232
(4) ( 22) (b a)
( 2
0.25)11 222 (a b)
m4m
( 2xy) 8( x) ( y) (a
( x)
xx
b) (a b)
233232
2
(p q m)( p q m)
(2a 3b)(4a2 6ab 9b2)
25 ( 2)2 ( 2)3
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精品文档三：证明：∵四边形 ABCD是矩形
∴∠ B=∠C=∠ BAD=90° AB=CD ∴∠ BEF+∠ BFE=90°
∵ EF⊥ ED∴∠ BEF+∠ CED=90° ∴∠ BEF=∠ CED∴∠ BEF=∠ CDE 又∵ EF=ED∴△ EBF≌△ CDE ∴ BE=CD
∴ BE=AB∴∠ BAE=∠ BEA=45° ∴∠ EAD=45° ∴∠ BAE=∠ EAD ∴ AE平分∠ BAD
(x
2)(x
2)(x2
4)
x8 x4 x4
简便计算： 9982
(a2b a)2 ( ab)2 (a2 ( x 2y)2
b2)2 ( 2ab)2
(x { 初二下册数学证明题及答案 }. 解
2x (2 x) 2x 6x
2
2
1211
y z)2
(4x3y
6x2y2 xy3)
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初二下册数学证明题及答案
下文是关于初二下册数学证明题及答案相关内容，希望对你有一定的帮助：篇一 : 《初二数学下册证明题 ( 中等难题含答案 ) 》
一：已知：如图，在直角梯形 ABCD中，AD∥ BC，∠ ABC＝90°， DE⊥ AC于点 F，交 BC于点 G，交 AB 的延长线于点 E，且 AE
( 51)5 (7)6736
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(3a 4b 2c)2
(3a
2b)2 (2b 3a)2
已知 a
1
a
7,y2) (2x2
z3
)255
( 0.53)3 12
( m5)4 ( m2)7 3
1111
1992( 简便计算）
(4m2
9n2)2
8( 3mn)2
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M
D
选择题：
15、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如
图，依此规律第 10 个图形的周长为
。
……
第一个图
第二个图
第三个图
16、如图，矩形 ABCD对角线 AC经过原点 O， B 点坐标为
（― 1，― 3），若一反比例函数 y
。
B{ 初二下册数学证明题及答案 }. N
在直角三角形 AEB中， BF 是斜边上中线 ∴ BF=AF
又： AD=BC CF=CF∴△ BCF≌△ ADF ∠ BFC=∠ AFD 而∠ AFD+ ∠DFC=AFC=90∴∠ BFC+∠DFC=∠ BFD=90 ∵ BF⊥ DF
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C
Rt △ABG≌Rt △ AFG． BG FG．
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精品文档（2）解：∵ AD＝ DC,DF⊥ AC，
AF
11
2AC 2
AE．
E 30°．
FAD
E 30°， { 初二下册数学证明题及答案 }. AF
AB AF
二：证明：∵ CE=CA AF=EF ∴ CF⊥AE ∠ AFC=∠ EFC=90
（ 1）在不添加线段的前提下，图中有哪几对全等三角形？请直接写出结论；（2）判断并证明四边形 MENF是何种特殊的四边形？
（3）当等腰梯形 ABCD的高 h 与底边 BC 满足怎样的数量关系时？四边形 MENF是正方形（直接写出结论，不需要证明）．
A
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三：已知 : 如图 , 在矩形 ABCD中 ,E 、F 分别是边 BC、 AB 上的点, 且 EF=ED,EF⊥ ED.
求证 :AE 平分∠ BAD.
（第 23 题）
四、（本题 7 分）如图，△ ABC中， M是 BC的中点， AD是∠ A 的平分线， BD⊥ AD于 D，
AB=12，AC=18，求 DM的长。

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