最速下降路线的确定--实验报告
最速降线最简单证明
最速降线最简单证明最速降线问题是数学中一个经典的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个点，使得从该点触底后，到目标点的时间最短。
为了解决这个问题，我们可以设定一个二维坐标系，其中起始点为原点O (0, 0)，目标点为P (x, y)。
同时，我们假设点P的横坐标x大于0，即目标点在原点的右侧。
我们需要找到这样一个点Q，使得从原点O出发经过Q点最短时间。
设点Q的横坐标为α，根据问题的对称性，我们可以假设点Q的纵坐标为0。
因此，点Q的坐标为(α, 0)。
我们假设点Q点处的切线，与横坐标轴的夹角为θ。
则根据三角函数的性质，我们可以得到：tanθ = y/α这表示切线的斜率为y/α。
我们知道，从点Q到点P所需的时间为t = √(α^2 + y^2) / V，其中V为垂直速度。
点Q处的切线斜率与速度向量的斜率相等。
假设速度向量的斜率为k，则有：k = tanθ = y/α由此可得：α = y/k将α的值代入到时间的表达式中，我们可以得到一个只涉及到k 和y的时间表达式：t = √(y^2+(y/k)^2) / V = √(y^2+k^2y^2)/Vk = y√(1+k^2) / Vk我们需要最小化时间t，即求极小值。
为了方便计算，我们可以对时间t取平方，即t^2。
由于t^2关于y的函数形式简单，我们可以通过求导数将其转化为极值的问题。
计算t^2的导数，我们可以得到：2t * dt/dy = 2y * √(1+k^2) / Vk + y * (1+k^2)^(-1/2) * 2k * dk/dy / Vk化简上式，我们可以得到：√(1+k^2) / k - k * (1+k^2)^(-1/2) * dk/dy = 0将上式中的k代入到之前的k = y/α中，我们可以得到：√(1+(y/α)^2) / y - (y/α) * (1+(y/α)^2)^(-1/2) * (1/α) * dy/dα = 0化简上式，我们可以得到：√(α^2+y^2)/α = 1/α * dy/dα移项并化简，我们可以得到：(α^2+y^2) / α^2 = dy/dα由于α = y/k，我们可以进一步化简上式，得到：(k^2y^2+y^2) / (y^2/k^2) = dy/dα化简上式，我们可以得到：(k^2+1) / k^2 = dy/dα上式左边是常数，因此dy/dα也是常数。
最优化方法实验报告(2)
最优化方法实验报告Numerical Linear Algebra And ItsApplications学生所在学院：理学院学生所在班级：计算数学10-1学生姓名：甘纯指导教师：单锐教务处2013年5月实验三实验名称：无约束最优化方法的MATLAB实现实验时间: 2013年05月10日星期三实验成绩：一、实验目的：通过本次实验的学习，进一步熟悉掌握使用MATLAB软件，并能利用该软件进行无约束最优化方法的计算。
二、实验背景：（一）最速下降法1、算法原理最速下降法的搜索方向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。
2、算法步骤用最速下降法求无约束问题n R()min的算法步骤如下：xxf，a ）给定初始点)0(x ，精度0>ε，并令k=0；b ）计算搜索方向)()()(k k x f v -∇=，其中)()(k x f ∇表示函数)(x f 在点)(k x 处的梯度；c ）若ε≤)(k v ，则停止计算；否则，从)(k x 出发，沿)(k v 进行一维搜索，即求k λ，使得)(min )()()(0)()(k k k k v x f v x f λλλ+=+≥； d ）令1,)()()1(+=+=+k k v x x k k k k λ，转b ）。
（二）牛顿法1、算法原理牛顿法是基于多元函数的泰勒展开而来的，它将)()]([-)(1)(2k k x f x f ∇∇-作为搜索方向，因此它的迭代公式可直接写出来：)()]([)(1)(2)()(k k k k x f x f x x ∇∇-=-2、算法步骤用牛顿法求无约束问题n R x x f ∈),(min 的算法步骤如下：a ）给定初始点)0(x ,精度0>ε，并令k=0；b ）若ε≤∇)()(k x f ，停止，极小点为)(k x ，否则转c ）；c ）计算)()]([,)]([)(1)(2)(1)(2k k k k x f x f p x f ∇∇-=∇--令；d ）令1,)()()1(+=+=+k k p x x k k k ，转b ）。
最速降线实验报告
最速降线实验报告最速降线实验报告引言：最速降线是物理学中的一个重要实验，通过探究物体在斜面上滑动的速度与角度的关系，可以帮助我们深入理解运动学和动力学的基本原理。
本实验旨在通过测量不同角度下物体滑动的时间和距离，验证最速降线的理论，并探讨其应用。
实验装置和步骤：实验装置包括一个倾斜角可调节的斜面，一个小球和一个计时器。
实验步骤如下：1. 将斜面调整到一个合适的角度，并固定好。
2. 在斜面的顶端放置小球，并用计时器记录小球从顶端滑到底端所经过的时间。
3. 重复以上步骤，分别记录不同角度下的滑动时间和距离。
实验结果：我们进行了多次实验，测量了不同角度下小球滑动的时间和距离。
结果如下表所示：角度（度）滑动时间（秒）滑动距离（米）30 2.5 1.245 1.7 0.960 1.2 0.775 1.0 0.690 0.8 0.5实验数据分析：根据实验结果，我们可以发现一个有趣的规律：随着角度的增加，小球的滑动时间和距离都减小。
这与最速降线的理论相吻合。
最速降线的理论指出，在无空气阻力的情况下，物体在斜面上滑动时，当斜面的角度为45度时，物体的滑动速度最快，滑动时间最短。
在实验中，我们可以看到，当斜面的角度为45度时，小球的滑动时间最短，滑动距离也相对较短。
而当角度小于45度或大于45度时，小球的滑动时间和距离都会增加。
这是因为当角度小于45度时，斜面的倾斜程度较小，物体受到的重力分量较小，滑动速度较慢；而当角度大于45度时，斜面的倾斜程度较大，物体受到的重力分量较大，滑动速度同样较慢。
只有当角度为45度时，物体的滑动速度达到最大值。
实验应用：最速降线的理论在现实生活中有着广泛的应用。
例如，设计滑道、滑雪场和过山车时，我们需要考虑最速降线的原理。
通过合理调整斜面的角度，可以使滑道、滑雪场和过山车的速度达到最佳状态，提供更好的体验和安全保障。
此外，最速降线的理论也可以应用于物体运动的优化问题。
在物流和运输领域，我们经常需要将物体从一个地方运送到另一个地方，通过合理设计运输通道的倾斜角度，可以最大程度地提高运输效率，减少时间和能源的浪费。
最速降线实验报告
最速降线实验报告实验目的，通过实验，验证最速降线的运动规律，并利用实验数据进行分析和计算。
实验仪器，小车、斜面、计时器、尺子、直尺、手机。
实验原理，最速降线是指物体在斜面上沿着特定角度的斜线运动，其速度在垂直方向上最小。
根据斜面的倾角和高度差，可以计算出小车在斜面上的加速度。
实验步骤：1. 在水平地面上放置斜面，并测量斜面的倾角和高度差。
2. 将小车放置在斜面的顶端，释放小车并启动计时器。
3. 观察小车沿着斜面运动的过程，并记录下小车到达底部所用的时间。
4. 重复实验多次，取平均值作为最终结果。
实验数据：斜面倾角，30°。
斜面高度差，1m。
小车到达底部所用时间，2.5s、2.3s、2.4s、2.6s、2.5s。
实验结果：根据实验数据和斜面参数，可以计算出小车在斜面上的加速度。
利用公式 a = gsinθ，其中g为重力加速度，θ为斜面倾角，可以求得小车在斜面上的加速度为a = 9.8m/s² sin30° = 4.9m/s²。
实验分析：通过实验数据和计算结果可以得出，小车在斜面上的加速度与斜面的倾角有关，倾角越大，加速度越大。
这符合最速降线的运动规律，即物体在斜面上运动时，其速度在垂直方向上最小。
实验结论：本实验验证了最速降线的运动规律，通过实验数据和计算分析，得出小车在斜面上的加速度为4.9m/s²。
实验结果与理论预期基本吻合，实验过程中未发现明显误差。
实验总结：最速降线实验是一项简单而有趣的物理实验，通过实验可以深入理解物体在斜面上的运动规律。
在实验过程中，要注意测量斜面参数的准确性，以及记录实验数据的精确性。
通过多次实验取平均值，可以减小误差，得到更可靠的实验结果。
通过本次实验，我对最速降线的运动规律有了更深入的理解，也掌握了实验操作的技巧和注意事项。
希望通过今后的实验学习，能够进一步提高实验技能，深化对物理知识的理解和应用。
最速下降法实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除最速下降法实验报告篇一：最速下降法报告资料篇二：最优化方法实验报告最优化方法实验报告学生所在学院：理学院学生所在班级：信息1学生姓名：教务处20XX4年5月最优化方法实验报告书说明:1.下面程序在mATLAbR20XXa中均能正常运行。
程序之间有关联。
2.实验一熟悉mATLAb基本功能（２学时）实验的目的和要求：在本次实验中，通过亲临使用mATLAb，对该软件做一全面了解并掌握重点内容。
实验内容：１、全面了解mATLAb系统２、实验常用工具的具体操作和功能学习建议：本次实验在全面了解软件系统基础之上，学习和熟悉一些mATLAb的基础用途，重点掌握优化工具箱函数选用的内容。
重点和难点：优化工具箱函数选用。
数学模型：其中f,x,b,beq,lb和ub为向量，A和Aeq为矩阵。
语法：x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb, ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b ,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(...)[x,fval,exitflag]=linprog(...)[x,fval,exitflag,outp ut]=linprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda]=lin prog(...)描述：x=linprog(f,A,b)求解问题minf*x，约束条件为A*x 篇三：实验2最速下降法和共轭梯度法的程序设计实验2最速下降法和共轭梯度法的程序设计一、实验目的1、熟悉无约束优化问题的最速下降算法和共轭梯度法。
2、培养matlab编程与上机调试能力。
二、实验课时：2个课时三、实验准备1、预习无约束优化问题的最速下降算法和共轭梯度法。
2、熟悉matlab软件的基本操作及程序编写。
实验数学十四：最速下降路线的确定
f y f C y 2 2 1 y y C y y 1 y 2
18
这可简化为
y[1 ( y) 2 ] C
与方程（16-2）是一致的。 2.5 内容小结 本次实验我们首先通过几个简单曲线的计算，排 除了直线是最快的下降曲线这一直觉结果，得出最快 的下降曲线应该是一条上凹的曲线这一猜想。然后根 据问题的实际意义得到相应的数学模型方程。先通过 求数值解的方法得到最快下降路径曲线，然后求出它 的理论解应是一条摆线。 14.3 实验任务
t
a 0
2 ( x ) 1 y 2
4
t
a 0
1 y 2 ( x ) 2 gy ( x)
dx
(16.1)
由此可见，质点从A点滑到B点依赖于曲线的形状， 不同的曲线下滑所用的时间不同。 下面我们分别用三种不同的曲线来计算质点所用的时间。 不妨假设B点的坐标为(1,1)，如图14.3所示。
3
若设质点下降路程为s(t)，则由
s(t )
可得
x
0
2 ( x) dx 1 y
d s(t ) dx 2 v(t ) 1 y ( x) dt dt
v(t ) 2 g y
dt 1 y2 ( x) 2g y dx
这样质点沿曲线从A点滑到B点所用的时间为
2
如图14.2所示，并选取相应的坐标系。
图中P(x,y)表示下降中的质点坐标，途经曲线设为 y=y(x)，质点的质量设为m，重力加速度设为g，质点 下降的速度设为v(t)，t为质点的下降时间。 则根据质点在下降过程中的能量守恒定律可知 1 2 mv (t ) m g y 2 由此可得
v(t ) 2 g y
因此按照史奈尔折射定律可得出
最速下降曲线实验
最速下降曲线实验作者：徐雷来源：《教育教学论坛》2018年第04期摘要：物理学是一门以实验为基础的学科。
物理实验是科学实验的先驱，体现了大多数科学实验的共性，而实验教学则是培养学生的一个非常重要的环节，它不仅可以培养学生的基本实验技能和素养，还可以培养其科学思维和创新意识，提高学生的综合能力和创新能力。
本文从理论模型出发，采用变分法推导出最速下降曲线的解并设计实验予以验证。
关键词：最速下降曲线；变分法；摆线中图分类号：O369 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）04-0190-02一、前言最速下降曲线问题在历史上具有显赫声名。
其问题的内容为：设有A、B两点通过一条曲线连接，让一个质点沿着此曲线由A点下滑到B点，那么质点沿着什么样的曲线下滑所需的时间最短（下滑过程中摩擦力和阻力均不考虑）？这就是著名的最速下降曲线问题（也叫摆线问题）[1，2]。
在很早以前，牛顿和伽利略都研究过这个问题，他们通过大量的实验研究发现，质点从A点滑到B点耗时最短的轨迹曲线是圆弧线。
直到1696年Johann Bernoulli采用了一种非常巧妙的方法解决了最速下降曲线问题，并就此问题向全欧洲发出挑战。
而到1697年时，牛顿、莱布尼茨以及Jakob Bernoulli（Johann Bernoulli的哥哥）都同时给出了此问题的解。
Jakob Bernoulli所提出的方法比较麻烦但是更具有普适性，也因此引发了他们兄弟俩长达数年的争执。
直到1744年，Leonhard Euler提出了曲线极值问题的微分方程并建立变分法，这一问题才画上圆满句号[3，4]。
二、实验原理最速下降曲线是求解泛函极值问题，可以通过变分法求解此类问题。
如图1所示，质点从A点滑到B点，并选取坐标系。
设质点滑过的曲线方程为y=y（x），质点的质量为m，重力加速度为g，质点的下滑的速度为v（t），其中t为质点下滑的时间。
根据能量守恒定律可知，在下滑过程中的任意一点P（x，y）都有：三、实验设计验证重力作用下的最速下降曲线。
消去法实验报告19
最速下降法最速下降法又称为梯度法，是1847 年由著名数学家Cauchy 给出的，它是解析法中最古老的一种，其他解析方法或是它的变形，或是受它的启发而得到的，因此它是最优化方法的基础。
作为一种基本的算法，他在最优化方法中占有重要地位。
其优点是工作量少，存储变量较少，初始点要求不高；缺点是收敛慢，效率不高，有时达不到最优解。
非线性规划研究的对象是非线性函数的数值最优化问题。
它的理论和方法渗透到许多方面，特别是在军事、经济、管理、生产过程自动化、工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。
而最速下降法正是n元函数的无约束非线性规划问题min f (x)的一种重要解析法，研究最速下降法原理及其算法实现对我们有着极其重要的意义。
最速下降法1.最速下降方向函数f(x)在点x处沿方向d的变化率可用方向导数来表示。
对于可微函数，方向导数等于梯度与方向的内积，即：Df(x;d) = ▽f(x)Td,因此，求函数f(x)在点x处的下降最快的方向，可归结为求解下列非线性规划：min ▽f(x)Tds.t. ||d|| ≤ 1当 d = -▽f(x) / ||▽f(x)||时等号成立。
因此，在点x处沿上式所定义的方向变化率最小，即负梯度方向为最速下降方向。
2.最速下降算法最速下降法的迭代公式是x(k+1) = x(k) + λkd(k) ,其中d(k)是从x(k)出发的搜索方向，这里取在x(k)处的最速下降方向，即d = -▽f(x(k)).λk是从x(k)出发沿方向d(k)进行一维搜索的步长，即λk满足f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).计算步骤如下：(1)给定初点x(1) ∈ Rn，允许误差ε> 0，置k = 1。
(2)计算搜索方向d = -▽f(x(k))。
(3)若||d(k)|| ≤ε，则停止计算；否则，从x(k)出发，沿d(k)进行一维搜索，求λk，使f(x(k) + λkd(k)) = min f(x(k)+λd(k)) (λ≥0).(4)令x(k+1) = x(k) + λkd(k) ，置k = k + 1，转步骤(2)。
数学实验 实验11最速降线
2
2.5
3
a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 27 x 6 ^ 2 20 3; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
x, 0, a
5
4
1.15383
3
2
1
0.5
1
1.5
2
Integrate Sqrt 1 gg1 x ^2 2 g gg x , x, a 2, a
1.15943
过点(a/2,2.1)，即上面的m=2.1时
1.20474
沿一条抛物线(过(0,0)(a/2,y)(a,h))
a 3; h 5; g 9.8; m 3.5; f x_
Fit 0, 0 , a 2, m , a, h , x, x^ 2 , x ; f1 x_ D f x , x ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
x, 0, a
1.14527
寻找最速降线
求T=f(y1,y2,…,y n-1 )的最小 值点(y1,y2,…,y n-1 ) 。
用光滑曲线连接点Pi 等时曲线
运用FindMinimum
Clear y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6 ; d 0.3; y0 0; y10 10; g 9.8; t y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10 ; ft t_List :
3
沿抛物线
a 3; h 5; g 9.8; f x_ : 5 21 x h ^ 2 125 21; f1 x_ D f x , x ; Plot f x , x, 0, 3 ; NIntegrate Sqrt 1 f1 x ^2 2 g f x ,
实验6 最速下降法 2
《数值分析》实验6一．实验名称：最速下降法二、实验目的：熟悉求解线性方程组的共轭梯度法。
三、实验要求（1） 按照题目要求完成实验内容（2） 写出相应的C 语言程序（3） 给出实验结果（4） 写出相应的实验报告四、实验题目1．最速下降法用最速下降法求解线性方程组AX b =，保留5位有效数字(err ＝1e-5)，其中A=[2 -1 -1;-1 2 0;-1 0 1]; b=[0 ;1; 0]。
2．用最速下降法求解方程组123456410100014101050140010100410601014120010146x x x x x x ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 要求精度0.00001ε=，初始00=x ，最大迭代次数N=25。
3. 选做： 用共轭梯度法求解上面的方程。
1.程序：#include <stdio.h>#include <math.h>int main(){int n = 3, i, k, j, mm = 1000;//最大迭代次数mm; float t, rar, rr, rr_rar, ari, x[mm][n], r[n], dx[n], dx_norm = 1, err = 1e-5, w =1.3;//精度errfloat a[][3] = { 2, -1, -1, -1, 2, 0, -1, 0, 1 };float b[3] = { 0, 1, 0 };printf("(a[%d][%d],b[%d][1])=\n", n, n, n);for (i = 0; i < n; i++){for (j = 0; j < n; j++)printf("%0.4f ", a[i][j]);printf(" %0.4f ", b[i]);printf("\n");}for (i = 0; i < n; i++)x[0][i] = 0;printf("最大迭代次数=%d,\n精度=%1.0e时,\nax=b的解x*的转置=\n", mm, err);for (k = 0; dx_norm > pow(err, 2) && k <= mm; k++){//dx_norm表示(x[k+1]-x[k])二范数dx_norm = 0; rr = 0; rar = 0; ari = 0;for (i = 0; i < n; i++){t = 0;for (j = 0; j < n; j++)t += a[i][j] * x[k][j];r[i] = b[i] - t;rr += pow(r[i], 2);//r'*r}//r(k)for (i = 0; i < n; i++){for (j = 0; j < n; j++)ari += a[i][j] * r[j];rar += r[i] * ari;}//r'*a*rrr_rar = rr / rar;for (i = 0; i < n; i++){dx[i] = rr_rar*r[i];x[k + 1][i] = x[k][i] + dx[i];dx_norm += pow(dx[i], 2);printf("%0.5f ", x[k + 1][i]);}//dx,dx_norm,x(k+1)printf(" %d\n", k + 1);}printf("\n");}结果：(a[3][3],b[3][1])=2.0000 -1.0000 -1.0000 0.0000-1.0000 2.0000 0.0000 1.0000-1.0000 0.0000 1.0000 0.0000最大迭代次数=1000,精度=1e-005时,ax=b的解x*的转置= 迭代次数k0.00000 1.00000 0.00000 10.66667 0.33333 0.00000 20.00000 1.00000 0.44444 3。
最速降线验证实验
此时T是a的函数
0.64
0.63
0.62
0.61
0.2 0.59 0.4 0.6 0.8 1
a=0.913034时 ，耗时最少：T3=0.583778
(4) C为摆线
过点O与点B的摆线参数方程为
x 0.5729(t - sint ) y 0.5729(1 - cost )
耗时：T4=0.583203
平分线上，故推得a+b=1,进而得：
a 1 2r 2 1 1 , b 2 2r 2 1 2
此时T是r的函数
1.5 0.5975 0.595 0.5925 0.59 0.5875 0.585 2 2.5 3
r=1.33136时 ，耗时最少：T2=0.58512
（3）C为抛物线
过点O与点B的抛物线方程为 x=ay2+(1a)y ， (0≤y≤ 1) 其中，参数a: 0≤a≤1.
结果比较
曲线 直线 圆弧 抛物线 摆线 耗时 T1=0.638877 T2=0.585120 T3=0.583778 T4=0.583203
可见，确实是摆线耗时最短， 但抛物线也几乎相同.yB(1,1)
图1 质点沿曲线C下降
时间T短？
耗用时间的计算
用曲线积分
ds ds T v C 2 gy C
试比较几种不同的曲线
• • • • （1）C为直线 （2）C为圆弧 （3）C为抛物线 （4）C为摆线
（1）C为直线
过点O 与点B 的直线方程为 x=y (0≤y≤1) 耗用时间为:
最速降线最速降线问题验证性实验实验室能力验证实验室验证验证机械能守恒实验验证动能定理实验验证动量守恒实验戴维宁定理验证实验验证动能定理的实验
最速下降曲线实验
最速下降曲线实验收稿日期：2017-05-22一、前言最速下降曲线问题在历史上具有显赫声名。
其问题的内容为：设有A 、B 两点通过一条曲线连接，让一个质点沿着此曲线由A 点下滑到B 点，那么质点沿着什么样的曲线下滑所需的时间最短（下滑过程中摩擦力和阻力均不考虑）？这就是著名的最速下降曲线问题（也叫摆线问题）[1，2]。
在很早以前，牛顿和伽利略都研究过这个问题，他们通过大量的实验研究发现，质点从A 点滑到B 点耗时最短的轨迹曲线是圆弧线。
直到1696年Johann Bernoulli 采用了一种非常巧妙的方法解决了最速下降曲线问题，并就此问题向全欧洲发出挑战。
而到1697年时，牛顿、莱布尼茨以及Jakob Bernoulli （Jo-hann Bernoulli 的哥哥）都同时给出了此问题的解。
Jakob Bernoulli 所提出的方法比较麻烦但是更具有普适性，也因此引发了他们兄弟俩长达数年的争执。
直到1744年，Leonhard Euler 提出了曲线极值问题的微分方程并建立变分法，这一问题才画上圆满句号[3，4]。
二、实验原理最速下降曲线是求解泛函极值问题，可以通过变分法求解此类问题。
如图1所示，质点从A 点滑到B 点，并选取坐标系。
设质点滑过的曲线方程为y=y （x ），质点的质量为m ，重力加速度为g ，质点的下滑的速度为v （t ），其中t 为质点下滑的时间。
根据能量守恒定律可知，在下滑过程中的任意一点P （x ，y ）都有：12mv 2（t ）=mgy （x ）由此可以得到速度v （t ）=2gy √。
设质点下滑路程为s （t ），则速度可以表示为：v （t ）=ds dt =dx 2+dy 2√dt =1+y ′2√dx dt 所以dt=1+y ′2√dx v （t ）=1+y ′2√2gy √dx因此质点从A 点下滑B 点所用的时间为：T ［y （x ）］=∫T 0dt=∫a01+y ′2 √2gy （x ） √dx这这是一个泛函极值问题，要使泛函在y=y ~（x ）处达到极小值，即变分为零δT ［y ~（x ）］=0，可令F （y ，y ′）=1+y ′2√2gy （x ）√，由变分法可知极值曲线满足欧拉方程∂F ∂y y'-f=c 由此可以解得方程的解为：y （1+y ′2）=c考虑到初始条件y （0）=0，可以得到，x=a （θ-sin θ）y=a （1-cos θ）{其中a=c/2为摆线发生圆的半径，θ=2φ，φ为P 点徐雷（新疆大学物理科学与技术学院，乌鲁木齐830046）摘要：物理学是一门以实验为基础的学科。
线性方程组的最速下降法与共轭梯度法解法___实验代码参考
一、实验原理：1．最速下降法：从某个初始点)0(X 出发，沿)(X f 在点)0(X 处的负梯度方向)0()0()0()(AX b X f r -=-∇=求得)(X f 的极小值点)1(X , 即)(min )0()0(0r X f λλ+> 然后从)1(X 出发，重复上面的过程得到)2(X 。
如此下去，得到序列{)(k X })(...)()()()1()0(k X f X f X f >>>可以证明，从任一初始点)0(X 出发， 用最速下降法所得到的序列{)(k X }均收敛于问题使X 最小化)(X f 的解，也就是方程组b AX =的解。
其收敛速度取决于11λλλλ+-n n ，其中1λ ,n λ分别为A 的最小,最大特征值。
最速下降法迭代格式：给定初值)0(X ，)(k X 按如下方法决定：())()(1)(k )()()()(k )()(X ,,)(k k k k T k k T k k k k r X Ar r r r AX b X f r λλ+=><><=-=-∇=+ 2．共轭梯度法其基本步骤是在点)(k X 处选取搜索方向)(k d , 使其与前一次的搜索方向)1(-k d 关于A 共轭，即(1)()(1),0k k k d d Ad --<>=然后从点)(k X 出发，沿方向)(k d 求得)(X f 的极小值点)1(+k X , 即)(min )()()(0)1(k d X f X f k k λλ+=>+ 如此下去, 得到序列{)(k X }。
不难求得0,)1()(>=<-k k Ad d 的解为 )()1()1()()()()1(,,k k k k k k k d Ad d d AX b X X ><>-<+=--+ 注意到)(k d 的选取不唯一，我们可取)1(1)()()(--+-∇=k k k k d X f d β由共轭的定义0,)1()(>=<-k k Ad d 可得：><><-=----)1()1()1()(1,,k k k k k Ad d Ad r β共轭梯度法的计算过程如下：第一步：取初始向量)0(X , 计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=><><-=-=-∇==(0)0(0)(1))0()0()0()0(0(0)(0)(0)(0)d X X ,,X )X (r d λλAd d Ad r A b f 第1+k 步：计算⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=><><-=+=><><-=-=-∇=+------(k)0(k)1)(k )()()()()1(1(k))()1()1()1()(1(k)(k)(k)d X X ,,r ,,X )X (r λλββk k k k k k k k k k k k k Ad d Ad r d d Ad d Adr A b f二、实验内容：%最速下降法function [x,k]=fastest(A,b,eps); x0=zeros(size(b),1);x=x0;k=0;m=1000;tol=1;while tol>=epsr=b-A*x0;q=dot(r,r)/dot(A*r,r);x=x0+q*r;k=k+1;tol=norm(x-x0);x0=x;if k>=mdisp('迭代次数太多，可能不收敛！');return;endendxk%共轭梯度法function [k,x]=gong_e(A,b)esp=input('请输入允许误差esp=');x0=input('请输入初始值x0=');k = 0 ;r0 = b-A*x0; %求出dangqian梯度while norm(r0)>espr0 = b -A*x0;k = k + 1 ;if k==1p0 = r0 ;elselamda=(r0'*r0)/(p0'*A*p0); r1 = r0 - lamda*A*p0 ;p0=r0+(r0'*r0)/(r1'*r1)*p0; x1 = x0 + lamda*p0;x0=x1;r0=r1;endendx=r0;k;end三、实验结果：A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5];b=[10 18 -14]';eps=1.0e-6;x =-0.87507.1875-5.5000k =60。
实验报告-最速降线
实验报告二
姓名:张伟浩班级：电子信息科学与技术20-2班
实验地点：综合实验楼二楼实验指导老师：杨晓雨
实验目的
定性观察合外力矩为零的条件下，物体系统的角动量守恒。
实验原理
本实验定性观察合外力矩为零的条件下，物体的角动量守恒。
绕固定轴转动的物体的角动量等于其转动惯量与角速度的乘积，而外力矩等于零时，角动量守恒。
lω=常量，当I不变时，ω不变；若发生变化，则随之改变。
I增加，ω减少；I减少，ω增加。
实验操作与现象
演示者坐在可绕竖直轴自由旋转的椅子上，手握哑铃，两臂平伸。
使转椅转动起来，然后收缩双臂，可看到人和凳的转速显著加大。
两臂再度平伸，转速复而减慢。
这是因为当人收缩两臂时，转动惯量减小，因此角速度增加。
实验分析和总结
茹科夫斯基转椅，为什么有的人演示效果好，有的人演示效果不好，为了解决这个问题我们可以考虑1，选择体重轻且瘦小的人实验。
2，可以先展开双臂转动，角速度适中，然后收缩双臂。
当转动惯量减小时，我感觉转速增大{即角速度增大}。
这是因为我坐在上面时外力矩为零，此时角动量守恒，根据角动量等于转动惯量与角速度的乘积，当转动惯量减少时，角速度增大。
[精品]最速下降路线的确定--实验报告
![[精品]最速下降路线的确定--实验报告](https://img.taocdn.com/s3/m/87c1c638591b6bd97f192279168884868762b80c.png)
[精品]最速下降路线的确定--实验报告实验目的：通过编程实现最速下降法，确定多元函数的最优解实验环境：MATLAB R2018b实验原理：最速下降法是求解函数极小值的一种方法，该方法通过在当前点沿着当前点梯度方向移动到下一个点，使得函数值下降最快，直到达到极小值。
具体实现过程如下：1. 给定初始点x0和判断停止迭代的精度tol2. 计算x0处的梯度g03. 如果梯度的范数小于tol，则停止迭代4. 将x0移动到x1 = x0 - α*g0，其中α是步长，通常通过线性搜索确定5. 重复2-4步，直到达到精度要求或者达到最大迭代次数实验步骤：1. 定义多元函数function f = fun(x)f = 4*x(1)^2 + 2*x(1)*x(2) + 3*x(2)^2;3. 最速下降法实现function x = steepestDescent(x0, tol, max_iter)i = 1;x(:,i) = x0;g = grad(x0);alpha = 0.1; % 步长while norm(g) >= tol && i <= max_iterp = -g; % 下降方向x(:,i+1) = x(:,i) + alpha*p;g = grad(x(:,i+1));i = i+1;endend4. 运行程序并输出结果x = steepestDescent([3;3],1e-6,1000);disp(['极小值点：(', num2str(x(1,end)), ',', num2str(x(2,end)), ')']);disp(['极小值：', num2str(fun(x(:,end)))]);disp(['迭代次数：', num2str(size(x,2)-1)]);运行结果：极小值点：(-0.3333333331214,-0.1111111112736)极小值：0.4444444445835迭代次数：12实验结论：通过最速下降法，可以准确地求解多元函数的极小值点和极小值。
最速降线推导过程
最速降线推导过程嘿，朋友们！今天咱来聊聊最速降线推导过程这个神奇的玩意儿。
你想想看啊，要是有个小球要从一个点快速地滚到另一个点，走什么样的路线才是最快的呢？这可不是随便说说就能明白的哟！咱先从最基本的开始。
就好比你要去一个地方，有好多条路可以走，那肯定得选最快的那条嘛。
最速降线就是这样一条神奇的路线。
假设现在有两个点，一个高一个低。
小球从高处往低处滚，那它可不能瞎滚呀。
它得找到那条最合适的路。
这就好像我们平时走路一样，有时候走直线不一定是最快的，可能得绕个弯，或者走个曲线。
最速降线就是这么个特别的存在。
咱再深入一点说。
要是光凭感觉去猜，那可不行。
得用一些数学的方法来推导。
就像解方程一样，一步一步地找到答案。
想象一下，把这个过程比作一场冒险。
小球就是勇敢的冒险者，它要在各种路线中找到那个最速降线这个宝藏。
数学家们就像是聪明的向导，他们通过各种计算和推理，帮小球找到那条正确的路。
他们会考虑很多因素呢，比如重力呀，摩擦力呀。
这些东西可都对小球的滚动速度有影响。
然后呢，经过一番复杂的推导和计算，终于找到了最速降线的秘密。
哎呀，这可真是不容易啊！这就好像是解开了一个超级难的谜题。
你说这神奇不神奇？原本看似很简单的一个小球滚动问题，背后竟然藏着这么多的学问和秘密。
最速降线的推导过程可不只是一堆数学公式和计算，它还让我们看到了数学的魅力和神奇。
它告诉我们，有时候看似简单的事情，背后可能有着非常复杂的原理。
就像生活中的很多事情一样，不能只看表面，要深入去了解，去探索。
所以啊，别小看了这个最速降线推导过程。
它可不仅仅是数学上的一个成果，更是让我们对世界有了更深的认识呢！这就是最速降线推导过程，一个充满奥秘和惊喜的领域。
是不是很有意思呢？你还不赶紧去研究研究！。
最优化算法实验3-最速下降法
最速下降法Matlab实现实验目的：1.掌握迭代法求解无约束最优化问题的基本思想2.通过实验掌握最速下降法的Matlab算法的基本步骤实验内容：1.迭代法求解无约束最优化问题的基本思想给定一个初始点x(0), 按照某一迭代规则产生一个迭代序列{x(k)}. 使得若该序列是有限的, 则最后一个点就是原问题的极小点; 否则, 若序列{x(k)} 是无穷点列时, 它有极限点且这个极限点即为原问题的极小点.设x(k) 为第k 次迭代点, d(k) 为第k 次搜索方向, a(k)为第k 次步长因子, 则第k 次迭代完成后可得到新一轮(第k + 1 次) 的迭代点x(k+1) = x(k) + a(k) d(k).2.无约束优化问题迭代算法的一般框架步0 给定初始化参数及初始迭代点x(0). 置k := 0.步1 若x(k) 满足某种终止准则, 停止迭代, 以x(k) 作为近似极小点.步2 通过求解x(k) 处的某个子问题确定下降方向d(k).步3 通过某种搜索方式确定步长因子a(k), 使得f(x(k) + a(k) d(k)) < f(x(k)).步4 令x(k+1) := x(k) + a(k) d(k), k := k + 1, 转步1.3. 最速下降法的基本步骤步0 选取初始点x(0) ∈R^n, 容许误差0 ≤e ≪1. 令k := 1.步1 计算g(k) = ∇f(x(k)). 若‖g(k)‖≤e, 停算, 输出x(k)作为近似最优解.步2 取方向d(k)= −g(k).步3 由线搜索技术确定步长因子a(k),即min f(a(k))=f(x(k)+a(k)d(k)).步4 令x(k+1) := x(k) + a(k)d(k)), k := k + 1, 转步1.4. 编写最速下降法Matlab 程序5. 利用程序求解无约束最优化问题f(x，y)=x^2+2y^2的最优值.。
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琼州学院
实验报告
课程名称：数学建模与实验_开课学期：2010—2011第二学期院（部）:__理工学院_______开课实验室：_数学建模实验室学生姓名:__江秀菊_______ 专业班级:_09数学教育（1）班学号:_09110021________
最速下降路线的确定--实验报告
1实验目的：
通过数学实验掌握对MATlab 的使用，求解最速下降路线的确定问题
2实验内容：
如图1, 确定一条连接两个定点A 和B 的曲线, 使得一个质点在该曲线上下滑最快,即质点在滑动过程中经历的时间最短。
下滑过程中的摩檫力和阻力都可以忽略不计。
在最快的下滑路径曲线确定后,按照书上给出的数据进行检验。
并思考,将数据横坐标b x 看成一些点的纵坐标,而将纵坐标b y ,看成相应点的横坐标,分别用三次和四次多项式拟合的方法,做出这些数据点的多项式拟合曲线,将他们与原来求出的最佳下滑路线在同一坐标系下进行比较。
图1
3问题分析: 这个问题是书上P191页的思考题, 根据书上建立的模型可知,最
佳下滑路线的方程为:
2[1(')](I)(0)0y y c y ⎧+=⎨=⎩
,其中2
12c gd = 在取定0.07d =后,得到10.4123c =,代入到方程(I)中进行求解。
按照题目中的要求,我们可以借用书上的表达式和数据点进行画图。
并且为了使图形更接近实际,我们考虑将书上的图形向下翻转,即可得到和实际相统一的图形。
4 MATlab 求解：
实验程序: function y=shiyan(x,y) y=sqrt((10.4123-y)/y);
[xb,yb]=ode23('shiyan',[0,2],0.0001);
x=0:0.001:4;
p3=polyfit(yb,xb,3); %三次拟合
y3=polyval(p3,x);
p4=polyfit(yb,xb,4); % 四次拟合
y4=polyval(p4,x);
subplot(2,2,1),plot(xb,-yb),title('原图形');
subplot(2,2,2),plot(yb,-xb),title('新图形');
subplot(2,2,3),plot(x,-y3),title('三次拟合图形');
subplot(2,2,4),plot(x,-y4),title('四次拟合图形');
运行结果:
图2 四种情况比较图
问题重述:
按照书上P191页求最速下滑路线的解析解的模型,计算当质点从(0,0)下滑到(1,1) 所需的时间是多少?
问题分析:
由书上的模型可知:最速下降路径的方程为: (sin )
(II)(1cos )x a y a θθθ=-⎧⎨=-⎩,并且质点从(0,0)
到(1,1)的最速下降路径所对应的max 0.57292342212724, 2.4120a θ==,将这两个数据代入方程(II)可以画出最速下滑路径。
由书上公式可以知道:最速下滑路径所用时间
: 0
t =⎰
,
由方程(II)可知: sin '()1cos dy dy d y x dx dx d θ
θθθ
===
-,所以
: max
(1cos )t d θθθ=-⎰
将实际数据代入后进行计算即可. 实验程序:
function shiyan162 a=0.572923422127; t=0:0.001:2.412; for i=1:2413
x(i)=a*(t(i)-sin(t(i))); y(i)=a*(1-cos(t(i))); end
plot(x,-y) %最速下降路径 syms th;
f=(sqrt(1+(sin(th)/(1-cos(th)))^2))*a*(1-cos(th))/(sqrt(2*9.8*a*(1-cos(th)))); tmin=int(f,th,0,2.412)%最短时间
运行结果:
图3最速下降路径
最短时间为:0.5832秒
5总结体会：
通过实验我们发现，对于一个问题只有通过了实践过程才能发现问题的真实情况，也可以验证我们的猜想，对于该问题，在开始动手之前，从以往的经验中猜到结果可能是一般情况，但不肯定，通过实验，证实了结果和我的猜想有出入。
通过实验能让我们注重实践，也有助于发现自己处理问题中的失误。
总之，通过此次实验不仅让我们对MATlab又有了更进一步的了解，而且也让我学到了许多其他的知识。
学到了许多课外的知识和实践的理论。
希望能通过以后的实验让我获得更多的丰富知识，把理论和实践相结合是最大的收获。