因式分解专题复习讲义
因式分解经典讲义(精)
第一章分解因式【知识要点】1 .分解因式(1)概念：把一个化成几个的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
(2 )注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。
②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。
③分解因式要分解到不能再分解为止。
2•分解因式与整式乘法的关系整式乘法是_____________________________________________________ ___分解因式是_____________________________________________________ ___所以，分解因式和整式乘法为________ 系。
3•提公因式法分解因式(1 )公因式：几个多项式____________ 因式。
(2 )步骤：①先确定____________,②后____________________ 。
(3)注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。
②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。
4•运用公式法分解因式(1 )平方差公式：_____________________________(2 )完全平方公式：____________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。
【考点分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：【随堂练习】1 .分解因式：,、小34“23小22（1） 2x y 10x y 2x y32(1) 4m 16m 26 m(2) 2x(y z) 3(y z)2(3)x(x y)(x y) x(x y)(4)(3a 4b)(7a 8b) (11a 12b)(7a 8b)号，再提公因式 2m ；（ 2）题的公因式为 y z ；(3) 题的公因式为 x(x y) ;答案：(1) 2m(2m 28 »m13)；(3)2xy(x y);【例:2】(1 ）已知x y 5, xy 6 ,(2 ?）已知ba 6,ab7,解析：(1) 题：2x2y 2 x y 22xy(x（2）题：a|2bab2a b(a答案：(1) 60(2)42（4）题的公因式为7a 8b 。
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义因式分解是初中数学中相当重要的一个概念，它是解决多项式问题的关键步骤。
通过因式分解，我们可以将一个多项式拆分成更简单的乘积形式，从而更好地理解和解决问题。
本讲义将介绍初中因式分解的基本方法和应用，帮助同学们系统地学习和掌握这一知识点。
一、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成若干个乘积形式的过程。
在因式分解中，我们将多项式中的每一个项称为因式，拆分后的乘积形式称为因式分解式。
因式分解的结果应满足两个条件：1）拆分后的每个因式之积等于原多项式；2）每个因式都不能再进行继续拆分。
二、因式分解的基本方法1. 公因式提取法公因式提取法是指将多项式的公因式提取出来，并将多项式拆分成公因式与括号内的乘积形式。
通过公因式提取法，我们可以简化多项式的计算过程和展开过程。
举例说明：多项式7x+14可以进行公因式提取，提取公因式7后，原多项式可以写成7(x+2)，这就是因式分解的结果。
2. 分组分解法分组分解法是指将多项式的项进行适当的分组，然后利用公式或特定规律进行因式分解。
举例说明：多项式x²+xy+2x+2y可以进行分组分解，将x²+xy作为一组，并将2x+2y作为另一组。
然后，在第一组中提取公因式x，第二组中提取公因式2，最终得到因式分解式为x(x+y)+2(x+y)，即(x+2)(x+y)。
三、因式分解的应用因式分解在初中数学中有广泛的应用。
下面我们介绍几个典型的应用场景。
1. 最大公因数和最小公倍数在求最大公因数和最小公倍数的过程中，因式分解是非常有帮助的方法。
通过将两个数分别进行因式分解，然后提取公因式并相乘，我们可以得到它们的最大公因数；同时，将两个数进行因式分解，然后取分解式的所有因子的乘积，我们可以得到它们的最小公倍数。
2. 方程的解法在解一元二次方程和一元三次方程时，因式分解也经常被使用。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程转化成更简单的乘积形式，从而更容易求解。
因式分解讲义(适合0基础的)
因式分解知识网络详解：因式分解的基本方法：1、提公因式法——如果多项式的各项有公因式，首先把它提出来。
2、运用公式法——把乘法公式反过来用，常用的公式有下列五个：平方差公式()()22a b a b a b -=+-； 完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±； 3、分组分解法——适当分组使能提取公因式或运用公式。
要灵活运用“补、凑、拆、分”等技巧。
4、十字相乘法——))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 【课前回顾】1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）（A ）()b a b a 222-=-（B ）()()1112-+=-m m m（C ）()12122+-=+-x x x x （D ）()()()()112+-=+-b ab a b b a a2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是()，（A ）－8a 2bc （B ）2a 2b 2c 3（C ）－4abc （D ）24a 3b 3c 33．下列因式分解中，正确的是（）（A ）()63632-=-m m m m （B ）()b ab a a ab b a +=++2（C ）()2222y x y xy x --=-+-（D ）()222y x y x +=+4．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）（A ）42+a （B ）22-a （C ）42+-a （D ）42--a5．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是()．（A ）4x 2－1（B ）4x 2＋4x －1（C ）x 2－xy ＋y 2D ．x 2－x ＋6．若942+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）（A ）3（B ）4（C ）12（D ）±12 经典例题讲解：提公因式法：提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律例：22x y xy -()()p x y q y x ---()()x a b y a b +-+变式练习：1．多项式6a 3b 2－3a 2b 2－21a 2b 3分解因式时，应提取的公因式是()A.3a 2bB.3ab 2C.3a 3b 2D.3a 2b 22．如果()222332x y mx x n -+=--，那么（）A ．m=6，n=yB ．m=-6，n=yC ．m=6，n=-yD ．m=-6，n=-y3．()()222m a m a -+-，分解因式等于（）A ．()()22a m m --B ．()()21m a m --C ．()()21m a m -+D ．以上答案都不能4．下面各式中，分解因式正确的是()A.12xyz －9x 2.y 2=3xyz(4－3xy)B.3a 2y －3ay+6y=3y(a 2－a+2)C.－x 2+xy －xz=－x(x 2+y －z)D.a 2b+5ab －b=b(a 2+5a)5．若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是（）A ．7B ．10C ．70D ．176.因式分解1．6x 3－8x 2－4x2．x 2y(x －y)+2xy(y －x)3.()()x m ab m x a +-+4.()()()x x x --+-212运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： 平方差：)b a )(b a (b a 22-+=-完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±立方和：)b ab a )(b a (b a 2233+-+=+立方差：)b ab a )(b a (b a 2233++-=- 例1.把下列各式分解因式：（1）x 2－4y 2（2）22331b a +- （3）22)2()2(y x y x +--(4)442-+-x x例2．（1）已知2=+b a ，利用分解因式，求代数式222121b ab a ++的值 （2）已知0136422=+--+b a b a ，求b a +。
因式分解-讲义
因式分解(一)-一般方法多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．1．(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．4、(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2= ；(2)x2-y2+5x+3y+4= ；(3)xy+y2+x-y-2= ；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2= ;(5)2x2-7xy-22y2-5x+35y-3= .因式分解(二)--求根法分解因式我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例1 分解因式：x3-4x2+6x-4．例2 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．。
人教版八年级数学上册 14.3 因式分解大归类讲义
因式分解大归类知识点：因式分解：【定义】 把一个单项式或多项式化成几个整式的 乘积 的形式，这种式子变形叫做这个单项式或多项式因式分解，也叫做把个单项式或多项式分解因式。
整式乘法与因式分解的对比如：x x x x +=+2)1(， 称这种式子变形为整式的 乘法 。
反过来，)1(2+=+x x x x ，像这种式子的变形过程，称为多项式的因式分解。
一、提公因式法例1：把c ab b a 323128+分解因式 （温馨提示：方法是先“找”，再“提”）“找”238b a 与c ab 312的公因式：（1）先看系数：8和12的最大公约数是 ；（2）再找字母部分：3a 和a 的公因式是 （指数最小的就是它们的公因式），2b 和3b 的公因式是 ，所以，238b a 与c ab 312的公因式就是 。
解，原式=bc ab a ab 3424222⋅+⋅例2：把()()c b a c b a +-+236分解因式 （分析：“找”公因式，是 ）针对性练习：1、找下列各式的公因式（1）n m 2与3mn 公因式是 （2）102x 与x 15的公因式是（3） 23x 与212xy 的公因式是 （4）bc a ab c ab 223201612+-的公因式是2、把下列各式分解因式（1）abc a -2 （2）a a +2 （3）a a 2552+-（4）mn n m 282+ （5）10+2x x 15 （6）2293xy x -（7）22912y x xyz - （8）bc a ab c ab 223201612+-（9）()()c b c b a +-+32 （10）()()2222b a q b a p +-+（11）()()712742+-+x x a（12）()()q p q q p p +-+46 (13)(x －2)2－x ＋2二、利用“平方差公式”进行因式分解整式乘法的平方差公式：=-+))((b a b a ， ，这个变形过程是 因式分解 。
因式分解复习讲义
辅导讲义本节课的授课目标：复习因式分解的相关知识，能熟练的进行因式分解本节课的主要授课重难点：本节课的主要授课内容：一、自主整理1. 因式分解的方法：提公因式法运用公式法分组分解法十字相乘法2．几种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式（平方差公式，完全平方公式）③再用十字相乘法(三项式) ④最后考虑分组分解法(四项或四项以上的多项式 )3.因式分解四个注意（1）、首项有负常提负，如因式分解a2－b2＋2ab＋4（2）、各项有公先提公如因式分解 8a4－2a2（3）、某项提出莫漏 1 如因式分解 a3-2a2+a这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉 1。
防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a 2-2a) 的错误。
（4）、括号里面分到“底”如因式分解x4－3x2－4这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
即分解到底，不能半途而废的意思。
其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。
4.分组分解法(1).按字母特征分组①a +b +ab +1 ②a2－ab＋ac－bc(2).按系数特征分组①7x 2 + 3y +xy + 21x ②2ac -6ad +b c -3bd(3).按指数特点分组①a2 - 9b2 + 2a - 6b② x2 +x - 4 y2 - 2 y(4).按公式特点分组①a2－2ab ＋b2－c2 ②a 2 - 4b2 +12bc - 9c2小结：a.合理分组（2+2型）；b.组内分解（提公因式、平方差公式）c.组间再分解（整体提因式）d.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。
因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.5.十字相乘法x2 +px +q =x2 +(a +b)x +ab = (x +a)(x +b)（1）x2- 5x + 6 （2）x2+ 5x + 6 （3）a2b2 - 7ab - 8 （4）m2 -3mn - 4n2（5）x4 - 6x2 - 27 （6）(a＋b)2 ＋5(a＋b) －36 （7）2x2 ＋5x＋2；二、实战演练（一）、选择题1、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是：（）A、x 2 - 9 + 6x = (x + 3)( x - 3) + 6xB、(x + 5)(x - 2)=x 2 + 3x -10C、x 2 - 8x +16 =(x - 4)2D、(x - 2)(x + 3)=(x + 3)(x - 2)2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）A、-m2 + 4B、-x 2 -y 2C、x 2 y 2 -1D、(m -a)2 -(m +a)23、下列各式可以用完全平方公式分解因式的是（）A、a2 - 2ab + 4b24m2 -m +1B、 4C、9 - 6 y +y 2D、x 2 - 2xy -y 24、把多项式p 2 (a -1)+p(1 -a)分解因式的结果是（）A、(a -1)(p 2 +p)B、(a -1)(p2 -p)C、p(a -1)(p -1)D、p(a -1)(p +1)5、若9x 2 -kxy + 4 y 2 是一个完全平方式，则k 的值为（）A、6B、±6C、12D、±126、-(2x -y)(2x +y)是下列哪个多项式分解的结果（）A、4x 2 -y 2B、4x 2 +y 2C、- 4x 2 -y 2D、- 4x 2 +y 27、若a +b =-3, ab = 1,则a 2 +b2 =（）A、－11B、11C、－7D、78、2x3 -x2 - 5x +k 中，有一个因式为(x - 2)，则k 值为（）A、2 B－2 C、6 D、－69、已知x 2 +y2 + 2 x - 6 y +10 = 0,则x +y =（）A、2B、－2C、4D、－410、若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足a2b -a2 c +b2 c -b3 = 0 ，则这个三角形是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、三角形的形状不确定（二）、填空题1、若x2 +ax +b = (x + 3)( x- 4), 则a =,b =。
因式分解总复习课件
题目3
请将$a^4 - 2a^2b^2 + b^4$ 进行因式分解。
综合练习题
题目1
请将多项式$x^3 - 9x$进行因式 分解，并说明其与平方差公式的
关系。
题目2
将多项式$x^4 - 4x^2 + 4x - 1$ 进行因式分解，并说明其与完全平 方公式的关系。
题目3
请将多项式$a^4 - 2a^2b^2 + b^4 - 4a^2 + 4b^2$进行因式分 解，并说明其与平方差公式和完全 平方公式的综合运用。
详细描述
在完成因式分解后，应进一步观察和简化结果，去除所有公因式。这样可以确保最终的表达式更加简 洁明了，易于理解和应用。
符号问题要处理好
总结词
在因式分解过程中，应特别注意符号的 处理，确保结果的正确性。
VS
详细描述
在进行因式分解时，符号的处理是一个关 键环节。要特别注意符号的变化和影响， 确保在分解过程中符号的处理是正确的。 这样可以避免后续运算中出现错误或混淆 。
02
因式分解的基本形式
提公因式法
步骤
首先找出多项式中的公因子，然后将公因子提取出来，最后将原多项式中的每 一项除以公因子。
例子
$2x^2 + 4x = 2x(x + 2)$。
公式法
步骤
首先观察多项式是否符合平方差 公式或完全平方公式，然后代入 公式进行因式分解。
例子
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$， $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
THANKS
感谢观看
例子
$x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1)$。03因式分解的应用
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
初中因式分解讲义
初中因式分解讲义一、什么是因式分解?在代数学中，当一个多项式可以写成几个乘积的形式时，我们将其称为因式分解。
这个过程可以简化多项式的计算和求解。
二、因式分解的基本原则在进行因式分解时，我们需要遵循以下基本原则：1. 最大公因数原则：寻找多项式中的最大公因数，将其提取出来，作为分解的一部分。
2. 求和差化积原则：利用求和差化积的方法，将多项式中的和差变为积，从而进行因式分解。
3. 公式转换原则：利用特定的公式，将多项式进行转换，以便于进行因式分解。
三、因式分解的方法1. 提取公因式法提取公因式法是最常用的因式分解方法之一。
当多项式的各项有公因子时，可以将这个公因子提取出来，并将剩余的部分进行因式分解。
例如：将3x+6分解为3(x+2)2. 公式转换法公式转换法利用特定的公式将多项式进行转换，然后进行因式分解。
例如：将a²-b²分解为(a+b)(a-b)3. 分组分解法当一个多项式中含有四项及以上，并且无法直接进行其他方法的因式分解时，可以尝试使用分组分解法。
例如：将2x²+6x+3分解为(x+1)(2x+3)四、因式分解的应用因式分解在代数中有广泛的应用，可用于求解方程、简化分式、化简根式等。
它是解决复杂代数问题的重要工具。
五、练习题1. 将4x²-9y²分解。
2. 将6a³b-15ab²分解。
3. 将x³+y³分解。
4. 将3x³-27y³分解。
六、总结因式分解是代数学中重要的概念和工具，通过提取公因式、公式转换和分组分解等方法，能够简化多项式的计算和求解。
掌握因式分解的方法和应用，对于初中代数学习至关重要。
希望以上初中因式分解讲义能帮助你更好地理解和掌握因式分解的知识和技巧。
如果需要更多的练习或进一步讨论，请随时提问。
因式分解复习课(公开课)ppt课件
6
公因式
提
解
的
方
平方差公式：
法 公式法
完全平方公式：
可编辑ppt
7
1.下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？
可编辑ppt
8
2.把下列各式分解因式：
可编辑ppt
9
思考： 1.通过上面的练习，你认为因式分解时要注意
哪些问题？
可编辑ppt
10
三、因式分解的应用
a2b a2c b3 b2c 0 ,试判断三角形的形状.
A
解：a（2 b c） b（2 b c) 0
c
b
(b c)(a2 b2 ) 0
B
a
C 所以b c 0或者a2 b2 0 因为a2 b2不可能为0
所以b c 0
所以b c
所以三角形是等腰三角形
可编辑ppt
14
可编辑ppt
4.已知a、b为有理数,且 a2+b2+2a+2b+2=0,试求a、b的值.
5.n是整数,说明(n+14)2-n2能被28整除.
可编辑ppt
17
可编辑ppt
18
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！
可编辑ppt
11
可编辑ppt
12
2．求值
当 x y 3, xy 2，求 x2 y xy2 的值. 解 : x 2y xy 2 xy(x y ) 当x y 3,xy 2时，
原式 3 2 6
巩固练习： 教科书17页复习题第6,11题
可编辑ppt
13
3．几何应用 已知：a,b,c是△ABC的三边长，且满足
因式分解四种方法(讲义)
因式分解得四种方法(讲义)➢课前预习1.平方差公式:___________________________;完全平方公式:_________________________;_________________________.2.对下列各数分解因数:210=_________; 315=__________;91=__________; 102=__________.3.探索新知:(1)能被100整除吗？小明就是这样做得:所以能被100整除.(2)能被90整除吗？您就是怎样想得？(3)能被哪些整式整除？➢知识点睛1.__________________________________________叫做把这个多项式因式分解.2.因式分解得四种方法(1)提公因式法需要注意三点:①___________________________;②___________________________;③___________________________.(2)公式法两项通常考虑_____________,三项通常考虑_____________.运用公式法得时候需要注意两点:①___________________________;②___________________________.(3)分组分解法多项式项数比较多常考虑分组分解法,首先找____________,然后再考虑____________或者_____________.(4)十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式得结构,其原理就是:3.因式分解就是有顺序得,记住口诀:“___________________”;因式分解就是有范围得,目前我们就是在______范围内因式分解.➢精讲精练1.下列由左到右得变形,就是因式分解得就是________________.①; ②;③; ④;⑤; ⑥;⑦.2.因式分解(提公因式法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3);解:原式=(4); (5).解:原式= 解:原式=3.因式分解(公式法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5);解:原式=(6);解:原式=(7); (8);解:原式= 解:原式=(9); (10).解:原式= 解:原式=4.因式分解(分组分解法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5); (6).解:原式= 解:原式=5.因式分解(十字相乘法):(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5); (6);解:原式= 解:原式=(7); (8).解:原式= 解:原式=6.用适当得方法因式分解:(1); (2);解:原式= 解:原式=(3); (4);解:原式= 解:原式=(5);解:原式=(6).解:原式=【参考答案】➢课前预习1.2.210=7×5×3×2;315=7×5×3×3;91=13×7;102=17×3×23.(2)∴能被90整除∴能被1,m,m+1,m-1,m(m+1),m(m-1),(m+1)(m-1),m (m+1)(m-1)整除➢知识点睛1.把一个多项式化成几个整式得积得形式2.(1)①公因式要提尽②首项就是负时,要提出负号③提公因式后项数不变(2)平方差公式,完全平方公式①能提公因式得先提公因式②找准公式里得a与b(3)公因式,完全平方公式,平方差公式3.一提二套三分四查,有理数➢精讲精练1.④⑥⑦2.(1)(2)(3)(4)(5)3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) 4.(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8) 6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。
因式分解-讲义--资料
因 式 分 解类型二、公式法1、利用平方差公式因式分解：()()b a b a b a -+=-22注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么。
例如：分解因式：（1）291x -； （2）221694b a -； （3）22)(4)(n m n m --+2、利用完全平方公式因式分解：()2222b a b ab a ±=+± 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成 222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量。
例如：分解因式：（1）2961x x +-； ⑵ 36)(12)(2+---n m n m 1682++x x典型例题：例1 用平方差公式分解因式：（1）22)(9y x x -+-； （2）22331n m - 说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。
例2 分解因式：（1）ab b a -5；（2）)()(44n m b n m a +-+. 说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ； （2）982+-x x ； （3）91242--x x ； （4）223612y x xy ++-. 说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.例4 把下列各式分解因式：⑴ 442-+-x x ； ⑵ 22914942y x xy -- ⑶ mn n m 4422+-- 说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.例5 分解因式：⑴ 22363ay axy ax ++. ⑵ 22222)(624b a b a +-说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.例6 分解因式：⑴ 22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；⑵ 4224168b b a a +-；⑶ 1)2(2)2(222++++m m m m .⑷ 63244914b b a a +- ⑸ 1)2(6)2(92+---b a b a说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用.例7 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值. 说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.例8 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.例9 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值. 说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.例11 已知x 和y 满足方程组⎩⎨⎧=-=+346423y x y x ，求代数式2249y x -的值。
人教版八年级上册数学《因式分解--十字相乘法与分组分解法》专题讲义(含答案)
因式分解的基本方法例题精讲一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.一、十字相乘【例 1】分解因式：⑴256x x ++ ⑵256x x -+⑶276x x ++ ⑷276x x -+【解析】 ⑴(2)(3)x x ++；⑵(2)(3)x x --；⑶(1)(6)x x ++；⑷(1)(6)x x --【巩固】 分解因式：268x x ++【解析】 268(2)(4)x x x x ++=++【巩固】 分解因式：278x x +-【解析】 278(8)(1)x x x x +-=+-【例 2】分解因式：2376a a --【解析】 2376(32)(3)a a a a --=+-【巩固】 分解因式：2383x x --【解析】 2383(31)(3)x x x x --=+-【巩固】 分解因式：25129x x +-【解析】 25129(3)(53)x x x x +-=+-【巩固】 分解因式：42730x x +-【解析】 4222730(3)(10)x x x x +-=-+【巩固】 分解因式：2273320x x --【解析】 2273320(94)(35)x x x x --=+-【例 3】分解因式：212x x +-【解析】 221212(3)(4)x x x x x x +-=-++=+-+【巩固】 分解因式：2612x x -+-【解析】 22612(612)(23)(34)x x x x x x -+-=-+-=-+-【例 4】分解因式：2214425x y xy +-【解析】 2214425(16)(9)x y xy x y x y +-=--【巩固】 分解因式：22672x xy y -+【解析】 22672(2)(32)x xy y x y x y -+=--【巩固】 分解因式：22121115x xy y --【解析】 22121115(35)(43)x xy y x y x y --=-+【例 5】分解因式：⑴2()4()12x y x y +-+-；⑵2212()11()()2()x y x y x y x y +++-+-【解析】 ⑴把x y +看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.2()4()12(2)(6)x y x y x y x y +-+-=+++-⑵将,x y x y +-看作整体，则原式[][]4()()3()2()(53)(5)x y x y x y x y x y x y =++-++-=++.【巩固】 分解因式：257(1)6(1)a a ++-+【解析】 [][]257(1)6(1)53(1)12(1)(23)(23)a a a a a a ++-+=-+++=-+【巩固】 分解因式：2(2)8(2)12a b a b ---+【解析】 [][]2(2)8(2)12(2)2(2)6(22)(26)a b a b a b a b a b a b ---+=----=----【例 6】分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++【解析】 把a 视为未知数，其它视为参数。
浙教版七年级数学下册 第四章 因式分解 复习讲义(无答案)
【因式分解】讲义 知识点1：分解因式的定义1、分解因式：把一个多项式化成几个_整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。
例如：判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：①8)3)(3(892+-+=+-x x x x （ ） ② )49)(49(4922y x y x y x -+=- （ ） ③ 9)3)(3(2-=-+x x x （ ） ④ )2(222y x xy xy xy y x -=+- （ ） 知识点2：公因式公因式： 定义：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1、的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2、多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是3、342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________知识点3：用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成 几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如：1、可以直接提公因式的类型：（1）3442231269b a b a b a +-=_______________（2）11n n n a a a +--+=____________（3）542)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值2、式子的第一项为负号的类型：（1）①33222864y x y x y x -+- =_____________②243)(12)(8)(4n m n m n m +++-+-=（2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时） 如：22188y x +-=1、多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是2、分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)33、公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的 因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。
因式分解总复习课件 PPT
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
例2：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2 解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
③ (x-y)2-y(y-x)2 解：原式=(x-y) 2(1-y)
②p（y-x）-q（x-y） 解：原式=p(y-x)+q(y-x)
=(y-x)(p+q)
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) x2+4x+4=(x+2)2 (4) (a-3)(a+3)=a2-9
2
提公因式法
2 提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。
小结
解因式分解题时，首先考虑是否有公 因式，如果有，先提公因式；如果没有 公因式；是两项式，则考虑能否用平方 差公式分解因式. 是三项式考虑用完全 平方式，最后，直到每一个因式都不能 再分解为止.
业精于勤荒于嬉； 行成于思毁于随。
THANKS
3
公式法
3 公式法
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积 的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做运用公式法。
公式法
平方差公式 a2-b2 =(a+b)(a-b) 特征：两项、异号、平方形式
完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
特征：三项、两数平方的和加 上（或减去）两数乘积的2倍
3.已知a b=2，求a2 b2 4b的值
3 公式法 a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
人教版八年级上册 14.3 因式分解 讲义
因式分解一、考纲梳理1.重点：（1）因式分解的意义定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解；（2）因式分解的方法提公因式法平方差公式法完全平方公式法分组法和十字相乘法2.难点：因式分解的实际应用因式分解在几何中的应用因式分解在实际生活中的应用二、考点梳理（一）提公因式法1. 公因式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式。
2. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
简称提公因式法。
3. 确定公因式的一般方法：①各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数;②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;③它们的乘积就是多项式的公因式.4. 典例精讲例1: 用提公因式法分解因式(先找公因式)(1)3a2－9ab2(2)－5x2 + 25x3 (3)4x3y+2x2y2－6xy3(4)－9m2n－3mn2+27m3n4(5)2(x+y)2－4x(x+y) (6)2(a－1)+a(1－a)例 2: 已知,x+y=2,xy=－3,求x 2y+xy 2的值.5. 练一练1、对下列多项式进行因式分解①－20a －25ab ②－32233b a b a - ③1+-m m aa④44252336279x a x a x a +- ⑤3a 2－9ab2、填一填：(1)2525a a -+ = ____________(2)代数式328a b -与312a b 的公因式为____________(3)22________()R r R r ππ+=+(4)16 a b x + 2 a x = 2 a x (____________)3、把下列各式分解因式①3 x 3 －3x 2 –9x ② 8a 2c+ 2bc③－4a 3b 3 +6a 2b －2ab ④ a(x －y)+by －bx(二) 平方差公式法1. 观察变形：整式乘法：(a+b) (a －b)= a 2－b 2 因式分解：a 2－b 2=(a+b) (a －b) 我们可以运用平方差公式来分解因式2. 能用平方差公式分解因式的多项式的特征：①由两部分组成 ；②两部分符号相反；③每部分都能写成某个式子的平方。
因式分解讲义
分解因式知识归纳：一．知识点1 分解因式的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式注意:①.结果应是积的形式.②每个因式都是整式.③要分解到不能分解为止.2.因式分解的方法:知识点2 提公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c)（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式）知识点3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.知识点4 分组分解法形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识点5 十字相乘法：形如：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.二．典型例题例1 10b(x-y)2-5a(y-x)2例2.a2-b2+a+b；例3 (ab+b)2-(a+1)2例4 (x+y)2-9y2例5 a2-2ab+b2-c2 例6 x2+2xy+y2-4例7 a2-ab+ac-bc 例8 (a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2 例9 x2+3x+2 例10 x2-2x-3例11 （x2-1）2-6（x2-1)+9 例12 7x2+13x-2三.课堂训练⑴3222245954a b c a bc a b c +- (2)433()()()a b a a b b b a -+-+-(3)2244x y xy --+ (4)543351881a b a b a b ++(5)22616x xy y -- (6)2()2()80x y y x ----(7)322222--++-y x y xy x (8)224426x xy y x y -+-+-四．巩固提高1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）A 、－a 、B 、))((b x x a a ---C 、)(x a a -D 、)(a x a --2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ）A 、1个，B 、2个，C 、3个，D 、4个4、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因式分解专题复习讲义
教学内容
【内容回顾】
1.计算
(1)(3－4a)(3＋4a)＋(3＋4a)2 (2)(x＋3)2＋(2＋x)(2－x)（3）204×196 （4）9982
（5）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
2.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3,求: (1)a2+b2; (2)ab的值
3.指出下列各多项式的公因式：
（1）8a3b2＋12ab3c （2）8m2n＋2mn
（3）－6abc＋3ab2－9a2b
4.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
【知识精讲】
因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式因式分解（或分解因式）。
因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即它们互为逆运算。
（一）提公因式法
1、公因式
多项式ma ＋mb ＋mc 中，各项都有一个公共的因式m ，称为该多项式的公因式。
一般地，一个多项式各项都有的公共的因式称为这个多项式的公因式。
2、提公因式法
由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ，得到ma ＋mb ＋mc ＋=m(a ＋b ＋c),其中，一个因式是公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（二）公式法
1.平方差公式
a 2－
b 2
=(a +b )(a －b ) 两数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
2.完全平方公式
a 2±2a
b +b 2=（a ±b ）2
两数的平方和加上（或减去）这两数的积的
2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
（三）十字相乘法（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即将上式反过来，得到了因式分解的一种方法——十字相乘法，
用这种方法来分解因式的关键在于确定上x a x b x a b x
ab
2x a b x ab x a x b
2。