小学数学三角形面积大小公式计算方法

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小学数学三角形面积大小公式计算方法

三角形公式s面积a底h高面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高1、用20厘米的铁丝围成一个三角形,最长的一条边一定小于厘米.2、一个三角形至少有个锐角.3、在一个三角形中,如果两个锐角的和小于90度,那么这个三角形一定是三角形.4、凸六边形的内角和一定是度.5、用一根30厘米的铁丝可以围成一个腰长厘米,底边厘米的等腰三角形.6、等边三角形一定是三角形.7、最大的角是87°的三角形一定是三角形.8、列式计算：已知∠1、∠2、∠3是三角形的三个内角.1. ∠1=40°,∠2的度数是∠1的3倍,求∠32. ∠1=80°,∠2比∠1小20°,求∠3.3. ∠1=∠2,∠3比∠1大30°,求∠34. ∠1=∠2,∠3的度数是∠1的1倍,求∠3一、填空.1．一个三角形有条高.2．已知三角形的两个角都是50度,那么另一个角是度,这是三角形.3．一个三角形中,至少有个锐角,最多有个直角.4．三角形具有性,平行四边形容易 .二、判断,对的打"√"、错的打"×".1．从一点引出两条线就组成一个角.2．由三条线段组成的图形叫做三角形.3．所有的正三角形都是锐角三角形.4．面积相等的三角形,形状也一定相等.5．如果三角形中最大的一个角是锐角,那么这个三角形一定是锐角三角形.三、画一画.1．画一个顶角为120度,腰长为4厘米的等腰三角形习题一、判断题,对的在括号里打“√”,错的打“×”.1．等腰直角三角形的底角一定是45°.2．大的三角形比小的三角形内角和度数大.3．一个三角形至少有两个内角是锐角.4．底和高都分别相等的两个三角形,它们的形状一定相同.5．等边三角形一定是锐角三角形.6．等腰三角形不一定都是锐角三角形.二、选择题1．一个三角形最大的内角是120°,这个三角形是三角形.A.钝角B.锐角C.直角2．在一个三角形中,最大的内角小于90°,这个三角形是三角形.A.锐角B.钝角C.直角3．等边三角形又是.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形4．钝角三角形有条高.A.1B .2C.35．当三角形中两个内角之和等于第三个角时,这是一个三角形.A.锐角B.直角C.钝角6．有一个角是60°的三角形,一定是正三角形.A.任意B.直角C.等腰7．当一个三角形的两条边分别长8厘米、4厘米时,第三条边的长度可能是厘米.A.3B .4C.78．做房屋的屋架是运用了三角形的.A.有三条边的特性B.易变形的特性C.稳定不变形的特性三、画一画.1．画一个等腰三角形并画出底边上的高.2．从长度分别为3厘米、5厘米、8厘米、4厘米的4根小棒中选出3根,围成一个三角形.你准备怎么选为什么请把它画出来.小学数学四年级下册三角形练习题1．填空1一个三角形有个角, 条边.2三角形具有性.3锐角三角形的三个角都是角.4等腰三角形的两腰 ,两个底角也 .5 条边都相等的形叫做等边三角形.又叫做三角形.6一个三角形的两个内角分别是20°和40°,另一个内角是 ,这是一个三角形.2．判断对的打“√”,错的打“×”1有三个角的图形叫做三角形.2三角形的高就是一条垂线.3钝角三角形里可以有2个钝角.4把直角三角形的一条直角边作三角形的高,则另一条直角边就是这个三角形的底.3．选择将正确答案的序号填在括号里1 个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形.①一②二③三2在等腰三角形里,两腰的夹角是 .①顶角②底角③钝角3三角形的内角和是 .①90°②180°③360°4所有的等边三角形都是三角形.①锐角②直角③钝角4．在右面的三角形中分别从各角的顶点向它的对边作高.三角形的内角和同步练习题1．填空.1等边三角形的三个内角都是度.2在三角形中,已知∠1＝67°,∠2＝35°,那么,∠3＝ .3等腰三角形的底角是65度,则顶角是 .2．选择.1等腰三角形的一个底角是30度,这个三角形又叫做 .①锐角三角形②钝角三角形③直角三角形2一个等腰三角形的底角的3倍等于三角形的内角和,则这个三角形是 .①钝角三角形②直角三角形③等边三角形3一个三角形,其中两个内角的和,等于第三个内角的度数,这个三角形是 .①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形3．判断.1一个直角三角形中的一个锐角为40度,则另一个角为50度.2一个等腰三角形的顶角为120度,则它的底角为25度.3内角分别是50度、60度和70度的三角形不存在.4．填写表格.三角形的分类同步练习题1．指出下面图形中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.2．给三角形分类.把序号写在相应的位置上锐角三角形：直角三角形：钝角三角形：等腰三角形：等边三角形：3．判断题对的打“√”,错的打“×”1等边三角形一定是锐角三角形．2一个三角形中至少有两个锐角．3在一个三角形中,最多有1个钝角,最多有1个直角,最多有3个锐角. 4．选择.1等边三角形,又是①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形2在直角三角形中有个锐角.①1 ②2 ③33在钝角三角形中有个钝角.①1 ②2 ③34等腰三角形中两腰的夹角叫①底角②顶角③没有特定的名称。

用三角函数求三角形面积公式

三角函数求三角形面积公式一、三角函数求三角形面积公式三角函数求三角形面积公式有：s△=1/2*ac*sinb=1/2*bc*sina=1/2*ab*sinc（三个角为∠a∠b∠c，对边分别为a，b，c）。

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

二、三角形面积公式三角形面积怎么求三角形的面积公式为：S=1/2×ah。

其中，a是三角形的底边，h是底边所对应的高。

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。

按边可分有普通三角形、等腰三角形;按角可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

在平面上，三角形的内角和等于180°，外角和等于360°，外角等于与其不相邻的两个内角之和。

三、三角形面积公式？1、已知三角形底a，高h，则S＝ah/2。

2、设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积=abc/4R。

3、已知三角形两边a、b，这两边夹角C，则S＝absinC/2，即两夹边之积乘夹角的正弦值。

4、设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积=（a+b+c）r/2。

1、已知三角形底a，高h，则S＝ah/2。

2、已知三角形三边a、b、c，则s=1/4*√[2（a^2b^2+ a）（p - b）（p - c）] （海伦公式）（p=（a+b+c）/2）。

3、已知三角形两边a、b，这两边夹角C，则S＝absinC/2，即两夹边之积乘夹角的正弦值。

4、设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积=（a+b+c）r/2。

5、设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积=abc/4R。

三角形：三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

教学小学生简单的三角形面积计算

教学小学生简单的三角形面积计算在小学数学课程中，三角形是一个重要的几何形状。

而计算三角形的面积是数学学习的基础之一。

在本文中，我将分享一些教学小学生简单的三角形面积计算的方法和技巧。

一、认识三角形首先，我们需要让学生认识三角形。

三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。

通过观察不同形状的三角形，学生可以发现它们的特点和区别。

例如，学生可以发现等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等等。

二、计算三角形的面积1. 直角三角形的面积计算直角三角形是最简单的三角形之一。

它有一个直角（90度角），可以通过两个已知的边长来计算面积。

我们可以使用以下公式来计算直角三角形的面积：面积 = 底边长度 ×高其中，底边长度是直角三角形的一条边长，高是从直角顶点到底边的垂直距离。

举个例子，假设我们有一个直角三角形，底边长度为5cm，高为3cm。

那么，它的面积可以计算为：面积 = 5cm × 3cm = 15平方厘米2. 一般三角形的面积计算对于一般的三角形，我们可以使用以下公式来计算面积：面积 = 1/2 ×底边长度 ×高其中，底边长度是任意一条边长，高是从底边到对应顶点的垂直距离。

例如，假设我们有一个三角形，底边长度为6cm，高为4cm。

那么，它的面积可以计算为：面积 = 1/2 × 6cm × 4cm = 12平方厘米三、实际应用了解三角形面积计算的方法后，我们可以将其应用到实际生活中。

例如，我们可以通过计算三角形的面积来解决一些实际问题。

1. 田地面积计算假设我们有一个三角形形状的田地，我们可以通过测量两条边长和对应的高来计算田地的面积。

这对于农民来说是非常有用的，可以帮助他们计划种植作物的数量和布局。

2. 建筑设计在建筑设计中，三角形的面积计算也是必不可少的。

建筑师可以通过计算三角形的面积来确定建筑物的大小和形状。

这对于确保建筑物的结构和功能非常重要。

小学数学三角形面积大小公式计算方法

三角形公式s面积a底h高面积=底×高÷2s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高1、用20厘米的铁丝围成一个三角形,最长的一条边一定小于( )厘米。

2、一个三角形至少有( )个锐角。

3、在一个三角形中,如果两个锐角的与小于90度,那么这个三角形一定就是( )三角形。

4、凸六边形的内角与一定就是( )度。

5、用一根30厘米的铁丝可以围成一个腰长( )厘米,底边( )厘米的等腰三角形。

6、等边三角形一定就是( )三角形。

7、最大的角就是87°的三角形一定就是( )三角形。

8、列式计算:已知∠1、∠2、∠3就是三角形的三个内角。

1、∠1=40°,∠2的度数就是∠1的3倍,求∠32、∠1=80°,∠2比∠1小20°,求∠3。

3、∠1=∠2,∠3比∠1大30°,求∠34、∠1=∠2,∠3的度数就是∠1的1倍,求∠3一、填空。

1.一个三角形有()条高。

2.已知三角形的两个角都就是50度,那么另一个角就是()度,这就是()三角形。

3.一个三角形中,至少有()个锐角,最多有()个直角。

4.三角形具有()性,平行四边形容易( )。

二、判断,对的打"√"、错的打"×"。

1.从一点引出两条线就组成一个角。

( )2.由三条线段组成的图形叫做三角形。

( )3.所有的正三角形都就是锐角三角形。

( )4.面积相等的三角形,形状也一定相等。

( )5.如果三角形中最大的一个角就是锐角,那么这个三角形一定就是锐角三角形。

( )三、画一画。

1.画一个顶角为120度,腰长为4厘米的等腰三角形习题精选一、判断题,对的在括号里打“√”,错的打“×”。

1.等腰直角三角形的底角一定就是45°。

( )2.大的三角形比小的三角形内角与度数大。

小学四年级数学《三角形分类》教案二：探究三角形周长和面积的计算公式

三角形是小学数学中比较基础的一个概念，而且在几何学中，它的应用非常广泛。

对于三角形的分类，学生们在之前的学习中应该已经了解了不少。

今天，我们要探究的是三角形周长和面积的计算公式。

一、三角形周长的计算公式我们都应该知道，周长是指一个封闭图形的边界线的长度。

对于三角形而言，它是三条边的长度之和。

因此，三角形的周长公式为：周长 = 边1 + 边2 + 边3在实际的计算过程中，我们需要先知道三角形每一条边的长度，然后再按照上述公式进行计算即可。

这个公式很简单，但是在日常的应用中却是非常重要的，因为它为我们计算固定形状的三角形提供了一个非常便捷的途径。

二、三角形面积的计算公式面积是指一个平面图形所占据的空间面积。

对于三角形而言，它的面积可以用它的底和高来计算。

底是指三角形的任意一条边，高是指从底向顶点所做的垂线，也就是高定理。

三角形的面积可以用以下公式进行计算：面积 = 底 × 高 ÷ 2在实际应用中，我们可以通过多种方式求得三角形的高，例如利用三角形的相似性质，或者使用勾股定理等。

对于底和高的确定，也是非常关键的一步，因为长和宽的精确度直接影响到最终的结果。

当然，在实际应用中，我们也可以使用其他方法来计算三角形的面积，例如海龙公式等，但这些方法都需要比较高深的数学知识。

三、三角形周长与面积的关系在课堂上，老师经常会出一些涉及三角形周长和面积的计算题目，例如给出一个三角形的周长和高，要求计算其面积。

这种题目的解答需要我们对三角形的周长与面积的关系有一定的了解。

实际上，对于固定形状的三角形而言，它的周长和面积是成正比的，也就是说，当三角形面积增大的时候，边长也会随之增大。

这个性质在实际应用中非常有用，因为如果我们知道三角形的周长或面积，就可以推算出另外一个值，从而可以方便地进行计算。

四、三角形周长和面积的应用实例1.三角形的平分线在三角形中，平分线有两种形态：角平分线和边平分线。

其中，角平分线是一个角的两条所穿过三角形相对边的中线；边平分线是三角形中一个角的平分线所穿过另外两条边的中线。

小学数学公式大全(完整!)

小学数学公式大全一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式长方形的周长=（长+宽）×2 C=（a+b)×2正方形的周长=边长×4 C=4a长方形的面积=长×宽 S=ab正方形的面积=边长×边长 S=a。

a= a三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2平行四边形的面积=底×高 S=ah梯形的面积=(上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr圆的面积=圆周率×半径×半径三角形的面积＝底×高÷2。

公式 S= a×h÷2正方形的面积＝边长×边长公式 S= a×a长方形的面积＝长×宽公式 S= a×b平行四边形的面积＝底×高公式 S= a×h梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式 S=(a+b)h÷2内角和:三角形的内角和＝180度。

长方体的体积＝长×宽×高公式:V=abh长方体(或正方体)的体积＝底面积×高公式：V=abh正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa圆的周长＝直径×π公式：L＝πd＝2πr圆的面积＝半径×半径×π公式：S＝πr2圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高.公式：S=ch=πdh＝2πrh 圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积. 公式：S=ch+2s=c h+2πr2圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高.公式：V=Sh圆锥的体积＝1/3底面×积高.公式：V=1/3Sh分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减,分母不变.异分母的分数相加减，先通分,然后再加减.分数的乘法则：用分子的积做分子,用分母的积做分母.分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

北师大版数学五年级上册4.4《三角形的面积》教学设计2

北师大版数学五年级上册4.4《三角形的面积》教学设计2一. 教材分析北师大版数学五年级上册4.4《三角形的面积》是小学数学五年级上册的一章内容，主要介绍了三角形面积的计算方法。

本节课的教学内容主要包括以下几个部分：1.三角形的面积公式：三角形的面积=底×高÷2。

2.三角形面积公式的推导过程：通过剪拼方法，将三角形转换为平行四边形，利用平行四边形的面积公式推导出三角形的面积公式。

3.三角形面积公式的应用：学会运用三角形面积公式解决实际问题。

二. 学情分析五年级的学生已经掌握了四边形、三角形的基本概念，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但在计算三角形面积时，还需要加强对公式的理解和记忆。

此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高。

三. 教学目标1.知识与技能：掌握三角形面积的计算方法，能运用三角形面积公式解决实际问题。

2.过程与方法：通过剪拼方法，推导出三角形面积公式，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：三角形面积公式的理解和运用。

2.难点：三角形面积公式的推导过程。

五. 教学方法1.讲授法：讲解三角形面积公式及其推导过程。

2.演示法：展示三角形面积的计算过程。

3.实践操作法：让学生动手剪拼三角形，推导出面积公式。

4.小组讨论法：分组讨论实际问题，培养学生团队合作精神。

六. 教学准备1.教具：三角板、剪刀、胶水、彩色笔。

2.课件：三角形面积的计算及实际问题。

3.练习题：不同类型的三角形面积计算题目。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示三角形面积的计算及实际问题，引导学生思考三角形面积的计算方法。

2.呈现（10分钟）讲解三角形面积公式及其推导过程，让学生理解并记忆三角形面积公式。

3.操练（10分钟）让学生动手剪拼三角形，推导出面积公式。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示不同类型的三角形面积计算题目，让学生独立完成，检查学生对三角形面积公式的掌握情况。

小学数学技巧快速计算三角形面积

小学数学技巧快速计算三角形面积三角形是初中数学中的一个基本概念，计算三角形面积是数学学习中的重要内容之一。

在小学阶段，我们可以通过一些简单的数学技巧来快速计算三角形的面积。

接下来，我将介绍几种常用的方法。

方法一：使用底边和高的关系对于任意一个三角形，我们可以将其划分为两个直角三角形。

我们知道，在直角三角形中，底边和高的乘积等于该直角三角形的面积的一半。

因此，我们可以通过计算三角形的底边和高，然后将其乘积除以2来获得三角形的面积。

例如，假设我们要计算一个底边长为5cm，高为4cm的三角形的面积。

根据上述方法，我们可以直接将底边5cm和高4cm相乘得到20，然后再除以2得到最终的面积10平方厘米。

方法二：使用底边和等边的关系三角形有很多种特殊情况，其中之一是等边三角形。

在等边三角形中，三条边的长度都相等。

我们知道，在等边三角形中，高等于底边的一半，并且高还是等边三角形中任意边的中线，即将边分成两等份的线段。

因此，在已知等边三角形的底边后，我们可以通过底边的一半来得到高，然后再将底边和高相乘除以2，即可求得等边三角形的面积。

例如，假设我们要计算一个边长为6cm的等边三角形的面积。

根据上述方法，我们可以先将底边6cm的一半，即3cm作为高，然后再将底边6cm和高3cm相乘得到18，最后再除以2得到最终的面积9平方厘米。

方法三：使用海伦公式当我们已知三角形的三边长时，可以使用海伦公式来计算三角形的面积。

海伦公式的表达式为：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，a、b、c分别代表三角形的三条边长，s为半周长，即s = (a+b+c)/2。

例如，假设我们要计算一个边长分别为3cm、4cm、5cm的三角形的面积。

根据上述公式，我们首先需要计算出半周长s，s = (3+4+5)/2 = 6。

然后，将半周长s代入公式，面积= √[6(6-3)(6-4)(6-5)] =√[6*3*2*1] = √[36] = 6平方厘米。

小学数学知识归纳掌握三角形的面积计算方法

小学数学知识归纳掌握三角形的面积计算方法三角形是数学中最基本的几何图形之一，其面积的计算方法也是学习数学的重要内容之一。

本文将对小学生常见的三角形的面积计算方法进行归纳总结，帮助学生更好地掌握这一知识点。

一、直角三角形的面积计算方法直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。

计算直角三角形的面积最简单的方法是使用直角边的长度进行计算。

设直角边的长度为a，另外两条边的长度分别为b和c，则直角三角形的面积S可以通过以下公式计算得出：S = (a * b) / 2 或者 S = (a * c) / 2其中，a表示直角边的长度，b和c表示其他两条边的长度。

根据这个公式，我们可以很方便地计算直角三角形的面积。

二、等腰三角形的面积计算方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

计算等腰三角形的面积需要知道底边长度和高的长度。

设底边长度为a，高的长度为h，则等腰三角形的面积S可以通过以下公式计算得出：S = (a * h) / 2其中，a表示底边的长度，h表示高的长度。

通过这个公式，我们可以快速计算等腰三角形的面积。

三、一般三角形的面积计算方法一般三角形是指所有边长度都不相等的三角形。

计算一般三角形的面积需要利用海伦公式（Heron's formula）。

设三角形的三边长度分别为a、b和c，则可以通过以下公式计算出三角形的面积S：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s表示半周长，即 s = (a + b + c) / 2。

根据海伦公式，我们可以准确地计算任意一般三角形的面积。

四、应用示例接下来，通过几个具体的例子，进一步说明三角形面积的计算方法。

例子1：已知一个直角三角形，其中直角边长度为3，另外两条边的长度分别为4和5，求其面积。

解答：根据直角三角形的面积计算公式，我们可以利用直角边的长度进行计算。

直角边的长度为3，另外一条边的长度为4，所以三角形的面积为：S = (3 * 4) / 2 = 6所以，该直角三角形的面积为6。

小学数学重点之三角形的面积与周长的计算与关系

小学数学重点之三角形的面积与周长的计算与关系在小学数学中，三角形是一个重要的基础概念。

了解三角形的面积与周长的计算与关系，对于学生在数学学习中的进步至关重要。

本文将介绍三角形的面积和周长的计算方法，并讨论它们之间的关系。

一、三角形的面积计算方法三角形的面积可以通过不同的方法进行计算，这取决于我们所知道的信息。

下面将介绍三种常见的计算方法。

1. 通过底边和高计算三角形的面积如果我们知道三角形的底边和高，可以使用以下公式计算面积：面积 = 底边 ×高 ÷ 22. 通过三边长计算三角形的面积如果我们知道三角形的三边长，可以使用海伦公式计算面积：面积= √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]其中，s代表三角形的半周长，s = (a + b + c) ÷ 2，a、b、c分别为三角形的三边长。

3. 通过底边和对应高计算三角形的面积如果我们知道三角形的底边和对应的高，可以使用以下公式计算面积：面积 = 底边 ×对应高 ÷ 2二、三角形的周长计算方法三角形的周长是指三角形的三个边的长度之和。

计算三角形的周长相对简单，只需将三边的长度累加即可。

周长 = 边a + 边b + 边c三、三角形的面积与周长的关系三角形的面积与周长之间存在一定的关系。

实际上，我们可以通过周长推导出三角形的面积，并且可以通过面积计算出三角形的周长。

1. 面积与周长的关系推导设三角形的周长为P，面积为S。

根据海伦公式，可以得到：S = √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]其中，s = P ÷ 2是三角形的半周长。

由此可见，当我们知道三角形的周长时，可以通过上述公式计算出面积。

2. 面积计算周长的方法如果我们已知三角形的面积S，可以通过反推的方式计算周长：P = 2s其中，s = √(S × s × (s - a) × (s - b) × (s - c)) ÷ S是三角形的半周长。

小升初数学第三讲三角形的面积

三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积=4×高÷2.三角形 ADC面积=2×高÷2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.三角形 ABC面积= 8× 4÷2＝16.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形 DFE面积= 16÷4＝4.例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2，它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是20×12÷2＝120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此面积=4×10÷2＝ 20.对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此面积=7×8÷2＝28.四边形 ABCD面积= 20＋ 28＝ 48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形 ABE面积=3×6×2＝ 9.三角形 BCF面积= 6×（6-2）÷2＝ 12.三角形 DEF面积=2×（6-3）÷2＝ 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形 BEF面积=6×6-9-12-3＝12.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE 与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD 的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2＝7.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝3.5.因为 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE 面积是3.5×4＝14.长方形 ABCD面积=7×（8＋2）=70.四边形 ABMD面积=70-7- 14＝ 49.6.2 有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是斜边的平方÷4例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.这一个图形的面积是32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63.例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.三角形ABC的面积=2×2÷2＝2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2＝4.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2＝1.阴影部分的总面积是 4＋1＝5.例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD＝7，BC＝3，三个角的度数：角B和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45°，角D是90°，角E是180°-45°-90°＝ 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即7×7÷2-3×3÷2＝20.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗？图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽 =15-11＝4是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-4×2＝3.中间小正方形面积=3×3＝ 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们已知道长-宽=1（米）.还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：15.75×4+1×1＝ 64（平方米）.64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的长+宽=8（米）.因此长=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.宽=8-4.5＝3.5（米）.那么划出的长方形面积是4.5×1＝4. 5（平方米）.例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG（阴影部分）的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四边形AECD面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=（小正方形边长+大正方形边长），因此三角形ADG面积=（小正方形边长+大正方形边长）×大正方形边长÷2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半= 6×6÷2＝18.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.6.3 其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形（如右图），求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是4×4-3-5-1.5＝6.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此三角形AEF面积＝（三角形 AEB面积）-（三角形 AFB面积）＝8×6÷2-4×8÷2＝ 8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上（如前页右图），草地部分面积（阴影部分）还是与原来一样大小，因此草地面积=（16-2）×（10-2）＝ 112.例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于梯形 ABCD面积=（8＋8-3）×5÷2＝ 32.5.上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB，BD都等于 4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=（3＋3＋3）×4÷2＝18.三角形CDE面积=（4＋4）× 3÷2＝12.这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.因为 AF＝ FE＝ EC＝3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.因为CB＝BD＝4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.2×三角形DEC面积= 2×2×（三角形 GBC面积）＋2×（三角形 GCE面积）.三角形ABC面积= （三角形 GBC面积）＋3×（三角形GCE面积）.四边形BCEG面积=（三角形GBC面积）＋（三角形GCE面积）=（2×12＋18）÷5＝8.4.所求图形面积=12＋ 18- 8.4＝21.6.例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.（三角形BCM面积）-（三角形DEM面积）=（梯形ABEF面积）-（两个长方形面积之和=（7＋10）×（4＋2）÷2-（4×7 ＋ 2×10）=3.例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少？解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此（三角形 ABC面积）+（三角形CDE面积）＋（13＋49＋35）＝（长方形面积）＋（阴影部分面积）.三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽；三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有阴影部分面积=13 ＋ 49＋ 35＝ 97.考前强化训练试题（一）一、填空题（每题5分，共60分）1．6.3÷2.2=( )……( ) 2．3.6×27 ＋1819 ×47 ＋419 ×17 =( )3.=⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯2002200114313212111（）4.已知a ＋234 =a ×234,那么a=( )5.把三个完全相等的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米，每个正方体的表面积是（）平方厘米。