初等数论练习题

初等数论练习题

信阳职业技术学院

2010年12月

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=___________； ϕ(2420)=___________。

2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。

3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。

4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。

5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。

6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。

7、18100被172除的余数是___________。

8、⎪⎭

⎫

⎝⎛10365 =___________。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1

1(mod p )的解数为 。

二、计算题 1、解同余方程：3x 2

11x

200 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解

3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 三、证明题

1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明： （1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a

≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。

2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n

2a ≡1(mod 2n+2)。

3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k p 1C - （-1 ）k

(mod p )。

4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。

初等数论练习题二

一、填空题

1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。

2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。

3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n

22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。 4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。 5、分母不大于m 的既约真分数的个数为_________。 6、设7∣(80n -1),则最小的正整数n=__________。

7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__________。 8、⎪⎭

⎫

⎝⎛10146=__________。 9、若p 是质数，n p 1，则同余方程x n 1 (mod p ) 的解数为 。

二、计算题 1、试求2004

2003

2002被19除所得的余数。 2、解同余方程3x 144x 10

6x 180 (mod 5)。

3、已知a=5,m=21,求使a x

1 (mod m)成立的最小自然数x 。

三、证明题

1、试证13|(54m +46n +2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。

2、证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n 1)! 1 (mod n )，则n 是素数。

3、证明：设p s 表示全部由1组成的s 位十进制数，若p s 是素数，则s 也是一个素数。

4、证明：若2p 1是奇素数，则 (p !)2 (

1)p 0 (mod 2p 1)。

5、设p 是大于5的质数，证明：p 4≡1(mod 240)。

初等数论练习题三

一、单项选择题 1、若n ＞1，

(n )=n-1是n 为质数的（ ）条件。

A.必要但非充分条件

B.充分但非必要条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

2、设n 是正整数，以下各组a ，b 使a

b

为既约分数的一组数是（ ）。 =n+1,b=2n-1 =2n-1,b=5n+2 C.a=n+1,b=3n+1 =3n+1,b=5n+2 3、使方程6x+5y=C 无非负整数解的最大整数C 是（ ）。

.24 C

4、不是同余方程28x ≡21(mod 35)的解为（ ）。 ≡2(mod 35)

B. x ≡7(mod 35)

C. x ≡17(mod 35)

D. x ≡29(mod 35)

5、设a 是整数，(1)a ≡0(mod9) (2)a ≡2010(mod9) (3)a 的十进位表示的各位数码字之和可被9整除

(4)划去a 的十进位表示中所有的数码字9，所得的新数被9整除 以上各条件中，成为9|a 的充要条件的共有（ ）。 个

个 个 个

二、填空题

1、σ(2010)=__________；ϕ(2010)=__________。

2、数20100C 的标准分解式中，质因数7的指数是__________。

3、每个数都有一个最小质因数.所有不大于10000的合数的最小质因数中，最大者是___。

4、同余方程24x ≡6(mod34)的解是__________。

5、整数n>1，且(n-1)!+1≡0(mod n),则n 为_______（填：素数或合数）。

6、3103被11除所得余数是__________。

7、⎪⎭

⎫

⎝⎛9760=__________。 三、计算题 1、判定(ⅰ) 2x 3

x 2

3x 1

0 (mod 5)是否有三个解；

(ⅱ) x 6 2x 5 4x 2 3 0 (mod 5)是否有六个解

2、设n 是正整数，求1

223212C ,,C ,C n n

n n 的最大公约数。

3、已知a=18,m=77,求使a x

1 (mod m)成立的最小自然数x 。

四、证明题

1、若质数p ≥5,且2p+1是质数，证明：4p+1必是合数。

2、设p 、q 是两个大于3的质数，证明：p 2≡q 2(mod 24)。

3、若x,y ∈R +

,（1）证明：[xy]≥[x][y]； （2）试讨论{xy}与{x}{y}的大小关系。 注：我们知道，[x y]≥[x]+[y]，{x+y}≤{x}+{y}。此题把加法换成乘法又如何呢

4、证明：存在一个有理数d

c

，其中d < 100,能使 ][d c

k

=][100

73k 。 （提示：由（73,100）=1，利用裴蜀恒等式来证明）