缓和曲线和圆曲线的有关计算

缓和曲线和圆曲线的计算与测设一、缓和曲线的性质缓和曲线是直线与圆曲线间的一种过渡曲线。

它与直线分界处半径为∞，与圆曲线相接处半径与圆曲线半径R 相等。

缓和曲线上任一点的曲率半径ρ∝l1 或ρl=C式中，C 变更率。

当l =0l 时，ρ=R ，所以0Rl =C式中，0l 为缓和曲线总长。

ρl=C 是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可以作为缓和曲线，如辐射螺旋线、三次抛物线等。

我国缓和曲线均采用辐射螺旋线。

二、缓和曲线方程式按照ρl=C 为必要条件导出的缓和曲线方程为：X=l －2540C l ＋493456C l ＋…Y=Cl 63－37336C l ＋51142240C l ＋ (1)根据测设要求的精度,实际应用中可将高次项舍去,并顾及到0Rl =C ,则上式变为X=l －202540l R lY=036Rl l －3037336l R l （2）式中,x 、y 为缓和曲线上任一点的直角坐标，坐标原点为直缓点（ZH ）或缓直点（HZ ）；通过该点的缓和曲线切线为x 轴，如图2：l 为缓和曲线上任一点P 到ZH （或HZ ）的曲线长；0l 为缓和曲线总长度。

当l =0l 时，x=x 0,y=y 0,代入式（2）得：X 0=0l －23040R lY 0=Rl 62－340336Rl （3）式中，x 0 、y 0 为缓圆点（HY ）或圆缓点（YH ）的坐标。

三、缓和曲线常数计算β0、δ0、m 、p 、 x 0、y 0 等称为缓和曲线常数。

其物理意义及几何关系由下图,图3可得知：β0——缓和曲线的切线角，即HY （或YH ）点的切线与ZH （或HZ ）点切线的交角；亦即圆曲线一端延长部分所对应的圆心角。

δ0——缓和曲线的总偏角；m —切垂距，即ZH （或HZ ）到由圆心O 向切线所作垂线垂足的距离； p —圆曲线内移量，为垂线长与圆曲线半径R 之差。

常数计算公式如下：X 0=0l －23040R lY 0=Rl 62－340336Rlβ0=π18020R lδ0=031β=π 18060R lm=2l －230240R lp=24R l 20－3402688Rl ≈24Rl 20 （4） 下面我们推证常数β0、δ0 、m 、p 、x 0、y 0。

（一） 求β0设β为缓和曲线上任一点的切线角；ρ为该点的曲率半径；l 为该点至ZH 点的缓和曲线长。

如图4d β=d l /ρ,将ρl=0Rl 代入上式，则d β=dl l /0Rl∴ β=∫0l d β=∫0lRl ldl =22Rl l当l =0l ，β=β0 则β0=π18020R l （5）（二）求δ0 由上图可得知，tan δ0=0x y∵δ0很小，故δ0≈tan δ0=00x y 将（3）式代入上式，并略去二次项，∴δ0=R l 60=031β （6）(三)、圆曲线内移值 m如图3 m=c x －0sin β R 运用级数展开，略去高次项=0l －23040R l －R （＋－2308612Rl R l …）=2l －230240R l （7）(四) 切垂距p 计算 如图3 p=(R+cos βcy )×0cos β－R =c y －R （1－0cos β） 运用级数展开，略去高次项=Rl62－340336R l －R （1－（1－＋＋44022016241421Rl R l …））=Rl 62－340336Rl －440203848R l R l ＋=24R l 20－3402688Rl ≈24Rl 20 （8） （五）求x 0、y 0任取一微小变量 dl, 则所对应的x 、y 增量为，dx 、dy, 其对应的关系为 dx= dl βcosdy=dl βsin (9)βcos =1－！β22+！β44－…βsin =β－！β33＋！β55－…β=022Rl l(10)将（10）代入（9）式进行积分，并略去高次项得：X=l －202540l R lY=036Rl l －3037336l R l当l=l 0 时X 0=0l －23040R lY 0=Rl 62－340336Rl四、曲线测设（一）曲线综合要素计算由图3可知，曲线综合要素计算如下： 切线长 T=m+(R+p).tan 2α 曲线长 L=20l +1802R 0〕β〔α－π=0l +180R απ 外矢距 E 0=（R+P ）2sec α －R切曲差 q=2T －L （11） (二)缓和曲线的偏角计算如图5，缓和曲线上任一点i 的偏角为： δ≈sin δ≈ly （∵δ很小）∵y=036Rl l∴δ=π180602Rl l 又∵β=022Rl l π180∴δ=3β故 b=β－δ=2δ （12）式中，δ为缓和曲线上任一点的正偏角，b 为该点的反偏角。

(三)切线支距法测设曲线坐标计算公式以ZH （或HZ ）为坐标原点，以切线为x 轴，垂直切线方向为y 轴。

1、 缓和曲线部分X=l －202540l R lY=036Rl l －3037336l R lδ=π180602Rl l b=2δZHJDHYibb 0弦长 l 弦=22Y X ＋说明： l —缓和曲线上任意一点至ZH 或HZ 点的距离l 0—缓和曲线长度（单侧） R —圆曲线半径δ—缓和曲线上任一点的正偏角 b —缓和曲线上任一点的反偏角 2、 圆曲线部分 X i =Rsin αi +m Y i =R （1－cos αi ）+pαi =Rl L 18001π）－（ +β0X i 、Y i —两缓和曲线间圆曲线上某点的支距（原点为ZH 或HZ ） L 1—从ZH 或HZ 点到圆曲线上某点的弧长 l 0—缓和曲线长度（单侧）αi —圆曲线上某点的半径与圆心向切线所作垂线间的夹角。

3、当为圆曲线而无缓和曲线时 X 1=Rsin2φ Y 1=R （1－cos2φ） φ=R2018πl =R90πll 弦=2Rsin φ （弦长）X 1、Y 1—圆曲线上某点的支距（原点为ZY 或YZ ） l —从ZY 或YZ 点到圆曲线上某点的弧长 φ—圆曲线上某点与起点的弦切角。

R —圆曲线半径支距坐标与整体坐标系的转换A 、 当坐标原点与ZH （ZY ）或HZ （YZ ）点重合时，根据支距坐标与坐标系之间图形的关系，分为四种情况Ⅰ：P （X ，Y ）=P ’(X,Y) Ⅱ： P （X ，Y ）=P ’(-X,Y) Ⅲ：P （X ，Y ）=P ’(-X,-Y) Ⅳ：P （X ，Y ）=P ’(X,-Y)支距坐标系整体坐标系ⅡⅠ整体坐标系支距坐标系支距坐标系整体坐标系'ⅢⅣ'整体坐标系支距坐标系缓和曲线加圆曲线切线及法线方位角的计算设自ZH （HZ ）（图中为O 点） 指向JD 的起始方位角为0α，(见附图) 1、当所设定的曲线为顺时针偏转时： 缓和曲线上任意点的切线方位角为： A α切线=0α+3δ（方向指向曲线前进方向）OA α=0α+δ缓和曲线上任意点的法线方位角为：A α法线=0α+3δ－90° （方向指向曲线外侧方向）圆曲线上任意点的切线方位角为：B α切线=0α+3δ0+2φ（方向指向曲线前进方向）B HY －α=0α+3δ0+φ 圆曲线上任意点的法线方位角为：B α法线=0α+3δ0+2φ－90° （方向指向曲线外侧方向）2、当所设定的曲线为逆时针偏转时： 缓和曲线上任意点的切线方位角为： A α切线=0α－3δ（方向指向曲线前进方向）OA α=0α－δ缓和曲线上任意点的法线方位角为：A α法线=0α－3δ＋90° （方向指向曲线外侧方向）圆曲线上任意点的切线方位角为：B α切线=0α－（3δ0+2φ）（方向指向曲线前进方向） B HY －α=0α－（3δ0+φ） 圆曲线上任意点的法线方位角为：B α法线=0α－（3δ0+2φ）＋90° （方向指向曲线外侧方向）以上式中δ=π026180Rl l = 0230Rl l πδ0=πR l 61800 = Rl π300说明： l —缓和曲线上任意一点至ZH 或HZ 点的距离l 0—缓和曲线长度（单侧） R —圆曲线半径δ—ZH 或HZ 处缓和曲线上任意点弦切角δ0—ZH 或HZ 处缓和曲线上HY 或YH 点弦切角 φ=R2018πl =R90πl说明: l —从ZY 或YZ 点到圆曲线上某点的弧长φ—圆曲线上某点与起点的弦切角。

R —圆曲线半径坐标计算方位示意图曲线交点转向角的检核转向角 α=2（δ0+β0+φ0）=6δ0+2φ0=6×R l π 300+2×R 90πR l =R 1800πl +Rl 180Rπ =Rl l 180R 0π〕＋〔l 0—缓和曲线长度（单侧） l R —圆曲线长度 R —圆曲线半径算例 长沙疏解线特大桥JD2α=74°36′35″ 圆曲线半径 R=350ml 0=70m ， l R =385.76mα=π〕＋〔350385.7670180 =74°36′32.1″Δα=3″ 误差在允许范围之内。

一般情况，设计单位都会给出曲线要素，为以防万一，我们需要对设计资料进行必要的复核。

坐标计算X=X 0+r cos α Y=Y 0+r sin α其中 X 0 、Y 0 坐标起始点，r 为增量距离 α 为坐标增量的方位角，在计算时注意方位角的方向，方向是指向计算点的。

竖曲线的设计与计算1、坡长 s=l 2－l 1l 1、l 2 —相邻两变坡点的桩号（l 2 ＞l 1），单位以m 计；2、坡度 i =%10012 sh h － h 1 、h 2—相邻两变坡点的高程，单位以m 计；3、竖曲线的半径选择A 、切线长控制 R =ωT 2 B 、外距控制 R =28ωEC 、曲线长控制 R =ωl 其中：R —竖曲线半径； T —竖曲线切线长; L —竖曲线长度; E —竖曲线外距；ω—竖曲线处前后坡度差。

4、竖曲线的设计与计算 坡度差：ω=12i i － 曲线长： L=R ω 切线长：T=2L =2ωR 外距：E=2RT 2起点桩号=变坡点桩号－T终点桩号=变坡点桩号+T1i 、2i —变坡点前后两坡段的坡度；R —竖曲线半径； 5、设计标高计算直坡段上：h= h 1+（l －l 1）×1i或h= h 2－（l 2－l ）×1i当中桩在竖曲线上时，按该式计算的高程叫切线高程 竖曲线上：设计高程=切线高程±纵距其中纵距y =Rx 22或y =22R x R －－L —待求点桩号；l 1、 h 1—前一变坡点桩号和高程； l 2、 h 2—竖曲线对应变坡点桩号和高程；1i 、2i —坡段的坡度；X —待求点与竖曲线起点的桩号差； h —设计标高；“±”—表示竖曲线类型的符号，凹形曲线取“+”，凸形曲线取“－”；2007年7月25日星期三 作者：张华成 （修改于太原）切线高程计算曲线桥梁墩台中线测设一、墩台中线之测设曲线桥梁的线路虽为曲线，但各孔梁仍是直的，将各孔梁联接起来即成折线，各墩中心即是折线的交点。