2020-2021哈尔滨备战中考数学压轴题专题复习——相似的综合

2020-2021哈尔滨备战中考数学压轴题专题复习——相似的综合

一、相似

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；

（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．

【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，

而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

当x=0时，y=﹣3a，

∴C（0，﹣3a）

（2）解：∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），

∴AB=4，OC=3a，

∴S△ACB= AB•OC=6，

∴6a=6，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3

（3）解：设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，

∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，

∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，

∴OF=2m+1，HF=1，

当∠CGF=90°时，

∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，

∴∠GQH=∠HGF，

∴Rt△QGH∽Rt△GFH，

∴ = ，即，解得m=9，

∴Q的坐标为（9，0）；

当∠CFG=90°时，

∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，

∴∠CFO=∠FGH，

∴Rt△GFH∽Rt△FCO，

∴ = ，即 = ，解得m=4，

∴Q的坐标为（4，0）；

∠GCF=90°不存在，

综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．

【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0，把x=0代入解析式即可求得点C的坐标；

（2）由（1）的结论可求得AB=4，OC=3a，根据三角形ABC的面积=AB•OC=6可求得a的值，则解析式可求解；

（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，根据中心对称的性质可得QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3。分两种情况讨论：①当∠CGF=90°时，由同角的余角相等可得∠GQH=∠HGF，于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得

Rt△QGH∽Rt△GFH，则可得比例式，代入可求得m的值，则点Q的坐标可求解；

②当∠CFG=90°时，同理可得另一个Q坐标。

2．如图，在中，，点M是AC的中点，以AB为直径作

分别交于点．

（1）求证：；

（2）填空：

若，当时， ________；

连接，当的度数为________时，四边形ODME是菱形．

【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM．∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME

（2）2；

【解析】【解答】解：(2)①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴ =

．∵AD=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE= AB= ×6=2．

故答案为：2．

②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：

连接OD、OE．

∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．

故答案为：60°．

【分析】（1）要证MD=ME，只须证∠MDE=∠MED即可。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AM=MC，则∠A=∠ABM，由圆内接四边形的性质易得∠MED=∠A，∠MDE=∠MBA，所以可得∠MDE=∠MED；

（2）①由（1）易证得DE∥AB，可得比例式，结合①中的已知条件即可求解；

②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：连接OD、OE，由题意易得△ODE，△DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。

3．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现

①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________．

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

【答案】（1）；

（2）解：如图2，

，

当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵，

∴△ECA∽△DCB，

∴

（3）解：①如图3，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD=

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴BD=AC= ．

②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，