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柯西不等式各种形式的证明及其应用

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等

式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，

正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式

在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式

()()

()2

2222

bd ac d c b a

+≥++

等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：(

)()()2

2222

2222123123112233n

n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+

等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫

==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭

当或时，和都等于，不考虑

二维形式的证明：

()()()

()()()

2

22222222222

222222222

2

2,,,220=a

b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立

三角形式

ad bc

=等号成立条件：

三角形式的证明：

222111n

n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫

≥ ⎪⎝⎭

∑∑∑

()(

)

2

2222222222222

2

22-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥

注：表示绝对值

向量形式

()()()

()

123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或

向量形式的证明：

()()

123123112233222

22

23123222

222

22

112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n n

m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m n

a a a

b b b b m n

m n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=+++

+==+++

++++

+≤∴+++

+≤+++

++++

+令

一般形式

2

112

12⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k n

k k n

k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

一般形式的证明：

2

11

2

1

2⎪⎭

⎫

⎝⎛≥∑∑∑===n

k k k n

k k

n k k b a b

a 证明：

()()()()()2222

22=/2=/2i j j i i i j j j j i i a b a b n a b a b a b a b n ++

+

⋅+⋅++

≥不等式左边共项

不等式右边共项

用均值不等式容易证明，不等式左边不等式右边，得证。

推广形式(卡尔松不等式)：

卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。

)()

()

11111231111,m

m

m

m

m

m

m

m

i i i in i i i i x x x x m n N ====+

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∈∏∏∏∏其中，

或者：

111111,m

m

m

n

n

m

ij ij j i j i ij x x m n N x R ====++

⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦

∈∈∑∑∏∏其中，，

或者

()()()

()()112211

11n n n

n n n x y x y x y x y x x y ++++++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦∏∏∏注：表示，，，x 的乘积，其余同理

推广形式的证明： 推广形式证法一：

1112221121

12121212

112

1

12121212112,,

+n n n n n

n n n n n n n

n n n n n n

n A x y A x y A x y x x x x A A A x x x n A A A A A A y y y y

A A A y y y n A A A A A A n x A A A =++=++

=++

+++⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎛⎫

≥ ⎪ ⎪⎝⎭∏∏∏记由平均不等式得

同理可得上述个不等式叠加，得1()()()()()()()()

()()1121111

112112211

+n

n n

n n

n n n

n n n n

n n y A A A

x y A A A x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

≥++

⎡⎤++⎢⎥⎣⎦

++++++

⎡⎤

≥++⎢⎥⎣

⎦

∏∏∏∏∏∏∏即即，证毕