柯西不等式各种形式的证明及其应用演示版.doc

柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等
式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，
正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式
在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式
()()
()2
2222
bd ac d c b a
+≥++
等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：(
)()()2
2222
2222123123112233n
n n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+
等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫
==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭
当或时，和都等于，不考虑
二维形式的证明：
()()()
()()()
2
22222222222
222222222
2
2,,,220=a
b c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立
三角形式
ad bc
=等号成立条件：
三角形式的证明：
222111n
n n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
∑∑∑
()(
)
2
2222222222222
2
22-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥
注：表示绝对值
向量形式
()()()
()
123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或
向量形式的证明：
()()
123123112233222
22
23123222
222
22
112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n n
m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m n
a a a
b b b b m n
m n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=+++
+==+++
++++
+≤∴+++
+≤+++
++++
+令
一般形式
2
112
12⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k n
k k n
k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

一般形式的证明：
2
11
2
1
2⎪⎭
⎫
⎝⎛≥∑∑∑===n
k k k n
k k
n k k b a b
a 证明：
()()()()()2222
22=/2=/2i j j i i i j j j j i i a b a b n a b a b a b a b n ++
+
⋅+⋅++
≥不等式左边共项
不等式右边共项
用均值不等式容易证明，不等式左边不等式右边，得证。

推广形式(卡尔松不等式)：
卡尔松不等式表述为：在m*n 矩阵中，各行元素之和的几何平均数不小于各列元素 之积的几何平均之和。

)()
()
11111231111,m
m
m
m
m
m
m
m
i i i in i i i i x x x x m n N ====+
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∈∏∏∏∏其中，
或者：
111111,m
m
m
n
n
m
ij ij j i j i ij x x m n N x R ====++
⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∈∈∑∑∏∏其中，，
或者
()()()
()()112211
11n n n
n n n x y x y x y x y x x y ++++++⎡⎤≥++⎢⎥⎣⎦∏∏∏注：表示，，，x 的乘积，其余同理
推广形式的证明： 推广形式证法一：
1112221121
12121212
112
1
12121212112,,
+n n n n n
n n n n n n n
n n n n n n
n A x y A x y A x y x x x x A A A x x x n A A A A A A y y y y
A A A y y y n A A A A A A n x A A A =++=++
=++
+++⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫
≥ ⎪ ⎪⎝⎭∏∏∏记由平均不等式得
同理可得上述个不等式叠加，得1()()()()()()()()
()()1121111
112112211
+n
n n
n n
n n n
n n n n
n n y A A A
x y A A A x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
≥++
⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
++++++
⎡⎤
≥++⎢⎥⎣
⎦
∏∏∏∏∏∏∏即即，证毕
或者
推广形式证法二：
事实上涉及平均值不等式都可以用均值不等式来证，这个不等式并不难，可以简单证明如下：
1
1
1
2
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
m
j
n
j
i
m
j
n
j
i
m
jn
n
j
ji
i
m
m
n
jk
n
k j
ji
i
m
jk
j
m n
ji
i
j
x
m
xji
x
m
xji
x
m
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
==
=
=
=
=
≤
≤
≤
⎛⎫
⎪
⎪≤
⎪
⎪
⎝⎭
⎛
⎛⎫
⎪
⎝⎭
⎝
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑∏
∑
∏
∑
∏
以上各式相加得
上式也即
1
1
1
11
11
1,
1
m
n
k
m m
n n m
jk ji
k i
j j
x x
m
=
==
==
⎫
⎪
⎪≤
⎪
⎪
⎭
⎛⎫⎡⎤
⎛⎫
≤
⎪⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
∑
∑∑
∏∏
该式整理，得：
得卡尔松不等式，证毕
付：柯西（Cauchy）不等式相关证明方法：
()2
2
2
1
1n
n
b
a
b
a
b
a+
+
+ ()()22
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1n
n
b
b
b
a
a
a+
+
+
+
+
+
≤
()n
i
R
b
a
i
i
2,1
,=
∈
等号当且仅当0
2
1
=
=
=
=
n
a
a
a 或
i
i
ka
b=时成立（k为常数，n
i
2,1
=）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数()()()2
2
2
2
2
1
1
)
(
n
n
b
x
a
b
x
a
b
x
a
x
f+
+
+
+
+
+
=
=()()() 22222
12112212
2
n n
n n n n
a a a x a
b a b a b x b b b
+++++++++++
22
12
n
n
a a a
+++≥
()0f x ∴≥恒成立 ()()()2
22
2211221212440n
n
n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=++
+-++
+++
+≤
即()()()2
22
2211221212n
n
n n n n a b a b a b a a a b b b ++
+≤+++++
+
当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即
1212
n
n
a a a
b b b ===
时等号成立 证明（2）数学归纳法
（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()2
11a b 显然 左式=右式 当
2n =时， 右式 ()()()()2
2
22
222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++
()()()222
1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式
仅当即 2112a b a b = 即
12
12
a a
b b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立
（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2
22
2211221212k
k k k k k a b a b a b a a a b b b ++
+≤++
+++
+
当 i i ka b =，k 为常数，1,2
i n = 或120k a a a ==
==时等号成立
设22
2
12k a a a A ===
= 22212k b b b B ===
=
1122k k C a b a b a b =++
+
则()()2
2
2221
1
1
11k k k k k a b b
a b +++++A +B +=AB +A +
()2
222
1111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+
(
)()2
2
2222
22121121k k k k a a a a b b b b ++∴++
++++
++
()2
112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++
当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ==
==时等号成立
即 1n k =+时不等式成立
综合（1）（2）可知不等式成立
二、柯西不等式的应用 1、巧拆常数证不等式
例1：设a 、b 、c 为正数且互不相等。

求证：2222
a b b c a c a b c
+
+++++
.
a b c 、、均为正数
()()()()()111292=a b c a b b c a c a b c a b b c a c ∴⎛⎫++++
⎪+++⎝⎭
+++++++为证结论正确，只需证:
而为证结论正确，只需证：
又
29(111)=++∴只需证:
()()()()()2
1
1121
111119
a b c a b b c a c a b b c a c a b b c a c ⎛⎫++++=
⎪+++⎝⎭
⎛⎫+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭≥++=
又
a b c
、、互不相等，所以不能取等
∴
原不等式成立，证毕。

2、求某些特殊函数最值
例2：
y =
求函数
函数的定义域为[5，9],0y
5*210
6.44y x =≤
===函数仅在时取到
3、用柯西不等式推导点到直线的距离公式。

已知点()00,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()
220A +B ≠ 设点p 是直线l 上的任意一点， 则
0x x C A +B +=
（1）
12p p =
（2）
点12p p 两点间的距离12p
p 就是点p 到直线l 的距离，求（2）式有最小值，有
()()0101x x y y ≥A -+B -
()0011x y C x y C A +B +-A +B +
由（1）（2）得：
1200p p x y C ≥A +B + 即
12p p ≥
（3）
当且仅当 ()()0101:y y x x B
--=
A
12p p l ⊥ （3）式取等号 即点到直线的距离公式
即
12p p =
4、 证明不等式
例 3已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 222
3
3
3
3
a b c a b c ++++≥
证明：利用柯西不等式
()
2
313131
2
2
222222
22a
b c
a a
b b
c c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭
[]222333222a b c a b c ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2
333a b c a b c =++++
()1a b c ++=
又因为 2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2
2
2
a b c ++得：()()
2223a b c a b c ++≤++
()()()2
2223332223a b c a b c a b c ++≤++•++
故2223
3
3
3
a b c a b c ++++≥
5、 解三角形的相关问题
例 4设p 是ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的
≤
证明：由柯西不等式得，
=
111
a b c
≤++记S为ABC的面积，则
22
42
abc abc
ax by cz
S
R R
+
+==
=
≤=≤
故不等式成立。

6、求最值
例5已知实数,,
a b c,d满足3
a b c d
+++=，2222
2365
a b c d
+++=试求a的最值解：由柯西不等式得，有
()()2
222
111
236
236
b c d b c d
⎛⎫
++++≥++
⎪
⎝⎭
即()2
222
236
b c d b c d
++≥++
由条件可得，()2
2
53
a a
-≥-
解得，
12
a
≤≤
==时等号成立，
代入
11
1,,
36
b c d
===时，
max
2
a=
21
1,,
33
b c d
===时
min
1
a=
7、利用柯西不等式解方程
例6在实数集内解方程
222
9
4
862439
x y z
x y y
⎧
++=
⎪
⎨
⎪-+-=
⎩
解：由柯西不等式，得
()()()()
222
2222
86248624
x y z x y y
⎡⎤
++-++-≥-+-
⎣⎦①
()()()
22
2222
8624
x y z⎡⎤
++-++-
⎣⎦
()2
9
6436414439
4
=⨯++⨯=
又()22
862439
x y y
-+-=
()()()()222
2
22286248624x
y z x y z ⎡⎤++-++-=-+-⎣⎦
即不等式①中只有等号成立
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
8624
x y z
==
-- 它与862439x y y -+-=联立，可得
613x =-
926y = 1813
z =- 8、用柯西不等式解释样本线性相关系数
在线性回归中，有样本相关系数()
()n
i
i
x x y y --∑，并指出1r ≤且r 越接近
于1，相关程度越大，r 越接近于0，则相关程度越小。

现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。

现记i i a x x =-，i i b y y =
-，则，
n
i i
a b
∑1r ≤
当1r =时，
()2
221
1
1
n
n n
i i
i
i
i i i a b a b
====∑∑∑
此时，
()()i i i i
y y b k x x a -==-，k 为常数。

点(),i i x y n i 2,1=均在直线
()y y k x x -=-上，r
当1r →时，
()
2
22111
n
n
n
i i
i
i
i i i a b a
b
===→∑∑∑
即
()2
221110n
n
n
i i
i
i
i i i a b a b
===-→∑∑∑
而
()()
2
2
221
1
1
1n
n
n
i i i
i i j j i i i i i j n
a b a b a b a b ===≤≤≤-=--∑∑∑∑
()2
10i
j
j i i j n
a b
a b ≤≤≤-→∑⇒0i j j i a b a b -→
⇒
,i
i
b k k a →为常数。

此时，此时，
()()i i i i
y y b k x x a -==-，k 为常数
点(),i i x y 均在直线()y y k x x -=-附近，所以r 越接近于1，相关程度越大 当0r →时，(),i i a b 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k ，使得点(),i i x y 都在直线()y y k x x -=-附近。

所以，r 越接近于0，则相关程度越小。

9、关于不等式2
2
2
2
2
)())((bd ac d c b a +≥++的几何背景 几何背景：如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(， 则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=
.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理22
2
2
⋅-+=OP OQ OP PQ 2
222cos d
c b a bd
ac +⋅++=
θ或.))(()(cos 22222
2
d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02
≤≤θ，所以，1)
)(()(2
2222
≤+++d c b a bd ac ， 于是
2
2
2
2
2
)())((bd ac d c b a +≥++. 柯西不等式的相关内容简介
（1） 赫尔德(Holder)不等式
)11
1(
)()(2211121121=++++≥++++++q
p b a b a b a b b b a a a n n q
q
n q
q
p
p
n p
p
当2==q p 时，即为柯西不等式。

因此，赫尔德不等式是柯西不等式更为一般的形式，在分析学中有着较为广泛的应用。

（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等价形式）
2
2222112
222122221)()()(n n n n b a b a b a b b b a a a ++++++≥+++++++
精选 可以借助其二维形式22221122212221)()(b a b a b b a a +++≥+++来理解，根据三角形的两边之和大于第三边，很容易验证这一不等式的正确性。

该不等式的一般形式
p p n n p p p p n p p p p n p p b a b a b a b b b a a a 12211121121])()()[()()(++++++≥+++++++ 称为闵可夫斯基（Minkowski ）不等式。

它是由闵可夫斯基在对n 维空间中的对称凸几何体定义了一种“距离”的基础上得到的，即对于点),,,(),,,,(2121n n y y y y x x x x ==，定义其距离为 p
n i p i i y x
y x 1)(),(∑-=ρ. 闵可夫斯基立足于这一不等式确立了相应的几何，建立了一种类似于现代度量空间的理论，即实变函数中的赋范空间基础。

这从另一个侧面体现了柯西不等式的丰富数学背景。