七年级数学平方差公式
初中数学 什么是平方差公式
初中数学什么是平方差公式
平方差公式是初中数学中一个重要的公式，用于计算两个数的平方差。
它的一般形式可以表示为：
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
其中，a和b是任意实数。
平方差公式的推导可以通过展开左边的乘积来得到。
具体步骤如下：
1. 将(a + b)(a - b)展开：
(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
= a^2 - ab + ab - b^2
= a^2 - b^2
在这个过程中，我们可以看到中间的两项-ab和ab相互抵消，最终得到了平方差公式的形式。
平方差公式的应用非常广泛，可以帮助我们简化复杂的计算，解决各种数学问题。
一些常见的应用包括：
1. 因式分解：
平方差公式可以用于因式分解，特别是当我们需要将一个差的平方进行因式分解时，可以直接应用平方差公式得到因式分解形式。
2. 简化计算：
平方差公式可以帮助我们简化各种数学计算。
例如，当需要计算一个数的平方与另一个数的平方之差时，可以直接应用平方差公式，避免繁琐的计算步骤。
3. 解方程：
平方差公式可以用于解一些特殊的方程。
例如，当我们需要解一个二次方程时，可以通过平方差公式将其转化为两个一次方程，从而求得方程的解。
总之，平方差公式是初中数学中一个重要的工具，可以帮助我们简化计算，解决各种数学问题。
通过掌握平方差公式，我们可以更好地理解和运用数学知识。
七年级数学平方差公式
(a+b)(a-b)
∴ a2-b2 = (a+b)(a-b)
想一想：
随堂练习：
计算：
1. (a+2)(a-2) 2. (3a+2b)(3a-2b) 3. (-x+1)(-x-1) 4. (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1
=16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
平方差公式(1)
平方
计算下列各题：
1. (x+2)(x-2) =x2-4 2. (1+3a)(1-3a) =1-9a2 3. (x+5y)(x-5y) =x2-25y2 4. (y+3z)(y-3z) =y2-9z2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
；
把自已的理想告诉同伴时，立刻招来同伴们的嘲笑：“瞧瞧，什么叫心比天高，这就是啊！”“真是异想天开！”┅┅这块石头不去理会同伴们的闲言碎语，仍然怀抱理想等时机。有一天，一个叫庄子的人路过这里，它知道这个人有非凡的智慧，就把自已的梦想告诉了他，庄子说：“我可以帮助你 实现，但你必须先长成一座大山，这可是要吃不少苦的。”石头说：“我不怕。”于是，石头拼命地吸取天地灵气，承接雨露惠泽，不知经过多少年，受了多少风雨的洗礼，它终于长成了一座大山。于是，庄子招来大鹏以翅膀击山，一时间天摇地动，一声巨响后，山炸开了，无数块石头飞向天空， 就在飞的一刹那，石头会心地笑了。但是不久，它从空中摔了下来，仍旧变成了当初的模样，落在原来的地方。庄子问：“你后
初中七年级数学平方差公式
●内容全解
1.平方差公式
（1）公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
(2)特征：
①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积.
②右边：这两数的平方差.
（3）找a与b的简便方法
由于(a+b)(a-b)可看作(a+b)［a+(-b)］，所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b 是互为相反数，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的项(b与-b)的平方.
因此，运用平方差公式进行运算,关键
．．是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反的项作为b.
如(3-m)(3+m)中，“3”与“3”相同，作为a,而“-m”与“m”相反，任选其一作为b,那么
(4)平方差公式中的a和b可以代表一个字母，一个数字或单项式.
注意：当a或b代表单项式时，进行平方时底数一定要打括号.
2.用拼图解释平方差公式
图1-4
左图阴影面积是a2-b2,而右图的阴影部分是长方形，长为(a+b),宽（a-b）,阴影面积为(a+b)(a-b),由于左右两图的阴影部分面积相同，所以a2-b2=(a+b)(a-b),再次验证了平方差公式.。
湘教版七年级数学下册课件2.平方差公式
（2）(3+2a)(－3+2a)； =(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4a2－9.
（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；
=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
=2499. （5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
课堂小测
4.利用平方差公式计算: (a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
课堂小测
5.化简： (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4). 解：原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =(x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
③(2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 1 ④(5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
新知探究
归纳总结 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
新知探究
算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x ＋ 1)( x－1)； ②(m ＋ 2)( m－2)； ③(2m＋ 1)(2m－1)； ④(5y ＋ z)(5y－z).
新知探究
七年级数学下册 8.3 完全平方公式与平方差公式1 沪科版
完全平方公式 ◆公式中的a、b可以表示什么？能否举出 例子？
11
巩固练习：以下各式能否运用平方差公式进行 计算？若能，请指出各式中的a、b？
⑴（2x+1)(x-1) ⑵（2a+5b)(2a-5b) ⑶(-x+y)(-x-y) ⑷ (y-2x)(-2x-y) ⑸（x2+9)(x2-9) (6)(2a+b+1)(2a+b-1) （7）（a+b+c+d)(a+b-c-d)
这时的场地面积为多大？若其
边长减少b m呢？
b
b
a
b
a
(a-b)2 2
• 问题2．
一个边长为a m的正方形，在它的一角 处去掉一个边长为b m的正方形（b＜a）， 剩下的部分可以分割成两个梯形，这两个梯 形的面积之和是多少？
b
a
-
b
a
a
b
ba
(a-b)(a+b)
3
请同学们用多项式与多项式的乘法法则做一做
(a –b )(a+ b )= a2 - b 2
14
练习 利用乘法公式计算，每个同学可选做一题。 1． （1）(x+3)(x-3)
(2) (x+4)²
2. (1) （2a+5b)(2a-5b) (2) (2x-5y)²
3. (1) (2a+b+1)(2a+b-1)
(2) (2a+b+1)²
15
总结
16
总结３．运用乘法公式进行计算，需 要注意些什么？
(1)要先辨认一下这个式子符合哪个公式的结构
(2)再识别公式中的a、b在具体式子中分别表示 什么. 作业 探究：你能举出多少种不同类型的能用
七年级数学8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
七年级数学平方差公式
a
b 图1 a
b
图2
如左图，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
1. 请表示图中阴影（紫色）部分的面积。
2. 小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个 长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？
FLASH动画演示
3. 比较1、2的结果，你能验证平方差公式吗？
4. 图1
a2-b2
图2
(a+b)(a-b)
随堂练习：
计算：
1. (a+2)(a-2) 2. (3a+2b)(3a-2b) 3. (-x+1)(-x-1) 4. (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1
=16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
;
；
于是，带她去看，说明病史后，老中医什么都没说，只是揭开自己的白大褂，她看见，他只有一条腿。 (17)他说，人活着，不是靠双腿，靠的是一颗完整的心，我只有一条腿，活得好好的，你还比我多半条腿呢，怕什么？ (18)从那以后，她常常去老中医那里，不是看病，而是疗心。 (19)再后来，父母给她装了假肢，搬了家，学了钢琴，当了钢琴老师，成了现在的自己。 (20)说完，她淡淡地笑，而我，似乎看见另外一个不一样的她，在我眼前，诉说别人的故事。 （21）是啊，如果不是偶然看见，在我心里，在我眼里，她依旧是那个只会撒娇、娇弱漂亮的公主，而此 刻，我似乎看见，那些她曾经受过的伤害和遭遇，凝聚成一股钢铁般的力量，让她坚强。 （22）再后来，她睡了。 （23）我走在走廊的尽头，心绪难平。 （24）我看见天边有一颗星星
七下数学课件： 乘法公式(第2课时 平方差公式)(课件)
解：=y2-22-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=- 4y + 1
【名师点拨】不符合平方差公式运算条件的，则需按照乘法法则进行运算。
运用平方差公式进行计算
利用平方差公式计算：
1）(a+3b)(a-3b)
2）(3+a)(-3+a)
3）(-2x2-3y)(-2x2+3y)
4）20182 － 2015×2021
1)对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：
(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2)公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，
当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把
字母平方，而系数忘了平方的错误。
运用平方差公式进行计算
平方差公式运用
=5050．故答案为D.
平方差公式与几何面积-提高
4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a＋b）的正方形，图
中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝S2，则a，b满足的关系式是（
A．a＝1.5b
B．a＝2b
C．a＝2.5b
D．a＝3b
1
【详解】解：由题意可得：S2＝4×2b（a＋b）＝2b（a＋b）；
1）(x+1)(x-1)
相加和为0
2 − + −1 = 2 -1
=
2）(m+2)(m-2)
2+2 −2 −4 =2 -4
=
相加和为0
3）(2x+1)(2x-1) =
4）(a+b)(a-b) =
第3讲 平方差公式七年级数学下册同步精品讲义
第3讲 平方差公式1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.知识点公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【知识拓展1】平方差公式1．运用乘法公式计算（4+x ）（x ﹣4）的结果是（ ） A ．x 2﹣16B ．x 2+16C ．16﹣x 2D ．﹣x 2﹣162．已知x +y ＝12，x ﹣y ＝6，则x 2﹣y 2＝ ． 3．下列算式中不能利用平方差公式计算的是（ ） A ．（x +y ）（x ﹣y ） B ．（x ﹣y ）（﹣x ﹣y ）C ．（x ﹣y ）（﹣x +y ）D ．（x +y ）（y ﹣x ）4．计算（x +y ）（x ﹣y ）+16＝ ． 5．（8x 2+4x ）（﹣8x 2+4x ）＝ ． 6．若x 2﹣y 2＝16，x +y ＝8，则x ﹣y ＝ ． 7．若x +y ＝5，x ﹣y ＝1，则x 2﹣y 2＝ ．知识精讲目标导航8．若a＝20170，b＝2015×2017﹣20162，c＝（﹣）2016×（）2017，比较a，b，c大小（用“＜”连接）：．9．（3y+2x）（2x﹣3y）＝．10．化简：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a﹣2）＝．11．下列各式，不能用平方差公式计算的是（）A．（a+b﹣1）（a﹣b+1）B．（﹣a﹣b）（﹣a+b）C．（a+b2）（b2﹣a）D．（2x+y）（﹣2x﹣y）12．若a2﹣b2＝10，a﹣b＝2，则a+b的值为（）A．5B．2C．10D．无法计算13．若a2﹣b2＝﹣，a+b＝﹣，则a﹣b的值为．14．若a2﹣b2＝18，a+b＝6，则a﹣b＝．15．若m2﹣n2＝10，且m﹣n＝2，则m+n＝．16．计算：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）．17．化简：（2x﹣y）（y+2x）﹣y（x﹣y）﹣（2x）2．18．观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1B．0C．1或﹣1D．0或﹣2【知识拓展2】平方差公式的几何背景19．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）20．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．21．如图，在边长分别为a，b的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a﹣b）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b222．如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼的方式形成新的图形，给出四种割拼方法，其中能够验证平方差公式的有（）个．A．1B．2C．3D．423．为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π）24．将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2），解答下列问题：（1）设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝，S2＝；（不必化简）（2）由（1）中的结果可以验证的乘法公式是；（3）利用（2）中得到的公式，计算：20212﹣2020×2022．25．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．26．数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”[探究一]如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？阴影部分的面积是；如图2，也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，阴影部分的面积是；用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式．[探究二]如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？方法1：一路往右数，不回头数．以A1为端点的线段有A1A2、A1A3、A1A4、A1A5、…、A1A n，共有（n﹣1）条；以A2为端点的线段有A2A3、A2A4、A2A5、…、A2A n，共有（n﹣2）条；以A3为端点的线段有A3A4、A3A5、…、A3A n，共有（n﹣3）条；…以A n﹣1为端点的线段有A n﹣1A n，共有1条；图中线段的总条数是；方法2：每一个点都能和除它以外的（n﹣1）个点形成线段，共有n个点，共可形成n（n﹣1）条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是；用两种不同的方法数线段，可以得到等式．[应用]运用探究一、探究二中得到的等式解决问题．计算：992﹣982+972﹣962+952﹣942+…+32﹣22+12．[迁移]某篮球队共有8名实力相当的队员，现要随机派3名队员参加联队比赛，共有种不同的选择方案．能力拓展类型一、公式法——平方差公式例1、分解因式：（1）2()4x y +-； （2）2216()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--．【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--； （2）()22234x y x --（3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；例2、分解因式： （1）2128x -+； （2）33a b ab -； （3）516x x -； （4）2(1)(1)a b a -+-【变式】先化简，再求值：（2a+3b ）2﹣（2a ﹣3b ）2，其中a=．类型二、平方差公式的应用例3、2222211111111......1123420112012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭例4、阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1） =（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1） =（28﹣1）．根据上式的计算方法，请计算： （1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共4小题）1．已知a+b＝﹣3，a﹣b＝1，则a2﹣b2的值是（）A．8B．3C．﹣3D．102．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（﹣a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）C．（a+b）（a﹣d）D．（a+b）（2a﹣b）3．下列运算正确的是（）A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n24．如图，从边长为acm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣3）cm的正方形（a＞3），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（）A．6a cm2B．（6a+9）cm2C．（6a﹣9）cm2D．（a2﹣6a+9）cm2二．填空题（共4小题）5．已知x+y＝12，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝．6．已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值．7．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝．8．已知m2﹣n2＝24，m比n大8，则m+n＝．三．解答题（共5小题）9．化简：（a﹣b）（a+b）﹣a（a+b）．10．计算：（1）（a+9）（a+1）；（2）20192﹣2017×2021．11．若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．（1）求b a的值；（2）求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．12．请阅读以下材料：[材料]若x＝12349×12346，y＝12348×12347，试比较x，y的大小．解：设12348＝a，那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：x＝997657×997655，y＝997653×997659．13．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸中减去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）拼成的长方形的周长是多少？（2）拼成的长方形的面积是多少？题组B 能力提升练一．选择题（共5小题）1．化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（）A．232﹣1B．232+1C．（216+1）2D．（216﹣1）22．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（）A．2020B．2021C．2022D．20233．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32．即8，16均为“和谐数”），在不超过200的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．2700B．2701C．2601D．26004．下列各数中，可以写成两个连续奇数的平方差的（）A．520B．502C．250D．2055．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m+n）B．（x3﹣y3）（x3+y3）C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（c2﹣d2）（d2+c2）二．填空题（共5小题）6．小丽在计算3×（4+1）×（42+1）时，把3写成（4﹣1）后，发现可以连续运用平方差公式进行计算．用类似方法计算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）+＝．7．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，…根据规律可得：（x﹣1）（x2021+x2020+…+x+1）＝．8．计算：20212﹣2020×2022＝．9．若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．则m+n＝．10．如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积是．三．解答题（共4小题）11．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据规律（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）＝．（其中n为正整数）；（1）计算：（﹣2）2019+（﹣2）2018+（﹣2）2017+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1；（2）计算：22018+22016+22014+…+24+22+2．12．如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．13．在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式．（1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣2+y）；（2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+4，求出整式▲；（3）已知（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值．14．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；（1）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）＝（其中n为正整数）；（2）（2﹣1）•（299+298+…+2+1）＝；（3）计算：350+349+348+…+32+3+1的值．题组C 培优拔尖练一．选择题（共1小题）1．（2020秋•鼓楼区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255024B．255054C．255064D．250554二．填空题（共6小题）2．（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）3．已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝，b＝．4．如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是平方米．5．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（516+1）+＝．6．小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上．7．（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是．三．解答题（共6小题）8．（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．9．（2021春•婺城区校级期末）乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．10．（2021春•淮北期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．11．（2021春•罗湖区校级期中）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．12．（2019春•漳浦县期中）你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝；（a﹣1）（a2+a+1）＝；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？13．（2018秋•沙坪坝区期末）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．。
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》说课稿3
青岛版数学七年级下册《12.1 平方差公式》说课稿3一. 教材分析《平方差公式》是青岛版数学七年级下册第12.1节的内容。
这一节主要介绍平方差公式的概念、推导过程以及应用。
平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它在解决二次方程、二次不等式以及几何问题等方面有着广泛的应用。
在本节课中，学生将通过探究、合作、交流的方式，理解和掌握平方差公式，并能够运用它解决实际问题。
二. 学情分析在进入七年级下册之前，学生已经学习了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识。
对于这部分内容，大部分学生能够理解和掌握。
但是，由于学生的学习基础和接受能力存在差异，一部分学生在理解和应用平方差公式方面可能会遇到困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，采取适当的教学方法，帮助所有学生理解和掌握平方差公式。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的推导过程，能够运用平方差公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究、合作、交流的方式，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的概念及其推导过程。
2.教学难点：理解并掌握平方差公式的应用。
五. 说教学方法与手段在本节课中，我将采用问题驱动法、合作学习法、案例分析法等教学方法，结合多媒体教学手段，引导学生主动探究、合作交流，从而理解和掌握平方差公式。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对平方差公式的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主探究平方差公式的推导过程，理解平方差公式的概念。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，共同解决疑问。
4.案例分析：教师展示几个典型的案例，引导学生运用平方差公式解决问题。
5.练习巩固：学生自主完成课后练习，检测对平方差公式的理解和掌握程度。
6.总结提升：教师引导学生总结平方差公式的应用范围和注意事项。
七年级数学下册2.2乘法公式平方差公式的运用技巧素材
平方差公式的运用技巧平方差公式（a+b)（a－b）=a2－b2是恒等式,是初中数学中的重要公式,公式中的字母可以表示数字,也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式。
在灵活运用平方差公式解答有关问题时,应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算:（－3a+2b）（－2b－3a）。
分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用,通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的。
解：原式=(－3a）2－（2b)2=9a2－4b2。
2．连续运用平方差公式例2 计算:（x+2）（x2+4）(x－2) 。
分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式,就可以求到结果。
解：原式=(x2－4) (x2+4）=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：（2a+b－c+6)（2a－b+c+6)。
分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项,然后再合并同类项,但是若能把（2a+6)、(b－c）看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算。
解:原式=［（2a+6）+（b－c）][(2a+6）－（b－c）］=（2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2。
二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用,对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算: （a+2）2－（a －2）2。
分析:此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁,若根据题目的特点，直接逆用平方差公式,便可化繁为简,迅速求解。
解:原式=［(a+2）+（a －2)]［ （a+2)－(a －2）］=2a×4=8a 。
例5 计算:（1－221)（1－231）（1－241）…（1－220081)。
北师大版七年级下册数学平方差公式
平方差公式 知识点一：平方差公式 1.公式： ， 文字叙述：两数 与这两数 的 ，等于它们的 . 注意：1.公式中的a 与b 可以是具体的数，也可以是 或 。
2.公式的特点：公式左边是两个 相乘，这两个二项式中的两项有一项 ，另一项 ；右边是左边两数的 （相同数的平方减去相反项的平方）1．计算：(1)(x ＋y)(x －y)＝ ；(2)(y ＋x)(x －y)＝ ；(3)(y －x)(y ＋x)＝ ；(4)(x ＋y)(－y ＋x)＝ ；(5)(－x －y)(－x ＋y)＝ ；(6)(x －y)(－x －y)＝ ；(7)(－y ＋x)(－x －y)＝ .2.利用平方差公式计算（1）（5+6x ）(5-6x) （2）(x+2y)(x-2y) （3） (-m+n)(-m-n)（4）)41)(41(y x y x +--- （5）(ab+8)(ab-8) （6）(x-2y)(-x-2y)3.计算(1) (x -y )(x 2+y 2)(x +y )； （2）)1)(1)(1)(1)(1(842++++-x x x x x(3) (x +y +2z )(x -y -2z ) （4) (x -y +3)(x +y -3)；2.几何意义例：如图所示，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a ＞b )，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是____ __．知识点二：逆用平方差公式公式： ，文字叙述：两数的 等于这两数 与这两数 的 ，1.已知3422=-y x ,x-y=2,求2x+2y 的值2.利用平方差公式进行简单计算：(1)1001×999+1； (2)20102 -2011×2009(3)224690123461234512347-⨯．（4）28888123456123455123457-⨯提高练习:1.（1）已知a+b=2，求代数式a2 -b2+4b的值．（2）已知(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求代数式a+b的值．2.计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1(216+1)3．计算：1002－992＋982－972＋…＋22－1.。
2.平方差公式课件数学湘教版七年级下册
3.用公式计算. （1）105×95；
解（1）105×95 =(100+5)×(100-5) =1002-52
=9975.
（2）1 002 × 998.
说一说
如图2-3（a），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将
剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2-3
（b）所示的长方形.你能用这两个图来解释平方差公式吗？
图（b）中的面积为：( a+b )( a-b )，图（a）
a
a
中的剩余部分的面积为a2-b2.由题可知，图
（2）1002×998 =(1000+2)×(1000-2) =10002-22 =999996.
内容
平方差 公式
注意
两个数的和与这两个数的差的 积，等于这两个数的平方差.
1.符号表示：(a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征， 在应用时，只有两个二项式的积才有 可能应用平方差公式；不能直接应用 公式的，要经过变形才可以应用.
a-
（b）的面积为图（a）剩余部分的面积，所 以( a+b )( a-b )=a2-b2.
b
b
b
（b）
（a） 图2-3
对于满足平方差公式特征的多项式的乘法，可以利用该公式进行简便计算.
【例1】运用平方差公式计算：
（1）( 2x+1 )( 2x-1 )；
（2）( x+2y )( x-2y ).
七年级数学上册 9.11《平方差公式》课件
第七页，共十四页。
三、启发(qǐfā)诱导,初步运用
例题(lìtí)1 计算:
(1) (2x+y)(2x-y);
(2) (2 1x3 1y)(2 1x3 1y)
(3) (-x+3y)(-x-3y)
(4) ( m 2 n1)( m 2 n1)
注： （1）添加必要(bìyào)的括号; （2）分清“a” 与“ b”.
例题(lìtí)3 计算:
ababab (1) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 2 2 )
(2) (1a2)(1a)(1a)
4
22
练习(liànxí) p35
第十页，共十四页。
六、归纳(guīnà)小结
本节课你学到了什么(shén ? me)
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
第八页，共十四页。
三、启发诱导(yòudǎo),初步运用
例题(lìtí)2 计算:
(1) (2 3x7y)(7y2 3x) (2) (2 1x2y)(2 1x2y)
(3) ( 1 3 a2 b)(3 a2 b 1 )
注：
（1）符号(fúhào)的变化; （2）位置的变化.
第九页，共十四页。
三、启发诱导(yòudǎo),初步运用
9.11 平方差公式(gōngshì)
第一页，共十四页。
一、复习(fùxí)引入、温故知新
• 温故: 多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘，先用一个(yī ɡè)多项
式的每一项乘以另一个(yī ɡè)多项式的每一项， 再把所得的积相加。
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
湘教版数学七年级下册2.2.1《平方差公式》教学设计
湘教版数学七年级下册2.2.1《平方差公式》教学设计一. 教材分析《平方差公式》是湘教版数学七年级下册第2章第2节的一个知识点。
平方差公式是初等代数中的一个重要公式，它对于学生理解代数运算规律，提高解题技巧具有重要意义。
本节课的内容包括平方差公式的推导、理解和应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握平方差公式的结构特征，熟练运用平方差公式进行简化计算和解决问题。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数的乘法和除法运算，对代数运算有一定的基础。
但是，对于平方差公式的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，通过实例讲解和练习，帮助学生理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解平方差公式的结构特征，熟练运用平方差公式进行简化计算和解决问题。
2.过程与方法：通过实例分析和练习，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导和理解。
2.难点：平方差公式的应用和灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和数学故事，引发学生的兴趣，激发学生的学习动力。
2.互动教学法：引导学生积极参与课堂讨论和练习，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现平方差公式的结构特征，培养学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实例分析、练习和拓展题的PPT，以便于课堂演示和讲解。
2.练习题：准备一些有关平方差公式的练习题，用于课堂练习和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如正方形的面积和边长的关系，引发学生的兴趣，引入平方差公式的学习。
2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的推导过程，引导学生观察和思考，发现平方差公式的结构特征。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，运用平方差公式进行简化计算和解决问题。
完全平方公式与平方差公式-----平方差公式课件数学沪科版七年级下册
解：(1)(5+6x)(5-6x)
(2)(x-2y)(x+2y);
(3)(-m+n)(-m-n).
(2)(x-2y)(x+2y)
(3)(-m+n)(-m-n)
=25-30x+30x-36x²
=x²+2xy-2xy-4y²
=m²+mn-mn-n²
=25-36x².
=x²-4y².
=m²-n².
注意(3)中，在运用平方差公式时，要把(-m)要
（1）1 999×2 001；
解：(1)1 999×2 001
（2）(x+3)(x-3)(x²+9).
(2)(x+3)(x-3)(x²+9)
=(2 000-1)×(2 000+1)
=(x²-9)(x²+9)
=2 0002-12
=x4-81.
=3 999 999.
例2
计算:
（1）(a+b+c)²；
解：(a+b+c)²= [(a+b)+c]2
看作一个整体，不要漏掉“-”.
例2 计算：
1
2
1
解：(1)(
2
1
2
1
1)(
2
1
4
1
− 1)( x2+1)
4
(1)( + 1)( − 1)( x2+1);
+
1
1
=[( )²-1]( x2+1)
2
4
1 2
1 2
=( x -1)( x +1)
4
4
苏科版七年级数学下多项式的因式分解——平方差公式
(2) 4x2-(-y)2
(2)可以，
(3) -4x2-y2
(3)不可以，其中两个平方项的符号相同；
(4) -4x2+y2
(4)可以，
(5) (a+3)2-4
(5)可以，
(6) a2-b+32
(6)不可以，其中有三个项。
例题精讲 a2-b2=(a+b)(a-b)
1、把下列各式分解因式:
(1) 36-25x2
因式分解 整体代入
学以致用
4.设n为整数，试说明(2n+1)2-25一定能被4整除。
解：(2n+1)2-25=(2n+1+5)(2n+1-5) =(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)
运用平方差 公式法
=4(n+3)(n-2)
∵n为整数， ∴n+3和n-2均为整数， ∴ 4(n+3)(n-2)是4的倍数， 即：(2n+1)2-25一定能被4整除
=(366+266)(366-266)
运用因式分解， 使运算更简便！
=632×100 =63200
学以致用
2.如图，求圆环形绿地的面积S（结果保留π ）。
解:S= π ×352-π ×152
提公因式法
= π (352-152 )
= π (35+15 )(35-15) 运用
= 1000π(m2)
“平方差”公式
(2) 16a2-9b2
公式中的a和b 表示单项式
(1)解:原式 =62-(5x)2
(2)解:原式 =(4a)2-(3b)2
=(6+5x)(6-5x)
北师大版七年级数学下册1.平方差公式的运用课件(共19张)
课堂小测
3.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2. 解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3 =2x2－1. 将x＝2代入上式， 原式=2×22-1=7.
课堂小测
4.已知x≠1，计算：(1－x) (1＋x) ＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3， (1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4． (1)视察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝__1_－__xn_+_1_(n为正整数)；
七年级数学北师版·下册
第一章 整式的乘除
1.5.2 平方差公式的运用
教学目标
1.掌握平方差公式，熟练运用平方差公式.（重点） 2.灵活运用平方差公式进行计算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解决实际问题.（难点）
新课导入
知识回顾 平方差公式 (a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
新知探究
例2 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12－5×22＝－15.
新知探究
例3 对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的 整数倍吗？
新知探究
方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式 化简算式，解决问题．
课堂小结
1、平方差公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或者是多 项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根 据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
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例3：用平方差公式进行计算。 (1) 103×97 (2) 118×122 解：(1) 103×97=(100+3)(100-3) =1002-32 =9991
(2) 118×122=(120+2)(120-2) =1202-22 =14396
例4：计算: (1) a2(a+b)(a-b)+a2b2 (2) (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
m2 n 2 3n 2 m 2 2n 2
随堂练习：
计算：
1. 2. 3. 4.
(a+2)(a-2) (3a+2b)(3a-2b) (-x+1)(-x-1) (-4k+3)(-4k-3)
=a2-4 =9a2-4b2 =x2-1 =16k2-9
小结：
作业：P10习题1.11
平方差公式(2)
解 : (1) a2(a+b)(a-b)+a2b2 = a2(a2-b2)+a2b2 = a4- a2 b2+a2b2 = a4 (2x-5)(2x+5)-2x(2x-3) = (2x)2-25)-(4x2-6x) = 4x2-25-4x2+6x = 6x-25
(2)
随堂练习：
计算： 1. 2. 3. 704×696
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
例1：利用平方差公式计算下列各题。 1. (5+6x)(5-6x) =52-(6x)2=25-36x2 2. (x-2y)(x+2y) =x2-(2y)2=x2-4y2 3. (-m+n)(-m-n) =(-m)2-n2=m2-n2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式(1)
平方
计算下列各题：
1. 2. 3. 4.
(x+2)(x-2) =x2-4 (1+3a)(1-3a) =1-9a2 (x+5y)(x-5y) =x2-25y2 (y+3z)(y-3z) =y2-9z2
平方差公式 2 2 (a+b)(a-b)=a -b
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
a
3.
比较1、2的结果，你能验证平方差公式吗？
4.
图1
图2
a2-b2
(a+b)(a-b)
b
图2
∴ a2-b2 = (a+b)(a-组算式，并观察它们的共同特点。 7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= 从以上的过程中，你发现了什么规律？ 请用字母表示这一规律，你能说明它的正确 性吗？
例2：利用平方差公式计算下列各题。
1 1 1. ( x y )( x y ) 4 4
2. (ab 8)(ab 8)
2 ( m n )( m n ) 3 n 3.
1 2 1 2 2 ( x) y x y 2 4 16
(ab) 2 64 a 2b 2 64
平方
复习平方差公式
请回答： 1. 复述平方差公式 2. 公式的语言描述 3. 字母a，b的含义
a
如左图，边长为a的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
1. 请表示图中阴影（紫色）部分的面积。
b
图1
2. 小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个 长方形的长和宽分别是多少？ 你能表示出它的面积吗？
FLASH动画演示
( x 2 y)(x 2 y) ( x 1)(x 1) 1 1 x( x 1) ( x )( x ) 3 3
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的，有我和小直子跟着就行了，你自己歇着吧！”耿老爹也说：“有你弟你妹跟着就足够了，你自己歇一会儿吧！”耿正想一想说：“也好，那 我就自个儿睡一会儿喽！”目送弟弟和妹妹陪着爹爹出门儿去了，耿正转身回来掩上屋门，侧身躺在地铺上试图能够睡着一会儿。乔氏这些天也 怪辛苦的。想到绣花用的丝线不多了，正好出去买一些，顺便也走一走。看这爷儿三个出了门，就对小青说：“姆妈也想出去买些绣花线呢，你 去不去？”小青说：“我就不去了吧。最近一直很忙，我那块儿绢子还没有绣完呢！”乔氏就自己去了。现在，家里只剩下耿正和小青两个人了。 小青的心里既高兴，又不安。很想借此机会和耿正说些什么，但又不知道应该说什么。她拿着那块儿还没有绣完的丝绸手帕，在西边屋里的地上 转两圈又坐下，刚坐下了又站起来，哪里还有心思继续绣下去！仔细听一听，东边屋里一点儿声音也没有，心想：难道说耿正真得这么快就睡着 了？又一想，不对，哪里有半上午就瞌睡的道理！于是轻手轻脚地来到过厅里，隔着门再仔细听一听，好像耿正翻了一个身。小青的心里飞快地 琢磨着，怎么样才能引起耿正的注意来呢？有了！只见她转身轻轻地返回了西边的屋子里。突然将一把椅子踢倒，自己也“扑通”一声跌坐在了 地上，随即“哎哟！”惊叫一声。这一叫不要紧，东边屋里的耿正给吓得一愣怔。他本来就睡不着，正在想着千万里之外的故乡呢。听到西边屋 里的声响和小青的一声惊叫，赶快爬起来就往西屋里冲去。西屋的门大敞着，小青还坐在西屋门里边的地上，一把椅子倒在一边。耿正着急地问： “小青姐，你感觉如何？腰腿能动吗？如果能动，我扶你起来；如果痛得厉害，千万不要乱动，我去叫懂得骨伤的人来！”看到耿正着急和认真 的样子，小青的心里感觉暖暖的。她小声儿说：“不要紧，能动呢，也不太痛。你快扶我起来呀！”耿正这才伸出手去，欲扶着小青的胳膊让她 起来；但小青已经伸出手来，耿正只好让她扶着自己的手站起来。看到小青动作自如，耿正放心了。他扶起倒在一边的椅子，又看看床边上放着 的一块儿即将绣完的鸳鸯嬉水丝绸手帕，狐疑地问：“小青姐，你怎么搞得？不坐在床边上绣花，倒给摔倒在门口了？”小青满脸飞红，不好意 思地说：“我想踩上椅子打开门顶窗呢，不小心给摔倒了！”耿正说：“嗨，我当是什么事情呢！你叫我过来给你打开不就得了！”说着，举起 右手轻轻一推，就把西屋的门顶窗户推开了。回过头来对小青说：“那我回那边去了。有什么事儿，你喊我一声啊！”小青欲张口挽留，无奈耿 正已经跨出门槛儿了。小青心里好失望，又有些生气，不由人地“哼”了一声。耿正听到这一声“哼”，就停下脚步回头问：“小青