第六章 状态观测器设计
现代控制理论习题之状态观测设计
对应于原系统的观测器矩阵： ⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ P1 = V0 −1 ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥, Po = [ p1 ⎣1 ⎦ ⎣1 ⎦
u
∑ ( A, B, C )
y
6.5
2
1 x
x1
15.3 x
x3
题 6-2 图 1
(2) 确定降维观测器的维数：m=1，n=3，则 n-m= 2。 分解输出系数矩阵 c，获得线性变换矩阵 T，对原状态空间表达式进行线性变换，使 各输出变量 y 变成各状态变量的单值函数：
f *(s) = (s + 3)(s + 4) = s2 + 7s +12 ⎡s 0⎤ ⎡−1 −1⎤ ⎡l1⎤ f (s) = sI − (A22 − LA 12) = ⎢ ⎥ −⎢ ⎥ + ⎢ ⎥[− 2 − 4] ⎣0 s⎦ ⎣−1 −1⎦ ⎢ ⎣l2⎥ ⎦ = s2 + (−4l2 − 2l1 + 2)s + (2l1 − 2l2) ⎡l ⎤ ⎡ 3.1667⎤ f *(s) = f (s) ⇒ L = ⎢ 1⎥ = ⎢ ⎥ ⎢l2⎦ ⎥ ⎣− 2.8333 ⎦ ⎣
系统能观，可设计观测器。 求希望特征多项式：
f * ( s ) = ( s + 3)( s + 4)( s + 5) = s 3 + 12 s 2 + 47 s + 60
求观测器特征多项式：
f ( s ) = sI − A + LC
状态观测器设计
基于MATLAB 的状态观测器设计预备知识： 极点配置基于状态反馈的极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点位置上,从而使系统特性满足要求; 1. 极点配置原理假设原系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+=Cxy Bu Ax x 若系统是完全可控的,则可引入状态反馈调节器,且：Kx u input -=这时,闭环系统的状态空间模型为：⎩⎨⎧=+-=Cxy Bu x )BK A (x 2. 极点配置的MATLAB 函数在MATLAB 控制工具箱中,直接用于系统极点配置的函数有acker 和place;调用格式为：K=ackerA,C,P 用于单输入单输出系统其中：A,B 为系统矩阵,P 为期望极点向量,K 为反馈增益向量; K=placeA,B,PK,prec,message=placeA,B,Pplace 用于单输入或多输入系统;Prec 为实际极点偏离期望极点位置的误差；message 是当系统某一非零极点偏离期望位置大于10%时给出的警告信息; 3. 极点配置步骤：1获得系统闭环的状态空间方程；2根据系统性能要求,确定系统期望极点分布P ；3利用MATLAB 极点配置设计函数求取系统反馈增益K ； 4检验系统性能;已知系统模型如何从系统的输入输出数据得到系统状态初始状态：由能观性,从输入输出数据确定;不足：初始状态不精确,模型不确定;思路：构造一个系统,输出逼近系统状态称为是的重构状态或状态估计值;实现系统状态重构的系统称为状态观测器;观测器设计状态估计的开环处理：但是存在模型不确定性和扰动初始状态未知应用反馈校正思想来实现状态重构;通过误差来校正系统：状态误差,输出误差;基于观测器的控制器设计系统模型若系统状态不能直接测量,可以用观测器来估计系统的状态;L是观测器增益矩阵,对偏差的加权;真实状态和估计状态的误差向量误差的动态行为：的极点决定了误差是否衰减、如何衰减通过确定矩阵L来保证;也即极点配置问题;要使得误差衰减到零,需要选取一个适当的矩阵L,使得A－LC是稳定的;若能使得矩阵A－LC有适当的特征值,则可以使得误差具有一定的衰减率;由于因此,问题转化为的极点配置问题;该极点配置问题可解的条件：能控；等价于能观定理：系统可以任意配置观测器极点的充分必要条件是C, A能观;观测器的增益矩阵可以按照极点配置方法来设计,求解的极点配置问题,得到增益矩阵k；观测器增益矩阵例考虑由以下系数矩阵给定的系统设计一个观测器,使观测器两个极点都是－2;检验系统的能观性：系统是能观的,因此问题可解;要求确定观测器增益矩阵使得矩阵A－LC具有两个相同的特征值－2;由于期望的特征值多项式是比较两个多项式,可以得到,所求的观测器是也可利用MATLAB 命令来计算观测器增益矩阵：L=ackerA ’,C ’,V ’ L=placeA ’,C ’,V ’观测器设计时注意的问题：1观测器极点比系统极点快2～5倍； 2并非越快越好;例2：某系统u x X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=102101110221[]xy 001=首先对系统的能控性进行判断,以编程方式实现 a=-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1;b=2;0;1; %输入a,b 矩阵 q=b ab a^2b rankq计算结果为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=511010042qq 的秩为3,因此该系统为完全能控型系统,在满足系统要求的前提下,理论上能任意配置期望极点;观测器的设计首先检验系统的是否完全能观a=-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1; c=1 0 0; q=c;ca;caa rankq⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=241221001qrankq=3说明系统是完全能观的下面就是观测器期望极点选择,一般为了考虑观测器的响应速度要比闭环系统快,又要考虑干扰抑制,一般极点为闭环极点的2---5倍;根据主导二阶极点方法所配置的极点为s1=-4 s2,3=-1± 选择观测器极点为s1=-12 s2,3=-3±由此可进一步求出观测器增益矩阵l a=-1 -2 -2;0 -1 1;1 0 -1; c=1 0 0;pe=-12;-3+i;i; lt=ackera',c',pe; l=lt'求得l=15;;;下面可构建Simulink 图,据此观察观测器的跟踪能力跟踪效果图如下12345678910-2-112345可见,单路跟踪效果较好;利用状态空间,可以方便地设计全维观测器,各路跟踪效果如下：据此发现观测器跟踪效果较好;利用状态估计值的反馈控制器是基于观测器的输出反馈控制系统结构图：例3：系统状态空间模型的系数矩阵：系统能控、能观;状态反馈控制器：闭环矩阵：特征多项式：选取则闭环极点状态不可测,设计状态观测器;选取观测器极点：应用极点配置方法,可得观测器增益矩阵观测器模型：根据分离性原理,由以上分别得到的状态反馈和观测器增益矩阵可构造基于观测器的输出反馈控制器：系统的动态特性：对象和误差的初始条件：系统曲线：总结从以上的设计可总结出状态空间的控制器的设计思路;1.首先对观测器的能观性与能控性进行判断；2.如果完全能观或能控,则进行以下分析；如果不是,可以进行能控与能观分解出来；3.如果使用原系统状态反馈,可以根据系统要求进行极点配置,进而设计出控制器；如果还需要设计观测器,可合理配置观测器极点,进而设计整个系统;4.如果使用观测器状态反馈,由于分离定理,观测器与反馈可分别设计,所以设计过程基本和上面一样；5.对于以上系统都存在较大的余差,故需设计参考输入,或者采取积分控制器都可以很好的消除稳态余差;。
第6章状态反馈控制与观测器设计
⎡ c ⎤ ⎡2 rank ⎢ ⎥ = rank ⎢ ⎣ cA ⎦ ⎣0
能观性判别矩阵满秩
0⎤ = 2= n ⎥ 2⎦
所以，系统可观，状态观测器极点可以任意配置。
22
6.3.1 全维状态观测器设计
设 K = ⎡ Ke1 ⎤ e ⎢ ⎥ K ⎣ e2 ⎦
⎡ −2Ke1 1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡Ke1 ⎤ 则 A−Kec = ⎢ −⎢ ⎥[ 2 0] = ⎢ ⎥ ⎥ 2 2 3 − − − K K 2 3 − − ⎣ ⎦ ⎣ e2 ⎦ e2 ⎣ ⎦
要实现状态反馈，需要测量到每个状态量，并可以作为反馈信 号。但有些状态很难测量，或者受到经济上和使用上的限制， 不能设置太多的传感器，有些状态变量没有物理意义而无法测 量。因此，需要设计状态观测器估计实际状态，实现状态反馈。 状态观测器是指一个在物理上可以实现的动态系统，它在被 观测系统的输入和输出的驱动下，产生一组逼近于被观测系统 的状态变量。状态观测器所输出的一组状态变量可以作为被观 测系统的状态估计值 , 因此状态观测器又称为状态估计器 ，或 状态重构器。 下面只讨论无噪声干扰下的状态观测器设计问题，并详细介绍 单输入单输出系统的状态观测器的设计原理和设计步骤。
~ ˆ 令 x = x−x
= ( A − K e c) x 则x
其解为 ~ x (t ) = e ( A− K ec )t ⋅ ~ x (t 0 ) 可知，当选取 K e ，使得 A − K e c 所有特征值具有负实部则有： 若观测器和系统的初始状态相同，观测器的状态与系统实 际状态完全相同； 若观测器初始状态与系统初始状态不相等，观测器状态以 ~ 指数收敛到系统的实际状态， 即 lim x (t ) = 0 。因此，这 种观测器称为渐近状态观测器。
状态观测器设计
Chapter6 状态观测器设计在工程实际中能量测的信号只是系统的输出y ，而不是系统的内部状态。
有的状态变量是物理量，有的则不是物理量，因而状态变量未必都可以测量得到。
当状态不能全部量测时，我们就无法获得系统的状态信息，因而状态反馈在工程上就不能实现。
1964年，Luenberg er G D ⋅⋅（龙伯格）提出的“状态观测器”理论成功的解决了系统状态信息的获取问题。
Luenberg er G D ⋅⋅认为，当已知系统输入为u ，系统的输出为y ，他们必然与其内部状态x 有联系，也就是说我们应该能通过测量),(y u 对未知的状态量x 进行推论和估计。
“状态观测器”本质上是一个“状态估计器”（或称动态补偿器），其基本思路是利用容易量测的被控对象的输入u 和输出y 对状态进行估计（和推测）。
6.1 观测器设计考虑线性时不变系统Cx y Bu Ax x=+=，& （6-1） 基于（6-1）人为地构造一个观测器，观测器的输出为x ~，如果能满足 0)~(lim =-∞→x x t （6-2）则观测器的输出x ~可以作为内部状态)(t x 的估值，从而实现“状态重构-即重新构造“状态x ~”来作为“原状态x ”的估值。
观测器的输出x ~应该能由系统输入u 和系统输出y 综合而成（系统输入u 和系统输出y 在工程实际中容易检测到）。
∞→t 只是数学上的表述，实际工程中是很快的过程（<s 1）。
为了得到估计值x ~，一个很自然的想法是构造一个模拟系统 Bu x A x +=~~&，x C y ~~= （6-3） 用该模拟部件（6-3）去再现系统（6-1）。
因为模拟系统（6-3）是构造的，故x ~是可量测的信息，若以x ~作为x 的估值。
其估计误差为x x e -≡~，（6-3）减（6-1），满足方程 Ae e =& （6-4） 讨论：①若A 存在不具有负实部的特征值，Ae e=&将不会稳定，则当初始误差0)0(≠e ，即)0()0(~x x ≠时，有0)]()(~[lim ≠-∞→t x t x t ，这样x ~就不能作为x 的估计值，即Ae e =&不能作为一个观测器。
chapter6极点配置与状态观测器
K
6.3 状态观测器
用 ~x 代替 x
自然要求：
x~ x
渐近意义下： lim~x x 0 t
6.3 状态观测器
uB B
x ∫
+
A
E + x~ ∫
+
A
x
y
C
+
x~ C ~y 观测器
x~
6.3 状态观测器
u
y
+
E
B
+
x~
∫
x~
~y -
C
+
A
观测器
观测器状态方程
x~ A EC x~ Bu Ey
是否可以利用状态反馈，达到极点的 任意配置？
Im
s平面
0
Re
6.2 极点配置
6.2.1 极点配置定理 定理 6.2.1 给定系统
x Ax Bu :
y Cx Du
通过状态反馈 u v kx 任意配置极点的充
要条件 完全能控。
证: 只就单输入系统的情况证明本定理
6.2 极点配置
Re
响应快 响应慢
6.2 极点配置 在看一例：
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 3阶系统
1阶系统
6.2 极点配置
Im
s平面
0
Re
稳定
6.2 极点配置
2阶系统 1阶系统
3阶系统
6.2 极点配置
状态反馈后系统极点
v
uB
-
x
∫
x
y
C
+
A
K
状态观测器设计
状态观测器 （state observer ）背景：60年代初期，为了对控制系统实现状态反馈或其他需要，D.G.吕恩伯格、R.W.巴斯和J.E.贝特朗等人提出状态观测器的概念和构造方法，通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。
由龙伯格（Luenberger ）提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制律。
在噪声环境下下的状态观测涉及随机最优估计理论，即卡尔曼滤波技术。
状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。
定义：根据系统的外部变量(输入变量和输出变量)的实测值得出状态变量估计值的一类动态系统，也称为状态重构器。
如果动态系统Σ^以Σ0的输入，输出y 作为其输入量，能产生一组输出X ^渐近于x ，即lim t→∞（x- x ^）=0，则称Σ^为Σ0的一个状态观测器。
构造状态观测器的的基本原则是:（1）观测器Σ^应以Σ0 的输入变量和输出变量为其输入变量。
（2）Σ0必须完全可观，或其不可观子系统是渐近稳定的。
（3）Σ^的输出变量x ^是原系统Σ0的状态变量x 的实时估计值，x ^与x 之间的偏差随时间的衰减应满足一定的快速性。
（4）Σ^在结构上应尽量简单，即具备尽可能低的维数，以便于物理实现。
结构：构成状态观测器的方法依需要的不同而有差别。
最简单的是开环状态观测器（图1）。
这种观测器实质上就是按被观测系统复制的一个模型，但其状态变量可以直接输出。
只要初始条件相同x ^ (0)＝x(0), x ^(t)就可作为被观测系统的状态x(t)的一个精确的估计。
但这个条件往往很难满足。
此外，这种开环观测器对外界干扰的抗干扰性和对参数变动的灵敏度都很差，它的输出x ^ (t)不能成为x(t)的一个良好估计。
因此开环状态观测器几乎没有实用价值。
采用闭环方式构成的状态观测器能克服开环状态观测器的缺点。
第六章状态反馈和状态观测器1
G(s)
s(s
1 6)(s
12)
s3
1 18s 2
72s
综合指标为： % 5%；tS 0.5s，ep 0,试用状态反馈实现上述指标。
解：将极点配置为一对主导极点和一个非主导极点；根据二阶
系统的性能指标，求出 0.707，n 10。取 0.707，n 10
则，主导极点为：
s1，2 0.707 j7.07
变量，也没有增加系统的维数，但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统达到所要求的性能。
6.1.2 输出反馈
输出反馈是将受控系统的输出变量，按照线性反馈规律反馈到输入端， 构成闭环系统。这种控制规律称为输出反馈。经典控制理论中所讨论的反馈 就是这种反馈，其结构图如下 ：
r(t) u(t) B
r(t) u(t) B
x(t) x(t) C
y(t)
A
K
图中受控系统的状态空间表达式为 (A, B,C)的状态空间表达式为 0 x Ax Bu
y Cx
式中，A为n×n矩阵；B为n×r矩阵；C为m×n矩阵。
状态反馈控制律为
u r Kx
式中，r为r×1参考输入；K为r×n状态反馈阵。对单输入系统，K为1×n的 行向量。
sn rn1sn1 r0 0
实际系统与希望系统的特征方程的系数应当相一致。
3、状态反馈阵K的计算步骤 1）判断A，b能控性 2）写出实际的闭环特征方程（传递阵的分母为0的方程）
SI [A bK] 0
3）根据要配置的特征根，写出希望的特征方程
f (s) (s 1)(s n ) 0
4）对应实际的与希望的特征方程，求出K。
被控系统 模拟系统
x Ax Bu y Cx xˆ (A GC)xˆ Bu Gy yˆ Cxˆ
第六章状态反馈和状态观测器
4。跟踪问题
优化型性能指标
思路: 1）可综合条件； 2）算法
(不等式) (极值)
综合实际中的理论问题：状态反馈构成\建模\观测器、鲁棒性、对外扰的抑制
6.2 状态反馈和输出反馈
状态反馈
设连续时间线性时不变系统 0 : x = Ax + Bu x(0) = x0 t 0 y = Cx
状态反馈下受控系统的输入为：u=-Kx+υ，K∈Rp×n，反馈系统∑xf的状态空间 描述为：
C1 = C
0
变换后
A1
=
P−1 A1P
=
A
− BK 0
C1 = C1P = C 0
BK A − HC
B1
=
P −1 B1
=
B
0
考虑到当R、T可逆时，有
R S −1 R−1 − R−1ST −1
0
T
=
0
T −1
(sI
−
A1 ) −1
=
sI
−
(A− 0
BK
)
− BK −1 sI − ( A − HC)
x = Ax + Bx y = Cx
只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。
6.5 状态反馈镇定
所谓状态镇定问题就是：对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型控制律 u = −Kx + v
使所导出的状态反馈型闭环系统 x = ( A − BK ) x + Bv为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。
− 0 ,1*
−
1
,
* 2
−2 ] = [4,−66,−14]
计算
状态观测器设计
状态观测器设计利用状态反馈实现闭环系统的极点配置，需要利用系统的全部状态变量。
然而系统的状态变量并不都是能够易于用物理方法量测出来的，有些根本就无法量测；甚至一些中间变量根本就没有常规的物理意义。
此种情况下要在工程上实现状态反馈，就需要对系统的状态进行估计，即构造状态观测器。
状态观测器，是一个在物理上可以实现的动态系统，它利用待观测系统的可以量测得到的输入和输出信息来估计待观测系统的状态变量，以便用该组状态变量的估计值来代替待观测系统的真实状态变量进行状态反馈设计，实现闭环系统极点的再配置。
1. 全维状态观测器当对象的所有状态均不可直接量测时，若要进行状态反馈设计，就需对全部状态变量进行观测。
这时构造的状态观测器，其阶次与对象的阶次相同，被称为全维状态观测器。
考虑如下n阶单输出线性定常离散系统(1)其中，A为n×n维系统矩阵，B为n×r输入矩阵，C为n×1维输出矩阵。
系统结构图如图1所示。
图1 全维状态观测器构造一个与受控系统具有相同参数的动态系统(2)当系统(1)与(2)的初始状态完全一致时，则两个系统未来任意时刻的状态也应完全相同。
但在实际实现时，不可能保证二者初始状态完全相同。
为此，应引入两个系统状态误差反馈信号构成状态误差闭环系统，通过极点配置使误差系统的状态渐趋于零。
由于原受控系统状态不可直接量测，故用二个系统的输出误差信号代替。
引入了输出误差的状态观测器状态方程为(3)其中，H为状态观测器的输出误差反馈系数矩阵,有如下形式定义状态估计误差为，用式(7.65)与(7.67)相减可得(4)即(5)通过式(5)可以看出，若选择合适的输出误差反馈矩阵H 使得状态估计误差系统(5)的所有极点均位于z平面单位圆内，则误差可在有限拍内趋于零，即状态估计值在有限拍内可以跟踪上真实状态，且极点越靠近原点状态估计误差趋于零的速度越快，反之越慢。
可见，能否逼近x(k)以及逼近速度是由H阵决定的。
状态观测器
状态观测器摘要观测器在控制理论中非常重要。
当状态不能观测时,应设计状态观测器来估计状态。
理论分析和数值仿真证实了用所设计的观测器来估计状态的有效性。
关键字：观测器;状态观测器;设计一 全维状态观测器的设计极点配置是基于状态反馈,因此状态X 必须可观测。
当状态不能观测时,则应设计状态观测器来估计状态。
x A x B u y C x =+⎧⎨=⎩（1） 若系统完全能观测,则可构造如图1所示的状态观测器。
由上图可得观测器的状态方程为ˆˆˆxA xB u LC x L y =+-+ （2） 即 ˆˆ x (A L C )x B u L y =-++ 其特征多项式为()()f s sI A L C =--由于工程上要求ˆ x能比较快速的逼近 x ，只要调整反 馈矩阵 L, 观测器的极点就可以 任意配置达到要求的性能。
假定单变量所要求的 n 个 观测器的极点为:123.................n λλλλ , 则可求出期望的状态观测器的特征方程为:112()( n n nn n f s s a s a λλλλλλ-=---=++这时可求得反馈矩阵 L 为：10()...1o o L f A V -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3） 式中1...o n C C A V C A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是将系统期望的观测器特征方程中 S 换成系统矩阵 A后的矩阵多项式。
利用对偶原则, 可使设计问题大为简化, 求解过程如下：( 1)构造系统式( 1)的对偶系统T TT z A z C B z ηω⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （4） ( 2)用MATLAB 的函数 p l ace ( )及 acker ( ), 根据下式可求得状态观测器的反馈矩阵Lk e r(,,)T T T L a c A C P =或(,,)T T TL p la c e A C P = （5） 其中, P 为给定的极点, L 为状态观测器的反馈矩阵。
实验6_状态反馈与状态观测器.doc
实验6_状态反馈与状态观测器自动控制原理实验报告自动控制原理实验报告院系名称：仪器科学与光电工程学院班级：141715班姓名：武洋学号：14171073实验六状态反馈与状态观测器一、实验目的1. 掌握用状态反馈进行极点配置的方法。
2. 了解带有状态观测器的状态反馈系统。
3. 理解系统极点、观测器极点与系统性能、状态估计误差之间的关系。
二、实验内容1. 系统G(s)=10.05s2+s+1如图2.6.1所示，要求设计状态反馈阵K，使动态性能指标满足超调量，峰值时间。
图2.6.1二阶系统结构图2．被控对象传递函数为写成状态方程形式为式中; ;为其配置系统极点为S1,2=-仪器科学与光电工程学院班级：141715班姓名：武洋学号：14171073实验六状态反馈与状态观测器一、实验目的1. 掌握用状态反馈进行极点配置的方法。
2. 了解带有状态观测器的状态反馈系统。
3. 理解系统极点、观测器极点与系统性能、状态估计误差之间的关系。
二、实验内容1. 系统G(s)=10.05s2+s+1如图2.6.1所示，要求设计状态反馈阵K，使动态性能指标满足超调量，峰值时间。
图2.6.1二阶系统结构图2．被控对象传递函数为写成状态方程形式为式中; ;为其配置系统极点为S1,2=：其中维状态反馈系数矩阵，由计算机算出。
维观测器的反馈矩阵，由计算机算出。
为使跟踪所乘的比例系数。
三、实验原理1. 闭环系统的动态性能与系统的特征根密切相关，在状态空间的分析中可利用状态反馈来配置系统的闭环极点。
这种校正手段能提供更多的校正信息，在形成最优控制率、抑制或消除扰动影响、实现系统解耦等方面获得广泛应用。
在改善与提高系统性能时不增加系统零、极点，所以不改变系统阶数，实现方便。
2. 已知线形定常系统的状态方程为为了实现状态反馈，需要状态变量的测量值，而在工程中，并不是状态变量都能测量到，而一般只有输出可测，因此希望利用系统的输入输出量构成对系统状态变量的估计。
第6章状态反馈控制与观测器设计
⎡ c ⎤ ⎡2 rank ⎢ ⎥ = rank ⎢ ⎣ cA ⎦ ⎣0
能观性判别矩阵满秩
0⎤ = 2= n ⎥ 2⎦
所以，系统可观，状态观测器极点可以任意配置。
22
6.3.1 全维状态观测器设计
设 K = ⎡ Ke1 ⎤ e ⎢ ⎥ K ⎣ e2 ⎦
⎡ −2Ke1 1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡Ke1 ⎤ 则 A−Kec = ⎢ −⎢ ⎥[ 2 0] = ⎢ ⎥ ⎥ 2 2 3 − − − K K 2 3 − − ⎣ ⎦ ⎣ e2 ⎦ e2 ⎣ ⎦
Modern Control Engineering
第6章 状态反馈控制与状态 观测器设计
教材：
王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011
第6章 状态反馈控制与状态观测器设计
问题：1、反馈控制的作用？ 2、古典控制理论中的反馈控制方式？ 3、现代控制理论中的反馈控制方式？ 由于采用了状态方程描述系统，所以可以采用状态变量进行 反馈。 由于状态空间描述了系统内部信息的传递关系，比微分方程、 传递函数等外部描述更深入地揭示了系统的动态特性，所 以，采用状态反馈比采用输出反馈具有更好的控制特性。 采用状态反馈不但可以实现闭环系统的特征值任意配置，而 且也是实现系统解耦和构成线性最优调节器等的主要手段。 状态反馈和状态观测器设计是各种现代控制设计方法的基础
T1 = [0 0 " 1]SC
SC = b
[
Ab " An −1b
−1
]
⎡ T1 ⎤ ⎢ TA ⎥ T =⎢ 1 ⎥ ⎢ # ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎣T1 A ⎦
11
6.2.2 单输入系统的极点配置方法
3）求出被控对象的特征多项式
f (λ ) = det[ λI − A] = λn + an−1λn−1 + " + a1λ + a0
线性系统理论状态观测器设计教学课件PPT
z
N
u
这就是带有观测器后闭环系统状态方程。
性质：
（1）若x是n维，Z是r维 ,则闭环系统维数为n+r; （2）闭环极点具有分离性, 即它可变为：
~x
~z
A
BK 0
BE~x B
F
~z
0
u
25
y C
0
~x ~z
证明：存在P，有
PA FP GC
N PB
K EP MC
（3）
A
PAP1
A11 A21
A12 A22
,
B
PB
B1 B2
21
（4）计算期望特征多项式
nq
(s i ) * (s)
i1
（5）对 A2T2 , A1T2 采用极点配置算法，求 K 使
det(sI A2T2 A1T2K ) *(s)
（6）取 L K T （7）计算
若 r ，n M，相0应观测器称为降维观测器。 对 r全维n观测器，参数除按上述设计步骤外，又有特定
取法：
F A LC,
GL
则 PA FP PA (A LC)P PA AP LCP LC
有 P In
从而 N B , K E 于是得到一特定的n 维KX观测器。
7
z (A LC)z Bu Ly W Kz 为与一般观测器区别，以 ~x代z， 代~y W
（5-43）
它的维数是 r, r n 。设 k 1 ，则有
(k0 k) Kx(k0 k)
30
定理5.11 设系统（5-43）能观，则它成为 (, H,的C步) 数为的Kxk0
观测器的充分必要条件是，存在 阶矩r 阵 nP，使得对任意输入
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求解降阶观测器的MATLAB命令
例 考虑系统 其中：
要配置的闭环极点是 则可得状态反馈增益矩阵
若只有系统的输出是可以直接测量的，则需要 设计一个降阶观测器。 降阶观测器是2阶的，要求的极点是 进行分块：
可以得到观测器的增益矩阵 L=[ 14 5 ]’ 观测器模型：
反知系统模型 问题：如何从系统的输入输出数据得到系统状态？ 初始状态：由能观性，从输入输出数据确定。 不足：初始状态不精确，模型不确定。 思路：构造一个系统，输出 逼近系统状态 称为是 的重构状态或状态估计值。 实现系统状态重构的系统称为状态观测器。
6.1 观测器设计 状态估计的开环处理： 但是存在模型不确定性和扰动！初始状态未知！ 应用反馈校正思想来实现状态重构。 通过误差来校正系统：状态误差，输出误差。
设计一个观测器，使观测器两个极点都是－2。
检验系统的能观性： 系统是能观的，因此问题可解。 要求确定观测器增益矩阵 ，使得矩阵
A－LC具有两个相同的特征值－2。由于
期望的特征值多项式是 比较两个多项式，可以得到，
所求的观测器是
应用MATLAB命令来计算观测器增益矩阵： L=(acker(A’,C’,V))’ L=(place(A’,C’,V))’ 观测器设计时注意的问题： √观测器极点比系统极点快2～5倍； √并非越快越好。 兼顾观测器误差的衰减和系统抗扰动能力。 倒立摆例子
状态观测器模型 龙伯格（Luenberger）观测器 L是观测器增益矩阵，对偏差的加权。 真实状态和估计状态的误差向量 误差的动态行为：
的极点决定了误差是否衰减、如何衰减？ 通过确定矩阵L来保证。极点配置问题
要使得误差衰减到零，需要选取一个适当的矩 阵L，使得A－LC是稳定的。 若能使得矩阵A－LC具有适当的特征值，则可 以使得误差具有一定的衰减率。 由于
因此，问题转化为 的极点配置问题。 该极点配置问题可解的条件： 能控 等价于 能观
定理6.1.1 系统可以任意配置观测器极点的充分必 要条件是（C, A）能观。 观测器的增益矩阵可以按照极点配置方法来设计 求解 的极点配置问题，得到增益矩阵k； 观测器增益矩阵 观测器设计的三种方法：直接法、变换法、爱克曼 公式 例 考虑由以下系数矩阵给定的系统
初始误差：
6.2 基于观测器的控制器设计 系统模型 假定系统是能控、能观的。 使得闭环系统极点为 的状态反馈控 制律是 。若系统状态不能直接测量， 可以用观测器
来估计系统的状态。进而用 来的控制 问题：还具有原来的效果吗？
来替代原
利用状态估计值的反馈控制器是
基于观测器的输出反馈控制系统结构图：
倒 立摆系统模型： 状态：
小车的位移是可以直接测量的。 设计的状态观测器，可以得到整个状态的估计。 也得到了小车位移的估计。 问题：对所有状态分量都估计是否必要？ 计算量？精度？ 降阶观测器！
6.3 降阶观测器设计 考虑单输出系统
假定矩阵C具有形式[ 1 0 ]，将系统状态 x 分划 成两部分：
例 系统状态空间模型的系数矩阵：
已知系统状态不能直接测量，试设计控制器， 使得闭环系统渐近稳定。 解：输出反馈控制器： 闭环矩阵：
特征多项式： 结论：无论k取什么值，无法将两个闭环极点配置 在左半开复平面。
例 系统状态空间模型的系数矩阵：
系统能控、能观。 状态反馈控制器： 闭环矩阵： 特征多项式： 选取 ，则闭环极点 状态不可测，设计状态观测器。 选取观测器极点：
其中 是一个标量，对应的恰好是系统的输出， 是状态向量中不能直接测量的部分。
对状态空间模型进行类似分划：
由此可得：
可以考虑新的状态空间模型：
降阶观测器模型
如何消除微分信号？
引进记号：
则降阶观测器模型是
由于
基于状态估计值的反馈控制器是
基于状态观测器的反馈控制器
误差模型：
闭环系统的特征多项式是
应用极点配置方法，可得观测器增益矩阵 观测器模型： 根据分离性原理，由以上分别得到的状态反馈 和观测器增益矩阵可构造基于观测器的输出反 馈控制器：
系统的动 态特性：
检验系统的稳定性： 对象和误差的初始条件： 系统曲线：
一般的输出反馈动态补偿器：
其中： 是控制器的状态向量， 和 是待定的控制器参数。 若 ，则相应控制器是静态的，具有形式： 静态输出反馈控制器。 特点：设计参数多，可达到更多性能； 物理意义不明显； 设计更加复杂。
增加了积分器，闭环系统是2n阶的。 为闭环系统状态，则系统状态方程：
写成矩阵向量形式：
定义误差向量：
若选择
为闭环系统状态，
其特征多项式为
分离性原理 闭环系统的极点是极点配置单独设计产生 的极点和由观测器单独设计产生的极点两部分组成。 设计可以分步完成： 第1步：设计状态反馈控制器； 第2步：若状态不能直接测量，则设计观测器； 第3步：利用状态反馈和观测器增益矩阵构造控制器。