国家精品课程 《数学分析》陈纪修

2006年国家精品课程 《数学分析》陈纪修




教材：

《数学分析》（上、下册，第二版）
陈纪修，於崇华，金路编著，高等教育出版社出版

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数学分析录象目录


第一章 集合与映射

第一章 第一节 集合（1）（2）（3）
第一章 第二节 映射与函数（1）（2）（3）

第二章 数列极限

第二章 第一节 实数系的连续性（1）（2）
第二章 第二节 数列极限（1）（2）（3）（4）
第二章 第三节 无穷大量（1）（2）
第二章 第四节 收敛准则（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

第三章 函数极限与连续函数

第三章 第一节 函数极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第三章 第二节 连续函数（1）（2）（3）（4）（5）
第三章 第三节 无穷小量与无穷大量的阶（1）（2）（3）
第三章 第四节 闭区间上的连续函数（1）（2）（3）

第四章 微分

第四章 第一节 微分和导数（1）
第四章 第二节 导数的意义和性质（1）（2）
第四章 第三节 导数四则运算和反函数求导法则（1）（2）
第四章 第四节 复合函数求导法则及其应用（1）（2）（3）
第四章 第五节 高阶导数和高阶微分（1）（2）（3）

第五章 微分中值定理及其应用

第五章 第一节 微分中值定理（1）（2）（3）（4）
第五章 第二节 L’Hospital 法则（1）（2）
第五章 第三节 Taylor 公式和插值多项式（1）（2）（3）
第五章 第四节 函数的Taylor 公式及其应用（1）（2）（3）
第五章 第五节 应用举例（1）（2）（3）
第五章 第六节 方程的近似求解（1）

第六章 不定积分

第六章 第一节 不定积分的概念和运算法则（1）
第六章 第二节 换元积分法和分部积分法（1）（2）（3）（4）
第六章 第三节 有理函数的不定积分及其应用（1）（2）（3）（4）

第七章 定积分

第七章 第一节 定积分的概念和可积条件（1）（2）（3）（4）（5）
第七章 第二节 定积分的基本性质（1）（2）
第七章 第三节 微积分基本定理（1）（2）（3）（4）
第七章 第四节 定积分在几何计算中的应用（1）（2）（3）（4）（5）
第七章 第五节 微积分实际应用举例（1）（2）
第七章 第六节 定积分的数值计算（1）

第八章 反常积分

第八章 第一节 反常积分的概念和计算（1）（2）
第八章 第二节 反常积分的收敛判别法（1）（2）（3）

第九章 数项级数

第九章 第一节 数项级数的收敛性（1）（2）
第九章 第二节 上极限与下极限（1）（2）
第九章 第三节 正项级数（1）

（2）（3）
第九章 第四节 任意项级数（1）（2）（3）（4）
第九章 第五节 无穷乘积（1）（2）

第十章 函数项级数

第十章 第一节 函数项级数的一致收敛性（1）（2）（3）（4）
第十章 第二节 一致收敛级数的判别与性质（1）（2）（3）（4）（5）
第十章 第三节 幂级数（1）（2）
第十章 第四节 函数的幂级数展开（1）（2）（3）（4）
第十章 第五节 用多项式逼近连续函数（1）

第十一章 Euclid空间上的极限与连续

第十一章 第一节 Euclid空间上的极限和连续（1）（2）（3）（4）
第十一章 第二节 多元连续函数（1）（2）（3）
第十一章 第三节 连续函数的性质（1）（2）

第十二章 多元函数的微分学

第十二章 第一节 偏导数与全微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第十二章 第二节 多元复合函数的求导法则（1）（2）
第十二章 第三节 中值定理与Taylor公式（1）（2）
第十二章 第四节 隐函数（1）（2）（3）（4）
第十二章 第五节 偏导数在几何中的应用（1）（2）（3）
第十二章 第六节 无条件极值（1）（2）（3）
第十二章 第七节 条件极值问题与Lagrange乘数法（1）（2）（3）

第十三章 重积分

第十三章 第一节 有界闭区域上的重积分（1）（2）（3）
第十三章 第二节 重积分的性质与计算（1）（2）（3）（4）
第十三章 第三节 重积分的变量代换（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第十三章 第四节 反常重积分（1）（2）（3）
第十三章 第五节 微分形式（1）（2）

第十四章 曲线积分、曲面积分与场论

第十四章 第一节 第一类曲线积分与第一类曲面积分（1）（2）（3）（4）
第十四章 第二节 第二类曲线积分与第二类曲面积分（1）（2）（3）（4）
第十四章 第三节 Green公式、Gauss公式和Stokes公式（1）（2）（3）（4）（5）
第十四章 第四节 微分形式的外微分（1）（2）
第十四章 第五节 场论初步（1）（2）（3）（4）

第十五章 含参变量积分

第十五章 第一节 含参变量的常义积分（1）（2）
第十五章 第二节 含参变量的反常积分（1）（2）（3）（4）（5）
第十五章 第三节 Euler积分（1）（2）（3）

第十六章 Fourier 级数
第十六章 第一节 函数的Fourier级数展开（1）（2）
第十六章 第二节 Fourier级数的收敛判别法（1）（2）（3）
第十六章 第三节 Fourier级数的性质（1）（2）（3）

课程介绍


《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算

方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。复旦大学有非常好的生源，吸引了众多优秀的学生，使得实现这一培养目标与要求成为可能。
另一方面，许多优秀的学生受教学计划限制，学习的是《高等数学》这一课程。但他们对于学习《数学分析》以提高自己的数学修养有着强烈的愿望（其中一部分通过转专业成为数学类专业的学生）。我们推出的《数学分析原理》课程应运而生，为这一部分学生提供了一个恰当的学习提高机会。


陈纪修 项目负责人 主讲教师
复旦大学数学科学学院教授，博士生导师
1968年毕业于复旦大学数学系
1985年在复旦大学获理学博士学位
复旦大学数学科学学院教学指导委员会成员