国家精品课程 《数学分析》陈纪修
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--5章
.k
hd
π π
4
(3) 令 f ( x) = 2 arctan x + arcsin
2x ，注意到 x 2 − 1 > 0, ∀x > 1 ，所以 2 1+ x
由于 f ( x) 在 [1, +∞ ) 连续，所以 f ( x) ≡ f (1) = 2 +
案 网
至多有限个点有 f ′( x ) = 0 之外，都有 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上严格 单调增加；同时举例说明，其逆命题不成立。 证 设 a = x0 < x1 < " < xn −1 < xn = b ，其中 x1 , x2 ," , xn −1 是 f '( x) 全部的零点。 则 f ( x) 在 [ xi , xi +1 ] (i = 0,1," , n − 1) 上严格单调增加。 从而，f ( x) 在 [a, b] 上 严格单调增加。 构造函数
(ξ , f (ξ )) 不在 ( a, f ( a )), (b, f (b)) 的连线上。
假设 (ξ , f (ξ )) 在 (a, f (a )), (b, f (b)) 的连线的上方，则
f (ξ ) − f (a ) f (b) − f (a ) f (b) − f (ξ ) > > ， ξ −a b−a b −ξ
的两倍。
5． 设函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， 在 ( a , b ) 上可导, 证明 ( a , b ) 内存
课
在一点 ξ ，使得
后 答
案 网
针排列，则ψ ( x) 就是三角形面积的两倍，否则－ψ ( x) 就是三角形面积
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章
第十章 函数项级数习 题 10. 1 函数项级数的一致收敛性1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
⑴ S n (x ) = , (i) x nx −e ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑵ S n (x ) = x , x nx −e ∈),0(+∞；⑶ S n (x ) = sin nx , (i)x ∈),(+∞−∞， (ii) x ∈],[A A −()； 0>A ⑷ S n (x ) = arctan nx , (i)x ∈)1,0(， (ii) x ∈； ),1(+∞ ⑸ S n (x ) =221nx +, x ∈),(+∞−∞； ⑹ S n (x ) = nx (1 - x )n , x ∈]1,0[；⑺ S n (x ) =n x ln n x, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈)；),1(+∞ ⑻ S n (x ) = nnx x +1, (i) x ∈)1,0(， (ii) x ∈；),1(+∞ ⑼ S n (x ) = (sin x )n , x ∈],0[π；⑽ S n (x ) = (sin x )n1, (i) x ∈[0,]π， (ii) x ∈],[（0>δ）；δπδ− ⑾ S n (x ) = nn x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+1, (i) x ∈),0(+∞， (ii)x ∈],0(A ()； 0>A ⑿ S n (x ) = ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+x n x n 1, (i) x ∈),0(+∞, (ii)[)0,,>+∞∈δδx 。
解 （1）(i) ，0)(=x S )()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n −=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在上非一致收敛。
(0,1) (ii) ，0)(=x S )()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n −=+∞∈n e −=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在上一致收敛。
《数学分析》讲稿
1．极限、无穷小、微分、积分的思想在中国古代早已有之 公元前 4 世纪，中国古代思想家和哲学家庄子在《天下篇》中论
1
述：“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”其中大一和小一 就是无穷大和无穷小的概念。而“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 更是道出了无限分割的极限思想。
3．牛顿和莱布尼兹对微积分学科的功绩 微积分学科的建立，归功于两位伟大的科学先驱：牛顿和莱布尼 兹。关键在于他们认识到，微分和积分这两个运算，是彼此互逆的两 个过程，它们是由牛顿—莱布尼兹公式联系起来的。 1669 年英国大数学家牛顿（I. Newton, 1643-1727）提出微积分学 说存在正反两个方面的运算，例如面积计算和切线斜率计算就是互逆 的两种运算，即微分和积分互为逆运算，从而完成了微积分运算的决 定性步骤。1687 年，牛顿发表了他的著作《自然哲学的数学原理》， 在这个划时代的著作中，他陈述了他的伟大创造—微积分，并应用微 积分理论，从开普勒关于行星的三大定律导出了万有引力定律。牛顿 还将微积分广泛应用于声学、光学、流体运动等学科，充分显示了微
2
物弓形的面积，这就是极限理论的最初形式。在《论球和柱体》一书 中，阿基米德首先得到了球和球冠的表面积、球和球缺的体积的正确 公式。Leabharlann 基米德的著作代表了古希腊数学的顶峰。
1615 年，德国数学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）用无穷小微 元来确定曲边形的面积与体积。他把圆看作边数无限多的多边形，圆 周上每一点看作是顶点在圆心高等于半径的极小等腰三角形的底，于 是圆面积就等于圆周长与半径乘积之半。他把球看作面数无限多的多 面体，球面上每一点看作是顶点在球心高等于半径的极小圆锥的底， 于是球体积就等于球表面积与半径乘积之三分之一。他还用无穷小方 法精确地计算出酒桶的体积，并写了《测量酒桶体积的新科学》，书 中包含了 87 种不同的旋转体的体积计算。
陈纪修
1946年1月出生，复旦大学数学科学学院教授，曾获首届“全国高校教学名师奖”、2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）等。
主持编写21世纪课程教材——《数学分析》。
对数学类学科的师生而言，“陈纪修”这个名字早已耳熟能详。
他的《数学分析》课程讲义、视频，在全国范围内广为流传；其轻松而透彻的授课风格和炉火纯青的教学能力，赢得广大学子的赞扬与崇敬。
数学，是培养逻辑思维的最好课程”数学学科是基础学科，在广大学生的心目中，它具有着分裂而极端不同的形象。
有些同学膜拜着它的奇妙变幻，有些则畏惧着它的高深莫测；在一部分同学的学习与学术活动中，数学已是无法释手的重要工具；而另一些同学，感叹着多年的数学学习似乎毫无用处。
已有29年高校数学教学经历的陈纪修，对数学学科有着透彻深刻的见解。
“我教过七年的中学数学。
你现在可以回想一下，中学时代学的那些数学知识，在实际工作和学习中有什么用处？例如，在怎样的情况下，你需要用到证明两个三角形全等的知识？几乎很少。
”陈教授如是说，“作为一门基础学科，数学的重要性在于它对学生们的思维训练。
“我们有很多历届的学生，现在已经在各个领域发挥着热量、获得成功。
一个已经在华尔街工作的学生告诉我，以前他学习的那些具体定律、理论并没有多少用处，但经过数学学习所培养起来的逻辑思维能力，让他在工作中游刃有余。
这就是数学学科的重要性。
”“深入浅出地讲课，是好老师应当具备的能力”1968年，陈纪修本科毕业后，当了七年中学数学教师。
1977年恢复硕士招生，他回到复旦攻读硕士学位。
1981年，他开始了长达几十载的数学分析教学生涯。
多年的一线教学经验和丰厚的学术研究成果，让他成功摸索出一条在学术殿堂与求知学子间的连接路径。
一位听过陈老师课程的学子在其博客中写道：“看了先生的视频，才知道数学分析真正美处，其中的内涵被先生揭示的很透彻。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章
习
∞
数项级数
数项级数的收敛性
∞
题
9.1
1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。
1 ; ⑴ ∑ n =1 n ( n + 2) ∞ 1 ; ⑶ ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) ∞ 1
⑵ ⑷
∑ 3n + 1 ; ∑⎜ ⎝2
n =1 ∞
2n
⑸ ⑺ ⑼
∑
n =1 ∞ n =1 ∞
2n − 1 ， 3n
;
co m
（3）当 x = 1 时显然级数收敛；当 x ≠ 1 时 ∑ x n (1 − x) = (1 − x) ∑ x n ，收敛
n =1
∞
∞
n =1
范围是 x ∈ (−1,1) ；所以当 x ∈ (− 1,1] 时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
n→∞
证 （1）记 lim x n = h1 ， lim y n = h2 ，则对任意给定的 ε > 0 ，存在正整
h − ε < yn < H + ε 。
min{( x − ε )( H + ε ), ( x + ε )( H + ε )} < x n y n < max{( x − ε )(h − ε ), ( x + ε )(h − ε )}，
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--7章
21 1 2 3源自1 nε， f ( x) 在区间 [
1 ,1] 上只有有限个不连续点， m
所以 f ( x) 在 [
1 1 ,1] 上可积，即存在 [ ,1] 的一个划分 P ，使得 m m
∑ ω ∆x
i =1 i
n
i
<
ε
2
，将 P 的分点和 0 合在一起，作为[0,1]的划分 P ' ，则
7. 有界函数 f ( x ) 在 [a, b] 上的不连续点为 {x n }∞ n =1 ，且 lim x n 存在，证明
f ( x) ≤ M 。 ∀ε > 0 ， 取
ε
3
。将 P (1) 、
课
P ( 2) 的分点合并在一起组成 [a , b] 的一个划分 P ，则
∑ ω ∆x ≤ ∑ ω
i =1 i i
1 n
课
4
ε
，则 f ( x) 在 [
1 ,1] 上只有有限个不连续点， m
所以 f ( x) 在 [
n 1 1 ε ,1] 上可积，即存在 [ ,1] 的划分 P ，使得 ∑ ω i ∆xi < 。 2 m m i =1
将 P 的分点与 0 合在一起作为[0,1]的划分 P ' ，则
∑ ωi′∆xi′ = ∑ ωi ∆xi + ω1′∆x1′ <
1≤ i ≤ n
取定了划分后， n 与 ∆xi (i = 1, 2," n) 也就确定，如果 f ( x ) 在 [a, b] 上无 界，则必定存在小区间 [ xi −1 , xi ] ， f ( x ) 在 [ xi −1 , xi ] 上无界。取定
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--16章
f ( x ) sin nxdx = π ∫π
−
1
π
2(1 − cos(nπ )) ，( n = 1, 2,3, nπ sin( 2k − 1) x 。 π k =1 2k − 1 4
)。
f ( x) ∼
∑
∞
（2） f ( x) 为偶函数，所以 bn = 0 ， （ n = 1, 2,3, ） ，
(a)
−
an =
f ( x ) cos nxdx = − π ∫π π (n
− 1
1
π
2A ( n = 2, 4, 6, 2 − 1)
w. kh d
解 （1） a0 =
f ( x) dx = π ∫π
1
1
π
2A
π ，
π
1
−
1
−
1
bn =
后 答
f ( x ) sin nxdx = 0 ，( n = 2,3, 4, π ∫π
(a − b)(1 − (−1) n ) ，( n = 1, 2,3, π n2
(a + b) cos(nπ ) ，( n = 1, 2,3, n
), )。
f ( x) sin nxdx = − π ∫π
−
π
∞ ( −1) n +1 (a − b)π 2(a − b) ∞ cos(2k + 1) x + + ( a + b) ∑ sin nx 。 f ( x) ∼ − ∑ 2 n π 4 n =1 k =0 (2k + 1)
案
网
n 1 − (−1) n e −2π sin nx 。 ∑ π n=1 n2 + 4 2
陈纪修数学分析III第25讲
教学内容：曲面的面积
§14.1 第一类曲线积分与曲面面积
二、曲面的面积
设二元函数
z f ( x, y )
在有界闭区域 D 上具有连续的
一阶偏导数
f x ( x , y )，f y ( x , y )
.
下面，我们讨论由方程
z f ( x, y )
( x, y ) DFra bibliotek的方程为
(u , v ) D
其中 D 为u v平面上具有光滑（或分段光滑）的边界的有界闭
区域.如果 r ( u , v ) 是一个一一对应并且 x
z ，y ， 对 u 和 v 有连续
x u y u z u x v y v z v
偏导数，Jacobi矩阵
z 区域具有连续的各偏导数，则曲面 ：
的面积为
证明
J
D
f x ( x , y ) f y ( x , y ) 1 d xd y
2 2
的矢性方程 r ( x , y ) x i y j f ( x , y ) k rx 1, 0, f x ( x , y ) ，y 0,1, f y ( x , y ) r
S i分别表示小区域 i 与小
i n ) , ( i , i ) i ,
令 i
f ( i , i )
Ai cos i ,
其中 A i 表示 M i ( i , i , i ) 点
z
处曲面 的切平面被以 i 为底母线平行于
J
满秩，则曲面
是可求面积的并且其面积为 J ru ( u , v ) rv ( u , v ) d u d v
复旦大学数学系陈纪修《数学分析》(第二版)习题答案ex2-1,2
第二章 数列极限习 题 2.1 实数系的连续性1. (1) 证明6不是有理数；(2) 3+2是不是有理数?证（1）反证法。
若6是有理数，则可写成既约分数nm=6。
由，可知是偶数，设，于是有，从而得到是偶数，这与226n m =m k m 2=2223k n =n nm是既约分数矛盾。
（2）3+2不是有理数。
若3+2是有理数，则可写成既约分数32+n m=，于是222623nm =++，252622−=n m ，即6是有理数，与（1）的结论矛盾。
2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： ； A x x =≥{|}0 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=320|sin πx x B ； ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈=+m n n m m n C 并且N ,。
解 ；因为，有0min =A A x ∈∀A x ∈+1，x x >+1，所以不存在。
A max 12sin max ==πB ；因为B x ∈∀，⎦⎤⎜⎝⎛∈∃2,0πα，使得αsin =x ，于是有B ∈2sinα，x <2sinα，所以B min 不存在。
C max 与都不存在，因为C min C m n ∈∀，有C m n ∈+1，C m n ∈++11， 111++<<+m n m n m n ，所以与都不存在。
C max C min 3. A B ,是两个有界集，证明： (1) 是有界集；A B ∪(2) 也是有界集。
S x y x A y B =+∈∈{|,}证 （1）设A x ∈∀，有1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则B A x ∪∈∀，有{}21,max M M x ≤。
（2）设，有A x ∈∀1M x ≤，B x ∈∀，有2M x ≤，则S x ∈∀，有21M M x +≤。
4. 设数集S 有上界，则数集T x x S =−∈{|}有下界，且sup S =T inf −。
证 设数集S 的上确界为，则对任意S sup ∈x T x x S =−∈{|}，有，即；同时对任意S x sup ≤−S x sup −≥0>ε，存在S y ∈，使得ε−>S y sup ，于是，且T y ∈−ε+−<−S y sup 。
数学分析课后习题答案 高教第二版 陈纪修 章
D
D
（2）因为在 D 上成立 x + y ≥ 3 ，所以 ln(x + y) < [ln(x + y)]2 ，于是
∫∫ln(x + y)dxdy < ∫∫[ln(x + y)]2 dxdy 。
D
D
3．用重积分的性质估计下列重积分的值：
(1) ∫∫ xy(x + y)dxdy ，其中 D 为闭矩形[0,1] × [0,1] ；
Ω
Ω
Ω
当 ∫ g(x)dV = 0 ，积分中值定理显然成立。当 ∫ g(x)dV ≠ 0 ，则
Ω
Ω
∫ f (x)g(x)dV
m≤ Ω
≤M，
∫ g(x)dV
Ω
m 所以存在 µ ∈[m, M ]，使得
co ∫ f (x)g(x)dV
. Ω
=µ，
w ∫ g(x)dV
a Ω
d 即
.kh ∫ f (x)g(x)dV = µ ∫ g(x)dV 。
D
(2)
∫∫
D
100
+
dxdy cos2 x +
cos 2
y
，其中 D 为区域 {(x,
y)| | x|+| y|≤
10} ；
1
(3)
∫∫∫ Ω
1
+
dxdxdz x2 + y2 + z2
，其中
Ω
为单位球 {(x, y, z)| x2
+
y2
+
z2
≤ 1} 。
解（1）因为在 D 上成立 0 ≤ xy(x + y) ≤ 2 ，所以
网 ( )( ) ∫∫ ∫ ∫ （2） xy e x2+y2 dxdy = b xe x2 dx d ye y2 dy = 1 eb2 − ea2 ed2 − ec2 。
陈纪修数学分析第三版pdf
陈纪修数学分析第三版pdf陈纪修数学分析第三版pdf是一本非常经典的数学分析教材，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
此书详细介绍了一系列基础数学分析知识和该领域的拓展研究，涵盖了大量的内容。
本文将从几个方面介绍该书，以帮助那些对该领域感兴趣的学生和专业人士更好地了解和掌握相关知识。
第一步：对数学分析的基础知识进行了介绍《陈纪修数学分析第三版pdf》详细介绍了数学分析的基础知识，如函数、极限、连续性、微积分基本定理等内容。
这些知识是数学分析的基础，理解这些知识对于掌握更高级别的分析学科至关重要。
陈纪修教授系统地解析了这些基础知识，使用了简洁易懂的语言和大量的示例，帮助读者更好地理解和掌握相关内容。
第二步：介绍微积分的理论与实践陈纪修教授在《数学分析》中详细介绍了微积分的理论与实践。
他将微积分的理论与工程应用结合起来，系统地阐述了微积分的概念和基本原理。
同时，该书也涵盖了大量的真实应用案例，如微积分在物理、经济等领域的应用，帮助读者更好地理解微积分的应用。
陈纪修教授将微积分的理论与实践结合起来，为读者展示了微积分的应用前景，促进了微积分理论与应用的交叉研究。
第三步：涵盖了大量的训练题，帮助读者巩固知识点除了详细地介绍数学分析的基础知识和微积分理论与实践外，该书还提供了大量的练习题，帮助读者巩固并扩展自己的知识点。
这些题目涵盖了该书的所有章节，包括证明题和计算题，旨在帮助读者提高解题和分析问题的能力。
读者可以通过练习这些问题来加强自学、自评和自我学习。
总体而言，《陈纪修数学分析第三版pdf》是一本清晰而详细的数学分析教材。
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如果你希望深入了解数学分析的知识，这本书将是一个非常好的开始。
数学分析【陈纪修(第二版)】上下册
１Ｅｕｃｌｉｄ空间上的基本定理 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的距离与极限 开集与闭集 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的基本定理 紧集 习题 ２ 多元连续函数 多元函数 多元函数的极限 累次极限 多元函数的连续性 向量值函数 习题 ３ 连续函数的性质 紧集上的连续映射 连通集与连通集上的连续映射 习题 第十二章多元函数的微分学 １ 偏导数与全微分 偏导数 方向导数 全微分 梯度 高阶偏导数 高阶微分 向量值函数的导数 习题 ２ 多元复合函数的求导法则 链式规则 一阶全微分的形式不变性 习题 ３中值定理和Ｔａｙｌｏｒ公式 中值定理 Ｔａｖｌｏｒ公式 习题 ４ 隐函数 单个方程的情形 多个方程的情形 逆映射定理 习题 ５ 偏导数在几何中的应用 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面与法线 习题 ６ 无条件极值 无条件极值 函数的最值 最小二乘法 “牧童”经济模型 习题 计算实习题
前言 目录 第九章 数项级数 １ 数项级数的收敛性 数项级数 级数的基本性质 习题 ２ 上极限与下极限 数列的上极限和下极限 上极限和下极限的运算 习题 ３ 正项级数 正项级数 比较判别法 Ｃａｕｃｈｙ判别法与ｄ’Ａｌｅｍｂｅｒｔ判别法 Ｒａａｂｅ判别法 积分判别法 习题 ４ 任意项级数 任意项级数 Ｌｅｉｂｎｉｚ级数 Ａｂｅｌ判别法与Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ判别法 级数的绝对收敛与条件收敛 加法交换律 级数的乘法 习题 ５ 无穷乘积 无穷乘积的定义 无穷乘积与无穷级数 习题 第十章函数项级数 １函数项级数的一致收敛性点态收敛 函数项级数（或函数序列）的基本问题 函数项级数（或函数序列）的一致收敛性 习题 ２ 一致收敛级数的判别与性质 一致收敛的判别 一致收敛级数的性质 处处不可导的连续函数之例 习题 ３ 幂级数 幂级数的收敛半径 幂级数的性质 习题 ４ 函数的幂级数展开 Ｔａｙｌｏｒ级数与余项公式 初等函数的Ｔａｙｌｏｒ展开 习题 ５ 用多项式逼近连续函数 习题 第十一章 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的极限和连续
数学分析陈纪修答案
数学分析陈纪修答案LtD数学分析陈纪修答案【篇一：陈纪修教授?数学分析?九讲学习笔记与心得】class=txt>云南分中心? 昆明学院? 周兴伟此次听陈教授的课，收益颇多。
陈教授的这些讲座，不仅是在教我们如何处理?数学分析?中一些教学重点和教学难点，更是几堂非常出色的示范课。
我们不妨来温习一下。
第一讲、微积分思想产生与开展的历史法国著名的数学家h.庞加莱说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。
〞那么，如果你要学好并用好?数学分析?，那么，掌故微积分思想产生与开展的历史是非常必要的。
陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中，我不仅讲授?数学分析?，也讲授?数学史?，所以我非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法，这应该也是提高学生数学素养的有效途径。
在这一讲中，陈教授脉络清晰，分析精当，这是我自叹不如的。
讲?数学史?也有些年头，但仅满足于史料的堆砌，没有对一些精彩例子加以剖析。
如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理〞求出球的体积的分析，这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的〔以疑激趣、以奇激趣〕，而且有利于提高学生的民族自豪感〔陈教授也提到了这一点〕。
第二讲、实数系的根本定理在这一讲中，陈教授从?实变函数?中对集合基数的讨论展开，对实数系的连续性作了有趣的讨论。
首先是从绅士开party的礼帽问题，带我们走进了“无穷的世界〞。
光来看无限，只能是‘只在此山中，云深不知处’〞。
当然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。
假设陈教授或其他老师有好的建议，能指点一下，那么不胜感谢。
对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系，包括q与Ｒ的对等关系，或者说他们之间双射的构造。
关键在于“求同存异〞，找一个可数集来“填补〞他们之间的差距，这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。
从可数集到不可数集，再加上无最大基数定理，让我们看到了“无穷的层次性〞，由此我们不难理解“人外有人，天外有天，无穷之外有无穷〞。
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第4章 导数和微分【圣才出品】
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第 4 章 导数和微分
4.1 复习笔记
一、微分和导数
1．微分的定义
（1）对函数
定义域中的一点 ,若存在一个只与 有关。而与 无关的数
，使得当△x→0 恒成立关系式
则称 f（x）在 处的微分存在，或称 f（x）在 处可微。 若函数 y=f（x）在某一区间上的每一点都可微，则称 f'（x）在该区间上可微。 （2）若函数 f（x）在 x 处是可微的，那么当△x→0 时必有△y→0,即 f（x）在 x 处连
（3）多重复合函数的链式法则
（4）形如
的函数称为幂指函数，对于幂指函数的求导，常采用
的方法叫对数求导法，计算时，先对两边取对数，令
再分别求
导。
2．一阶微分的形式不变性
复合函数的微分公式为
由于
，代入上式就得到它的等价表示形式
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台
它与以 u 为自变量的函数 y=f（u）的微分式
一模一样。即不论 u 自变量还是中间变量，函数 y=f（u）的微分形式是相同的，这被称 为“一阶微分的形式不变性”。
3．隐函数求导与求微分 对于隐函数的求导与求微分问题，可以利用复合函数的求导法则或一阶微分的形式不 变性来求得，而无须从隐函数解出显函数。
这个结论可以推广到多个函数线性组合的情况：
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②莱布尼茨公式 设 f（x）和 g（x）都是 n 阶可导函数，则它们的积函数也 n 阶可导，且成立公式
这里 2．高阶微分
是组合系数。
陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)课后习题(第1~4章)【圣才出品】
13．试求定义在[0，1]上的函数，它是[0，1]与[0，1]之间的一一对应，但在[0，1]的 任一子区间上都不是单调函数．
解：
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第 2 章 数列极限
§1 实数系的连续性
（2）
；
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（3）{a，b}∈{a，b，c}；
（4）{a，b，{a，b}}＝{a，b}．
解：（1）{0}是由元素 0 构成的集合，不是空集．
（2）a 是集合{a，b，c}的元素，应表述为 a∈{a，b，c}．
（3）{a，b}是集合{a，b，c}的子集，应表述为
．
（4）{a，b，{a，b}}是由 a，b 和{a，b}为元素构成的集合，故
＝（1，－1），C＝（3，2），D＝（4，0）．
解：
11．设 f（x）表示图 1-1 中阴影部分面积，写出函数 y＝f（x），x∈[0，2]的表达式．
解：
图 1-1
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12．一玻璃杯装有汞、水、煤油三种液体，密度分别为 13.6g／cm3，1g／cm3，0.8g ／cm3，如图 1-2，上层煤油液体高度为 5cm，中层水液体高度为 4cm，下层汞液体高度 为 2cm，试求压强 P 与液体深度 x 之间的函数关系．
，但 B≠C． ，但 B≠C．
7．下述命题是否正确？不正确的话，请改正．
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（1）
并且 x∈B；
（2）
数学分析第三版陈纪修打字教材
数学分析第三版陈纪修打字教材
《陈纪修数学分析第三版》是一本由陈纪修教授编写的非常著名的数学分析教材，也是很多学生的必修课程。
本书由第一部分引论、第二部分初等函数和定义、第三部分微积分、第四部分多元函数、第五部分高等数学等五部分组成，共有七百多页。
第一部分引论是本书的第一部分，全书的基础，从数学分析的基本概念到复变函数的概念、定义域、初等函数、复变函数的性质等层层深入，以及空间曲线、曲面、函数等的概念，都是数学分析的基础，是学生研究数学分析的基础，本书对此的讲解非常详细，对于学生的研究有很大的帮助。
第二部分初等函数和定义是本书的核心部分，主要介绍了初等函数和定义的概念、初等函数的基本性质、复变函数的定义、复变函数的性质以及复变函数的凸性等内容，本书对初等函数的讲解非常详细，对学生的研究有很大的帮助。
第三部分微积分是本书的第三部分，主要介绍了函数的微分、函数的微分的性质、函数的积分、函数的积分的性质等内容，本书对微积分的讲解非常详细，学生的研究会受益匪浅。
第四部分多元函数是本书的第四部分，主要介绍了多元函数的定义、多元函数的性质、多元函数的微分、多元函数的积
分等内容，本书对多元函数的讲解非常详细，学生的研究会受益匪浅。
第五部分高等数学是本书的最后一部分，主要介绍了函数的可积性、复变函数的可积性、微分曲面的概念、集合论的基本概念等内容，本书对高等数学的讲解非常详细，学生的研究会受益匪浅。
总之，《陈纪修数学分析第三版》是一本非常有益的数学分析教材，从初等函数和定义到多元函数和高等数学，本书都做了非常详细的讲解，对学生的研究有很大帮助，值得学生们珍藏。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章
S 必是开集。
9. 证明 S ⊂ R n 的闭包 S = S ∪ S′ 必是闭集。 则 x∉ S ， 且 x 不是 S 的聚点， 于是在 x 的某邻域 O ( x , δ ) 证 假设 x ∈ S c ， 中至多只有 S 的有限项，故存在 x 的邻域 O( x , δ1 ) 不含 S 的点，即
第十一章 Euclid 空间上的极限和连续
习题 11.1 Euclid 空间上的基本定理
1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证 （a）显然有 | x − y |≥ 0 ，而且 | x − y |= 0 ⇔ xi = yi (i = 1, 2, … , n) ⇔ x = y 。 (b) 由距离定义直接可得 | x − y |=| y − x | 。 (c) 由于
5.
求下列点集的全部聚点：
⎫ k k = 1,2, ⎬ ； k +1 ⎩ ⎭ ⎫ ⎧ 2kπ 2kπ ⎞ , sin （2）S = ⎨⎛ ⎜ cos ⎟ k = 1,2, ⎬ ； 5 5 ⎠ ⎭ ⎩⎝ 2 2 2 2 （3）S = {( x, y ) | ( x + y )( y − x + 1) ≤ 0} 。
Heine-Borel 定理知 S 为 R n 上的紧集。
∀x ∈ S ， 由于 x 不是 S 的聚点， 存在 O( x,δ x ) 只含有 S 中有限个点。
但由于其中有限个 O( x,δ x ) 显然 {O( x,δ x ) | x ∈ S} 构成为 S 的一个开覆盖，
必有聚点。
课
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第十二章 第一节 偏导数与全微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第十二章 第二节 多元复合函数的求导法则（1）（2）
第十二章 第三节 中值定理与Taylor公式（1）（2）
第十二章 第四节 隐函数（1）（2）（3）（4）
第十二章 第五节 偏导数在几何中的应用（1）（2）（3）
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
第七章 第二节 定积分的基本性质（1）（2）
第七章 第三节 微积分基本定理（1）（2）（3）（4）
第七章 第四节 定积分在几何计算中的应用（1）（2）（3）（4）（5）
第七章 第五节 微积分实际应用举例（1）（2）
第七章 第六节 定积分的数值计算（1）
第八章 反常积分
数学分析录象目录
第一章 集合与映射
第一章 第一节 集合（1）（2）（3）
第一章 第二节 映射与函数（1）（2）（3）
第二章 数列极限
第二章 第一节 实数系的连续性（1）（2）
第二章 第二节 数列极限（1）（2）（3）（4）
第二章 第三节 无穷大量（1）（2）
第五章 第一节 微分中值定理（1）（2）（3）（4）
第五章 第二节 L’Hospital 法则（1）（2）
第五章 第三节 Taylor 公式和插值多项式（1）（2）（3）
第五章 第四节 函数的Taylor 公式及其应用（1）（2）（3）
第五章 第五节 应用举例（1）（2）（3）
复旦大学数学科学学院教授，博士生导师
1968年毕业于复旦大学数学系
1985年在复旦大学获理学博士学位
复旦大学数学科学学院教学指导委员会成员
微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，微积分理论从其产生之日起就显示了巨大的应用活力，所以在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。复旦大学有非常好的生源，吸引了众多优秀的学生，使得实现这一培养目标与要求成为可能。
第十二章 第六节 无条件极值（1）（2）（3）
第十二章 第七节 条件极值问题与Lagrange乘数法（1）（2）（3）
第十三章 重积分
第十三章 第一节 有界闭区域上的重积分（1）（2）（3）
第十三章 第二节 重积分的性质与计算（1）（2）（3）（4）
第十三章 第三节 重积分的变量代换（1）（2）（3）（4）（5）（6）
另一方面，许多优秀的学生受教学计划限制，学习的是《高等数学》这一课程。但他们对于学习《数学分析》以提高自己的数学修养有着强烈的愿望（其中一部分通过转专业成为数学类专业的学生）。我们推出的《数学分析原理》课程应运而生，为这一部分学生提供了一个恰当的学习提高机会。
陈纪修 项目负责人 主讲教师
第二章 第四节 收敛准则（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）
第三章 数极限与连续函数
第三章 第一节 函数极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第三章 第二节 连续函数（1）（2）（3）（4）（5）
第三章 第三节 无穷小量与无穷大量的阶（1）（2）（3）
第三章 第四节 闭区间上的连续函数（1）（2）（3）
作为数学系最重要的基础课之一，数学科学的逻辑性和历史继承性决定了数学分析在数学科学中举足轻重的地位，数学的许多新思想，新应用都源于这坚实的基础。数学分析出于对微积分在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域。同时，数学研究的主体是经过抽象后的对象，数学的思考方式有鲜明的特色，包括抽象化，逻辑推理，最优分析，符号运算等。这些知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，数学分析课程正是其中最重要的一个环节。
第十章 第五节 用多项式逼近连续函数（1）
第十一章 Euclid空间上的极限与连续
第十一章 第一节 Euclid空间上的极限和连续（1）（2）（3）（4）
第十一章 第二节 多元连续函数（1）（2）（3）
第十一章 第三节 连续函数的性质（1）（2）
第十二章 多元函数的微分学
第八章 第一节 反常积分的概念和计算（1）（2）
第八章 第二节 反常积分的收敛判别法（1）（2）（3）
第九章 数项级数
第九章 第一节 数项级数的收敛性（1）（2）
第九章 第二节 上极限与下极限（1）（2）
第九章 第三节 正项级数（1）（2）（3）
第九章 第四节 任意项级数（1）（2）（3）（4）
第十三章 第四节 反常重积分（1）（2）（3）
第十三章 第五节 微分形式（1）（2）
第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
第十四章 第一节 第一类曲线积分与第一类曲面积分（1）（2）（3）（4）
第十四章 第二节 第二类曲线积分与第二类曲面积分（1）（2）（3）（4）
第十四章 第三节 Green公式、Gauss公式和Stokes公式（1）（2）（3）（4）（5）
第四章 微分
第四章 第一节 微分和导数（1）
第四章 第二节 导数的意义和性质（1）（2）
第四章 第三节 导数四则运算和反函数求导法则（1）（2）
第四章 第四节 复合函数求导法则及其应用（1）（2）（3）
第四章 第五节 高阶导数和高阶微分（1）（2）（3）
第五章 微分中值定理及其应用
第十四章 第四节 微分形式的外微分（1）（2）
第十四章 第五节 场论初步（1）（2）（3）（4）
第十五章 含参变量积分
第十五章 第一节 含参变量的常义积分（1）（2）
第十五章 第二节 含参变量的反常积分（1）（2）（3）（4）（5）
第十五章 第三节 Euler积分（1）（2）（3）
2006年国家精品课程 《数学分析》陈纪修
教材：
《数学分析》（上、下册，第二版）
陈纪修，於崇华，金路编著，高等教育出版社出版
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第十六章 Fourier 级数
第十六章 第一节 函数的Fourier级数展开（1）（2）
第十六章 第二节 Fourier级数的收敛判别法（1）（2）（3）
第十六章 第三节 Fourier级数的性质（1）（2）（3）
课程介绍
《数学分析》课程是一门面向数学类专业的基础课。学好数学分析（和高等代数）是学好其他后继数学课程如微分几何，微分方程，复变函数,实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课的必备的基础。
第九章 第五节 无穷乘积（1）（2）
第十章 函数项级数
第十章 第一节 函数项级数的一致收敛性（1）（2）（3）（4）
第十章 第二节 一致收敛级数的判别与性质（1）（2）（3）（4）（5）
第十章 第三节 幂级数（1）（2）
第十章 第四节 函数的幂级数展开（1）（2）（3）（4）
第五章 第六节 方程的近似求解（1）
第六章 不定积分
第六章 第一节 不定积分的概念和运算法则（1）
第六章 第二节 换元积分法和分部积分法（1）（2）（3）（4）
第六章 第三节 有理函数的不定积分及其应用（1）（2）（3）（4）
第七章 定积分
第七章 第一节 定积分的概念和可积条件（1）（2）（3）（4）（5）