2021学年高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式课件北师大版必修4.ppt

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高中数学第1章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版

1．当α∈R时，下列各式恒成立的是( ) A．sinπ2＋α＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α C．cos(π＋α)＝cos α D．cos(－α)＝cos α 【解析】由诱导公式知D正确．【答案】 D
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【精彩点拨】
解答本题要注意到
π6－α
＋
56π＋α
＝π，
2π 3
－α＝π－
π3＋α
，
π3＋α＋π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．
1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．
2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．
是减少的
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )
(2)y＝sin x在－π6，π上的最大值为1.(
)
(3)y＝cos x在0，π2上的最小值为－1.(
)
教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导阅读教材P19～P21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中 α与－α角的终边关于 x轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于 y轴对称．

高中数学 1.4.3 单位圆与诱导公式(二)课件1(新版)北师大版必修4

在Rt△OMP中,由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)有
MP2 + OM2 = OP2=1 y2 + x2 =1 sin2α+cos2α=1
y
P(x,y) α
1
MO
x A(1,0)
第五页，共26页。
预习(yùxí)测评
已知：sina = 0.8，填空(tiánkòng)±：c0o.6sa = ______
详细(xiángxì)解析：
【解】 (1)由 sin x＋cos x＝15，两边平方，得 cos2x＋sin2x＋2sin xcos x＝215， ∴1＋2cos xsin x＝215，即 cos xsin x＝－1225. ∵sin xcos x<0，且－π<x<0， ∴x 为第四象限角．
第二十三页，共26页。
典例剖析题型一 (pōuxī)
已知sin 3 ,求 cos, tan的值.
5
解:因为(yīn wèi)sinα<0,sinα≠1,所以α是第三或第四象限角
由sin2 cos2 1得
cos2
1 sin2
1
3 2 5
16 25
第十一页，共26页。
如果α是第三(dì sān)象限角,那么cosα<0.于是
(2)∵(sin x－cos x)2＝1－2cos xsin x＝4295， ∴sin x－cos x＝±75.∵x 为第四象限角，sin x<0，cos x>0， ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－75. 联立 cos x＋sin x＝15，得
sin x＝－35，
cos
第七页，共26页。
第八页，共26页。

北师大版必修第二册1-4-3诱导公式与对称1.4.4诱导公式与旋转课件(34张)

α.
[误区警示]
[防范措施] 1.公式的记忆在三角函数这一部分公式比较多，尤其在诱导公式这一部分，所以对公式要记忆准确，如本例中 sin(4π－α)＝sin(－α)，cos(－α)＝cos α. 2.口诀的记忆 “函数名不变，符号看象限”是对诱导公式(1.8)、(1.9)的总结，因公式多，记忆有可能有偏差，需要记住公式及其含义，如本例中 cos(－α)的化简，若 α 为锐角，－α 在第四象限，第四象限余弦为正，故 cos(－α)＝cos α.
＝sin(30°＋90°)＝cos
30°＝
3 2.
解法二：sin 840°＝sin(720°＋120°)
＝sin
120°＝sin(180°－60°)＝sin
60°＝
3 2.
研习 2 运用诱导公式解决正弦、余弦函数式的化简与证明 [典例 2] 已知 sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证：si3ncoπs－πα－＋α5－cossin2π－＋αα ＝－35.
sinπ2－α＝cos α，cosπ2－sinπ2＋α＝cos α，cosπ2＋α＝－sin α
课堂篇·研习讨论导案
研习 1 运用诱导公式解决正弦函数、余弦函数的求值问题 [典例 1] 求下列各三角函数的值： (1)sin(－1 665°)；(2)cos－103π. 解题探究 1.sin(－α)与 sin α 有什么关系？ 2.cos(－α)与 cos α 有什么关系？
解析：由单位圆可知 y＝cos x 在 x＝0 处取最大值 1，在 x＝43π处取最小值－12，即－12 ≤cos x≤1，∴－2≤－2cos x≤1.
3 3.已知角 α 的终边上一点 P(3a,4a)(a<0)，则 cos(540°－α)的值是___5_____．

4.3单位圆与诱导公式课件(北师大版)

1原式= sin cos sin sin2 cos
六：小结与作业
（1）诱导公式
组
一
二
三
数
No 角 2Kπ+α π-α
π+α
2正
sinα
sinα
-sinα
弦 Image
余
cosα - cosα
-cosα
弦
四
-α - sinα cosα
口
诀
函数名不变，符号看象限
（2）思想方法
你能概括以下研究诱导公式的思想方法吗？
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ y
终边
y
P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x
（3）正切tanα＝ y x
O
x
公式一
sin( k 360 ) sin cos( k 360 ) cos tan( k 360 ) tan
其中 k Z
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
其中 k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
（2）问题提出
将下列三角函数转化为0～2的三角函数：
1、sin( 31 )
4
sin
4
2、cos 65 cos 5
6
6
能否把00～3600的三角函数求值问题转化为 0～ 90间的角的三角函数求值问题呢？
二:探索研究
（一）
对称美是情势美的美学法则之一．人和动物的对称能给人以健康的美感,角的终边也有对称的现象，它们存在什么美呢？又隐藏着哪些规律呢？
圆的对称性

北师大版高中数学必修4第一章《单位圆与诱导公式》课件

15
课堂练习
16
课堂小结
（1）利用单位圆的对称性推导诱导公式 ; （数形结合思想）（2）熟记诱导公式; （3）诱导公式的应用:
题型：求值、化简、证明; 要领：把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角的正弦函数、余弦函数值.
17
课后练习
18
0到π/2的角的三角函数
负化正，大化小，最终都要变锐角
10
例题讲授
11
例题讲授
12
例题讲授
13
例题讲授
14
例题点评
利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行： “负化正，大化小，最终都要变锐角” 注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，先用哪个公式，后用哪个公式是没有什么固定要求的，完全是可以变换公式顺序来求解.
y
公式（2）
P(u,v)
o
x
P'(u,-v)
4
新知探究
2.角与
的正弦函数、余弦函数关系
sin( π) v
y
cos( π) u
π
o
P'(-u,-v)
P(u,v)
x
公式（3）
5
新知探究
3.角与公式（4）
的正弦函数、余弦函数关系
y
P'(-u, v) π
o
P(u,v)
x
6
新知探究
4.角与公式（5）
的正弦函数、余弦函数关系
? P'
y
π
2
o
P(u,v) x
7
思考交流
8
抽象概括

高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件1北师大版必修4

第十二页，共31页。
例1 求下列(xiàliè)各角的三角函数值：
解：
一般(yībān) 步骤：变号
转化求值
第十三页，共31页。
探究(tànjiū)点4 角α与
的正弦函数、余弦函数关系
如图，利用单位圆作出任意(rènyì)锐角α与单位圆相交
于点
角的终边与单位圆交于点P′，
由平面几何(píngmiànjǐíshì)：
如图
O
x
角α±π的终边与角α
的终边关于(guānyú) 原点对称
α±π的终边
第七页，共31页。
思考2：设角α的终边与单位(dānwèi)圆交于点P（x，y），则角α±π的终边与单位(dānwèi)圆的交点坐标如何？
y
α的终边
P(x，y)
提示(tíshì) ：坐标互为相反数
第三十一页，共31页。
-cos C.( √ )
解：(1) 结合三角函数线可知，终边相同，三角函数值相等. (2) 当角α与β终边关于y轴对称时，那么角β与π-α终边相同，故应有β=2kπ+π-α(k∈Z)，所以结论错误(cuòwù). (3) 在△ABC中，A+B+C=π，所以cos(A+B)=cos(π-C) =-cos C ，结论正确.
用公式1.10～1.14
锐角的正弦函数、余弦函数
第十八页，共31页。
例2 求下列(xiàliè)函数值：
第十九页，共31页。
第二十页，共31页。
例3 化简解：原式
第二十一页，共31页。
【变式练习(liànxí) 】
第二十二页，共31页。
.求下列(xiàliè)三角函数值：
第二十三页，共31页。

高中数学第一章1.4.3_1.4.4单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版必修4

一二三
3.应用诱导公式求三角函数值的过程任意负角的正弦函数、余弦函数
任意正角的正弦函数、余弦函数
0~2π角的正弦函数、余弦函数
锐角的正弦函数、余弦函数上述过程可称为“负化正,大化小,化至锐角再求值”,充分体现了化未知为已知的数学思想.
一二三
【做一做3】 cos 330°等于( )
A.12
B.-12
π 3
-��
+
π 6
+
��
=
π 2
,
π 6
-��
+
5π 6
+
��
=π,然后运用诱导公式可以将问题顺
利地解决.
解:(1)∵
π 3
-��
+
π 6
+
��
= π2,
∴cos
π 6
+
��
=cos
π 2
-
π 3
-��
=sin
π 3
-��
= 12.
【做一做 2】 (1)角π6与角-π6的终边关于
(2)角π3
与角2π的终边关于
3
对称;
(3)角π5
与角6π的终边关于
5
对称;
(4)角π4与角-34π的终边关于
对称.
答案:(1)x轴 (2)y轴 (3)原点 (4)原点
对称;
一二三
三、正弦函数、余弦函数的诱导公式
1.对任意角α,有下列关系式成立:
sin(2kπ+α)=sin α,cos(2kπ+α)=cos α. (1.8)

高中数学第一章三角函数 1.4.3 单位圆与诱导公式素材北师大版必修4(2021年整理)

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1.4。

3 单位圆与诱导公式一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形(关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称)，sin y x =的对称中心是(π0)k ，,k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ,对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式,求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ，Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ，Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，．故选(Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+,转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例 2 由函数2sin3y x =,π5π66x ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．说明:此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求,体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=( ）Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ，Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解:∵函数图象关于原点中心对称,且x ∈R ， ∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=,即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ)． 3．综合运用例４已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称,且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数,y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=．由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称, 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又0ω>,3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。

北师大版高中数学必修四课件1.4.3单位圆与诱导公式(二)

tan α sin α . cos α
典例剖析题型一
已知sin 3 ,求 cos , tan的值.
5
解:因为sinα<0,sinα≠1,所以α是第三或第四象限角
由sin2 cos2 1得
cos2 1 sin2
1

3 2 5 Nhomakorabea16 25
(2)∵(sin x－cos x)2＝1－2cos xsin x＝4295，
∴sin x－cos x＝±75.∵x 为第四象限角，sin x<0，cos x>0， ∴sin x－cos x<0，∴sin x－cos x＝－75. 联立 cos x＋sin x＝15，得
sin x＝－35，
cos
y
P(x,y) α
1
MO
x A(1,0)
自主探究
在Rt△OMP中,由勾股定理有
MP2+OM2= y2+x2=1
OP2=1
sin2α+cos2α=1
y
P(x,y) α
1 MO
x A(1,0)
预习测评
已知：sina=0.8，填空：cosa=__±__0_._6
哈哈~~~~~~~~ 我换了个马甲！
小样！别以为你换了个马甲我就
＝sin2θsi＋n cθos2θ＋sin2θco＋s cθos2θ
＝sin1 θ＋co1s θ＝右边．∴原式成立．
已知－π<x<0，sin x＋cos x＝15. (1)求 sin xcos x 的值并指出角 x 所处的象限； (2)求 tan x 的值．
详细解析：
【解】 (1)由 sin x＋cos x＝15，两边平方，得 cos2x＋sin2x＋2sin xcos x＝215， ∴1＋2cos xsin x＝215，即 cos xsin x＝－1225. ∵sin xcos x<0，且－π<x<0， ∴x 为第四象限角．

高中数学第一章三角函数441单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性课件北师大版必

一、预习教材·问题导入 1．正弦、余弦函数是怎样定义的？
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终边在第一、三象限．
考点三利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，

高中数学第一章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件3北师大版必修4

【解题(jiě tí)探究】1.题1中的 π如何转化才能运用诱导公式?
提示:先把公式.
2π0化15为整数与分数的和的形式,再选择合适的诱导 3
2.题2中的角如何选择诱导公式?
提示:按负化正、大化小的顺序选择.
第十三页，共37页。
【解析( jiě xī)】1.选D.
第十四页，共37页。
2.原式=-sin1200°·cos1290°-cos1020°·sin1050° =-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°) =-sin 120°·cos210°-cos300°·sin330° =-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°) =sin 60°cos30°+cos 60°sin 30°=
答案:2sinα
第二十九页，共37页。
【补偿训练】(2015·渭南高一检测)已知角α的终边在第一象限且与单位(dānwèi)
圆的交点为
(1)求m的值.
(2)求
的值.
第三十页，共37页。
【解析】(1)角α的终边在第一(dìyī)象限且与单位圆的交点为故 (2)由点原式=
第三十一页，共37页。
易错案例利用(lìyòng)诱导公式求值【典例】(2015·九江高一检测)已知sin(α+75°)= ,则cos(α15°)等于 ( )
第三十二页，共37页。
【失误(shīwù)案例】
第三十三页，共37页。
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:出错的根本原因是在利用诱导公式(gōngshì)求值时符号错误,导致结果错误.

北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件

-10-
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
题型一题型二题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 1】化简: π 11π sin(2π-��)cos(π + ��)cos 2 + �� cos 2 -�� . 9π cos(π-��)sin(3π-��)sin(-��-π)sin 2 + ��
-6-
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做 2-1】 sin A. − 2 B. −
答案:B
1 3 1 3 C. D. 2 2 2
19π 3
的值等于(
)
【做一做 2-2】 cos 300° 的值是( A. 2 B. − 2 C.
答案:A
1 1 3 3 D. − 2 2
)
-7-
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
题型一题型二题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
利用诱导公式化简
sin (��π -�� )cos [(�� -1)π -�� ] sin [(�� +1)π +�� ]cos (��π +�� )
)
-4-
4.4 单位圆的对称性与诱导公式
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z. (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.4.4单位圆的对称性与诱导公式

高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式(第2课时)三角函数的诱导公式(五～六)课件苏教版必修4

∴cos α＝－13，
∴sinπ2＋α＝cos α＝－13.]
3．已知 sin α＝23，则 cosπ2－α＝ ________.
2 3
[cosπ2－α＝sin α＝23.]
4．若 sin α＝ 55，求sinπ2＋cαossi3nπ－72πα＋ α－1＋ cos3π＋αssinin525π2π＋－αα－ sin72π＋α的值．
诱导公式在三角形中的应用【例 3】在△ABC 中，sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C，试判断△ABC 的形状．思路点拨： sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C ―A―＋―B―＋―C＝―π→ 得B，C关系 ―→ △ABC的形状
[解] ∵A＋B＋C＝π， ∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B. 又∵sinA＋B2－C＝sinA－B2＋C， ∴sinπ－22C＝sinπ－22B，
教师独具 1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题． 2．要掌握诱导公式的三个应用 (1)利用诱导公式解决化简求值问题． (2)利用诱导公式解决条件求值问题． (3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题．
3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧 π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋ π4－α＝π2，56π＋α－π3＋α＝π2等.
第1章三角函数
1.2 任意角的三角函数 1.2.3 三角函数的诱导公式第2课时三角函数的诱导公式(五～六)
学习目标
核心素养(教师独具)
1.能借助单位圆中的三角函数定义
推导诱导公式五、六．(难点) 通过学习本节内容提升学生的
2.掌握六组诱导公式，能灵活运用诱数学运算核心素养.

高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版必修4

高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版必修4一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），sin y x =的对称中心是(π0)k ，，k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，k ∈Z ．二、应用１．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ，Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ，Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，．故选（Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+，转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例2 由函数2sin3y x =，π5π66x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭．说明：此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求，体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值．例３函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（）Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ，Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解：∵函数图象关于原点中心对称，且x ∈R ，∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=，即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ）．3．综合运用例４已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数，y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷， (0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=．由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又0ω>，3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+= 当0k =时，23ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=， π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。