习题六答案

__
__ 1 n 1 n 2 X i ， Sn ( X i X n )2 是样本 ( X1 , X 2 , n 1 i 1 n i 1
, X n ) 的样本均值和样本方
差，现又获得第 n +1 个观测值 X n 1 ．试证：
__ 1 ( X n1 X n ) ； n 1 __ n 1 1 2 2 2 （2） Sn S ( X X n) ． 1 n n 1 n n 1
（1） X n 1 X n
__
__
证明略。 6.17 证明：容量为 2 的样本 X 1 , X 2 ，样本方差为： S 2 证明： S 2
1 ( X 1 X 2 )2 ． 2
__ X X2 2 X X2 2 1 1 n ( X i X )2 ( X1 1 ) (X2 1 ) ( X1 X 2 )2 。 n 1 i 1 2 2 2
2
__
6.6 假如某地区 30 名 2000 年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下： 909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1336 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738 （1）编制该批数据的频率分布表（分 6 组） ； （2）绘制频率分布画出直方图． 解： （1）略。 （2）频率直方图如下：
经验分布函数图形如下：
6.5 某食品厂用自动装罐机生产净重为 345 克的午餐肉罐头，现在从生产线上随机抽取 10 个罐
1
头，秤其净重，得如下结果： 344 336 345 342 340 338 344 343 344 343 试由这批数据构造经验分布函数并作图；计算其样本均值，样本方差和样本标准差． 解： x 341.9000, s 8.7667, s 8.7667 2.9609.
p( X 1 x1 , X 2 x2 ,
, X n xn )

xj
j 1
n
e n
j
x !
j 1
n
, xi 0,1, 2
, i 1, 2,
, n,
（2）因为总体为 P( ) ，所以
E ( X ) EX ,Var ( X )
6.19 设 ( X1 , X 2 ,
习题六
6.1 假设一位运动员在完全相同的条件下重复进行 n 次打靶，试给出总体样本的统计描述． 解：总体就是该运动员在完全相同的条件下重复进行的打靶。样本就是该运动员在完全相同的条件 下重复进行 n 次打靶。 6.2 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率 p 未知，每 m 件产品包装为一盒．为了检查产品 的质量，任意抽取 n 盒，查其中的不合格品数．试说明什么是总体，什么是样本，指出样本的分布． 解：总体就是该厂生产的所有某种产品。样本就是从该厂生产的某种产品中抽取的 nm 件产品。样 本的分布为
2
株的底部周长，得到如下数据表 100 104 104 104 104 108 91 103 112 128 102 109 118 100
99 102 123
101 108 119
116 117 98
97 99 121
102 118 101
108 106 113
101 119 102
95 97 103
, X n ) 的联合分布为
p( x1 , x2 ,
1 , 0 xi (i 1, 2,..., n), , xn ) n 其它. 0,
6
__
__
Var ( X ) , ES 2 . n n
, X n ) 是来自总体 U (0, ) 的样本，试求：
（1）样本 ( X1 , X 2 ,
__ __
, X n ) 的联合分布；
2
（2） E ( X ) ， Var ( X ) 和 E ( S ) ． 解： （1）样本 ( X1 , X 2 ,
Fn ( x)
1 n I( x x) n i 1 i
0, n / n, 1 (n n ) / n, 1 2 (n1 nm1 ) / n, 1,
x x1 , x1 x x2 , x2 x x3 , x2 x x3 , xm1 x xm , x xm .
i 1 i i i 1 i i
n
n
_
_
_
_
证明：由题意知
( xi c)( yi d ) ( xi x x c)( yi y y d )
i 1 i 1
n
n
__
__
__
__
[( xi x )( yi y ) ( xi x )( y d ) ( x c)( yi y ) ( x c)( y d )]
6.9 设总体 X 的分布函数为 F ( x ) ，经验分布函数为 Fn ( x ) ．试证对任意给定的 0 ，成立不 等式：
3 7
P(| Fn ( x ) F ( x ) | )
证明：因为 EFn ( x)
1 ． 4n 2
1 n EI( xi x) EI( X x) P{X x} F ( x) ，所以 n i 1
0, 1/10, 3 /10, F10 ( x) 5 /10, 8 /10, 9 /10, 1,
x 138, 138 x 149, 149 x 153, 153 x 156, 156 x 160, 160 x 169, x 169.
i 1 n i 1
n
_
_
（3）
( xi c)2 在 c x 时达最小；
i 1 n
_
（4） 证明略。
| x
i 1
i
c | 在 c m0.5 时达最小．
6.13 若来自总体的一个样本的不同观测值为 x1 ， x 2 ，…， x m ，其频数分别为 n1 ， n 2 ，…，
n m ． 试 写 出 计 算 样 本 平 均 值 x ， 样 本 方 差 s 2 和 经 验 分 布 函 数 Fn ( x ) 的 公 式 ， 这 里
6.7 为了了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中的 100 （长度单位：cm） ： 135 98 102 110 99 121 110 96 125 97 117 113 110 92 102 109 109 124 87 131 97 102 123 104 105 123 111 103 105 92 114 108 129 126 97 100 115 111 106 117 111 89 110 121 80 120 121 104 129 99 90 99 121 123 107 111
n
x }] 4 n
2
1 .
6.10 在一本书上我们随机地检查了 10 页，发现每页上的错误数为：4，5，6，0，3，1，4，2， 1，4．试计算其样本均值，样本方差和样本标准差． 解： x 3, s
2 __
34 34 ,s . 9 3
6.11 证明：对任意常数 c ， d ，有
( x c)( y d ) ( x x)( y y) n( x c)( y d ) ．
xi a b
6.14 设 ( x1 , x2 ,
, xn ) 及 ( y1, y2 ,
, yn ) 为两组样本观测值，它们有如下线性关系 yi
_
_
2 （ b 0 ， a ， b 都为常数） ．探讨样本平均值 y 与 x ，样本方差 s y 与 s x 之间的关系．
2
__
解：Байду номын сангаасy
__
x a 2 1 2 , S y 2 Sx . b b
_
n n1 n2
nm ． , yn ，则由样本均值和样本方差定义知
nm xm ) 1 m nj xj , n j 1
解：记所有的观测值为 y1 , y2 ,
X S2
__
1 n 1 yi (n1 x1 n i 1 n
__ __ 1 n 1 m 2 ( y X ) n ( x X )2 , i j j n 1 i 1 n 1 j 1
i 1 n
n
__
__
__
__
__
__
__
__
( xi x)( yi y ) n( x c)( y d )
i 1
_
_
_
_
4
6.12 从总体 X 中抽取样本值 ( x1 , x2 , （1）
, xn ) ．试证：
( x x) 0 ；
i 1
n
n
_
i
（2）
( xi c)2 ( xi x)2 n( x c)2 ；
6.18 设 ( X1 , X 2 ,
, X n ) 是来自参数为 的泊松分布总体的样本，试求： , X n ) 的联合分布；
__
（1）样本 ( X1 , X 2 ,
__
（2） E ( X ) ， Var ( X ) 和 E ( S ) ． 解： （1）样本 ( X1 , X 2 ,
2
, X n ) 的联合分布率为
Var ( nF( x )) P( | F ) F ( x)| ) P n(F | x ( ) nE F x ( )| )2 n (x


1

2
Var (
1 1 P { X x } [1P X { Ii x ) ) Va ( r( X ) (x I x ) 2 2 n i 1 n n
p{x1 , x2
, xn } n e

xi
i 1
n
, xi 0, i 1, 2,
, n.
6.4 以下是某工厂通过抽样调查得到的 10 名工人一周内生产的产品数：149，156，160，138， 149，153，153，169，156，156．试由这批数据构造经验分布函数并作图． 解：经验分布函数为
5
6.15 切尾均值也是一个常用的反映样本数据平均水平的特征量，其想法是将数据的两端的值舍 去，而用剩下的当中的值来计算样本均值．其计算公式是
x
x([ n ]1) x([ n ])2) n 2[n ]
x( n [ n ])
其中 0 1/ 2 是切尾系数，x(1) x(2)
107 126 104
101 108 108
（1）编制该批数据的频率分布表； （2）绘制频率分布直方图． 解： （1）略。 （2）频率直方图如下
6.8 对下列数据构造茎叶图． 452 425 447 400 382 366 418 392 372 409 428 430 381 443 441 解：茎叶图如下
现我们在某高校采访了 16 名大学生， x( n ) 是有序样本．
了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间： 15 14 12 9 20 4 17 26 15 18 6 10 16 15 5 8 取 =1/16，试计算其切尾均值． 解：12.14. 6.16 记 X n
P{ X1 x1 ,
, X nm xnm } p i1 (1 p)
xi
nm
nm
xi
i 1
nm
, xi 0,1, i 1, 2,
, nm.
6.3 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布， 为了解其平均寿命， 从中抽出 n 件厂品测其实 际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体就是该厂生产的所有电容器。样本就是从该厂生产的电容器中抽取的 n 件电容器。样本的 分布为
377 425 418 413 433
341 399 374 405 399
369 398 385 381 379
412 423 439 403 386
399 384 408 469 387
3
34 1 36 6 9 37 2 4 7 9 38 1 1 2 4 5 6 7 39 2 8 9 9 40 0 3 5 8 9 41 2 3 8 8 42 3 5 5 8 43 0 3 9 44 1 45 2 46 9