2018中考数学压轴题探究专题 ：几何最值的存在性问题
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【考点】KY：三角形综合题． 【分析】（1）①根据旋转变换的性质、四边形内角和为 360°计算即可； ②连接 OD，根据勾股定理解答； （2）①将△AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△A′O′C，连接 OO′，根据等边 三角形的性质解答； ②根据等边三角形的性质计算． 【解答】解：（1）①∵∠AOB=150°，∠BOC=120°， ∴∠AOC=90°，
边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图 3， PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一 次函数或者二次函数求解最值问题．
解题思路： 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最 短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短 的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求 最值；（5）应用其它知识求最值。 例题解析
2．已知，点 O 是等边△ABC 内的任一点，连接 OA，OB，OC． （1）如图 1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋 转 60°得△ADC． ①∠DAO 的度数是 90° ②用等式表示线段 OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明； （2）设∠AOB=α，∠BOC=β． ①当 α，β 满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图 2 中画出符合条件的 图形，并说明理由； ②若等边△ABC 的边长为 1，直接写出 OA+OB+OC 的最小值．
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小； ②当等边△ABC 的边长为 1 时，OA+OB+OC 的最小值 A′B= ．
3．已知：在直角坐标系中，点 A（0，6），B（8，0），点 C 是线段 AB 的中点， CD⊥OB 交 OB 于点 D，Rt△EFH 的斜边 EH 在射线 AB 上，顶点 F 在射线 AB 的左 侧，EF∥OA．点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B 运动，到点 B 停 止．AE=EF，运动时间为 t（秒）． （1）在 Rt△EFH 中，EF= t ，EH= t ；F（ t ， 6﹣ t ）（用含有 t 的代数式表示） （2）当点 H 与点 C 重合时，求 t 的值． （3）设△EFH 与△CDB 重叠部分图形的面积为 S（S＞0），求 S 与 t 的关系式； （4）求在整个运动过程中 Rt△EFH 扫过的面积．
由旋转的性质可知，∠OCD=60°，∠ADC=∠BOC=120°， ∴∠DAO=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°， 故答案为：90°； ②线段 OA，OB，OC 之间的数量关系是 OA2+OB2=OC2． 如图 1，连接 OD． ∵△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC， ∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°． ∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB． ∴△OCD 是等边三角形， ∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°， ∵∠AOB=150°，∠BOC=120°， ∴∠AOC=90°， ∴∠AOD=30°，∠ADO=60°． ∴∠DAO=90°． 在 Rt△ADO 中，∠DAO=90°， ∴OA2+AD2=OD2． ∴OA2+OB2=OC2． （2）①如图 2，当 α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值． 作图如图 2， 如图 2，将△AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△A′O′C，连接 OO′． ∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°． ∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC， ∠A′O′C=∠AOC． ∴△OC O′是等边三角形． ∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°． ∵∠AOB=∠BOC=120°， ∴∠AOC=∠A′O′C=120°． ∴∠BOO′=∠OO′A′=180°． ∴四点 B，O，O′，A′共线．
【考点】KY：三角形综合题． 【分析】（1）作 EM⊥OA 垂足为 M，由△EFH∽△AOB，得 = ，可以求出 EH，
中考数学解法探究专题 几何最值的存在性问题
考题研究： 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求 某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的 和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两 条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该 引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到 却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。 解题攻略： 最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归 归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求 “变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三 角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值” 时，大都应用这一模型． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题， 关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁” 或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如 图 2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三
1．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银 杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【考点】IC：线段的性质：两点之间线段最短． 【分析】根据两点之Байду номын сангаас，线段最短进行解答． 【解答】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发 现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识 是两点之间线段最短． 故选：A．
边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图 3， PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一 次函数或者二次函数求解最值问题．
解题思路： 解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最 短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短 的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求 最值；（5）应用其它知识求最值。 例题解析
2．已知，点 O 是等边△ABC 内的任一点，连接 OA，OB，OC． （1）如图 1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋 转 60°得△ADC． ①∠DAO 的度数是 90° ②用等式表示线段 OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明； （2）设∠AOB=α，∠BOC=β． ①当 α，β 满足什么关系时，OA+OB+OC 有最小值？请在图 2 中画出符合条件的 图形，并说明理由； ②若等边△ABC 的边长为 1，直接写出 OA+OB+OC 的最小值．
∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小； ②当等边△ABC 的边长为 1 时，OA+OB+OC 的最小值 A′B= ．
3．已知：在直角坐标系中，点 A（0，6），B（8，0），点 C 是线段 AB 的中点， CD⊥OB 交 OB 于点 D，Rt△EFH 的斜边 EH 在射线 AB 上，顶点 F 在射线 AB 的左 侧，EF∥OA．点 E 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B 运动，到点 B 停 止．AE=EF，运动时间为 t（秒）． （1）在 Rt△EFH 中，EF= t ，EH= t ；F（ t ， 6﹣ t ）（用含有 t 的代数式表示） （2）当点 H 与点 C 重合时，求 t 的值． （3）设△EFH 与△CDB 重叠部分图形的面积为 S（S＞0），求 S 与 t 的关系式； （4）求在整个运动过程中 Rt△EFH 扫过的面积．
由旋转的性质可知，∠OCD=60°，∠ADC=∠BOC=120°， ∴∠DAO=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°， 故答案为：90°； ②线段 OA，OB，OC 之间的数量关系是 OA2+OB2=OC2． 如图 1，连接 OD． ∵△BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△ADC， ∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°． ∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB． ∴△OCD 是等边三角形， ∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°， ∵∠AOB=150°，∠BOC=120°， ∴∠AOC=90°， ∴∠AOD=30°，∠ADO=60°． ∴∠DAO=90°． 在 Rt△ADO 中，∠DAO=90°， ∴OA2+AD2=OD2． ∴OA2+OB2=OC2． （2）①如图 2，当 α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值． 作图如图 2， 如图 2，将△AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60°得△A′O′C，连接 OO′． ∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°． ∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC， ∠A′O′C=∠AOC． ∴△OC O′是等边三角形． ∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°． ∵∠AOB=∠BOC=120°， ∴∠AOC=∠A′O′C=120°． ∴∠BOO′=∠OO′A′=180°． ∴四点 B，O，O′，A′共线．
【考点】KY：三角形综合题． 【分析】（1）作 EM⊥OA 垂足为 M，由△EFH∽△AOB，得 = ，可以求出 EH，
中考数学解法探究专题 几何最值的存在性问题
考题研究： 在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求 某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的 和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两 条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该 引起我们的重视。几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到 却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。 解题攻略： 最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归 归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求 “变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三 角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值” 时，大都应用这一模型． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题， 关键是指出一条对称轴“河流”（如图 1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁” 或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如 图 2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三
1．某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银 杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【考点】IC：线段的性质：两点之间线段最短． 【分析】根据两点之Байду номын сангаас，线段最短进行解答． 【解答】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发 现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识 是两点之间线段最短． 故选：A．