有限单元法部分课后题答案汇编

-----好资料学习有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的

连续介1.1

质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的？）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并1（数的节在其上设定有限

个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函点值将成为问题的基本未知量。）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即2（无限自通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的，故由度问题被转变成了有限自由度问题。）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。（3 ?单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别1.3

整体刚度矩阵的性单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。个自

j Kij 即单元节点位移向量中第稀疏性。单元 Kij 物理意义质：对称性、奇异性、整体刚度 j 个自由度方向引起的节点力。由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其 K 矩阵他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述2.2

问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？，外力所做的功将以变形能的形式储存εσ和应变(1)在外力作用下，物体内部将产生应力起来，这种能量称为应变能。 (2)外力势能就是外力功的负值。势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件(3) 的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零V=0 +δp=δ Uεδ∏此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即0

2V≥ε+δδ2∏P=δ2U 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。其中附加了几何方程和位移边界条本构方程和应力边界条件，势能变分原理代表平衡方程、件。什么是强形式？什么是弱形式？两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？2.3

等效积分形式通过分部积分，称式ΓΓET(v)F(u)d+∫ΩCT(v)D(u)dΩ∫为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。建立弱形式的关键步骤：对场函数要求较低阶的连续性。区别：弱形式得不到解析解。

为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什么？2.4

只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。Ritz 2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？法收敛的条件是

什么？决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一定的任意法中，N （1）在 Ritz 探函数性。如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精确的；如果试

然而，通常情况下试近似解将趋近于精确解。取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，因此，试探函探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。近似性变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答，数只能是真实场函数的近似。可见，就源于此。）采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常2（情况下这是不可能的，因而变分法的应用受到了限制。如果试探函数满法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，（3）Ritz

趋近足完备性和连续性的要求，当试探函数的项数趋近于无穷时，则 Ritz 法的近似解将于数学微分方程的精确解。构造单元形函数有哪些基本原则？3.1

其中的待定常数应形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式，要求，位移函数中必须包括常函数和一次式，该与单元节点自由度数相等。为满足完备性尽量选择完全多项式以提高单元的精度。即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶，项式时，也应

使完全多项式具有坐标的对称性，并且一若由于项数限制而不能选取完全多更多精品文档．-----好资料学习有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。点。然而，这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂项式，可在单元内部配置节

即满足完备除非不得已才加以采用。形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求，性，性要求和协调性条件。单元的形函 T10 3.1 构造单元形函数有哪些基本原则？试采用构造单元的几何方法，构造数，并对其收敛性进行讨论。因此其个数应与单元其中的待定常数由节点位移参数确定，通常单元位移函数采用多项式，了反映节点自由度数相等。根据实体结构的几何方程，单元的应变是位移的一次导数。为即完全一位移函数中必须包含常数项和一次项，单元刚体位移和常应变即满足完备性要求，次多项式。何谓面积坐标？其特点是什么？为什么称其为自然坐标或局部坐标？3.3

其位置可以用,个角点相连形成 3 个子三角形1）三角形单元中，任一点 P(x,y)与其 3 （下述称为面积坐标的三个比值来确定：L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A

的面积。分别为 P23,P31,P12 其中 A1,A2,A3

面积坐标的特点：）（2 Li

就是面积坐标单元的形函数 Ni a T3

面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。b

0, 0, 3（0, 1, 0）、节点（c 三个节点的面积坐标分别为节点 1（1, 0, 0）、节点 2 ）。1），形心的面积坐标为（1/3, 1/3, 1/3 Li=0(i=1,2,3)

d 单元边界方程为对应的三角形具有（L1 23 边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标

L1e 在平行于之比至 23 边的距离 1 相同的高和底边），而且 L1 就等于此直线至 23 边的距离与节点值。面积坐标与直角坐标互为线性关系。f

）面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，故称为局部坐标或自然坐标。（3与平面问题相比，轴对称问题有何特点？在有限元表达格式上有何区别？4.1

约束条件及荷载分布都对称于某结构的几何形状、轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，个轴，其位移、应变、应力等也对称于此轴，而与环向坐标无关。节点四面体单元的形函数并讨论收敛性。试用体积坐标构造 10 4.2

何谓等参单元？等参单元具有哪些优越性？在等参单元计算中，数值积分的阶次是否5.1 越高越好？为什么？（通常是位移函数）采用相同的节等参单元（简称等参元）就是坐标变换和单元内的等变量点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。如果用直边单元离散这些结构将需要大量的单一，有些工程结构的形状比较复杂，优越性：在单元元才能得到较好的近似，而曲边的等参单元可非常方便的离散复杂结构。二，如果

从而就能够插值表示较复杂的单元内部位移内多取些节点，单元便具有较多的位移自由度，计算是在规则场，这样也就提高了单元本身的精度。三，等参单元刚度矩阵、荷载矩阵的

在等参单单元域内进行的，因此不管被积函数多么复杂都可方便的采用标准化数值分析。元计算中，数值积分的阶次并不是越高越好，何谓位移的零能模式？在什么条件下会发生零能模式？5.6

此时的应变能当然也减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，对应于某种非刚体位移模式，采用减缩积分时会发生零能模式。为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。

对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变6.1 换？ 1）在局部坐标系内可以更方便的建立单元刚度矩阵。（，否则围绕同一 X Y（2）在整体分析中，对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系还需要节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此，在进行整体分析之前，把局部坐标系中得出的单元刚度方程转换成整体坐标系中的单元刚度方进行坐标转换工作，程，从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。