有限单元法部分课后题答案汇编
有限单元法课后习题全部解答_王勖成
d 2w dx2
δ
dw dx
−
d 3w dx3
δ
w
L 0
= 0
∫ 1.5 如有一问题的泛函= 为 Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+ qwdx ，其中 E,
I,
k 是常数，q
是给定函数，w 是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件.
∫ = δΠ(w)
L 0
x3 L2
)
+
a2 (x2
−
x3 L
)
+
x3 L3
（1）
x3 上式中的最后一项 L3 前面没有待定系数，这是由于使用了在 x=L 处φ=1 的强制边界条件。
从物理意义上说，相当于给定边界条件的解为齐次方程的通解加一个特解的缘故。将（1）
式代入教材（1.2.26）式，得到残量：
R(
x)
=
a1 (−6
x L2
+
Q
δφ
dΩ
+
Γ−Γq
k
∂φ ∂n
δφ
dΩ
−
Γq
αφ
−
q
−
k
∂φ ∂n
δφ d
Γ
欧拉方程： k
∂2φ ∂x2
+
k
∂2φ ∂y 2
+
Q
=0
Γφ
自然边界： αφ
−
q
−
k
∂φ ∂n
=0
Γ
−
Γq
强制边界：
k
∂φ ∂n
=0
习题 1.8： 板弯曲问题的平衡方程为：
王勖成《有限单元法》习题答案3
N2
,
N3
,
N4
,
)
，
D
=
D0
⎢⎢υ
⎟
⎢
⎜ ⎜⎜⎝
−2
∂2 ∂x∂y
⎟ ⎟⎟⎠
⎢⎣0
1 0
0
⎥ ⎥
,
1−υ ⎥
D0
=
Et 3 12(1 −ν
2)
,
⎥
2⎦
∫ ∫ K e = a b BT DBdxdy = D0 ×
−a −b
30ab
1
⎡+m1
⎤
⎢ ⎢
+m4
+m2
对称
⎥ ⎥
⎢ ⎢
−m5
−m6
+m3
⎥ ⎥
−
3 2l31
sin γ 31,
1 2
cos
γ 12
sin
γ 12
+
1 2
cos γ
23
sin
γ
23}
1 2
cos2
γ 12
+
1 4
sin
γ
12
+
1 2
cos2
γ
31
+
1 4
sin
γ
31 ,
Hx2
= {−
3 2l12
sin γ12
+
3 2l23
sin γ 23,
1 2
cos
γ 12
sin
γ 12
+
1 2
整理左边的式子，得到：
[α4 (L2 + CL3 ) + α6 (L1 + CL3 )]L1L2 + [α5 (L3 + CL2 ) + α8 (L1 + CL2 )]L1L3 + [α7 (L3 + CL1) +α9 (L2 + CL1)]L2L3 = α1L1L2 + α2L2L3 + α3L3L1
有限单元法智慧树知到课后章节答案2023年下山东科技大学
有限单元法智慧树知到课后章节答案2023年下山东科技大学山东科技大学绪论单元测试1.有限元法的核心思想是“数值近似”和“离散化”。
( )A:错 B:对答案:对第一章测试1.下列属于平面应力问题的是（）。
A:挡土墙 B:受内水压力作用的圆管 C:平板坝的平板支墩 D:重力水坝答案:平板坝的平板支墩2.平衡方程研究的是（）之间关系的方程式。
A:应力和位移 B:应力和应变 C:应变和位移 D:应力和体力答案:应力和体力3.弹性力学的边界条件有（）。
A:应力边界条件 B:位移边界条件 C:混合边界条件 D:应变边界条件答案:应力边界条件;位移边界条件;混合边界条件4.弹性力学的基本假定有（）。
A:假设物体是连续的 B:假设物体的变形是很小的 C:假设物体是完全弹性的 D:假设物体内无初应力 E:假设物体是均匀的和各向同性的答案:假设物体是连续的;假设物体的变形是很小的;假设物体是完全弹性的;假设物体内无初应力;假设物体是均匀的和各向同性的5.在体力为常量时，平衡方程、相容方程及应力边界条件中均不含弹性常数E和μ，故我们可以由一种材料替代另一种材料，用平面应力问题替代平面应变问题作实验，得到的应力是完全一样的。
（）A:对 B:错答案:对第二章测试1.一维变带宽存储的存储量（）。
A:与结点编号有关 B:与结点编号和单元编号有关 C:与单元编号有关 D:与存储上三角或者下三角有关答案:与结点编号有关2.应变矩阵与（）。
A:材料参数有关 B:单元几何尺寸和材料参数都有关 C:单元几何尺寸和材料参数都无关 D:单元几何尺寸有关答案:单元几何尺寸有关3.单元刚度矩阵建立了单元的与之间的关系。
（）A:应力，结点位移 B:应力，应变 C:结点力，结点位移 D:应变，结点位移答案:结点力，结点位移4.为了保证有限元解的收敛性，位移函数要满足（）条件。
A:位移函数应能反映单元的常应变状态 B:位移函数应包含刚体位移 C:位移函数在单元内要连续，在单元边界上要协调。
单元法课后习题全部答案 王勖成
δ
w
L
+
L 0
EI
d 4w δ dx4
wdx
0
0
= δΠ(w)
∫L 0
EI
d 2w dx2
δ
d 2w dx2
+
kwδ
w
+
q= δ wdx
+
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
EI
d 3w dx3
δ
w
L
0
0
∫L
0
EI
d 4w dx4
+
kw
+
q
δ
wdx
微分方程：
EI
d 4w dx4
收敛性意义：当在 ∞ 维空间中选取试探函数，当试探函数的数目趋于 ∞ 时，利用里兹法得
到的近视解将收敛于精确解。
收敛条件：1 完备性，2 试探函数满足 Cm−1 连续性
思考题 1.0 里兹法的优缺点？举例说明 优点：理论简单，收敛性有严格的理论基础，得到的求解方程的系数矩阵是对称的，在场函 数事先满足强制边界条件情况下，解具有上下界性质。 缺点：当求解域的形状很不规则时候，里兹法所要找的试探函数难以满足全部的强制边界条 件，这样会降低精度。另外，由于其是基于变分原理，对于没有等价泛函的问题无法处理。
习题 1.6 两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。
∫ = Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+
qwdx
∑ （1）
选取满足边界条件
的三角级数近似解 w =
n i =1
有限元习题及答案ppt课件
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
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病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
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病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
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病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
弹性力学与有限元法习题集
2019/7/29
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第二章习题与答案
1. 试说明弹性力学的基本假设？
2. 弹性力学平面问题的基本方程有哪三大类？各表征何种关系？ 3. 虚功原理内容？
2019/7/29
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4. 工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应力问题？ 5.工程上具有什么特点的空间问题可以简化为平面应变问题？
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4.题答案
解：
1 xi 1 Sijm 2 1 x j
1 xm
yi 1 4 1
1
yj
1 2
7
7 13.5
ym
11 4
2019/7/29
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5.题答案
1
Ni (x, y)x i N j (x, y)x j N m (x, y)x m 2 A [(ai x i a j x j am ym ) (bi x i b j x j bm x m )x
6. 应用几何方程推导应变分量应满足下列变形协调方程。
2 x 2 y 2 xy
y2 x2 xy
2019/7/29
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7. 悬臂梁在三角形分布载荷作用下，可以看成平面应力问题，
应力分量表达式为， x
q 4a 3
x3 y
2xy3
6 5
a
y2)
Y 0
y
y
y
dy dx
( xy
有限元法理论及应用参考答案(推荐文档)
有限元法理论及应用大作业1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？答：有限元分析的主要步骤主要有：（1）结构的离散化，即单元的划分；（2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程；（3）等效节点载荷计算；（4）整体分析，建立整体刚度方程；（5）引入约束，求解整体平衡方程。
2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。
题2图答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。
有限元划分网格的基本原则:1.拓扑正确性原则。
即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接2.几何保持原则。
即网络划分后，单元的集合为原结构近似3.特性一致原则。
即材料相同，厚度相同4.单元形状优良原则。
单元边、角相差尽可能小5.密度可控原则。
即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。
（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。
（c）中没有考虑对称性，单元边差很大。
3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？题3图答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。
（b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。
（c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。
（d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。
4、什么是等参数单元？。
答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。
5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？(1).⎪⎩⎪⎨⎧++=++=26543221),(),(y x y x v yx y x u αααααα (2). ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=2652423221),(),(yxy x y x v yxy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。
单元法课后习题全部答案 王勖成
到的近视解将收敛于精确解。
收敛条件：1 完备性，2 试探函数满足 Cm−1 连续性
思考题 1.0 里兹法的优缺点？举例说明 优点：理论简单，收敛性有严格的理论基础，得到的求解方程的系数矩阵是对称的，在场函 数事先满足强制边界条件情况下，解具有上下界性质。 缺点：当求解域的形状很不规则时候，里兹法所要找的试探函数难以满足全部的强制边界条 件，这样会降低精度。另外，由于其是基于变分原理，对于没有等价泛函的问题无法处理。
∫δ Ω
w
∂4w ∂x 2 ∂y 2
dxdy
∫ ∫ =
δ
Γ
w
∂3w ∂x∂y 2
nxds
−
δ
Ω
∂w ∂x
∂3w ∂x∂y2
dxdy
∫ ∫ ∫ =δ Γ
w
∂3w ∂x∂y2
nx ds
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂y 2
nx ds
−
Ω
δ
∂2w ∂x2
∂2w ∂y 2
dxdy
∫ ∫ ∫ =
−θ
ds
= 0 （1）
分部积分得
∫ ∫ ∫ Ω= δ w ∂∂4xw4 dxdy
Γ
δ
w
∂3w ∂x3
nx
ds
−
∂(δ w)
Ω ∂x
∂3w ∂x3 dxdy
∫ ∫ ∫ =δ w Γ
∂3w ∂x3
nx
ds
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂x2
nx ds
−
Ω
δ
∂2w ∂x2
高等有限元课后题答案 (1)
2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。
而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。
矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。
矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。
因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。
2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。
在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。
若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
完整版有限元法课后习题答案
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法2、有限元法将连续的求解域离散为假设干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个.4、平面刚架结构在外力的作用下横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩.5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角6、平面刚架有限元分析,节点位移有轴向位移、横向位移、转角 .7、在弹性和小变形下,节点力和节点位移关系是线性关系.8、弹性力学问题的方程个数有15个,未知量个数有15个.9、弹性力学平面问题方程个数有8,未知数8个.10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程11、物理方程是描述应力和应变关系的方程12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态14、9形函数在单元上节点上的值 ,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_15、形函数是三角形单元内部坐标的线性函数他反映了单元的位移状态16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号差尽量小.17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_-18、矩形单元的位移模式为双线性位移模式19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何各向同性20、单元刚度矩阵描述了节点力和节点位移之间的关系21、矩形单元边界上位移是连续变化的1.诉述有限元法的定义答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法2.有限元法的根本思想是什么答：首先,将表示结构的连续离散为假设干个子域,单元之间通过其边界上的节点连接成组合体.其次,用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量.3.有限元法的分类和根本步骤有哪些答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化,单元分析,单元集成,引入约束条件,求解线性方程组,得出节点位移.4.有限元法有哪些优缺点答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构,得出其近似解；通过计算机程序,可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便, 对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合,以便发挥各自的优点.缺点：有限元计算,尤其是复杂问题的分析计算, 所消耗的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的. 对无限求解域问题没有较好的处理方法. 尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术, 但在具体应用时,采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验.5.梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定答：由每个节点位移分量的总和确定6.简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1,其他节点位移分量等于0时,对应的第m个节点力分量.7.有限元法根本方程中的每一项的意义是什么P14答：Q——整个结构的节点载荷列阵〔外载荷、约束力〕；整个结构的节点位移列阵；结构的整体刚度矩阵,又称总刚度矩阵.8.位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解,引入边界条件,使整体刚度矩阵求的唯一解.9.简述整体刚度矩阵的性质和特点P14答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正.10简述整体坐标的概念P25答：在整体结构上建立的坐标系叫做整体坐标,又叫做统一坐标系.11.简述平面钢架问题有限元法的根本过程答：1〕力学模型确实定,2〕结构的离散化,3〕计算载荷的等效节点力,4〕计算各单元的刚度矩阵,5〕组集整体刚度矩阵,6〕施加边界约束条件,7〕求解降价的有限元根本方程, 8〕求解单元应力,9〕计算结果的输出.12.弹性力学的根本假设是什么.答：连续性假定,弹性假定,均匀性和各向同性假定,小变形假定,无初应力假定.13.弹性力学和材料力学相比,其研究方法和对象有什么不同.答：研究对象：材料力学主要研究杆件,如柱体、梁和轴,在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移.弹性力学研究各种形状的弹性体,除杆件外,还研究平面体、空间体,板和壳等.因此,弹性力学的研究对象要广泛得多.研究方法：弹性力学和材料力学既有相似之外,又有一定区别.弹性力学研究问题,在弹性体区域内必须严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,在边界上严格考虑受力条件或约束条件,由此建立微分方程和边界条件进行求解,得出较精确的解答.而材料力学虽然也考虑这几方面的条件,但不是十分严格的,材料力学只研究和适用于杆件问题. 14.简述圣维南原理. 答；把物体一小局部上的面力变换为分布不同但静力等效的面力,但影响近处的应力分量, 而不影响远处的应力.“局部影响原理〞15.平面应力问题和平面应变问题的特点和区别各是什么试各举出一个典型平面应力和平面应变的问题的实例.答：平面应力问题的特点：长、宽尺寸远大于厚度,沿板面受有平行板的面力,且沿厚度均匀分布,体力平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后外表上无外力作用平面应变问题的特点：Z向尺寸远大于x、y向尺寸,且与z轴垂直的各个横截面尺寸都相同,受有平行于横截面且不沿z向变化的外载荷,约束条件沿z向也不变,即所有内在因素的外来作用都不沿长度变化.区别：平面应力问题中z方向上应力为零,平面应变问题中z方向上应变为零、应力不为零.举例：平面应力问题等厚度薄板状弹性体,受力方向沿板面方向,荷载不沿板的厚度方向变化,且板的外表无荷载作用.平面应变问题一一水坝用于很长的等截面四柱体,其上作用的载荷均平行于横截面,且沿柱长方向不变法.16.三角形常应变单元的特点是什么矩形单元的特点是什么写出它们的位移模式.答：三角形单元具有适应性强的优点,较容易进行网络划分和逼近边界形状,应用比较灵活.其缺点是它的位移模式是线性函数,单元应力和应变都是常数,精度不够理想.矩形单元的位移模式是双线性函数,单元的应力、应变式线性变化的,具有精度较高, 形状规整,便于实现计算机自动划分等优点,缺点是单元不能适应曲线边界和斜边界,也不能随意改变大小,适用性非常有限.17.写出单元刚度矩阵表达式、并说明单元刚度与哪些因素有关.答：单元刚度矩阵与节点力坐标变换矩阵,局部坐标系下的单元刚度矩阵,节点位移有关的坐标变换矩阵.18.如何由单元刚度矩阵组建整体刚度矩阵〔叠加法〕答：〔1〕把单元刚度矩阵扩展成单元奉献矩阵 ,把单元刚度矩阵中的子块按其在整体刚度矩阵中的位置排列, 空白处用零子块填充.〔2〕把单元的奉献矩阵的对应列的子块相叠加, 即可得出整体刚度矩阵 .19.整体刚度矩阵的性质.答：〔1〕整体刚度矩阵中每一列元素的物理意义为：欲使弹性体的某一节点沿坐标方形发生单位为移,而其他节点都保持为零的变形状态,在各节点上所需要施加的节点力；〔2〕整体刚度矩阵中的主对角元素总是正的；〔3〕整体刚度矩阵是一个对称阵；〔4〕整体刚度矩阵式一个呈带状分布的稀疏性矩阵.〔5〕整体刚度矩阵式一个奇异阵,在排除刚体位移后,他是正定阵.20.简述形函数的概念和性质.答：形函数的性质有：〔1〕形函数单元节点上的值,具有“本点为一、他点为零〞的性质；〔2〕在单元的任一节点上,三角函数之和等于1; 〔3〕三角形单元任一一条边上的形函数,仅与该端点节点坐标有关,而与另外一个节点坐标无关；〔4〕型函数的值在0〜1之间变换.21.结构的网格划分应注意哪些问题 .如何对其进行节点编号.才能使半带宽最小.P50, P8相邻节点的号差最小答：一般首选三角形单元或等参元.对平直边界可选用矩形单元,也可以同时选用两种或两种以上的单元.一般来说,集中力,集中力偶,分布在和强度的突变点,分布载荷与自由边界的分界点,支撑点都应该取为节点,相邻节点的号差尽可能最小才能使半带宽最小22.为了保证解答的收敛性,单元位数模式必须满足什么条件答：〔1〕位移模式必须包含单元刚体位移；〔2〕位移模式必须包含单元的常应变；〔3〕位移模式在单元内要连续,且唯一在相邻单元之间要协调.在有限单元法中,把能够满足条件1和条件2的单元称为完备单元,把满足条件3的单元叫做协调单元或保续单元.23有限元分析求得的位移解收敛于真实解得下界的条件.答：1.位移模式必须包含单元的刚体位移,2.位移模式必须包含单元的常应变,3.位移模式在单元内要连续,且位移在相邻单元之间要协调.24.简述等参数单元的概念.答：坐标变换中采用节点参数的个数等于位移模式中节点参数的个数,这种单元称为等参单元.25.有限元法中等参数单元的主要优点是什么答：1〕应用范围广.在平面或空间连续体,杆系结构和板壳问题中都可应用.2〕将不规那么的单元变化为规那么的单元后,易于构造位移模式.3〕在原结构中可以采用不规那么单元,易于适用边界的形状和改变单元的大小.4〕可以灵活的增减节点,容易构造各种过度单元.5〕推导过程具有通用性.一维,二维三维的推导过程根本相同.26.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程.答：〔1〕通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元,并选取单元的唯一模式；〔2〕通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；〔3〕将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程,得到单元应变分量的计算式,再将单元应变代入平面问题的物理方程,得到平面四节点等参数单元的应力矩阵〔4〕用虚功原理球的单元刚度矩阵,,最后用高斯积分法计算完成.27.为什么等参数单元要采用自然坐标来表示形函数为什么要引入雅可比矩阵答：简化计算得到形函数的偏导关系.28. ANSYS软件主要包括哪些局部各局部的作用是什么答：1.前处理模块：提供了一个强大的实体建模及网络划分工具,用户可以方便地构造有限元模型.2.分析计算模块：包括结构分析、流体力学分析、磁场分析、声场分析、压电分析以及多种物理场的耦合分析,可以模拟多种物理介质的相互作用,具有灵敏度分析及优化分析水平.3.后处理模块：可将计算后果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来,也可将计算结果以图表、曲线形式显示出来或输出.29. ANSYS软件提供的分析类型有哪些答：结构静力分析、机构动力分析、结构非线性分析、动力学分析、热分析、流体力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析.30.简述ANSYS软件分析静力学问题的根本流程.答：1.前处理器：1〕定义单元类型,2〕定义实常数,3〕定义材料属性,4〕创立实体几何模型,5〕划分网络；2.求解器：1〕定义分析类型,2〕施加载荷和位移约束条件,3〕求解；三角形三节点单元的位移是连续的,应变和应力在单元内是常数,因而其相邻单元将具有不同的应力和应变,即在单元的公共边界上和应变的值将会有突变.矩形单元的边界上,位移是线性变化的,显然,在两个相邻矩形单元的公共边界上,其位移是连续的.节点的选用原那么：一般说,集中力、集中力偶、分布载荷强度的突变点、分布载荷与自由边界的分界点、支承点都能赢取为节点.单元的划分原那么：〔1〕划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.〔2〕单元的大小,可根据部位的不同而有所不同.1、试述街节点力和节点载荷的区别.节点力是单元与节点之间的作用力；如果取整个结构为研究对象,节点力为内力,节点载荷是作用在节点上的外载荷.2、试述求整体刚度矩阵的两种方法.分别建立各节点的平衡方程式,写成矩阵形式,可求得整体刚度矩阵；将各单元刚度矩阵按规律叠加,也可得整体刚度矩阵.3、平面问题中划分单元的数目是否越多越好不是越多越好.划分单元的数目,视要求的计算精度和计算机的性能而定.随着单元数目的接连多,有限元解逐步逼近于真实解,但是,单元数目接连加,刚求解的有限元线性方程组的数目接连多, 需要占用更多的计算机内存资源,求解时间接连长,所以,在计算机上进行有限元分析时,还要考虑计算机的性能.单元数过多并不经济.4、写出单元刚度矩阵的表达式,并说明单元刚度与那些因素有关[B]-单元应变矩阵,[D]-弹性矩阵,t-厚度〕单元刚度矩阵取决于单元的大小、方向、和弹性常数,而与单元的位置无关,即不随单元或坐标轴的平移而改变.5、选择多项式为单元的位移模式时,除了要满足单元的完备性和协调性要求,还须考虑什么因素还须考虑两个因素：1、所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关,即几何各向同性. 2、多项式位移模式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数,通常取多项式的项数与单元的外节点的自由度数想等.。
有限元
致奋战在有限元考试一线的兄弟姐妹们期末考试接近尾声了，估计咱都是剩下两门左右没考。
这两天我看了一下有限元，许多问题有些棘手。
相信大家的感觉跟我差不多。
现在是元旦假期，知道大家许多都“拖家带口”的，不容易，呵呵……小生相对来说清闲一点，就趁着这几天整理了一下有限元教材课后题的答案。
在这里，我不得不说：答案不好找。
所以找的不是太全。
而且肯定有许多疏漏之处，仅供大家参考。
希望能对大家有所帮助。
以下是我整理的答案：（温馨提示：在word2000中编辑的公式无法粘到日志当中，有关公式请大家参考教材。
）习题有限元法的基本思想：有限元法把连续体离散成有限个单元，每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。
根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。
1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度的问题？位移有限元法的标准化程式是怎样的？①离散：将连续区域分散成有限多个子区域；②给每个单元选择合适的位移函数来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因为节点位移个数是有限的，故无限自由度问题就转变成了有限自由度的问题；③有限元法的标准化程式：结构或区域离散、单元分析、整体分析、数值求解。
1.2 什么叫做节点力和节点荷载？两者有什么不同？为什么应该保留节点力的概念？①节点力：节点对单元的作用力。
节点荷载：包括集中力和将体力、面力按静力等效原则移植到节点形成的等效荷载，原荷载和移植后的荷载在虚位移上的虚功相等；②相对于整体结构来说，节点力是内力，节点荷载是外力。
（注：我不太确定）③节点力的概念在建立单元刚度方程的时候需要用到。
1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么？①单刚：对称性，奇异性。
弹性力学及有限单元法答案及评分标准
弹性力学及有限单元法答案及评分标准一、1、, （2分）2、, （2分）3、,（3分）4、, (也可用三个积分的应力边界条件代替) （1分）二、(a)平衡微分方程、相容方程、应力边界条件、多连体中的位移单值条件（4分）(b)代入相容方程，不满足相容方程，不是可能的解答（3分）(c)代入相容方程，不满足相容方程，由此求得的位移分量不存在（3分）三、（1）无穷小的线段的单位伸缩或相对伸缩，称为正应变。
（2分）正应变伸长为正，缩短为负。
（1分）与坐标正向一致的两个无穷小的线段之间的直角的改变量，称为剪应变。
（2分）剪应变以直角变小为正，变大为负。
（1分）（2）弹性体中两个正交的直线之间所夹的直角有四个，变形后，其中两个直角变大，两个直角变小，剪应变以直角变小为正，变大时为负，因此必须明确规定剪应变是与坐标正向一致的两个无穷小的线段之间的直角的改变量。
（1分）（3）A点位移：（）（1分）；B点位移：（）（1分）；（2分）；（2分）；（2分）四、(1)平面应力问题面上任一点的应力（）是近似为0（1分）。
由上（）为0和方向应力梯度很小推出任一点的应力（）为0是近似的。
（2分）(2)平面应变问题Z面上任一点的应力（）是精确为0（1分）。
任意面均为对称面，其上的反对称应力为0，将某个面切开，切开的左右面上的应力既要指向相同（对称条件），又要指向相反（内力须满足牛顿第三定律），故只能为0，同理为0。
（1分）五、平面应力问题由可导得其物理方程为：（5分）平面应变问题由可导得其物理方程为：（5分）或对平面应力问题物理方程进行转换得平面应变问题物理方程六、1、将，代入，得P点的应变分量（1分）（1分）（1分）2、由平面应力问题的物理方程可得代入P点的应变分量，得其应力分量为（3分）3、处的应力分量为：处面力处面力的合力和合力矩为：（6分）七、1）单元结点力是指单元和结点之间的相互作用力（2分）结点力作用在单元上时与坐标正向一致为正（1分）2）单元结点荷载是指单元上的外力（体力和面力）按静力等效的原则移置到结点上的等效荷载（2分）与坐标正向一致为正（1分）3）例：表示结点方向发生单位位移在结点方向的结点力或单元某一个自由度方向发生单位位移在另一个自由度方向引起的结点力（4分）4）例：表示整个弹性体的2结点方向发生单位位移引起1结点方向的结点力或整个弹性体某一个自由度方向发生单位位移在另一个自由度方向引起的结点力（4分）5）结点力和等效结点荷载的平衡（4分）6）设定位移模式使单元中任一点的位移可由结点位移求得而不独立，只有有限个可动结点位移作为基本未知量或自由度。
王勖成《有限单元法》8-15章课后习题答案14
•• 0 0 0 ρ / E −1 0 1 0 ρ = 由初始条件知道： a = ρ −1 ； a−∆t = − ∆t + ； 8 4Q 0 0 4Q 2 E Q
m = c M + c C = E 3 0 M 0 1 0 1 。
l = Q − ( K − c M ) a − ( c M − c C ) a = 0 + 2 E 0 1 a − E 3 0 a Q t 2 t 0 1 t −∆t t t t − ∆t Q 1 0 0 1
(*)
求 t + ∆t 时刻的位移：
M e13 = W ∫
1
∫
1
N1a N1c dξ dη =
M e12×12
0 0 N '1 0 1 0 N '1 0 0 1 其中： N ' = 0 = W 1 N '1 0 4 0 0 0 0 0 0 N ' 1
0 0 0Байду номын сангаас
0 0 0
3 0 0 1 3 0 l 0 E at +∆t = Q t = + 2 E at − E at −∆t 0 1 Q 1 0 0 1
为了简便起见编写程序计算：Fortran 语言
program main implicit none integer::n double precision,dimension(2)::a0=0 !t-∆t 位置 double precision,dimension(2)::a1=0 !t 位置 double precision,dimension(2)::a2=0 !t+∆t 位置 double precision::tem1,tem2 a0(1)=0.0d0 do n=1,15 a2(1)=(0.0+2.0*a1(2)-3.0*a0(1))/3.0d0 a2(2)=1.0+2.0*a1(1)-1.0*a0(2) write(*,*)n a0=a1 ! a1=a2 !传递给下一个时刻 enddo end program write(*,*)a2 a0(2)=0.5d0 a1(1)=0.0d0 a1(2)=0.0d0 !初始值
现代设计方法习题及答案
现代设计方法思考题和练习题一、有限元部分思考题1 有限单元法中离散的含义是什么?有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题?2 位移有限单元法的标准化程式是怎样的?3 什么叫做节点力和节点载荷?两者有什么不同?为什么应该保留节点力的概念?4 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么?两者有何区别?5 减少问题自由度的措施有哪些?各自的基本概念如何?6 构造单元函数应遵循哪些原则？7 在对三角形单元节点排序时，通常需按逆时针方向进行，为什么？8采用有限元分析弹性体应力与变形问题有哪些特点和主要问题？9 启动ANSYS一般需几个步骤?每一步完成哪些工作?10 进入ANSYS后,图形用户界面分几个功能区域?每个区域作用是什么?11 ANSYS提供多种坐标系供用户选择,主要介绍的6种坐标系的主要作用各是什么?12工作平面是真实存在的平面吗?怎么样理解工作平面的概念和作用?它和坐标系的关系是怎样的?13 如何区分有限元模型和实体模型?14网格划分的一般步骤是什么?15单元属性的定义都有什么内容?如何实现?如何实现单元属性的分配操作?16自由网格划分、映射网格划分和扫掠网格划分一般适用于什么情况的网络划分?使用过程中各需要注意什么问题?17如何实现网格的局部细化?相关高级参数如何控制?18负载是如何定义和分类?19在有限元模型上加载时,节点自由度的约束有几种?如何实现节点载荷的施加?20与有限元模型加载相比,实体模型加载有何优缺点?如何实现在点、线和面上载荷的施加?21 ANSYS提供的两种后处理器分别适合查看模型的什么计算结果?22使用POST1后处理器,如何实现变形图、等值线图的绘制?习题试用ANSYS应用程序计算下列各题：1. 如习题图2-1，框架结构由长为1米的两根梁组成，各部分受力如图表明，μ，求各节点的力及力矩，节点位移。
⨯=，0.32E11.2pa1001=习题图2-1 框架结构2. 自行车扳手由钢制成，尺寸如习题图2-2，pa 1001.2E 11⨯=，0.32=μ，扳手的厚度为3mm,受力分布如图示，左边六边形固定，求受力后的应力、应变、及变形。
高等有限元法智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学
高等有限元法智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学第一章测试1.有限元各单元是通过什么连接在一起的（）。
答案:相邻节点2.有限元分析中通常用什么作为未知量来进行求解（）。
答案:节点位移3.第一次提出并使用“有限元方法”的名称时间是（）。
答案:1960年4.结构整体刚度矩阵是一个奇异矩阵，不能求逆矩阵。
（）答案:对5.建立单元刚度矩阵可利用虚位移原理或最小势能原理。
（）答案:对第二章测试1.有关形状函数的说法，下列哪些是正确的？（）答案:单元上所有节点的形函数之和等于1;形状函数矩阵本质是内插函数矩阵，实现了有限单元法在数学模型上的离散化;Ni在节点i等于1，在其它点等于0;形状函数矩阵建立了单元内位移与单元结点位移之间的相互关系2.有限元法中，单元分析的目的主要是为了（）。
答案:计算单元刚度矩阵3.局部坐标系下，若一杆单元的刚度矩阵为，则材料相同，杆长为其两倍的杆单元的刚度矩阵是（）答案:4.平面自由式梁单元的单元刚度矩阵大小是（）。
答案:6×65.如果单元上作用有分布弯矩，在计算等效结点集中载荷时，所采用的形状函数矩阵为（）。
答案:转角的内插函数矩阵第三章测试1.十节点三角形单元位移函数中包含有多少个待定系数（）。
答案:20个2.为了使位移解答收敛，位移函数应该满足下面哪些准则（）。
答案:多项式位移函数中包含常数项;位移函数应反映单元的常应变;位移函数必须保证在相邻单元在接触面上的应变是有限的;位移函数中须含有反映刚体运动的项数3.在插值函数多项式的阶次时，必须考虑下列因素是（）。
答案:多项式描述的位移形式与局部坐标系无关;a i的数目应等于单元结点自由度的数目;在不同局部坐标系中位移函数表达式满足几何等向性;插值多项式应当尽可能满足收敛性要求4.有限元的基本思想是分段逼近。
（）答案:对5.用多项式形式的插值函数来建立和计算有限元方程比较容易，特别是易于积分和微分（）答案:对第四章测试1.有一向下作用的集中力p作用在常应变三角形单元ijm的节点i处，则（）。
机械工程用有限元法学习笔记及题解(二)
k11 k 21 [K ] = k31 k41
题 5：设有图 3 所示的某轴类结构，其材料的弹性模量为 E，两段抗弯惯性矩的 比值 Iz2/Iz1=0.5，试用有限元求解⑴A 点的挠度、转角以及 B 点的转角，⑵1、2、 3 处的支反力。 解：1.单元剖分
图3
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机械工程用有限元法自学笔记及题解（二）
浙江杭州：L.H.M
梁单元的有限元法 梁类结构分为平面梁类结构和空间梁类结构。 平面梁类结构，是指结构物本身是一个直梁，所受的外力垂直于直梁的纵轴 线，并且所有的外力或外力矩都作用在通过直梁纵轴线的一个平面内的结构。对 于平面梁单元，每个节点只考虑挠度和转角两个自由度。 空间梁类结构，是指结构物本身是一个空间物（包括平面刚梁） ，所受的外 力或外力矩是一组空间力系。对于空间梁单元，每个节点一般要考虑包括沿三个 坐标轴的移动和绕三个坐标轴的转动在内的六个自由度。 一、 平面梁类结构的有限元法 平面梁单元的节点力和节点位移之间的关系 6l Fyi 12 M 6l 4l 2 xi EI z = 3 F yj l −12 −6l 2 M xj 6l 2l 或简写为 式中: {F}—平面梁单元的载荷列阵 Fyi M = F { } F xi yj M xj [K]—平面梁单元的刚阵 6l 12 6l 4l 2 EI [K ] = 3 z l −12 −6l 2 6l 2l {q}—平面梁单元的节点位移列阵 vi θ {q} = v i j θ j （式 2-2b）的一般形式 −12 6l −6l 2l 2 12 −6l −6l 4l 2 −12 6l vi θ −6l 2l 2 i v 12 −6l j θj −6l 4l 2 式 2-2
有限单元法参考答案
有限单元试题参考答案一、问答题（50分）1.（5分）有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？ 1）选择适当的单元类型将弹性体离散化 2）建立单元体的位移插值函数 3）推导单元刚度矩阵4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵 5）代入边界条件和求解2.（5分）有限元法在单元划分的时候应注意哪些问题？1）集中载荷的作用点、分布载荷的突变点和约束的支撑点都应取为结点2）在应力变化激烈的区域，单元划分得细一些，其它应力平缓的区域划分得粗一些3）为了避免在计算中产生过大的误差，单元的长细比最好不要大于23.（5分）有限元法中建立位移函数一般有广义坐标法和插值函数法，我们经常用插值函数的哪些性质来直接建立位移函数？ 1）形函数与位移插值函数是相同次数的多项式2）形函数N i 在结点i 处等于1，在其它结点上的值等于0 3）在单元任意一点，三个形函数之和为14.（10分）在有限元法中，单元刚度矩阵和整体刚度矩阵具有哪些性质？1）单元刚度矩阵每一列元素表示一组平衡力系，对于平面问题每列元素之和为零2）单元刚度矩阵对角线元素总为正 3）单元刚度矩阵为对称矩阵 4）单元刚度矩阵为奇异矩阵整体刚度矩阵前三条性质和单元刚度矩阵一样。
另外： 1） 整体刚度矩阵为奇异矩阵，排除刚体位移后为正定矩阵 2）整体刚度矩阵是带状矩阵5.（5分）什么是等参数单元？它与三角形单元和矩形单元相比有哪些优势？ 1）在建立局部坐标系下的形状规则的标准单元与整体坐标系下形状复杂的实际单元之间的变换时，如果坐标变换函数中的形函数及插值结点与描述单元位移函数的形函数及插值结点完全相同，则这种变换我们成为等参数变换，当中的实际单元单元称为等参数单元。
（其它描述意思一样也可）2）三角形单元和矩形单元不能适应复杂的曲线边界，等参数单元可以。
6.（10分）平面三角形单元与轴对称问题的三角形截面单元的不同之处在哪里？轴对称问题三角形截面单元刚度方程的推导当中，为了简化计算和消除在对称轴上r=0引起的麻烦，可怎样处理？1）平面三角形单元的三个应力分量xy y xτσσ和三个应变分量xy y γεεx 都为常量，是常应变单元也是常应力单元。
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-----好资料学习有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介1.1质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的？）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并1（数的节在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函点值将成为问题的基本未知量。
）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即2（无限自通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的，故由度问题被转变成了有限自由度问题。
）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。
（3 ?单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别1.3整体刚度矩阵的性单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。
个自j Kij 即单元节点位移向量中第稀疏性。
单元 Kij 物理意义质：对称性、奇异性、整体刚度 j 个自由度方向引起的节点力。
由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其 K 矩阵他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。
什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述2.2问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？，外力所做的功将以变形能的形式储存εσ和应变(1)在外力作用下，物体内部将产生应力起来，这种能量称为应变能。
(2)外力势能就是外力功的负值。
势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件(3) 的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零V=0 +δp=δ Uεδ∏此即变分方程。
对于线性弹性体，势能取最小值，即02V≥ε+δδ2∏P=δ2U 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。
其中附加了几何方程和位移边界条本构方程和应力边界条件，势能变分原理代表平衡方程、件。
什么是强形式？什么是弱形式？两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？2.3等效积分形式通过分部积分，称式ΓΓET(v)F(u)d+∫ΩCT(v)D(u)dΩ∫为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。
建立弱形式的关键步骤：对场函数要求较低阶的连续性。
区别：弱形式得不到解析解。
为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什么？2.4只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。
Ritz 2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？法收敛的条件是什么？决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一定的任意法中，N （1）在 Ritz 探函数性。
如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精确的；如果试然而，通常情况下试近似解将趋近于精确解。
取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，因此，试探函探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。
近似性变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答，数只能是真实场函数的近似。
可见，就源于此。
）采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。
通常2（情况下这是不可能的，因而变分法的应用受到了限制。
如果试探函数满法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，（3）Ritz趋近足完备性和连续性的要求，当试探函数的项数趋近于无穷时，则 Ritz 法的近似解将于数学微分方程的精确解。
构造单元形函数有哪些基本原则？3.1其中的待定常数应形函数是定义于单元内坐标的连续函数。
单元位移函数通常采用多项式，要求，位移函数中必须包括常函数和一次式，该与单元节点自由度数相等。
为满足完备性尽量选择完全多项式以提高单元的精度。
即完全一次多项式。
多项式的选取应由低阶到高阶，项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一若由于项数限制而不能选取完全多更多精品文档．-----好资料学习有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。
点。
然而，这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂项式，可在单元内部配置节即满足完备除非不得已才加以采用。
形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求，性，性要求和协调性条件。
单元的形函 T10 3.1 构造单元形函数有哪些基本原则？试采用构造单元的几何方法，构造数，并对其收敛性进行讨论。
因此其个数应与单元其中的待定常数由节点位移参数确定，通常单元位移函数采用多项式，了反映节点自由度数相等。
根据实体结构的几何方程，单元的应变是位移的一次导数。
为即完全一位移函数中必须包含常数项和一次项，单元刚体位移和常应变即满足完备性要求，次多项式。
何谓面积坐标？其特点是什么？为什么称其为自然坐标或局部坐标？3.3其位置可以用,个角点相连形成 3 个子三角形1）三角形单元中，任一点 P(x,y)与其 3 （下述称为面积坐标的三个比值来确定：L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A的面积。
分别为 P23,P31,P12 其中 A1,A2,A3面积坐标的特点：）（2 Li就是面积坐标单元的形函数 Ni a T3面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。
b0, 0, 3（0, 1, 0）、节点（c 三个节点的面积坐标分别为节点 1（1, 0, 0）、节点 2 ）。
1），形心的面积坐标为（1/3, 1/3, 1/3 Li=0(i=1,2,3)d 单元边界方程为对应的三角形具有（L1 23 边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标L1e 在平行于之比至 23 边的距离 1 相同的高和底边），而且 L1 就等于此直线至 23 边的距离与节点值。
面积坐标与直角坐标互为线性关系。
f）面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，故称为局部坐标或自然坐标。
（3与平面问题相比，轴对称问题有何特点？在有限元表达格式上有何区别？4.1约束条件及荷载分布都对称于某结构的几何形状、轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，个轴，其位移、应变、应力等也对称于此轴，而与环向坐标无关。
节点四面体单元的形函数并讨论收敛性。
试用体积坐标构造 10 4.2何谓等参单元？等参单元具有哪些优越性？在等参单元计算中，数值积分的阶次是否5.1 越高越好？为什么？（通常是位移函数）采用相同的节等参单元（简称等参元）就是坐标变换和单元内的等变量点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。
如果用直边单元离散这些结构将需要大量的单一，有些工程结构的形状比较复杂，优越性：在单元元才能得到较好的近似，而曲边的等参单元可非常方便的离散复杂结构。
二，如果从而就能够插值表示较复杂的单元内部位移内多取些节点，单元便具有较多的位移自由度，计算是在规则场，这样也就提高了单元本身的精度。
三，等参单元刚度矩阵、荷载矩阵的在等参单单元域内进行的，因此不管被积函数多么复杂都可方便的采用标准化数值分析。
元计算中，数值积分的阶次并不是越高越好，何谓位移的零能模式？在什么条件下会发生零能模式？5.6此时的应变能当然也减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，对应于某种非刚体位移模式，采用减缩积分时会发生零能模式。
为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。
对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变6.1 换？ 1）在局部坐标系内可以更方便的建立单元刚度矩阵。
（，否则围绕同一 X Y（2）在整体分析中，对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系还需要节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。
因此，在进行整体分析之前，把局部坐标系中得出的单元刚度方程转换成整体坐标系中的单元刚度方进行坐标转换工作，程，从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。
有哪几种梁弯曲理论？如何用中性轴位移确定梁内任一点的位移？6.2梁弯曲理论（包括工程梁理论和剪工程梁理论、剪切梁理论、通用梁理论、空间梁理论。
将问题归结为求解中性轴位在弹性力学基本假定的基础上引入了某些附加假定，切梁理论）更多精品文档．好资料学习-----来表示。
移，而梁内任一点的位移都可以通过中性轴位移在薄板弯曲理论中做了哪些假设？如何用中面位移确定板内任一点的位移？7.1。
εZ=0假设：（1）板厚度方向的挤压变形可忽略不计，即）在板弯曲变形中，中面法线保持为直线，且仍为弹性曲面（挠度曲面）的法线，即直2（法线假设。
(u) =(v)没有面内的伸缩变形，3（即中面水平位移。
）薄板中面只发生弯曲变形，z=0z=0=0 而薄板小挠度弯曲被ω来表示，薄板的全部位移、应力和应变分量都可以用板的挠度于零ω确定，任何点的位移都可确定。
薄板内不等简化为中面的弯曲问题，只要中面挠度的应变分量有如下三个：x2/ббε/x=-z б2ωux=б(7.3a) 见P116,y=-б式2ωεy=бv/ббx/ббx=-2z б2ωv/r=бu/бy+бyxy薄板单元和厚板单元的基本假设有什么不同？各自是怎样选择节点位移参数的？7.2该直线垂直于板的中面法线变形后仍保持为直线，不同点：薄板单元假设横向纤维无挤压，基本保变形后的中面，但是厚板单元的假设考虑横向变形的影响，板的中面法线变形后仍而法线绕坐标轴的转角不再是挠度的导数，持为直线，但该直线不再垂直于变形后的中面，是独立的变量。
在薄板单元中，节点力矩与薄板内力有何区别？7.3是分布力矩，此外，两者的正负号， My ， Mxi Myi 是集中力矩，而板内力矩 Mx节点力矩 My 与应力正负号的规定相应。
规定也不相同，因为 Mx，薄壳理论有哪些假设？与薄板理论的假设有何异同？厚壳分析中引入了何种假设？与8.1厚板理论的假定有何异同？且认为直法线假薄壳发生微笑变形时，忽略沿壳体厚度方向的挤压变形；薄壳理论的假设：生弯曲，壳体变形时中面不但发设成立，即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线；而且面内也将产生面内伸缩变形；折板假设；非耦合假设。
与薄板理论的假设的相同点：直法线假设和法向（板厚度方向）的纤维无挤压假设均成立。
即中面水平位移为零，而壳体变不同点：薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变形。
但因横向剪切变形的缘变形前后的中曲面法线变形后仍基本保持为直线，厚壳分析的假设：故，该直线不再垂直于变形后的中曲面，此外，壳体厚度方向的挤压变形可以忽略。
但因横向剪切变形的缘故，中面法线变形后仍基本保持为直线，与厚板理论的假设的相同点：该直线不在垂直于变形后的中面。
厚度方向的挤压变形忽略不计。