广东高考历年真题之2007数学

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2007年高考试题——数学理(广东卷)

绝密★启用前试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色宁迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =．用最小二乘法求线性回归方程系数公式 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆay bx =-. 一、选择题（本题8小题，每题5分，满分40分）1．已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅【解析】考查函数的定义域和集合的基本运算。

由解不等式1-x>0求得M=(-∞，1)，由解不等式1+x>0求得N=(-1，+∞)，因而M ⋂N=(-1，1)，故选C 。

2007年高考数学广东卷(理科)-带答案

2007 年高考数学广东卷(理科)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）＝P （A ）+P （B ） S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P .334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概其中R 表示球的半径率k n kk n n P P C k P --=)1()(第 I 卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A ．［0,2］B ．［1,2］C ．［0,4］D ．［1,4］ 2．已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 A ．1+2i B ． 1–2i C ．2+i D ．2–i 3．已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则A ．1＜n ＜mB ． 1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜1 4．若α是第二象限的角，且2sin 3α=，则=αcosA ．13 B ． 13- C ． D ． 5．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么29a a +的值是 A ． 12 B ． 24 C ．16 D ． 486．三棱锥D —ABC 的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则二面角A —BC —D 的大小为A ． 300B ． 450C ．600D ．900 7．已知变量a ，b 已被赋值，要交换a 、b 的值，采用的算法是A ．a=b, b=aB ．a=c, b=a, c=bC ．a=c, b=a, c=aD ．c=a, a=b, b=c8．已知点M （－3，0），N （3，0），B （1，0），圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．)1(1822>=-x y xC ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=>第 Ⅱ 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2007年高考数学试题(广东.理)含答案-推荐下载

2
C．最小正周期为 2π 的偶函数
D． 2
C．{x | 1 x 1}
B．最小正周期为 π 的奇函数
D．最小正周期为 π 的偶函数
4．客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙
11．在平面直角坐标系 xOy 中，有一定点 A(2，1) ，若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 的焦点，则该抛物线的准线方程是
Ｄ． i 9
开始
输入 A1，A，2 ， A10
Ｄ．18
．（答案用分数表示）
数学（理科）试卷 B 第 2 页（共 11 页）
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2007年广东高考数学试题及答案

A． i < 6 B． i < 7 C． i < 8 D． i < 9 【立意】本题主要考查统计中的条形图的识图能力，以及对算法内容中程序框图的理解分析能力 . 【解答】要统计身高在 160 ～ 180 、的学生人数，由图 1, 可以看出，包含 → 、、 .初
四部分之和.分析图 2，所采用的当型循环结构的循环体是： .所以 .选 C.
【解答】的偶函数.选 D.
，所以
是最小正周期为
【评价】研究三角函数的性质，一般需要先利用“降次”、“化一”等技巧进行三角变换.本题解答过程中，先活用倍角公式进行降次，然后化为一个三角函数进行研究，涉及到对三角函数的周期性、奇偶性的考查 .考查知识与能力的综合性较强，需要我们具有扎实的基础知识，具备一定的代数变形能力 .
A． {x | x > −1}
） B． {x | x < 1} C． {x | −1 < x < 1} D． ∅ ）
2．若复数（1+bi ）（ 2+i ）是纯虚数（ i 是虚数单位， b 是实数），则 b=（
A．2
B．
1 2
C． −
1 2
D．—2
【立意】本题主要考查复数的乘法运算以及纯虚数的概念等基础知识，属容易档次 . 【解答】，其中，选 A.
4．客车从甲地以 60km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以 80km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中，正确的是（）
【立意】本题主要考查分段函数的图象及应用，是一道简单的应用问题 .该题以路程与时间的关系为背景，侧重考查数形结合思想以及解决实际问题的能力 .

2007广东省数学高考题目及答案

2007年普通高等招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.用最小工乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n i x yx n xiyi ni ni -=--=∑∑==,2121ξ.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1 x xB.{}1 x xC.{}11 x x -D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A.2B.21 C.21- D.-23.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是5.已知数|a n |的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5<a n <8,则k= A.9 B.8 C.7 D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A.15B.16C.17D.188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b ）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10.若同量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则ba b a ··+＝ .11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22p px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝图4; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t ty t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则题C 的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b+;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探安C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间［-1,1］上有零点，求a 的取值范围. 21.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2+x -1,α、β是方程f (x )=0的两个根（α>β）.f ′(x )是f (x )的导数.设a 1＝1，a n +1=a n -)()(n n a f a f '(n =1,2,…). (1)求α、β的值；(2)证明：任意的正整数n ，都有a n >a ;(3)记b n -αβ--n n a a ln (n =1,2,…),求数列{b n }的前n 项和S n .、2007年数学答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

2007广东高考数学(理科)考试及详解

2007年广东卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =（） A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（） A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（） A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是（）5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（）A ．9B ．8C ．7D ．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．s s ss图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i <7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（）Ａ．15Ｂ．16Ｃ．17Ｄ．188．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b =D ．()[()]****a b b a b b =二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装图3 图1 图2身高/cm有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为．（答案用分数表示） 10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +a b = ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示） 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t=+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为，圆心到直线l 的距离为．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．（1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围． 17．（12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa=+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）图5图418．（14分）在平面直角坐标系xOy ，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x=相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C 的方程；（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图6所示，等腰ABC △的底边AB =高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF△的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P-（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF20．（14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 取值范围．21．（14分）已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，．（1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>；（3）记ln (12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．图6AB2007年（广东卷）数学（理科B ）参考答案一．选择题 CDDC BBCA 1．101110x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩故选（C ）2．(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++为纯虚数2b ⇒=，故选（D ）3．22111()sin (12sin )cos 2222f x x x x =-=--=- 故选（D ） 4．60(01)60(1 1.5)80( 1.5)60(1.5 2.5)t t s t t t ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩，故选（C ）5．182(5)6n n n a s s n a -=-=-⇒=，k=8，（或5＜2k －10＜8）故选（B ） 6．计算4567A A A A +++，由算法框图知，8i < 故选（B ） 7．A D →11件，B C →4件，B A →1件，共16件，故选（C ） 8．()a b a b **=∴当a b =时()b b b b **=，又[()]()()a b a a b b a b a ****=**=；()[()]()a b b a b a b a b ****=**=，故选（A ）二．填空题9．411()()()669P AB P A P B ==⋅= 10．2cos12012⋅+⋅+=a ab a a a b = 11．线段OA 的垂直平分线方程为152(1)(,0)24y x F -=--⇒⇒准线方程54x =-12．21(1)2n n n C ++=；12；21(1)(2)2n n n n n C ---⋅=13．参数方程化普通方程得直线方程为60x y +-=，圆的方程为22(2)4x y +-= 因此圆心为(0,2)，圆心到直线的距离为d ==14．41(2)236f ---=-+=；21()5211x f x x x -≤⇒≤-⇒-≤≤三．解答题16．（1）当5c =时，5,5,cos sin AB BC AC A A ===∠=⇒∠=（2）AC BC c ==,A 为钝角222AB AC AB +<⇒2225(3)16c c +-+<253c ∴>17．（1）（略）（2）97,22x y ==，4166.5i i i x y ==∑，42186i i x ==∑，414221466.5630.786814i ii i i x y x yb x x==--===--∑∑0.35a y bx =-=，故现线性回归方程为0.70.35y x =+（3）当100x =时，70.35y =，9070.3519.65-=，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低19.65吨标准煤。

2007年高考.广东卷.理科数学试题及解答

绝密★启用前2007年普通高等艺术招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.用最小工乘法求线性回归方程系数公式x b y a x n i x yx n xiyi ni ni -=--=∑∑==,2121ξ.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1 x xB.{}1 x xC.{}11 x x -D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝ A.2 B.21C.21-D.-23.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是A. B C. D.5.已知数|a n |的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5<a n <8,则k=A.9B.8C.7D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A.15B.16C.17D.188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b ）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）10. 若向量,与,1==的夹角为120°，则∙+∙＝11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22 p px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 . 12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则题C 的圆心坐标为，圆心到直线l 的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (（1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b+;（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探安C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间［-1,1］上有零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2+x -1,α、β是方程f (x )=0的两个根（α>β）.f ′(x )是f (x )的导数.设a 1＝1，a n +1=a n -)()(n n a f a f '(n =1,2,…). (1)求α、β的值；(2)证明：任意的正整数n ，都有a n >a ;(3)记b n -αβ--n n a a ln (n =1,2,…),求数列{b n }的前n 项和S n .2007年普通高等学校全国招生统一考试(广东卷)数学(理科)参考答案9.91 10.21 11.x= -25 12.2)1(+n n ，12，2)1)(2(--n n n13.(0，2)，22 14. 6，[ -1，1] 15.30°，3三、解答题16. 解：(1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--当c=5时，(2,4)AC =- cos cos ,A AC AB ∠=<>=进而sin 5A ∠=(2)若A 为钝角，则AB ﹒AC= -3(c -3)+( -4)2<0解得c>325显然此时有AB 和AC 不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为[325，+∞)17. 解： (1)如下图(2)y x ini i ∑=1=3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5x =46543+++=4.5y =45.4435.2+++=3.5∑=ni x i12=32+42+52+62=86266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b-⨯⨯-===-⨯- ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=故线性回归方程为y=0.7x+0.35(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)18. 解： (1)设圆心坐标为(m ，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2=8已知该圆与直线y=x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2n m -=22 即nm -=4 ①又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2+n 2=8 ②联立方程①和②组成方程组解得⎩⎨⎧=-=22n m92y252x故圆的方程为(x +2)2+y 2=8 (2)a=5，∴a 2=25，则椭圆的方程为+ =1其焦距c=925-=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。

2007年普通高等学校招生全国统一考试、理科数学(广东卷)

绝密★启用前2007年普通高等艺术招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙=∙.用最小工乘法求线性回归方程系数公式x b y a xn i x y x n xiyi ni ni -=--=∑∑==,2121ξ.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1.已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N MA.{}1 x xB.{}1 x xC.{}11 x x -D.φ2.若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝A.2B.21 C.21- D.-2 3.若函数是则)(R),(21sin )(2x f x x x f ∈-=A.最小正周期为2π的奇函数 B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是5.已知数|a n |的前n 项和S n =n 2-9n ，第k 项满足5<a n <8,则k= A.9 B.8 C.7 D.66.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A.i<6B. i<7C. i<8D. i<97.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为A.15B.16C.17D.188.设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b ∈S ，对于有序元素对（a,b ）,在S 中有唯一确定的元素a*b 与之对应），若对任意的a,b ∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b ∈S,下列等式中不恒成立的是A.（a*b ）*a=aB.［a*(b*a)］*(a*b)=aC.b*(b*b)=bD.(a*b)* ［b*(a*b)］=b二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示） 10.若同量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝ .11.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A （2，1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0(22p px y =的焦点，则该抛物线的准线方程是 .12.如果一个凸多面体n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝图4 ; )(n f ＝ .（答案用数字或n 的解析式表示）13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33R t t y t x ∈⎩⎨⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2sin 2cos 2πθθθ，参数∈⎩⎨⎧+==y x ，则题C 的圆心坐标为，圆心到直线l 的距离为 .14.（不等式选讲选做题）设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O 的直径6=AB ，C为圆周上一点，3=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D 、E ，则∠DAC ＝，线段AE 的长为 .图5三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、.（1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围. 17.(本题满分12分)下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =a x b+; （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5） 18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y=x 相切于坐标原点O .椭圆9222y ax +＝1与圆C 的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.（1）求圆C 的方程.（2）试探安C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点P 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积.（1）求V (x )的表达式；（2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？（3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值 20.（本小题满分14分）已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2+2x -3-a ,如果函数y =f (x )在区间［-1,1］上有零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2+x -1,α、β是方程f (x )=0的两个根（α>β）.f ′(x )是f (x )的导数.设a 1＝1，a n +1=a n -)()(n n a f a f '(n =1,2,…). (1)求α、β的值；(2)证明：任意的正整数n ，都有a n >a ;(3)记b n -αβ--n n a a ln (n =1,2,…),求数列{b n }的前n 项和S n .试卷类型：B2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

2007年高考.广东卷.文科数学试题及详细解答

绝密★启用前试卷类型：A2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题。

满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答。

答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题号（或题组号），对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式V =31Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 用最小二乘法求线性回归方程系数公式x b y n xn x yx n y x b ni i ni i i-=-∑-∑===,2121一、选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|10}M x x =+>,1{|0}1N x x=>-,则M N =A ．{x|-1≤x ＜1}B ．{x |x>1}C ．{x|-1＜x ＜1}D ．{x |x ≥-1} 【解析】(1,),(,1)M N =-+∞=-∞,故M N (1,1)=-,选(C).2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b=A ．-2B ．12-C. 12D ．2 【解析】(1)(2)(2)(21)bi i b b i ++=-++,依题意202b b -=⇒=, 选(D).3.若函数f(x)=x 3(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是 A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D ．单涮递增的奇函数【解析】函数3()y f x x =-=-单调递减且为奇函数,选(B).4．若向量,a b 满足||||1a b ==,a 与b 的夹角为60︒,则a a a b ⋅+⋅= A ．12 B ．32C.12+ D ．2【解析】23||||||cos602a a ab a a b ⋅+⋅=+⋅︒=,选(B).5．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地。

2007年全国统一考试数学卷(广东.理)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．已知函数()f x =M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N =A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|1}x x <D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = A ．2-B ．12-C ．12D ．2 3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是 A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数 4．客车从甲地以60km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h 的速度匀速行驶1小时到达内地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是s s ss A ． B ． C ． D ．5．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =A ．6B ．7C ．8D ．96．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是Ａ．9i < Ｂ．8i < Ｃ．7i < Ｄ．6i <7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A B C D ，，，四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A B C D ，，，四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18 8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是 A ．()**a b a a =B ． ()**b b b b =C ．[()]()****a b a a b a =D ．()[()]****a b b a b b =图3图1 图2身高/cm二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为．（答案用分数表示）10．若向量，a b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为120，则a a +a b = ．11．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(21)A ，，若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是．12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.这些直线中共有()f n 对异面直线，则(4)f = ；()f n = ．（答案用数字或n 的解析式表示） 13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩（参数t ∈R ），圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，），则圆C 的圆心坐标为，圆心到直线l 的距离为．14．（不等式选讲选做题）设函数()213f x x x =-++，则(2)f -= ；若()5f x ≤，则x 的取值范围是．15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，则DAC =∠ ，线段AE 的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．（1）若5c =，求sin A ∠的值；（2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．图5图4下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy，已知圆心在第二象限、半径为C与直线y x=相切于坐标原点O．椭圆22219x ya+=与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．如图6所示，等腰ABC △的底边AB =3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． 20．（本小题满分14分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，．（1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>；（3）记ln (12)n n n a b n a βα-==-，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ．图6PED F BA2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)试题参考答案一、选择题：CBDC BCBA 二、填空题：9.91 10.21 11.45-=x 12.2)1(+n n ；12；2)2)(1(--n n n (底面内共有2n C 条直线,每一条直线与2-n 条侧棱组成异面直线) 13.(0，2)； 14.6；]1,1[- 15.6DAC π∠=；3(弧BC 、弧CE 都为60°,故弧AE 也为60°，故AE=EC=CB)三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5，则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>==，∴si n ∠A. （2）若∠A 为钝角，则391600c c -++<⎧⎨≠⎩ 解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞.17．解：(1) 散点图略. (2)4166.5i ii X Y ==∑, 4222221345686ii X==+++=∑, 4.5X =, 3.5Y =,266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯-, ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=. 所求的回归方程为 0.70.35y x =+. (3) 100x =, 700.3570.35y =+=.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨). 18．解：（1）设圆C 的圆心为)0)(,(>n n m .则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆C 的方程为 22(2)(2)8x y ++-=.（2）由条件可知a =5，∴椭圆方程为221259x y +=，其右焦点为F(4，0).若存在点Q ，则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称.直线CF 的方程为340x y +-=，设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在点Q 412(,)55，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长.19．解：（1）由折起的过程可知， PE ⊥平面ABC，ABC S ∆=，2254BEFBDC x S S x ∆∆=⋅, 212669x S ACFE-=,21(9)12x x -(0x <<（2）21'())4V x x =-，所以(0,6)x ∈时，'()0v x >，V(x)单调递增；6x <<'()0v x <，V(x)单调递减.因此x=6时，V(x)取得最大值（3）过F 作MF//AC 交AD 与M,则212MB BE ==，PM=MF BF PF =====，在△PFM 中，84721cos 847PFM -∠==，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17. (此问也可用空间向量求解：以E 为原点，EA 、EF 分别为x 、y 轴)20．解1：函数()y f x =在[-1,1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1,1]上有解. a=0时，不符合题意,所以a ≠0.方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或(1)0(1)048(3)01[1,1]2af af a a a-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩解得实数a的取值范围是a ≤或a ≥1. 解2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0.又2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解 212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-在[-1，1]上的值域. 设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则t ∈[1,5]，21(3)217(6)22t y t t t --=⋅=+-，设2277(),'()t g t t g t t t-=+=，t ∈时，'()0g t <，g(t)单调递减，t ∈时，'()g t >0,g(t)单调递增，∴y的取值范围是3,1]，_ F 图6_P_ E_ D _C B_AM∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解⇔1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤.21．解：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，∴αβ=. （2）'()21f x x =+，221112121nn nn n n n a a a a a a a ++-+=-=++5114(21)4212n n a a =++-+. 11a α=>.用数学归纳法可证n a α=（n=1,2,…）.(22112211(3) .n n n n n n n nn a a a a a a a a βαβα+++++++-==-⎛⎫+ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∴12n n b b +=, 又1111ln4ln2a b a βα-===-, ∴数列{}n b 是一个首项为 14ln2+,公比为2的等比数列. ∴)()1212421ln 122n n n S -==--.。

2007年全国统一考试数学卷(广东.文)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．一、选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|10x +>}，N={x|101x>-}，则M ∩N= A ．{x|-1≤x ＜1} B ．{x|x >1} C ．{x|-1＜x ＜1} D ．{x|x ≥-1}2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b = A ．-2 B ．12-C.21D ．2 3．若函数3()f x x =(x R ∈)，则函数()y f x =-在其定义域上是A ．单调递减的偶函数B .单调递减的奇函数C ．单凋递增的偶函数 D.单调递增的奇函数4．若向量a 、b 满足|a |=|b |=1，a 与b 的夹角为60︒，则a a +a b = A ．12 B ．32 C. 12+．2 5．客车从甲地以60km ／h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km ／h 的速度匀速行驶l 小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间关系的图象中，正确的是6．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n B ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ C. 若,l n m n ⊥⊥，则//l m D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ 7．图l 是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1A 、2A 、…、10A (如2A 表示身高(单位：cm )在[150，155) 内的学生人数)．图2是统计图l 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm (含160cm ，不含180cm )的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．9i <B ．8i <C ．7i <D ．6i <8．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A ．310 B ．15 C ．110 D ．1129．已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为 A ．6,6T πϕ==B ．6,3T πϕ==C ．6,6T ππϕ==D ．6,3T ππϕ==10．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、 D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为A ．18B ．17C ．16D ．15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．11．在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是．12．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是．13．已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点(2,)6π到直线l 的距离为．15．(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O 的直径AB=6， C 为圆周上一点，3BC =.过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分14分)已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC =，求c 的值；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．17．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.18.(本小题满分12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=)19.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数2()1f x x x =+-，α、β是方程()0f x =的两个根(αβ>)，()f x '是)(x f 的导数.设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'(1,2,)n =. (1)求α、β的值；(2)已知对任意的正整数n 有n a α>,记ln n n n a b a βα-=-(1,2,)n =.求数列{n b }前n 项和n S .21．(本小题满分l4分)已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(文科)试题参考答案一、选择题: CDBBC DBAAC二、填空题: 11. 28y x = 12. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 13. 2n -10； 8 14. 2 15. 30︒三、解答题:16.解: (1) (3,4)AB =--, (3,4)AC c =--,由 3(3)162530AB AC c c =--+=-= 得 253c =. (2) (3,4)AB =--, (2,4)AC =-, cos5AB AC A AB AC∠===sin 5A ∠==. 17．解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD.(1) ()1864643V =⨯⨯⨯=. (2) 该四棱锥有两个侧面V AD,VBC 是全等的等腰三角形,且BC 边上的高为1h ==另两个侧面V AB,VCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 25h ==.因此 112(685)4022S =⨯⨯⨯⨯=+18解: (1) 散点图略. (2)4166.5i ii X Y ==∑, 4222221345686ii X==+++=∑, 4.5X =, 3.5Y =,266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯-, ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯=. 所求的回归方程为 0.70.35y x =+.(3) 100x =, 700.3570.35y =+=.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨). 19解:(1) 设圆C 的圆心为)0)(,(>n n m .则 222m nn =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得22m n =-⎧⎨=⎩所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-=.(2) 由已知可得210a =,5a =.椭圆的方程为221259x y +=,右焦点为 F(4, 0). 假设存在Q 点(,)x y 使QF OF =, 则F 在OQ 的中垂线上，又O 、Q 在圆C 上，所以O 、Q 关于直线CF 对称.直线CF 的方程为340x y +-=，设Q （x,y ），则334022yx x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以存在点Q 412(,)55，使Q 到椭圆的右焦点F 的距离等于线段OF 的长.20解:(1) 由 210x x +-=得x =α∴=β=.(2) ()21f x x '=+, 221112121n n n n n n n a a a a a a a ++-+=-=++.(22112211.n n n n n n n nn a a a a a a a a βαβα++++++-==-⎛⎫ ⎪⎛⎫-== ⎪-⎝⎭∴ 12n n b b +=, 又1111ln4ln2a b a βα-+===-∴数列{}n b 是一个首项为 14ln2公比为2的等比数列.∴)()4ln1212421ln 122n n n S -+==--. 21解1: 若0a =,()23f x x =-, 显然在[1,1]-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 得a =当a =, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上；当()()()()11150f f a a -=--≤,即15a ≤≤时,()y f x =也有零点在[]1,1-上；当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或32a -<. 因此，a 的取值范围是 1a ≥ 或a ≤. 解2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0.又2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解 212132x a x -⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-在[-1，1]上的值域. 设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则t ∈[1,5]，21(3)217(6)22t y t t t --=⋅=+-，设2277(),'()t g t t g t t t -=+=，t ∈时，'()0g t <，g(t)单调递减，t ∈时，'()g t >0,g(t)单调递增，∴y的取值范围是3,1]，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解⇔1a∈3,1]1a ⇔≥或a ≤.。

2007年广东省高考数学试卷(理科)及解析

2007年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知函数f（x）=定义域为M，g（x）=ln（1+x）定义域N，则M∩N等于（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．∅2．（5分）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．2 B．C．D．﹣23．（5分）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数4．（5分）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k＜8，则k等于（）A．9 B．8 C．7 D．66．（5分）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜97．（5分）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．188．（5分）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）A．（a*b）*a=a B．[a*（b*a）]*（a*b）=a C．b*（b*b）=b D．（a*b）*[b*（a*b）]=b二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）9．（5分）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为．（答案用分数表示）10．（5分）若向量a，b满足||=||=1，的夹角为60°，则=．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是．12．（5分）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=；f（n）=．（答案用数字或n的解析式表示）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为．14．（5分）设函数f（x）=|2x﹣1|+x+3，则f（﹣2）=；若f（x）≤5，则x 的取值范围是．15．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC 为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．17．（12分）．x3456y2 . 5344.5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）18．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O ．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．（14分）如图所示，等腰△ABC 的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．20．（14分）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有a n＞α；（3）记（n=1，2，…），求数列{b n}的前n项和S n．2007年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2007•广东）已知函数f（x）=定义域为M，g（x）=ln（1+x）定义域N，则M∩N等于（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x＜1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．∅【分析】根据题目中使函数有意义的x的值求得函数的定义域M和N，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，∴由1﹣x＞0求得函数的定义域M={x|x＜1}，和由1+x＞0 得，N=[x|x＞﹣1}，∴它们的交集M∩N={x|﹣1＜x＜1}．故选C．2．（5分）（2007•广东）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．2 B．C．D．﹣2【分析】本题主要考查复数的乘法运算以及纯虚数的概念等基础知识，属容易档次．【解答】解：（1+bi）（2+i）=（2﹣b）+（1+2b）i，则，∴b=2选A．3．（5分）（2007•广东）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数【分析】本题主要考查三角函数的最小正周期和奇偶性，也涉及到对简单三角变换能力的考查．见到三角函数平方形式，要用二倍角公式降幂，变为可以研究三角函数性质的形式y=Asin（ωx+φ）的形式．【解答】解：∵f（x）=，∴y=f（x）最小周期为π的偶函数，故选D4．（5分）（2007•广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间C之间关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】本题的常规方法建立实际问题中的分段函数模型，然后研究分段函数的图象．其实，客观题往往有打破常规的捷径，如此题抓住三个点，即（1，60），（1.5，60），（2.5，140），则很容易地得到答案B，体现了描点法的精细思考．【解答】解：由题意得；，抓住三个点，即（1，60），（1.5，60），（2.5，140），对照选项选B．故选：B．5．（5分）（2007•广东）已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣9n，第k项满足5＜a k ＜8，则k等于（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】先利用公式a n=求出a n，再由第k项满足5＜a k＜8，求出k．【解答】解：a n==∵n=1时适合a n=2n﹣10，∴a n=2n﹣10．∵5＜a k＜8，∴5＜2k﹣10＜8，，∴k=8，∴＜k＜9，又∵k∈N+故选B．6．（5分）（2007•广东）图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9【分析】由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．【解答】解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，当i＜8时就会返回进行叠加运算，当i≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．故答案为：i＜8．7．（5分）（2007•广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（）A．15 B．16 C．17 D．18【分析】本题主要考查解决实际问题的能力，研究生活中的最优化模型，体现了对创新思维能力的考查．根据已知，现在要将A，B两个维修点的零件调往C、D 两个维修点，由于A、D两个维修点相邻，且D维修点的零件缺口最大，故要首先考虑从A点调零件到D点．【解答】解：D处的零件要从A、C或B处移来调整，且次数最少．方案一：从A处调10个零件到D处，从B处调5个零件到C处，从C外调1个零件到D处，共调动16件次；方案二：从B处调1个零件到A处，从A处调11个零件到D处，从B外调4个零件到C处，共调动16件次．故选B．8．（5分）（2007•广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）A．（a*b）*a=a B．[a*（b*a）]*（a*b）=a C．b*（b*b）=b D．（a*b）*[b*（a*b）]=b【分析】本题主要考查应用新定义解决数学问题的能力，体现了对创新思维能力的考查力度．根据已知中a*（b*a）=b，对四个答案的结论逐一进行论证，不难得到正确的结论．【解答】解：根据条件“对任意的a，b∈S，有a*（b*a）=b”，则：选项B中，[a*（b*a）]*（a*b）]=b*（a*b）=a，一定成立．选项C中，b*（b*b）=b，一定成立．选项D中，（a*b）*[b*（a*b）]=b，一定成立．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，13-15题为选做题，选做其中2道题，满分30分）9．（5分）（2007•广东）甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为．（答案用分数表示）【分析】本题是一个古典概型，从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球表示从甲袋中取得一个红球且从乙袋中取得一个红球，试验发生的总事件数是C61C61，满足条件的事件数是C41C51+C21C11，由古典概型公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，记“从甲、乙两袋中各随机取出一个球取出的两球是红球”，为事件A试验发生的总事件数是C61C61=36，满足条件的事件数是C41C11=4，由古典概型公式得到P（A）==，故答案为：．10．（5分）（2007•广东）若向量a，b满足||=||=1，的夹角为60°，则=．【分析】利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积，利用向量的模的平方等于向量的平方，将求出的值代入代数式即得．【解答】解：∵，∴=1+=．故答案为11．（5分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是x=﹣．【分析】先求出线段OA的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到准线方程．【解答】解：依题意我们容易求得直线的方程为4x+2y﹣5=0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=，从而得到准线方程x=﹣．故答案为：x=﹣．12．（5分）（2007•广东）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条，这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）=12；f（n）=．（答案用数字或n的解析式表示）【分析】本题主要考查合情推理，以及经历试值、猜想、验证的推理能力．凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，过顶点与底边上每个顶点都可确定一条侧棱所在的直线，过底面上任一点与底面上其它点均可确定一条直线（边或对角线），综合起来不难得到第一空的答案，因为底面上所有的直线均共面，故每条侧棱与不过该顶点的其它直线都是异面直线．【解答】解：凸多面体是n棱锥，共有n+1个顶点，所以可以分为两类：侧棱共有n条，底面上的直线（包括底面的边和对角线）条两类合起来共有条．在这些直线中，每条侧棱与底面上不过此侧棱的端点直线异面，底面上共有直线（包括底面的边和对角线）条，其中不过某个顶点的有=条所以，f（n）=，f（4）=12．故答案为：，12，．13．（5分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为，（参数θ∈[0，2π]），则圆C的圆心坐标为（0，2），圆心到直线l的距离为．【分析】先利用两式相加消去t将直线的参数方程化成普通方程，然后利用sin2θ+cos2θ=1将圆的参数方程化成圆的普通方程，求出圆心和半径，最后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即可．【解答】解：直线l的参数方程为（参数t∈R），∴直线的普通方程为x+y﹣6=0圆C的参数方程为（参数θ∈[0，2π]），∴圆C的普通方程为x2+（y﹣2）2=4∴圆C的圆心为（0，2），d=故答案为：（0，2），14．（5分）（2007•广东）设函数f（x）=|2x﹣1|+x+3，则f（﹣2）=6；若f （x）≤5，则x的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】直接代入﹣2求出函数值f（﹣2），f（x）≤5，去掉绝对值符号，对x 分类讨论，即x≥，和x分别解不等式组即可．【解答】解：f（﹣2）=|2•（﹣2）﹣1|+（﹣2）+3=6，将f（x）=|2x﹣1|+x+3≤5变形为或，解得或，即﹣1≤x≤1．所以，x的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：6；[﹣1，1]．15．（2007•广东）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，垂足为A，以腰BC为直径的半圆O切AD于点E，连接BE，若BC=6，∠EBC=30°，则梯形ABCD的面积为9 ．【分析】连接EC，EO．根据梯形的面积等于梯形的中位线长乘以高，显然中位线即是半圆的半径，即为3．故只需求得该梯形的高．根据梯形的中位线，只需求得DE的长，首先根据30度的直角三角形BCE求得CE的长，再根据弦切角定理求得∠CED=30°，进一步根据锐角三角函数求得DE的长，再根据梯形的面积公式进行计算．【解答】解：如图连接EC，∵BC为半圆O的直径，∴BE⊥EC（1分）∵∠EBC=30°，∴EC=BC=×6=3连接OE，∴OE=OB=3，∠BEO=30°∵AD与⊙O相切于点E，∴OE⊥AD∴∠OEC=60°，∴∠DEC=30°∴DC=EC=∴DE=（3分）∵OE∥DC∥AB，OC=OB，∴OE是梯形的中位线∴AE=DE=（5分）∴AD=2DE=3∵AD⊥AB，∴DA为梯形ABCD的高∴S=OE•AD=3×3 ．（7分）梯形ABCD故答案为：9．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2007•广东）已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）（1）若c=5，求sin∠A的值；（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．【分析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．【解答】解：（1）根据题意，，，若c=5，则，∴，∴sin∠A=；（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；17．（12分）（2007•广东）．x3456y2344. 5. 5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）【分析】（1）依据描点一一描点画图即可；（2）先算出x和y的平均值，有关结果代入公式即可求a和b的值，从而求出线性回归方程；（3）将x=100时代入线性方程得到y的值，就能预测生产100吨甲产品的生产能耗情况．【解答】解：（1）根据题意，作图可得，（2）由系数公式可知，，，，所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；（3）x=100时，y=0.7x+0.35=70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．18．（14分）（2007•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设出圆的标准方程，由相切和过原点的条件，建立方程求解．（2）要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为圆心，半径为2的圆（x─4）2+y2=8与（1）所求的圆的交点数．【解答】解：（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），则该圆的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则=2即|m﹣n|=4①又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m2+n2=8②联立方程①和②组成方程组解得故圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2=8；（2）|a|=5，∴a2=25，则椭圆的方程为=1其焦距c==4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．通过联立两圆的方程，解得x=，y=．即存在异于原点的点Q（，），使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．19．（14分）（2007•广东）如图所示，等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积．（1）求V（x）的表达式；（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．【分析】（1）先求底面面积，再求出高，即可求V（x）的表达式；（2）利用导数，来求V（x）的最大值，（3）过F作MF∥AC交AD于M，得到异面直线所成的角，然后求异面直线AC 与PF所成角的余弦值．【解答】解：（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，V（x）=（）（2），所以x∈（0，6）时，v'（x）＞0，V（x）单调递增；时v'（x）＜0，V（x）单调递减；因此x=6时，V（x）取得最大值；（3）过F作MF∥AC交AD与M，则，PM=，，在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为．20．（14分）（2007•广东）已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a，如果函数y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点，求a的取值范围．【分析】y=f（x）在区间[﹣1，1]上有零点转化为（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数在[﹣1，1]上的值域，再用分离常数法求函数在[﹣1，1]的值域即可．【解答】解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，又∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解，⇔（2x2﹣1）a=3﹣2x在[﹣1，1]上有解在[﹣1，1]上有解，问题转化为求函数[﹣1，1]上的值域；设t=3﹣2x，x∈[﹣1，1]，则2x=3﹣t，t∈[1，5]，，设，时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，∴y的取值范围是，∴f（x）=2ax2+2x﹣3﹣a=0在[﹣1，1]上有解⇔∈⇔a≥1或．故a≥1或a≤﹣．21．（14分）（2007•广东）已知函数f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数，设a1=1，（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有a n＞α；（3）记（n=1，2，…），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）由f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β）可求得；（2）由f'（x）=2x+1，=，由基本不等式可知，依此有（3），，数列{b n}是等比数列，由其前n项和公式求解．【解答】解：（1）∵f（x）=x2+x﹣1，α，β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），∴；（2）f'（x）=2x+1，=，∵a1=1，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴，同样，（n=1，2），（3）而α+β=﹣1，即α+1=﹣β，，同理，又。