九年级上册数学教案 第2章 命题与证明 定理与证明
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案第一章：命题的概念与分类1.1 命题的定义1.2 命题的分类1.2.1 真命题与假命题1.2.2 简单命题与复合命题1.2.3 陈述句与疑问句第二章：定理与证明2.1 定理的定义2.2 定理的性质2.3 证明的类型2.3.1 直接证明2.3.2 间接证明2.3.3 综合证明第三章：几何图形的性质与判定3.1 线段的性质3.2 直线的性质3.3 三角形的性质3.4 四边形的性质3.5 圆的性质第四章：三角形的判定与性质4.1 三角形的判定条件4.2 三角形的内角和定理4.3 三角形的边长关系4.4 三角形的判定与性质的综合应用第五章：平行线的判定与性质5.1 平行线的判定条件5.2 平行线的性质5.3 平行线的判定与性质的综合应用第六章：全等三角形的判定与性质6.1 全等三角形的定义6.2 全等三角形的判定条件6.3 全等三角形的性质6.4 全等三角形的判定与性质的综合应用第七章：相似三角形的判定与性质7.1 相似三角形的定义7.2 相似三角形的判定条件7.3 相似三角形的性质7.4 相似三角形的判定与性质的综合应用第八章：比例线段的性质与判定8.1 比例线段的定义8.2 比例线段的性质8.3 比例线段的判定条件8.4 比例线段的性质与判定的综合应用第九章：圆的性质与判定9.1 圆的定义与性质9.2 圆的判定条件9.3 圆的性质与判定的综合应用9.4 圆周角定理9.5 圆的内接四边形的性质第十章：数学归纳法与不等式的证明10.1 数学归纳法的定义与步骤10.2 数学归纳法的应用实例10.3 不等式的证明方法10.3.1 直接证明法10.3.2 综合法10.3.3 反证法10.4 不等式的证明与数学归纳法的综合应用重点和难点解析重点一：命题的分类与性质学生容易混淆真命题与假命题，以及简单命题与复合命题的区别。
需要重点讲解命题的分类，并通过实例帮助学生理解。
重点二：定理与证明的方法学生可能对证明的方法和类型不够熟悉，难以选择合适的证明方法。
《命题与证明》教案 (同课异构)2022年冀教版
命题与证明第1课时命题与证明(一)教学目标【知识与技能】1.理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念.2.会判断一个命题的真假,能区分公理、定理和命题.3.理解证明的含义,体验证明的必要性和数学推理的严密性.【过程与方法】1.通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑推理能力.2.根据命题的证明需要,要求学生画出图形,写出、求证,训练学生将命题转化为数学语言的能力.【情感、态度与价值观】1.通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风.2.让学生积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲,让学生认识数学与人类生活的密切联系,提高学生学习数学的积极性.重点难点【重点】学习命题的概念和命题、公理、定理的区分.【难点】严密完整地写出推理过程.教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体出示:有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈,想一想,铜线与地球赤道之间的空隙有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗?学生交流讨论后答复.生甲:都放不进去.生乙:枣能放进,苹果放不进.生丙:都能放进.师:我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C,那么铜线与地球赤道之间的间隙是-=≈0.26(m),可见,枣和苹果都能放进去.通过这个例子,你们受到了什么启发?生:有些东西想象的或感觉的不一定可靠,要具体分析.师:对,我们要做到有理有据.上一节研究三角形的性质时,我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是180°,但对这种方法,有的同学提出这样的疑问:在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角,只是接近180°的某个值;度量三个角,然后相加,不一定能准确地得到180°.这两种情况怎么解释呢?学生思考、交流、讨论.师:是这样的,研究几何图形时,从观察和实验得到的认识,有时会有误差,难以使人确信其结果一定正确.因此,就得在观察的根底上有理有据地说明理由,这就是说,要判断数学命题的真假,需要做必要的逻辑推理.二、共同探究,获取新知师:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断.教师多媒体出示:(1)长江是中国第一大河;(2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等;(3)2+3≠5;(4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除.教师找一名学生答复,然后集体订正.师:在逻辑学中,但凡可以判断出真(即正确)、假(即错误)的语句叫做命题.上面的(1)、(2)、(4)都是正确的命题,我们称之为真命题;(3)是错误的命题,我们称之为假命题.如果一个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断,那么它就不是命题,比方感慨句、疑问句、祈使句等.教师多媒体出示:(1)请关上窗户;(2)你明天骑车来上学吗?(3)天真冷啊!(4)今天晚上不会下雨.(5)昨天我们去旅游了.师:请同学们判断一下哪些语句是命题?学生讨论后答复,然后集体订正.师:每个命题都由题设、结论两局部组成,题设是事项,结论是由事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……〞的形式.有时我们为了简便,省略关联词“如果〞、“那么〞,如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等〞,可以写成“对顶角相等〞.以“如果……那么……〞为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q〞,或者说成“假设p,那么q〞,其中p是这个命题的条件(或假设),q是这个命题的结论(或题断).三、边讲边练教师多媒体出示:【例1】指出以下命题的条件与结论:(1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行;(2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等.生甲:(1)中“两条直线平行于同一条直线〞是条件,“两条直线平行〞是结论.生乙:“∠A=∠B〞是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等〞是结论.四、层层推进,深入探究师:将命题“如果p,那么q〞中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p〞,我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.我们在前面学习了命题都可以判断真假,当一个命题是真命题时,它的逆命题也是真命题吗?学生交流讨论后发表意见.师:我们可以看这样一个例子,“如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2”是真命题,它的逆命题是什么?生:它的逆命题是“如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角〞.师:它是真命题还是假命题呢?生:假命题.师:你是怎么判断它是假命题的呢?学生交流讨论后答复.教师多媒体出示以以下列图.师:对.我们可以举一个例子,比方角平分线分成的两个角,∠1=∠2,但显然,这里∠1与∠2就不是对顶角.像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.假设要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.五、练习新知,加深讨论师:请同学们看教材中本节例1后练习的第2题.教师找学生答复,然后集体订正得到:(1)假命题.反例:|-1|=|1|,但-1≠1.(2)假命题.反例:(-1)×(-1)>0,但-1是负数.(3)真命题.(4)假命题.假设两条不平行的直线与第三条直线相交,同位角不相等.师:我们来看第3题.教师找学生答复,然后集体订正得到:(1)真命题,(2)真命题,(3)真命题.师:在数学命题的研究中,为了确认某些命题是真还是假,需要对命题的正确性进行论证,在论证过程中,必须追本求源,真理不需要再作论证,其正确性是人们在长期实践中检验所得的真命题,作为判断其他命题真假的依据,这些作为原始根据的真命题称为公理.同学们想一下,我们学过哪些公理?生甲:经过两点有一条直线,并且只有一条直线.生乙:两点之间的所有连线中,线段最短.生丙:经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线,师:对,这些都是公理.有些命题,它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子?生甲:对顶角相等.生乙:三角形的三个内角和等于180°.生丙:等角的补角相等.师:对.推理的过程叫做证明.下面,我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等,两直线平行〞.教师多媒体出示:【例2】:如以下列图,直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2.求证:a∥b.师:假设“同位角相等,两直线平行〞这个定理,怎么证明“内错角相等,两直线平行〞这个结论?学生交流讨论,教师巡视指导.学生口述,教师板书推理过程.证明:∵∠1=∠2,()又∵∠1=∠3,(对顶角相等)∴∠2=∠3.(等量代换)∴a∥b.(同位角相等,两直线平行)教师强调:证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是条件,也可以是定义、公理、已经学过的定理.【例3】:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC.求证:OE⊥OF.证明:∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC()∴∠1=∠AOB,∠2=∠BOC.(角平分线的定义)又∵∠AOB+∠BOC=180°,()∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=90°.(等式性质)∴OE⊥OF.(垂直的定义)六、课堂小结师:我们今天学习了什么内容?学生答复,教师补充完善.教学反思在这节课上,通过举反例判定一个命题是假命题,培养学生学会从反面思考问题的方法.通过强调正面的严密性,让学生理解证明的必要性和推理过程要步步有据.在教学方法上我主要采用“举一〞,让学生独立思考、自由交流、集思广益,从而到达“反三〞的目的.尽可能地调动更多学生主动参与、交流、沟通,通过自身思维碰撞构建新的认知结构,从而准确地判断命题的真假,对于假命题举出反例.对于命题的证明,要求学生能写出证明的一般步骤并能做到步步有据.第2课时命题与证明(二)教学目标【知识与技能】1.掌握三角形内角和定理及其三个推论.2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述.3.探索并理解三角形的内角和定理.4.会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题.【过程与方法】1.经历探索并证明三角形内角和定理的过程.2.让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论.【情感、态度和价值观】1.通过三角形内角和定理的证明,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途.2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯.3.通过生动的教学活动,开展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数学的兴趣.重点难点【重点】三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理.【难点】三角形内角和定理的证明.教学过程一、创设情境,导入新知师:在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还记得它的内容吗?学生答复.师:我们用什么方法证明过这个命题?生:用折叠、剪拼和度量的方法.师:很好!在上节课我们学习了定理的概念,大家还记得吗?生:记得.它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.师:对.三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实,上节课我们还学习了简单命题的证明,现在我们来证明这个定理.二、共同探究,获取新知教师多媒体出示:【例1】证明三角形内角和定理:三角形的三个内角和等于180°.师:在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号;再结合图形,写出、求证.这个命题的条件和结论分别是什么?生:条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180°.师:这个命题与图形有关吗?生:有关.师:那我们要画出什么图形?生:一个三角形.教师在黑板上画出一个三角形.师:题目中没有、求证,我们自己要写出来.就是条件,求证的就是要证的结论.应该怎么写?生::△ABC,如以下列图.求证:∠A+∠B+∠C=180°.教师板书.师:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明.教师边操作边讲解:在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等,来代替这种操作.并且为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线.同学们看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题?生:延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B.教师作图:师:对.如果再知道什么条件就能得到结论了?学生讨论后答复.生:因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角,等于180°,如果∠A=∠1,那么就有∠A+∠B+∠C=∠1+∠2+∠ACB=180°,这样就证出了结论.师:对.现在我们看怎样证∠A=∠1?学生交流讨论.教师提示:∠A和∠1是什么角?生:内错角.师:怎么证两个内错角相等?生:两直线平行,内错角相等.师:在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行?生:证明CE∥BA,因为∠2=∠B,由同位角相等,两直线平行,就可以证出CE∥BA了.师:很好!我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚刚是分析,可以由结论推条件,但在书写过程中,要先写条件,再写结论,这个顺序要理清.学生口述,教师板书.师:现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两个角的和会是多少?生:90°.师:对.两个角的和是90°,我们可以称它们之间是什么关系?生:互余.师:对.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论.教师板书:推论1 直角三角形的两锐角互余.三、边讲边练师:三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能说出第一题的思路?生:过点A作DE∥BC后,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义就可证出了.师:你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整.学生完成练习第1题.师:第二个练习的思路大家清楚吗?学生交流讨论后答复.生:过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180°.师:很好!请同学们把证明过程补充完整.学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正.四、层层推进,深化理解教师多媒体出示:师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系?你能给出证明吗?学生小组交流讨论后答复.生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B.师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系?生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两个推论.教师板书:推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2可以用来计算角的大小,推论3可以用来比较两个角的大小.【例2】:如以下列图,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角.求证:∠1+∠2+∠3=360°.师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一下,怎么证明这个命题?学生交流讨论后答复,然后集体订正.证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠BAC+∠ABC,(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理)∴∠1+∠2+∠3=360°.五、课堂小结师:我们今天学习了哪些内容?你有什么收获?学生发言,教师点评.教学反思本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.在证明三角形内角和定理的第一种证法中,我带着他们回忆了以前证明此定理的操作方法,并说明这两种方法的思想是一致的.一方面可以让他们学会把实际问题用数学形式表示出来,另一方面培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移.在证明三角形内角和定理的练习中,我让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握,理清脉络.§27.3 过三点的圆一、课题§27.3 过三点的圆二、教学目标1.经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程.2.. 知道过不在同一条直线上的三个点画圆的方法3.了解三角形的外接圆和外心.三、教学重点和难点重点：经历过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程.难点：知道过不在同一条直线上的三个点画圆的方法.四、教学手段现代课堂教学手段五、教学方法学生自己探索六、教学过程设计〔一〕、新授A画圆，并考虑这样的圆有多少个？A、B画圆，并考虑这样的圆有多少个？A、B、C画圆，并考虑这样的圆有多少个？让学生以小组为单位，进行探索、思考、交流后，小组选派代表向全班学生展示本小组的探索成果，在展示后，接受其他学生的质疑.得出结论：过一点可以画无数个圆；过两点也可以画无数个圆；这些圆的圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上；经过不在同一直线上的三个点可以画一个圆，并且这样的圆只有一个.不在同一直线上的三个点确定一个圆.给出三角形外接圆的概念：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心.例：画三角形的外接圆.让学生探索课本第15页习题1.一起探究八年级〔一〕班的学生为老区的小朋友捐款500元，准备为他们购置甲、乙两种图书共12套.甲种图书每套45元，乙种图书每套40元.这些钱最多能买甲种图书多少套？分析：带着学生完成课本第13页的表格，并完成2、3 问题，使学生清楚通过列表可以更好的分析题目，对于情景较为复杂的问题情景可采用这种分析方法解题.另外通过此题，使学生认识到：在应不等式解决实际问题时，当求出不等式的解集后，还要根据问题的实际意义确定问题的解.〔二〕、小结七、练习设计P15习题2、3八、教学后记后备练习：1.一个三角形的三边长分别是6cm8cm10cm，，，那么这个三角形的外接圆面积等于2cm．2. 如图，有A，B，Ｃ三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，那么超市应建在〔〕A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处C。
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案第一章：命题的概念与分类1.1 命题的定义引入命题的概念，让学生理解命题是由题设和结论组成的陈述句。
举例说明命题的正确性和错误性。
1.2 命题的分类分类介绍简单命题和复合命题，包括并列命题、蕴含命题和条件命题。
引导学生理解命题的逻辑关系，如且、或、非等。
第二章：定理与证明2.1 定理的定义与特点解释定理的概念，强调定理是经过证明的命题。
引导学生了解定理的重要性和应用价值。
2.2 证明的方法与要求介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。
强调证明的逻辑严密性和步骤完整性。
第三章：几何定理与证明3.1 几何定理的分类分类介绍几何定理，如三角形的性质定理、四边形的性质定理等。
强调几何定理在几何学中的基础性作用。
3.2 几何证明的基本步骤与技巧引导学生掌握几何证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍几何证明中常用的技巧，如相似三角形的性质、平行线的性质等。
第四章：代数定理与证明4.1 代数定理的分类分类介绍代数定理，如多项式的性质定理、方程的解的定理等。
强调代数定理在代数学中的基础性作用。
4.2 代数证明的基本步骤与技巧引导学生掌握代数证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍代数证明中常用的技巧，如因式分解、恒等式的性质等。
第五章：命题、定理与证明的应用5.1 命题、定理与证明在数学中的应用通过实际问题引入命题、定理与证明的应用，让学生理解其在数学问题解决中的重要性。
引导学生运用命题、定理与证明的方法解决实际问题。
5.2 命题、定理与证明在其他学科中的应用引导学生思考命题、定理与证明在其他学科中的应用，如物理学、化学等。
鼓励学生探索命题、定理与证明在生活中的应用。
第六章：逻辑推理与命题、定理6.1 逻辑推理的基本概念引入逻辑推理的概念，让学生理解逻辑推理是推理的一种，是思维的基本形式。
解释演绎推理、归纳推理和类比推理等逻辑推理的基本类型。
中考数学知识点总结：命题、定理与证明
中考数学知识点总结：命题、定理与证明1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。
其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
1、命题及命题真伪的判断。
2、命题的条件和结论的区分。
3、写出命题的逆命题。
1、下列语句中，属于命题的是( )A、直线AB和CD垂直吗B、过线段AB的中点C画AB的垂线C、同旁内角不互补，两直线不平行D、连结A、B两点2、下列语句不是命题的是( )A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗?D、对顶角不相等3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( )A、垂直B、两条直线C、同一条直线D、两条直线垂直于同一条直线4、命题“直角都相等”的题设是，结论是。
5、把命题“有三个角是直角的四边形是矩形”改写成“如果……那么……”的形式：6、命题：①对顶角相等;②等式两边都加同一个数，结果仍是等式;③相等的角是对顶角;④同位角相等。
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案一、教学目标：1. 理解命题的概念，能够判断一个句子是否是命题。
2. 掌握定理的定义，了解定理的重要性和应用。
3. 学会如何阅读和理解证明，能够运用证明的方法解决问题。
二、教学内容：1. 命题的概念和分类。
2. 定理的定义和特点。
3. 证明的方法和技巧。
三、教学重点与难点：1. 重点：命题的概念，定理的定义，证明的方法。
2. 难点：证明的构思和推理过程。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索和发现。
2. 通过案例分析和讨论，培养学生的逻辑思维和推理能力。
3. 利用多媒体辅助教学，提供丰富的学习资源。
五、教学准备：1. 教材或教学资源：《命题、定理与证明》相关章节。
2. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
3. 教学工具：黑板、粉笔、PPT等。
教案示例：一、导入（5分钟）1. 引入命题的概念，让学生思考日常生活中遇到的命题。
2. 引导学生判断一个句子是否是命题。
二、命题的分类（10分钟）1. 讲解命题的分类，包括陈述句、疑问句、命令句等。
2. 举例说明不同类型的命题。
三、定理的定义（10分钟）1. 引入定理的概念，解释定理的定义和特点。
2. 给出几个经典的数学定理，如勾股定理、Pythagorean theorem等。
四、证明的方法（15分钟）1. 介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。
2. 通过示例讲解每种证明方法的步骤和应用。
五、课堂练习（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生运用所学的知识进行证明。
2. 引导学生分组讨论，互相交流解题思路。
六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结命题、定理和证明的概念和方法。
2. 鼓励学生提出问题，解答学生的疑惑。
教学反思：本节课通过问题驱动法和案例分析，引导学生理解和掌握命题、定理和证明的概念和方法。
在教学过程中，注意关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
通过课堂练习和讨论，培养学生的逻辑思维和推理能力。
命题定理与证明教案
命题定理与证明教案命题定理与证明教案一、教学目标1.了解命题定理的概念；2.掌握常见的命题定理；3.掌握命题证明的基本方法；4.培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重难点1.命题定理的概念和基本性质；2.命题证明的基本方法。
三、教学过程1.引入通过一个简单的例子引入命题定理的概念和证明方法。
假设有一个命题：“对于任意两个正整数a和b，如果a和b都是偶数，则它们的和也是偶数。
”请同学们讨论这个命题的真假以及如何证明它。
2.概念讲解命题定理的概念：命题定理是对于某个命题的推理，通过逻辑演绎规则和已知条件，推出某个命题的结论。
常见的命题定理：1）条件定理：如果一个命题中含有一个条件，那么可以通过假设这个条件为真，然后推导出其他结论。
2）直接证明法：通过运用已有的数学理论和定理来证明命题的真假。
3）间接证明法：假设命题的否定是真的，然后通过逻辑推理推出矛盾，从而证明命题的真实性。
4）数学归纳法：通过证明当命题对某个数成立时，也对其紧随其后的数成立，从而推导出命题对所有自然数成立。
3.案例分析通过几个经典的数学命题定理，引导学生理解命题的证明方法。
1）费马大定理：对于任何大于2的整数n，不存在正整数x、y和z使得xⁿ + yⁿ = zⁿ成立。
2）勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两腰长的平方和。
3）平均值不等式：对于任意n个正数，它们的算数平均数大于等于它们的几何平均数。
4.讲解方法通过具体的例子，教学命题的证明方法。
1）条件定理的证明方法：假设条件为真，然后推导出命题的结论。
2）直接证明法的证明方法：根据已经存在的数学理论和定理，逐步推导出命题的结论。
3）间接证明法的证明方法：假设命题的否定是真的，然后通过逻辑推理推导出矛盾，从而证明命题的真实性。
4）数学归纳法的证明方法：证明命题对某个数成立，然后证明当命题对某个数成立时，也对其紧随其后的数成立。
5.课堂练习设立一些练习题，让学生灵活运用所学的命题证明方法进行练习。
命题定理与证明教案完整版
命题定理与证明教案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《命题、定理与证明》教案教学目标知识与技能：1、了解命题、定义的含义；对命题的概念有正确的理解；会区分命题的条件和结论；知道判断一个命题是假命题的方法；2、了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性.过程与方法：1、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识；2、结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识.情感、态度与价值观：初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值.重点找出命题的条件（题设）和结论；知道什么是公理，什么是定理.难点命题概念的理解；理解证明的必要性.教学过程【一】一、复习引入教师：我们已经学过一些图形的特性，如“三角形的内角和等于180度”，“等腰三角形两底角相等”等.根据我们已学过的图形特性，试判断下列句子是否正确.DC B A1、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；2、两直线平行，同位角相等；3、同旁内角相等，两直线平行；4、平行四边形的对角线相等；5、直角都相等.二、探究新知（一）命题、真命题与假命题学生回答后，教师给出答案：根据已有的知识可以判断出句子1、2、5是正确的，句子3、4是错误的.像这样可以判断出它是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.教师：在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项，这样的命题常可写成“如果.......，那么.......”的形式.用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论.例如，在命题1中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论.有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果.........，那么...........”的形式，就可以分清它的题设和结论了.例如，命题5可写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等.”（二）实例讲解1、教师提出问题1（例1）：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......，那么.......”的形式，并分别指出命题的题设和结论.学生回答后，教师总结：这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”.这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”.2、教师提出问题2：把下列命题写成“如果.....，那么......”的形式，并说出它们的条件和结论，再判断它是真命题，还是假命题.（1）对顶角相等；（2）如果a＞b，b＞c，那么a=c；（3）菱形的四条边都相等；（4）全等三角形的面积相等.学生小组交流后回答，学生回答后，教师给出答案.（1）条件：如果两个角是对顶角；结论：那么这两个角相等，这是真命题.（2）条件：如果a＞b，b＞c；结论：那么a=c；这是假命题.（3）条件：如果一个四边形是菱形；结论：那么这个四边形的四条边相等.这是真命题.（4）条件：如果两个三角形全等；结论：那么它们的面积相等，这是真命题.（三）假命题的证明教师讲解：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”.例如，要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，只要举出一个反例：60度角是锐角，100度角是钝角，但它们的和不是180度即可.三、随堂练习课本P55练习第1、2题.四、总结1、什么叫命题什么叫真命题什么叫假命题2、命题都可以写成“如果.....，那么.......”的形式.3、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.【二】一、复习引入教师讲解：前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了.这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题.二、探究新知（一）公理教师讲解：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.我们已经知道下列命题是真命题：一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角相等.在本书中我们将这些真命题均作为公理.（二）定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的.从而说明证明的重要性.1、教师讲解：请大家看下面的例子：当n=1时，（n2-5n+5)2=1；当n=2时，（n2-5n+5)2=1；当n=3时，（n2-5n+5)2=1.我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数（n2-5n+5)2的值都是1呢？实际上我们的猜测是错误的，因为当n=5时，（n2-5n+5)2=25.2、教师再提出一个问题让学生回答：如果a=b，那么a2=b2.由此我们猜想：当a＞b时，a2＞b2.这个命题是真命题吗？［答案：不正确，因为3＞-5，但32＜（-5）2］教师总结：在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质.但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性.也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题.教师讲解：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.(三）例题与证明例如，有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题：直角三角形的两个锐角互余.教师板书证明过程.教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理.定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据.三、随堂练习课本P58练习第1、2题.四、课时总结1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理.2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理。
命题、定理与证明
又如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就 是在“同位角相等,两直线平行”这条公理 的基础上推理而出的,它又可以作为判定平 行线的依据.
公理、定理、命题的关系： 真命题
公理（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实）
命题
假命题
证明及证明的一般步骤（难点）
• 证明： 推理的过程叫做证明 • 证明的一般步骤： （1）根据题意，画图形 （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、 求证 （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径， 写出证明过程，并注明依据
2）两条直线相交，有且只有一个交点 3）不相等的两个角不是对顶角 4）一个平角的度数是180度 5）相等的两个角是对顶角 6）取线段AB的中点C 7）画两条相等的线段
课堂反馈P55
练习2.指出下列命题中的真命题和假命题:
(1)同位角相等,两直线平行; (真) ( 假) (真)
(2)多边形的内角和等于是180°;
P58练习 1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形 式，指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法 证明题（1）： （1）同旁内角互补，两直线平行；
如果两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两直线平行。
（2）三角形的外角和等于360°． 2.判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角 相等”是真命题还是假命题，并说明理由．
如果两个角是同位角,那么这两个角相等. ×
练习:把“对顶角相等”这个命题改写成“如
果…那么…”的形式.
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
P55练习1.把下列命题改写“如果…那么…”
的形式,并指出它的题设和结论。 (1)全等三角形的对应边相等.
如果两个三角形全等,那么它们的对应边分别对应相等.
定理与证明教案
定理与证明教案定理与证明教案1教学建议（一）教材分析1、知识结构2、重点、难点分析重点：真命题的证明步骤与格式．命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性．难点：推论证明的思路和方法．因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点．（二）教学建议1、四个注意（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据．（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理．一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题．这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的．（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断．如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法．只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的．但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等．（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由．2、逐步渗透数学证明的思想：（1）加强数学推理（证明）的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为，所以”句式，“如果，那么”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来．（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图（垂线、平行线）的能力和在对要证命题的理解（如分清题设、结论）的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法．（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练．首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理．在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题．教学目标：1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤．2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论．3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力．教学重点：证明的步骤与格式．教学难点：将文字语言转化为几何符号语言．教学过程：一、复习提问1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）二、例题分析例1、证明：两直线平行，内错角相等．已知：a∥b，c是截线．求证：∠1＝∠2．分析：要证∠1＝∠2，只要证∠3＝∠2即可，因为∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，易得出∠3＝∠2．证明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∵∠1＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．例2、证明：邻补角的平分线互相垂直．已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．求证：OE⊥OF．分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．证明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝∠AOB，同理∠2＝∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定义）．三、课堂练习：1、平行于同一条直线的两条直线平行．2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．四、归纳小结主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识．然后见投影仪．五、布置作业课本P143 5、（2），7。
命题与证明复习1湘教版九年级上册
B E D
F
C
本章知识运用
例4、求证：垂直与同一条直线的两条直线平行。 分析：命题的证明，需要根据题意画出图形，并结合图 形写出已知和求证，再加以证明。 E 1 A 已知：如图，AB⊥EF ， CD⊥EF. 求证：AB∥CD.
2
B
C F
D
本章知识运用
例5、如图，在梯形ABCD中，AD ∥BC，AB ∥DE， AF ∥DC,E、F两点在BC上，且四边形AEFD是平行四 边形。
（1）AD与BC有何关系？请说明理由。 （2）当AB=DC时，求证：四边形AEFD是矩形。
课堂小结
谈谈你这节课有什么收获。
1.定义、定理、公理 2.一般的,判断一件事情的句子叫做命题, 命 题分为真命题与假命题。 3.说明一个命题是假命题,通常只用找出一个 反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用 推理的方法,而不能光凭一个例子（即证明）。 4.反证法。
解:(1)(2)(3)是命题，(4)(5)(6)不是命题，(1)(2)真命题，(3)是假命题 对于命题(1)，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等。
……….
本章知识运用
例2、下列定理有逆定理吗？如果有，把它写出来。
（1）全等三角形的对应边相等； （2）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边 的一半。
分析：每个命题都有逆命题，但只有当逆命题为真命题时， 才可看作是原定理的逆定理，若逆命题为假命题，则原定 理没有逆定理 解（1）有逆定理，即：对应边相等的两个三角形是全等 三角形。
（2）有逆定理，即：端点在三角形的两边上，平行且 等于第三边一半的线段是三角形的中位线。
本章知识运用
例3、如图1，已知AB∥CD.求证：∠AEC= ∠ 1+ ∠ 2 A
第二章命题与证明《复习学案》九年级上册数学(湘教版) (1)第2课时
第二章命题与证明复习学案姓名： 班级： 学号： 命题人：李小平 课前热身：1. 下列语句是命题的是 ( )A .直线AB 平行于直线CD ； B .画出∠AOB 的平分线OC ； C ．你好，北京！D .对顶角相等． 2. 下列命题中是假命题的是（ ）A ．过已知直线上一点及该直线外一点的直线与已知直线必是相交直线；B ．直角的补角是直角；C ．同旁内角互补；D ．垂线段最短．3、下列命题正确的是（ ）A 对角线互相平分的四边形是菱形；B 对角线互相平分且相等的四边形是菱形；C 对角线互相垂直的四边形是菱形；D 对角线互相垂直平分的四边形是菱形；4.命题“直角都相等”的题设是________________，结论是______________．5.把“垂直于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式为：_________________________________________．6、命题“全等三角行的面积相等”的逆命题是 ，这个命题是 命题（填“真”或“假”） 考点链接：1、对某一件事作出 的句子叫做命题； 叫做真命题， 叫做假命题2、要说明一个命题是假命题，常用的方法是举出一个 .3、要说明一个命题是真命题，常用 方法4、证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知)，结论(求证); (2)根据题意，画出图形;(3)结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意，探索证明思路;(5)依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 典型例题：例1、已知命题：“如图, 点A 、D 、B 、E 在同一条直线上, 且AD=BE, AC ∥DF, 则⊿ABC ≌⊿DEF.”这个命题是真命题还是假命题? 如果是真命题, 请给出 证明; 如果是假命题, 请添加一个适当的条件, 使它成为真命题, 并加以证明.FEDCBA例2、如图右，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥DC ，M 为AB 的中点。
《命题、定理与证明》说课稿
命题、定理与证明说课稿一、说教材教材的地位和作用：命题是数学教学的基本依据，经过推理证实的命题如定理可以作为继续推理的依据，所以认识命题的定义、结构、真假是数学学习的主要任务之一。
而正确找出命题的题设和结论，是基础，特别是题设和结论不明显的命题，和难以判断真假的命题，是学习的重点。
本节课将通过一些具体的例子来了解基本概念，不必深究，不钻难题。
二、说教学目标知识与技能目标：了解命题、真命题、假命题、定理的含义能识别真假命题。
会区分命题的题设和结论。
过程与方法目标：通过命题的真假，培养分类思想。
通过命题的构成，培养学生分析法。
通过命题的构成，培养语言推理技能。
情感态度与价值观目标：通过命题、定理的具体含义，让学生体会到数学的严谨性。
通过学习命题真假，培养学生尊重科学、实事求是的态度。
通过学习命题的构成，使学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
三、教学重点定义、命题、公理、定理的概念；四、教学难点判定什么定义、命题、定理、公理，及找出命题的题设和结论。
五、说教法学法通过“目标定向，自主合作”，以实现学习目标为目的，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。
教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。
本节课的学习任务是让学生了解命题的概念，能区分命题的题设和结论，并初步认识真、假命题。
因此就内容看来，可能会较为枯燥、单调；因此在教学设计时，根据不同的学习任务进行了不同的教学设计。
在命题的概念教学中，与以往直接的告知学生概念不同，采用了让学生对两组语句进行比较、区别，然后再学生充分讨论的感性认识基础上，在提出命题的概念，能有效促进学生对命题概念的理解，然后再通过学生举例来加强巩固概念。
在命题的构成这一环节中，通过一个问题的思考与探讨，让学生了解到命题是由题设和结论两部分构成，同时感受到命题的常用表述形式，然后教师再加以总结分析，使学生对知识的认识更加透彻。
最新版初中数学教案《定理与证明》精品教案(2022年创作)
第2课时 定理与证明1．了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理；(重点)2．体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．一、情境导入体验证明的步骤：对于命题“如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直〞是否正确？转化为如下列图的图形，条件为AB∥CD，AB ⊥EF ，请问CD 与EF 垂直吗？为什么？二、合作探究探究点一：公理与定理以下平行线的判定方法中是公理的是( )A ．平行于同一条直线的两条直线平行B ．同位角相等，两直线平行C ．内错角相等，两直线平行D ．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线解析：A 是由公理推出的定理；C 是由B 推出的平行线的判定定理；D 是平行线的定义，只有B 是由画图实践得来的，符合公理的定义，应选B.方法总结：公理是不需要推理判断的公认的真命题；定理是需要用推理的方法来判断其正确的命题．探究点二：证明 【类型一】 直接证明非文字题如下列图，在直线AC 上取一点O ，作射线OB ，OE 和OF 分别平分∠AOB 和∠BOC.求证：OE⊥OF.解析：要证明某个结论，可从条件入手分析，也可以从结论逆推进行分析．要证OE⊥OF ，只需证∠EOF ＝90°，而∠EOF ＝∠EOB ＋∠BOF ，因此只需证∠EOB ＋∠BOF ＝90°.由OE 、OF平分∠AOB 和∠BOC 可得∠EOB ＋∠BOF ＝12(∠AOB ＋∠BOC)＝90°，所以得证OE⊥OF. 证明：∵OE 和OF 分别平分∠AOB 和∠BOC，∴∠EOB ＝12∠AOB ，∠BOF ＝12∠BOC.又∵∠AOB ＋∠BOC＝180°，∴∠EOB ＋∠BOF＝12(∠AOB＋∠BOC)＝12×180°＝90°，即∠EOF＝90°，∴OE ⊥OF.方法总结：从结论逆推进行分析得出条件，反过来的过程就是证明结论的过程．【类型二】 直接证明文字题求证：直角三角形的两个锐角互余．解析：分析这个命题的条件和结论，根据条件和结论画出图形，写出、求证，并写出证明过程．：如下列图，在△ABC 中，∠C ＝90°.求证：∠A 与∠B 互余．证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，又∠C＝90°，∴∠A ＋∠B ＝180°－∠C＝90°.∴∠A 与∠B 互余．方法总结：解此类题首先根据题意将文字语言变成符号语言，画出图形，最后再经过分析论证，并写出证明的过程．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧分类⎩⎪⎨⎪⎧公理：公认的真命题定理：经过证明的真命题证明：推理的过程经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理，让学生对真假命题有一个清楚的认识，从而进一步了解定理、公理的概念．培养学生的语言表达能力．三角形的稳定性【知识与技能】1.通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用.2.培养实事求是的学习作风和学习习惯.【过程与方法】1.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性.2.实物演示，激发学习兴趣，活泼课堂气氛.3.探究质疑，总结结果.和学生共同探究三角形稳定性的实例，答复课前提出的疑惑.【情感态度】1.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力.2.通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力.【教学重点】了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.【教学难点】准确使用三角形稳定性于生产生活之中.一、情境导入，初步认识课前准备：木条〔用硬纸条代替〕假设干、小钉假设干、小黑板.问题1 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，钢架桥，其中道理是什么？问题 2 盖房子时,在窗框未安装好之前.木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢? 活动挂架为什么做成四边形？【教学说明】问题设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导思考为什么要在这些地方用三角形，另一些地方又要用到四边形.注意接纳学生其他不同的思路.教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞.二、思考探究，获取新知老师演示P6探究内容，也可叫学生亲手实验，通过实际操作加深学生印象，完后请学生们交流讨论后答复得出了什么？教师根据学生们的答复进行简要归纳.【归纳结论】三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形有稳定性，窗框在未安装好之前也不会变形.三、运用新知，深化理解1.如图，一扇窗户翻开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 .2.以下列图形中哪些具有稳定性?【教学说明】本节课的内容较少，题目比较简单，在学生独立完成后，要求学生说明理由.【答案】1.三角形具有稳定性.2.〔1〕〔4〕〔6〕中的图形具有稳定性.四、师生互动，课堂小结三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本节课学习三角形稳定性，并板书课题.完成的教学目标是通过观察、实践、想象、推理、小组交流合作，使同学们了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用，培养同学们实事求是的学习作风和学习习惯，以及自主学习和独立思考的能力.。
定理与证明初中教学教案
定理与证明初中教学教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握基本的数学定理，能够熟练运用定理解决实际问题。
2. 培养学生逻辑思维能力和证明能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容1. 第一章：平行线的性质定理及证明平行线的性质定理平行线的证明方法2. 第二章：全等三角形的性质定理及证明全等三角形的性质定理全等三角形的证明方法3. 第三章：相似三角形的性质定理及证明相似三角形的性质定理相似三角形的证明方法4. 第四章：平方根及算术平方根的定理及证明平方根及算术平方根的定理平方根及算术平方根的证明方法5. 第五章：一元二次方程的解法定理及证明一元二次方程的解法定理一元二次方程的证明方法三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解每个定理的定义、性质和证明方法。
2. 运用案例分析法，结合具体例题，引导学生学会运用定理解决实际问题。
3. 采用小组讨论法，鼓励学生相互交流、合作探索，提高学生的证明能力。
4. 运用练习法，布置适量的课后习题，巩固所学知识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后习题，评估学生对定理的理解和运用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括逻辑思维、合作交流等方面。
4. 单元测试：定期进行单元测试，全面评估学生的学习效果。
五、教学资源1. 教材：《数学》初中教材相关章节。
2. 教辅资料：相关定理与证明的习题集、案例分析等。
3. 教学工具：黑板、粉笔、多媒体教学设备等。
六、教学步骤1. 引入新课：通过复习已学过的定理，引导学生进入新课的学习。
2. 讲解定理：详细讲解本节课要学习的定理，包括定理的定义、性质和证明方法。
3. 案例分析：运用具体例题，展示如何运用定理解决问题，引导学生学会运用定理。
4. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生相互交流证明方法，提高学生的证明能力。
5. 课堂练习：布置针对性的习题，让学生巩固所学知识。
命题与证明复习2湘教版九年级上册
例4、 如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边.求证： ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
B
证法三： 延长AD ∵∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C ∴∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C 即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
A 3 4 D 1 2
C
这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
例1、证明：等腰三角形两底角的平分线相 等。
已知：如图，在△ABC中， AB=AC，BD，CE是 △ABC的角平分线。 求证：BD=CE.
例2：如图在Δ ABC中AB=AC,∠BAC=900,直角
∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交 AB、AC于点E、F。
⑴求证：AE=CF
⑵是否还有其它结论。 A E
0
).
1 2 180 1 2 180
0
0
( BAC ABD ACD ),
BDC ( 等式性质 ).
BDC BAC ABD ACD （等量代换） . 即 BDC BAC B C .
假 设 不 得出结论 成 立
求 证 的 命 题 正 确
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
(2)根据题意,画出图形; (3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (4)分析题意,探索证明思路; (5)依据思路,运用数学符号和数学语言条 理清晰地写出证明过程;
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
前面我们已经学过的,用推理的方法得到的那些用黑体字表述 的图形的性质都可以作为定理.
2.4 证明1湘教版九年级上册
A
2
C
1 D
练 习
３．利用平行线的性质定理Ⅰ（即．两直线平行， 同位角相等），证明：两条平行线被第三条直线 所截，内错角相等． M 3 1 7 5 4 2 8 6
已知：直线 AB，CD被直线MN所截， ∠1= ∠2 ． A 求证：∠7= ∠2， ∠5= ∠4， C
B D
已知:DE∥BA，DF∥CA， 求证：∠FDE=∠A；
（等量减等量，差相等）
（对顶角相等） （已知） （等量代换）
同理可证
∠5 =∠6．
∵ ∠1 =∠7 ， ∠1 =∠2， ∴ ∠7 = ∠2． 同理可证 ∠5 =∠4．
（对顶角相等） （已知）
（等量代换）
∵ ∠1+∠5 =180º ， ∠1=∠2， ∴ ∠2+∠5 =180º ． 同理可证∠7+∠4 =180º ． （等量代换）
2 C
1 D
（平角的定义） （三角形的内角和定理） （等量减等量，差相等） （等量减等量，差相等） （等量代换）
练 习
２．证明：三角形的外角大于任何一个和它不相 邻的内角．
已知： ∠1是△ABC 的一个外角，∠A 和∠B是和它不相邻的内角， ∠2是和它 相邻的内角． B 求证：∠1＞ ∠A ， ∠1＞∠B ．
2.如图，已知：AB∥CD，∠B=∠C， 求证：∠E=∠F
如图，AB∥CD，则 ∠A、∠C、∠E的大小 有什么关系？并说明理由
如图，AB∥DE，则 ∠B、∠C、∠E的大 小有什么关系？并说明理由
链接中考（2007福州）如图，直线AC∥BD，连接AB,直线
AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定： 线上各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA、 PB,构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角。（提示：有共同端点 的两条重合的射线所组成的角是0°） (1 ) 当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD。 （2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否还 成立（直接回答成立或不成立）？ （3）当动点P 在第③部分时，全面探究∠PAC、∠APB、 ∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结 论，选择其中一种结论加以证明。
命题与证明教案
命题与证明教案【篇一：《命题与证明》教案】《命题与证明》教案教学目标1、了解互逆命题.会写出一个命题的逆命题.了解定理、逆定理和互逆定理.2、体会证明的必要性.3、能运用基本事实和相关定理进行简单的证明.教学过程一、复习命题的有关概念.二、探索新知1、观察与思考(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.(2)两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等. 思考：(1)找出命题(1)(2)中的条件和结论.(2)在这两个命题中，其中一个命题的条件和结论，与另一个命题的条件和结论有怎样的关系？(3)请再举例说明两个具有这种关系的命题.像这样，一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题.在两个互逆的命题中，如果我们将其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就是这个原命题的逆命题.做一做请写出下列命题的逆命题，并指出原命题和逆命题的真假性：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.(2)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.(3)如果一个数能被3整除，那么这个数也能被6整除.(4)已知两数a，b.如果a＋b＞0，那么a－b＞0.2、证明的概念根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理.这种推理的过程叫做证明.3、例题学习证明：平行于同一条直线的两条直线平行.像这样用文字叙述的命题的证明，应当按下列步骤进行：第一步，依据题意画图，将文字语言转换为符号(图形)语言.第二步，根据图形写出已知、求证.第三步，根据基本事实、已有定理等进行证明.如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理.课堂小结这节课你有什么收获？【篇二：命题与证明教案】命题与证明教案（九年级上册）第二章命题与证明主要内容：定义与命题、公理与定理以及证明。
本章是学生用逻辑推理的方法对命题进行研究的开始，是今后学习证明的基础。
北师大版九年级上册数学教学计划(3篇)
北师大版九年级上册数学教学计划一、学情分析：新学期，根据九年级合班的实际，首先是先摸清底子，稳住学生，然后根据学生学情分布情况，重新划分学习小组，对新合班过来的学生，做好各方面的工作，使他们迅速适应新环境，然后，尽快帮他们找到新的学习榜样和新学伴，帮他们树立竞争意识和发展意识以及创新意识，鼓励大家在新学期，获得更大的进步，取得更大的发展。
二、教学内容本学期所教九年级数学包括：,第二十一章《一元二次方程》第二十二章《二次函数》,第二十三章《旋转》,第二十四章《圆》、第二十五章《概率初步》。
代数三章,几何两章。
而且本学期要授完下册第二十七章内容。
三、教学目标：本学期的主要教学任务目标：（1）根据学情，调整好教学进度，优化学习方法，激活知识积累。
（2）形成知识网络，解决实际问题。
（3）强化规范训练，提高应考能力。
（4）关注学生特长需求，做好学生心理疏导。
具体的说，教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。
会用归纳演绎、类比进行简单的推理。
使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。
提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。
顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。
培养学生应用数学知识解决问题的能力。
知识技能目标会解一元二次方程;理解旋转的基本性质;掌握圆及与圆有关的概念、性质;理解概率在生活中的应用。
过程方法目标：培养学生的观察、探究、推理、归纳的能力,发展学生合情推理能力、逻辑推理能力和推理认证表达能力,提高知识综合应用能力。
四、提高学科教育质量的主要措施1、认真做好教学工作。
把认真教学作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。
2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说：激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
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定理与证明
教学目标
1使学生理解公理和定理的意义，并能对公理与定理加以区别
2使学生理解证明命题的思路、书写的格式，使学生对几何的重要内容之一——推理论证，有初步的认识，从而初步培养学生思维的条理性和逻辑性
教学重点和难点
重点是命题证明的一般步骤，难点是探索命题证明的思路以及思维方向
教学过程设计
一、复习命题，引入公理和定理
教师提问：学生思考后回答
1什么叫命题?请你说出一个数学命题
2什么叫真命题?什么叫假命题?请你分别举出两个实例
3在前面学过的真命题中，还有什么名称?
当学生回答完第三个问题后，教师再问
4公理和定理有什么区别?
先由学生随意回答，互相补充，然后教师与学生一起归纳总结
公理：它的正确性是人们长期实践中总结出来并作为判定其它命题真假的根据
定理：它是正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理
用幻灯投影命题与公理等关系
命题
真命题假命题 (只需举一个反例)
公理 (正确性由实践总结)
定理 (正确性由推理证实)
二、证明的意义、过程和步骤
1证明的意义
请证明以下命题：三个连续奇数的和是3的整数倍
问：请学生们思考，怎样证明?
当三个连续奇数为3，5，7时，它们的和为3+5+7=15是3的整数倍，当三个数为7，8，9时，7+8+9=24，也对那么，我们能否这样试下去，能不能通过试具体数的方法，证明这个命题是真命题不能，如何证明呢?
设n为整数,三个连续奇数为2n+1,2n+3,2n+5,它们的积为(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3,因为n是整数,所以2n+3为整数,3(2 n+3)是3的整数倍。
这就是推理的过程
要判断一个命题的真假，必须要有推理论证的过程，也叫证明只有证明，才能区分命题的真假，否则就会得出错误的结论证明的意义就在于此
再问：“两个连续整数的平方差是一个奇数
，这个命题是真还是假?怎样证明，学生分组讨论，选做出结果的同学板演或讲解
证明：设n为整数，n+1，n为两个连续整数
(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1，
因为2n+1为奇数，所以得证
2命题证明的一般步骤
例求证：同角的余角相等
已知：如图2—87，∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角
求证：∠2＝∠3
证明：因为∠2与∠1互为余角，(已知)
∠3与∠1互为余角，
所以∠2+∠1＝90°，∠3+∠1＝90°(余角定义)
所以∠2+∠1＝∠3+∠1(等量代换)
则∠2＝∠3(等量减等量差相等)
同学总结步骤：
1审题：分清命题的“题设”和“结论”
2译题：结合图形中的字母及符号，写出已知，求证
3想题：用“执因索果”(综合法)；用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法
4证题：从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明
三、命题证明的练习
1证明：“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直”
教师指导学生，按证明命题的四步，边讲边请学生回答如下问题：
(1)命题的“题设”和“结论”各是什么?学生回答后，教师板书：
已知：如图2—88，a∥b，a⊥c，
求证：b⊥c
(2)以上译题时应注意：图形尽量准确，图中字母与译文要一致，不能随意添加或丢失条件或结论
(3)思维的逻辑路线是什么?
要证垂直，就是要证两条直线相交成90°的角，由第一条直线a与c垂直成90°角又a ∥b，同位角相等，所以a与c的交角也为90°，所以b⊥c
(4)证明过程中有几对因果关系?(两对)
请学生写出证明过程，最好请两名证明顺序有所不同的学生到黑板上证，两种顺序如下证法(一)：∵a⊥c，(已知)
∴∠1=90°(垂直的定义)
∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2，(两直线平行，同位角相等)
∴∠2=90°，(等量代换)
∵b⊥c(垂直定义)
证法(二)：
∵a∥b，(已知)
∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等)
∵a⊥c，(已知)
∴∠1=90°，(垂直定义)
∴∠2=90°，(等量代换)
∴b⊥c(垂直定义)
2证明：“垂直于同一直线的两条直线平行”
教师给出命题后，让学生每人都在笔记本上自己做，然后找妯两个或三个学生，让他们在黑板上写出证明的过程在学生板演的过程中，教师提问：
(1)将此命题写成“如果……，那么……”的形式“如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行”
(2)已知，求证，及图形的画法，由学生分别写出和画出，并与板演的学生对照
已知：a⊥c，b⊥c，如图2—89，
求证：a∥b
(3)师生共同探索证题的思考过程，然后找一位学生板演
证明：∵a⊥c，(已知)
∴∠1＝90°(垂直定义)
∵b⊥c，(已知)
∴∠2＝90°(垂直定义)
∴∠1＝∠2，(等量代换)
∴a∥b(同位角相等，两条直线平行)
以上过程也可以简写为：
∵a⊥c，b⊥c，
∴∠1＝90°，∠2＝90°
(……)
四、总结
教师以提问形式，学生回答，教师纠正。
1命题，定理之间的关系是什么?(关系图)
2公理的正确性怎样判定?定理的正确性怎样判定?
3假命题应怎样判定?
4证明命题的一般步骤是什么?(审题、译题、想题、证题)
五、作业
1将第一章的定理、公理整理出来，将第二章的定理、公理、整理出来。
2复习证明命题的一般步骤。
3如图2-90，已知：∠ABC=90°，∠1+∠C=90°，
求证：∠C=∠2。
4如图2-91，已知：∠1=∠2，∠2+∠3=180°，
求证：a∥b，c∥d。
5(选作题)
证明：
(1)13个同学中必有2个或2个以上的同学在同一个月份出生。
(2)初一年级共有400人，必有2个或2个以上的同学的生日是同一天。
(注：以上证明可用抽屉原则。
详细答案见“设计说明”。
)
板书设计
定理与证明
一、公理与定理三、证明练习
1公理例1
2定理例2
3关系图四、总结
二、证明命题五、作业
1意义例：
2一般步骤
课堂教学设计说明
1本教案的教学时间为1课时45分钟。
2关于真命题与定理的关系，可以告诉学生，在数学中经过推理论证是正确的真命题都可以作为定理。
2在前面的教学中，实际已经渗入了不少有关推理证明的问题，学生也已经熟悉。
在这一节课中，对证明的过程再加以系统的总结和归纳，使学生在将来的证明中，书写和思考更加规范和合理。
3本节的例题内容和作业内容都比较简单。
有些基础较好的学校和班级还可以适当补充难度大一些的题目。
如抽屉原则的习题和某些代数证明题。
以下几题可供参考：
(1)求证：对任意整数n，(n+5)-(n-3)(n+2)能被6整除。
(提示：化简后原式=6(n+1))
(2)求证：任意两个连续整数的平方差是一个奇数。
(3)求证：无论a取何值，代数式3(a-2)(a+2)+3(a+2)2-6a(a+2)的值永远为0。
4选作题答案：
(1)将12个月作为12个抽屉，13个学生当做13个苹果，根据抽屉原则：把多于n个苹果放到n个抽屉里，至少有一个抽屉有两个或两个以上的苹果，则13个同学中必有2个或2个以上的同学在同一个月份出生。
(2)一年365天看作365个抽屉，400个同学为400个苹果。
由抽屉原则可得到答案。