两个矩阵之间的关系汇总表
线性代数知识点汇总1
第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
《矩阵图原理步骤》课件
标准权重的选择 应基于实际需求和 目标
标准和权重的选择 应考虑数据的可获 得性和准确性
标准和权重的选择 应避免主观偏见和 偏好
标准和权重的选择 应考虑数据的代表 性和全面性
局限性：矩阵图无法展示数 据之间的相关性和因果关系
局限性：矩阵图只能展示二 维数据，无法处理高维数据
适用范围：矩阵图适用于展示 分类数据，如性别、年龄、职
矩阵图与波士顿矩阵法的结合：通过矩阵图分析市场增长率和市场份额，从而制定战 略。
感谢您的观看
汇报人：
规变化、经济
环境等
综合分析：将 SWOT分析结 果进行综合， 得出企业或项 目的战略方向 和策略
矩阵图注意事项
数据来源：确保数据来源可靠，避免使用错误或不准确的数据 数据处理：对数据进行清洗、整理和标准化处理，确保数据的准确性和一致性 数据验证：对数据进行验证，确保数据的准确性和可靠性 数据更新：定期更新数据，确保数据的时效性和准确性
业等
适用范围：矩阵图适用于展示 数据分布，如人口分布、市场
份额等
矩阵图与SWOT分析法的结合：通过矩阵图分析内部优势和劣势，外部机会和威胁，从 而制定战略。
矩阵图与PEST分析法的结合：通过矩阵图分析政治、经济、社会和技术环境，从而制 定战略。
矩阵图与波特五力模型的结合：通过矩阵图分析供应商、购买者、潜在进入者、替代 品和行业内竞争者，从而制定战略。
绘制矩阵图，包括绘制横轴和纵轴、填充数 据等
分析矩阵图，包括分析数据之间的关系、找 出关键因素等
制定行动计划，根据矩阵图分析结果制定相 应的行动计划和策略
确定矩阵图的类 型：SWOT、PEST、 波特五力等
收集数据：市 场、竞争对手、 内部资源等
云质QMS说质量 - 质量工具之矩阵图
1.什么是矩阵图20世纪末，有一部非常有名的科幻电影《The Matrix》。
《The Matrix》三部曲展现的是，人们所生活的世界是由一个巨大的计算机智能“矩阵”控制的虚拟世界，一切看似“真实”的信息由其创造并传播，人类为了Freedom与“矩阵”Fight。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。
矩阵是高等数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中，矩阵在电路学、力学、光学和量子物理中都有应用。
当前非常热门的计算机领域，如机器学习、人工智能、神经网络都是基于矩阵形成的算法。
可以预见的是，通过计算机技术的应用，以质量知识库等为基础，质量管理也将向智能化进化。
矩阵在组织管理中有很多应用，比如风险评估矩阵、概率影响矩阵、道斯矩阵(SWOT分析)、职责分配矩阵RAM(RACI)、散点图矩阵、相关性矩阵、优先级矩阵、波士顿矩阵等，使用这些矩阵可以更有效和高效进行战略决策、质量管理、项目管理和持续改进等，矩阵图则是质量管理人员常用的QC新七种工具之一。
矩阵图，是从需要分析的事项中找出成对的因素组，分别排成行和列，找出行与列交叉点的关系或相关性的大小，从而探讨问题点的一种方法。
矩阵图可以展现2组或2组以上成对因素间的关系，同时能获得更多的相关性信息，其特点如下：(1)分析成对的影响因素，方便做多元性评估；(2)成对因素之间的相关性清晰明了，便于确定重点；(3)可根据多元性评估，将潜伏的各项因素找出来；(4)在系统图、关联图、亲和图等手法已分析至极限时，可以结合使用矩阵图。
例如时间管理四象限法，实际上就可以看作是按照“紧急”和“重要”2组成对因素（时间组：紧急/不紧急是一组，重要程度组：重要/不重要为另一组）组成的矩阵图，只不过是更加清晰地放在二维坐标轴的四个象限里而已。
在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素。
离散数学重要公式定理汇总分解
关系的性质
一. 自反性
定义 :设 R是集合 A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中 , “ ”是自反关系，因
例 邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
如 实数的大于关系>，父子关系是反自反的。 注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yR方向相反的两 条边。 从关系矩阵看对称性：以主对角线为对 称的矩阵。
3
2018/10/25
Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A ∩ A A ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A
矩阵的实际应用
【假设】（ 1）假定26个英文字母与数字之间有以 下的一一对应关系：
（2）假设将单词中从左到右 ，每3个字母分为一组， 并将对应的3个整数排成3维的行向量 ，加密后仍为3 维的行向量 ，其分量仍为整数。
在【假设】 中 ， 也可将单词中从左到右 ，每4个字母分位 一组 ， 并将对应的4个整数排成4维的列向量 ，加密后仍为4维 的列向量 ，其分量仍为整数 ， 最后不足4个字母时用空格上。
信息action ，使用上述代码 ，则此信息的编码是： 1 ，3， 20 ，9 ， 15 ， 14．可以写成两个向量
②密匙矩阵要求3阶及以上.
每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到 每一季度的总成本可由每一列相加得到
表3汇总了总成本
应用2 人口迁徙模型
设在一个大城市中的总人口是固定的。 人口的分布则因居民在市区和郊区之间 迁徙而变化 。每年有6%的市区居民搬 到郊区去住 ，而有2%的郊区居民搬到 市区 。假如开始时有30%的居民住在市 区，70%的居民住在郊区， 问10年后市 区和郊区的居民人口比例是多少？30年、 50年后又如何？
矩阵的实际应用
线性代数研究最多最基本的便是矩阵 。矩阵是线 性代数最基本的概念 ，矩阵的运算是线性代数的基本 内容 。矩阵就是一个数表 ，而这个数表可以进行变换， 以形成新的数表 。如果你了解原始数表的含义 ，而且 你可以从中抽象出某种变化规律 ，你就可以用线性代 数的理论对你研究的数表进行变换 ， 并得出你想要的 一些结论 。这些结论就可以直观的 、简洁的数表形式 展现在你眼前 。在日常生活中 ，矩阵无时无刻不出现 在我们的身边 ，例如生产管理中的生产成本问题 、人 口的流动和迁徙 、密码学 、图论 、生态统计学 、 以及 在化工 、医药 、 日常膳食等方面都经常涉及到的配方 问题 、超市物品配送路径等都和矩阵息息相关。
GE矩阵法
二、 GE矩阵具体制作方法
绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力） 和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加 权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素 的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪 些有意义的战略事业单位是十分重要的。 (1) 定义各因素。选择要评估业务（或产 品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部 因素。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴
下面分别用折线图和表格两种形式来表示。
(3) 对外部因素和内部因素的重要性进行估 测，得出衡量实力和吸引力的简易标准。这里 有定性和定量两种方法可以选择。 定性方法：审阅并讨论内外部因素，以在 第二步中打的分数为基础，按强中弱三个等级 来评定该战略事业单位的实力和产业吸引力如 何。
定量方法：将内外部因素分列，分别对其 进行加权，使所有因素的加权系数总和为1， 然后用其在第二步中的得分乘以其权重系数， 再分别相加，就得到所评估的战略事业单位在
5.针对不同目标市场的建筑企业策略选择 对九个象限内的不同目标市场应采用不同的经 营战略。 综观各象限市场的特点,企业应将事业,市 场的发展重点放在第一、二、四象限区域内, 采用积极发展战略,重点投资、重点经营;对于 市场吸引力和企业竞争实力相对一般的第三、 五、七象限区域,应设法提高建筑企业的竞争 实力,进一步提高其盈利水平；而对于市场吸 引力弱的第六、八、九象限区域,应采取维持 收益或收缩退却战略。
关注每项业务的侧重点也不同，比如对于成长 型的业务，企业可能更关注该业务的增长潜力 和发展速度，对于成熟型的业务，企业可能更 关注市场总量和盈利能力。因此，评价指标权 重的确定，必须根据每一项业务的特点进行确 定。不同业务单元之间，企业竞争力评价指标 的权重也不相同，因为对于不同的战略业务单 元，企业所处的市场地位不同，企业关注和追 求的目标也不相同，所以评价指标的权重也不 同。
QC小组常用图表汇总(共16张)
示例：晶振损坏统计
常用于以下阶段 • 选择课题
• 现状调查
• 确定要因
按不同的地区 按不同的环境 ……
晶振损坏情况统计
时间 使用数 损坏数
2006年5月 5000
300
损坏率 6.0%
晶振损坏情况分类统计（按供应商）
时间 供应商 使用数 损坏数 损坏率
2006年5月
甲供应商 乙供应商
3000 2000
MS127 MS125 MS104R
96.68% 97.00% 88.42%
97.14% 97.89% 88.20%
98.73% 98.32% 92.58%
97.33% 97.77% 93.31%
97.84% 97.25% 89.80%
97.42% 97.66% 88.15%
97.52% 97.58% 89.97%
20360 31.48
53.00 84.48
电性能不合格 浸锡不良 磁芯破损 其他不良
3
磁芯破损
7474
11.56
96.04
4
其他不良
2561
3.96
100.00
由排列图可知(kě zhī)影响MS104R系列产 品合格率的主要缺陷是“电性能不合格”
第8页，共16页。
5、因果(yīnguǒ)图（鱼骨图）应用
双圈测试模式
软件系统
电桥与测试机联机
机械控制系统 测量控制系统
硬件系统
电气控制系统
第2页，共16页。
2、 关联图应用
原因分析
根据现状调查可知，问题症结在于“电感量偏高”和“电感量偏低”，我们选用了关联(guānlián)图进行原因分析， 如下图如示：
矩阵数据分析法
矩阵数据分析法矩阵数据分析法(Matrix Data Analysis Chart )，它是新的质量管理七种工具之一矩阵图上各元素间的关系如果能用数据定量化表示，就能更准确地整理和分析结果。
这种可以用数据表示的矩阵图法，叫做矩阵数据分析法。
在QC新七种工具中，数据矩阵分析法是唯一种利用数据分析问题的方法，但其结果仍要以图形表示。
数据矩阵分析法的主要方法为主成分分析法 (Principal component analysis )，利用此法可从原始数据获得许多有益的情报。
主成分分析法是一种将多个变量化为少数综合变量的一种多元统计方法。
矩阵数据分析法，与矩阵图法类似。
它区别于矩阵图法的是：不是在矩阵图上填符号，而是填数据，形成一个分析数据的矩阵。
它是一种定量分析问题的方法。
目前，在日本尚广泛应用，只是作为一种储备工具”提岀来的。
应用这种方法，往往需求借助电子计算机来求解。
［编辑］矩阵数据分析法的原理在矩阵图的基础上，把各个因素分别放在行和列，然后在行和列的交叉点中用数量来描述这些因素之间的对比，再进行数量计算，定量分析，确定哪些因素相对比较重要的。
［编辑］矩阵数据分析法的应用时机当我们进行顾客调查、产品设计或者其他各种方案选择，做决策的时候，往往需要确定对几种因素加以考虑，然后，针对这些因素要权衡其重要性加以排队，得岀加权系数。
譬如，我们在做产品设计之前，向顾客调查对产品的要求。
利用这个方法就能确定哪些因素是临界质量特性。
［编辑］和其他工具结合使用1.可以利用亲和图(affinity diagram )把这些要求归纳成几个主要的方面。
然后，利用这里介绍进行成对对比，再汇总统计，定量给每个方面进行重要性排队。
2.过程决策图执行时确定哪个决策合适时可以采用3.质量功能展开。
两者有差别的。
本办法是各个因素之间的相互对比，确定重要程度；而质量功能展开可以利用这个方法的结果。
用来确定具体产品或者某个特性的重要程度。
2第二章矩阵应用例子
第二章 矩阵应用例子矩阵的概念是从大量各种各样的实际问题中抽象出来的，是最基本的数学概念之一.矩阵概念贯穿线性代数的各方面，许多问题的数量关系都可以通过矩阵来描述，因而矩阵是科学研究的一个非常重要的工具.它在自然科学、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用. 本章主要列举了矩阵在经济、统计、信息技术等方面的应用.例1 生产成本某工厂生产三种产品. 它的成本分为三类. 每一类成本中，给出生产单个产品时估计需要的量. 同时给出每季度生产每种产品数量的估计. 这些估计在表2-1和表2-2中给出. 该公司希望在股东会议上用一个表格展示出每一季度三类成本中的每一类成本的数量：原料费、工资和管理费.表2-1 生产单位产品的成本（美元）成 本 产 品A B C 原料费 工资管理费和其他0.10 0.30 0.10 0.30 0.40 0.200.15 0.25 0.15表2-2 每季度产量产 品 季 度夏季 秋季 冬季 春季 A B C4 000 2 0005 8004 500 2 600 6 2004 500 2 400 6 0004 000 2 200 6 000解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵.0.100.300.150.300.400.250.100.200.15M ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及400045004500400020002600240022005800620060006000P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦如果我们构造乘积MP ，则MP 的第一列表示夏季的成本.原料费： (0.10)(4000)(0.30)(2000)(0.15)(5800)1870++= 工资： (0.30)(4000)(0.40)(2000)(0.25)(5800)3450++= 管理费和其他：(0.10)(4000)(0.20)(2000)(0.15)(5800)1670++=MP 的第二列表示秋季的成本.原料费： (0.10)(4500)(0.30)(2600)(0.15)(6200)2160++=工资： (0.30)(4500)(0.40)(2600)(0.25)(6200)3940++=管理费和其他：(0.10)(4500)(0.20)(2600)(0.15)(6200)1900++=MP 的第三列和第四列表示冬季和春季的成本.187021602070196034503940381035801670190018301740MP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦MP 第一行的元素表示四个季度中每一季度原料的总成本. 第二和第三行的元素分别表示四个季度中每一季度工资和管理的成本. 每一类成本的年度总成本可由矩阵的每一行元素相加得到. 每一列元素相加，即可得到每一季度的总成本. 表2-3汇总了总成本.表2-3季 度夏季 秋季 冬季 春季 全年 原料费工资管理费和其他 总计1 870 3 450 1 670 6 9902 1603 940 1 900 8 0002 0703 810 1 830 7 7101 960 3 580 1 740 7 2808 060 14 780 7 140 29 980例2 生态学：海龟的种群统计学管理和保护很多野生物种依赖于我们模型化动态种群的能力. 一个经典的模型化方法是将物种的生命周期划分为几个阶段. 该模型假设每一阶段种群的大小仅依赖于雌性的数量，并且每一个雌性个体从一年到下一年存活的概率仅依赖于它在生命周期中的阶段，而并不依赖于个体的实际年龄. 例如，我们考虑一个4个阶段的模型来分析海龟的动态种群. 在每一个阶段，我们估计出1年中存活的概率，并用每年期望的产卵量近似给出繁殖能力的估计. 这些结果在表2-4中给出. 在每一阶段名称后的圆括号中给出该阶段近似的年龄.表2-4 海龟种群统计学的4个阶段阶段编号描述（年龄以年为单位） 年存活率 年产卵量 12 3 4卵、孵化期（<1）幼年和未成年期（1~21） 初始繁殖期（22） 成熟繁殖期（23~54）0.67 0.74 0.81 0.810 0 127 79若i d 表示第i 个阶段持续的时间，i s 为该阶段每年的存活率，那么在第i 阶段中，下一年仍然存活的比例将为111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭（1） 而下一年转移到第1i +个阶段时，可以存活的比例应为(1)1i id i i i d i s s q s -=- （2） 若令i e 表示阶段(2,3,4)i i =1年中平均的产卵量，并构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3） 则L 可以用于预测以后每阶段海龟的数量. 形如（3）的矩阵称为莱斯列（Leslie ）矩阵，相应的种群模型通常称为莱斯利种群模型. 利用表1给出的数字，模型的莱斯利矩阵为0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦假设初始时种群在各个阶段的数量分别为200 000，300 000，500和1 500. 若将这个初始种群数量表示为向量0x ，1年后各个阶段的种群数量可如下计算：1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x （上述结果已经四舍五入到最近的整数了.）为求得2年后种群数量向量，再次乘以矩阵L .2210L L ==x x x一般地，k 年后种群数量可通过计算向量0k k L =x x 求得. 为观察长时间的趋势，我们计算102550,,x x x . 结果归纳在表2-5中. 这个模型预测，繁殖期的海龟数量将在50年后减少80%.表2-5 海龟种群预测阶段编号初始种群数量10年 25年 50年 1 2 3 4200 000 300 000500 1 500114 264 329 212214 1 06174 039 213 669139 68735 966 103 79568 334例3 密码问题在密码学中，称原来的消息为明文，经过伪装了的明文则成了密文，由明文变成密文的过程称为加密. 由密文变成明文的过程称为译密. 明文和密文之间的转换是通过密码实现的.在英文中，有一种对消息进行保密的措施，就是把消息中的英文字母用一个整数来表示，然后传送这组整数. 如~A Z 的26个英文字母与1~26的数字一一 对应.例如，发送“SEND MONEY ”这九个字母就可用[19，5，14，4，13，15，14，5，25]这九个数来表示. 显然5代表E ，13代表M ，…这种方法很容易被破译. 在一个很长的消息中，根据数字出现的频率，往往可以大体估计出它所代表的字母. 例如，出现频率特别高的数字很可能对应出现频率特别高的字母.我们可以用矩阵乘法对这个消息进一步加密. 假如A 是一个对应行列式等于1±的整数矩阵，则1A -的元素也必定是整数. 可以用这样一个矩阵对消息进行变换，而经过这样变换的消息是较难破译的. 为了说明问题，设100315,201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A则11001315.201-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭A把编了码的消息组成一个矩阵194145135,141525⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B乘积10019414194143155135132100172.2011415252473⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB所以，发出去的消息为[19，132，24-，4，100，7，14，172，3-]. 这与原来的那组数字不大相同，例如，原来两个相同的数字5和14在变换后成为不同的数字，所以就难于按照其出现的频率来破译了. 而接收方只要将这个消息乘以1-A ，就可以恢复原来的消息.100194141941413151321001725135.2012473141525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 要发送的信息可以按照两个或三个一组排序，如果是两个字母为一组，那么选二阶可逆矩阵，如果是三个字母为一组，则选三阶可逆矩阵. 在字母分组的过程中，如果最后一组字母缺码，则要用Z 或YZ 顶位.。
质量工具之矩阵解析法
质量⼯具之矩阵解析法1. 什么是矩阵解析法前⾯我们有⼀篇⽂章专门写矩阵图的⽂章，对矩阵解析法（Matrix Data Analysis Chart）也进⾏了简单介绍。
矩阵图上各元素间的关系，如果能⽤数据定量化表⽰，就能更准确地整理和分析结果。
这种可以⽤数据表⽰的矩阵图法，叫做矩阵数据解析法或矩阵数据分析法，简称矩阵解析法。
矩阵解析法⽤于确定各对策措施的优先顺序时，也叫优先顺序矩阵法（Prioritization Matrices）。
矩阵解析法是从矩阵图法演化⽽来，它区别于矩阵图法的是：不是在矩阵图上填符号，⽽是填数据，形成⼀个分析数据的矩阵，从⽽量化各要素间的相关性，进⼀步了解问题与⼿段或⽅法与对策间的相互关系。
矩阵解析法是⼀种定量及半定量的分析问题的⽅法，是⼀种多变量的统计⽅法，计算较复杂，⼀般⽤计算机进⾏计算。
常见的统计分析软件及电⼦办公软件中的表格软件都可以⽀持矩阵数据分析法的数据分析计算。
在QC新七种⼯具中，矩阵解析法是唯⼀⼀种利⽤数据分析问题的⽅法，其结果仍要以图形表⽰，适⽤于复杂多变且需要解析的案例，是⼀种在质量管理专业领域中较复杂的⽅法。
可以预见，随着计算机技术的进步，在质量管理软件中将会获得越来越⼴泛的应⽤。
2. 矩阵解析法的原理要想阐述清楚矩阵解析法的原理，⾸先要详细说⼀下”主成分分析法“。
矩阵解析法的主要⽅法为主成分分析法（Principal component analysis，PCA），⼜称主分量分析法或主成分回归分析法，是⼀种统计⽅法，其通过正交变换将⼀组可能存在相关性的变量转换为⼀组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。
2.1什么是主成分分析法主成分分析⾸先是由K.⽪尔森（Karl Pearson）对⾮随机变量引⼊的，后来H.霍特林将此⽅法推⼴到随机向量的情形，信息的⼤⼩通常⽤离差平⽅和或⽅差来衡量。
在实证问题研究过程中，为了全⾯、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
(完整版)统计量表汇总
ir be 抽样分布
the 二项分布
s in Standard g distribution
normal
标准误 / n x
标准误 1 n x
Z=x 对应的值表示当 Z=x 时对应的的 0—x 之间的总面积的大小 S, 0.5 S 2
thin 基本公式： ll （1） D（x） E[x E(x)]2 E(x2 ) E(x)2
R2 R
R2 y 2·1
ab·c
R2 （y y)2 （y y)2
R R2
R2 y 2·1
RSS(1,2) - RSS(1) ESS(1)
R2 y·2
Ry2·
1
R
2 y·1
rab·c
rab racrbc 1 ra2c 1 rb2c
COV(X，Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
代表回归方程中变量对 y 的解释能力 表明 y 与所有 x 之间的多 元线性相关程度 表示 x2 对 y 的边际影响
th 0
ll Gamma 分布： 当 f(y)的概率密度满足如下公式时，即为 Gamma 分布：
d A （，） f (x) (x) 1 ex , n ()
0 x ，其中有 （） t e 1 tdt
0
ing at a time a Gamma 分布依据 k 值的不同，曲线如右。
somethin k
李书 86 定序
定序—— 越接近正负 1，相关程 度越大
表示两个定序变量之间的 相关关系
李书 88 定序
定序—— 越接近正负 1，相关程 度越大
表示两个定距变量之间的 相关关系
李书 105 定距
定距—— 越大相关性越强
表示定类变量与定序/定类 定类——定序
矩阵等价和向量组等价的区别与联系
矩阵等价和向量组等价的区别与联系摘要：探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别与联系，并给出等价矩阵的行向量组（或列向量组）等价的充要条件。
关键词：矩阵等价、向量组等价、初等行变换中图法分类号：O 151. 24一、引言矩阵和向量组是线性代数这门课程中两个基本的概念，两者之间有着紧密的联系：一方面，一个矩阵对应着唯一一组列（行）向量组；另一方面，列（行）向量组以给定的顺序排列得到唯一的矩阵。
此外，两个向量组的等价的问题可以将其转化成两个矩阵等价的问题来判定。
正由于矩阵和向量组之间特殊的关系，使得许多同学混淆了矩阵等价和向量组等价这两个不同的概念。
为了使学生们更好地分辨矩阵等价和向量组等价，我们深入探讨等价向量组和等价矩阵的区别与联系，并给出两个矩阵在等价时其行向量组（或列向量组）等价的充要条件。
二、已知结论为了更好地探讨等价矩阵和等价向量组之间的区别和联系，下面给出一些已知的结论。
首先给出矩阵的初等变化的定义。
矩阵的初等变换分为三类：交换矩阵两行（或列）；矩阵某一行（或列）的所有元素同乘以非零数；矩阵某一行（或列）的所有元素乘以数后加到另一行（或列）的对应元素上。
这三类初等变换都是可逆变换。
1、矩阵等价定义1：若矩阵可由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵与矩阵等价，记为。
由等价矩阵的定义可知：等价矩阵必须为同型矩阵，即两个矩阵的行数和列数对应相等。
定义2：在矩阵中任意取其行列，则位于这些行和列交叉的个元素，按照其在的位置顺序排列得到的阶行列式，成为矩阵的阶子式。
定义3：矩阵最高阶非零子式的阶数称为矩阵的秩，记作。
下面给出等价矩阵的相关结论。
定理4：矩阵等价于矩阵的充要条件为。
由初等变换和初等矩阵之间的关系以及初等矩阵和可逆矩阵之间的关系可得两个等价矩阵之间的等式。
定理5：矩阵等价于矩阵等且仅当存在阶可逆方阵和阶可逆方阵满足。
此时，可逆方阵、的选择不是唯一的。
2、向量组等价定义6：设有两个维向量组若存在矩阵，使得成立，则称向量组可以由向量组线性表示。
两个矩阵之间的关系汇总表资料
两个矩阵 和 之间的关系汇总表
定义
适应的条件
充要条件
充分条件
必要条件
矩阵 与 等价
若矩阵 可以经过一系列初等变换为矩阵 ，即如果存在可逆矩阵 、 使得 ，那么称矩阵 与 等价，记作
（ ）
矩阵 、 必须是同型矩阵，它们可以是方阵，也可以是一般矩阵，但是必须满足它们是同型矩阵这一条件
， 是同型矩阵且有相同的秩
存在可逆矩阵 、 ，使
设 ， 向量组 与向量组 等价
（注意此命题的逆命题不成立）
矩阵 与 相似
设 、 是n阶方阵，如果存在可逆矩阵 使得 ，那么称矩阵 与 相相同的特征方程及特征值，
、 有相同的迹，
（即若 与 相似，那么 与 必定等价）
矩阵 与 合同
两个n阶实对称矩阵 、 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 ，那么称矩阵 与 合同，记作
矩阵矩阵 、 必须是同阶实对称矩阵（方阵）
二次型 与 有相同的正负惯性指数
矩阵数据分析法
矩阵数据分析法（Matrix Data Analysis Chart），它是新的质量管理七种工具之一。
矩阵图上各元素间的关系如果能用数据定量化表示，就能更准确地整理和分析结果。
这种可以用数据表示的矩阵图法，叫做矩阵数据分析法。
在QC新七种工具中，数据矩阵分析法是唯一种利用数据分析问题的方法，但其结果仍要以图形表示。
数据矩阵分析法的主要方法为主成分分析法（Principal component analysis），利用此法可从原始数据获得许多有益的情报。
主成分分析法是一种将多个变量化为少数综合变量的一种多元统计方法。
矩阵数据分析法，与矩阵图法类似。
它区别于矩阵图法的是：不是在矩阵图上填符号，而是填数据，形成一个分析数据的矩阵。
它是一种定量分析问题的方法。
目前，在日本尚广泛应用，只是作为一种“储备工具”提出来的。
应用这种方法，往往需求借助电子计算机来求解。
矩阵数据分析法的原理在矩阵图的基础上，把各个因素分别放在行和列，然后在行和列的交叉点中用数量来描述这些因素之间的对比，再进行数量计算，定量分析，确定哪些因素相对比较重要的。
矩阵数据分析法的应用时机当我们进行顾客调查、产品设计或者其他各种方案选择，做决策的时候，往往需要确定对几种因素加以考虑，然后，针对这些因素要权衡其重要性，加以排队，得出加权系数。
譬如，我们在做产品设计之前，向顾客调查对产品的要求。
利用这个方法就能确定哪些因素是临界质量特性。
和其他工具结合使用1.可以利用亲和图（affinity diagram）把这些要求归纳成几个主要的方面。
然后，利用这里介绍进行成对对比，再汇总统计，定量给每个方面进行重要性排队。
2.过程决策图执行时确定哪个决策合适时可以采用。
3.质量功能展开。
两者有差别的。
本办法是各个因素之间的相互对比，确定重要程度；而质量功能展开可以利用这个方法的结果。
用来确定具体产品或者某个特性的重要程度。
当然，还有其他各种方法可以采用，但是，这种方法的好处之一是可以利用电子表格软件来进行。
MINITAB 基本图表Basic Graphs
箱形图(Boxplot)
比较样本分布特征和筛选异常点
异常点
上部触须
箱体 中位数值
下部触须
直方图(Histogram)
评估数据的
•形状 •中心 •延展性 •分布正态与否 •带有正态密度曲线 正态曲线
边际图(Marginal Plot)
评估两个变量之间的关系和分布
矩阵图(Matrix Plot)
显示两个变量之间的关系
打开工作表BATTERIES.MTW 从菜单选择Graph>Scatterplot 选择Simple
散点图(Scatterplot)
在Y variables中选择FlashRecov列 在X variables中选择VoltsAfter列
散点图(Scatterplot)
点击Scale,选择Reference Lines标签 在Show Reference Lines for Y positions,输入5.25
.等高线图(Contour Plot)-以其他两个变量的 函数来评估值 .3维散点图(3D Scatterplot)-以x-,y-,z-坐 标轴来表示单独的观测点 .3维表面图(3D Surface Plot)-类似于3维散 点图，但显示的是连续的表面或网格，而不是单独 的点
散点图(Scatterplot)
Minitab基本图表
图形探索
使用下面的表格来找出符合目标的பைடு நூலகம்佳图形
目标... 使用...
.散点图(Scatter Plot)-显示两个变量之间的关系 .矩阵图(Matrix Plot)-同时显示多对变量之间的关系 .边际图(Marginal Plot)-类似于散点图，但是在图形边界 处增加了变量的柱状图，点图或者箱形图
第二章 矩阵运算
据全下标换算出单下标。 据单下标换算出全下标。
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Matlab程序设计
“逻辑1”标识
所谓“逻辑1”标识 法是：通过与A同样大小的 逻辑数组L中“逻辑值1”所在的位置，指出A中 元素的位置。 L的元素或是0或是1，它是“逻辑数组(Logical Array)”。是一种特殊的数据类型。 例
（3）定数线性采样法
在设定的“总点数”下，均匀采样生成一维“行”数组。 – 通用格式：x=linspace(a,b,n) [说明]该指令生成（1 ×n）数组，其作用与x=a:(b-a)/(n-1):b同。
–
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Matlab程序设计
一维数组的子数组寻访和赋值
例1：子数组的寻访（Address）。 例2：子数组的赋值（Assign）。
其显示结果是一样的。
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Matlab程序设计
特殊矩阵(P42)
非数NaN “空”数组（空阵） 全 0阵 单位阵 全 1阵 随机阵 其他特殊矩阵（表2-6）
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Matlab程序设计
非数NaN
按IEEE规定，0/0，∞/∞，0×∞等运算都会产生非数 （Not a Number）。该非数在MATLAB中用NaN或 nan记述。 根据IEEE数学规范，NaN具有以下性质：
A.^n
A.^p p.^A A+B A-B
A^n
A^p p^A A+B A-B
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数组运算和矩阵运算指令对照汇总（二）
数 指 令 组 运 含
对应元素相乘 A的元素被B的对应元素除 （一定与上相同） 以自然数e为底，分别以A的 元素为指数，求幂 对A的各元素求对数 对A的各元素求平方根 求A各个元素的函数值。f(.) 表示为上节所列各函数 A、B阵对应元素间的关系 运算。#代表关系运算符
Excel高级技巧使用数组公式进行矩阵运算和复杂数据分析数据提取和汇总计算
Excel高级技巧使用数组公式进行矩阵运算和复杂数据分析数据提取和汇总计算Excel高级技巧：使用数组公式进行矩阵运算和复杂数据分析数据提取和汇总计算Excel是一款功能强大的电子表格软件，广泛应用于数据处理、分析和计算等领域。
除了基本的表格处理功能外，Excel还提供了一系列高级技巧，如使用数组公式进行矩阵运算和复杂数据分析数据提取和汇总计算。
本文将介绍这些高级技巧的使用方法和应用场景。
一、使用数组公式进行矩阵运算数组公式是一种特殊的公式，可以在单个公式中处理多个数值，实现矩阵运算。
在Excel中，数组公式通常使用Ctrl+Shift+Enter组合键来输入。
例如，我们需要计算两个矩阵的乘积。
假设矩阵A位于A1:C3区域，矩阵B位于E1:G3区域，我们可以使用数组公式实现如下：{=MMULT(A1:C3,E1:G3)}其中，MMULT函数用于计算矩阵的乘积。
记得使用Ctrl+Shift+Enter组合键输入公式后，公式周围会出现花括号。
除了矩阵乘积，数组公式还可以用于解决其他复杂的数学问题，如线性回归、求解方程组等。
通过灵活运用数组公式，可以大大提升数据处理和分析的效率。
二、数据提取和汇总计算在实际工作中，我们常常需要从大量数据中提取特定条件的数据，并进行汇总计算。
Excel提供了多种高级技巧，可以帮助我们快速实现这一目标。
1. 数据筛选和排序Excel的数据筛选功能可以根据指定的条件，筛选出符合条件的数据。
通过点击“数据”选项卡中的“筛选”按钮，选择“自动筛选”或“高级筛选”选项，可以根据条件对数据进行筛选。
此外，Excel还提供了数据排序功能，可以根据指定的字段对数据进行升序或降序排序。
2. 数据透视表数据透视表是一种强大的数据分析工具，可以对大量数据进行分组、汇总和分析。
通过点击“数据”选项卡中的“数据透视表”按钮，选择需要分析的数据范围和需要汇总的字段，在数据透视表区域拖动字段，即可生成透视表。
两个矩阵既可相加又可相乘的充分必要条件是(最全)word资料
第9章 矩阵一、填空题⒈ 两个矩阵B A ,既可相加又可相乘的充分必要条件是 .⒉ 设B A ,为两个已知矩阵，且B I -可逆，则方程X BX A =+的解=X .⒊ 设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有关系式 .4．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131A ，则A I 2-= . 5．当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a A 131可逆.6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1320201b a A ，当a = ，b = 时，A 是对称矩阵.7．当λ= 时，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λ42045114321的秩最小.二、单项选择题⒈设B A ,为两个n 阶矩阵，则有（ ）成立.A . 22))((B A B A B A -=-+ B . TT T A B AB =)( C . T T T A B B A -=-)( D . )(2B A A BA A +=- ⒉ 下列说法正确的是（ ）.A . 0矩阵一定是方阵B . 可转置的矩阵一定是方阵C . 数量矩阵一定是方阵D . 若A 与A T可进行乘法运算，则A 一定是方阵 ⒊ 设A 是可逆矩阵，且A AB I +=，则A -=1（ ）.A . IB + B . 1+BC . BD . ()I AB --1⒋ 设A 是n 阶可逆矩阵，k 是不为0的常数，则()kA -=1（ ）A .kA -1B . 11kA n - C . --kA 1D . 11k A -5．设A 是4阶方阵，若秩3)(=A ，则（ ）.A . A 可逆B . A 的阶梯阵有一个0行C . A 有一个0行D . A 至少有一个0行6. 设B A ,为同阶方阵，则下列说法正确的是（ ）.A .若0=AB ，则必有0=A 或0=B B .若0≠AB ，则必有0≠A ,0≠BC .若秩0)(≠A ,秩0)(≠B ，则秩0)(≠ABD . 秩=+)(B A 秩+)(A 秩)(B 三、解答题⒈ 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A I T)2(-.⒉ 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=012411210A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=653312B ，求解矩阵方程TB AX =. ⒊ 若A -=---⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1253140132，求A . ⒋ 求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=12412116030242201211A 的秩 ⒌ 已知矩阵 )(21I B A +=，且A A =2，试证B 是可逆矩阵，并求1-B .6. 设n 阶矩阵A 满足A I 2=，AA I T=，证明A 是对称矩阵.答案及解答：一、填空题⒈ A 与B 是同阶矩阵 ⒉ A B I 1)(-- ⒊ m t n s ==, ⒋ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11655. 3≠6. 0, 37. 0 二、单项选择题⒈ B ⒉ C ⒊ A ⒋ D 5. B 6. B 三、解答题⒈ 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=142120311T A ，T2A I -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1421203111000100012=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311所以， B A I )2(T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----142100311⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-303112=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1103051 ⒉ 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=120001010830210411100010001012411210)(I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001， 即 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-211231241121A所以 TB A X 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=21123124112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-635132=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2132716956 3．因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-110021010210330041100010001231041352)(1I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→110311430210300801⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→131320101313110043138001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→131********3201043138001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=311312121831A ⒋ 因为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=12412116030242201211A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→10030140300000001211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→00000040001403001211 所以，秩3)(=A .5. 证 因为)2(41)(41222I B B I B A ++=+=，且A A =2，即)(21)2(412I B I B B +=++， 得I B =2，所以B 是可逆矩阵，且B B =-1.6. 证 因为AI A ==T T IA AAA ==TA 所以A 是对称矩阵.论碎石垫层在振冲碎石桩复合地基中的必要性The discussion about the necessity of broken stone cushion for the composite ground with vibro replacement stone column蓝冰(广东有色地质勘查局932队韶关 512026)文摘本文通过对复合地基受力性状的分析，结合实际施工经验和处理检测结果，全面论述了碎石垫层在复合地基中的必要性。
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定义
适应的条件充ຫໍສະໝຸດ 条件充分条件必要条件
矩阵 与 等价
若矩阵 可以经过一系列初等变换为矩阵 ，即如果存在可逆矩阵 、 使得 ，那么称矩阵 与 等价，记作
（ ）
矩阵 、 必须是同型矩阵，它们可以是方阵，也可以是一般矩阵，但是必须满足它们是同型矩阵这一条件
， 是同型矩阵且有相同的秩
矩阵矩阵 、 必须是同阶实对称矩阵（方阵）
二次型 与 有相同的正负惯性指数
存在可逆矩阵 、 ，使
设 ， 向量组 与向量组 等价
（注意此命题的逆命题不成立）
矩阵 与 相似
设 、 是n阶方阵，如果存在可逆矩阵 使得 ，那么称矩阵 与 相似，记作
矩阵 、 必须是同阶方阵
、 有相同的特征方程及特征值，
、 有相同的迹，
（即若 与 相似，那么 与 必定等价）
矩阵 与 合同
两个n阶实对称矩阵 、 ，如果存在可逆矩阵 ，使得 ，那么称矩阵 与 合同，记作