分子分母是多项式的除法
分式的乘除(基础)知识讲解
分式的乘除（基础）责编：杜少波【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】【高清课堂402545 分式的乘除运算 知识要点】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc ÷=⋅=，其中a b cd 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如()222222a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一、分式的乘法1、计算：(1)422449158a b x x a b g ；(2)222441214a a a a a a -+--+-g ． 【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算．【答案与解析】解：(1)422449158a b x x a b g 422449315810a b x b x a b x==g g ． (2)222441214a a a a a a -+--+-g 22(2)1(1)(2)(2)a a a a a --=-+-g 22(2)(1)(1)(2)(2)a a a a a --=-+-g g 222(1)(2)2a a a a a a --==-++-． 【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算．举一反三：【变式】计算．（1）26283m x x m g ；（2）22122x x x x+-+g 【答案】解：（1）原式22621283242m x mx x x m mx ===g g ； （2）原式22112(2)2x x x x x x+==-+-g ； 类型二、分式的除法【高清课堂402545 分式的乘除运算 例1（4）】2、 计算：(1)222324a b a b c cd-÷；(2)2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++． 【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简．【答案与解析】解：(1)222324a b a b c cd -÷22222244236a b cd a b cd c a b c a b ==--g g 23d c=-．(2) 2222242222x y x y x xy y x xy-+÷+++ 2(2)(2)2()()2x y x y x x y x y x y+-+=++g 22(2)24x x y x xy x y x y --==++． 【总结升华】分式的除法和实数的除法一样，均是转化为乘法来完成的．举一反三：【变式】（2015•宝鸡校级模拟）化简：．【答案】解：原式=• =．类型三、分式的乘方3、（2014秋•华龙区校级月考）下列计算正确的是（ ）A. B.C. D.【思路点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项．【答案】C ．【解析】解：A 、，本选项错误； B 、，本选项错误；C 、，本选项正确；D 、，本选项错误．所以计算结果正确的是C ．【总结升华】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．类型四、分式的乘除法、乘方的混合运算4、 计算：（1）（2016春•淅川县期中）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3；（2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭g ． 【思路点拨】先算乘方，再算乘、除.【答案与解析】解：（1）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷×（）3=﹣•• =﹣． （2）222223()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭g 2222232()1()[()]()a b ab b a a b b a -=+-g g 22222332()()1()()a b a b a b b a a b a b +-=+-g g211()a a b a ab==++． 【总结升华】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．举一反三：【变式】计算：(1)332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)2222()m n n m m n m n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭g ．【答案】解： (1)332212b ba a ab⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23263382633312212b b b a a b a ba a ab a b⎛⎫⎛⎫=-÷-÷==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g．(2)2222()m n n m m nm n mn m--+⎛⎫÷⎪-⎝⎭g22222()()()()m n m n m n m m nm n m n m n mn+---==-+g g．。
初中数学_《分式的乘法除法》教学设计学情分析教材分析课后反思
分式的乘除法教学设计课型：新授 教师姓名：教学目标： 1、理解分式的乘除运算法则2、会进行简单的分式的乘除法运算教学重点：分式的乘除法运算教学难点：1、分式的乘除法法则的理解2、分子与分母是多项式的分式乘除法运算一、复习回顾1、化简：（1）bc a ac 22142- （2）aa a 2422+- 设计意图：当分子与分母是单项式的时候，可以直接进行约分化简；但当分子与分母是多项式的时候，就要先进行因式分解，然后再约去公因式化简，所以设计这一题考查学生对约分的定义的理解，约分一定要求在分子与分母是乘法的状态下才能进行。
2、计算：（1）,10932⨯ （2）211075÷ 3、思考：（1）说出分数的乘除法的法则；分数乘以分数，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘.（2）试一试计算：猜一猜：=⨯c d a b；=÷cd a b 你能总结分式乘除法的法则吗？与同伴交流。
c bd a c d b a ⨯⨯=⨯， db c a d c b a c d b a ⨯⨯=⨯=÷ 二、小组讨论与归纳通过类比分数的乘除法的法则，你能得到分式的乘除法的法则：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.设计意图：通过分数的乘除法运算，帮助学生回顾分数的乘除法法则，让学生体会一下类比的数学思想，从而讨论归纳出分式的乘除法法则。
三、例题学习，计算：例题1:（1）226283a y y a⋅ 例题2（1）x y xy 2262÷ 注意：计算结果一定要化为最简分式四、巩固练习，计算：化简：（1）2a b b a⋅ （2） )(x y y x x y -⋅÷ （3）xy xy 3232÷- （4）)21()3(43x y x y x -⋅-÷ 5、先观察下面分式的分子与分母与第1到第4题有什么不同之处，然后做一做： aa a a 21222+•-+ 尝试之后老师提问：1、按法则来做分子乘以分子，分母乘以分母，你是先做乘法运算吗？2、分子与分母能进行约分吗？3、总结：当分子与分母是多项式的分式的乘除法运算应注意哪些细节？五、例题学习，计算：1、 bb a a b -+•-2239 2、41441222--÷+--a a a a a注意：当分式的分子与分母都是单项式时：(1)乘法运算步骤是，①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②约分(2)除法的运算步骤是，把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。
严格真分式
严格真分式
（原创实用版）
目录
1.严格真分式的定义
2.严格真分式的性质
3.严格真分式的应用
正文
一、严格真分式的定义
严格真分式是指分母不为零的有理函数，其分子和分母都是多项式，并且分子的次数高于分母的次数。
在数学领域中，严格真分式广泛应用于微积分、代数以及函数论等诸多领域。
二、严格真分式的性质
严格真分式具有以下性质：
1.当分子和分母的系数都为正数时，严格真分式的值在第一象限和第三象限为正，第二象限和第四象限为负。
2.当分子和分母的系数都为负数时，严格真分式的值在第一象限和第三象限为负，第二象限和第四象限为正。
3.当分子和分母的系数异号时，严格真分式的值在第一象限和第四象限为正，第二象限和第三象限为负。
4.严格真分式在原点处的极限为 0。
三、严格真分式的应用
严格真分式在数学中有着广泛的应用，以下是一些例子：
1.在微积分中，严格真分式常用于求极限，例如求解形如
$frac{0}{0}$的极限。
2.在代数中，严格真分式常用于多项式的除法运算，可以简化多项式的表达式。
3.在函数论中，严格真分式是研究函数性质的重要工具，例如可以用严格真分式表示函数的渐近线。
总之，严格真分式作为数学中的一个基本概念，其在理论研究和实际应用中都有着重要价值。
2022年人教版八年级上第15章《分式》全章教案
第十五章分式15．1分式15．从分数到分式1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念．2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件．重点理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件．难点能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件．一、复习引入1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？2．判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知1．分式的定义(1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v 千米/时．轮船顺流航行90千米所用的时间为9030＋v 小时，逆流航行60千米所用时间为6030－v小时，所以9030＋v ＝6030－v. (2)学生完成教材第127页“思考〞中的题．观察：以上的式子9030＋v ，6030－v ，S a ，V s，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？可以发现，这些式子都像分数一样都是A B(即A÷B)的形式．分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A ，B 都是整式，并且B 中都含有字母．归纳：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式． 稳固练习：教材第129页练习第2题．2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义． 学生自学例1.例1以下分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1)23x ；(2)x x －1；(3)15－3b ；(4)x ＋y x －y.解：(1)要使分式23x有意义，那么分母3x ≠0，即x ≠0； (2)要使分式x x －1有意义，那么分母x －1≠0，即x ≠1； (3)要使分式15－3b有意义，那么分母5－3b ≠0，即b ≠53； (4)要使分式x ＋y x －y有意义，那么分母x －y ≠0，即x ≠y. 思考：如果题目为：当x 为何值时，分式无意义．你知道怎么解题吗？稳固练习：教材第129页练习第3题．3．补充例题：当m 为何值时，分式的值为0(1)m m －1；(2)m －2m ＋3；(3)m 2－1m ＋1. 思考：当分式为0时，分式的分子、分母各满足什么条件？分析：分式的值为0时，必须同时满足两个条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零． 答案：(1)m ＝0；(2)m ＝2；(3)m ＝1.三、归纳总结1．分式的概念．2．分式的分母不为0时，分式有意义；分式的分母为0时，分式无意义．3．分式的值为零的条件：(1)分母不能为零；(2)分子为零．四、布置作业，3题．在引入分式这个概念之前先复习分数的概念，通过类比来自主探究分式的概念，分式有意义的条件，分式值为零的条件，从而更好更快地掌握这些知识点，同时也培养学生利用类比转化的数学思想方法解决问题的能力．15．分式的根本性质(2课时)第1课时分式的根本性质1．了解分式的根本性质，灵活运用分式的根本性质进行分式的变形．2．会用分式的根本性质求分式变形中的符号法那么．重点理解并掌握分式的根本性质．难点灵活运用分式的根本性质进行分式变形．一、类比引新1．计算：(1)56×215；(2)45÷815. 思考：在运算过程中运用了什么性质？教师出示问题．学生独立计算后答复：运用了分数的根本性质．2．你能说出分数的根本性质吗？分数的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的数，分数的值不变．3．尝试用字母表示分数的根本性质：小组讨论交流如何用字母表示分数的根本性质，然后写出分数的根本性质的字母表达式．a b ＝a·c b·c ，a b ＝a÷c b÷c.(其中a ，b ，c 是实数，且c ≠0) 二、探究新知1．分式与分数也有类似的性质，你能说出分式的根本性质吗？分式的根本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变． 你能用式子表示这个性质吗？A B ＝A·C B·C ，A B ＝A÷C B÷C.(其中A ，B ，C 是整式，且C ≠0) 如x 2x ＝12，b a ＝ab a 2，你还能举几个例子吗？ 回忆分数的根本性质，让学生类比写出分式的根本性质，这是从具体到抽象的过程． 学生尝试着用式子表示分式的性质，加强对学生的抽象表达能力的培养．2．想一想以下等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ；－a b ＝a －b＝－a b . 教师出示问题．学生小组讨论、交流、总结．例1不改变分式的值，使以下分式的分子与分母都不含“－〞号：(1)－2a －3a；(2)－3x 2y ；(3)－－x 2y . 例2不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1；(2)2－x －x 2＋3；(3)－x －1x ＋1. 引导学生在完成习题的根底上进行归纳，使学生掌握分式的变号法那么．例3填空：(1)x 3xy ＝〔〕y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y 〔〕； (2)1ab ＝〔〕a 2b ，2a －b a 2＝〔〕a 2b.(b ≠0) 解：(1)因为x 3xy的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y. 同样地，因为3x 2＋3xy 6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝〔3x 2＋3xy 〕÷〔3x 〕6x 2÷〔3x 〕＝x ＋y 2x . 所以，括号中应分别填入x 2和2x.(2)因为1ab的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的根本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所以分子也需乘b ，即 2a －b a 2＝〔2a －b 〕·b a 2·b＝2ab －b 2a 2b . 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.在解决例题1，2的第(2)小题时，教师可以引导学生观察等式两边的分母发生的变化，再思考分式的分子如何变化；在解决例2的第(1)小题时，教师引导学生观察等式两边的分子发生的变化，再思考分式的分母随之应该如何变化．三、课堂小结1．分式的根本性质是什么？2．分式的变号法那么是什么？3．如何利用分式的根本性质进行分式的变形？学生在教师的引导下整理知识、理顺思维．四、布置作业，5题．通过算数中分数的根本性质，用类比的方法给出分式的根本性质，学生接受起来并不感到困难，但要重点强调分子分母同乘(或除)的整式不能为零，让学生养成严谨的态度和习惯．第2课时分式的约分、通分1．类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义，理解最简公分母的概念．2．类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤．重点运用分式的根本性质正确地进行分式的约分与通分．难点通分时最简分分母确实定；运用通分法那么将分式进行变形．一、类比引新1．在计算56×215时，我们采用了“约分〞的方法，分数的约分约去的是什么？分式a 2＋ab a 2b，a ＋b ab相等吗？为什么？ 利用分式的根本性质，分式a 2＋ab a 2b约去分子与分母的公因式a ，并不改变分式的值，可以得到a ＋b ab. 教师点拨：分式a 2＋ab a 2b 可以化为a ＋b ab，我们把这样的分式变形叫做__分式的约分__． 2．怎样计算45＋67？怎样把45，67通分？ 类似的，你能把分式a b ，c d变成同分母的分式吗？ 利用分式的根本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，我们把这样的分式变形叫做__分式的通分__．二、探究新知1．约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y. 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．解：(1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b＝－5ac 23b ； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝〔x ＋3〕〔x －3〕〔x ＋3〕2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6〔x －y 〕23〔x －y 〕＝2(x －y )． 假设分子和分母都是多项式，那么往往需要把分子、分母分解因式(即化成乘积的形式)，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为__最简分式__．(不能再化简的分式)2．练习：约分：2ax 2y 3axy 2；－2a 〔a ＋b 〕3b 〔a ＋b 〕；〔a －x 〕2〔x －a 〕3；x 2－4xy ＋2y ；m 2－3m 9－m 2；992－198. 学生先独立完成，再小组交流，集体订正．3．讨论：分式12x 3y 2z ，14x 2y 3，16xy 4的最简公分母是什么？ 提出最简公分母概念．一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．学生讨论、小组交流、总结得出求最简公分母的步骤：(1)系数取各分式的分母中系数最小公倍数；(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；(3)相同字母(或因式)的幂取指数最大的；(4)所得的系数的最小公倍数与各字母(或因式)的最高次幂的积(其中系数都取正数)即为最简公分母．4．通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ；(2)2x x －5与3x x ＋5. 分析：为通分，要先确定各分式的公分母．解：(1)最简公分母是2a 2b 2c .32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c， a －b ab 2c ＝〔a －b 〕·2a ab 2c ·2a＝2a 2－2ab 2a 2b 2c . (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)．2x x －5＝2x 〔x ＋5〕〔x －5〕〔x ＋5〕＝2x 2＋10x x 2－25， 3x x ＋5＝3x 〔x －5〕〔x ＋5〕〔x －5〕＝3x 2－15x x 2－25. 5．练习：通分：(1)13x 2与512xy ；(2)1x 2＋x 与1x 2－x ；(3)1〔2－x 〕2与x x 2－4.教师引导：通分的关键是先确定最简公分母；如果分式的分母是多项式那么应先将分母分解因式，再按上述的方法确定分式的最简公分母．学生板演并互批及时纠错．6．思考：分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 教师让学生讨论、交流，师生共同作以小结．三、课堂小结1．什么是分式的约分？怎样进行分式的约分？什么是最简分式？2．什么是分式的通分？怎样进行分式的通分？什么是最简公分母？3．本节课你还有哪些疑惑？四、布置作业，7题．本节课是在学习了分式的根本性质后学的，重点是运用分式的根本性质正确的约分和通分，约分时要注意一定要约成最简分式，熟练运用因式分解；通分时要将分式变形后再确定最简公分母．15．2分式的运算15．分式的乘除(2课时)第1课时分式的乘除法1．理解并掌握分式的乘除法那么．2．运用法那么进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题．重点掌握分式的乘除运算．难点分子、分母为多项式的分式乘除法运算．一、复习导入1．分数的乘除法的法那么是什么？2．计算：35×1512；35÷152. 由分数的运算法那么知35×1512＝3×155×12；35÷152＝35×215＝3×25×15. 3．什么是倒数？我们在小学学习了分数的乘除法，对于分式如何进行计算呢？这就是我们这节要学习的内容．二、探究新知问题1：一个水平放置的长方体容器，其容积为V ，底面的长为a ，宽为b 时，当容器的水占容积的m n时，水面的高度是多少？ 问题2：大拖拉机m 天耕地a hm 2，小拖拉机n 天耕地b hm 2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？问题1求容积的高V ab ·m n ，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的a m ÷b n倍．根据上面的计算，请同学们总结一下对分式的乘除法的法那么是什么？分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． a b ·c d ＝a·c b·d ；a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a·d b·c. 三、举例分析例1计算：(1)4x 3y ·y 2x 3；(2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd. 分析：这道例题就是直接应用分式的乘除法法那么进行运算．应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，再计算结果．解：(1)4x 3y ·y 2x 3＝4xy 6x 3y ＝23x 2； (2)ab 32c 2÷－5a 2b 24cd ＝ab 32c 2·4cd －5a 2b 2＝－4ab 3cd 10a 2b 2c 2＝－2bd 5ac. 例2计算：(1)a 2－4a ＋4a 2－2a ＋1·a －1a 2－4； (2)149－m 2÷1m 2－7m. 分析：这两题是分子与分母是多项式的情况，首先要因式分解，然后运用法那么．解：(1)原式〔a －2〕2〔a －1〕2·a －1〔a ＋2〕〔a －2〕＝a －2〔a －1〕〔a ＋2〕； (2)原式1〔7－m 〕〔7＋m 〕÷1m 〔m －7〕＝1〔7－m 〕〔7＋m 〕·m 〔m －7〕1＝－m m ＋7. 例3“丰收1号〞小麦试验田边长为a 米(a ＞1)的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的局部，“丰收2号〞小麦的试验田是边长为(a －1)米的正方形，两块试验田的小麦都收获了500千克．(1)哪种小麦的单位面积产量高？(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？分析：此题的实质是分式的乘除法的运用．解：(1)略．(2)500〔a －1〕2÷500a 2－1＝500〔a －1〕2·a 2－1500＝a ＋1a －1. “丰收2号〞小麦的单位面积产量是“丰收1号〞小麦的单位面积产量的a ＋1a －1倍． 四、随堂练习1．计算：(1)c 2ab ·a 2b 2c ；(2)－n 22m ·4m 25n 3；(3)y 7x ÷(－2x)； (4)－8xy÷2y 5x ；(5)－a 2－4a 2－2a ＋1·a 2－1a 2＋4a ＋4；(6)y 2－6y ＋9y ＋2÷(3－y)． 答案：(1)abc ；(2)－2m 5n ；(3)－y 14；(4)－20x 2；(5)－〔a ＋1〕〔a －2〕〔a －1〕〔a ＋2〕；(6)3－y y ＋2. 2．教材第137页练习1，2，3题．五、课堂小结(1)分式的乘除法法那么；(2)运用法那么时注意符号的变化；(3)因式分解在分式乘除法中的应用；(4)步骤要完整，结果要最简．最后结果中的分子、分母既可保持乘积的形式，也可以写成一个多项式，如〔a －1〕2a 或a 2－2a ＋1a. 六、布置作业，2题．本节课从两个具有实际背景的问题出发，使学生在解决问题的过程中认识到分式的乘除法是由实际需要产生的，进而激发他们学习的兴趣，接着，从分数的乘除法那么的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘法法那么．有利于学生接受新知识，而且能表达由数到式的开展过程．第2课时分式的乘方及乘方与乘除的混合运算1．进一步熟练分式的乘除法法那么，会进行分式的乘、除法的混合运算．2．理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算． 重点分式的乘方运算，分式的乘除法、乘方混合运算．难点分式的乘除法、乘方混合运算，以及分式乘法、除法、乘方运算中符号确实定．一、复习引入1．分式的乘除法法那么．分式的乘法法那么：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母． 分式的除法法那么：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．2．乘方的意义：a n ＝a·a·a·…·a(n 为正整数)．二、探究新知例1(教材例4) 计算2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3. 解：2x 5x －3÷325x 2－9·x 5x ＋3＝2x 5x －3·25x 2－93·x 5x ＋3(先把除法统一成乘法运算) ＝2x 23.(约分到最简公式) 分式乘除运算的一般步骤：(1)先把除法统一成乘法运算；(2)分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；(3)确定分式的符号，然后约分；(4)结果应是最简分式．1．由整式的乘方引出分式的乘方，并由特殊到一般地引导学生进行归纳．(1)(a b )2＝a b ·a b ＝a 2b 2； ↑↑由乘方的意义由分式的乘法法那么(2)同理：(a b )3＝a b ·a b ·a b ＝a 3b 3； (a b )n ＝a b ·a b ·…·a b n 个＝a ·a ·…·an 个b ·b ·…·bn 个＝a n b n . 2．分式乘方法那么：分式：(a b )n ＝a nb n .(n 为正整数) 文字表达：分式乘方是把分子、分母分别乘方．3．目前为止，正整数指数幂的运算法那么都有什么？(1)a n ·a n ＝a m ＋n ；(2)a m ÷a n ＝a m －n ；(3)(a m )n ＝a mn ；(4)(ab)n ＝a n b n ；(5)(a b )n ＝a nb n . 三、举例分析例2计算：(1)(－2a 2b 3c)2； (2)(a 2b －cd 3)3÷2a d 3·(c 2a )2. (3)(－x 2y )2·(－y 2x )3÷(－y x)4； (4)a 2－b 2a 2＋b 2÷(a －b a ＋b)2. 解：(1)原式＝〔－2a 2b 〕2〔3c 〕2＝4a 4b 29c 2； (2)原式＝a 6b 3－c 3d 9·d 32a ·c 24a 2＝－a 3b 38cd 6； (3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y 4＝－x 5； (4)原式＝〔a ＋b 〕〔a －b 〕a 2＋b 2·〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2＝〔a ＋b 〕3〔a －b 〕〔a 2＋b 2〕. 学生板演、纠错并及时总结做题方法及应注意的地方：①对于乘、除和乘方的混合运算，应注意运算顺序，但在做乘方运算的同时，可将除变乘；②做乘方运算要先确定符号．例3计算：(1)b 3n －1c 2a 2n ＋1·a 2n －1b 3n －2；(2)(xy －x 2)÷x 2－2xy ＋y 2xy ·x －y x 2； (3)(a 2－b 2ab )2÷(a －b a)2. 解：(1)原式＝b 3n －2·b ·c 2a 2n －1·a 2·a 2n －1b3n －2＝bc 2a 2； (2)原式＝－x 〔x －y 〕1·xy 〔x －y 〕2·x －y x 2＝－y ； (3)原式＝〔a ＋b 〕2〔a －b 〕2a 2b 2·a 2〔a －b 〕2＝a 2＋2ab ＋b 2b 2. 本例题是本节课运算题目的拓展，对于(1)指数为字母，不过方法不变；(2)(3)是较复杂的乘除乘方混合运算，要进一步让学生熟悉运算顺序，注意做题步骤．四、稳固练习教材第139页练习第1，2题．五、课堂小结1．分式的乘方法那么．2．运算中的本卷须知．六、布置作业．分式的乘方运算这一课的教学先让学生回忆以前学过的分数的乘方的运算方法，然后采用类比的方法让学生得出分式的乘方法那么．在讲解例题和练习时充分调动学生的积极性，使大家都参与进来，提高学习效率．15．分式的加减(2课时)第1课时分式的加减理解并掌握分式的加减法那么，并会运用它们进行分式的加减运算．重点运用分式的加减运算法那么进行运算．难点异分母分式的加减运算．一、复习提问1．什么叫通分？2．通分的关键是什么？3．什么叫最简公分母？4．通分的作用是什么？(引出新课)二、探究新知1．出示教材第139页问题3和问题4.教材第140页“思考〞．分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同．观察以下分数加减运算的式子：15＋25＝35，15－25＝－15，12＋13＝36＋26＝56，12－13＝36－26＝16.你能将它们推广，得出分式的加减法法那么吗？教师提出问题，让学生列出算式，得到分式的加减法法那么．学生讨论：组内交流，教师点拨．2．同分母的分式加减法． 公式：a c ±b c ＝a±b c.文字表达：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．3．异分母的分式加减法． 分式：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad±bcbd.文字表达：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 三、典型例题例1(教材例6) 计算：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2；(2)12p ＋3q ＋12p －3q . 解：(1)5x ＋3y x 2－y 2－2x x 2－y 2＝5x ＋3y －2x x 2－y 2＝3x ＋3y x 2－y 2＝3x －y；(2)12p ＋3q ＋12p －3q ＝2p －3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＋2p ＋3q〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝2p －3q ＋2p ＋3q 〔2p ＋3q 〕〔2p －3q 〕＝4p4p 2－9q 2.小结：(1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号． (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分． 例2计算：m ＋2n n －m ＋n m －n －2mn －m. 分析：(1)分母是否相同？(2)如何把分母化为相同的？(3)注意符号问题． 解：原式＝m ＋2n n －m －n n －m －2mn －m＝m ＋2n －n －2mn －m＝n －mn －m＝1.四、课堂练习1．教材第141页练习1，2题． 2．计算：(1)56ab －23ac ＋34abc ；(2)12m 2－9＋23－m ； (3)a ＋2－42－a；(4)a 2－b 2ab －ab －b 2ab －ab 2.五、课堂小结1．同分母分式相加减，分母不变，只需将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号．2．对于整式和分式之间的加减运算，那么把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分．3．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否为最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化．4．作为最后结果，如果是分式那么应该是最简分式． 六、布置作业 ，5题．从直观的分数加减运算开始，先介绍同分母分式的加减运算的具体方法，通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律，表达了数学知识间具体与抽象、从特殊到一般的内在联系．而后，利用同样的类比方法，安排学习异分母的分式加减运算，这样由简到繁、由易到难，符合学生认知的开展规律，有助于知识的层层落实与掌握．第2课时分式的混合运算1．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算． 2．能灵活运用运算律简便运算．重点熟练地进行分式的混合运算． 难点熟练地进行分式的混合运算． 一、复习引入回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？ 1．分式的乘除运算主要是通过( )进行的，分式的加减运算主要是通过( )进行的．2．分数的混合运算法那么是( )，类似的，分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号的先算( )里面的．二、探究新知 1．典型例题 例1计算：(x ＋2x －2＋4x 2－4x ＋4)÷x x －2. 分析：应先算括号里的． 例2计算：x ＋2y ＋4y 2x －2y －4x 2yx 2－4y 2.分析：(1)此题应采用逐步通分的方法依次进行； (2)x ＋2y 可以看作x ＋2y1.例3计算：12x －1x ＋y ·(x ＋y 2x－x －y)．分析：此题可用分配律简便计算．例4 [1〔a ＋b 〕2－1〔a －b 〕2]÷(1a ＋b －1a －b)．分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分．例5(教材例7) 计算(2a b )2·1a －b －a b ÷b4.解：(2a b )2·1a －b －a b ÷b4＝4a 2b 2·1a －b －a b ·4b＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a b 2＝4a 2b 2〔a －b 〕－4a 〔a －b 〕b 2〔a －b 〕 ＝4a 2－4a 2＋4ab b 2〔a －b 〕＝4ab b 2〔a －b 〕＝4aab －b 2. 点拨：式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减． 例6(教材例8) 计算： (1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m； (2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x .解：(1)(m ＋2＋52－m )·2m －43－m＝〔m ＋2〕〔2－m 〕＋52－m ·2m －43－m＝9－m 22－m ·2〔m －2〕3－m ＝〔3－m 〕〔3＋m 〕2－m ·－2〔2－m 〕3－m＝－2(m ＋3)；(2)(x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4)÷x －4x＝[x ＋2x 〔x －2〕－x －1〔x －2〕2]·xx －4 ＝〔x ＋2〕〔x －2〕－〔x －1〕x x 〔x －2〕2·xx －4＝x 2－4－x 2＋x〔x －2〕2〔x －4〕 ＝1〔x －2〕2.分式的加、减、乘、除混合运算要注意以下几点：(1)一般按分式的运算顺序法那么进行计算，但恰当地使用运算律会使运算简便．(2)要随时注意分子、分母可进行因式分解的式子，以备约分或通分时用，可防止运算烦琐．(3)注意括号的“添〞或“去〞、“变大〞与“变小〞． (4)结果要化为最简分式．强化练习，引导学生及时纠正在例题中出现的错误，进一步提高运算能力．三、稳固练习1．(1)x 2x －1－x －1；(2)(1－2x ＋1)2÷x －1x ＋1；(3)2ab 〔a －b 〕〔a －c 〕＋2bc 〔a －b 〕〔c －a 〕； (4)(1x －y ＋1x ＋y )÷xy x 2－y 2. 2．教材第142页第1，2题．四、课堂小结1．分式的混合运算法那么是先算( )，再算( )，最后算( )，有括号先算( )里的．2．一些题应用运算律、公式能简便运算．五、布置作业 1．．2．先化简再求值1x ＋1－1x 2－1·x 2－2x ＋1x ＋1，其中x ＝2－1.分式的混合运算是分式这一章的重点和难点，涉及到因式分解和通分这两个较难的知识点，可根据学生的具体情况，适当增加例题、习题，让学生熟练掌握分式的运算法那么并提高运算能力．15．整数指数幂1．知道负整数指数幂a －n ＝1a n .(a ≠0，n 是正整数)2．掌握整数指数幂的运算性质．3．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．重点掌握整数指数幂的运算性质，会有科学记数法表示绝对值小于1的数． 难点负整数指数幂的性质的理解和应用． 一、复习引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是正整数)； (2)幂的乘方：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数)；(3)积的乘方：(ab)n ＝a n b n (n 是正整数)；(4)同底数的幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)； (5)分式的乘方：(a b )n ＝a nb n (n 是正整数)．2．回忆0指数幂的规定，即当a ≠0时，a 0＝1. 二、探究新知(一)≠0时，a 3÷a 5＝a 3a 5＝a 3a 3·a 2＝1a2，再假设正整数指数幂的运算性质a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 是正整数，m ＞n)中的m ＞n 这个条件去掉，那么a 3÷a 5＝a 3－5＝a －2.于是得到a －2＝1a 2(a ≠0)．总结：负整数指数幂的运算性质：一般的，我们规定：当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．2．练习稳固：填空：(1)－22＝________， (2)(－2)2＝________， (3)(－2)0＝________，(4)20＝________，(5)2－3＝________，(5)(－2)－3＝________． 3．例1 (教材例9) 计算： (1)a－2÷a 5；(2)(b 3a 2)－2； (3)(a －1b 2)3；(4)a －2b 2·(a 2b －2)－3. 解：(1)a －2÷a 5＝a－2－5＝a －7＝1a7；(2)(b 3a 2)－2＝b －6a －4＝a 4b －6＝a 4b 6；(3)(a －1b 2)3＝a －3b 6＝b 6a 3； (4)a－2b 2·(a 2b －2)－3＝a －2b 2·a －6b 6＝a －8b 8＝b 8a 8. [分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式．4．练习：计算：(1)(x 3y －2)2；(2)x 2y －2·(x －2y)3；(3)(3x 2y －2)2÷(x －2y)3.5．例2判断以下等式是否正确？ (1)a m ÷a n ＝a m ·a －n ；(2)(a b)n ＝a n b －n .[分析] 类比负数的引入使减法转化为加法，得到负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断等式是否正确．(二)因为0.1＝110＝10－1；0.01＝________＝________；0．001＝________＝________……××10－5.我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n的形式，其中n 是正整数，1≤|a|＜10.2．例3(教材例10) 纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10－9米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上.1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？(物体之间的间隙忽略不计)[分析] 这是一个介绍纳米的应用题，是应用科学记数法表示小于1的数． 3．用科学记数法表示以下各数： 0．0004，，00045，009.4．计算：(1)(3×10－8)×(4×103)；(2)(2×10－3)2÷(10－3)3. 三、课堂小结1．引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立． 2．科学记数法不仅可以表示一个值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a 必须满足1≤|a|＜10，其中n 是正整数．四、布置作业 ，8，9题．本节课教学的主要内容是整数指数幂，将以前所学的有关知识进行了扩充．在本节的教学设计上，教师重点挖掘学生的潜在能力，让学生在课堂上通过观察、验证、探究等活动，加深对新知识的理解．15．3分式方程(2课时) 第1课时分式方程的解法1．理解分式方程的意义．2．理解解分式方程的根本思路和解法．3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．重点解分式方程的根本思路和解法． 难点理解解分式方程时可能无解的原因． 一、复习引入问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？[分析]设江水的流速为x 千米/时，根据题意，得9030＋v ＝6030－v.① 方程①有何特点？[概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？ 辨析：判断以下各式哪个是分式方程．(1)x ＋y ＝5；(2)x ＋25＝2y －z 3；(3)1x ；(4)y x ＋5＝0；(5)1x ＋2x ＝5.根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 二、探究新知1．思考：怎样解分式方程呢？为了解决本问题，请同学们先思考并答复以下问题：(1)回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ (2)有没有方法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下：方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得90(30－v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得v ＝6.所以江水的流度为6千米/时．[概括]上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．2．例1解方程：1x －5＝10x 2－25.②解：方程两边同乘(x 2－25)，约去分母，得x ＋5＝10. 解这个整式方程，，当x ＝5时，原分式方程左边和右边的分母(x －5)与(x 2－25)都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x ＝5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解．解分式方程的步骤：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解分式方程时必须进行检验．3．那么，可能产生“增根〞的原因在哪里呢？解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解v ＝6.当v ＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．方程②两边乘(x －5)(x ＋5)，得到整式方程，它的解x ＝5.当x ＝5时，(x －5)(x ＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为零．如果为零，即为增根．如例1中的x ＝5，代入x 2－25＝0，可知x ＝5是原分式方程的增根．三、举例分析 例2(教材例1) 解方程2x －3＝3x. 解：方程两边乘x(x －3)，得2x ＝3x －9. 解得x ＝9.检验：当x ＝9时，x(x －3)≠0. 所以，原分式方程的解为x ＝9. 例3(教材例2) 解方程x x －1－1＝3〔x －1〕〔x ＋2〕. 解：方程两边乘(x －1)(x ＋2)，得x(x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝3.解得x ＝1.检验：当x ＝1时，(x －1)(x ＋2)＝0，因此x ＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．四、课堂小结1．分式方程：分母中含有未知数的方程． 2．解分式方程的一般步骤如下：。
分式的乘除法.
一个人的成就大小和一个人的 努力程度成正比。知识的海洋里， 需要你扬帆前行！
感谢各位老师的指导，感谢同学 们的合作，祝老师们工作顺利， 同学们学习进步。
寺下中学：徐渊
学习目标：
(一)知识与技能目标 使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进 行运算，能解决一些与分式有关的实际问题． （二）过程与方法目标 经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合 具体情境说明其合理性 （三）情感与价值目标 渗透类比转化的思想，让学生在学知识的同时学 到方法，受到思维训练．
负号 怎么 得来 的？
m( m 7) (7 m )(7 m )
m 7m
解疑
廖玮敏一次看数学周报，看到一道题： 当 x 5 2 2 时，求代数式 x 2 2 x 1
x2 1 x 1 的 2 2x 2x
值，他一看：“太复杂了，怎么算呢？”同学们你能 帮他解决问题吗？
a c ac b d bd
如果让这里的整数换 成整式，这个结论还 成立吗？
分数乘分数:用分子的积做积的分子，分 母的积做积的分母； 分数除以分数:把除式的分子、分母颠倒 位置后，与被除式相乘.
答：成立
a c ac b d bd a c a d ad b d b c bc
ab 4cd 2 2 2 2c 3a b 2d 3ac
先把除法转 化为乘法
约分
试一试：谁算的又快又对(课本138页）
1、计算：
3a 16b 4b 解：（1）原式 2 4b 9a 3a
3a 16 b 1 2 4b 9 a
2 y2 3 3xy 3x
2
是多项式时， 先分解因式 便于约分.
约分.
沪教版七年级 分式的四则运算,带答案
分式的四则运算课时目标1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义.2．理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算. 3．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．知识精要1. 分式的乘除法法则a bcdacbd⋅=；abcdabdcadbc÷=⋅=当分子、分母是多项式时，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘.2. 分式的加减法（1）同分母的分式加减法法则：acbca bc±=±.（2）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程．4. 求最简公分母的法则（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；（3）相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的.5. 分式加减法的注意事项（1）通分的过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等，分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商；（2）通分后，当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误.（3）分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式.6. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数）注意：①分式的乘方，必须把分式加上括号.②在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分.热身练习1. (－2b a)2n的值是（ ）A ．222n n b a +B ．－222n n b a +C ．42n n b aD ．－42nn b a2. 计算(2x y)2·(2y x )3÷ (－y x )4得（ ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 153．计算（2x y ）·（y x ）÷（－y x ）的结果是（ ）A ．2x yB ．－2x y C ．x y D ．－x y4．（－2b m）2n +1的值是（ ）A ．2321n n b m ++B ．－2321n n b m ++C ．4221n n b m ++D ．－4221n n b m ++5．化简：(3x y z )2·(xz y )·(2yzx )3等于（ ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z6.计算（1） 322)23(c ab - （2）43222)()()(xym m y x xy m ÷-⋅-（3） 22222)(b a b a b a b a +-÷+- （4）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅（5）22)2(4422-++---x x x x x x （6）6554651651222222-+-+-++--++x x x x x x x x x （7）()()222624x x x ---+ （8）223y xy xy xy x y x +-+++（9）545422++-+x x x （10）()2222222222945929y x xyy x y y x y x y x --+--+--精讲名题例1. 223342222333243)125()25(])4()8()4()2([xy y x xy y x y x xy --÷---⨯--例2. ()242223232222222+++++--+-a a a a a a a a例3. 计算：xx xx x x x x x x x 4122121035632222-+-++---+++例4. 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c a c b a+++++的值例5.已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 例6. 1814121111842+-+-+-+--x x x x x例7. 计算 45342312+++++-++-++x x x x x x x x巩固练习类型一：分式的乘除运算（1）2222294255)23(m x m y x y x x m --⋅++- （2）xx x x x x x -++⋅+÷+--36)3(446222类型二：分式的加减运算（1） 2221311a a a a a ---+-- （2） 232a b c a b c b ca b c b c a c a b-+-+--++--+--（3）2422---x x x （4）22211y x xy x y x -+--+（5）224--+a a （6） 222244242x y y x y x y y x -+-++ (7) 已知y x a x y -=，y xb x y+=，求22a b -类型三：分式的混合运算(1)222244232n mn m n mn m n m n m +-+-+-- (2) 4222xx x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭(3)245(3)33x x x x -÷----- (4)111111--++x x(5)2222222265232y x y x y xy x y x y xy x y xy x -+⋅---÷+++-(6)已知：,02=-y x 求()()323322y x y x y x y x +-÷+-类型四：化简求值类型题（1）13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2（2）232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x =－45．（3）当1x =时，226336x x x x x x --+⋅-+-的值为多少？类型五：分式的拆分 1．设n 为自然数，计算：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n .2．计算：)100)(99(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x .自我测试一、选择题2. 下列分式是最简分式的（ ） A ．ba a 232 B ．aa a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a --3. 化简)2()242(2+÷-+-m mm m 的结果是（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．（m ＋2）24. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．－25. 化简(x y －y x ) ÷x yx -的结果是（ ）A ．1yB ．x y y +C ．x y y -D ．y二、填空题6. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 .7. 化简： aa 12-÷(1+a 1)= ．8. 化简：4)222(2-÷--+x x x x x x 的结果为 ．9. 若x 2-3x +1=0，则2421x x x ++的值为_________．10.化简12-a ·442++a a ÷2+a ＋12-a ，其结果是________．三、计算题 11. 计算(1) 22399xx x --- (2) x x x x x x x x x x 23832372325322222--+--+++--+ (3)()()3232x y xy y x yx -+- (4))50153050152(5015222+-++---+-x x x x x x x x(5)aaa a a a -÷+--36)33( (6)5132651813261522-+÷----⨯-+-x x x x x x x x12.化简求值 (1)aa -+-21442，并求时原式的值.(2)先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ．(3)按下列程序计算：答案平方−→−-−→−÷−→−+−→−−→−n n n n 填表并请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简． 输入n 3… 输出答案 11分式的四则运算课时目标1．理解通分的意义，理解最简公分母的意义.2．理解分式乘、除法，乘方的法则，会进行分式乘除运算. 3．明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算．知识精要1. 分式的乘除法法则a b c d ac bd ⋅=；a b c d a b d c adbc÷=⋅= 当分子、分母是多项式时，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘. 2. 分式的加减法（1）同分母的分式加减法法则：a cbc a bc±=±.（2）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减. 3. 通分：根据分式的基本性质把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等 的同分母的分式的过程． 4. 求最简公分母的法则（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； （3）相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的. 5. 分式加减法的注意事项（1）通分的过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等，分式的分子、 分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商；（2）通分后，当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项， 从而避免符号错误.（3）分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分， 将结果化为最简分式或整式.6. 分式乘方的法则：()a b a bn nn =（n 为正整数）注意：①分式的乘方，必须把分式加上括号.②在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算 乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分.热身练习1. (－2b a)2n的值是（ C ）A ．222n n b a +B ．－222n n b a +C ．42n n b aD ．－42nn b a2. 计算(2x y)2·(2y x )3÷ (－y x )4得（ A ）A ．x 5B ．x 5yC ．y 5D ．x 153．计算（2x y ）·（y x ）÷（－y x ）的结果是（ B ）A ．2x yB ．－2x y C ．x y D ．－x y4．（－2b m）2n +1的值是（ D ）A ．2321n n b m ++B ．－2321n n b m ++C ．4221n n b m ++D ．－4221n n b m ++5．化简：(3x y z )2·(xz y )·(2yzx )3等于（ B ）A ．232y z xB ．xy 4z 2C ．xy 4z 4D ．y 5z6.计算（1） 322)23(c ab - （2）43222)()()(x ym m y x xy m ÷-⋅-解： 原式=663827c b a - 解：原式=338ym x -（3） 22222)(b a b a b a b a +-÷+- （4）)4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅ 解：原式=))(()(223b a b a b a +-+ 解：原式=32916ax b（5）22)2(4422-++---x xx x x x （6）6554651651222222-+-+-++--++x x x x x x x x x解：原式=21-+x x 解：原式=64+-x x （7）()()222624x x x ---+ （8）223y xy x y xy x y x +-+++ 解：原式=21-x 解：原式=xy x y -3（9）545422++-+x x x （10）()2222222222945929y x xyy x y y x y x y x --+--+-- 解：原式=)1)(5(24-+-x x x 解：原式=0精讲名题例1. 223342222333243)125()25(])4()8()4()2([xy y x xy y x y x xy --÷---⨯-- 解：原式=)55()2222(426912624242669661244yx y x y x y x y x y x -÷⋅=)1()(51022y x y x -⋅=361yx -例2. ()242223232222222+++++--+-a a a a a a a a 解：原式=326322=++a a例3. 计算：x x xx x x x x x x x 4122121035632222-+-++---+++解：原式=)2)(2(12)1)(2()1()2)(5()1)(5(2-++-+---+++x x x xx x x x x x x=)2)(2(122121-+++---+x x x x x x =)2)(2(126-++x x x=26-x例4. 已知0a b c ++=，求111111()()()a b c b c a c b a+++++的值解：由已知得：a c b b c a c b a -=+-=+-=+,,∴原式=a cb c c b a b c a b a +++++ =acb c b a b c a +++++ =－3例5.已知6112=++a a a ，试求1242++a a a 的值 解：由已知得：612=++a a a ，即611=++aa 51=+∴a a 232)1(1222=-+=+∴aa a a2411122224=++=++∴a a a a a 2411242=++∴a a a例6. 1814121111842+-+-+-+--x x x x x 解：原式=181412128422+-+-+--x x x x =181414844+-+--x x x =181888+--x x =11616-x例7. 计算 45342312+++++-++-++x x x x x x x x 解：原式=411311211111++++--+--++x x x x =41312111+++-+-+x x x x =)3)(2(52)4)(1(52+++-+++x x x x x x=24503510104234+++++x x x x x巩固练习类型一：分式的乘除运算（1）2222294255)23(m x m y x y x x m --⋅++- （2）xx x x x x x --+⋅+÷+--36)3(446222解：原式=)23(5--x m y x 解：原式=22--x类型二：分式的加减运算（1） 2221311a a a a a ---+-- （2） 232a b c a b c b c a b c b c a c a b-+-+--++--+-- 解：原式=2- 解：原式=0（3）2422---x x x （4）22211y x xy x y x -+--+ 解：原式=2+x 解：原式=yx +2（5）224--+a a （6） 222244242x y y x y x y y x -+-++ 解：原式=242++-a a 解：原式=yx x 22+(7) 已知y x a x y -=，y xb x y+=，求22a b - 解：原式=4)2(2))((-=-⋅=-+yxx y b a b a类型三：分式的混合运算(1)222244232n mn m n mn m n m n m +-+-+-- (2) 4222xx x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭ 解：原式=nm nm 222-- 解：原式=)2(2+x x(3)245(3)33x x x x -÷----- (4)111111--++x x 解：原式=22+-x 解：原式=)2)(1()1)(2(-+-+x x x x(5)2222222265232y x yx y xy x y x y xy x y xy x -+⋅---÷+++- 解：原式=yx yx 26+-(6)已知：,02=-y x 求()()323322y x y x y x y x +-÷+- 解：原式=))(()())(()(223334y xy x y x y x y x y x y x +--+=+-+又x y 2=，代入得： 原式=－9类型四：化简求值类型题（1）13)11132(22--÷-+----x x x x x x x ．其中x ＝2解：原式=34--x ， 当x ＝2时，原式=4.（2）232282x x x x x +-++÷（2x x -·41x x ++）．其中x =－45．解：原式=11+x ， 当x =－45时，原式=5.（3）当1x =时，226336x x x x x x --+⋅-+-的值为多少？ 解：原式=22-+x x ， 当1x =时，原式=－3.类型五：分式的拆分1．设n 为自然数，计算：)1(1431321211+++⨯+⨯+⨯n n . 解：原式=11141313121211+-++-+-+-n n =111+-n =1+n n3．计算：)100)(99(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x . 解：原式=100199********+-++++-+++-x x x x x x =10011+-x x =)100(100+x x 自我测试一、选择题A. a +bB. a -bC. a 2-b 2D. 12. 下列分式是最简分式的（ C ）A ．b a a232 B ．a a a 32- C ．22b a b a ++ D ．222b a ab a -- 3. 化简)2()242(2+÷-+-m mm m 的结果是（ B ） A ．0B ．1C ．－1D ．（m ＋2）2 4. 已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ D ） A ．21 B ．21- C ．2 D ．－2 5. 化简(x y －y x ) ÷x y x -的结果是（ B ） A ． 1y B ． x yy + C ． x yy - D ．y二、填空题6. 如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 －3 . 7. 化简： aa 12-÷(1+a 1)= a －1 ． 8. 化简：4)222(2-÷--+x x x x x x 的结果为 x -6 ．10.化简122-+a a ·4412++-a a a ÷21+a ＋122-a ，其结果是11-a ． 三、计算题11. 计算(1) 22399x x x --- (2)x x x x x x x x x x 23832372325322222--+--+++--+ 解：原式=31+-x 解：原式=(3)()()3232x y xy y x yx -+- (4))50153050152(5015222+-++---+-x x x x x x x x 解：原式=2)(y x xy - 解：原式=53-x (5)aa a a a a -÷+--36)33( (6)5132651813261522-+÷----⨯-+-x x x x x x x x 解：原式=aa a a a a a a 633633-⋅+--⋅- 解：原式=252-x =)3(6361+-+-a a =31+-a12.化简求值 (1)aa -+-21442，并求3-=a 时原式的值. 解：原式=21+-a 当3-=a 时，原式=1.(2)先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a ． 解：原式=22--a a由已知得：02=-a a∴原式=－2(3)按下列程序计算：答案平方−→−-−→−÷−→−+−→−−→−n n n n 填表并请将题中计算程序用代数式表达出来，并化简． 输入n3 … 输出答案 1 1解：12=-+n nn n。
八年级数学上册分式知识点
八年级数学上册分式知识点八年级数学上册分式知识点在我们的学习时代，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。
哪些才是我们真正需要的知识点呢？下面是店铺帮大家整理的八年级数学上册分式知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。
八年级数学上册分式知识点1分式知识点1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0;分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：分式AB=0的条件是A=0，且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为(其中A、B、C是整式)，5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;(2)找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
多项式的除法及分式的裂项
又例如，2()21f x x ，3()3 1.g x x x因为()f x 与()g x 除去零次多项式外没有其他的公因式，则((),())1f x g x ，即()f x 与()g x 是互质的。
（2）能同时被非零多项式()f x 与g (x )整除的多项式中，次数最低的多项式称为()f x 与 g (x )的最低公倍式. 显然，()()((),())f xg x f x g x 是()f x 与g (x )的最低公倍式，把它们记为[(),()]f x g x ，即[(),()]f x g x ＝()()((),())f xg x f x g x这个关系类似于整数中的最小公倍数与最大公约数的关系.（3）若((),())f x g x ＝1，则称分式()()f xg x 为既约分式或最简分式. 分式运算的结果都要化为既约分式.（4）与分数类似，分式的基本性质是： ① ()()f x g x ＝()()()()f x h x g x h x (h (x )≠0)； ②()()f x g x ＝()()()()f x h xg xh x (h (x )≠0)， 即分子、分母同乘以(或除以)一个非零多项式，分式的值不变.这个性质是分式进行约分与通分的基础.二、综合除法综合除法是多项式除法运算的一种简便算法，实质上它是分离系数法通过变形发展的结果.设()f x 与g (x )为多项式，且()f x 的次数不低于g (x )的次数，而g (x )≠0，当()f x 除以g (x )得商q (x )和余式r (x )时，有()()f x g x ＝q(x )＋()()r x g x （1） 或 ()f x ＝g (x )×q (x )＋r (x ) （2） 成立. 其中q (x )的次数是()f x 与g (x )的次数的差，r (x )的次数低于g (x )的次数. 易得（2）式中q (x )与r (x )唯一存在.显然，当()f x 能够被g (x )整除时，r (x )＝0.注意：多项式除以多项式时，被除式与除式都要按降幂排列，凡缺项都要用“0”补上. 为了说明综合除法，先看我们已经学过的长除法.例1 求()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商及余式. 解2x 4＋5x 3－24x 2＋0＋15－) 2x 4－4x 3x －22x 3 ＋ 9x 2－6x －129x 3－24x 2－) 9x 3－18x 2（商 式）－6x 2＋0 －) －6x 2＋12x－12x ＋15 －) －12x ＋24－9 （余 式）故()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商式q (x )＝2x 3＋9x 2－6x －12，余式r (x )＝－9.我们可以看到，多项式除法运算和乘法运算一样，最关键的是各项系数的运算. 因而也可以用分离系数法将上式写成：2 ＋5 －24 ＋0 ＋15－) 2 －41 －22 ＋9 －6 －129 －24－) 9 －18（商 式） －6 ＋0－) －6 ＋12－12 ＋15 －) －12 ＋24－9 （余 式）所以()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商式q (x )＝2x 3＋9x 2－6x －12，余式r (x )＝－9.显然，分离系数法比长除法简单. 为了使除法格式书写更简单一些，我们进一步讨论被除式、除式、商式以及余式间的系数关系.设多项式121210()n n n n n n f x a x a x a x a x a (a n ≠0)除以x －a 所得的商是121210()n n n n q x b x b x b x b (1n b ≠0)余数是r .下面用待定系数法来确定q (x )中的系数与余数r . 由（2）式得()f x ＝(x －a )×q (x )＋r （3） 即 121210n n n n n n a x a x a x a x a121210()()n n n n x a b x b x b x b r1121010()()()n n n n n n b x b ab x b ab x r ab因为上式为恒等式，两边x 的同次项系数相等，即a n ＝1n b121n n n a b ab………… a 1＝b 0－ab 1 a 0＝r －ab 0于是有1n b ＝a n2n b ＝11n n a ab………… b 0＝a 1＋ab 1 r ＝a 0＋ab 0把这一计算过程列成竖式为a n 1n a … a 1 a 0 ＋） 1n ab … ab 1 ab 0a（4）1n b 1n a ＋1n ab … a 1＋ab 1 a 0＋ab 0↓ ↓ ↓ ↓1n b 2n b … b 0 r例如，求()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋15除以g (x )＝x －2的商及余数. 先把()f x 按x 降幂排列，并用“0”补上缺项，即()f x ＝2x 4＋5x 3－24x 2＋0＋15由此确定（4）式中第一行各项的系数依次是2, 5,24 , 0, 15. 再由x －2确定a ＝2，于是由（4）式得2 ＋5 －24 0 ＋15＋4 ＋18 －12 －24 22 ＋9 － 6 －12－ 9因此，所求的商为2x 3＋9x 2－6x －12，余数为－9. 用算式（4）进行的除法，叫做综合除法.例2 用综合除法计算：(x 3＋8x 2－2x －14) (x ＋1). 解1 ＋8 －2 －14－1 －7 ＋ 9 －11 ＋7 －9－ 5于是所求的商式为x 2＋7x －9，余数是－5.如果g (x )＝kx －b (k ≠0)，可先将除式变形为kx －b ＝k b x k用综合除法求出()f x 除以b x k的商q *(x )和余式r *. 它们满足关系式：()f x ＝q *(x )b x k＋r *，即()f x ＝1k q *(x )(kx －b )＋r *把这个式子与()f x ＝q (x )(kx －b )＋r 相比较，得q (x )＝1kq *(x )， r ＝r * 以上说明，当除式为kx －b 时，可先用b x k 除被除式()f x . 若bx k除()f x 所得的商与余式依次为q *(x )与r *，则kx －b 除()f x 所得的商与余式就分别是q *(x ) k 与r *. 一般地，在多项式除法中，如果把除式缩小k 倍，则所得的商就扩大k 倍，但余式不变.例3 用综合除法求()f x 除g (x )的商q (x )及余数r ，其中()f x ＝6x 3＋13x 2＋27x ＋15， g (x )＝3x ＋2解 因为g (x )＝3x ＋2＝323x，于是6 ＋13 ＋27 ＋15－4 －6 －14－233 6 ＋9 ＋21＋12 ＋3 ＋7所以q (x )＝2x 2＋3x ＋7，r ＝1.对于除式高于一次多项式时，仍可以类似进行，只不过书写较为复杂. 例如，计算(2x 4－7x 3＋16x 2－15x ＋15) (x 2－2x ＋3)因为除式的首项系数是1，只改变除式第二、三项系数的符号，运算可简写为2 －7 ＋16 －15 ＋15＋4 －6－6 ＋9＋） ＋8 －12＋2 －32 －3 ＋4＋2 ＋3于是所求的商式为2x 2－3x ＋4，余式为2x ＋3.例4 用综合除法求：(6a 5＋5a 4b －8a 3b 2－6a 2b 3－6ab 4＋b 5) (2a 3＋3a 2b －b 3)解 因为(2a 3＋3a 2b －b 3)＝23233122a a b b，于是6 ＋5 －8 －6 －6 ＋1－9 ＋0 ＋3＋6 ＋0 －2＋3 ＋0 －1 －32＋0＋1226 －4 －2 ＋0 －8 ＋03 －2 －1所以q ＝3a 2－2ab －b 2，r ＝48.ab三、分式的运算与分数相似，分式也具有以下运算法则，其中()f x , g (x ), h (x ), k (x ), m (x ), n (x )都是多项式，且g (x ), h (x ), k (x )都不为0.（1）符号法则：()()f x g x ＝()()f x g x ＝－()()f x g x ＝－()()f xg x （2）加、减运算法则：()()f x h x ()()g x h x＝()()()f xg xh x ()()f x h x ()()g x k x ＝()()[(), ()]f x m x h x k x ()()[(), ()]g x n x h x k x ＝()()()()[(), ()]f x m xg x n xh x k x 其中m (x )h (x )＝n (x )k (x )＝[h (x ), k (x )].（3）乘、除运算法则：()()f x g x()()h x k x ＝()()()()f x h xg x k x ()()f x g x ()()h x k x ＝()()f x g x()()k x h x ＝()()()()f x k xg xh x （4）乘方法则：()[()]()[()]nnnf x f xg x g x()()()()[()][()]()()()()[()][()]n n nn nn n f x h x f x h x f x h x g x k x g x k x g x k x其中n N .（5）繁分式化解.若一个分式的分子或分母中含有分式，则称这个分式是繁分式. 化简繁分式就是要把它的分子和分母都化成整式. 通常可用分式的基本性质或分式的除法来化简.例5 计算下列各题： （1）2x －23242x x x ＋122x －242(1)x x x ； （2）2222a b a ab b － 33a b a b . 解 （1）原式＝2222(1)(3)(1)2(21)22(1)x x x x x x x x＝22442(1)x xx x ＝24(1)2(1)x x x x ＝21x .（2）原式＝22a b a ab b 22a b a ab b ＝24224()a b a a b b . 例6 化简：2222(1)(1)11(1)2(1)1111x x x x x x x x. 解 这是一个繁分式，可先把其分子、分母分别化简后，再进行除法运算. 但仔细观察式子的特点，就会看出分子、分母都是完全平方式，所以可以直接写成完全平方，再进行除法.原式＝222222111(1)1(1)1(1)11(1)1x x x x x x x x例7 已知a ＋b ＋c ＝0，求证：2222222221110b c a c a b a b c证明 由a ＋b ＋c ＝0知，a 2＝(b ＋c )2，于是2222221112()bc b c a b c b c 同理222112ac c a b ， 222112ab a b c把以上三式相加，并再次应用a ＋b ＋c ＝0，得222222222111b c a c a b a b c111222bc ac ab 2a b c abc ＝0所以 2222222221110b c a c a b a b c 习题 2-31. 用综合除法求()f x 除以()g x 的商式q 和余式r . （1）2()5412f x x x ，()2g x x ；（2）5432()3456f x x x x x x ，()1g x x ； （3）8()1f x x ，()1g x x ；（4）23()62921f x x x x ，()32g x x ； （5）3223()32f x x ax a x a ，()32g x x a ； （6）42()3561f x x x x ，2()34g x x x .2. 试把多项式3231013x x 表示成关于(2)x 的三次多项式.3. 试用综合除法求出下列各题中的,,,a b c d . （1）2221(1)(1)x x a x b x c ；（2）3232648(1)(1)(1)x x x a x b x c x d ； （3）32323810(2)(2)(2)x x a x b x c x d . 4. 化简下列分式：（1）2291487x x x x ； （2）22222222a b c ab a b c bc ；（3）323261161282718x x x x x x .5. 判断323211x x x x x x 是不是最简分式，为什么？6. 计算：（1）222111325643x x x x x x ；（2）222()6()()()()()()a b ab a b a b b c b a b c a b c b； （3）2222)26(12()a x x y m n m n m n x y m n； （4）22918(69).3x x x x x7. 化简下列各式：（1）2112111x x x x x； （2）11111111a.8.（1）已知2, 1a b ，求221a a b a a b a b a b的值； （2）已知12, 3x y ，求2222412916494(23)x xy y x y x y 的值.9.（1）若111, 1a b b c ，求证：10abc ； （2）若, , y x z y x za b c x z y x z y ，求证：()()()8a b c a b c a b c .10. 若a b b c c ax y z，且,,a b c 互不相等，求证：0x y z . 第四节 部分分式部分分式是分式运算和变形的重要内容，在高等数学中有着重要的应用. 如果一个有理分式的分子的次数小于分母的次数，则这个有理式分式叫做真分式；反之，就叫做假分式.利用多项式除法，总可以把一个假分式化成一个整式与一个真分式的和，且这种表示法是唯一的.因为假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和的形式，所以我们只研究真分式的情形就可以了.以往我们都是通过分式的加、减、乘、除等运算，把几个不同的分式转化为一个既约分式，但在很多实际问题中，却要求把一个真分式分解为几个真分式的代数和的形式. 例如，5321(31)(1)311x x x x x其中两个是比较简单的真分式，叫做原分式53(31)(1)x x x 的部分分式.定义 4.1（部分分式） 由一个真分式分解成几个真分式的代数和，这几个分式中的每一个真分式叫做原分式的部分分式或分项分式.由前面做分式加法的经验，再注意到(31)x 和(1)x 互质，可以知道，它们的最低公倍式是(3x －1)(x －1)，所以53(31)(1)x x x 一定是这样两个真分式31a x 与1b x 的和，即设53(31)(1)311x a bx x x x （1）其中a , b 是待定常数. 去分母，得53(1)(31)x a x b x于是有 53(3)()x a b x a b （2） 比较两边同次项的系数，得353a b a b所以2, 1.a b 把2, 1a b 代入（1）式，得5321(31)(1)311x x x x x这种求部分分式的方法称为待定系数法. 也可以这样来解：因为（2）式是恒等式，x 可以取任意值，令1x ，代入恒等式（2），得1b ；再令13x ，代入（2）式，得a ＝2. 所以5321(31)(1)311x x x x x这种求部分分式的方法称为数值代入法.例1 化分式43322132x x x x x x为部分分式.解 原分式为假分式，应先化为带分式，即43232322131(1)3232x x x x x x x x x x x x231(1)(1)(2)x x x x x x设 231(1)(2)12x x a b cx x x x x x去分母得231(1)(2)(2)(1)x x a x x bx x cx x下面用数值代入法求a , b , c . 令0,x 得112a ，12a； 1,x 得131(1)(12)b ，1b ；2,x 得461(2)(21)c ，1.2c所以 433221111(1)32212(2)x x x x x x x x x x例2 化分式23211x x 为部分分式.解 因为321(1)(1)x x x x ，故设23221111x a bx cx x x x 于是 2221(1)()(1)x a x x bx c x 即 2221()()x a b x a b c x a c 比较两边同次项系数，得201a b a b c a c解这个方程组，得1, 1, 0.a b c 所以232211111x xx x x x 例3 化分式2225(2)(12)x x x x 为部分分式.解 类比于例2，原式可设为212(2)ax e cxx ，但由于 2222(2)(2)(2)(2)2(2)(2)(2)2(2)ax e ax a a e a x a e a a ex x x x x而2a e 为常数，令2a e b ，于是可设22225(2)(12)2(2)12x x a b cx x x x x即 2225(2)(12)(12)(2)x x a x x b x c x以2x 代入上式，得53b ；以12x 代入上式，得179c .为了求得a ，比较上式两边2x 的系数，得12a c . 将179c代入上式，得49a . 所以 222254517(2)(12)9(2)3(2)9(12)x x x x x x x例4 化分式2321(1)x x x 为部分分式.解 把分子展开为关于1x 的二次多项式，即2221(1)(1)[(1)](1)x x a x b x c a x b x c由此可看出，连续作综合除法，就可求出,,.a b c2 －1 ＋1＋2 ＋1 12 ＋1＋2……………c＋22 ＋3…… ba所以 22212(1)3(1)2x x x x因此 223323212(1)3(1)2232(1)(1)1(1)(1)x x x x x x x x x此题也可设232321(1)1(1)(1)x x a b cx x x x然后用待定系数法求,,,a b c 但计算较繁.例5 用综合除法化分式32225(1)x x x x x 为部分分式.解 根据多项式的综合除法，有1 ＋1 ＋1 ＋5＋1 －1＋2 －21－11 ＋2＋2 ＋3即 3225(2)(1)(23)x x x x x x x 在上式两边同除以22(1)x x ，得32222225223(1)1(1)x x x x x x x x x x x此题也可先设32222225(1)1(1)x x x ax b cx dx x x x x x然后用待定系数法求解.例6 化分式2225416(1)(3)x x x x x 为部分分式.解 设22222254163(1)(3)1(1)x x ax b cx d ex x x x x x x x于是5x 2－4x ＋16＝222()(1)(3)()(3)(1)ax b x x x cx d x e x x （3）令3x ，代入（3）式，得e ＝1.把e ＝1代入（3）式，再把22(1)x x 移到左边，整理得43222215x x x x 2()(1)(3)()(3)ax b x x x cx d x （4）（4）式两边同时除以(3)x ，得3225()(1)()x x x ax b x x cx d （5）（5）式两边同时同除以2(1)x x ，得22232()11x cx dx ax b x x x x（6）比较（6）式两边同次项的系数，得1,a 2,b 2,c 3d . 所以22222254162231(1)(3)1(1)3x x x x x x x x x x x x综合以上各例，可归纳出以下结论：如果多项式()g x 在实数集内能分解成一次因式的幂与二次质因式的幂的乘积，即220()()()()()g x b x a x b x px q x rx s其中2240, , 40,p q r s 则真分式()()f xg x 可以分解成如下部分分式之和：1211211122221211222212()()()() ()() ()() ()()A A A f x g x x ax a x a B B B x b x b x b M x N M x N M x N x px q x px q x px qR x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s（7）其中111111A A B B M M N N R R S S ，, ，, , ，, , ，, , ，, , ，, 都是常数.在（7）式中应注意以下两点：（1）如果分母()g x 关于()x a 的最高因式为(),k x a 则分解后有下列k 个部分分式 之和：121()()k k k A A A x a x a x a其中12,,,k A A A 都是常数.（2）如果分母()g x 关于2()x px q 的最高因式为2()k x px q ，其中240,p q 则分解后有下列k 个部分分式之和：11222212()()k k k k M x N M x N M x N x px q x px q x px q其中11,,,,,k k M M N N 都是常数.对于某些分式，也可用视察法把它分解为部分分式. 例如，1111;()()1;()()x a x b a b x a x b x a b x a x b a b x a x b22223222244414(4)(4)(4)4x x x x xx x x x x x x x x x； 22222(2)424;(2)(2)2(2)x x x x x x2222222(44)444(2)44411.(2)(2)(2)(2)2(2)x x x x x x x x x x x习题 2-41. 把下列分式化为部分分式：（1）61;(21)(31)x x x（2）382;x x x （3）223;(1)(2)(3)(4)x x x x x x（4）32421;(2)x x x（5）426;21x x （6）2221;(1)(2)x x x x（7）231;(2)(1)x x x（8）22221;()x x x x（9）3423;1x x x x（10）52321.(1)x x x x2. 求和：.()()(2)[(1)][]a a ax x a x a x a x n a x na3. 用视察法把下列分式化为部分分式： （1）1;(1)(2)x x （2）;(2)(3)xx x （3）31;2x x（4）2;(3)x x （5）222.(3)x x第五节 根 式本节的主要内容是根式的概念、根式的性质以及根式的运算等，我们将在实数集内介绍这些概念.一、根式及其性质若 (1,), n x a n n N 则称x 为a 的n 次方根，并分别称a 与n 为被开方数与根指数. 求a 的n 次方根称为把a 开n 次方.在实数集内，任何实数a 都能开奇次方. a 的奇次方根记作(n 为奇数)例如，27 的3次方根是3 ，而32的5次方根就是2 . 在实数集内，负数不能开偶次方，即负数的偶次方根无意义. 而任何正数a 的偶次方根却有正、负两个实数根，并分别把它们记作与 (n 为偶数)例如，16的四次方根就分别是2 与 2. 零的任何次方根都是零.式子称为根式. 根式与有理式统称为代数式.若0a ≥，则称为a 的n 次算术根.从以上的分析可以看到：一个数的算术根只有一个，且是非负的.因为任何负数的奇次方根都是一个负数，而且它等于这个数的绝对值的同次方根的相反数，即0, )a n 为奇数. 而负数的偶次方根无意义，因此，我们研究根式的性质，只需研究算术根的性质即可.根据算术根的定义，我们有(0,1,)n a a n n N ≥ （1）若无特别说明，从现在起本节所有的字母都是非负的.根据（1）式不难导出根式的性质：（1）；（2）（3）0)b ；（4）m（5） . 其中m , n ,p N .称根指数相同的根式为同次根式，否则称为异次根式. 利用性质（1）可以把异次根式化为同次根式.例1 把化为同次根式.解 取根指数2, 3, 6的最小公倍数6作为公共的根指数. 根据性质（1）可得这类似于分数中的通分. 反之，也可约去根指数与被开方数的指数的公约数. 例如，这类似于分数中的约分.二、根式的化简若根式适合条件：（1）被开方数的指数与根指数互质；（2）被开方数的每个因子的指数都小于根指数； （3）被开方数不含分母， 则称这个根式为最简根式.例如，2,都是最简根式，而 .所谓化简根式就是利用根式的性质把一根式化为最简根式.例2 把下列根式化简：2.解 2 .2几个根式都化成最简根式后，若被开方数相同，根指数也相同，则称这些根式为同类根式. 例如，与3就是同类根式. 同类根式可以合并，例如(a b c三、根式的运算根式的运算结果应是最简根式，而且要把同类根式合并. 例3 计算：（1）263x（2）解 （1）原式23 4（2）原式例4 计算： 解 这是同次根式相乘，根据性质（2），得原式2ab 对于异次根式的乘除可利用性质（1）先化成同次根式，再分别用性质（2）与性质（3）计算.例5 计算：（1）（2）解 （1）原式20（2）原式性质（4）与性质（5）可以分别用来计算根式的乘方与开方.例6 计算：（1）9;（2）.解 （1）原式9932512xy（2）原式我们曾经多次在a ≥0的条件下应用a (a ≥0)来化简根式. 而对于0a ，则由算术根是非负的，以及它的平方应等于被开方数，可知(0)a a以上两式可合并为,(0),(0)a a a a≥ 根据绝对值的定义，上式也可写作()a a R一般地，若a R ，则,(),()a n a n为偶数为奇数例7 化简: ).a a R 解 由于(1),(10)(1),(10)a a a a a a a≥所以 21,(1)1,(1)a a a a≥例8 化简:).x R解 由66x x ，得再根据性质（1），（2）得(0)(0)x x≥四、分母有理化把一个分式的分母中的根号化去，称为分母有理化. 分母有理化一般是用一个适当的代数式同乘以分子与分母，使分母不含根式.例9 把下列各式的分母有理化：（1）（2）解 （1）（2）122例10 设22 (0, 0),1abx a b b证明：,(1)1,(01)b b b b≥ 证明 由220, 0, 0, 0.1aba b x a x a x b知, ≥于是²1b＝a212b ab22111b a b 212b ab ＝22(1)12b b b ,(1)1,(01)b b b b≥ 为化简根式，有时也需要把分子有理化. 例11 若01x ，化简：1x解 由01x ，得原式＝＝＝1习题 2-51. 把下列各题化成同次根式:（1）,,；（2）,.2. 把下列根式化成最简根式：（1） （2）（3） （4）；（5）6；（6）（7）（8）()x y . 3. 计算：（1） （2）；（3）； （4）（5）； （6）1).4. 计算：（1）（2）5. 把下列各式的分母有理化：（1）（2）；（3）(1)x ；（4）.6. 求证：（1）m n ；（2）a b .7. 设12x ，求s 的值. 第六节 零指数、负指数与分数指数幂对于以正整数n 为指数的幂，我们有1a an n a a a a个且有幂的运算法则：m n m n a a a ， ()m n mn a a ， ()n n n ab a b其中,, ,m n a b N R .现在要将幂的指数推广到有理数，即考察形如3222, 3, 5 等的幂. 它们分别是：（1）若0a ，则01a . 零的零次幂无意义. （2）若0, a n N ，则1n na a. 零的负整数幂无意义. （3）若0a ，, , 1,p q q N N则1 p p qqp qa a a.零的正分数幂是零；零的负分数幂无意义.根据（1）、（2）、（3）容易验证零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂都满足幂的运算法则.例1 计算：121234120276121(1)(24)(2)964.解 原式2113322422551111942(1)412255951631134163254 163491.15460例2 化简： （1）203325101322(0.5)π272；（2）1220.75131[(0.027)15(0.0016)(101100)]4.解 （1）原式＝233512564(2)(2)127＝233324(2)213＝19954.81616（2）原式＝123234341[(0.3)15(0.2)1]4＝12231[0.3150.21]4＝1211.214＝12211.12＝2091 1111.例3化简：3312542(2)(3)4a b a ba b.解原式＝35131(4)2264a b＝15442232a b＝232b.例4化简：112222233333221 x x x x xx x x x x.解设1133,,1,x A x B A B则 所以原式＝333332222222A B A B AA B A B AB A AB＝222222A AB B A AB B AA B A B A B＝2222AB AAA B本题应用了换元法. 在指数运算中，如能适当运用换元法往往可使运算化繁为简. 分数指数幂也可用来简化根式.例5化简：解原式＝512213663344a b a b a b＝152312463463a b＝531212a b .例6化简：解原式＝113632x yx y＝3111263x y＝4433x y＝.例7化简：3.。
分式通分、乘、除_.加、减法_及分式方程
复习： 1、如何进行分式的约分？请举例说明。 2、如何进行分式的通分？请举例说明。 3、请将下列各分式进行约分：
4a b (1) 2 6ab
2
3a b( x y ) (2) 3 9ab ( y x)
2
a 3 (3) 2 a 6a 9
a 4 (4) 2 a 4a 4
2
4、完成下列运算,你想到了什么?说出来与同学们分享.
A A M A A M , （ 其中M是不等于零的整式）。 B BM B B M
与分数类似，根据分式的基本性质，可 以对分式进行约分和通分.
做一做
1、约分 ：
16 x y (1) 4 20 xy
x ( 4) 2 x 2x
2
3
x 4 (2) 2 x 4x 4
2
x xy (3) 2 x
1 1 （2）求分式 的最简公分母。 2 与 2 4x 2x x 4
4 x 2 x 2 x ( 2 x ) 2 x( x 2)
2
x 4 ( x 2)( x 2)
2
把这两个分式的分母中所有的因式都取到， 其中，系数取正数，取它们的积，即 2 x( x 2)( x 2)就是这两个分式的最简公分母。
答：成立
a c ac b d bd a c a d ad b d b c bc
分式的乘除法运算法则：
这里abcd 都是整式， bcd都不 为零
你会用语言叙 述一下吗？
分式乘分式，用分子的积做积的分子， 分母的积做积的分母； 分式除以分式：把除式的分子、分母颠 倒位置后，与被除式相乘。
2
2 2
3
x y yx 3m n 4mn （7 ） ；（ 8 ） 。 3 2 yx x y 2mn 9m n
分式函数的基本概念与性质
分式函数的基本概念与性质分式函数是指由两个多项式表达的函数，其中分母不为零。
分式函数既可以是有理函数的特例，也可以理解为多项式除法的推广形式。
在数学中，分式函数有其独特的基本概念和性质，本文将从多个角度来探讨这些内容。
一、基本概念1. 分式函数的定义：分式函数是指可以表达为两个多项式的比值形式，其中分母不为零的函数。
常见的分式函数形式包括有理分式函数和整式函数的除法。
2. 分式的形式：分式函数通常由分子和分母组成，分子和分母都是多项式。
分式函数的一般形式为f(x) = P(x) / Q(x)，其中P(x)和Q(x)分别代表分子和分母的多项式。
3. 定义域：由于分式函数中不能出现使分母为零的数值，因此定义域需要排除这些值。
定义域是函数的取值范围，一般使用不等式或条件表示。
二、性质探究1. 零点与奇点：分式函数的零点是指使分式函数取零值的自变量的值。
零点可以通过求解分子为零的方程得到。
分式函数的奇点是指使分母为零的自变量的值，奇点可能导致函数不存在或无穷大。
2. 函数的平移与伸缩：分式函数的平移和伸缩可以通过对分子和分母的多项式进行操作实现。
平移是指在自变量维度上对函数整体进行横向或纵向移动，伸缩是指通过改变分式函数的系数来改变函数的幅度。
3. 函数的性态分析：通过对分式函数的分子、分母进行求导，可以得到函数的导数表达式。
通过导数的符号变化和驻点的分析，可以判断分式函数的增减性、最值和拐点等重要性质。
4. 函数的图像特征：分式函数的图像通常会具有水平、垂直渐近线等特征。
水平渐近线是指当自变量趋近于无穷时，函数趋于某个常数值或无穷大；垂直渐近线是指当自变量趋近于某个特定值时，函数趋于无穷大或无穷小。
5. 函数的应用：分式函数在实际问题中具有广泛的应用。
比如在经济学中，利润函数、边际成本函数等都可以表达为分式函数的形式，通过对这些分式函数进行分析，可以帮助决策者在经济活动中进行决策。
综上所述，分式函数作为一个重要的数学概念，具有其独特的基本概念和性质。
分式的分子和分母是多项式的乘除优秀教案
分式的乘除法（2）教学设计---分式的分子和分母是多项式的乘除教材分析：教材的地位和作用：本节教材是鲁教版八年级数学上册第二章第二节第二课时的内容，是初中数学的重要内容之一。
分式是分数的“代数化”，与分数的约分、分数的乘除法有密切的联系。
本节课的主要内容是熟练掌握分式的乘除法法则，会进行分子分母含多项式的分式乘除法运算，要求学生能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
一方面，这是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解、分子分母都是单项式的分式乘除法之后学习的，另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础，因此本节课起着承前启后的作用。
同时分式乘除运算过程中包含分式乘除法则、分式的约分、多项式的因式分解等多项内容,是代数式运算的基本组成部分,对培养学生的运算能力也起着重要的作用.学情分析：从年龄特点上来说，八年级的学生在阅读理解能力，分析解决问题的能力已经有了一定的基础；从认知状况来说，由于分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似，学生在此之前对分数乘除法运算比较熟悉，加上以前对因式分解的学习，以及对本章分式及其性质的学习，第一课时分式乘除法的学习，所以在这一节的学习上学生是有些基础的，易于学生理解、接受。
现在所学的乘除法是分式基本性质的一个应用，一个实践，学生在观察讨论中会发现含有多项式的分式乘除法运算是不能直接约分的，需要先分解因式，然后再按照分式乘除法则进行运算。
学生在观察讨论交流的过程中，能主动探索，勇于发现，培养学生知识的迁移和联系能力以及转化的数学思想。
学生学习本节课的知识障碍：学生对分式的乘除法法则和正确运用分式的约分不易理解,容易造成在分式的乘除运算中掉三落四的现象,所以教学中教师应予以简单明白、深入浅出的分析。
教学目标：知识目标：1.熟练掌握分式乘除法的运算法则，2. 能明确算理，会进行含多项式简单分式的乘除运算;. 能力目标：1.在分式乘除法运算过程中，体会因式分解在分式乘除法中的作用，发展有条理的思考和合 情推理能力。
高考数学中的分式分解知识点详解
高考数学中的分式分解知识点详解分式分解是高中数学中的一个重要分支，也是高考中的常见考点之一。
对于高考生而言，掌握分式分解的方法和技巧，能够在考试中轻松应对各种考题，从而更有机会取得高分。
下面，我们就一起来详细了解一下高考数学中的分式分解知识点。
一、基本概念分式分解指的是将一个复杂的分式拆分成多个简单的分式的过程。
其中，复杂的分式通常由多个分子和分母相乘得到，而简单的分式则只有一个分子和一个分母。
每个分式都可以表示为多个这样的简单分式相加的形式，这个过程称为“分式分解”。
二、常见的分式分解方法1.拆分常数如果一个分式中有相同的常数因子，就可以先将它们拆分开来，然后再对其他部分进行分解。
这个方法也称为提公因式法。
例如，对于分式 36x³y²/16a²b³，先将分子和分母都除以4，得到 9x³y²/4a²b³。
然后再对其进行分解。
2.分解多项式如果分式的分子和分母都是多项式，那么就可以将它们进行分解。
通常情况下，分式分解的过程中，需要先对多项式进行因式分解。
例如，对于分式(x+1)(x+2)/(x-1)²，首先对(x-1)²进行因式分解，即 (x-1)²=(x-1)(x-1)，得到(x+1)(x+2)/((x-1)(x-1))=(A/(x-1)+B/(x-1)²)(x+1)(x+2)。
然后，将其展开并整理可得：(x+1)(x+2)/(x-1)²=A/(x-1)+B/(x-1)²+C/(x-1)，其中ABC为待定系数。
3.配方法在分式分解中，如果分式中的分子和分母不是一次多项式，还可以采取“配方法”的方式进行分解。
例如，对于分式(x²+1)/(x-2)，我们可以将分子中的二次项分解，得到 (x²+1)=(x-i)(x+i)，然后再将其分配到分母上，得到 [(x-i)/(x-2)]+[(x+i)/(x-2)]。
代数式、有理式、整式、分式、单项式、多项式
代数式、有理式、整式、分式、单项式、多项式代数式是由数字或字母及它们的乘积或一些简单运算符号如加减乘除等组成的式子。
它是用来表示数学关系的表达式，可以包含常数、变量和运算符。
有理式是由整式的分子和分母组成的，其中分子和分母都是整式。
有理式可以用来描述分数关系，其中分子和分母都可以是多项式。
整式是由常数项和多项式组成的，其中多项式又是由单项式相加或相减得到的。
整式是数学中常见的表达式形式，可以用来表示方程、函数等。
分式是由分子和分母组成的，其中分子和分母都可以是整式。
分式可以表示两个整式的除法关系，其中分子表示被除数，分母表示除数。
单项式是只包含一个项的代数表达式，它由常数与变量的乘积组成。
单项式可以表示数学中的某个量，例如表示长度、面积、体积等。
多项式是由多个单项式相加或相减得到的代数表达式。
多项式可以有多项，并且每一项都可以有不同的次数。
多项式在代数中经常出现，用来表示各种数学关系。
代数式、有理式、整式、分式、单项式、多项式在数学中起到了重要的作用。
它们是研究代数和数学关系的基本工具，被广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等。
通过这些数学表达式，我们可以描述和解决许多实际问题，并进一步发展数学理论。
代数式和有理式特别适用于解决分数关系和比例关系的问题，而整式和多项式则广泛应用于方程、多项式函数等领域。
总的来说，代数式、有理式、整式、分式、单项式、多项式是数学中常见的基本概念和表达形式。
它们是描述数学关系、解决实际问题的重要工具，也是数学理论发展的基石。
掌握这些概念和表达形式，有助于我们更好地理解和应用代数和数学的知识。
15.2.1分式的乘除(第一课时)教案
课堂解决方案教学详案15.2.1分式的乘除（第1课时）【设计说明】本节课从生活中的问题引入，让学生感受到学习分式乘除运算是生产和生活的实际需要，从而激发学生的学习兴趣。
由于分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似，故以类比的方法得出分式的乘除法则，易于学生理解、接受。
利用表格给出分式的乘除法法则更利于学生的对比和理解；例题采取学生自主运用新知识代替单纯的教师讲授，这是教学方法的一大尝试。
本节课采取把自主权交给学生，遵循“教师为主导，学生为主体”原则。
体现了自主探索，合作学习的新理念，在实际问题解决的过程中培养了学生分析问题和解决问题的能力。
【教学目标】1、理解并掌握分式的乘除法法则，能进行简单的分式乘除法运算，能解决一些与分式乘除有关的实际问题。
2、经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养学生类比的探究能力，加深从特殊到一般的数学思想认识。
3、教学中渗透类比转化的思想，培养学生主动探究，合作交流的能力，使学生在学知识的同时感受探索的乐趣和成功的体验。
【教学重点难点】重点：运用分式的乘除法法则进行运算。
难点：分子、分母为多项式的分式乘除运算。
【课前准备】课件、多媒体【教学过程】（－）导入新课一、提出问题，引入课题（出示多媒体）活动1：问题1 ：一个水平放置的长方体容器器，其容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的时,水面的高度为多少?问题2：大拖拉机m天耕地ahm2,小拖拉机n天耕地b hm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?师生活动：学生根据题意，分别列出问题1、问题2所求的数量关系式为：问题 1：求得容积的高：问题2：大拖拉机的工作效率是小拖拉机的倍教师引导学生观察分析以上两式的特点得出它们分别是分式的乘法和分式的除法。
从上面的问题可知，解决生活中的问题有时需要进行分式的乘除运算，那么分式的乘除是怎样运算的呢？这是我们本节课要学习的内容。
.教师板书课题。
（二）探究新知活动2 ：类比联想，探究新知计算下式：类比分数的乘除法则猜想分式的乘除法则本环节的任务：让学生从分数的乘除法法则类比探究得出分式的乘除法法则。
分子分母都是幂多项式的方程_概述及解释说明
分子分母都是幂多项式的方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文旨在探讨分子和分母均为幂多项式的方程，这类方程具有重要的数学性质和应用价值。
我们将对这类方程的定义、特点以及解决方法和技巧进行详细说明，并通过实例分析来进一步阐述其应用。
1.2 文章结构本文分为引言、分子分母都是幂多项式的方程、实例分析、结论和参考文献五个部分。
在引言部分，我们将首先概述整篇文章的目标和内容，然后简要介绍文章各个部分的主要内容。
1.3 目的研究与应用幂多项式方程是数学领域的一个重要课题。
了解并掌握这类方程的特性与求解方法，不仅有助于提高对代数问题的理解能力，还能为其他相关领域如物理学、工程学等提供有效工具。
因此，本文旨在深入剖析这一课题，并为读者提供扎实而系统的知识基础，使其能够灵活运用在实际问题中。
下面我将针对“引言”部分进一步展开阐述。
2. 分子分母都是幂多项式的方程2.1 定义和表达形式在数学中，分子和分母都是幂多项式的方程指的是其等号两边均为经典的多项式函数形式，且分子和分母中包含了幂函数。
这种方程可以用以下一般形式表示：\[P(x) = \frac{{P_n(x)}}{{Q_m(x)}}\]其中，\(P(x)\) 是一个多项式函数，称为分子，\(Q(x)\) 也是一个多项式函数，称为分母；\({P_n(x)}\) 和\(Q_m(x)\) 则是幂次大于等于1的多项式。
2.2 特点和性质当分子和分母都是幂多项式时，该方程具有一些独特的特点和性质。
首先，这类型的方程通常会出现在实际问题中，并广泛应用于自然科学、社会科学以及工程领域。
其次，在解决这类方程时，我们需要考虑到除法运算中的除数不能为零，并且要注意可能存在的定义域限制。
对于此类方程还存在一些常见性质。
例如，在最简形式下（即将分子和分母进行约去），该方程不存在公共因子；同时，在定义域上除了使得方程无解的点外，其他点都能够满足方程。
2.3 解决方法和技巧解决分子分母都是幂多项式的方程可以采用以下一些常见的方法和技巧：- 分解法：将分子和分母进行因式分解，观察各个因子之间的关系，从而找到可能存在的无效解或者可约去的公共因子。
分子分母是多项式的除法
2. 2-2分子或分母是多项式的分式的乘除法【学习目标】1. 会对分子或分母是多项式的分式的乘除法正确运算.2. 能解决一些与分式有关的实际问题.【核心知识】分式乘除法的运算法则：知识核心：分式乘除法的运算法则.学习过程一、知识链接思考：分子和分母都是单项式的两个分式如何进行乘除运算？二、新课学习探究一分式的乘除1. 对教材第27页的“想一想”，町先独立思考，后分组讨论，代表发言.2. 教师点拨：①上节课学的分式乘除法则对本节课当然适用•②分式的分子或分母中含有多项式时，一般先分解因式，能约分的要约分.3. 板演练习教材随堂练习中的题目.拓展：• 2 <2 2已知（a+5F+b-3| = 0,求代数式一x二21；的值' I （a-bf ab + b-（学生先分析讲解，再写出过程，规范格式）探究二实际应用1. 做课本28页的“议一议”（充分思考，在练习本上认真作答）・2. 请小组代表发言，讲明自己的结论及理由・3. 明确结论：在瓜皮厚度个变的条件卜，从理论上来看，四瓜越人，越合算.三、课堂达标X2 -1 • X+1——y 丁四、课堂小结，回顾思考这一节课你学到了什么，感受到了什么？还有什么困惑?课外训练【基础达标】a ■■1•化简：(1) r -------------- r (a—b)」*二6〒七+3).(*曰匕三) 4-4x+ X- 3 - x【能力提升】?化简：竺x+3 x2 - 4x+45计算:&计舉氏“宇厂沖7.计算⑷x3芒已4x ^亡土x~ -4x+4 x-2z、ill2 -6111+9 m-2⑵——5-----------nr 一4 3-m(5)3计算：（“ •舲4计算：；(x+y)x - xy xy- y2a2 - 81 . 9 - a a+3 a2+6a+9 *2a+6 a4_9irrf-n2- 6xy+9产.2x - 6y x 2 - 9/ x 2+3xy 8计算：(1)V 写二1 a 2 - 4a+4 a 2 - 4—a 2 - 1 . a+1护+4s+4 a4_2 (2) ⑵(宀40 -2yhL.—1— xy x (2y 一 xj (1)。
有理分式的基本类型
有理分式的基本类型
有理分式指的是两个多项式的商，又称为有理函数，具体来说是指分子及分母都是多项式的分式。
中文名有理分式在代数分式中，被除数称为分子，除数称为分母，两者都是代数分式的项。
若代数分式的分子或分母中包括复数，则称为复数分式。
从代数角度来看，有理分式有以下类型：
1. 真分式：真分式的分子最高幂次小于分母的最高幂次，分子与分母无共同公因式的真分式，均可以被拆分为多个真分式之和。
2. 假分式：假分式的分子最高幂次大于或等于分母的最高幂次，假分式可以用多项式除法化为多项式与真分式之和。
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b2
a b
2
b2 a 2 的值 ab b 2
（学生先分析讲解，再写出过程，规范格式） 探究二 实际应用 1. 做课本 28 页的“议一议” （充分思考，在练习本上认真作答）. 2. 请小组代表发言，讲明自己的结论及理由. 3. 明确结论：在瓜皮厚度不变的条件下，从理论上来看，西瓜越大，越合算. 三、课堂达标
4.计算（ + ）÷ ．
6.计算：
．
7.计算
（1）
•
（2）
÷
．
8.计算： （1） ÷ （2） （x ﹣4y ）÷
2 2
•
．
（3）
．
(3)
(xy－x )÷
2
x y xy
(4)
x3 2x 2 4x x 2 2x 4 x2 x 2 4x 4
（5）
2x 6 ( x 3)( x 2) ( x 3) 2 3 x 4 4x x
【能力提升】 2.化简： • ． 3.计算： ÷（x+5）• ．
2.2-2 分子或分母是多项式的分式的乘除法
【学习目标】 1.会对分子或分母是多项式的分式的乘除法正确运算. 2.能解决一些与分式有关的实际问题． 【核心知识】分式乘除法的运算法则；知识核心：分式乘除法的运算法则. 学习过程 一、知识链接 思考：分子和分母都是单项式的两个分式如何进行乘除运算？ 二、新课学习 探究一 分式的乘除 1.对教材第 27 页的“想一想”，可先独立思考，后分组讨论，代表发言. 2.教师点拨：①上节课学的分式乘除法则对本节课当然适用.②分式的分子或分母中含有多 项式时，一般先分解因式，能约分的要约分. 3.板演练习教材随堂练习中的题目. 拓展： 已知 a 5 b 3 0 ，求代数式
a （1） （a －a）÷ ; a 1
2
x2 1 x 1 （2） ÷ 2 y y
（3）
1 1 m ÷ m 1 1 m
2
四、课堂小结，回顾思考 这一节课你学到了什么，感受到了什么？还有什么困惑？
课外训练
【基础达标】 1.化简： （1）
a2 b2 2 ÷（a－b） ab
(2)
m 2 6m 9 m 2 3 m m2 4