圆形有界磁场问题的分类及解析

圆形有界磁场问题的分类及解析

1、对心飞入问题

【例1】电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O ，半径为r 。当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。为了让电子束射到屏幕边缘，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少?

解析：如图2所示，电子在磁场中沿圆弧ab 运动，圆心为C ，半径为R 。

可证三角形△CaO ≌ △CbO ，则∠CbO ＝90°，电子离开磁场时速度的反向延长线经过O 点。

由几何关系可知 tan θ2＝r

R

又有 eU ＝ 12mv 2 evB ＝m v 2

R 三式联立解 B ＝ 1

r

2mU e tan θ

2

点评：粒子沿半径方向飞入圆形匀强磁场，必沿半径方向飞出磁场。

2、圆心出发问题

【例2】 一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面，在xOy 平面上，磁场分布在以O 点为中心的一个圆形区域内。一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 轴正方向。后来粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图3所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。

解析：如图4所示，粒子在磁场中轨迹的圆心C 必在y 轴上，且P 点在磁场区之外。粒子从A 点离开磁场区，设轨迹半径为r 。则

L ＝ r ＋r

sin 30°＝3r

又 qvB ＝m v 2

r 可求得 B ＝3mv

qL

磁场区域的半径 R ＝2rcos 30°＝3r ＝3

3L

点评：画轨迹时可先画一个完整的圆，然后分析粒子从圆周上哪一点离开，速度方向才会与题意相符，只要找到了离场点，问题就能解决了。

3、最长时间（最大偏角）问题

【例3】如图5所示，在真空中半径r ＝3.0×10-2m 的圆形区域内，有磁感应强度B ＝0.2 T ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一束带正电的粒子以初速度v 0＝1.0×106 m/s ，从磁场边界直径ab 的a 端沿各个方向射入磁场，且初速方向都垂直于磁场方向。若该束粒子的比荷q

m ＝1.0×108C/kg ，不计粒子重力。求粒子在磁场中运动的最长时间。

解析：如图6所示，由 qv 0B ＝m v 2

R

得 R ＝mv 0

Be ＝5.0×10-2 m ＞r

要使粒子在磁场中运动的时间最长，应使粒子在磁场中运动的圆弧最长，即所对应的弦最长。则以磁场圆直径 为弦时，粒子运动的时间最长。

设该弦对应的圆心角为2α，而 T ＝2πm qB ， 则最长运动时间 t max ＝2α2π•T ＝2αm

qB 又 sin α＝r R ＝3

5 ， 故 t max ＝6.5×10-8s 。

点评：粒子穿过圆形磁场时，以磁场圆直径为弦时，粒子运动时间最长，偏转角最大。

4、最小半径问题

【例4】如图7所示，一带电质点，质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。

解析：质点在磁场区中的轨迹弧MN是1

4圆周。

由qvB＝m v2

R得轨迹半径R＝

mv

Bq

在通过M，N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。

故所求的圆形磁场区域的最小半径为，r＝1

2MN＝

2

2R＝

2mv

2qB，

所求磁场区域如图8中实线圆所示。

点评：粒子穿过圆形磁场时，若轨迹是确定的，则以轨迹圆弧对应的弦为直径时，磁场圆最小。

5、会聚一点问题

【例5】如图9所示x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m，电荷量q(q> 0)和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0< y< 2R的区间内。已知重力加速度大小为g。

(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。

(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。

(3)若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里?并说明理由。

解析：(1)粒子平行于x轴从C点进入磁场，则可得E＝mg

q，方向沿y轴正方向。

带电微粒进入磁场后，做圆周运动并从坐标原点O沿y轴负方向离开，则轨迹半径r＝R

由qvB＝m v2

R得B＝

mv

qR，方向垂直纸面向外。

(2)如图10所示，从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，圆心位于其正下方的Q点，微粒从M点离开磁场。可证明四边形PO′MQ是菱形，则M点就是坐标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点O。

(3)带电微粒在y轴右方(x＞0)的区域离开磁场并做匀速直线运动。靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近下端发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x> 0。

点评：一束带电粒子以平行的初速度v垂直射入圆形匀强磁场，若带电粒子的轨道半径与磁场圆半径相同，则这些带电粒子将会聚于初速度方向与磁场圆的切点。