圆形有界磁场问题的分类及解析

圆形有界磁场问题的分类及解析1、对心飞入问题【例1】电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。

电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示。

磁场方向垂直于圆面。

磁场区的中心为O ，半径为r 。

当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。

为了让电子束射到屏幕边缘，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少?解析：如图2所示，电子在磁场中沿圆弧ab 运动，圆心为C ，半径为R 。

可证三角形△CaO ≌ △CbO ，则∠CbO ＝90°，电子离开磁场时速度的反向延长线经过O 点。

由几何关系可知 tan θ2＝rR又有 eU ＝ 12mv 2 evB ＝m v 2R 三式联立解 B ＝ 1r2mU e tan θ2点评：粒子沿半径方向飞入圆形匀强磁场，必沿半径方向飞出磁场。

2、圆心出发问题【例2】 一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面，在xOy 平面上，磁场分布在以O 点为中心的一个圆形区域内。

一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，由原点O 开始运动，初速度为v ，方向沿x 轴正方向。

后来粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°，P 到O 的距离为L ，如图3所示。

不计重力的影响。

求磁场的磁感应强度B 的大小和xy 平面上磁场区域的半径R 。

解析：如图4所示，粒子在磁场中轨迹的圆心C 必在y 轴上，且P 点在磁场区之外。

粒子从A 点离开磁场区，设轨迹半径为r 。

则L ＝ r ＋rsin 30°＝3r又 qvB ＝m v 2r 可求得 B ＝3mvqL磁场区域的半径 R ＝2rcos 30°＝3r ＝33L点评：画轨迹时可先画一个完整的圆，然后分析粒子从圆周上哪一点离开，速度方向才会与题意相符，只要找到了离场点，问题就能解决了。

3、最长时间（最大偏角）问题【例3】如图5所示，在真空中半径r ＝3.0×10-2m 的圆形区域内，有磁感应强度B ＝0.2 T ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一束带正电的粒子以初速度v 0＝1.0×106 m/s ，从磁场边界直径ab 的a 端沿各个方向射入磁场，且初速方向都垂直于磁场方向。

若该束粒子的比荷qm ＝1.0×108C/kg ，不计粒子重力。

求粒子在磁场中运动的最长时间。

解析：如图6所示，由 qv 0B ＝m v 2R得 R ＝mv 0Be ＝5.0×10-2 m ＞r要使粒子在磁场中运动的时间最长，应使粒子在磁场中运动的圆弧最长，即所对应的弦最长。

则以磁场圆直径 为弦时，粒子运动的时间最长。

设该弦对应的圆心角为2α，而 T ＝2πm qB ， 则最长运动时间 t max ＝2α2π•T ＝2αmqB 又 sin α＝r R ＝35 ， 故 t max ＝6.5×10-8s 。

点评：粒子穿过圆形磁场时，以磁场圆直径为弦时，粒子运动时间最长，偏转角最大。

4、最小半径问题【例4】如图7所示，一带电质点，质量为m，电荷量为q，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。

为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。

重力忽略不计。

解析：质点在磁场区中的轨迹弧MN是14圆周。

由qvB＝m v2R得轨迹半径R＝mvBq在通过M，N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周。

故所求的圆形磁场区域的最小半径为，r＝12MN＝22R＝2mv2qB，所求磁场区域如图8中实线圆所示。

点评：粒子穿过圆形磁场时，若轨迹是确定的，则以轨迹圆弧对应的弦为直径时，磁场圆最小。

5、会聚一点问题【例5】如图9所示x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。

在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。

在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m，电荷量q(q> 0)和初速度v的带电微粒。

发射时，这束带电微粒分布在0< y< 2R的区间内。

已知重力加速度大小为g。

(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。

(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。

(3)若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里?并说明理由。

解析：(1)粒子平行于x轴从C点进入磁场，则可得E＝mgq，方向沿y轴正方向。

带电微粒进入磁场后，做圆周运动并从坐标原点O沿y轴负方向离开，则轨迹半径r＝R由qvB＝m v2R得B＝mvqR，方向垂直纸面向外。

(2)如图10所示，从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，圆心位于其正下方的Q点，微粒从M点离开磁场。

可证明四边形PO′MQ是菱形，则M点就是坐标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点O。

(3)带电微粒在y轴右方(x＞0)的区域离开磁场并做匀速直线运动。

靠近上端发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近下端发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场。

所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x> 0。

点评：一束带电粒子以平行的初速度v垂直射入圆形匀强磁场，若带电粒子的轨道半径与磁场圆半径相同，则这些带电粒子将会聚于初速度方向与磁场圆的切点。

6、平行离开问题【例6】电子质量为m ，电荷量为e ，从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限，射人时速度方向不同，速度大小均为v 0。

，如图11所示。

现在某一区域加方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN 上，荧光屏与y 轴平行，求荧光屏上光斑的长度。

解析：这些电子只有从O 点进入圆形匀强磁场，偏转后才能成平行线离开磁场，如图12所示。

初速度沿x 轴正方向的电子，沿弧OB 运动到P ；初速度沿y 轴正方向的电子，沿弧OC 运动到Q 。

设电子轨迹半径为R ，则ev 0B ＝m v 20R 即 R ＝mv 0Be 。

荧光屏上光斑的长度 PQ =R =mv 0Be点评：速度大小相等的一束带电粒子从圆周上同一点沿不同方向垂直射入圆形匀强磁场，若粒子的轨道半径与磁场圆半径相同，那么所有粒子成平行线离开磁场，而且与磁场圆在入射点的切线方向平行。

7、最小面积问题【例7】如图13所示，ABCD 是边长为a 的正方形。

质量为m ，电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域。

在正方形内适当区域中有匀强磁场。

电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场。

不计重力，求： (1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小； (2)此匀强磁场区域的最小面积。

解析：(1)让平行粒子束射入圆形匀强磁场，若轨道半径与磁场圆半径a 相同，则这些带电粒子将会聚于初速度方向与磁场圆的切点A 。

由 ev 0B ＝m v 20a 得所加匀强磁场的磁感应强度大小B ＝mv 0ea ，方向垂直于纸面向外。

(2)如图14所示，以D 为圆心、a 为半径的14圆周与电子最上边轨迹CEA 圆弧所围的区域，就是所求的最小磁场区域。

其面积为S =2⎝ ⎛⎭⎪⎫14 πa 2－12 a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1a 2点评：此题也属会聚一点问题，圆形磁场内刚好能覆盖粒子轨迹范围的部分，就是所要求的磁场最小面积。

8、先散后聚问题【例8】某平面内有M，N两点，距离为L，从M点向此平面内各个方向发射速率均为v的电子，请设计一种匀强磁场分布，使得由M点发出的电子都能汇聚到N点。

要求画出匀强磁场分布图，并加以必要的说明，电子质量为m，电荷量为e。

解析：加上四个磁感应强度B大小相等的圆形匀强磁场，磁场方向如图15所示，磁场圆半径R要和轨迹圆半径相等，故要满足RB＝mve的条件，而且2R≤L。

(矩形M1 N1 N2 M2。

区域外的磁场可向外围区域扩展)点评：此题是平行离开和会聚一点问题的综合，需要较好的空间想象能力。

9、回归起点问题【例9】如图16所示，半径为R的圆筒形区域内，分布着磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电的微粒从圆筒壁上小孔A点沿半径方向射入磁场，且初速度方向垂直于磁场方向。

若该微粒与筒壁碰撞时不损失电荷量，并能以大小相等的速度反向弹回，问初速度大小满足什么条件时，微粒能回到A点，并求出微粒回到A点所经历的时间。

已知微粒质量为m，电荷量为q，不计微粒重力。

解析：如图17所示，设微粒经n－1次碰撞，飞行n段圆弧后回到A点，设∠AOC＝θ，则θ＝2π2n＝πn，微粒轨迹半径r=Rtanθ＝Rtan πn，再由qvB＝m v2r可得初速度满足v＝qBRm tanπn的条件时，微粒能回到A点，其中n取大于2的整数。

设微粒回到A点所经历的时间为t，周期为T，圆弧AB 对应圆心角∠ACB＝α，则α＝π－2θ＝π－2πn，T＝2πrv＝2πmqB，t＝nα2πT三式联立可得：t＝(n-2)πm qB点评：由于微粒轨迹有无数种可能，关键是理清几何关系找到通式。

10、粒子束缚问题【例l0】 如图l8所示，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘。

设环状磁场的内半径R 1＝0.5m ，外半径R 2＝1.0m ，磁感应强度B ＝1.0 T ，方向垂直纸面，若被束缚的带电粒子的比荷为qm ＝4×107 C/kg ，中空lI 区域中带电粒子具有各个方向的速度，试计算： (1)粒子沿环状半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度； (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度。

解析：(1)如图19(a)所示，粒子沿圆弧AD 运动时，刚好没有出磁场外沿，C 点为轨迹的的圆心，对直角三角形 OAC ，由勾股定理有(R 2－r )2＝R 21＋r 2，与qvB ＝m v 2r 联立可求得粒子不能穿越磁场的r 最大速度为 v ＝1.5×10 7m/s 。

(2)如图19(b)所示，当沿内圆切线方向射入磁场的粒子也飞不出磁场外沿时，所有粒子都不能穿越磁场。

由几何关系有2r =R 2－R 1 ，再由qvB ＝m v 2r ，可解得所有粒子不能穿越磁场的最大速度为 v =1.0×107 m/s 。

点评：应分析粒子的可能轨迹，从中找到刚好不出磁场的临界轨迹。

11、循环运动问题【例l1】如图20所示，三个圆半径分别为R ，2R ，3R ，中心圆和外环区域分布着相同的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，内环是无磁场区。