专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”规律(有问题详解)

专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

【典型题目练习】1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长D．只要速度满足qBRvm，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。

一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O 点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：（1）磁感应强度B的大小；（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间t 。

4．如图所示的直角坐标系中，从直线x =−2l 0到y 轴区域存在两个大小相等、方向相反的有界匀强电场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。

在电场左边界从A （−2l 0，−l 0）点到C （−2l 0，0）点区域内，连续分布着电量为+q 、质量为m 的粒子。

从某时刻起，A 点到C 点间的粒子依次连续以相同速度v 0沿x 轴正方向射入电场。

从A点射入的粒子恰好从y 轴上的A '（0，−l 0）点沿沿x 轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。

不计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求从AC 间入射的粒子穿越电场区域的时间t 和匀强电场的电场强度E 的大小。

（2）求在A 、C 间还有哪些坐标位置的粒子通过电场后也能沿x 轴正方向运动？（3）为便于收集沿x 轴正方向射出电场的所有粒子，若以直线x =2l 0上的某点为圆心的圆形磁场区域内，设计分布垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，使得沿x 轴正方向射出电场的粒子经磁场偏转后，都能通过x =2l 0与圆形磁场边界的一个交点。

则磁场区域最小半径是多大？相应的磁感应强度B 是多大？5．如图所示，在xoy 坐标系中分布着三个有界场区：第一象限中有一半径为r =0.1m 的圆形磁场区域，磁感应强度B 1=1T ，方向垂直纸面向里，该区域同时与x 轴、y 轴相切，切点分别为A 、C ；第四象限中，由y 轴、抛物线FG （2100.025y x x =-+-，单位：m ）和直线DH （0.425y x =-，单位：m ）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E =2.5N /C 的匀强电场；以及直线DH 右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B 2=0.5T 。

现有大量质量m =1×10-6 kg （重力不计），电量大小为q =2×10-4 C ，速率均为20m/s 的带负电的粒子从A 处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y 轴夹角在0至1800之间。

（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；（2）试证明这些粒子经过x 轴时速度方向均与x 轴垂直；（3）通过计算说明这些粒子会经过y 轴上的同一点，并求出该点坐标。

6．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy 内，存在着两个边长为L 的正方形匀强电场区域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L 的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。

电场的场强大小均为E ，区域Ⅰ的场强方向沿x 轴正方向，其下边界在x 轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向沿y 轴正方向，其上边界在x 轴上，左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。

磁场的磁感应强度大小均为22mE qL ，区域Ⅲ的圆心坐标为（0，2L ）、磁场方向垂直于xOy 平面向外；区域Ⅳ的圆心坐标为（0，2L -）、磁场方向垂直于xOy 平面向里。

两个质量均为m 、电荷量均为q 的带正电粒子M 、N ，在外力约束下静止在坐标为（32L -，2L ）、（32L -，23L +）的两点。

在x 轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy 平面。

将粒子M 、N 由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。

不计粒子的重力。

求：（1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。

（2）粒子M 击中感光板的位置坐标。

（3）粒子N 在磁场中运动的时间。

7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O 1在x 轴上，OO 1距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为B 1。

虚线MN 平行x 轴且与半圆相切于P 点。

在MN 上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E ，方向沿x 轴负向，磁场磁感应强度大小为B 2。

B 1，B 2方向均垂直纸面，方向如图所示。

有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O 射入第I 象限，其中沿x 轴正方向进入磁场的粒子经过P 点射入MN 后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为m ，电荷量为q （粒子重力不计）。

求：（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。

（2）若撤去磁场B 2，则经过P 点射入电场的粒子从y 轴出电场时的坐标。

（3）试证明：题中所有从原点O 进入第I 象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。

8．如图甲所示，真空中有一个半径r =0.5m 的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小B =2.0×10−3T ，方向垂直于纸面向里，在x =r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L =0.5m 的匀强电场区域,电场强度E =1.5×103N/C ，在x =2m 处有一垂直x 方向的足够长的荧光屏，从O 点处向不同方向发射出速率相同的比荷91.010/q C kg m=⨯带负电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内。

一个速度方向沿y 轴正方向射入磁场的粒子M ，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。

不计重力及阻力的作用。

求：（1）粒子M 进入电场时的速度。

（2）速度方向与y 轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子N ，最后打到荧光屏上,画出粒子N 的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。

9．如图甲所示,质量m =8.0×10−25kg ，电荷量q =1.6×10−15C 的带正电粒子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，且在与x 方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v 0=2.0×107m/s 。

现在某一区域内加一垂直于xOy 平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小B =0.1T ，若这些粒子穿过磁场后都能射到与y 轴平行的荧光屏MN 上,并且当把荧光屏MN 向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。

(π=3.14)求：（1）粒子从y 轴穿过的范围。

（2）荧光屏上光斑的长度。

（3）打到荧光屏MN 上最高点和最低点的粒子运动的时间差。

（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。

参考答案 1．当v ⊥B 时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为mv R qB =、2m T qB π=的匀速圆周运动；只要速度满足qBR v m=时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN 上，选项D 正确。

2．由0.3mv R m qB==知，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径相等，从Oa 入射的粒子，出射点一定在b 点；从Od 入射的粒子，经过四分之一圆周后到达be ，由于边界无磁场，将沿be 做匀速直线运动到达b 点；选项D 正确。

3．解析：（1）当粒子速度沿x 轴方向入射，从A 点射出磁场时，几何关系知：r =a ；由2v qvB m r=知：mv mv B qr qa == （2）从A 点进入电场后作类平抛运动；沿水平方向做匀加速直线运动：2x Eq v a m= 沿竖直方向做匀速直线运动：v y =v 0； ∴粒子离开第一象限时速度与y 轴的夹角：202tan x y v Eqa v mv θ== （3）粒子从磁场中的P 点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO 1PO 2构成菱形，故粒子从P 点的出射方向与OO 1平行，即与y 轴平行；轨迹如图所示；∴粒子从O 到P 所对应的圆心角为θ1=600，粒子从O 到P 用时：163T a t v π==。

由几何知识可知，粒子由P 点到x 轴的距离13sin S a a θ==； 粒子在电场中做匀变速运动的时间：22mv t Eq=； 粒子磁场和电场之间匀速直线运动的时间：32()(23)a S a t v --==； 粒子由P 点第2次进入磁场，从Q 点射出，ＰO 1QO 3构成菱形；由几何知识可知Q 点在x 轴上，即为（2a ，0）点；粒子由P 到Q 所对应的圆心角θ2=1200，粒子从P 到Q 用时：4233T a t vπ==； ∴粒子从射入磁场到最终离开磁场的总时间：1234(23)2aa mv t t t t t v Eqπ-=+++=++。

4．解析：（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿水平方向匀速运动，有002l t v = 从A 点入射的粒子在竖直方向匀加速运动，由轨迹对称性性可知201()22Eq t l m =解得2002082ml mv E qt ql == （2）设距C 点为y ∆处入射的粒子通过电场后也沿x 轴正方向，第一次达x 轴用时t ∆，有水平方向0x v t ∆=∆竖直方向21()2qE y t m∆=∆ 欲使粒子从电场射出时的速度方向沿x 轴正方向，有022l n x =⋅∆ （n =1，2，3，…）解得：2002201()2qE l l y n m v n ∆== 即在A 、C 间入射的粒子通过电场后沿x 轴正方向的y 坐标为021y l n =-（n =1，2，3，…） （3）当n =1时，粒子射出的坐标为10y l = 当n =2时，粒子射出的坐标为2014y l =-当n ≥3时，沿x 轴正方向射出的粒子分布在y 1到y 2之间（如图）y 1到y 2之间的距离为12054L y y l =-=； 则磁场的最小半径为 0528L l R == 若使粒子经磁场偏转后汇聚于一点，粒子的运动半径与磁场圆的半径相等（如图），轨迹圆与磁场圆相交，四边形PO 1QO 2为棱形，由200mv qv B R = 得：0085mv B ql = 5．解析：（1）由211v qvB m R =知：110.1mv R m B == （2）考察从A 点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从K 点离开磁场，O 1和O 2分别是磁场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此O 1AO 2K 为菱形，离开磁场时速度垂直于O 2K ，即垂直于x 轴，得证。