专题05 指数与指数函数及其复合函数题型归纳
高考数学复习指数与指数函数-重难点题型精讲(解析)
专题2.11 指数与指数函数-重难点题型精讲1．分数指数幂 （1)m na ＝n，a m (a >0，m ,n ∈N ＊，且n 〉1);m na＝1m na（a >0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1);0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2）有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，（a r )s ＝a rs ，(ab ）r ＝a r b r ，其中a 〉0，b >0，r ,s ∈Q . 2．指数函数的图象与性质（1）R 【思考】1。
如图所示是指数函数(1）y ＝a x ，(2）y ＝b x ,（3)y ＝c x ，(4）y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为________．提示 c 〉d >1〉a 〉b >02．结合指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1）的图象和性质说明a x >1(a >0,a ≠1）的解集是否与a 的取值有关． 提示 当a >1时，a x >1的解集为｛x |x >0}；当0<a <1时，a x >1的解集为｛x ｜x <0｝．【题型1 指数幂的运算】【例1】(2020秋•荔湾区校级期中）化简下列各式．（1)（√23⋅√3）6﹣4•（1649）−12−√24•80.25﹣（2020）0；（2）√a 3b 2⋅√ab 23(a 14b 12)4⋅√a3(a ＞0，b ＞0）．【解题思路】利用有理数指数幂的运算性质求解． 【解答过程】解：（1）原式=(213×312)6−4×(47)2×(−12)−214×814−1 ＝4×27﹣7−(2×8)14−1 ＝108﹣7﹣2﹣1 ＝98． （2)原式=a 32⋅b 22⋅a 16⋅b 26a⋅b2⋅a −13⋅b 13=a 53⋅b 43a 23⋅b 73＝ab ﹣1．【变式1—1】（2020秋•济宁期中）（1）计算：（94）12−（﹣9.6）0﹣（278）−23+(23)−2;（2)已知a 12+a−12=3，求a 2+a −2+1a+a −1+2的值．【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则即可求出；(2)根据完全平方公式即可求出． 【解答过程】解：（1）原式=32−1﹣（32）3×(−23)+94=32−1−49+94=8336， （2)∵a 12+a −12=3，∴a +a ﹣1＝（a 12+a −12）2﹣2＝7，∴a 2+a ﹣2＝(a +a ﹣1）2﹣2＝47，∴原式=47+17+2=489=163．【变式1-2】(2020秋•新泰市校级期中）化简求值：（请写出化简步骤过程）①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112；②1.5−13×(−76)0+814×√24+(√23×√3)6−√(−23)23．【解题思路】把根式化为分数指数幂,根据幂的运算法则计算即可． 【解答过程】解：①0.064−13−(−59)0+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112 =(0.43)−13−1+(−2)3×(−43)+（24）﹣0。
指数函数和复合函数
2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数一、指数与对数运算： （一）知识归纳： 1．根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n2．幂的有关概念：①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *， 2）)0(10≠=a a ， n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）， 2）r a a a sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）， 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用.3．对数的概念：①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数. 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）， 2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N aNa =log③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a n a (log log R ）. ④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ， 2）.log log b mnb a na m = （二）学习要点：1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题： （1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+--- [解析]原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=（2）计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.[解析]分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=43.（3）化简：.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--[解析]原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.（4）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. [解析],5log ,51818b b =∴=ab a b -+-=-+-+=++=∴22)2(2)3log 18(log )9log 18(log 16log 5log 2log 18log 36log 181818181818181830. [评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题：（1）已知1log 2log log ≠=+x x x x b c a 且， 求证：ba ac c log 2)(=[解析]0log ,1,log log 2log log log ≠∴≠=+x x bxc x x a a a a a a ，2log log )1(log log 2log 2log 11c b c c bc a a a a a a ⇒+=⇒=+∴=b ba a a a a ac c acb ac log 2log )()(log log )(log =⇒=⋅（2）若0lg lg )][lg(lg lg lg lg lg lg 2=-++++yx y x y y x x y x ，求)(log 2xy 的值.[解析]去分母得0)][lg()lg (lg 22=-++y x y x⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=+∴110)lg(0lg lg y x xy y x y x ， x ∴、y -是二次方程012=--t t 的两实根，且y x y x y x >≠≠>>,1,1,0,0，解得251±=t ， 0)(log ,215,215,02=+∴-=+=∴>y x y x x [评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题，这种问题更接近考试题的形式，应多从这种练习中积累经验. 二、指数函数与对数函数（一）学习要点： 1．指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞，3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数.②函数图像： 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴），3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称.③函数值的变化特征：2．对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 10<<a1>a①100<<>y x 时， ②10==y x 时，③10><y x 时 ①10>>y x 时， ②10==y x 时，③100<<<y x 时，1）函数的定义域为),0(+∞， 2）函数的值域为R ， 3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数，4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数. ②1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）.4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y aa1log log ==与的图象关于x 轴对称.③函数值的变化特征：（二）学习要点：1．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识.2．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力.【例1】已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性； （3）求)(x f 的反函数)(1x f-；10<<a 1>a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010><<y x 时. ①01>>y x 时， ②01==y x 时， ③100<<<y x 时.（4）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.[解析]（1）011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a a对定义域内的任意x 恒成立，10)1(11122222±=⇒=-⇒=--∴m x m xx m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）∴-+=,11log )(x x x f a 定义域为),1()1,(+∞--∞ ， 求导得e x x f a log 12)(2--='， ①当1>a 时，)(,0)(x f x f ∴<'在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数； ②当10<<a 时，),1()1,()(,0)(+∞--∞∴>'与在x f x f 上都是增函数； （另解）设11)(-+=x x x g ，任取111221>>-<<x x x x 或， 0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-∴x x x x x x x x x g x g ， )()(12x g x g <∴，结论同上；（3）111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y ， )10,0(11)(,0,011≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y且（4）)2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在 上为减函数，∴命题等价于1)2(=-a f ，即014131log 2=+-⇒=--a a a a a， 解得32+=a .[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验.【例2】对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围. [解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==，（1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-⇒>-=∴a a u ，a ∴ 的取值范围是)3,3(-；（2）这是一个较难理解的问题。
指数与指数函数知识点与题型归纳
指数与指数函数知识点与题型归纳1．根式(1)根式的概念：若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示；x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂3a 变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，a 逐渐减小．（1）画指数函数图象的三个关键点画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1. （2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象， 底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．（3）指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a ＞1与0＜a ＜1来研究．题型一 指数幂的化简与求值1．化简3a a 的结果是________．2．若(2a －1)2＝3(1－2a )3，则实数a 的取值范围为________． 3.=+3-2-233___________4．已知24714===cba，则cb a 111+-＝________. 5. 已知14x x-+=，求1122x x -+及1x x --的值．题型二 指数函数的图象及应用类型一 与指数函数有关的图象辨析 6．函数|1|--=x ey |的大致图象是( )7．函数||1)(x e x f -=的图象大致是( )8．函数12+=x y 的图象是________(填序号)．类型二 指数函数图象的应用9．函数b a y x-=(a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定 10．函数33+=-x ay (a >0，且a ≠1)的图象过定点________．11. 若曲线13-=x y 与直线y ＝m 有两个不同交点，则实数m 的取值范围是________． 12．若条件变为：方程m x =-13||有两个不同实根，则实数m 的取值范围是________．13．若条件变为：函数m 13+-=x y 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________． 14．函数xa y =(a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )15．已知函数xa y ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421的图象与指数函数xa y =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是___16．设函数⎩⎨⎧>≤+=0,20,1)(x x x x f x,则满足1)1()(>-+x f x f 的x 的取值范围是________． 17．已知实数a ，b 满足等式ba20202019=，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________(填序号)． 18．设2m ＝3n ，则m ，n 的大小关系一定是（ ）A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ≥nD ．以上答案都不对题型三 指数函数的性质及应用类型一 比较指数式大小19．已知2.12=a ，2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ，2log 25=c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．b <c <a 20．已知xxx f --=22)(，4197-⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，5179⎪⎭⎫⎝⎛=b ，97log 2=c ，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a ) 21.设函数axx f -=2)(与xa x g =)((a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与1.01⎪⎭⎫⎝⎛=a N 的大小关系是( )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M ＜ND ．M ＞N 类型二 解不等式与方程 22．不等式1472-->x x a a(0<a <1)的解集为____________．23．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,0,721)(x x x x f x,若1)(<a f ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)24．当x ∈(－∞，－1]时，不等式024)(2<-⋅-xxm m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－3,4)D ．(－1,2) 25.方程11214=-+xx 的解为________．26. 若不等式0421>⋅++a xx在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________．类型三 与指数函数有关的函数最值问题 27．函数y ＝3x 2－2x的值域为________．28．函数12221)(++-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间是________，值域是________．29．函数12141+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xxy 在区间[－3,2]上的值域是________．类型四 与指数函数有关的函数单调性问题 30. 函数124)(+-=x xx f 的单调增区间是________．31. 已知函数|2|2)(m x x f -=(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 32．函数221)(x x x f -⎪⎭⎫⎝⎛=的单调递增区间是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21, B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2133．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]34．设xe xf =)(，0＜a ＜b ，若()ab fp =，⎪⎭⎫⎝⎛+=2b a f q ，)()(b f a f r =，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q35．若函数f (x )＝a x (a x －3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎝⎛32,0 B.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33 C ．(]3,1 D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 36．已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围．37．已知函数3241)(1+-=-x x x f λ(－1≤x ≤2)． (1)若23=λ，求函数)(x f 的值域； (2)若函数)(x f 的最小值是1，求实数λ的值．38．函数()4426xx f x +=--，其中[]0,3x ∈（1）求()f x 的最大值与最小值；（2）若存在[]00,3x ∈使()00f x a -≤成立，求实数a 的范围.39．设指数函数xm x f )2()(+=，幂函数32)1()(x m m x g ++=． （1）求m ；（2）设a ＜0，如果存在x 1，x 2∈[﹣2，2]，使得)()(21x g x af >，求a 的取值范围．2.解析：2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a .故2a －1≤0，所以a ≤12.3.解析：原式22(33)2(33)2(33)3324232(31)+++===-----22(33)2(1263)2266(33)(33)+===-+4.解析：由题设可得21a ＝14,21b＝7,21c ＝4，则2-11a b＝147＝2，∴2-+111a b c ＝2×4＝23，∴1a －1b ＋1c ＝3.5.解析：因为14x x-+=，所以 x ＞0，则112122()2426x x x x --+=++=+=，则11226x x-+=因为 1222()216x x x x --+=++=，则2214x x -+=，所以 1222()214212x x x x ---=+-=-=，所以11223x x--==±6.解析：因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.7.解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为 (－∞，0]，排除C.8.解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x＋1的图象．答案：①9.解析：因为函数y ＝a x －b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x －b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b ∴(0,1)，故选C.10.解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中， 令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝a x －3＋3的图象过定点(3,4)．11.解析：曲线y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，而直线y ＝m 的图像是平行于x 轴的一条直线，它的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y ＝|3x －1|与直线y ＝m 有两个公共点，则m 的取值范围是(0,1)．12.解析：作出函数y ＝3|x |－1与y ＝m 的图像如图所示，数形结合可得m 的取值范围是(0，＋∞)．]13.解析：作出函数y ＝|3x －1|＋m 的图像如图所示．由图像知m ≤－1，即m ∴(－∞，－1]．14.解析：选C ；两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，选C. 15.解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a ＝4.16.解析：画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1，所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立，结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1，解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)．17.解析：作出y ＝2 019x 及y ＝2 020x 的图像如图所示，由图可知a ＞b ＞0，a ＝b ＝0或a ＜b ＜0时，有2 019a ＝2 020b ，故③④不可能成立．18.解：当m ＞n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＞2n ，所以（）n ＞1，所以m ＞n ＞0， 当m ＝n 时，（）n ＝1，所以m ＝n ＝0，当m ＜n 时，因为函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2m ＝3n ＜2n ， 所以（）n ＜1，所以n ＜0，则m ＜n ＜0，故选：D ．19.解析：因为2.021-⎪⎭⎫⎝⎛=b ＝20.2<21.2＝a ，所以a>b>1.又因为c ＝2log 52＝log 54<1，所以c<b<a.选C20.解析：易知f(x)＝2x －2－x 在R 上为增函数，又0797997514141>=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a ，c ＝log 279<0， 则a>b>c ，所以f(c)<f(b)<f(a)． 21.因为f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a ＞1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a ＞2，所以M ＝(a －1)0.2＞1，111.0<⎪⎭⎫⎝⎛=a N ，所以M ＞N .故选D.22.解析：因为y ＝a x (0<a <1)为减函数，所以2x －7<4x －1，解得x >－3；答案为(－3，＋∞)点评：(1)a f(x)＝a g(x)⇔f(x)＝g(x)．(2)a f(x)＞a g(x)，当a ＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a ＜1时，等价于f(x)＜g(x)．23.解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为1721<-⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即821<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，即32121-⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，因为0<12<1，所以a>－3，此时－3<a<0；当a≥0时，不等式f(a)<1可化为a<1，所以0≤a<1. 故a 的取值范围是(－3,1)．24.解析：因为(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立．所以(m 2－m )<12x 在x ∴(－∞，－1]上恒成立．因为y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，所以当x ∴(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，所以m 2－m <2，所以－1<m <2.选D25.解析：当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0.∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，所以2x ＝3，即x ＝log 23.当x ＜0时，原方程化为4x －2x －10＝0.令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0＜t ＜1)．由求根公式得t ＝1±1＋402均不符合题意，故x ＜0时，方程无解．26.解析：从已知不等式中分离出实数a ，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛->x x a 2141.因为函数x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41和xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21在R 上都是减函数，所以当x ∴(－∞，1]时，4141≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，2121≥⎪⎭⎫ ⎝⎛x，所以4321412141=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx，从而得432141-≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .故实数a 的取值范围为a ＞－34.即⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,4327.解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31.28.解析：令u ＝－x 2＋2x ＋1，则u ＝－(x －1)2＋2.又uy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21在R 上是减函数，则函数12221)(+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的递减区间为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．由此函数f (x )的递减区间为(－∞，1]．因为u ≤2，则4121)(2=⎪⎭⎫⎝⎛≥x f ，即函数f (x )的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41。
指数与指数函数高考数学知识点总结高考数学真题复习
指数与指数函数高考数学知识点总结高考数学真题复习§2.5 指数与指数函数2014高考会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．复习备考要这样做1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图象和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．1．根式的性质(1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a .当n 为偶数时na n ＝{ a (a ≥0)－a (a <0) 2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n个(n ∈N *)．②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n＝1na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①a r a s＝a r＋s(a>0，r、s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r、s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质[难点正本疑点清源]1．根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2．指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0<a1 进行分类讨论．</a3．比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．1．化简[(－2)6]12－(－1)0的值为________．答案 7解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝23－1＝7.2．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<－1.<="" bdsfid="117" p="" 或－2<－1.<="" bdsfid="119" p="" 或－23．若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.<－1.<="" bdsfid="121" p="" 或－2答案<－1.<="" bdsfid="123" p="" 或－23<－1.<="" bdsfid="125" p="" 或－2解析当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]．因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当04．(2012·四川)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是 ( )答案 D解析当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B.当0<="" －1a="" ＝a=""><="" －1a="" ＝a="">a <0，故选D.<="" －1a="" ＝a="">5．设函数f (x )＝a<="" －1a="" ＝a="">－|x |<="" －1a="" ＝a="">(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4， ( )<="" －1a="" ＝a="">A ．f (－2)>f (－1)<="" －1a="" ＝a="">B ．f (－1)>f (－2)<="" －1a="" ＝a="">C ．f (1)>f (2)<="" －1a="" ＝a="">D ．f (－2)>f (2) 答案 A<="" －1a="" ＝a="">解析∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝1<="" －1a="" ＝a="">2<="" －1a="" ＝a="">，<="" －1a="" ＝a="">∴f (x )＝12－|x |＝2|x |<="" －1a="" ＝a="">，∴f (－2)>f (－1)，故选A.<="" －1a="" ＝a=""><="" －1a="" ＝a="">题型一指数幂的运算例1 (1)计算：(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1；(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3的值．思维启迪：(1)本题是求指数幂的值，按指数幂的运算律运算即可；(2)注意x 2＋x －2、x 32＋x －32与x 12＋x －12之间的关系．解 (1)(124＋223)12－2716＋1634－2×(8－23)－1＝(11＋3)2×12－33×16＋24×34－2×8－23×(－1)＝11＋3－312＋23－2×23×23＝11＋3－3＋8－8＝11.(2)∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝9，∴x ＋2＋x －1＝9，∴x ＋x －1＝7，∴(x ＋x －1)2＝49，∴x 2＋x －2＝47，又∵x 32＋x ＋－32＝(x 12＋x －12)·(x －1＋x －1) ＝3×(7－1)＝18，∴x 2＋x －2－2x 32＋x －32－3＝3. 探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．计算下列各式的值：(1)－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a －13b 13(a >0，b >0)．解 (1)原式＝－278－23＋1500－12－105－2＋1 ＝－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(3)原式＝(a 3b 2a 13b 23)12ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.题型二指数函数的图象、性质的应用例2 (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论<="" －1a="" ＝a="">正确的是 ( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．00 D ．0<0<=""<0<="" (2)求函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的定义域、值域及其单调区间．<0<="" 思维启迪：对于和指数函数的图象、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手．答案 (1)D <0<="" 解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.(2)解依题意x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，∴f (x )的定义域是(－∞，1]∪[4，＋∞)．∵x 2－5x ＋4≥0，∴f (x )＝3x 2－5x ＋4≥30＝1，∴函数f (x )的值域是[1，＋∞)．令u ＝x 2－5x ＋4＝x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，∴当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，∴由复合函数的单调性，可知f (x )＝3x 2－5x ＋4在(－∞，1]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数．探究提高(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对其中的参数进行讨论．(1)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为 ( )答案 A解析 y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x－1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1 ＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确．(2)若函数f (x )＝e －(x －μ)2 (e 是自然对数的底数)的最大值是m ，且f (x )是偶函数，则m ＋μ＝________. 答案 1解析由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e －(－x －μ)2＝e －(x －μ)2，∴(x ＋μ)2＝(x －μ)2，∴μ＝0，∴f (x )＝e －x 2.又y ＝e x 是R 上的增函数，而－x 2≤0，∴f (x )的最大值为e 0＝1＝m ，∴m ＋μ＝1. 题型三指数函数的综合应用例3 (1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：方程的解的问题可转为函数图象的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．解 (1)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<="" －1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．="" ＝k="" ＝|3x="">x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.②当t ∈[1,2]时，2t 22t －122t ＋m2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．探究提高对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的个数；复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x ) (a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．解 (1)因为函数的定义域为R ，所以关于原点对称．又因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数，当0 y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，所以在区间[－1,1]上为增函数，所以f (－1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a－1－a ) ＝a a 2－1·1－a 2a＝－1，所以要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1]．3.利用方程思想和转化思想求参数范围典例：(14分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．审题视角 (1)f (x )是定义在R 上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f (0)＝0，f (1)＝－f (－1)．(2)可考虑将t 2－2t,2t 2－k 直接代入解析式化简，转化成关于t 的一元二次不等式．也可考虑先判断f (x )的单调性，由单调性直接转化为关于t 的一元二次不等式．规范解答解 (1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.[4分]又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.[7分](2)方法一由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0，即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0.[9分] 整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.[12分] 上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.[14分]方法二由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0 等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .[12分] 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.[14分]温馨提醒 (1)根据f (x )的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x 都成立．所以还要注意检验．(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立等价转化为t 2 －2t >－2t 2＋k 恒成立．这个转化易出错．其次，不等式t 2－2t >－2t 2＋k 恒成立，即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，也可以这样做：k <3t 2－2t ，t ∈R ，只要k 比3t 2－2t 的最小值小即可，而3t 2－2t 的最小值为－13，所以k <－1 3.方法与技巧1．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<=""><="">1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．<="">3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解<="">决，但应注意换元后“新元”的范围.<=""><="">(时间：60分钟) A 组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于 ( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100 答案 A解析∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.2．函数y ＝12－x 2＋2x 的值域是 ( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.12，＋∞ 答案 D解析∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴12－x 2＋2x ≥12，故选D. 3．函数y ＝xa x|x |<="">(0答案 D解析函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝{a x，x－a x ，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因为0<0,0<="" ＝a=""><0,0<="" ＝a="">4| (a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19<0,0<="" ＝a="">，则f (x )的单调递减区间是 ( )<0,0<="" ＝a="">A ．(－∞，2]<0,0<="" ＝a="">B ．[2，＋∞)<0,0<="" ＝a="">C ．[－2，＋∞)<0,0<="" ＝a="">D ．(－∞，－2] 答案 B<0,0<="" ＝a="">解析由f (1)＝19，得a 2＝19，∴a ＝13 (a ＝－1<0,0<="" ＝a="">3舍去)，<0,0<="" ＝a="">即f (x )＝<0,0<="" ＝a="">?13|2x －4|<0,0<="" ＝a="">. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知a ＝<0,0<="" ＝a="">5－1<0,0<="" ＝a="">2<0,0<="" ＝a="">，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．答案 m<0,0<="" ＝a="">5－1<0,0<="" ＝a="">2<0,0<="" ＝a=""><1，∴函数f (x )＝a x 在R 上是减函数．又∵f (m )>f (n )，∴m 0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a <0,0<="" ＝a="">2<0,0<="" ＝a="">，则a 的值为__________．<0,0<="" ＝a="">答案 12或32<0,0<="" ＝a=""><0,0<="" ＝a="">解析当0<=""><="">2或a ＝0(舍去)．<="">当a >1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝3<="">2或a ＝0(舍去)．<="">综上所述，a ＝12或3<="">2<="">.<="">7. (2012·洛阳调研)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图象如图所<=""><="">示，则a ＋b 的值是________．答案－2解析∵{a 2＋b ＝a 0＋b ＝－3，∴{a ＝b ＝－4，∴a ＋b ＝－2.三、解答题(共25分) 8． (12分)设函数f (x )＝2|x＋1|－|x －1|，求使f (x )≥22的x 的取值范围．解 y ＝2x 是增函数，f (x )≥22等价于 |x ＋1|－|x －1|≥32.①(1)当x ≥1时，|x ＋1|－|x －1|＝2，∴①式恒成立．(2)当－1<="" ①式化为2x="" ＋1|－|x="" ，="" －1|＝2x=""> 4≤x <1.(3)当x ≤－1时，|x ＋1|－|x －1|＝－2，①式无解．综上，x 的取值范围是34，＋∞.9． (13分)设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令t ＝a x (a >0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)．<="">①当0<="" ＝a=""><="" ＝a="">a ，此时f (t )在a ，1<="" ＝a="">a 上为增函数．所以f (t )max ＝f 1a ＝1a ＋12<="" ＝a="">－2＝14. 所以1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝1<="" ＝a="">3. 又因为a >0，所以a ＝13<="" ＝a="">.<="" ＝a="">②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈<="" ＝a="">1a ，a ，<="" ＝a="">此时f (t )在<="" ＝a="">1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝1<="" ＝a="">3<="" ＝a="">或3.<="" ＝a="">B 组专项能力提升<="" ＝a="">一、选择题(每小题5分，共15分)<="" ＝a="">1．设函数f (x )＝?<="" ＝a="">??<="" ＝a="">1<="" ＝a="">x (x >0)，<="" ＝a="">x<="" ＝a="">(x ≤0)，若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为<="" ＝a="">( )<="" ＝a="">A ．(－∞，1]<="" ＝a="">B ．[2，＋∞)<="" ＝a="">C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)<="" ＝a="">D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 C<="" ＝a="">解析当x >0时，F (x )＝1<="" ＝a="">x<="" ＝a="">＋x ≥2；<="" ＝a="">当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．<="" ＝a="">2．(2012·山东)设函数f (x )＝1<="" ＝a="">x<="" ＝a="">，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )<="" ＝a="">的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是<="" ＝a="">( )<="" ＝a="">A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0<="" ＝a="">B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0<="" ＝a="">C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0<="" ＝a="">D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 答案 B <="" ＝a="">解析由题意知函数f (x )＝1<="" ＝a="">x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共<="" ＝a="">点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1<="" ＝a="">x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，<="" ＝a="">即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，<="" ＝a="">即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 2<="" ＝a="">1)，<="" ＝a="">∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，<="" ＝a="">∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.<="" ＝a="">当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0，∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2<="" ＝a="">x 1x 2<="" ＝a=""><0.<="" ＝a="">3．(2012·上饶质检)设函数f (x )＝2x 1＋2x －1 <="" ＝a="">2<="" ＝a="">，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )] 的值域是 ( ) A ．{0,1} B ．{0，－1} C ．{－1,1} D ．{1,1} 答案 B <="" ＝a="">解析 f (x )＝1＋2x －11＋2x<="" ＝a="">－12＝12－1<="" ＝a="">1＋2x .<="" ＝a="">∵1＋2x >1，∴f (x )的值域是－12，12. ∴y ＝[f (x )]的值域是{0，－1}．二、填空题(每小题4分，共12分)<="" ＝a="">4．函数f (x )＝ax 2＋2x －3＋m (a >1)恒过点(1,10)，则m ＝______.<="" ＝a="">答案 9<="" ＝a="">解析 f (x )＝ax 2＋2x －3＋m 在x 2＋2x －3＝0时过定点(1，1＋m )或(－3,1＋m )，∴1＋m ＝10，解得m ＝9.<="" ＝a="">5．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．<="" ＝a="">答案 (1，＋∞)<="" ＝a=""><="" ＝a=""><="" ＝a="">解析令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若01，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示．6．关于x 的方程32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．答案－23，34 解析由题意，得x <0，所以0<1，从而0<2＋3a 5－a <1，解得－23<34.<="" bdsfid="709" p=""><34.<="" bdsfid="711" p="">三、解答题(13分)<34.<="" bdsfid="713" p="">7．设f (x )＝e －<34.<="" bdsfid="715" p="">x a ＋a<34.<="" bdsfid="717" p="">e<34.<="" bdsfid="719" p="">－x 是定义在R 上的函数．<34.<="" bdsfid="720" p="">。
高中数学指数函数对数函数重点题型汇总
指对函数题型分类一、指数函数：)0,1(>≠=a a a y x 题型一：比较大小1、（1） ； （2） ______ 1； （3） ______2、985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。
3、设111()()1222b a <<<，那么 （ ） A.a a ＜a b ＜b a B.a a ＜ b a ＜a b C.a b ＜a a ＜b a D.a b ＜b a ＜a a 4、已知下列等式，比较m ，n 的大小：（1）22m n < (2)0.20.2m n <5、下列关系中，正确的是（ ）A 、5131)21()21(> B 、2.01.022> C 、2.01.022--> D 、115311()()22- - >5．比较下列各组数的大小 (1)31.13.11.1,1.1 (2)3.02.06.0,6.0-- (3)3241⎪⎭⎫ ⎝⎛、3251⎪⎭⎫ ⎝⎛、3141⎪⎭⎫⎝⎛; (4)0.42、20.4、log 402⋅题型二：复合指数函数图象 1、 函数（ ）的图象是（）2．函数与的图象大致是( ).3．当时，函数与的图象只可能是（ ）4．在下列图象中，二次函数 与指数函数 的图象只可（ ）5、若，，则函数的图象一定在（）A ．一、二、三象限B ．一、三、四象限C ．二、三、四象限D ．一、二、四象限6、已知函数xx f 2)(=,则)1(x f -的图象为 （ ）ABCD7、函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数， 则下列结论正确的是（ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><<b a D ．0,10<<<b a8、（全国卷Ⅳ文科）为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数xy )31(=的图象（ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度9、画出12-=x y 和12-=xy 的图象。
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
与指数函数有关的复合函数问题高三
与指数函数有关的复合函数问题高三复合函数是数学中一个重要的概念，它可以用来描述多个函数之间的关系。
指数函数是一类特殊的函数，具有形如y=a^x的表达式，其中a是正实数且不等于1。
本文将探讨与指数函数有关的复合函数问题。
一、复合函数的概念复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而定义一个新的函数。
通常用符号f(g(x))表示，表示先对输入x应用函数g，再将结果作为f的输入。
例如，考虑两个函数f(x)=2x和g(x)=x^2，将g的输出作为f的输入可以表示为f(g(x))=2(g(x))=2(x^2)=2x^2。
这个新的函数可以理解为先将x平方再乘以2。
二、指数函数的复合函数问题在处理与指数函数有关的复合函数问题时，我们可以将指数函数作为内层函数或外层函数。
1.内层函数是指数函数考虑一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个指数函数。
例如，g(x)=2^x。
我们希望先计算g(x)，然后将结果作为f的输入。
例如，假设f(x)=x^2，我们可以计算f(g(x))=f(2^x)=(2^x)^2=2^(2x)。
这个复合函数的定义域是所有实数。
2.外层函数是指数函数考虑一个复合函数f(g(x))，其中f(x)是一个指数函数。
例如，f(x)=3^x。
我们希望先计算外层函数f(x)，然后将结果作为g的输入。
例如，假设g(x)=x+1，我们可以计算f(g(x))=3^(x+1)。
这个复合函数的定义域是所有实数。
三、解题方法解决与指数函数有关的复合函数问题时，可以考虑以下几种方法：1.直接计算法根据复合函数的定义和指数函数的性质，直接对复合函数进行计算。
将内外层函数分别展开，然后根据指数函数的乘法、除法和幂运算等性质进行简化。
2.参数化法通过引入参数，将复合函数转化为一个等价的简化形式。
例如，对于复合函数f(g(x))=3^(x+1)，令u=x+1，则可以将它表示为f(u)=3^u。
这样，原来的问题就转化为了计算函数f(u)。
专题05 指数与指数函数-新高考数学函数和导数专题篇复习精讲练导学案
2.5指数与指数函数【学习目标】1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【要点整合】1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna－＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质3.有关指数型函数的性质 (1)求复合函数的定义域与值域形如()xf y a =的函数的定义域就是()f x 的定义域．求形如()x f y a =的函数的值域，应先求出()f x 的值域，再由单调性求出()xf y a =的值域．若a 的范围不确定，则需对a 进行讨论． 求形如()xy f a =的函数的值域，要先求出xu a=的值域，再结合()y f u =的性质确定出()xy f a=的值域．(2)判断复合函数()xy f a=的单调性令u =f (x )，x ∈[m ，n ]，如果复合的两个函数uy a =与()u f x =的单调性相同，那么复合后的函数()xf y a =在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么复合函数()xf y a =在[m ，n ]上是减函数．(3)研究函数的奇偶性一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子()f x 与f (−x )的关系，最后确定函数的奇偶性．二是图象法，作出函数的图象或从已知函数图象观察，若图象关于坐标原点或y 轴对称，则函数具有奇偶性．【典例讲练】题型一 指数幂的运算【例1-1】若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a3C ．(－2)0＝－1D ．144()a－＝1a答案 D解析 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，144()a－＝1a ，故D 正确．【例1-2】化简：41223333322533338242a a bb a a a a a ab ab a -⎛⎫-⋅÷-⨯ ⎪⋅⎝⎭++＝ (a >0)．答案 a 2 解析 原式＝11111251111333333336223331111111111223333353362[()(2)]2()(2).()(2)(2)()2a a b a b a a a a a a b a aa ab b a a a b b --⋅÷⨯⨯⨯+⋅+⋅-＝－＝归纳总结：【练习1-1】【答案】解：原式2123232322[()]1[()]()233=--+3441299=--+ 12=．【练习1-2】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【分析】根据各式是否有意义，是否符合根式与分数指数幂的互相转化规律进行判断．【答案】解：对于A ，0a ，而当0a <时，56a =无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确． 故选：D ．题型二 指数函数的图象及应用 【例2-1】函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1，函数f (x )＝a x－b的图象是在y ＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.【例2-2】若函数y ＝|4x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为____________． 答案 (－∞，0]解析 函数y ＝|4x －1|的图象是由函数y ＝4x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．归纳总结：【练习2-1】已知实数a，b满足等式2 019a＝2 020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.【练习2-2】方程2x＝2－x的解的个数是．答案1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三 指数函数的性质及应用 考点1 比较大小【例3-1】已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 由a 15＝(243)15＝220，b 15＝(245)15＝212，c 15＝255>220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c . 归纳总结：【练习3-1】设232555322,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】对于函数2()5x y =，在其定义域上是减函数，3255>，32552255⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b c <. 在同一平面直角坐标系中画出函数3()5x y =和函数2()5x y =的图象，a c >. 从而bc a <<. 故A 正确.【名师点睛】不管是比较指数式的大小还是解含指数式的不等式，若底数含有参数，需注意对参数的值分1a >与01a <<两种情况讨论. 考点2 解简单的指数方程或不等式【例4-1】已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为 ．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.【练习4-1】若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为 ． 答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x －4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≥0，2－x －4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0， 解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．考点3 指数型函数性质综合应用【例5-1】函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为________．【答案】(0，2]【解析】设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，即可求解．由题意，设222(1)11t x x x =-=--≥-，又由指数函数1()2ty =为单调递减函数，知当1t ≥-时，02y <≤，即函数221()2x xy -=的值域为(0,2]．【例4-2】求函数17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调区间.解 设t ＝x⎪⎭⎫⎝⎛21>0，又y ＝t 2－8t ＋17在(0,4]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增.令x⎪⎭⎫⎝⎛21≤4，得x ≥－2. ∴当－2≤x 1<x 2时，4≥112x ⎛⎫ ⎪⎝⎭>212x⎛⎫⎪⎝⎭，即4≥t 1>t 2，∴t 21－8t 1＋17<t 22－8t 2＋17.∴17218212+⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xx y 的单调增区间是[－2，＋∞).同理可得减区间是(－∞，－2].归纳总结：【练习5-1】若关于x 的不等式1220x x a +--->的解集包含区间()0,1，则a 的取值范围为A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],1-∞ C ．7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞【答案】B【解析】由题得1222x xa <⋅-在（0,1）上恒成立， 设()2,1,2xt t =∈，所以()121,2a t t t<-∈，，由于函数()1()2,1,2f t t t t=-∈是增函数， 所以()12111a f ≤=⨯-=. 故选B ．【练习5-2】求函数176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 的单调区间；解 176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 的定义域为R .在(－∞，3]上，y ＝x 2－6x ＋17是减函数，∴y ＝176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在(－∞，3]上是增函数.在[3，＋∞)上，y ＝x 2－6x ＋17是增函数，∴176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy在[3，＋∞)上是减函数.∴176221+-⎪⎭⎫⎝⎛=xxy的增区间是(－∞，3]，减区间是[3，＋∞).【课后作业】A 组 基础题一、选择题1.化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（ ） A. a B. b C.abD.b a【答案】：A 【分析】根据指数幂运算法则进行化简即可.【详解】1111311131112322424242244a b a b a b a b a b a --⎛⎫⎛⎫÷=÷== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题正确选项：A【点睛】本题考查指数幂的运算，属于基础题. 2.下下下下下下下下 A ．a = B ．01a =C ．4=- Dπ=-【答案】：D3.把(a -(a －1)移到根号内等于( )A.C.【答案】：C4.下下下下下下下下下下下( )A ．B ．C ．D ．【答案】：D5.已知集合{}|128xA x =<≤，{}0,1,2B =，则下列选项正确的是（ ）A. A B ⊆B. A B ⊇C. {}0,1,2AB = D. {}1,2AB =【答案】：D 【分析】计算{}03A x x =<≤，根据集合的包含关系，交集并集运算依次判断每个选项得到答案. 【详解】,{}{}|12803x A x x x =<≤=<≤，{}0,1,2B =，则A B ⊆/，A B ⊇/，AB 错误； {}03A B x x ⋃=≤≤，C 错误；{}1,2A B =，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查了解指数不等式，集合的包含关系，交集并集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6.若不等式()2223122x axx a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,1)-B. 3(,)4+∞C. 3(0,)4D.3(,)4-∞【答案】：B7177)(m n mn =31243)3(-=-43433)(y x y x +=+3339=分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为222(3)x ax x a ->-+恒成立，利用判别式22(32)40a a ∆=--<，从而求得实数a 的取值范围.详解：不等式22231()22x axx a -+<恒成立，即222(3)11()()22x ax x a --+<，即222(3)x ax x a ->-+恒成立，即22(32)0x a x a +-+>恒成立，所以22(32)40a a ∆=--<，解得34a >，所以实数a 的取值范围是3(,)4+∞，故选B.点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.7. 已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|124,}x B x x N =<≤∈，则A ∩B =（ ） A. ∅ B. (1,2] C. {2} D. {1,2}【答案】：C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：集合{}2430A x x x =-+<{|13}x x =<<，{}02{|124,}{|222,}{|02,}1,2x x B x x N x x N x x x N =<≤∈=<≤∈=<≤∈=.所以{}2A B ⋂=. 故选：C【点睛】本题考查交集的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题.8.已知111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b b a a b >>B. a b b a b a >>C. b a b b a a >>D. b b a a b a >>【答案】：A 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性比较大小即可得答案.【详解】解：因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，111222a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1a b >>， 由于函数()1xy aa =>和函数()1b y x b =>在第一象限为增函数，所以a b a a >，b b a b >，故a b b a a b >>. 故选：A.【点睛】本题考查利用指数函数与幂函数的单调性比较大小，考查运算能力，是基础题. 9.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A. ()1,1- B. ()(),11,-∞-+∞C. ()0,1D. ()(),01,-∞⋃+∞【答案】：D 【分析】不等式即21x x >+．由于函数2xy =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，数形结合可得结论．【详解】解：不等式()0f x >，即21x x >+．由于函数2xy =和直线1y x =+的图象都经过点(0,1)、(1,2)，如图所示： 不等式()0f x >的解集是()(),01,-∞⋃+∞， 故选：D ．【点睛】本题主要考查其它不等式的解法，函数的图象和性质，属于中档题．10.函数(01)||xxa y a x =<<的图像的大致形状是（ ） A. B.C. D.【答案】：D 【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案. 【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x x a x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩01a <<，∴x y a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||xxa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11.已知全集U =R ，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B C ⋂=（ ）A. {|20}x x -≤<B. 1{|2}2x x -≤<C. 1{|0}2x x ≤<D. {|03}x x ≤<【答案】：B 【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y C B x x -==≥∴=≥∴=<，所以()U A B C ⋂= 1{|2}2x x -≤<． 考点：集合的交集、补集运算．12.设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】：A 【分析】分别考查指数函数1()3xy =及幂函数13y x =在实数集R 上单调性，即可得出答案．【详解】∵2133＞，由幂函数13y x =在实数集R 上单调递增的性质得113321()()33＞，∴a ＞c ．又由指数函数1()3x y =在实数集R 上单调递减的性质得213311()()33＜，∴c ＞b ．∴a ＞c ＞b ． 故选：A ．【点睛】掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键． 二、填空题13.=_________，220313e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ .【答案】：1π-； 4-【分析】根据指对数的运算求解即可.【详解】(1)11ππ=-=-(2) ()222033323141(8314)29e -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-+=-+=-. 故答案为：1π- ；4-【点睛】本题主要考查了指数的基本运算,属于基础题型.14.计算210.00013427-- 【答案】：134【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题. 15.若2312a b ==，则21a b+= ． 【答案】：1试题分析：由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b==，所以()2121212212log 2log 3log 231a b+=+=⨯=. 考点：对数运算及其应用.16.已知函数()()(),01,0x e x f x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则不等式()()22f x f x <-的解集为______.【答案】：()2,1- 【分析】先判断函数单调性，再根据单调性化简不等式，解得结果.【详解】,1x y e y x ==+都为单调递增函数，且001e =+()f x ∴在R 上单调递增，()()22f x f x <-， 22x x ∴<-，即()()220210x x x x +-<+-<，∴21x -<< 故答案为：()2,1-17.若[1,)x ∈-+∞，不等式4210x x m -⋅+>恒成立，则实数m 的取值范围是______．【答案】：(,2)-∞【分析】设12,2xt ⎡⎫=∈+∞⎪⎢⎣⎭，将原不等式转化成11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，从而求出m 的范围．【详解】令2x t =，∵[1,)x ∈-+∞，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，∵4210x x m -⋅+>恒成立，∴11,,2m t t t⎡⎫<+∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，∵12t t+≥，当且仅当1t =时，即0x =时，表达式取得最小值， ∴2m <， 故答案为(,2)-∞．【点睛】本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题． 三、解答题18.计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】：（1）4a （2）0.09 【分析】根据同底数幂、分数指数幂的运算性质即可求出（1）（2）答案. 【详解】（1）()()2115211115111033663262362226326344a b a b a b a b a b a +-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=⨯-÷-⨯== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）10.5233277(0.027)21259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()113232333250.359-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦550.090.0933=+-=.19.已知函数1()421x x f x a +=-⋅+．（1）若函数()f x 在[0x ∈，2]上有最大值－8，求实数a 的值； （2）若方程()0f x =在[1x ∈-，2]上有解，求实数a 的取值范围．【答案】：（1）5；（2）1718a ≤≤. 【分析】（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，进而讨论a 与52的关系求解；（2）[1x ∈-，2]，∴令12[2x t =∈，4]，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，进而求解．【详解】解：（1）2()(2)221x x f x a =-⋅+，[0x ∈，2]，2[1x ∴∈，4]，①52a ≤时，2()42418max f x a =-⨯+=-，解得258a =（舍）②52a >时，2()12118max f x a =-⨯+=-，解得5a =， 5a ∴=；（2）[1x ∈-，2]，∴令12,42x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，2()210g t t at ∴=-+=在1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦有解，1122t a t =+≥=当且仅当122t t=，即1t =时等号成立，此时函数2()21g t t t =-+的图象如图，4t ∴=时，a 取得最大值178， 综上[1a ∈，17]8． 【点睛】本题考查复合函数的单调性，在特定区间的最值问题；以及复合函数在特定区间的上有解，转化为对勾函数的图象求解，属于中档题． 20.已知集合{}2(2)(1)(21)0A x x m x m m =-++-+≤.集合B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.（Ⅰ）当1m =时，求AB ；（Ⅱ）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】：（Ⅰ）{|24}A B x x ⋃=-≤≤（Ⅱ）(,3][3,)-∞-+∞【分析】（Ⅰ）把1m =代入，求出集合A ，再利用指数的单调性求解集合B ，根据集合的并运算即可求解.（Ⅱ）讨论m 的取值范围，求出集合A ，根据集合的包含关系可得12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩ 或21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解不等式组即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，{}2|30{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，1||381{|24}9x B x y x x x ⎧⎪⎧⎫===≤≤=-≤≤⎨⎨⎬⎩⎭⎪⎩，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤.（Ⅱ）集合{}2|(2)(1)(21)0{|(1)(21)0}A x x m x m m x x m x m =-++-+≤=+---≤若0m ≥，则{|121}A x m x m =-≤≤+,∵B A ⊆,∴12214m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得3m ≥，若0m <，则{|211}A x m x m =+≤≤-.∵B A ⊆，∴21214m m +≤-⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，∴m 的取值范围为(,3][3,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.21.已知函数32()31x x a a f x bx ⋅+-=++是定义在R 上的奇函数，a ，b R ∈（1）判断函数f (x )的单调性；（2）若对任意的k ∈R ，不等式22(2)(1)0f k t f kt t -+++≥恒成立，求实t 数的取值范围.【答案】：（1）()f x 是R 上的增函数.（2）2,[2,)3⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）由()f x 是上R 的奇函数求出1a =，0b =，然后()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++，即可判断出其单调性（2）由()()22210f k t f kt t -+++≥得()()()222211f k t f kt t f kt t -≥-++=---，然后得出2221k t kt t -≥---即可 【详解】（1）因为()f x 是上R 的奇函数 所以()00f =所以2031a a +-=+，所以1a =所以()3131x xf x bx -=++又()()11f f -=-所以111131313131b b ----=-+++ 所以0b =所以()3131-=+x xf x 因为()3131221313131x x x x xf x -+-===-+++ 所以()f x 是R 上的增函数（2）因为()f x 是R 上的增函数且是奇函数，由()()22210f k t f kt t -+++≥所以()()()222211f k t f kt t f kt t -≥-++=---所以2221k t kt t -≥---即22210k kt t t ++-+≥对任意k ∈R 恒成立只需()224210t t t ∆=--+≤，所以23840t t -+≥解之得2t ≥，或23t ≤所以实数t 的取值范围是[)2,2,3⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦【点睛】解抽象函数的不等式时，怎么利用函数的单调性和奇偶性将f 去掉是解题的关键.22.已知函数()11439x xm f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当2m =-时，求函数f (x )在(－∞,0)上的值域；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，总有()6f x ≤成立，求实数m 的取值范围. 【答案】：（1）()3,+∞ （2）(],1-∞ 【分析】（1）利用换元法，把函数转化为二次函数，根据二次函数的图像与性质即可求解.（2）由()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，采用分离参数法化为1233x x m ≤⋅-，然后求1233x x⋅-的最小值即可求解. 【详解】（1）当2m =-时，设13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),0x ∈-∞，∴()1,t ∈+∞， ∴()()222413t t t y g t -+=-=+=，对称轴1t =，图像开口向上， ∴()g t 在()1,t ∈+∞为增函数， ∴()3g t >，∴()f x 的值域为()3,+∞. （2）由题意知，()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，即11239xxm ⎛⎫⎛⎫⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1233xxm ≤⋅-在[)0,x ∈+∞恒成立， 则只需当[)0,x ∈+∞时，min1233xx m ⎛⎫≤⋅-⎪⎝⎭， 设3x t =，()12h t t t=-，由[)0,x ∈+∞得1t ≥，设121t t ≤<，则()()()()12121212210t t t t h t h t t t -+-=<，所以()h t 在[)1,+∞上递增，即()h t 在[)1,+∞上的最小值为()11h =， 所以实数m 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题主要考查指数型复合函数的值域、不等式恒成立求参数的取值范围以及根据函数的单调性求最值，综合性比较强，属于中档题.B 组 能力提升能一、选择题1.设函数1()1,()22x f x x g x t =-=⋅-，若存在[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 13,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 13,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 13,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】：D 【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出t 的范围． 【详解】∵[],0,2m n ∈，使得()()f m g n =成立，即()f x 和()g x 的值域有交集．[][]()1,0,2,()1,1f x x x f x =-∈∴∈-．∵()122xg x t =⋅-， 当0t =时，()11222xg x t =⋅-=，满足题意； 当0t >时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递增， []1110,2,()2,4222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≤，即302t <<； ③0t <时，()122xg x t =⋅-在区间[]0,2上单调递减， 111[0,2],()24,222x x g x t t t ⎡⎤∈∴=⋅-∈--⎢⎥⎣⎦．∵()f x 和()g x 的值域有交集，∴112t -≥-，即102t <<； 综上：1322t -≤≤； 故选D ．【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间的关系，此类问题属于中档题.2.已知函数,1()(41)4,1x a x f x a x a x ⎧≥=⎨-+<⎩是(－∞, +∞)上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,74⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,74⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】：D 【分析】根据函数的单调性,列出不等式,求解即可.【详解】由题意,函数()f x 是(,)-∞+∞上的减函数,则101410414a a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≤-+⎩,解得1174a ≤<. 故选:D.【点睛】本题考查了函数的单调性,考查了分段函数的性质,属于基础题. 3.下列四个结论中，正确结论的个数为（ ）个． （1）函数()f x x =与函数()g x =（2）若函数()xf x a a =-（0a >且1a ≠）的图象没有经过第二象限，则1a >； （3）当()1,2x ∈时，关于x 的不等式240x mx ++<恒成立，则实数m 的取值范围为5m <-；（4）若函数()()2211x f x x +=+的最大值为M ，最小值为m ，则2M m +=．（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】：B 【分析】（1）由函数相等的概念即可判断；（2）根据指数函数的图像即可判断；（3）根据二次函数图像与性质即可判断；（4）根据函数奇偶性即可判断 【详解】解：对于（1）两个函数的定义域相同，但()g x x ==，则两函数的对应关系不相同，所以这两个函数不是同一个函数，所以（1）错误；对于（2）由指数函数的图像可知，当1a >时，函数()xf x a a =-（0a >且1a ≠）的图像必不经过第二象限，所以（2）正确；对于（3），令2()4f x x mx =++，由于当()1,2x ∈时，关于x 的不等式240x mx ++<恒成立，则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，解得5m ≤-，所以（3）错误；对于（4），()()22212111x x f x x x +==+++，令22()()1x g x x R x =∈+， 因为2222()()()11x xg x g x x x --==-=--++，所以()g x 为奇函数，所以max min ()()0g x g x +=，所以max min ()1()12M m g x g x +=+++=，所以（4）正确 故选：B【点睛】此题考查函数相等的判断，指数函数的图像，二次函数的图像和性质、函数的奇偶性及其应用，属于基础题4.已知函数7(13)10,(7)(),(7)x a x a x f x a x --+≤⎧=⎨>⎩是定义域R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. 11(,)32B. 16(,]311C. 12[,)23D. 16(,]211【答案】：B 【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解. 【详解】若f （x ）是定义域（-∞，+∞）上的减函数，则满足 ()7701130713101a a a a a -⎧⎪-⎨⎪-+≥⎩＜＜＜＝ 即0113611a a a ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪≤⎪⎩＜＜＞ ，整理得16311a <≤.故选B 【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键. 二、填空题5.已知函数(0)x y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .【答案】：92试题分析：由图可知，a ＞1，点(1，3)在函数(0)xy a b b =+>的图象上，所以 a ＋b ＝3．1＜a ＜3，0＜b ＜2．4114114114192()[(1)]()(5)12121212b a a b a b a b a b a b -+=⨯+=⨯-++=⨯++≥----当且仅当72,33a b ==时取等号 考点：指数函数性质及图象，基本不等式，函数的最值 6.对任意x ∈R ，不等式()()442223x xxx a b --+++≤恒成立，则+a b 的最大值是______.【答案】【分析】设22x x t -+=，则2t ≥，()2223f t at bt a =+--，计算(10f ≤得到a b +≤，再验证等号成立得到答案. 【详解】设22x x t -+=，则2t ≥，()()442223x xxx a b --+++≤，即()2223a t bt -+≤恒成立，设()2223f t at bt a =+--，则((()1230f a b +=++-≤，解得a b +≤. 现在验证，存在,a b使等号成立，341a b b a⎧+=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，则3,42a b ==， 此时()2f t =1t =+()(max 10f x f ==. 满足条件，故+a b.故答案为：34.7.函数114x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间为________；奇偶性为_________（填奇函数、偶函数或者非奇非偶函数）.【答案】：[)0,+∞ ；偶函数 【分析】(1)分0,0x x ≥<两种情况讨论即可. (2)将x 代换为x -再判断奇偶性即可.【详解】(1)当0x ≥时11144x x y -+-⎛⎫== ⎪⎝⎭为增函数,当0x <时()111144x x y --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为减函数.故单调增区间为[)0,+∞.(2)因为111144x x y --+-+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.且定义域为R .故奇偶性为偶函数.故答案为：(1) [)0,+∞; (2) 偶函数 三、解答题8.已知函数133()31x x f x +-=+.（1）判断函数f (x )的单调性并用定义法证明；（2）若对于任意的实数t ，不等式()()2240f t t f t k -++>恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设关于x 的函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点，求实数m 的取值范围. 【答案】：（1）()f x 是R 上的增函数，证明见解析；（2）2k >；（3）3m ≤.【分析】（1）用定义法判断单调性即可,注意“作差”、“变形”、“定号”和“下结论”;（2）先判断函数的奇偶性,利用奇偶性可将不等式转化为()()224f t t f t k ->--,然后结合函数的单调性可得224t t t k ->--恒成立,结合二次函数的性质可求出实数k 的取值范围; （3）函数()g x 有零点,可得()()91430xxf m f ++-⋅=有解,结合函数的单调性和奇偶性可得方程9143x x m +=-+⋅有解,参变分离得9431x x m =-+⋅-,求出9431x x -+⋅-的取值范围即可.【详解】（1）由题意,1336()33131x x xf x +-==-++,且()f x 的定义域为R , 任取12,R x x ∈,且12x x <,则()()()()()122121121163366333131x x x x x x f x f x -++-=-=++, ∵12,R x x ∈,且12x x <,∴12033x x <<,12330x x -<,()()2131310xx++>, 故()()12f x f x <,所以函数()f x 是R 上的增函数.（2）由题意,113333()()3113x x x xf x f x -++----===-++, 又()f x 的定义域为R ,所以函数()f x 是R 上的奇函数.∴不等式()()2240f t t f t k -++>可化为()()()2224f t t f t k f t k ->-+=--,即()()224f t t f t k ->--恒成立,∵函数()f x 是R 上的增函数,∴224t t t k ->--,即对于任意的实数t ,2240t t k -+>恒成立, 则()2480k ∆=--<,解得2k >.（3）函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点,则()()91430xxf m f ++-⋅=有解,∵函数()f x 是R 上的奇函数, ∴()()()9143143xxxf m f f +=--⋅=-+⋅有解,∵函数()f x 是R 上的增函数,∴9143x x m +=-+⋅,即9431x x m =-+⋅-有解,令3x a =,则0a >,241m a a =-+-,令()2()410h a a a a =-+->,则()h a 在()0,2上单调递增,在[)2,+∞上单调递减,故()h a 的最大值为224213-+⨯-=,()h a 的值域为(],3-∞.所以,当3m ≤时,方程241m a a =-+-有解,即函数()()()9143xxg x f m f =++-⋅有零点.【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用,考查函数零点的应用,考查方程有解问题,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.9.已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设函数()()g x f x x=. （1）求a 、b 的值；（2）不等式(2)20x xf k -⋅≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；（3）方程2(21)(3)021xx f k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】：（1）1,0a b ==；（2）0k ≤；（3）0k > 【分析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a 与0的大小讨论，列出方程，即可求a ，b 的值； （2）转化不等式f （2x ）﹣k •2x ≥0，为k 在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x ∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k 的取值范围；（3）化简方程f （|2x﹣1|）+k （221x--3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k 的取值范围． 【详解】解：（1）g （x ）＝a （x ﹣1）2+1+b ﹣a ， ∵a ＞0，∴g （x ）在[2，3]上为增函数，故()()3421g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得96144411a a b a a b -++=⎧⎨-++=⎩，⇔10a b =⎧⎨=⎩． ∴a ＝1，b ＝0（2）方程f （2x ）﹣k •2x ≥0化为2x 12x+-2≥k •2x ， k ≤1212(2)2x x+- 令12x=t ，k ≤t 2﹣2t +1， ∵x ∈[﹣1，1]，∴t 122⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，记φ（t ）＝t 2﹣2t +1， ∴φ（t ）min ＝φ（1）＝0，∴k≤0．（3）由f（|2x﹣1|）+k（221x--3）＝0得|2x﹣1|1221kx++--（2+3k）＝0，|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），∵方程|2x﹣1|1221kx++--（2+3k）＝0有三个不同的实数解，∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则()()012010tkφφ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩＞＜或()()01201023012tkkϕϕ⎧⎪=+⎪=-=⎨⎪+⎪⎩＞＜＜∴k＞0．【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想与数形结合的思想．。
指数与指数函数题型归纳(非常全)
指数式及指数函数题型归纳（2019.10.25）一． 指数幂与根式的互化：题组一：根式化为分数指数幂（1） 化简√a 12√a 12√a =________． (2) 计算2√a⋅√a23=________．(3)若a ＜0，则√ax 3=________． (4)√a √a √a 的值为（ ）题组二：运用分数指数幂进行化简：（1）下列各式中错误的是（ ） 1. A. 225×2 52=2B. (127)−13=3C. √226=√23D. (−18)23=2. 化简（a 23b 12）×（-3a 12b 13）÷（13a 16b 56）的结果（ ）A. 6aB. −aC. −9aD. 9a 23.（1）计算：1612+(181)−0.25−(−12)0 （2）化简：(2a 14b −13)(−3a −12b 23)÷(−14a −14b −23)．(3)（√23×√3）6+（√2√2）43-4（1649）−12-√24×80.25-（-2009）0．题组三：指数式的条件求值问题：1.已知a 12+a −12=3，求下列各式的值(写出过程)：（1）a 1+a −1 (2)a 2+a −2 (3)a 32+a −32=2.（1）已知x +x−1=3，求x 12+x−12x 2+x −2+3的值．（2）已知2x +2-x =3，则 4x +4-x = ______ ．题组四：利用指数函数比较大小; 1.下列各式比较大小正确的是： 1.72.3______ 1.74 ； 0.6−1______ 0.62 ； 1.70.3______ 0.92.3 0.8−0.1______ 1.250.22.已知a =(13)−1.1,b =π0,c =30.9，则a ，b ，c 三者的大小关系是()A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. b <c <a3. 已知a =(35)25，b =(25)35，c =(25)25，则（）A. a <b <cB. c <b <aC. c <a <bD. b <c <a题组五：指数函数过定点问题;1．函数f （x ）=2-a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点（ ）A. (0,2)B. (1,2)C. (−1,1)D. (−1,2)2.函数y =a x -3+1（a ＞0且a ≠1）图象一定过点______ ．3.函数y =a −x 2+2x+3(a ＞0，a ≠1）的图象经过定点为______4. 题组六：指数函数解方程（或不等式）;1. 设集合A ={x |-1＜x ＜2}，{x |18＜（12）x ＜1}，则A ∩B =（）A. (0,3)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,+∞)2.（1）不等式3−x 2+2x>13x+4的解集为________．(2)不等式2x-2＞22x+4的解集为______(3)求不等式a 2x -7＞a 4x -1（a ＞0，且a ≠1）中x 的取值范围3.方程4x -6×2x +8=0的解是______ ．题组七：指数函数有关图像问题;1.函数f(x)=a x +b −1(其中0<a <1且0<b <1)的图象一定不经过( ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 2. 若函数y =a x +b 的部分图象如图所示，则（ ）A. 0<a <1,−1<b <0B. 0<a <1,0<b <1C. a >1,−1<b <0D. a >1,0<b <13.函数f （x ）=-3|x |+1的图象大致是（ ）A.B.C.D.4．函数y =xa x|x |(a >1)的图象的大致形状是（ ）A.B.C.D.5.如图①y =a x ,②y =b x ,③y =c x ,④y =d x ,根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为( )A. B. C.D.题组八：指数函数有关复合函数问题： 1.（1）函数y =(13)x 2−6x 的单调递增区间为______( 2 ) 函数y =2−x2−4x的单调递减区间为_____ 2.（1）函数y =(12)−x2+2x的值域是（ ）A. RB. [12,+∞)C. (2,+∞)D. (0,+∞)（2）函数f(x)=(13)x 2−6x+5的值域为_____ （3）函数y =2x 2−1的值域是______3.求函数y =3−x 2+2x+3的定义域、值域和单调区间．题组九：指数函数与其它函数交汇问题： 1.已知f (x )=a x 1+a x(a ≠0)，则f (−2018)+f (−2017)+⋯+f (2017)+f (2018)=（ ）A. 2018B.40372C. 2019D.403922.已知函数f(x)={3x −1,x >0−2x 2−4x,x ⩽0，若方程f(x)=m 有3个不等的实根，则实数m 的取值范围是________.3．若直线y =2a 与函数y =|a x -1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是______．4.已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[-1，0]，则a +b =______．5.函数f (x )=4x −2x+1+3的定义域为x ∈[−12,12]． (Ⅰ)设t =2x ,求t 的取值范围； (Ⅱ)求函数f(x)的值域．6.已知函数f(x)=a−2x 1+2x(a ∈R),且x ∈R 时,总有f(−x)=−f(x)成立．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性； (3)求f(x)在[0,2]上的值域．6.已知定义域为R 的函数，f(x)=−2x +b 2x+1+a是奇函数．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数幂的计算，要求熟练掌握指数幂的运算法则，属基础题. 根据分数指数幂的运算法则进行求解即可.【解答】解：由条件知a≥0，则√a12√a12√a=√a12√a12+12=√a12⋅√a=√a12⋅a12=a12.故选C.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力，属于基础题.利用已知条件，通过开方运算，求解即可，利用a12+a−12=√(a12+a−12)2，即可得. 【解答】解：由a+1a=7，可得a＞0，a12+a−12>0，∴a12+a−12=√(a12+a−12)2=√7+2=3，故选A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查指数运算及倒序相加法进行求和，属于中档题.由已知f(x)+f(−x)=a x1＋a x+a−x1+a−x=1+a x1+a x=1，再利用倒序相加进行求和即可求解.【解答】解: 由已知有f(x)+f(−x)=a x1＋a x+a−x1+a−x=1+a x1+a x=1，设T=f(−2018)＋f(−2017)＋⋯＋f(2017)＋f(2018)，则T=f(2018)＋f(2017)＋⋯＋f(−2017)＋f(−2018)，两式相加得2T=4037×1，故选B .4.【答案】C【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，是基础的计算题．化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值. 【解答】 解：2√a⋅√a 23=a 2⋅a −12⋅a −23=a 2−12−23=a 56． 故选C ．5.【答案】A【解析】解：原式=a 32−12b 14−14=a ，故选：A根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． 6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了指数函数解析式,由已知解析式得到5a +b =3，所求为5a •5b ，利用同底数幂的乘法运算转化即可，属于中档题. 【解答】解：因为f （x ）=5x ，因为f （a +b ）=3，所以5a +b =3， 则f （a ）•f （b ）=5a •5b =5a +b =3. 故选A ．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，利用指数幂的运算性质是解决本题的关键，比较基础． 根据指数幂的运算性质，进行平方即可得到结论． 【解答】解：∵f （x ）=3x +3-x ， ∴f （a ）=3a +3-a =4， 平方得32a +2+3-2a =16， 即32a +3-2a =14．即f （2a ）=32a +3-2a =14． 故选B ． 8.【答案】D【解析】解：∵a ＜0，ax 3≥0， ∴x ≤0，∴√ax 3=|x |√ax =-x √ax ，本题考查了根式的化简，属于基础题． 9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，是基础题.求解一元二次不等式和指数不等式化简集合M ，N ，然后直接利用补集和交集的运算求解.【解答】解：由题意，集合M ={x |x 2+x -6＜0}={x |-3＜x ＜2}， N ={x |(12)x ≥4}={x |x ≤-2}，全集为R ， 所以∁R N ={x |x ＞-2}，所以M ∩（∁R N ）={x |-2＜x ＜2}， 所以M ∩（∁R N ）=（-2，2）． 故选B ．10.【答案】A【解析】解：A 、原式=225+52=22910； B 、原式=(3−3)−13=3；C 、原式=√226=(22)16=√23；D 、原式=(−2−3)23=(−2)−2=14．故选：A根式与分数指数幂的互化公式是√x m n =x mn ，分数指数幂公式是x -n=1x n （x ≠0），按公式运算即可．本题考查了根式与分数指数幂的互化以及负分数指数幂的运算问题，是基础题． 11.【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算性质计算即可．本题考查了分数指数幂和根式的互化，以及指数幂的运算性质，属于基础题． 【解答】解：√a √a √a =(a ·(a ·a 12)12)12=a 78， 故选C .12.【答案】C【解析】解：(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=(−3)÷13×a 23+12−16b 12+13−56=-9a故选：C ．由指数幂的运算法则直接化简即可．13.【答案】D【解析】解：a =(13)−1.1=31.1,b =π0=1,c =30.9，∵指数函数y =3x 在R 上单调递增， ∴31.1>30.9>30=1, 即有a ＞c ＞b ， 即b ＜c ＜a ． 故选：D ．运用指数函数的单调性，可得31.1>30.9>1，即可得到a ，b ，c 的大小关系． 本题考查指数函数的单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题． 14.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的定义域与值域，以及函数图象的判断，属于基础题.先求出函数的定义域，再分别讨论x ＞0，x ＜0时函数的范围，由此判断函数的图象即可． 【解答】解：函数f （x ）=e xx 的定义域为：(−∞,0)∪(0,+∞)，排除选项A ．当x ＞0时，函数f （x ）=e xx＞0，选项C 不满足题意．当x ＜0时，函数f （x ）=e xx＜0，选项D 不正确，故选B ．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．f （x ）中含有|x |，故f （x ）是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可． 【解答】解：f （x ）是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，f （x ）={a x (x >0)−a x (x <0)，∴x ＞0时，图象与y =a x （a >1）在第一象限的图象一样，x ＜0时，图象与y =a x （a >1）的图象关于x 轴对称， 故选C ．16.【答案】B【解析】解：函数y =（2a -1）x 在R 上为单调减函数， ∴0＜2a -1＜1 解得12＜a ＜1故选：B ．本题主要考查了指数函数的单调性，通过底数判断指数函数单调性的方法，属基础题 17.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，即a 0=1的应用，属于基础题.由x +1=0得x =-1代入解析式后，再利用a 0=1求出f （-1）的值，即可求出答案. 【解答】解：由x +1=0得x =-1，则f （-1）=2-a 0=1， ∴函数f （x ）=2-a x +1的图象恒过定点（-1，1）. 故选C .18.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据函数的解析式分析出函数的性质及与坐标轴交点位置，是解答的关键．根据已知可分析出函数的奇偶性，进而分析出函数图象的对称性，将x =0代入函数解析式，可判断函数图象与y 轴交点的位置，利用排除法可得函数的图象． 【解答】解：∵函数f （x ）=-3|x |+1，∴f （-x ）=-3|-x |+1=-3|x |+1=f （x ），即函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除B 、D ， 当x =0时，f （0）=-30+1=0，即函数图象过原点，故排除C . 故选A .19.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了指数函数的图象的应用及函数图像的平移变换，属于基础题，由0＜a ＜1可得函数y =a x 的图象单调递减，且过第一、二象限，再利用图象的平移，可得结论. 【解答】解：由0＜a ＜1可得函数y =a x 的图象单调递减，且过第一、二象限， ∵0＜b ＜1， ∴-1＜b -1＜0， ∴0＜1-b ＜1，∵y =a x 的图象向下平移1-b 个单位即可得到y =a x +b -1的图象， ∴y =a x +b 的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限. 故选C .20.【答案】A【解析】【分析】此题考查复合函数的单调性，属于基础题，利用二次函数及指数函数的单调性可得出函数的单调性. 【解答】 解：∵函数y =(13)x 2−9是由函数t =x 2−9与y =(13)t复合而成，又y =(13)t单调递减，所以函数y =(13)x 2−9的单调递增区间为(−∞,0).故选A .21.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数型函数图象恒过定点问题，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题． 由指数式的指数等于0求解x 值，进一步求得y 值得答案． 【解答】解：由x -3=0，得x =3，此时y =a 0+1=2．∴函数y =a x -3+1（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（3，2）． 故选：C ． 22.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题． 根据指数函数的单调性判断数的大小即可． 【解答】解：y =1.7x 为增函数，2.5<3,∴1.72.5<1.73,故A 错误， y =0.6x 为减函数，-1<2,∴0.6-1＞0.62,故B 正确， 由于1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，故C 错误，由于0.8-0.1=1.250.1，对于指数函数y =1.25x 为增函数，0.1<0.2， ∴0.8-0.1<1.252,故D 错误， 故选B .23.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复合函数的单调性、指数函数的定义域和值域，属于基础题，令t =-x 2+2x ，则y =(12)t ，再根据t ≤1以及指数函数的单调性求得y 的值域. 【解答】解：令t =−x 2+2x =−(x −1)2+1≤1，则y =(12)t ， 由于t ≤1，∴y ≥(12)1=12，所以函数y =(12)−x 2+2x的值域是[12,+∞).故选B .24.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用指数函数、幂函数的单调性判断数的大小，属于基础题．解：∵y =(25)x 为减函数，且35>25， ∴b ＜c ，又∵y =x 25在（0，+∞）为增函数， ∴a ＞c ， ∴b ＜c ＜a ， 故选D ． 25.【答案】C【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义及表示形式，指数式的运算，以及指数函数的单调性，交集的运算．可写出18=(12)3，1=(12)0，然后根据指数函数单调性即可求出集合B ={x |0＜x ＜3}，根据交集的定义运算即可得出A ∩B ． 【解答】解：18=(12)3，1=(12)0； ∴由18<(12)x <1得，0＜x ＜3； ∴B ={x |0＜x ＜3}，且A ={x |-1＜x ＜2}； ∴A ∩B =（0，2）． 故选C ． 26.【答案】A【解析】解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a ＜1，因为函数y =a x 的图象过定点（0，1），函数y =a x +b 的图象过定点（0，b +1）， ∴-1＜b ＜0， 故选A .根据指数函数的图象和性质即可判断.本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键． 27.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查指数函数的图象和性质，比较函数值的大小即可，比较基础． 根据指数函数的图象和性质即可得到结论． 【解答】解：很显然a ，b 均大于1；且y =b x 函数图象比y =a x 变化趋势小， 故b ＜a ，综上所述：a ＞b ＞1． 故选：C ． 28.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数函数的图象与性质，作出直线x =1，给出直线与四条曲线的交点坐标是正确解答本题的关键，本题的难点是意识到直线x =1与四条曲线交点的坐标的纵坐标恰好是四个函数的底数，此也是解本题的重点．可在图象中作出直线x =1，通过直线与四条曲线的交点的位置确定出a 、b 、c 、d 与1的大小关系，选出正确选项【解答】解：由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b），（1，a），（1，d），（1，c）故有b＜a＜1＜d＜c故选：B．29.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象与性质，由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围．观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．【解答】解：如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即a0+b-1＜0，且0＜a＜1，∴0＜a＜1，且b＜0．故选C．30.【答案】C【解析】【分析】令x-1=0，求出x的值，从而求出对应的y的值，从而求出定点的坐标．本题考查了指数函数的性质，是一道基础题．【解答】解：令x-1=0，解得：x=1，故x=1时，y=1，故函数过（1，1），故选C．31.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复合函数求单调区间的问题，复合函数求单调区间时，一般分离成两个简单函数根据同增异减的特性来判断．)z，z=x2-6x+5，根据同增异减性可得答案．将原函数分离成两个简单函数y=(13【解答】解：令z=x2-6x+5是开口向上的二次函数，x∈（-∞，3]上单调递减，x∈[3，+∞）上单调递增．则原函数可以写为：y =(13)t ，t =x 2-6x +5, 因为y =(13)t 单调递减,故原函数的单调递减区间为：[3，+∞）. 故选D ． 32.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数的定义，属于容易题. 函数y =（a 2−5a +5）a x 是指数函数，所以必须满足{a 2−5a ＋5=1a >0,且a ≠1，解出即可．【解答】解：∵函数y =（a 2−5a +5）a x 是指数函数，∴{a 2−5a ＋5=1a >0,且a ≠1，解得a =4．故选C ．33.【答案】C【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．直接判断a ，b 的大小，然后求出结果． 【解答】解：由题意可知1＞a =0.60.6＞b =0.61.5，c =1.50.6＞1， 可知：c ＞a ＞b ． 故选C ． 34.【答案】5【解析】【分析】本题考查对数式、指数式化简求值，属于基础题. 利用指数，对数的性质、运算法则求解． 【解答】 解：=1+3×23+lg100 =1+2+2 =5.故答案为5. 35.【答案】7【解析】解：∵2x +2-x =3，∴4x +4-x =（2x +2-x ）2-2=32-2=7． 故答案为：7．直接把要求解的式子配方后代入已知条件得答案．本题考查了有理指数幂的化简求值，关键是完全平方式的应用，是基础题． 36.【答案】19【解析】【分析】本题考查有理指数幂的化简求值，考查计算能力，直接利用有理指数幂化简求值即可． 【解答】解：0.027−13-（-17）-2+25634-3-1+（√2-1）0 =103-49+64-13+1 =19．故答案为19． 37.【答案】-6b【解析】解：(−3a 13b 23)·(a 12b 12)÷(12a 56b 16)=−6a 13+12−56b 23+12−16 =−6a 0b 1=-6b故答案为-6b ．本题考查了指数的运算法则，与单项式相乘除的法则相同，系数相乘除作系数，同底数幂相乘除，底不变，指数相加减，即可得出． 38.【答案】x =1或x =2【解析】【分析】求解关于2x 的一元二次方程，然后进一步求解指数方程得答案．本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了一元二次方程的解法，是基础题． 【解答】解：由4x -6×2x +8=0，得 （2x -2）（2x -4）=0， 即2x =2或2x =4． ∴x =1或x =2．故答案为：x =1或x =2． 39.【答案】3【解析】【分析】本题主要考查了根式的化简，属于基础题. 根据根式的特点化简即可.【解答】解：由4＜x ＜7，则式子√(x −4)44+√(x −7)44=|x -4|+|x -7|=x -4+7-x =3， 故答案为3.40.【答案】(−1,4)【解析】【分析】本题考查指数函数单调性的应用，一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．先利用指数函数单调性，得−x 2+2x >−x −4，解不等式即可. 【解答】解：原不等式可化为3−x 2+2x >3−x−4, ∵函数y =3x 为R 上的增函数， ∴−x 2+2x >−x −4, 解得−1<x <4 故答案为(−1,4).41.【答案】（2，2）【解析】【分析】本题考查指数函数的图象过定点问题，属基础题，本题也可利用指数函数的图象变换求出．令x -2=0，则x =2，即为定点横坐标，代入函数式可得定点纵坐标． 【解答】解：令x =2，得y =a 0+1=2，所以函数y =1+a x−2的图象恒过定点坐标是（2，2）． 故答案为（2，2）． 42.【答案】（0，3]【解析】【分析】本题考查了指数函数的性质，复合函数的值域，利用换元法求函数的值域，属于基础题. 令t =x 2-1，将求函数y =(13)x2−1的值域的问题转化为求y =(13)t 在[-1，+∞）上的值域问题，再利用函数y =(13)t 的单调性求值域. 【解答】解：令t =x 2-1，t ∈[-1，+∞）， 即y =(13)t ，t ∈[-1，+∞），函数y =(13)t 在区间[-1，+∞）上是减函数， 故y ≤(13)−1=3 ， 故函数y =(13)x2−1的值域是（0，3].故答案为（0，3].43.【答案】（0，2）【解析】【分析】本题考查函数的零点个数，函数的图象的应用，属于中档题. 利用分段函数画出函数的图象，然后判断m 的范围即可. 【解答】解：画出函数f(x)={3x −1,x >0−2x 2−4x,x ⩽0的图象如下：由函数f（x）=m有3个不等实根，即函数f(x)与直线y=m有3个交点，结合图象得：0＜m＜2，即m∈（0，2）．故答案为（0，2）.44.【答案】0＜a＜12【解析】解：①当0＜a＜1时，作出函数y=|a x-1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，∴0＜a＜1．2②当a＞1时，作出函数y=|a x-1|图象：若直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点由图象可知0＜2a＜1，此时无解．．综上：a的取值范围是0＜a＜12故答案为：0＜a＜12先分：①0＜a＜1和a＞1时两种情况，作出函数y=|a x-1|图象，再由直线y=2a与函数y=|a x-1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解．本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法．45.【答案】[3，+∞)【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域问题，由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x-8≥0，得2x≥8，则x≥3，∴函数y=y=√2x−8的定义域为[3，+∞)．故答案为[3，+∞)．46.【答案】（2，3）【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象恒过定点问题，关键是掌握此类问题的求法，是基础题． 由指数式的指数等于0求得x 值，进一步求得y 值，则答案可求． 【解答】解：由x -2=0，得x =2，此时y =3．∴函数y =a x -2+2（a ＞0且a ≠1）一定过定点（2，3）． 故答案为（2，3）．47.【答案】−32【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题． 对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性列出方程组，解得答案． 【解答】解：当a ＞1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是增函数， 所以{1+b =0a −1+b =−1，解得b =-1，1a =0不符合题意舍去；当0＜a ＜1时，函数f （x ）=a x +b 在定义域上是减函数， 所以{1+b =−1a −1+b =0，解得b =-2，a =12， 综上a +b =−32， 故答案为：−32 .48.【答案】（1）解：原式=log 322×8329-52log 53=2-32=-7.（2）解：原式=(32)2×12-1-(32)3×23+(32)2=32-1-94+94=12．【解析】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题． （1）利用对数的运算性质即可得出． （2）利用指数的运算性质即可得出．49.【答案】解：（1）√(3−π)44+（0.008）13-（0.25）12×（√2）-4=π-3+0.2-0.5×4 =π-3+0.2-2 =π-4.8．（2）（√23×√3）6+（√2√2）43-4（1649）−12-√24×80.25-（-2009）0=4×27+（234）43-7-1614-1=108+2-7-2-1=100．【解析】本题主要考查指数式化简求值，是基础题.解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用． （1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． （2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．50.【答案】解：（1）原式=53−(23)3×13-1+2−2×(−12)=53−23-1+2=2． （2）原式=lg8×1252×512lg10×(−lg10)=lg102−12=-4．（3）∵a ，b ，c 为正实数，a x =b y =c z =k ＞0，k ≠1． ∴x =lgklga ，y =lgklgb ，z =lgklgc , ∵1x +1y +1z =0，∴lga+lgb+lgc lgk=lg(abc)lgk=0，∴abc =1.【解析】（1）本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数幂的运算性质即可得出．（2）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数的运算性质即可得出．（3）本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设a x =b y =c z =k ＞0，可得x =lgk lga ，y =lgk lgb ，z =lgklgc ,再利用对数的运算性质即可得出．51.【答案】解：（1）(214)12−(−0.96)0−(338)−23+(1.5)−2 =32−1−[(32)3]−23+(32)−2=12−(32)−2+(32)−2 =12． （2）∵10x =3，10y =4， ∴102x -y =102x 10y =(10x )210y =94．【解析】本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解． （2）利用有理数指数幂的性质、运算法则求解．52.【答案】解：（1）原式=0．82×(−12)+33×23-1-23=54+9-1-8=54．（2）原式=log 3(102×0.81)=log 334=4．【解析】（1）利用指数的运算性质即可得出． （2）利用对数的运算性质即可得出．本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．53.【答案】解：（1）原式=(8116)0.5−1÷(43)2+(2764)23=94−916+916=94.（2）原式=log 3332+lg 1004+lg4+2+1=32+2−lg4+lg4+3=132.【解析】（1）本题考查指数式化简求值，是基础题.利用有理数指数幂的性质及运算法则求解，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质及运算法则的合理运用.（2）本题考查对数式和指数式的化简求值，是基础题.利用对数的运算性质化简即可.54.【答案】解：（1）（279）12-（2√3-π）0-（21027）−23+0.25−32，原式=√259-1-(6427)−23+(14)−32=53-1-(2764)23+432 =23-916+8=8548.（2）由题意：0＜x ＜1， ∴x 12−x −12＜0所以：（x 12−x −12）2=x +x -1-2． ∵x +x -1=3, ∴（x 12−x −12）2=1, 故得x 12−x −12=-1.【解析】本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题． （1）利用指数幂的运算性质即可得出． （2）由题意0＜x ＜1，且x +x -1=3，判断x 12-x−12的值为负，采用两边平方后，再开方可得答案．55.【答案】解（1）原式=(94)12−1−(278)−23+(110)−2=32-1-49+100=180118．（2）∵（x 12+x −12）2=x +x -1+2=5， ∴x 12+x −12=√5， ∴（x +x -1）2=x 2+x -2+2=9， ∴x 2+x -2=7， ∴x 12+x−12x 2+x −2+3=√510.【解析】本题考查了幂的运算性质，属于基础题. （1）根据幂的运算性质计算即可， （2）根据幂的运算性质计算即可．56.【答案】解：（1）（2a23b12）（-6a12b13）÷（-3a16b56）（a ＞0，b ＞0）=4a 23+12−16b 12+13−56 =4a ．（2）2(lg √2)2+lg √2×lg5+√(lg √2)2−lg2+1 =lg √2（lg2+lg5）+√(lg √2−1)2 =lg √2+1−lg √2 =1．【解析】本题考查指数、对数的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数式、对数式性质、运算法则的合理运用． （1）利用指数式性质、运算法则求解． （2）利用对数性质、运算法则求解．57.【答案】解：1612+(181)−0.25−(−12)0 =4+3-1 =6．(2a 14b −13)(−3a −12b 23)÷(−14a −14b −23) = 24a 14−12+14b −13+23+23 = 24b ．【解析】本题考查指数性质、运算法则的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意指数性质、运算法则的合理运用． 利用指数性质、运算法则直接求解．58.【答案】解：根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）． 令u =f （x ）=3+2x -x 2=4-（x -1）2≤4． ∴y =3u 是u 的增函数，当x =1时，u max =f （1）=4，而u ∈(−∞,4)． ∴0＜3u ≤34，即值域为（0，81]．（3）当x ≤1时，u =f （x ）为增函数，y =3u 是u 的增函数，根据同增异减原则.即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）； 其证明如下：任取x 1，x 2∈（-∞，1]且令x 1＜x 2,则f(x 1)f(x 2)=3−x 12+2x 1+3÷3−x 22+2x 2+3=3−x 12+2x 1+3+x 22−2x 2−3=3(x 22−x 12)+2(x 1−x 2)= 3(x 1−x 2)(2−x 1−x 2)∵x 1＜x 2，x 1，x 2∈（-∞，1] ∴x 1-x 2＜0，2-x 1-x 2＞0 ∴（x 1-x 2）（2-x 1-x 2）＜0 ∴3(x 1−x 2)(x 1+x 2+2)＜1∴f （x 1）＜f （x 2）∴原函数单调增区间为（-∞，1]同理可证，原函数单调减区间为[1，+∞）．即原函数单调增区间为（-∞，1]，单调减区间为（1，+∞）.【解析】根据题意，定义域的求解易知为（-∞，+∞），值域的求解通过换元法将3+2x -x 2换成u ，通过二次函数的知识求得u 的范围为（-∞，4]，再根据指数函数y =3u 的单调性即可求解利用复合函数的单调性的特点（根据同增异减口诀，先判断内层函数的单调性，再判断外层函数单调性，在同一定义域上，若两函数单调性相同，则此复合函数在此定义域上为增函数，反之则为减函数）判断出函数的单调区间，在根据定义：（就是定义域内的任意取x 1，x 2，且x 1＜x 2，比较f （x 1），f （x 2）的大小，或f （x 1）＜f （x 2）则是增函数；反之则为减函数）证明即可本题考查了以指数函数为依托，通过换元法进行求解函数值域，另外还有复合函数的单调性问题，属于基础题．59.【答案】解：（Ⅰ）因为f （x ）是奇函数，所以f （0）=0，即b−1a+2=0⇒b =1，∴f(x)=1−2x a+2x+1， 又由f （1）=-f （-1）知1−2a+4=−1−12a+1⇒a =2． 所以a =2，b =1．经检验a =2，b =1时，f(x)=−2x +12x+1+2是奇函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=1−2x 2+2x+1=−12+12x +1，易知f （x ）在（-∞，+∞）上为减函数．又因为f （x ）是奇函数，所以f （t 2-2t ）+f （2t 2-k ）＜0等价于f （t 2-2t ）＜-f （2t 2-k ）=f （k -2t 2），因为f （x ）为减函数，由上式可得：t 2-2t ＞k -2t 2．即对一切t ∈R 有：3t 2-2t -k ＞0，从而判别式Δ=4+12k <0⇒k <−13．所以k 的取值范围是(−∞,−13)．【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用，同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略,属于中档题.（Ⅰ）利用奇函数的定义，在f （x ）=-f （-x ）中运用特殊值求a ，b 的值；（Ⅱ）首先确定函数f （x ）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f （t 2-2t ）+f （2t 2-k ）＜0转化为关于t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k 的取值范围． 60.【答案】解：（1）∵f （-x ）=-f （x ），∴a−2−x1+2−x =-a−2x 1+2x ，即a⋅2x −11+2x =2x −a1+2x， ∴a =1，∴f （x ）=1−2x1+2x ；（2）函数f（x）为R上的减函数. ∵f（x）的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x2＞x1，∴f（x2）-f（x1）=1−2x21+2x2−1−2x11+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，∵x2＞x1，∴2x2>2x1＞0，∴f(x2)−f(x1)<0即f（x2）＜f（x1），∴函数f（x）为R上的减函数；（3）由（2）知，函数f（x）在[0，2]上为减函数，∴f（2）≤f（x）≤f（0），即−35≤f（x）≤0，即函数的值域为[-35，0].【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的求解，利用定义法是解决本题的关键.（1）根据条件建立方程关系即可求a的值；（2）根据函数单调性的定义判断并证明函数f（x）的单调性；（3）结合函数的单调性即可求f（x）在[0，2]上的值域.61.【答案】解：（Ⅰ）∵t=2x在x∈[−12，12]上单调递增,∴t∈[√22，√2] ；（Ⅱ）函数可化为：f（x）=g（t）=t2-2t+3 ,∵g（t）在[√22，1]上单减，在[1，√2]上单增，比较得g（√22）＜g（√2），∴f（x）min=g（1）=2，f（x）max=g（√2）=5-2√2，∴函数的值域为[2，5-2√2].【解析】本题考查了指数函数的值域的求法，指数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，属于基础题.解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.（Ⅰ）由题意，可先判断函数t=2x，x∈[−12，12]单调性，再由单调性求出函数值的取值范围，易得；（Ⅱ）由于函数f（x）=4x-2x+1+3是一个复合函数，可由t=2x，将此复合函数转化为二次函数g（t）=t2-2t+3，此时定义域为t∈[√22，√2]，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数f（x）的值域．62.【答案】解：由a2x-7＞a4x-1知需要进行分类，具体情况如下：当a＞1时，∵y=a x在定义域上递增，∴2x-7＞4x-1，解得x＜-3；当0＜a＜1时，∵y=a x在定义域上递减，∴2x-7＜4x-1，解得x＞-3；综上得，当a＞1时，x的取值范围为（-∞，-3）；当0＜a＜1时，x的取值范围为（-3，+∞）．【解析】根据不等式需要对a进行分两类：a＞1时和0＜a＜1时，再分别利用指数函数的单调性列出不等式求解，最后要把结果分开表示．本题考查了利用指数函数的单调性求有关指数不等式的解，关键是根据底数判断函数的单调性，考查了分类讨论思想．63.【答案】解：（1）根据题意，f(x)=(12x−1+12)x，则有2x-1≠0，解可得x≠0，则函数的定义域为{x|x≠0}，（2）设任意x≠0，∵f(−x)=(12−x−1+12)(−x)=(2x1−2x+12)(−x)=(2x−1+11−2x+12)(−x)=(11−2x−12)(−x)=(1 2x−1+12)x=f(x)．∴f（x）为偶函数；（3）根据题意，f（x）为偶函数，f（-x）=f（x），当x＞0时，2x-1＞0，则f(x)=(12x−1+12)x＞0，又由f（x）为偶函数，则当x＜0时，f（x）＞0，综合可得：f（x）＞0．【解析】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，判定函数的奇偶性时要先分析函数的定义域．（1）根据题意，由函数的解析式可得2x-1≠0，解可得x的范围，即可得答案；（2）由（1）的结论，进而分析f（-x）=f（x），结合函数奇偶性的定义即可得答案；（3）根据题意，当x＞0时，分析易得f(x)=(12x−1+12)x＞0，结合函数的奇偶性分析可得答案．。
05-专项拓展训练 与指数函数有关的复合函数问题高中数学必修一北师大版
=
5 −1
−
5 +1
= − ,所以 是奇函数,故C正确.当
∈ −1,0 时, = [ ] = −1,当 ∈ [0,1)时, = [ ] = 0,
所以 的值域是{−1,0},故D正确.
类型4 形如
= + − + ± − + > , ≠ 的函数
+ ⋅ + > , ≠ 的函数
3.函数 = 2 + + 1 > 0, ≠ 1 在[−1,1]上的最大值为13，则实
1
3或
数的值为_____.
3
【解析】 令 = ,则 > 0.令 = + + 1 = ( +
称轴为直线 =
2
4
2
6
3
当0 < − < ,即−3 < < 0时, 的最小值为 − ,令
2
2
2
2
2
−
=
−
+ 2 = 1,即2 = 4,所以 = −2.
2
4
2
综上, = −2.
,令
【练后反思】求复合函数 = 的单调区间,首先要求出函数的定义
域,然后把函数分解成 = , = ,由 和 的单调性,求出复合
2
1
− ，所以
2
1 2
)
2
+
3
，其图象的对
4
= 2 + + 1在 0, +∞ 上单调递增.①若 > 1
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R )；(2)mm n n a a a-=( m ,n ∈R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R )；(4)(ab )m =a m b m (m ∈R )；(5)pp a a-=1(p ∈Q ) (6)mm n n a a =(m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+∞) (2)值域：(0,+∞) (3)过定点(0,1)(3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数. (4)在R 上是减函数. (5)0<y <1⇔x >0y =1⇔x =0 y >1⇔x <0(5)0<y <1⇔x <0y =1⇔x =0 y >1⇔x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4()()a a b b ab a b b+÷+--223333311的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值； (3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求()n a a +21的值.分析：利用指数运算性质解题.===.当a=2，b=4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x--+=+-=-=11122222327，()()x x x x x x---+=++-=⨯=33111222213618，x2+x-2=(x+x-1)2-2=72-2=47.故x xx x--+--==+--3322223183124723.(3)因为n na--=11201420142，所以()n na-++=11222014201412，n n n nna---+--=-=111112014201420142014201422.所以)na-=12014.变式1 设2a=5b=m，且a b+=112，则m=( ).A. B. 10 C. 20 D. 100二、指数方程例2.49 解下列方程(1)9x-4⋅3x+3=0；(2)()()x x⋅=29643827；分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x=(3x)2；对于()()x x⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x-4⋅3x+3=0⇒(3x)2-4⋅3x+3=0，令t=3x(t>0)，则原方程变形为t2-4t+3=0，得t1=1，t2=3，即x=131或x=233，故x1=0，x2=1.故原方程的解为x1=0，x2=1.(2)由()()x x⋅=29643827，可得()x⨯=33294383即()()x=33443，所以()()x-=33344，得x=-3.故原方程的解为x=-3.变式1方程9x-6⋅3x-7=0的解是________.变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例2.50若对x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ∈[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对∀x ∈[1,2]，不等式x +m >1恒成立⇔函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}.变式1 已知对任意x ∈R ，不等式()x mx m x x -+++>22241122恒成立，求m 的取值范围.变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ∈R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围.题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例2.51 函数()x bf x a-=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0 分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -∈(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D. 评注：若本题中的函数变为()xf x a b =-，则答案又应是什么？由图2-14可知ƒ(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到xy a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0 C. 0<a <1且b <0 D. a >1且b <0 变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ≠1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例2.52 函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像过定点(0,1)，又函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像是由函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数ƒ(x )=x a +1(a >0且a ≠1)的图像过定点(-1,1). 变式1 函数ƒ(x )=a x +1(a >0且a ≠1)的图像过定点________. 变式2 函数ƒ(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ƒ(x )=x a -1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________.二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例2.53 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12； 当a >1时，函数ƒ(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得aa =232，又a >1，所以a =32. 综上所述，a 的值是12或32.评注：函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得. 所以||a a a -=22，解得a =12或a =32. 变式1 函数ƒ(x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____.变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ∈([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. [2.4]B. [4,16]D. [4,12]例2.54 函数xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数xx y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+∞)上单调递减，在(-∞,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以xx y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+∞).变式1 函数()f x 1________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ∈[-3,2])的单调区间及值域.变式3 已知0≤x ≤2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =ƒ(x )在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x kf x k ≤>，取函数ƒ(x )=2-|x |，当k =12时，函数ƒk (x )的单调增区间为( ). A. (-∞,0] B. [0,+∞) C. (-∞,-1] D. [1,+∞)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ∈R ，若方程ƒ(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________. 题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例2.55 设()x x f x a =++⋅124(x ∈R)，当x ∈(-∞,-1]时，ƒ(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ≤1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值. 解析：因为当x ∈(-∞,1]时，ƒ(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ≤1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ≤1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ≤1)，a >u (x )max ，x ∈(-∞,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-∞,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34.故实数a 的取值范围为(-34,+∞).变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ≠1). (1)判断函数ƒ(x )的奇偶性； (2)讨论函数ƒ(x )的单调性；(3)当x ∈[-1,1]时，ƒ(x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围. 变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围. 变式3 已知函数1()22x xf x =-，若2(2)()0tf t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A a=1或a=2B a=1C a=2D 0a >且1a ≠ 2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22xxf x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340xxa ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10xf x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()xf x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a). (1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
指数与指数函数知识点及题型归纳总结
指数与指数函数知识点及题型归纳总结(总7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--指数与指数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ?R )； (2)mm n n a a a-=( m ,n ?R) (3)(a m )n =a mn (m ,n ?R )； (4)(ab )m =a m b m (m ?R )； (5)pp aa-=1(p ?Q )(6)m m n na a =(m ,n ?N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ?1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数y =a x (a >0且a ?1)的图像和性质如表2-6所示.y =a x a >1 0<a <1图象(1)定义域：R (1)定义域：R 值域(2)值域：(0,+?) (2)值域：(0,+?) (3)过定点(0,1) (3)过定点(0,1) (4)在R 上是增函数.(4)在R 上是减函数.(5)0<y <1?x >0y =1?x =0 y >1?x <0(5)0<y <1?x <0y =1?x =0 y >1?x >0题型归纳及思路提示题型1指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ?0(?0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算 例化简并求值.(1)若a =2，b =41的值； (2)若x x -+=11223，x x x x --+-+-33222232的值；(3)设nna --=11201420142(n ?N +)，求)n a 的值.分析：利用指数运算性质解题.解析：1==2211. 当a =2，b =4，原式===12.(2)先对所给条件作等价变形：()x x x x --+=+-=-=11122222327，()()x xx x x x ---+=++-=⨯=33111222213618，x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故x x x x --+--==+--3322223183124723.(3)因为nna --=11201420142，所以()nna -++=11222014201412，所以nnnnna ---+-=-=111112014201420142014201422.所以)n a -=12014.变式1 设2a =5b =m ，且ab+=112，则m =( ).B. 10C. 20D. 100二、指数方程 例 解下列方程(1)9x -4?3x +3=0；(2)()()x x ⋅=29643827； 分析：对于(1)方程，将其化简为统一的底数，9x =(3x )2；对于()()x x ⋅2938，对其底进行化简运算. 解析：(1)9x -4?3x +3=0?(3x )2-4?3x +3=0，令t=3x (t>0)，则原方程变形为t 2-4t+3=0， 得t 1=1，t 2=3，即x =131或x =233，故x 1=0，x 2=1.故原方程的解为x 1=0，x 2=1.(2)由()()x x ⋅=29643827，可得()x ⨯=33294383即()()x =33443，所以()()x -=33344，得x =-3.故原方程的解为x =-3.变式1 方程9x -6?3x -7=0的解是________. 变式2 关于x 的方程()x aa+=-32325有负实数根，则a 的取值范围是__________. 三、指数不等式例若对x ?[1,2]，不等式x m +>22恒成立，求实数m 的取值范围. 分析：利用指数函数的单调性转化不等式.解析：因为函数y =2x 是R 上的增函数，又因为x ?[1,2]，不等式x m +>22恒成立，即对?x ?[1,2]，不等式x +m >1恒成立?函数y =x +m 在[1,2]上的最小值大于1，而y =x +m 在[1,2]上是增函数，其最小值是1+m ，所以1+m >1，即m >0.所以实数m 的取值范围是{m |m >0}. 变式1 已知对任意x ?R ，不等式()x mx m xx-+++>22241122恒成立，求m 的取值范围. 变式2 函数()xf x x -=-21的定义域为集合A ，关于x 的不等式ax a x +<222(x ?R)的解集为B ，求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 题型2 指数函数的图像及性质 思路提示解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像例 函数()x b f x a -=的图象如图2-14所示，其中a ，b 为常数，则下列结论中正确的是( ).A. a >1，b <0B. a >1，b >0C. 0<a <1，0<b <1D. 0<a <1，b <0分析：考查指数函数的图象及其变换.解析：由图2-14可知0<a <1，当x =0时，b a -?(0,1)，故-b >0，得b <0，故选D.评注：若本题中的函数变为()x f x a b =-，则答案又应是什么由图2-14可知?(x )单调递减，即0<a <1，函数y =a x 的图像向下平移得到x y a b =-的图像，故0<b <1，故选C. 变式1 若函数y =a x +b -1(a >0且a ?1)的图像经过第二、三、四象限，则一定有( ). A. 0<a <1且b >0 B. a >1且b >0C. 0<a <1且b <0D. a >1且b <0变式2 (2012四川理5)函数x y a a=-1(a >0，a ?1)的图象可能是( ).变式3 已知实数a ，b 满足()()a b =1123，下列5个关系式：①0<b <a ，②a <b <0，③0<a <b ，④b <a <0，⑤a =b =0.其中不可能．．．成立的有( ). A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个例 函数?(x )=x a +1(a >0且a ?1)的图像过定点_________. 分析：指数函数的图像恒过定点(0,1)，即a 0=1.解析：因为函数?(x )=a x (a >0且a ?1)的图像过定点(0,1)，又函数?(x )=x a +1(a >0且a ?1)的图像是由函数?(x )=a x (a >0且a ?1)的图像向左平移一个单位得到的，故函数?(x )=x a +1(a >0且a ?1)的图像过定点(-1,1).变式1 函数?(x )=a x+1(a >0且a ?1)的图像过定点________. 变式2 函数?(x)=ax+x-2的图像过定点________.变式3 ?(x )=x a -1(a >0且a ?1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0(m ,n >0)上，则m n+11的最小值为________. 二、指数函数的性质(单调性、最值(值域))例 函数?(x )=a x (a >0且a ?1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2，则a 的值是_______. 分析：本题考查指数函数的单调性.解析：当0<a <1时，函数?(x )=a x 在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上最大值为a ，最小值为a 2，则a a a -=22，得a a =22，又0<a <1，所以a =12；当a >1时，函数?(x )=a x 在[1,2]上单调递增，故在[1,2]上最大值为a 2，最小值为a ，那么a a a -=22，得a a =232，又a >1，所以a =32.综上所述，a 的值是12或32.评注：函数?(x )=a x (a >0且a ?1)，不论0<a <1还是a >1都是单调的，故最大值和最小值在端点处取得.所以||a a a -=22，解得a =12或a =32.变式1 函数?(x )=a x (a >0且a ?1)在区间[a ,a +2]上的最大值是最小值的3倍，则a =_____. 变式2 定义区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1，已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ]，值域为[1,2]，则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.变式3 若y =3|x |(x ?([a ,b ])的值域为[1,9]，则a 2+b 2-2a 的取值范围是( ).A. []B. [4,16]D. [4,12]例 函数x x y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是________.分析：复合函数x x y a --+=+248145内层为二次函数，外层为指数型函数，根据复合函数单调性判定法求解.解析：因为u =-4x 2-8x +1=-4(x +1)2+5在[-1,+?)上单调递减，在(-?,-1]上单调递增，且y =a x (0<a <1)是减函数，所以x x y a --+=+248145(0<a <1)的单调增区间是[-1,+?). 变式1 函数()f x =的单调增区间是________.变式2 求函数()()()x x f x =-+11142(x ?[-3,2])的单调区间及值域. 变式3 已知0?x ?2，求函数x xa y a -=-⋅++1224212的最大值和最小值.变式4 设函数y =?(x )在(-?,+?)内有定义，对于给定的正数k ，定义函数(),(),k f x f x k ⎧=⎨⎩()()f x k f x k ≤>，取函数?(x )=2-|x |，当k =12时，函数?k (x )的单调增区间为( ). A. (-?,0]B. [0,+?)C. (-?,-1]D. [1,+?)变式5 若函数||()x y m -=+112的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________.变式6 已知函数()||x f x -=-21，x ?R ，若方程?(x )=a 有两个不同实根，则a 的取值范围是__________.题型3 指数函数中的恒成立问题 思路提示(1)利用数形结合思想，结合指数函数图像求解.(2)分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题求解.例 设()x x f x a =++⋅124(x ?R)，当x ?(-?,-1]时，?(x )的图象在x 轴上方，求实数a 的取值范围. 分析：本题等价于当x ?1时，x x a ++⋅124>0恒成立.分离自变量x 与参变量a ，转化为求解函数的最值.解析：因为当x ?(-?,1]时，?(x )的图像在x 轴上方，所以对于任意x ?1，x x a ++⋅124>0恒成立，即x x a +>-214(x ?1)恒成立.令()()()x x x x u x +=-=--2111424(x ?1)，a >u (x )max ，x ?(-?,1].因为()x y =12，()x y =14均是减函数，所以u (x )在(-?,1]上单调递增，故当x =1时，max ()()u x u ==-314，故a >-34. 故实数a 的取值范围为(-34,+?). 变式1 已知函数()()x x af x a a a -=--21(a >0且a ?1). (1)判断函数?(x )的奇偶性； (2)讨论函数?(x )的单调性；(3)当x ?[-1,1]时，?(x )?b 恒成立，求实数b 的取值范围.变式2定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1） 求a,b 的值.（2） 若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.变式3 已知函数1()22x x f x =-，若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.最有效训练题1.函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则有（ ） A a=1或a=2 B a=1 C a=2 D 0a >且1a ≠2.设0.90.48 1.512314,8,()2y y y -===，则（ ）A 312y y y >>B 213y y y >>C 123y y y >>D 132y y y >>3.设函数()f x 定义在实数集上，其图像关于直线x=1对称，且当1x ≥时，()31x f x =-，则有（ ）A 132()()()323f f f <<B 231()()()323f f f <<C 213()()()332f f f <<D 321()()()233f f f <<4. 函数()22x x f x -=-是（ ） A 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递增 B 奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 C 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递增 D 偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减.5.若关于x 的方程9(4)340x x a ++•+=有解，则实数a 的取值范围是（ ） A (,8)[0,)-∞-+∞ B (,4)-∞- C [8,4)- D (,8]-∞-6.函数221(0)(1)(0)(){ax ax x a e x f x +≥-<=在R 上单调，则a 的取值范围是（ ）A (,(1,2]-∞B [1)[2,)-+∞C （1）D )+∞7.不等式2223330x x a a •-+-->，当01x ≤≤时，恒成立，则实数a 的取值范围为 .8. 函数1(2y =的单调递增区间是 .9.已知关于x 的方程923310x x k -⨯+-=有两个不同实数根，则实数k 的取值范围为 .10. 偶函数()f x 满足 (1)(1)f x f x -=+，且在[0,1]x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程1()()10x f x =，在[0,2014]x ∈上的解的个数是 .11.已知函数()x f x b a =⋅（其中a,b 为常数且0,1)a a >≠的图像经过点A （1,6），B （3,24）. （1）确定()f x .（2）若不等式11()()0x x m a b+-≥在(,1]x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()[()]2()3g x f x af x =-+的最小值为h(a).(1)求h(a);(2)是否存在实数m,n 同时满足下列条件：①3m n >>；②当h(a)的定义域为[n,m]时，值域为22[,]n m .若存在，求出m,n 的值；若不存在，说明理由.。
指数题型及知识点总结
指数题型及知识点总结一、指数的基本概念1.1 指数的定义在数学中，指数是用来表示数的幂的概念。
对于正整数n和任意实数a，a的n次幂表示为a^n，其中a称为底数，n称为指数。
指数的作用是表示底数连乘的次数，例如2^3表示2连乘3次，即2*2*2=8。
1.2 指数的性质指数有一些重要的性质，这些性质在指数运算中起着重要的作用，具体如下：（1）相同底数的指数相乘，指数相加。
a^m * a^n = a^(m+n)（2）相同底数的指数相除，指数相减。
a^m / a^n = a^(m-n)（3）幂的幂，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n = a^(m*n)（4）任何非零数的0次幂为1。
a^0 = 1 （a≠0）（5）任何非零数的负整数次幂为其倒数的相应幂。
a^(-n) = 1/(a^n) （a≠0）以上是指数的基本概念和性质，了解这些概念和性质是理解指数运算的基础。
二、指数的运算规则在指数运算中，有一些基本的运算规则需要掌握，下面是一些常见的指数运算规则：2.1 同底数的指数相乘或相除对于同一个底数的指数，可以将它们的指数相加或相减。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)。
2.2 幂的乘法对于不同的底数但相同的指数，可以直接相乘。
例如，a^m * b^m = (a*b)^m。
2.3 幂的除法同样的，对于不同的底数但相同的指数，可以直接相除。
例如，a^m / b^m = (a/b)^m。
2.4 幂的幂对于幂的幂，底数不变，指数相乘。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
了解这些运算规则有助于学生在解题时能够灵活应用，简化计算步骤。
三、常见的指数题型及解题方法在高中数学中，常见的指数题型主要包括：简化指数、整数指数运算、有理数指数运算、指数方程以及指数不等式等。
下面将针对这些题型分别介绍解题方法。
3.1 简化指数简化指数是指将指数表达式化简为最简形式的运算。
具体步骤如下：（1）将底数相同的指数相加或相减；（2）将幂的乘方化简；（3）将零指数、一指数和负指数的化简。
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域-【题型分类归纳】高一数学上学期同步讲与练(解析版)
函数专题：指数型与对数型复合函数的单调性与值域一、复合函数的概念如果函数()=y f t 的定义域为A ，函数()=t g x 的定义域为D ，值域为C ， 则当⊆C A 时，函数()()=y f g x 为()f t 与()g x 在D 上的复合函数， 其中()=t g x 叫做内层函数，()=y f t 叫做外层函数 二、复合函数的单调性1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数； 若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数 2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数； （3）分析内层函数和外层函数的单调性； （4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论. 三、指数型复合函数值域的求法1、形如()=x y f a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域借助换元法：令=x a t ，将求原函数的值域转化为求()f t 的值域， 但要注意“新元t ”的范围2、形如()=f x y a （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用=y a μ的单调性求出()=f x y a 的值域。
四、对数型复合函数值域的求法1、形如(log )=a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数求值域 借助换元法：令log =a x t ，先求出log =a x t 的值域M ， 再利用()=y f t 在M 上的单调性，再求出()=y f t 的值域。
2、形如()log =a y f x （0>a ，且1≠a ）的函数的值域 借助换元法：令()=f x μ，先求出()=f x μ的值域， 再利用log =a y μ的单调性求出()log =a y f x 的值域。
题型一 复合函数的单调性判断【例1】（多选）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ）A ．(3),-∞B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3) 【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.【变式1-1】求函数21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调区间___________.【答案】增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【解析】设t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭>0，又22817(4)1y t t t =-+=-+在(0,4]上单调递减，在(4,)+∞上单调递增.令12x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤4，得x ≥－2，令12x⎛⎫⎪⎝⎭>4，得x <－2. 而函数t ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以函数21181722x xy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-.故答案为：增区间为[2,)-+∞，减区间为(,2)-∞-【变式1-2】函数()()212log 32f x x x =-+-的单调递减区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由2320x x -+->得：12x <<，即()f x 定义域为()1,2；令232t x x =-+-，则t 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 又12log y t=在()0,∞+上单调递减，()()212log 32f x x x ∴=-+-的单调递减区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式1-3】函数()()2ln 4f x x =-的单调增区间是______．【答案】(2,0]-【解析】由240x ->，得22x -<<，所以函数的定义域为(2,2)-， 令24t x =-，则ln y t =，因为24t x =-在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减，而ln y t =在(0,)+∞上为增函数， 所以()f x 在(2,0]-上递增，在[0,2)上递减， 故答案为：(2,0]-题型二 根据复合函数的单调性求参数【例2】若函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．4a ≤-B ．2a ≤-C ．2a ≥-D ．4a ≥- 【答案】C【解析】依题意函数()215x axf x +⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,2单调递减，15xy =在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2ax =-，根据复合函数单调性同增异减可知，122a a -≤⇒≥-.故选：C【变式2-1】若函数22113x mx y +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[]1,1-上为增函数，则实数m 的取值范围为______.【答案】1m ≤-【解析】由复合函数的同增异减性质可得，221y x mx =+-在[1,1]-上严格单调递减，二次函数开口向上，对称轴为x m =- 所以1m -≥，即1m ≤- 故答案为：1m ≤-【变式2-2】已知f （x ）＝()212log 3x ax a -+在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】](4,4-【解析】二次函数23=-+y x ax a 的对称轴为2=a x ， 由已知，应有22≤a，且满足当x ≥2时y ＝x 2－ax ＋3a >0， 即224230⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩a a a ，解得44-<≤a ．故答案为：](4,4-【变式2-3】若函数()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．3724⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．3724⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】因为()f x =312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减， 所以，函数()212log 22y x ax =-+-在312⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，且函数值非负， 所以函数222t x ax =-+-在312⎛⎫ ⎪⎝⎭，是单调递增且01t <≤， 故2232332121220a a a ⎧≥⎪⎪⎪⎛⎫-+-≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-+-≥⎪⎩，解得3724a ≤≤，故选：C【变式2-4】已知()()2log 3(0a f x x ax a =-+>且1)a ≠，对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】(【解析】因为对任意12,(,]2a x x ∈-∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在(,]2a-∞上单调递减，因为23y x ax =-+在(,]2a-∞上单调递减，由复合函数的单调性知1a >，又由对数函数的定义域知，当(,]2a x ∈-∞时，230x ax -+>恒成立，可得2()3022a a a -⨯+>，解得a -<<综上可得；1a <<a 的取值范围为(.【变式2-5】已知函数()log a f x x =，记()()()()21g x f x f x f ⎡⎤=⋅+-⎣⎦，若()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()0,11,2UD ．[)2,+∞【答案】A【解析】()()()()()21log log log 21a a a g x f x f x f x x ⎡⎤=⋅+-=+⎣-⎦， 则()()22lg lg lg 21lg lg lg 2lg lg lg lg lg 1x x g x x a x a a a a ⎛⎫-⎡⎤=+=-- ⎪⎣⎦⎝⎭， 令lg t x =，由1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]lg 2,lg 2t ∈-，令()()221lg lg 2lg M t t a t a⎡⎤=--⎣⎦， 因为()g x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以()M t 在[]lg 2,lg 2t ∈-也是增函数， 所以lg lg 21lg 2lg lg 2lg 22a a -≤-⇒≤-=， 则102a <≤，即10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：A.题型三 复合函数的值域求解【例3】函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．[)2,+∞【答案】C【解析】令22t x x =-+，则2(1)11t x =--+≤，因为1()2ty =在R 上单调递减，所以12y ≥，故函数()2212x xf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：C【变式3-1】函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________.【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝，2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【变式3-2】已知函数2()421x x f x +=--，[0,2]x ∈则其值域为___________. 【答案】[]5,1--【解析】令2x t =，∵[0,2]x ∈，∴14t ≤≤，∴22()41(2)5f t t t t =--=--， 又()y f t =关于2t =对称，2t ∴=即1x =时，函数取得最小值，即min ()5f x =-，4t =即2x =时，函数取得最大值，即max ()1f x =-， ()[5f x ∴∈-,1]-.【变式3-3】已知函数()()()44log 1log 3f x x x =++-，求()f x 的单调区间及最大值． 【答案】单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3；()max 1=f x【解析】由1030x x +>⎧⎨->⎩得：13x -<<，()f x ∴的定义域为()1,3-；()()()()()224444log 1log 3log 23log 14f x x x x x x ⎡⎤=++-=-++=--+⎣⎦， 令()()214t x x =--+，则()t x 在()1,1-上单调递增，在()1,3上单调递减，又4log y t =在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：()f x 的单调递增区间为()1,1-，单调递减区间为()1,3； 由单调性可知：()()4max 1log 41f x f ===.【变式3-4】已知()222()log 2log 4,[2,4]f x x x x =-+∈．（1）设2log ,[2,4]t x x =∈，求t 的最大值与最小值；（2）求()f x 的值域．【答案】（1）2t =最大，1t =最小；（2）[3，4].【解析】（1）因为函数2log t x =在区间[2，4]上是单调递增的，所以当4x =时，2log 42t ==最大， 当2x =时，2log 21t ==最小．（2）令2log t x =，则()()()222413f x g t t t t ==-+=-+，由（1）得[]1,2t ∈，因为函数()g t 在[]1,2上是单调增函数，所以当1t =，即2x =时，()min 3f x =；当2t =，即4x =时，()max 4f x =， 故()f x 的值域为[]3,4.【变式3-5】已知函数()2421x xf x a =⋅-⋅+，求函数()f x 在[]0,1上的最小值．【答案】()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩【解析】设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，2()()21f x g t t at ==-+，222()212()148a a g t t at t =-+=-+-，当14a ≤，即4a ≤时，min ()(1)3g t g a ==-， 当124a <≤，即48a <≤时，2min ()()148a a g t g ==-， 当，即8a >时，min ()(2)92g t g a ==-， 综上()2min3,41,48892,8a a a f x a a a -≤⎧⎪⎪=-<≤⎨⎪-≥⎪⎩．【变式3-6】已知函数()1423x x f x a +=⋅--，若0a >，求()f x 在区间[]1,2上的最大值()g a ．【答案】()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.【解析】令[]22,4x t =∈，即求()223h t at t =--在区间[]2,4上的最大值．当0a >时，二次函数()223h t at t =--的图象开口向上，对称轴为直线1t a=.①当12a ≤时，即当12a ≥时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递增，则()()41611g a h a ==-； ②当123a<≤时，即当1132a ≤<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，因为()247h a =-，()41611h a =-，()()421240h h a -=-≥， 则()()41611g a h a ==-； ③当134a<<时，即当1143a <<时，函数()h t 在区间12,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间1,4a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，此时，()()42h h <，则()()247g a h a ==-；④当14a ≥时，即当104a <≤时，函数()h t 在区间[]2,4上单调递减， 所以，()()247g a h a ==-.综上所述，()147,0311611,3a a g a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩.题型四 根据复合函数的值域求解【例4】若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ）A ．14B ．14-C ．12 D ．12- 【答案】A【解析】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-，所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A【变式4-1】已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a xa t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1x a =时，函数y 有最大值，即12411416a a -+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =； 当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122xxf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.【变式4-2】已知函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x x g x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【解析】因为函数()()2log 41x f x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=， 其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x x x x x x x x x ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅， 所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41x f x x =+-，所以()()2log 414122222x x x f x x x x +--+===+， 故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-， 等价于()2? 22223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或22? 22324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩， 解得52m =-．故A ，C ，D 错误.故选：B ．【变式4-3】函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 则a 的取值范围是______． 【答案】22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】令()2234a t x ax x =++，则外函数为()lg f t t =， 因为lg y t =在定义域上单调递增，要使函数()22lg 34a f x ax x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭没有最小值， 即()2234a t x ax x =++的值域能够取到0，且不恒小于等于0，当0a =时()23t x x =，符合题意，当0a <时()2234a t x ax x =++开口向下， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯> ⎪⎝⎭，解得2233-<<a ，即203a -<<； 当0a >时()2234a t x ax x =++开口向上， 只需224034a a ⎛⎫∆=-⨯⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2233a -≤≤，即203a <≤； 综上可得2233a -<≤，即22,33a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【变式4-4】已知函数()()213log 25f x x mx =-+，若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.【答案】(),-∞⋃+∞ 【解析】由()f x 的值域为R ，可得225u x mx =-+能取()0,∞+内的一切值，故函数225u x mx =-+的图象与x 轴有公共点， 所以24200m -≥，解得m ≤m ≥故实数m 的取值范围为(),-∞⋃+∞．。
指数与指数函数高考复习试题与答案详细解析
指数及指数函数高考复习题1若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tana π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 2函数164x y =-的值域是 ( )（A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] （C ）[0,4) （D ）(0,4)3设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是( )（A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a4下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 ( )（A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数5.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（ ）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a6已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝（ ）A.124 B.112 C.18 D.387. 不等式4x －3·2x ＋2<0的解集是( )A ．{x |x <0}B ．{x |0<x <1}C ．{x |1<x <9}D ．{x |x >9}8．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，12)9(理)函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)10(理)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤－1B ．－1≤m <0C ．m ≥1D ．0<m ≤111．函数f (x )＝x 12 －(12)x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312(理)已知函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()()6(x ax x a x f x 若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3) C ．(2,3) D ．(1,3)13．设函数f (x )＝|2x－1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．414．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=1),1(log 1,)21()(2x x x x f x，则f (x )≤12的解集为________．15．若函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=0,10,)31()(x xx x f x则不等式|f (x )|≥13的解集为________． 16．函数y ＝a x ＋2012＋2011(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．17．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．18．若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa <b ，b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．19．定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．20.设函数f(x)=,求使f(x)≥2 的x 的取值范围.21．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)求函数的值域．22．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[]的值，求实数上的最大值是在函数且设a a a y a a x x 141,1-12,10.232-+=≠24.已知f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)(a >0且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性； (3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．指数及指数函数高考复习题答案1[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x图象上知3a＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3. 2解析：[)40,0164161640,4x x x >∴≤-<∴-∈3.A 【解析】25y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5xy =在0x >时是减函数，所以c b >。
指数运算与指数函数专题(含详细解析)
1第五讲 指数运算与指数函数时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名：一、 兴趣导入二、 学前测试1. 已知0a >，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足关于x 的方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是（A ）0,()()x R f x f x ∃∈≤ （B ）0,()()x R f x f x ∃∈≥ （C ） 0,()()x R f x f x ∀∈≤ （D ）0,()()x R f x f x ∀∈≥ 解析：选C.函数()f x 的最小值是0()()2bf f x a-= 等价于0,()()x R f x f x ∀∈≥，所以命题C 错误.2. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00S t S =，则导函数()'y S t =的图像大致为【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。
最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C ；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B ；考察A 、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，2产生中断，选择A 。
三、 方法培养1．根式的概念结论：当n 是奇数时，a a n n =,当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r sa a+=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）()rrsab a a =),0,0(Q r b a ∈>>． 指数函数的概念一般地，函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：○1 指数函数的定义是一个形式定义 ○2 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1．（三）指数函数的图象和性质注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 指数函数的图象如右图： 图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点（0，1）1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于11a ,0x x >> 1a ,0x x <> 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于11a ,0x x <<1a ,0x x ><图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；3利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；[例1] 化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是（ ）A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44366399a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于（ ）A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a变式练习11．若32x +9=10•3x ，那么x 2+1的值为（ D ） A ． 1 B ． 2 C ． 5 D ． 1或5解：令3x =t ，（t ＞0），原方程转化为：t 2﹣10t+9=0， 所以t=1或t=9，即3x =1或3x =9 所以x=0或x=2，所以x 2+1=1或5 故选D2．若关于x 的方程=3﹣2a 有解，则a 的范围是（ A ） A ． ≤a ＜B ．a ≥C ．＜a ＜D ．a ＞解：∵1﹣≤1，函数y=2x 在R 上是增函数，∴0＜≤21=2，故 0＜3﹣2a ≤2，解得 ≤a ＜， 故选A ．〖例2〗已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b>；(3)ba 11<；(4)1133a b >；4(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个变式练习21．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 解析：选D.y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数， 且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1(4－a2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞)B ．(1,8)C ．(4,8)D ．[4,8)解析：选D.因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.3．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A.设t ＝1－x ，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t，则函数t ＝1－x 的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 的递增区间．4．已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x )的定义域为________．解析：由函数的定义，得1＜2x ＜2⇒0＜x ＜1.所以应填(0,1)． 答案：(0,1)〖例3〗已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-，且(0)3f =，则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____．分析：先求bc ，的值再比较大小，要注意x xb c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．∴函数()f x 在(]1-，∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321xx ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥；5若0x <，则321xx<<，∴(3)(2)x xf f >． 综上可得(3)(2)xxf f ≥，即()()xxf c f b ≥．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．变式练习：1已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)xy a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．〖例4〗求函数y =解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞． 令26x t -=，则y =又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤．∴011t -<≤，即01y <≤．∴函数的值域是[)01，． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．变式练习：函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．分析：令xt a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围．解：令xt a =，则0t >，函数221xx y aa =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；6当01a <<时，∵[]11x ∈-，，∴1x a a a ≤≤，即1a t a≤≤， ∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13．四、强化练习1．下列命题中，真命题是(A)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ∃∈+∈2使函数（）=（）是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ∀∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数【答案】A【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。
指数函数题型归纳
指数函数题型归纳(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2指数函数及其性质应用1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.2.函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数图象定义域 值域过定点 图象过定点，即当时，.奇偶性 非奇非偶单调性 在上是增函数在上是减函数 函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.指数函数题型训练题型一 比较两个值的大小 1、“同底不同指”型（1）2151-⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3251⎪⎭⎫ ⎝⎛ （2） 2.51.7 31.7 （3）0.814⎛⎫ ⎪⎝⎭1.812⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）0.5a()0.60,1a a a >≠3归纳：2、“同指不同底”型（1）56311⎛⎫⎪⎝⎭ 56833⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）9 24 归纳：3、“不同底不同指”型 （1）0.31.73.10.9（2） 2.51.730.7 （3）0.10.8- 0.29-（4）b a (01)ab a b <<< （5） 123-⎛⎫ ⎪⎝⎭133归纳：综合类：（1）已知232()3a =，132()3b =，232()5c =则a 、b 、c 的大小关系为（2）如果0m <，则2m a =，1()2m b =，0.2m c =则a 、b 、c 的大小关系为题型二 过定点问题 1、函数33x y a -=+恒过定点2、函数()150,1x ya a a +=->≠图像必过定点，这个定点是3、已知对不同的a 值，函数()()120,1x f x a a a -=+>≠的图像恒过定点P ，则P点的坐标是 归纳：题型三 解指数函数不等式41、22122≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2、 821()33x x --< 3、0.225x < 4、221(2)(2)x x a a a a -++>++归纳：题型四 求指数函数相关的定义域1、y =、y =、y =4、132x y-= 5、已知()f x 的定义域为(0,1) ,则(3)x f 的定义域为__________归纳：题型五 求指数函数相关的值域 1、2xy -= 2、1421xx y +=++3、133+=x xy 4、设02x ≤≤ ，求函数124325x x y -=-⋅+值域5、求1423xx y +=-+，(,1]x ∈-∞的值域。
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专题05 指数与指数函数及其复合函数综合问题一、学法指导与考点梳理重难点一 根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0. 重难点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. 重难点三 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质二、重难点题型突破重难点突破1 指数与指数幂运算1.a a nn =)(；2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n3.正分数指数幂：规定：a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1) 4.负分数指数幂：规定：a －m n ＝1a m n ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)5.幂的运算性质（1）s r a a ＝s r a +a (＞0，r ，s ∈Q )；（2）sr a )(＝rs a a (＞0，r ，s ∈Q )； （3）rab )(＝rr b a a (＞0，r ，s ∈Q )．例1-1．（1）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【解析】对于A 0a ，而当0a <时，56a 无意义，故A 错误；对于B ，当0x <时，24x =B 错误；对于C ，31332224()b b ==，故C 错误．对于D ，52()a b --===D 正确．故选：D ．（2）．（2019秋•凌源市月考）已知0a >( )A ．712aB ．512a C ．56a D ．13a【解析】原式1151532622212a a a aa ⨯====．故选：B ．（3）．2019秋•鸠江区校级期中）（121xy xy -；（21327()8--++【变式训练1】 计算：（2020·成都七中万达学校高一月考）1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭=_____________.【解析】由幂的运算法则及根式意义可知，1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭111131-233333443222=+22+23-=24272333（）（）（）（）⨯⨯++⨯-110= ，故填110. 【变式训练2】（2019·四川成都市·石室中学高一月考）（1）化简()3212332140.1a b--⎛⎫⋅⎪⎝⎭（2）2019·四川成都市·成都外国语学校）（2）13231442--⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （1）1323122214446212--⎛⎛⎫++⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=【详解】（1）原式()311223322333321222221181161620010100a b a b a ba b ------⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅； （2）132312221444621--⎛⎛⎫++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=例1-2.（2019秋•越秀区校级月考）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．【解析】11221122x y x y-==+．①12x y +=，9xy =，②222()()41249108x y x y xy ∴-=+-=-⨯=．又x y <，x y ∴-=-=．【变式训练1】（1）（2019·四川成都市·石室中学高一月考）设3312x x +=，求1x x +的值.（2）（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）化简求值：已知1122x x-+=，求22145x x x x --+++-的值.【解析】（1）由3312x x +=可得6312x x +=，即()2310x -=，解得1x =， 因此，1112x x+=+=. （2）因为1122x x -+=125x x -++=，即13x x -+=，所以2229x x -++=，即227x x -+=，所以221474115352x x x x --+++==-+--. 【变式训练2】（1）（2019·成都市·成都外国语高一期中）已知11223a a -+=，求332222a a a a --++值. 【解析】因为11223a a -+=，两边同时平方可得129a a -++=所以17a a -+=，由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+-()()2371184772⨯-==- （2）（2019·成都市·树德中学高一开学考试）已知232a =+11133a a a a--++的值【解析】设则， .重难点突破2 指数函数的概念例2.（2019·眉山外国语学校高一期中）函数y=（a 2–3a+3）•a x 是指数函数，则a 的值为___________．【解析】由题意得：a 2–3a+3=1，即（a–2）（a–1）=0，解得a=2或a=1（舍去），故答案为2． 【变式训练】（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）若函数y =(a 2-3a +3)a x 是指数函数，则（ ） A a ＞1且a ≠1B a ＝1C a ＝1或a ＝2D a ＝2【答案】D重难点突破3 指数函数的图像例3-1.（1）（2019·眉山外国语学校高一期中）函数1(0,1)xy a a a a=->≠图像可能是（ ）． A ．B ．C ．D ．【解析】∵0a >，∵10a>，∵函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∵101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∵11a>，所以排除C ，故选D.（2）（2020·四川成都市·成都七中高一月考）设0a >且1,a ≠则函数xy a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】对A ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的1a >，不能统一，错误； 对B ，y b ax =-中的0,1a b ><-，xy a b =+中的0,10a b >-<<，不能统一，错误；对C ，y b ax =-中的10,01b a -<<<<，xy a b =+中的10,01b a -<<<<，正确；对D ，y b ax =-中的1b <-，xy a b =+中的10b -<<，不能统一，错误；故选：C. （3）（2019·四川成都市·石室中学高一开学考试）若函数()()101xy a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限，则有（ ）A ．1a >，且1b <B ．1a >，且0b >C ．01a <<，且0b >D ．01a <<，且0b <【解析】由题意,画出图象如图,由单调性可知,1a >,当0x =时,0,0y b b =-,选B.（4）（2020·成都市·成都外国语学校高一期中）函数2121xy =+-的部分图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】令()22112121x x xf x +=+=--， 得函数的定义域为{}0x x ≠，()()21122112x xx xf f x x --++--==--=， 则()f x 为奇函数，所以排除B C ；当0,21210x xx >>⇒->，则1y >，所以排除A ；故选：D.【变式训练】（1）（2019·四川凉山彝族自治州·高一期末）已知函数()()()f x x a x b =--（其中)a b >的图象如图所示，则函数()xg x a b =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由函数的图象可知，10b -<<，1a >，则()xg x a b =+为增函数，(0)10g b =+>，()g x 过定点(0,1)b +，故选：C .（2）（2020·四川省武胜烈面中学校高一月考）函数xy a b =+部分图象如图所示，则（ ）A ．01,10a b <<-<<B ．01,01a b <<<<C ．1,10a b >-<<D ．1,01a b ><<【解析】由题,函数图象恒过点()0,1b +,由图象可得011b <+<,即10b -<<, 显然,函数单调递减,所以01a <<,故选:A（3）（2019·四川成都市·双流中学高一期中）已知a ＞1，则函数y =a x 与y =（a -1）x 2在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【详解】∵a ＞1，∵函数y =a x 为增函数，函数y =（a -1）x 2在（-∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数．故选：A ．（4）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）函数x y a = (0a >且1a ≠)与函数()212y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】当1a >时，函数xy a =为增函数；函数()212y a x x =--图象的开口向上，对称轴为101x a =>-，且与y 轴的交点为(0,0)，排除B ． 当01a <<时，函数xy a =为减函数；函数()212y a x x =--图象的开口向下，对称轴为101x a =<-，与y 轴的交点为(0,0)，排除C,D ，故A 正确．选A ． 例3-2.（恒过定点问题）（2020·四川成都市·成都七中高一期中）若函数22x y a +=+(0a >，且1a ≠)的图象恒过一定点P ，则P 的坐标为（ ） A ．()0,1B ．()2,1-C ．()2,2-D ．()2,3-【解析】∵当2x =-时，此时2220=1x a a a +-+==，即函数值023y a =+=，∵定点P 的坐标为()2,3-，故选：D.【变式训练】（2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中）函数2020()2(01)x f x a a a -=+>≠,的图像必经过定点__________.【解析】令20200x -=，解得2020x =，则0()23f x a =+=，所以()f x 的图像必经过定点（2020，3），故答案为：（2020，3）重难点突破5 指数函数的定义域例5.（1）（2019·四川成都市·棠湖中学高一期末）函数y =_______．【解析】由二次根式有意义，得：420x -≥，即2242x ≤=，因为2xy =在R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：(,2]-∞（2）（2020·全国高三专题练习（理））已知函数f (x )的定义域是(1，2)，则函数f (2x )的定义域是（ ）A ．(0，1)B ．(2，4)C ．(12，1) D ．(1，2)【解析】∵f (x )的定义域是(1，2)，∵1＜2x ＜2，即20＜2x ＜21，∵0＜x ＜1.故选:A .【变式训练】（1）（2020·全国高一课时练习）函数()f x = ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,0]-∞D ．(,1]-∞【解析】使函数有意义，需210x -≥，即为21x ≥，得0x ≥，则定义域为[0,)+∞.选：A. （2）（2020·全国高一课时练习）函数()121x f x =-的定义域是________. 【解析】由210x -≠，得0x ≠，故函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故答案为：(,0)(0,)-∞+∞重难点突破6 指数函数的单调性与最值例6-1.（1）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．(),1-∞D ．()2,+∞【解析】令()232t x x x =-+，则1()2t y =，1()2ty =在t R ∈上单调递减，所以本题即求函数()t x 在定义域内的减区间．利用二次函数的性质可得函数()t x 在定义域内的减区间为3(,)2-∞，函数23212x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A （2）（2020·攀枝花市第十五中学校高一期中）若函数242axxy -=在[﹣2，+∞）上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣1]{0} B ．[﹣1，0]C ．（﹣1，0]D ．[﹣1，2]【解析】当0a =，41162xxy -⎛=⎫= ⎪⎝⎭，由指数函数的单调性 可知函数在[﹣2，+∞）上为减函数，满足题意；当0a <，只需满足()24f x ax x =-在[﹣2，+∞）上为减函数，即4212a a≤-⇒≥-，即10a -≤< ，综上，[]1,0a ∈-.故选：B（3）（2020·四川师范大学附属中学高一期中）已知函数()(),01,0x e k x f x k x k x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是（ ） A ．112k ≤< B ．112k << C ．1k < D ．1k ≤【解析】因为()f x 是在R 上的增函数，所以010(1)0k e k k k ->⎧⎨-≤-⨯+⎩，得112k ≤<，选：A 【变式训练】（1）（2020·内江市天立学校高一月考）已知函数20()40x a a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，其中0a >，且1a ≠，若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．113⎡⎫⎪⎢⎣⎭， C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【解析】因为函数20()40xa a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩，，，在R 上单调递减，所以014012a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-⎩，解得113a ≤<，故选：B （2）（2020·四川泸州市·泸县五中高一月考）若函数()22313x mx f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,1-上单调递减，则实数m 的取值范围是__________．【解析】等价于223y x mx =+-在()1,1-上单调递增，对称轴4m x =-， 所以14m-≤-，得4m ≥．即实数m 的取值范围是[)4,+∞． （3）求函数221()2x xy -+=的单调区间．解：令22t x x =-+，则1()2t y =，且在R 上递减，由于22t x x =-+在(-∞，1]上递增，在[1，)+∞上递减，则由复合函数的单调性，可得 函数221()2x xy -+=的单调递减区间为(-∞，1]，单调递增区间为[1，)+∞．例6-2.（1）（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高二月考）函数221()2x xy -+=的值域是（ ）A ．RB ．1[,)2+∞ C ．(2,)+∞ D ．(0,)+∞【解析】令22t x x =-+，则1()2ty =，而222(1)11t x x x =-+=--+≤，所以11()22ty =≥.故选B.（2）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）当[]1,1x ∈-时，函数()32xf x =-的值域是（ ）A ．51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1C ．5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,1【解析】因为指数函数3x y =在区间[]1,1-上是增函数，所以11333x -≤≤，于是11323232x --≤-≤-即5()13f x -≤≤.故选:C . （3）（2019·四川省成都市郫都区第四中学高一月考）已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b += .【解析】若1a > ，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ，此方程组无解；若01a << ，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ，解得1{22a b ==- ，所以32a b +=-. （4）（2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中）设02x ≤≤，求函数143252xx y =⋅-⨯+ 的最大值和最小值. 【解析】设2x t =，则2211135(3)(14)222y t t t t =-+=-+≤≤. ∵上述关于t 的二次函数在[1,3]上递减，在[3,4]上递增， ∵当3t =，y 取最小值12；当1t =时，即0x =时，y 取最大值52. 【变式训练】（1）（2019·泸州市·高一期中）已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，求其单调区间及值域．【解析】令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵()2225144U x x x =++=++≥, ∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤= ⎥ ⎪ ⎥ ⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦．（2）（2019·四川省阆中东风中学校高三月考）函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．()2,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()222111x x x -=--+≤，221111222x x -⎛⎫⎛⎫∴≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D.（3）（2020·四川自贡市·高一期末）若02x ≤≤，求函数()129235x x f x -=-⨯+的最大值和最小值． 【详解】()()1221923532353x x xx f x -=-⨯+=-⨯+()()()21332023xf x x =-+≤≤,当33x =时,即1x =时取得最小值,故()()min 12f x f ==,当0x =时,10(0)3f =, 当2x =时,(2)14f = ()()(){}()max max 0,2214f x f f f ===.综上,函数()f x 最大值为14,最小值为2.（4）（2019·成都市棠湖中学高一期中）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________. 【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∵[-1，1]，所以t ∵1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13 (负值舍去).综上，a =3或a =13.故答案为: 3或13 重难点突破7 指数函数比大小、解不等式 例7-1.如图①，②，③，④，根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为（ ）A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c 【解析】由图，直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是（1，b ），（1，a ），（1，d ），（1，c ），故有b ＜a ＜1＜d ＜c ，故选B.例7-2.（1）（2020·成都市·成都七中高三其他模拟）已知432a =，254b =，1325c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <，因为指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a <，即b <a <c .故选：A.（2）（2020·四川成都市·成都七中高三开学考试）设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】先比较a ，c 的大小关系，由13y x =在R 上是增函数可得：a c >，再比较b ，c 的大小关系，由1()3xy =在R 上是减函数可得：b c <， 综上可得：a c b >>，故选：B.【变式训练】（1）已知0.70.8a =，0.90.8b =，0.81.2c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c >>D.c b a >>【解析】根据指数函数的性质可知,函数0.8xy =为单调递减函数,所以00.70.910.80.80.8=>>,即1a b >>因为 1.2xy =为单调递增函数,所以0.80.211 1.2>=,即1c >综上可知, c a b >>,故选B（2）（2020·四川省高一期末）设.1084y =，0.728y =，3434y =，则（ ）A ．312y y y >>B ．213y y y >>C ．132y y y >>D ．123y y y >>【解析】()20.80.81.16224y ===，()0.70.73 2.12822y ===，()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>，故213y y y >>.故选：B（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知 2.32.3a =， 1.92.3b =， 2.32.5c =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>【详解】利用指数函数的性质，可得 2.32.3a = 1.92.3b >=，又因为 2.32.3a =和 2.32.5c =，作商得， 2.32.512.3c a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得到c a >，所以，c a b >>，故选：B例7-3.（1）（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）不等式124x ->的解集是（ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x <C ．{}3x x >D ．{}3x x <【解析】12242x ->=，12x ∴->，解得3x >，则解集是{}3x x >.故选：C .（2）（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）不等式236212()2x xx --≥的解集为________． 【解析】式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥，再由函数2x y =在定义域内单调递增，从而可得： ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞．（3）（2020·成都新津为明学校高一期中）已知函数()f x 是定义在R 的偶函数，当0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，且(3)0f =，则不等式(25)0x f -<的解集为_______．【解析】依题意，()f x 为偶函数，由于0x ≥时，恒有1212()()0f x f x x x -<-，所以()f x 在()0,∞+上递减，则()f x 在(),0-∞上递增，()()330f f -==， 所以()f x 在区间()(),33,-∞-+∞有()0f x <，故由(25)0xf -<得253x -<-或253x ->，即22x <或3282x >=， 解得1x <或3x >.所以不等式(25)0xf -<的解集为(,1)(3,)-∞+∞.【变式训练】（1）（2017·全国高一课时练习）设0<a <1，则使不等式222135x x x x a a >－＋－＋成立的x 的集合是________．【解析】01,xa y a <<∴=为减函数，222135xx xx a a -+-+>，222135x x x x ∴-+<-+，解得4x <，故使条件成立的x 的集合为(),4-∞，故答案为(),4-∞.（2）（2020·四川成都市·高一期末）已知函数()1x f x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()1124f f -=.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）解不等式()0f x >.【解析】（∵）∵()1x f x a =-（0a >，且1a ≠），∵()()()()221211f f a a a a -=---=-.由214a a -=，解得12a =.∵a 的值为12.（∵）不等式()0f x >即1102x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∵121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝.即01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减，∵0x <.∵不等式()0f x >的解集为(),0-∞. 重难点突破8 指数函数性质综合 例8.已知函数．（∵）判断并证明函数的奇偶性；（∵）判断并证明函数的单调性； （∵）若，求实数的取值范围．【解析】（∵）是奇函数．证明：因为函数的定义域为，),1(,)(R ∈>-=-x a aa x f xx()f x ()f x 0)1()1(2<-+-t f t f t ()f x ()f x R又，所以是奇函数．（∵）函数为上的增函数．证明：任取，则．因为，所以，又，所以，，所以．所以函数为上的增函数．（∵）由，可得．由函数是奇函数，可得．又为上的增函数，所以，即解得 ，或．【变式训练】（1）已知函数11x x a f x a -=+()，其中0a ＞，且1a ≠.（1）判断f x ()的奇偶性，并证明你的结论； （2）当1a ＞时，求证：f x （）在R 为增函数. 【解析】（1）f x ()为奇函数.证明如下：由11x x a f x a -=+()，x R ∈，得1111111111xx x x x x xxx xa a a a a f x f x a a a a a -------=====-++++()()，即对任意的x R ∈， 都有f x f x -=-()()，所以f x ()为奇函数.（2）当1a ＞时，设1x ，2x R ∈，且12x x ＜，则12xxa a ＜，从而1212121111x x x x a a f x f x a a ---=-++()()1221121212111101111x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+--+-==++++＜()()()()2()()()()()， 所以12f x f x ＜()()，故f x （）在R 上为增函数.()()f x f x -=⋅⋅⋅=-()f x ()f x R +∞<<<∞-21x x 2211)()(21x x x x a a a ax f x f --+--=-)()(1221x x x x a a a a ---+-=21x x <21x x ->-1>a 21x x a a <12xx a a --<)()(21x f x f <()f x R 0)1()1(2<-+-t f t f )1()1(2t f t f --<-()f x )1()1(2-<-t f t f ()f x R 112-<-t t 022>-+t t 2-<t 1>t（2）（2020·成都七中万达学校高一月考）函数()(0,1)xf x a a a =>≠，(2)4(1)4f f -=-.（1）求a 的值；（2）若(32)(25)f m f m -<+，求实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意(2)4(1)4f f -=-，则244a a -=-，解得2a =，综上：2a =. （2）由（1）知()2x f x =，则()f x 是R 上的增函数，因为(32)(25)f m f m -<+则3225m m -<+，解得7m <，综上所述，结论是：(),7m ∈-∞三、课堂定时训练（45分钟）1．（2019·安徽省肥东县第二中学高一期中）已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】很显然，均大于1；与的交点在与的交点上方， 故，综上所述:.故选:C. 2.（2019·安徽高三高考模拟（文））函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ，故选：A3．设0a ＞，且1a ≠，则指数函数x y a =与一次函数y x a =-+的图象可能是（ ） Cx y a =xy b=1a b <<1b a <<1a b >>1b a >>a b xy a =1x =xy b =1x =b a <1a b >>【解析】由题意知，当a 变化时，指数函数x y a =的图象过定点01(,)．若1a ＞，则指数函数x y a =在R 上递增，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点0a (,)在点01(,)的上方，与x 轴的交点0a (,)在x 轴正半轴，A 符合，B 不合题意．若01a ＜＜，则指数函数x y a =在R 上递减，一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点在原点与点01(,)之间，与x 轴的交点在x 轴正半轴，C 、D 均不合题意．故选A ． 4.（2019·云南高三高考模拟（文））已知，，，则下列不等式正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解析】因为在R 上递减，且，所以.又因为在R 上递增，且 ，所以 .所以.故选：D.5．若2233x y x y ----＜，则（ ）A ．x y ＜B ．x y ＞C ．||1x y -＞D ．||1x y -＜【解析】由2233x y x y ----＜，得2323x x y y ----＜，令23ttf t -=-()，因为2ty =为R上的增函数，3ty -=为R 上的减函数，所以f t ()为R 上的增函数，所以x y ＜，则A 正确，B 错误；，因为x y -与1的大小不能确定，故C 、D 无法确定．故选A ．7．已知函数2222x xxf x -=++()的最大值为M ，最小值为m ，则M m += ．【解析】设222x x x g x -=+()，由222222x x x x x xg x g x ------==-=-++()()()()()知， g x ()是奇函数，所以max min 0g x g x +=[()][()]，所以max min 22404M m g x g x +=+++=+=[()][()]．8.已知函数()()()210120xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则该函数是（ ） A ．偶函数，且单调递增 B ．偶函数，且单调递减 C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减【详解】当0x =时，(0)0f =；当0x >时，0x -<，所以()12()xf x f x --=-=-；当0x <时，0x ->，所以()21()xf x f x -=-=-；所以()()f x f x -=-，所以函数是奇函数.当0x ≥时，()21xf x -=-，由复合函数的单调性原理得函数单调递减，由奇函数的性质得函数在R 上单调递减.故选：D9．函数()()21121012211x x ax x f x a a a x ⎧-+<⎪=>≠⎨⎪-≥⎩且是R 上的减函数，a 取值范围是（ ） A ．1223⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．213⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【详解】由题得22112201112122a x a a a a -⎧=-=≥⎪⨯⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥-⎪⎪⎩，解之得1223a ≤≤.故选：C10．（改编自2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数（且）的图象恒过定点，则 ， ______．3x my a n -=+-0a >1a ≠(3,2)m =n =【解析】∵函数（且）的图象恒过定点，令，可得，，可得函数的图象经过定点.再根据函数的图象经过定点，∴，，解得，.11.已知函数，为常数，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，且，求满足条件的的值．【解析】（1）由已知得，解得．（2）由（1）知，又，则，即，即， 令，则，即， 又，故，即，解得 ．12．（2019·攀枝花市第十五中学校高一月考）设函数()(0,1)x xf x a a a a -=->≠.（1）若11221()32f a a -=+=，求22a a -+的值.（2）若3(1)2f =，求函数()f x 的解析式； （3）在（2）的条件下，设22()2()x xg x a a mf x -=+-，()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-，求m .【解析】（1）由题意知11223a a -+=，可得112122()29a a a a --+=++=，可得17a a -+=，又由1222(249a a a a--+=++=），可得2247a a -+=.（2）由函数()x xf x a a -=-，且3(1)2f =，可得132a a -=， 整理得22320a a --=，解得2a =或12a =-（舍去）， 3x my an -=+-0a >1a ≠0x m -=x m =2y n =-(),2m n -()3,23m =22n -=3m =4n =()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ()1,2-a ()42xg x -=-()()g x f x =x 122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭1a =()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()g x f x =1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭112042x x⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭220t t --=()()210t t -+=0t >2t =122x⎛⎫= ⎪⎝⎭1x =-所以函数()f x 的解析式为()22x x f x -=-.（3）由（2）知()22x x f x -=-，得()2222()2()22222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+， 令()22x x t f x -==-，可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-，又由函数()22x x f x -=-为增函数，因为1x ≥，所以3(1)2t f ≥=，当32m ≥，当t m =时，2min ()21h t m =-=-，即m =m =，当32m <，当32t =时，min 17()314h t m =-=-，解得7342m =>，舍去.综上可知m =. 13.（蓉城名校联盟2020年高一期中联考）已知函数()42+=x xb f x 为奇函数. （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1∈x ，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围； 【解析】（1）∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ，且为奇函数， ∴()010=+=f b ，解得1=-b .（2）∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ，∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ， 又函数()f x 在R 上单调递增，则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立，∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立，设()()12141=++-+g x x x ，则()()max 312==<g x g k ， ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,.。