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中考数学 相似综合试题及答案

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2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。

中考综合模拟测试《数学卷》含答案解析

中考综合模拟测试《数学卷》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________ 一．选择题(共10小题)1.计算：(-3)×(- 13)=()A. -1B. 1C. -9D. 92.如图，下面几何体由两个大小相同的正方体和一个圆柱体组成，则它的左视图是( )A. B. C. D.3.计算(-2x2y)3的结果是( )A. -8x6y3B. 6x6y3C. -8x5y3D. -6x5y34.如图，AB∥CD.若∠1＝40°，∠2＝65°，则∠CAD＝()A. 50°B. 65°C. 75°D. 85°5.设点A(-3，a)，B(b，12)在同一个正比例函数图象上，则ab的值为()A.23- B.32- C. -6 D.326.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DE AF的值为()A. 35B. 34C. 12D. 237.已知两个一次函数y=3x+b 1和y=-3x+b 2若b 1<b 2<0，则它们图象的交点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.如图， 在三边互不相等的△ABC 中， D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．连接DE ，过点C 作CM ∥AB 交DE 的延长线于点M ，连接CD 、EF 交于点N ，则图中全等三角形共有( )A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对9.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ．若点P 是⊙O 上异于点A ，B 的任意一点，则∠APB=( )A. 30°或60°B. 60°或150°C. 30°或150°D. 60°或120° 10.将抛物线M ：y=- 13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，则∠ACB=( ) A 45°B. 60°C. 90°D. 120° 二．填空题(共4小题)11.不等式-2x+1>-5的最大整数解是________．12.如图，五边形ABCDE 的对角线共有 ________条．13.如图，在x 轴上方，平行于x 轴的直线与反比例函数y ＝1k x和y ＝2k x 的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，若△AOB 的面积为6，则k 1﹣k 2＝_____．14.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 边中点， F 是CD 边上的一点， 且DF=1．若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为________ ．三．解答题(共11小题)15.计算：2(3)|25|20-+--.16.化简：(22739a a a +--﹣43a a ++)÷33a a +-． 17.如图，已知锐角△ABC ，点D 是AB 边上的一定点，请用尺规在AC 边上求作一点E ，使△ADE 与△ABC 相似．(作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．)18.2016年4月23日是我国第一个”全民阅读日”某校开展了”建设书香校园，捐赠有益图书”活动．我们在参加活动的所有班级中，随机抽取了一个班，已知这个班是八年级5班，全班共50名学生．现将该班捐赠图书情况的统计结果，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;(2)求八年级5班平均每人捐赠了多少本书?(3)若该校八年级共有800名学生，请你估算这个年级学生共可捐赠多少本书?19.如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．20.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了”东州湖”景区，小明和小亮想测量”东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．请你根据以上提供的信息，计算”东州湖”东西两端之间AB的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin73°≈0.9563，cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709，2≈1.414．)21.上周六上午点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离 (千米)与他们路途所用的时间(时)之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：(1)求直线AB所对应的函数关系式;(2)已知小颖一家出服务区后，行驶分钟时，距姥姥家还有千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家?22.孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：”如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答．小芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大．你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明．(骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体．)23.如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．(1)求证：∠BAD+∠C＝90°(2)求线段AD的长．24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A(2,1).(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式;(3)在(2)所求抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.25.问题提出(1)如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决(3)如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现?若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能，请说明理由．答案与解析一．选择题(共10小题)1.计算：(-3)×(- 13)=()A. -1B. 1C. -9D. 9 【答案】B【解析】【分析】根据两数相乘，同号得正，把绝对值相乘，再进行计算．【详解】解：1313⎛⎫-⨯-=⎪⎝⎭．故答案为：B．【点睛】此题主要考查了有理数的乘法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．2.如图，下面的几何体由两个大小相同的正方体和一个圆柱体组成，则它的左视图是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看上下都是正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查左视图，掌握三视图是解题的关键.3.计算(-2x2y)3的结果是( )A. -8x6y3B. 6x6y3C. -8x5y3D. -6x5y3【答案】A【解析】【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行运算即可．【详解】(-2x2y)3=-8x6y3．故选A．4.如图，AB∥CD.若∠1＝40°，∠2＝65°，则∠CAD＝()A. 50°B. 65°C. 75°D. 85°【答案】C【解析】【分析】根据对顶角性质可知∠BAD=∠1=40°，然后利用平行线性质可得∠CAB=115°，据此进一步计算求解即可. 【详解】∵∠BAD与∠1是对顶角，∴∠BAD=∠1=40°，∵AB∥CD，∴∠2+∠CAB=180°，∴∠CAB=180°−∠2=115°，∴∠CAD=∠CAB−∠BAD=75°，故选：C.【点睛】本题主要考查了平行线性质以及对顶角性质，熟练掌握相关概念是解题关键.5.设点A(-3，a)，B(b，12)在同一个正比例函数的图象上，则ab的值为()A.23- B.32- C. -6 D.32【答案】B【解析】【分析】设正比例函数的解析式为y=kx，将两点在分别代入函数解析式，就可表示出a，b，然后代入求出ab的值．【详解】设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)∴a=-3k，bk=1 2∴b=1 2k∴13322 ab kk=-⋅=-．故答案为：B．【点睛】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=20，AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DE AF的值为()A 35B.34C.12D.23【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理求出BC的长，再根据直角三角形的两个面积公式就可求出AD的长，利用勾股定理求出DC 的长，然后利用角平分线的定义，可得到tan∠ACF=tan∠ECD，然后利用锐角三角函数的定义，就可求出DE与AF的比值．【详解】解：在△ABC中2222201525BC AB AC+=+=∵AD是高∴1122AD BC AB AC⋅=⋅∴25AD=20×15解之：AD=12．在Rt△ADC中，222215129 DC AC AD--=∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠ECD∴tan ∠ACF=tan ∠ECD ∴AF DE AC DC =即159AF DE = ∴35DE AF =． 故答案为：A ．【点睛】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握勾股定理、三角函数的定义得到式子求解． 7.已知两个一次函数y=3x+b 1和y=-3x+b 2若b 1<b 2<0，则它们图象的交点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】将两函数联立方程组，解方程组求出两函数的交点坐标，再根据b 1<b 2<0 ，就可得到b 2-b 1＞0，b 2+b 1＜0，就可确定出交点的横纵坐标的符号，从而可判断出两函数图像的交点所在的象限． 【详解】解：1233y x b y x b =+⎧⎨=-+⎩解之：212162b b x b b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩∵ b 1<b 2<0∴b 2-b 1＞0，b 2+b 1＜0∴x ＞0，y ＜0∴它们图像的交点在第四象限．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查两直线相交或平行的问题及象限内点的坐标特点，掌握根据直线解析式求得交点坐标且各象限内点的坐标特点是解题的关键．8.如图， 在三边互不相等△ABC 中， D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．连接DE ，过点C 作CM ∥AB 交DE 的延长线于点M ，连接CD 、EF 交于点N ，则图中全等三角形共有( )A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对【答案】C【解析】【分析】 利用已知条件可证得DE ，EF 都是△ABC 的中位线，同时可证得AE=EC ，CF=12BC ，利用三角形中位线定理可得到DE=12BC ，DE ∥BC ，EF ∥AB ，从而可以推出∠EDC=∠FCN ，DE=CF ，再利用AAS 证明△DEN ≌△CFN ，然后利用有两组对边平行的四边形是平行四边形，可证得四边形EFCM 是平行四边形，再利用平行四边形的性质可以推出△EMC ≌△CFE ，△ADE ≌△CME ，△ADE ≌△CEF, △BCD ≌△MDC ．【详解】证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点．∴CF=12BC ，DE 是△ABC 的中位线，EF 是△ABC 的中位线，AE=EC ∴DE=12BC ，DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴∠EDC=∠FCN ，DE=CF在△DEN 和△CFN 中DNE CNF EDC FCN DE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEN ≌△CFN (AAS );∵EF ∥AB ，CM ∥AB∴EF ∥CM ，DE ∥BC∴四边形EFCM 是平行四边形，∴EM=CF=DE ，EF=CM,在△EMC 和△CFE 中，EM CF EF CM CE EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△EMC ≌△CFE (SSS );在△ADE 和△CME 中，AE EC AED CEM DE ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE≌△CME(SAS);∴△ADE≌△CEF，∴DE∥BC又BD∥CM∥EF∴四边形DBCM是平行四边形，∴△BCD≌△MDC∴图中的全等三角形一共有5对．故答案为：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．9.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D．若点P是⊙O上异于点A，B的任意一点，则∠APB=()A. 30°或60°B. 60°或150°C. 30°或150°D. 60°或120°【答案】D【解析】【分析】利用垂径定理及已知可得到∠OAD=30°，再求出∠AOB的度数，再分情况讨论：当点P在优弧AB上时，利用圆周角定理就可取出∠P的度数;当点P在劣弧上时，利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠AP1B 的度数．【详解】连接OA，OB，∵ 弦AB 垂直平分半径OC∴OD=12OA ， ∴∠OAD=30°，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-30°-30°=120°;当点P 在优弧AB 上时∠APB=12∠AOB=12×120°=60°; 当点P 在劣弧上时，∠APB+∠AP 1B=180°∴∠AP 1B=180°-60°=120°．∴∠APB=120°或60°．故答案为：D ．【点睛】此题考查了垂径定理，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．10.将抛物线M ：y=- 13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，则∠ACB=( ) A. 45°B. 60°C. 90°D. 120° 【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的平移规律：上加下减，左加右减，可求出抛物线M'的函数解析式，由此可得到点C 的坐标，再由y=0求出抛物线M'与x 轴的两个交点A ，B 的坐标，然后利用勾股定理求出AC 2、BC 2、AB 2，由此可以推出AC 2+BC 2=AB 2，利用勾股定理的逆定理，可求出∠ACB 的度数．【详解】∵y=-13x 2+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'， ∴抛物线M'的解析式为y=21(2)33x -++ ∵ 若抛物线M'与x 轴交于A 、B 两点，M'的顶点记为C ，∴点C (-2，3)当y=0时21(2)303x -++=解之：x 1=1，x 2=-5∴点A(1，0)，点B(-5，0)∴AB2=|-5-1|2=36AC2=32+32=18，BC2=32+32=18∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°．故答案为：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与几何变换、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．二．填空题(共4小题)11.不等式-2x+1>-5的最大整数解是________．【答案】2【解析】【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的最大整数解．【详解】解-2x+1>-5-2x＞-6x＜3，∴这个不等式的最大整数解为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．12.如图，五边形ABCDE的对角线共有________条．【答案】5【解析】【分析】根据n边形的对角线的总数量为(3)2n n，再将n=5代入计算可求出结果．【详解】五边形的对角线的条数为：(53)552-⨯=． 故答案为：5． 【点睛】此题考查了多边形的对角线，掌握多边形的对角线公式是解题的关键．13.如图，在x 轴上方，平行于x 轴的直线与反比例函数y ＝1k x和y ＝2k x 的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，若△AOB 的面积为6，则k 1﹣k 2＝_____．【答案】-12． 【解析】【分析】根据AB ∥x 轴，设1211k k x k A x B x k x（，），（，），得到21k x AB x k -＝，根据△AOB 的面积为6，列方程即可得到结论．【详解】∵AB ∥x 轴，∴设1211k k x k A x B x k x（，），（，） ∴21k x AB x k -＝， ∵△AOB 的面积为6，∴(2111•62k x k x k x-（）＝， ∴k 1﹣k 2＝﹣12，故答案为：﹣12．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数k y x=图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|;在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是2y k ，且保持不变． 14.如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 边的中点， F 是CD 边上的一点， 且DF=1．若M 、N 分别是线段AD 、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为________ ．【答案】955【解析】【分析】作点F 关于AD 的对称点G ，过点G 作GN ⊥AE 于点N ，交AD 于点M ，可证得MG=MF ，△MDG ≌△MDF ，DF=DG=1 ，可推出MN+MF=NG ，根据垂线段最短，可知此时MN+MF 的最小值就是NG 的长;利用正方形的性质，可求出BE 的长，同时可以推出∠B=∠ANM=∠FDM ，∠AMN=∠BAE=∠FMD ，再利用有两组对应角相等的三角形相似，可证得△ABE ∽△MNA ∽△FMD ，然后利用相似三角形的性质及勾股定理就可求出MN ，MG 的长，由此看求出NG 的长．【详解】作点F 关于AD 的对称点G ，过点G 作GN ⊥AE 于点N ，交AD 于点M ，∴MG=MF ，△MDG ≌△MDF ，DF=DG=1∴∠GMD=∠DMF∴MN+MF=MN+MG=NG根据垂线段最短，可知此时MN+MF 的最小值就是NG 的长．∵正方形BCD ，点E 是BC 的中点∴BE=12BC=12AB=2∴∠B=∠ANM=∠FDM=90°，∠BAE+∠MAN=90°，∵∠AMN+∠MAN=90°，∴∠AMN=∠BAE ，∵∠AMN=∠DMG∴∠AMN=∠BAE=∠FMD∴△ABE ∽△MNA ∽△FMD ∴AB MD BE DF =即421MD = 解之：MD=2，∴AM=AD-MD=4-2=2 ∴2AB MN BE AN== 设AN=x ，则MN=2x∴AN 2+MN 2=AM 2，∴x 2+4x 2=4解之：∴在Rt △MDG 中，=∴NG=MN+MG==． 【点睛】本题考查了轴对称−最短距离问题，相似三角形的判定和性质，正确的确定M ，N 的位置是解题的关键．三．解答题(共11小题)15.计算：2(3)|2|-+-【答案】7【解析】【分析】先计算乘方，化简绝对值，计算算术平方根，再进行实数的加减混合运算即可解答.【详解】解：原式＝9＋5－2－25＝7－5【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握绝对值的化简和算术平方根的意义.16.化简：(22739a a a +--﹣43a a ++)÷33a a +-． 【答案】269(3)a a ++ 【解析】【分析】根据分式的运算法则，先去括号，然后除一个数等于乘这个数的倒数即可．【详解】解：原式＝(273(3)(3)a a a a +-+-﹣43a a ++)÷33a a +-． ＝2273(3)a a a +-+﹣2(4)(3)(3)a a a +-+ ＝269(3)a a ++ 【点睛】本题考查分式的除法，需要注意，在去括号时，括号中的每一项都要除后面的除数17.如图，已知锐角△ABC ，点D 是AB 边上的一定点，请用尺规在AC 边上求作一点E ，使△ADE 与△ABC 相似．(作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．)【答案】详见解析【解析】【分析】以DA 为边、点D 为顶点在△ABC 内部作一个角等于∠B ，角的另一边与AC 的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E 即为所求作的点．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作DE∥BC并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．18.2016年4月23日是我国第一个”全民阅读日”某校开展了”建设书香校园，捐赠有益图书”活动．我们在参加活动的所有班级中，随机抽取了一个班，已知这个班是八年级5班，全班共50名学生．现将该班捐赠图书情况的统计结果，绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;(2)求八年级5班平均每人捐赠了多少本书?(3)若该校八年级共有800名学生，请你估算这个年级学生共可捐赠多少本书?【答案】(1)见解析;(2)6本书;(3)4800本书【解析】【分析】(1)观察两统计图可知全班捐赠图书的总数=其它书的数量÷其它书的数量所占的百分比，列式计算;再利用全班捐赠图书的总数×捐赠工具类书的数量所占的百分比，就可求出捐赠工具类书的数量，就可补全条形统计图;然后利用部分的数量÷总数，就可求出文学类和科普类所占的百分比，从而可以补全扇形统计图中的数据;(2)用全班捐赠图书的总数除以八年级5班的人数，列式计算;(3)用800×平均每一个人的捐赠图书的数量，列式计算．【详解】(1)解：全班捐赠图书的总数为24÷8%=300(本)，则捐赠工具类书有300×20%=60(本)，文学类百分比为120300×100%=40%，科普类百分比为96300×100%=32%，完成统计图如下：八年级5班全班同学捐赠图书情况统计图(2)解：八年级5班平均每人捐赠了30050=6本书;(3)解：∵800×6=4800，估算这个年级学生共可捐赠4800本书．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确它们各自的含义，利用数形结合的思想解答．19.如图，菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF＝AE，连结BE，CF．求证：BE＝CF．【答案】证明见解析【解析】【分析】由菱形的性质得出AD∥BC，AB=BC，得出∠A=∠CBF，证明△ABE≌△BCF(SAS)，即可得出BE=CF．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠A=∠CBF．在△ABE和△BCF中，∵AE=BF，∠A=∠CBF，AB=BC，∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴BE=CF．点睛：本题考查了菱形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质;熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20.某市为了创建绿色生态城市，在城东建了”东州湖”景区，小明和小亮想测量”东州湖”东西两端A、B间的距离．于是，他们去了湖边，如图，在湖的南岸的水平地面上，选取了可直接到达点B的一点C，并测得BC＝350米，点A位于点C的北偏西73°方向，点B位于点C的北偏东45°方向．请你根据以上提供的信息，计算”东州湖”东西两端之间AB的长．(结果精确到1米)(参考数据：sin73°≈0.9563，cos73≈0.2924，tan73°≈3.2709，2≈1.414．)【答案】1057米．【解析】分析】先根据题意得出△BCD是等腰直角三角形，故可得出CD＝BD，再由锐角三角函数的定义得出AD的长，进而可得出结论．【详解】∵∠BCD＝45°，CD⊥AB，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD＝BD．∵BC＝350米，∴CD＝BD＝350×2＝2≈175×1.414＝247.45米，∴AD＝CD•tan73°≈247.45×3.2709≈809.38米，∴AB＝AD+BD＝809.38+247.45≈1057(米)．答：”东州湖”东西两端之间AB的长为1057米．【点睛】本题是锐角三角函数在实际问题中的考查，在解决此类题型的时候，我们首先需要抽象出数学模型，然后构造出直角三角形，最后利用三角函数解决.21.上周六上午点，小颖同爸爸妈妈一起从西安出发回安康看望姥姥，途中他们在一个服务区休息了半小时，然后直达姥姥家，如图，是小颖一家这次行程中距姥姥家的距离 (千米)与他们路途所用的时间(时)之间的函数图象，请根据以上信息，解答下列问题：(1)求直线AB所对应的函数关系式;(2)已知小颖一家出服务区后，行驶分钟时，距姥姥家还有千米，问小颖一家当天几点到达姥姥家?【答案】详见解析【解析】试题分析：由图象知AB过(0，320)和((2，120)两点，故可设AB所在直线解析式为y=kx+b,代入即可求出a，b 的值，从而确定函数关系式;(2)先求出CD所在直线解析式，令y=0，则可求出x的值，从而可知小颖一家当天几点到达姥姥家.试题解析：(1)由图象知：A(0，320)，B(2，120)设AB所在直线解析式为y=kx+b，把A、B坐标代入得：320 2120 bk b=⎧⎨+=⎩解得：320 {100 bk==-故AB所在直线解析式为y=-100x+320; (2)由图象知：CD过点(2.5，120)和(3，80)设CD所在直线解析式为y=mx+n，则有2.5120 {380m nm n+=+=解得：80320 mn=-⎧⎨=⎩故CD所在直线解析式为y=-80x+320令y=0时，-80x+320=0，解得x=4所以：8+4=12故小颖一家当天12点到达姥姥家.22.孙老师在上《等可能事件的概率》这节课时，给同学们提出了一个问题：”如果同时随机投掷两枚质地均匀的骰子，它们朝上一面的点数和是多少的可能性最大?”同学们展开讨论，各抒己见，其中小芳和小超两位同学给出了两种不同的回答．小芳认为6的可能性最大，小超认为7的可能性最大．你认为他们俩的回答正确吗?请用列表或画树状图等方法加以说明．(骰子：六个面上分别刻有1，2，3，4，5，6个小圆点的小正方体．)【答案】小超的回答正确，图表见解析【解析】【分析】根据题意列表，再根据表中的数据可求出所有等可能的结果数及点数之和等于6和点数之和等于7的情况数，然后分别求出点数之和等于6与点数之和等于7的概率，由此可作出判断．【详解】列表如下共有36种等可能的结果数，其中点数之和等于6占5种，点数之和等于7的占6种，∴点数之和为6的概率为536，点数之和为7的概率为61366故小超的回答正确．【点睛】本题考查了利用列表法或树状图求概率的方法：先利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念计算出这个事件的概率＝mn．23.如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．(1)求证：∠BAD+∠C＝90°(2)求线段AD的长．【答案】(1)证明见解析;(2)325．【解析】【分析】(1)由弦切角等于同弧所对的圆周角得：∠C＝∠ABD，再根据直角三角形两锐角互余得出结论;(2)作弦心距，由勾股定理得：OE＝3，再证明△OEB∽△BDA，列比例式可以求AD的长．【详解】：(1)∵BD为⊙O的切线，∴∠C＝∠ABD，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠C+∠BAD＝90°，(2)连接OB，过O作OE⊥AB于E，∴AE＝BE＝12AB＝4，由勾股定理得：OE22OB BE-2254-3，∵BD为⊙O的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∵∠ADB＝90°，∴AD∥OB，∴∠DAB＝∠ABO，∵∠D＝∠OEB＝90°，∴△OEB∽△BDA，∴BE OB AD AB=，∴458 AD=，∴AD＝325;则线段AD的长为325．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理、以及三角形的外接圆，是常考题型，熟练掌握切线的性质和垂径定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．24.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，点A(2,1).(1)求点B的坐标;(2)求经过A、O、B三点抛物线的函数表达式;(3)在(2)所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大?若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】(1) B(-1.2);(2) y=57x?66x-;(3)见解析.【解析】【分析】(1)过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，则可证明△ACO≌△ODB，则可求得OD和BD的长，可求得B点坐标;(2)根据A、B、O三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式;(3)由四边形ABOP可知点P在线段AO的下方，过P作PE∥y轴交线段OA于点E，可求得直线OA解析式，设出P点坐标，则可表示出E点坐标，可表示出PE的长，进一步表示出△POA的面积，则可得到四边形ABOP的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时P点的坐标．【详解】(1)如图1，过A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，∵△AOB 为等腰三角形，∴AO=BO ，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠DOB=∠DOB+∠OBD=90°，∴∠AOC=∠OBD ，△ACO 和△ODB 中AOC OBD ACO ODB AO BO ＝＝＝∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACO ≌△ODB (AAS )，∵A (2，1)，∴OD=AC=1，BD=OC=2，∴B (-1，2);(2)∵抛物线过O 点，∴可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，把A 、B 两点坐标代入可得4212a b a b +⎧⎨-⎩＝＝，解得5676a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝， ∴经过A 、B 、O 原点的抛物线解析式为y=56x 2-76x ; (3)∵四边形ABOP ，∴可知点P 在线段OA 的下方，过P 作PE ∥y 轴交AO 于点E ，如图2，设直线AO解析式为y=kx，∵A(2，1)，∴k=12，∴直线AO解析式为y=12x，设P点坐标为(t，56t2-76t)，则E(t，12t)，∴PE=12t-(56t2-76t)=-56t2+53t=-56(t-1)2+56，∴S△AOP=12PE×2=PE═-56(t-1)2+56，由A(2，1)可求得5∴S△AOB=12AO•BO=52，∴S四边形ABOP=S△AOB+S△AOP=-56(t-1)2+56+52=()2510163t--+，∵-56＜0，∴当t=1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为(1，-13 )，综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为(1，-13 )．【点睛】本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积以及方程思想等知识．在(1)中构造三角形全等是解题的关键，在(2)中注意待定系数法的应用，在(3)中用t表示出四边形ABOP的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．25.问题提出(1)如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是．问题探究(2)如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．问题解决(3)如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现?若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值;若不能，请说明理由．【答案】(1)12;(2)9;(3)能实现;170(米)．【解析】【分析】(1)当AD⊥BC时，△ABC的面积最大．(2)由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，可得S＝m(6﹣m)＝﹣(m﹣3)2+9，利用二次函数的性质解决问题即可．(3)由题意，AC＝100，∠ADC＝60°，即点D在优弧ADC上运动，当点D运动到优弧ADC的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，此时△ACD为等边三角形，计算出△ADC的面积和AD的长即可得出这个四边形鱼塘面积和周长的最大值．【详解】(1)如图①中，∵BC＝6，AD＝4，∴当AD⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值＝12×6×4＝12．故答案为12．(2)∵矩形的周长为12，∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为6﹣m，∴S＝m(6﹣m)＝﹣(m﹣3)2+9，∵﹣1＜0，∴m＝3时，S有最大值，最大值为9．(3)如图③中，∵AC＝50米，AB＝40米，BC＝30米，∴AC2＝AB2+BC2∴∠ABC＝90°，作△AOC，使得∠AOC＝120°，OA＝OC，以O为圆心，OA长为半径画⊙O，∵∠ADC＝60°，∴点D在优弧ADC上运动，当点D是优弧ADC的中点时，四边形ABCD面积取得最大值，设D′是优弧ADC上任意一点，连接AD′，CD′，延长CD′到F，使得D′F＝D′A，连接AF，则∠AFC＝30°＝12∠ADC，∴点F在D为圆心DA为半径的圆上，∴DF＝DA，∵DF+DC≥CF，∴DA+DC≥D′A+D′C，∴DA+DC+AC≥D′A+D′C+AC，∴此时四边形ADCB的周长最大，最大值＝40+30+50+50＝170(米)．答：这个四边形鱼塘周长的最大值为170(米)．【点睛】本题主要是最大值的考查，求最大值，常用方法为：(1)利用平方为非负的性质求解;(2)利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中。

中考数学专题13 图形的相似(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)

中考数学专题13 图形的相似(第01期)-2019年中考真题数学试题分项汇编(解析版)

专题13 图形的相似1．（2019•常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B【解析】∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1∶2．故选B．2．（2019•兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，∴8463BC ABB C A B''''=--．故选B．3．（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD 上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B【解析】如图，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴AE EGAD DH=，∵EF⊥AC，∠C=90°，∴∠EFA=∠C=90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴AE EFAD CD=，∴EG EFDH CD=，∵EG=EF，∴DH=CD，设DH=x，则CD=x，∵BC=12，AC=6，∴BD=12-x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴DH BDAC BC=，即12612x x-=，解得，x=4，∴CD=4，故选B．4．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则A．AD ANAN AE=B．BD MNMN CE=C．DN NEBM MC=D．DN NEMC BM=【答案】C【解析】∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DN AN BM AM=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NE ANMC AM=，∴DN NEBM MC=．故选C．5．（2019•连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A．①处B．②处C．③处D．④处【答案】B【解析】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、，“车”、“炮”之间的距离为1，12==，∴马应该落在②的位置，故选B．6．（2019•重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【解析】∵△ABO∽△CDO，∴BO ABDO DC=，∵BO=6，DO=3，CD=2，∴632AB=，解得AB=4．故选C．7．（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD AEAC AB=，即246AE=，解得AE=3，故选C．8．（2019•凉山州）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B【解析】如图，过O作OG∥BC，交AC于G，∵O是BD的中点，∴G是DC的中点．又AD∶DC=1∶2，∴AD=DG=GC，∴AG∶GC=2∶1，AO∶OE=2∶1，∴S△AOB：S△BOE=2，设S △BOE =S ，S △AOB =2S ，又BO =OD ，∴S △AOD =2S ，S △ABD =4S ，∵AD ∶DC =1∶2，∴S △BDC =2S △ABD =8S ，S四边形CDOE=7S ，∴S △AEC =9S ，S △ABE =3S ，∴3193ABE AEC S BE S EC S S ===△△，故选B ． 9．（2019•常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB =AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】D【解析】如图，根据题意得△AFH ∽△ADE ，∴2239()()416AFH ADE S FH S DE ===△△，设S △AFH =9x ，则S △ADE =16x ，∴16x -9x =7，解得x =1，∴S △ADE =16， ∴四边形DBCE 的面积=42-16=26．故选D ．10．（2019•玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对【答案】C【解析】图中三角形有：△AEG ，△ADC ，CFG ，△CBA ， ∵AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，∴△AEG ∽△ADC ∽CFG ∽△CBA ，共有6个组合分别为：∴△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽CFG ，△AEG ∽△CBA ，△ADC ∽CFG ，△ADC ∽△CBA ，CFG ∽△CBA ，故选C ．11．（2019•淄博）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．2aB ．52a C ．3aD ．72a【答案】C【解析】∵∠CAD =∠B ，∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ，∴2()ACD BCA S AC S AB =△△，即14BCA a S =△， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为：4a -a =3a ，故选C ．12．（2019•邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C【解析】∵以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上，AB ∥A ′B ′， AO ∶OA ′=1∶2，故选项C 错误，符合题意．故选C ．13．（2019•淮安）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB =3，DE =2，BC =6，则EF =__________．【答案】4【解析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB DEBC EF=，又AB =3，DE =2，BC =6，∴EF =4，故答案为：4．14．（2019•河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 5【解析】∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，∴22235 OA ABOC CD===+．故答案为：25．15．（2019•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 5【解析】在Rt△ABC中，AB，由射影定理得，AC2=AD·AB，∴AD=2ACAB=165，故答案为：165．16．（2019•本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）【解析】以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），则点A的对应点A1的坐标为（4×12，2×12）或（-4×12，-2×12），即（2，1）或（-2，-1），故答案为：（2，1）或（-2，-1）．17．（2019•烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）【解析】如图，P点坐标为（-5，-1）．故答案为：（-5，-1）．18．（2019•南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD=BD=3，∴∠B=∠DCB，AB=AD+BD=5，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=∠B，∵∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC ADAB AC=，∴AC 2=AD ×AB =2×5=10，∴AC19．（2019•吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时同地测得一栋楼的影长为90 m ，则这栋楼的高度为__________m ． 【答案】54【解析】设这栋楼的高度为h m ，∵在某一时刻，测得一根高为1.8 m 的竹竿的影长为3 m ，同时测得一栋楼的影长为60 m ， ∴1.8390h=，解得h =54（m ）．故答案为：54． 20．（2019•福建）已知△ABC 和点A '，如图．（1）以点A '为一个顶点作△A 'B 'C '，使△A 'B 'C '∽△ABC ，且△A 'B 'C '的面积等于△ABC 面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点，D '、E '、F '分别是你所作的△A 'B 'C '三边A 'B '、B 'C '、C 'A '的中点，求证：△DEF ∽△D 'E 'F '．【解析】（1）作线段A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△．（2）如图，∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，，∴△DEF∽△ABC同理：△D'E'F'∽△A'B'C'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．21．（2019•凉山州）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2=AD·CD；（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．【解析】（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，∴△ABD∽△BCD，∴AD BD BD CD=，∴BD2=AD·CD．（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC，∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°，∴BM=MD，∠MAB=∠MBA，∴BM=MD=AM=4，∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48，∴BC2=BD2-CD2=12，∴MC2=MB2+BC2=28，∴MC=∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴23BM MN CD CN ==，且MC =，∴MN =5． 22．（2019•巴中）△ABC 在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C 为位似中心，作出△ABC 的位似图形△A 1B 1C ，使其位似比为1∶2．且△A 1B 1C 位于点C 的异侧，并表示出A 1的坐标．②作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后的图形△A 2B 2C ． ③在②的条件下求出点B 经过的路径长．【解析】①如图，△A 1B 1C 为所作，点A 1的坐标为（3，-3）． ②如图，△A 2B 2C 为所作．③OB =点B 经过的路径长=90ππ1802⋅=．23．（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC =2 m ，BD =2.1 m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE ．【解析】如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF 并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OEOE=+，∴OE=32，答：楼的高度OE为32米．24．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：PA=2PC；（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．【解析】（1）∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ， 又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3， ∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°，又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ， ∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2，∵△PAB ∽△PBC ，∴12h AB h BC==∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．25．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BCA B B C =11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD相似，求21S S 的值．【解析】（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真． （2）如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CDB C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD ABB D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1， ∴∠ABD =∠A 1B 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴1111AD ABA D AB =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11111111AB BC CD ADA B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． （3）∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似． ∴DE EFAE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OFAE AB+=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DEAD AE =， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+，∴2AE =DE +AE ， ∴AE =DE ，∴12S S =1．祝你考试成功!祝你考试成功!。

(遵义专版)2019年中考数学总复习第1节图形的相似与位似(精练)试题

(遵义专版)2019年中考数学总复习第1节图形的相似与位似(精练)试题

第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为( B )A.12B．2 C．3 D．4(第1题图)(第2题图)2．(2019泰安中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( B )A．18 B.1095C.965D.2533．(2019遵义十九中一模)如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.APAB＝ABACD.ABBP＝ACCB(第3题图)(第4题图)4．(济南中考)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，DB于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为( C )A.22B.32C．1 D.625．(2019滨州中考)在平面直角坐标系中，点C，D的坐标分别为C(2，3)，D(1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点D的对应点B在x轴上且OB＝2，则点C的对应点A的坐标为__(4，6)或(－4，－6)__．6．(2019随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125或53__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似． 7．(汇川升学一模)如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上．若△ABC 的边BC 长为40 cm ，高AH 为30 cm ，则正方形DEFG 的边长为__1207__cm.(第7题图)(第8题图)8．(2019包头中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO ＝90°，OA 与反比例函数y ＝kx 的图象交于点D ，且OD ＝2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C.若S 四边形ABCD ＝10，则k 的值为__－16__．9．(2019六盘水中考)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连接OE 交AD 于点F ，若CD ＝5，BC ＝8，AE ＝2，则AF ＝__169__． 10．(泰安中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD∥AB 时，求BP 的长． 解：(1)∵AB＝AC ， ∴∠B ＝∠C. ∵∠APD ＝∠B， ∴∠APD ＝∠B＝∠C. ∵∠APC ＝∠BAP＋∠B， ∠APC ＝∠APD＋∠DPC， ∴∠BAP ＝∠DPC， ∴△ABP ∽△PCD ，∴BP CD ＝AB CP， ∴AB ·CD ＝CP·BP. ∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP·BP；(2)∵PD∥AB，∴∠APD ＝∠BAP. ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C. ∵∠B ＝∠B，∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BP BA. ∵AB ＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.11．(随州中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B ) A ．1∶3 B ．1∶4 C ．1∶5 D ．1∶2512．(盘锦中考)如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD ＝3，DC ＝4，DE ＝52，∠EDF ＝90°，则DF 长是( C )A.158 B.113 C.103 D.165(第12题图)(第13题图)13．(2019杭州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于__78__.14.(2019长春中考)如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边AD 的延长线上，且DF ＝BE ，EF 与CD 交于点G. (1)求证：BD∥EF；(2)若DG GC ＝23，BE ＝4，求EC 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∵DF ＝BE ，∴四边形BEFD 是平行四边形， ∴BD ∥EF ；(2)∵四边形BEFD 是平行四边形， ∴DF ＝BE ＝4. ∵DF ∥EC ， ∴△DFG ∽△CEG ， ∴DG CG ＝DF CE， ∴CE＝DF·CG DG ＝4×32＝6.15.(2019杭州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC.(1)求证：△ADE∽△ABC； (2)若AD ＝3，AB ＝5，求AFAG的值． 解：(1)∵AG⊥BC，AF ⊥DE ， ∴∠AFE ＝∠AGC＝90°.∵∠EAF ＝∠GAC，∴∠AED ＝∠ACB， ∵∠EAD ＝∠BAC，∴△ADE ∽△ABC ； (2)由(1)可知：△ADE∽△ABC， ∴AD AB ＝AE AC ＝35. ∵∠AFE ＝∠AGC＝90°，∠EAF ＝∠GAC， ∴△EAF ∽△CAG ， ∴AF AG ＝AE AC ， ∴AF AG ＝35. 16 .(2019枣庄中考)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，－4)．(1)请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求； (2)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求， 由图形可知，∠A 2C 2B 2＝∠ACB， 过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A(2，2)，C(4，－4)，B(4，0)，易得D(4，2)， ∴AD ＝2，CD ＝6，AC ＝22＋62＝210， ∴sin ∠ACB ＝AD AC ＝2210＝1010，即sin ∠A 2C 2B 2＝1010.17．(2019连云港中考)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＝3，D 为AC 延长线上一点，AC ＝3CD ，过点D 作DH∥AB，交BC 的延长线于点H. (1)求BD·cos ∠HBD 的值； (2)若∠CBD＝∠A，求AB 的长． 解：(1)∵DH∥AB，∴∠BHD ＝∠ABC＝90°，∠A ＝∠HDC， ∴△ABC ∽△DHC ， ∴AC CD ＝BCCH＝3， ∴CH ＝1，BH ＝BC ＋CH ＝4， 在Rt △BHD 中，cos ∠HBD ＝BH BD， ∴BD ·cos ∠HBD ＝BH ＝4；(2)∵∠CBD＝∠A，∠ABC ＝∠BHD， ∴△ABC ∽△BHD ， ∴BC HD ＝AB BH. ∵△ABC ∽△DHC ， ∴AB DH ＝ACCD＝3， ∴AB ＝3DH ， ∴3DH ＝3DH4，解得DH ＝2， ∴AB ＝3DH ＝3×2＝6.18．(2019眉山中考)如图，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC ＝42，点P 为线段BE 延长线上一点，连接CP ，以CP 为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE 与CD 相交于点F.(1)求证：PC CD ＝CECB；(2)连接BD ，请你判断AC 与BD 有什么位置关系？并说明理由； (3)设PE ＝x ，△PBD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式． 解：(1)∵△BCE 和△CDP 均为等腰直角三角形， ∴∠ECB ＝∠PCD＝45°， ∠CEB ＝∠CPD＝90°， ∴△BCE ∽△DCP ， ∴PC DC ＝EC CB； (2)AC∥BD.理由如下：∵∠PCE ＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°， ∴∠PCE ＝∠BCD. 又∵PC DC ＝EC CB ，∴△PCE ∽△DCB ， ∴∠CBD ＝∠CEP＝90°， ∴∠ACB ＝∠CBD， ∴AC ∥BD ；(3)作PM ⊥BD ，交BD 的延长线于点M. ∵AC ＝42，△ABC 和△BEC 均为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝4. ∵△PCE ∽△DCB ，∴EC CB ＝PE BD ，即442＝x BD， ∴BD ＝2x.∵∠PBM ＝∠CBD－∠CBP＝45°， BP ＝BE ＋PE ＝4＋x ， ∴PM ＝4＋x 2，∴S △PBD ＝12BD ·PM＝12×2x×4＋x 2, ＝12x 2＋2x.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A.60°B.55°C.50°D.40°2．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（）A．m＞9 B．m≥9C．m＜﹣9 D．m≤﹣93．如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A.①③④B.②④C.①②③D.①②③④4．如图，向正六边形的飞镖游戏盘内随机投掷一枚飞镖则该飞镖落在阴影部分的概率( ).A. B. C. D.5．下面的统计图反映了我国五年来农村贫困人口的相关情况，其中“贫困发生率”是指贫困人口占目标调查人口的百分比．（以上数据来自国家统计局）根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．的是（ ） A.与2017年相比，2018年年末全国农村贫困人口减少了1386万人 B.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率逐年下降C.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困人口的减少量均超过1000万D.2015～2018年年末，与上一年相比，全国农村贫困发生率均下降1.4个百分点6．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y-⋅+的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．使得关于x 的不等式组22141x m x m >-⎧⎨-+≥-⎩有解，且使分式方程1222m xx x --=--有非负整数解的所有的m 的和是（ ） A ．﹣1B ．2C ．﹣7D ．08．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为4，∠B ＝135°，则劣弧AC 的长是（ ）A.4πB.2πC.πD.23π9．如图1，在Rt ABC ∆中，090C ∠=，点P 从点A 出发，沿A C B →→的路径匀速运动到点B 停止，作PD AB ⊥于点D ，设点P 运动的路程为x ，PD 长为y ，y 与x 之间的函数关系图象如图2所示，当12x =时，y 的值是（ ）A ．6B ．245C ．65D ．210．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD ＝2∠ACB ．若DG ＝5，EC ＝1，则DE 的长为( )A ．2B ．4C ．D ．11．如图，正方形OABC 绕着点O 逆时针旋转40°得到正方形ODEF ，连接AF ，则∠OFA 的度数是（ ）.A.15°B.20°C.25°D.30°12．下列运算正确的是（ ）A.222()x y x y +=+ B.632x x x ÷= 3=D.32361126xy x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭二、填空题13．分解因式(a －b)(a －9b)＋4ab 的结果是____．14．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，△ABC ∽△DBA ．若BD ＝4，DC ＝5，则AB 的长为_____．15．方程3x x -=1xx +的解是_____． 16．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．17．已知a ，b 是一元二次方程x 2+x ﹣4＝0的两个不相等的实数根，则a 2﹣b ＝_____． 18．书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是_____． 三、解答题19．一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，每个球上面分别标有1，2，3，4．小林先从布袋中随机抽取一个乒乓球（不放回去），再从剩下的3个球中随机抽取第二个乒乓球，记两次取得乒乓球上的数字依次为a 、b ． （1）求a 、b 之积为偶数的概率；（2）若c ＝5，求长为a 、b 、c 的三条线段能围成三角形的概率．20．在正方形ABCD 中，点M 是射线BC 上一点，点N 是CD 延长线上一点，且BM ＝DN ，直线BD 与MN 交于点E ．（1）如图1．当点M 在BC 上时，为证明“BD﹣2DE BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M 作CD 的平行线交BD 于点P ．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M 在BC 的延长线上时，则BD ，DE ，BM 之间满足的数量关系是 ． （3）在（2）的条件下，连接BN 交AD 于点F ，连接MF 交BD 于点G ，如图3，若1,3AF AD = CM ＝2，则线段DG ＝ ．21．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上一点，tan ∠DBC=43，且BC=6，AD=4．求cosA 的值．22．计算：（π0﹣3|+（12）﹣123．已知二次函数y ＝﹣x 2+2mx ﹣m 2﹣1（m 为常数）．（1）证明：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）当自变量x 的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y 的最大值为﹣5，求m 的值．24．（1）计算：10124303)cos -︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2）先化简，再求值：2222121111a a aa a a a+-+⋅---+，其中a＝﹣12．25．某校七、八年级各有10名同学参加市级数学竞赛，各参赛选手的成绩如下（单位：分）：七年级：89，92，92，92，93，95，95，96，98，98八年级：88，93，93，93，94，94，95，95，97，98整理得到如下统计表根据以上信息，完成下列问题（1）填空：a＝；m＝；n＝；（2）两个年级中，年级成绩更稳定；（3）七年级两名最高分选手分别记为：A1，A2，八年级第一、第二名选手分别记为B1，B2，现从这四人中，任意选取两人参加市级经验交流，请用树状图法或列表法求出这两人分别来自不同年级的概率．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．(a-3b)214．615．x=﹣3 216．5 17．518．3 10三、解答题19．（1）P（数字之积为偶数）＝56；（2）P（三线段能围成三角形）＝13．【解析】【分析】（1）通过列表法可得a、b所有可能的结果，计算出a、b之积为偶数的次数，然后用a、b之积为偶数的次数除以总次数即可计算a、b之积为偶数的概率；（2）首先列出a、b、c所有可能的结果，根据三角形的性质找到能组成三角形的结果，最后计算能围成三角形的概率.【详解】（1）根据题意列表如下：由以上表格可知：有12种可能结果，分别为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），其积分别为：2，3，4，2，6，8，3，6，12，4，8，12；积为偶数的有2，4，2，6，8，6，12，4，8，12，共10个，则P（数字之积为偶数）＝1012＝56；（2）所有的可能结果有12种，a，b及c的值分别为（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，1，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，1，5），（3，2，5），（3，4，5），（4，1，5），（4，2，5），（4，3，5），能构成三角形的有（2，4，5），（3，4，5），（4，2，5），（4，3，5），共4种，则P（三线段能围成三角形）＝412＝13．【点睛】本题考查了用列举法计算概率的知识，正确理解题意是解题的关键.20．（1）见解析；（2）BD+2DE BM；（3.【解析】【分析】（1）过点M作MP∥CD，交BD于点P，推出PM=DN，证明△EPM≌△EDN，推出EP＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（2）过点M作MP∥CD交BD的延长线于点P，推出BM＝PM＝DN，根据AAS证明△EPM≌△EDN，推出EP ＝ED，根据正方形的性质和勾股定理求出即可；（3）证明△ABF∽△DNF，得出比例式，得到AB：ND＝1：2，设AB＝x，则DN＝2x，根据BM ＝DN ，列出方程求出AB 的长度，根据DF ∥BM ，得到413,43DF DG BM BG ===即可求解. 【详解】解：（1）如图1，过点M 作MP ∥CD ，交BD 于点P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，∠CBD ＝∠CDB ＝45°， ∵PM ∥CD ，∴∠NDE ＝∠MPE ，∠BPM ＝∠CDB ＝45°， ∴△BPM 是等腰直角三角形， ∴PM ＝BM，PB =，∵BM ＝DN ， ∴PM ＝DN ，在△EPM 和△EDN 中，,MPE NDE PEM DEN PM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EPM ≌△EDN （AAS ）， ∴EP ＝ED ，∴PB ＝BD ﹣PD ＝BD ﹣2DE ，根据勾股定理得：BP =，即2BD DE -=；（2）如图2，过点M 作MP ∥CD 交BD 的延长线于点P ，∴∠PMB＝∠BCD＝90°，∵∠CBD＝45°，∴△BMP是等腰直角三角形，∴BM＝PM＝DN，与（1）证法类似：△EPM≌△EDN（AAS），∴EP＝ED，∴PB＝BD+PD＝BD+2DE，根据勾股定理得：BP BM，即BD+2DE＝BP BM，故答案为：BD+2DE BM；（3）如图3，∵AB∥CD，∴AB∥DN，∴△ABF∽△DNF，∴AF：FD＝AB：ND，∵AF：FD＝1：2，∴AB：ND＝1：2，设AB ＝x ，则DN ＝2x ， ∵BM ＝DN ， ∴x+2＝2x ，x ＝2， ∴AB ＝AD ＝2，DF ＝43，∴BD = ∵DF ∥BM ，∴413,43DF DG BM BG ===∴142DG =⨯=故答案为：2【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题的能力．用的数学思想是类比推理的思想．21．5【解析】 【分析】先在Rt △BDC 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由AC=AD+DC 求出AC 的长，然后在Rt △ABC 中，根据勾股定理求出AB 的长，从而求出 cosA 的值． 【详解】解：在Rt △BDC 中， tan ∠DBC=43， 且BC=6 ， ∴ tan ∠DBC=DC BC =6DC =43， ∴CD=8， ∴AC=AD+DC=12，在Rt △ABC 中，，∴ cosA =ACAB =.【点睛】本题主要考查解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．22【解析】【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】原式＝1﹣（3+2【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．23．（1）见解析；（2）m的值为﹣5或1．【解析】【分析】（1）根据判别式的值得到△＝﹣4＜0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用配方法得到y＝﹣（x﹣m）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝m，讨论：当m＜﹣3时，根据二次函数性质得到x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，利用二次函数的性质得到x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，然后分别解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．【详解】（1）证明：△＝4m2﹣4×（﹣1）×（﹣m2﹣1）＝﹣4＜0，所以﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝0没有实数解，所以不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1＝﹣（x﹣m）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x＝m，当m＜﹣3时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而减下，则x＝﹣3时，y＝﹣5，所以﹣（﹣3﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；当﹣3≤m≤﹣1时，x＝m，y的最大值为﹣1，不合题意；当m＞﹣1时，﹣3≤x≤﹣1，y随x的增大而增大，则x＝﹣1时，y＝﹣5，所以﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5，解得m1＝1，m2＝﹣3（舍去）；综上所述，m的值为﹣5或1．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．24．（1）4；（2）1a，-2. 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算； （2）将原式的分子、分母因式分解，约分后计算减法，再代值计算即可． 【详解】（1） ）0+（13）﹣1+4cos30°﹣﹣＝＝4； （2）2222121111a a a a a a a+-+-+-- ＝22111(1)(1(1)1a a a a a a a +--+--+（））＝21(1)(1)a aa a a a +-++＝1(1)a a a ++＝1a， 当a ＝﹣12 时，原式＝11-2＝﹣2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值．解答（1）题的关键是根据零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值以及绝对值的意义进行计算；解答（2）题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．25．（1）94；（2）94，92，94；八；（3）23【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解； （2）根据方差的意义进行判断；（3）画树状图展示所有12等可能的结果数，再找出这两人分别来自不同年级的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】（1）n＝110（88+93+93+93+94+94+95+95+97+98）＝94（分）；把七年级的10名学生的成绩从小到大排列，最中间的两个数的平均数是：93+952=94（分），则中位数a=94；七年级的10名学生的成绩中92分出现次数最多，故众数为92分；（2）七年级和八年级的平均数相同，但八年级的方差较小，所以八年级的成绩稳定；（3）列表得：共有12种等可能的结果，这两人分别来自不同年级的有8种情况，∴P（这两人分别来自不同年级的概率）＝82= 123．【点睛】题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB≠AD，对角线AC 、BD 相交于点O ．以下结论不正确的是（ ）A.梯形ABCD 是轴对称图形B.∠DAC ＝∠DCAC.△AOB ≌△DOCD.△AOD ∽△COB2．下列说法正确的是( )A.打开电视，它正在播天气预报是不可能事件B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查C.在抽样调查过程中，样本容量越大，对总体的估计就越准确D.甲、乙两人射中环数的方差分别为22S =甲，21S =乙，说明甲的射击成绩比乙稳定3．12019的倒数是（ ） A.12019 B.﹣12019C.2019D.﹣20194．在四边形ABCD 中，//,AB CD AB AD =，添加下列条件不能推得四边形ABCD 为菱形的是（ ） A ．AB CD =B ．//AD BCC ．BC CD =D ．AB BC =5．下列各式变形中，正确的是（ ）A ．2=x B ．2(1)(1)1x x x ---=-C ．x xx y x y=--++D ．22131=x+-24x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭6．如图，在数轴上，点A 表示的数是2，△OAB 是Rt △，∠OAB ＝90°，AB ＝1，现以点O 为圆心，线段OB 长为半径画弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的实数是( )A B C．﹣3 D．﹣7．如图，边长为4个单位长度的正方形ABCD的边AB与等腰直角三角形EFG的斜边FG重合，△EFG以每秒1个单位长度的速度沿BC向右匀速运动（保持FG⊥BC），当点E运动到CD边上时△EFG停止运动，设△EFG的运动时间为t秒，△EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为S，则S关于t的函数大致图象为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．39．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若AB＝3，菱形ABCD的面积是（）A B．C D10．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺．解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺．可列方程正确的是（）A.x 2+52 ＝（x+1）2B.x 2+52 ＝（x ﹣1）2C.x 2+（x+1）2 ＝102D.x 2+（x ﹣1）2＝52 11．下列计算正确的是（ ）A ．3a ﹣a ＝3B ．（a 2）3＝a 6C ．3a+2a ＝2a 2D ．a 2﹣a 2＝a 412．2018年国庆小长假，泰安市旅游再次交出漂亮“成绩单”，全市纳入重点监测的21个旅游景区、旅游大项目、乡村旅游点实现旅游收入近132000000元，将132000000用科学记数法表示为（ ）A ．1.32×109B ．1.32×108C ．1.32×107D ．1.32×106二、填空题13．已知：如图，△ABC 中，过AB 的中点F 作DE ⊥BC ，垂足为E ，交CA 的延长线于点D ．若EF ＝3，BE ＝4，∠C ＝45°，则DF ：FE 的值为_____．14．如图，OC 是O 的半径，弦AB OC ⊥于点D ，点E 在O 上，EB 恰好经过圆心O ，连接EC .若B E ∠=∠，32OD =，则劣弧AB 的长为__________.15．分解因式：228ax a -=_______．16．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为< x >，即已知n 为正整数，如果n －12≤x＜n ＋12，那么< x >＝n ．例如：< 0 >＝< 0.48 >＝0，< 0.64 >＝< 1.493 >＝1，< 2 >＝2，< 3.5 >＝< 4.12 >＝4，…则满足方程< x >＝1x 1.62+的非负实数x 的值为____. 17．在不透明的袋子中有2个白球，3个红球，除颜色外完全相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率18．截至2019年4月份，全国参加汉语考试的人数约为3500万，将3500万用科学记数法表示为_____．三、解答题19．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作ED⊥AE，垂足为E，交AB的延长线于F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AD＝，AB＝6，求FD的长．20．如图，在数轴上点A、B、C分别表示－1、－2x＋3、x＋1，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧.（1）求x的取值范围；（2）当AB＝2BC时，x的值为_____.21．化简分式：2222334424x x xx x x x⎛⎫---÷⎪-+--⎝⎭，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．22．2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另加外卖送单补贴(送一次外卖称为一单)，具体方案如下：(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；(2)设这个月“外卖小哥”送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式；(3)若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资6400≤y≤6500，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝8，（1）求点A的坐标；（2）点P是从O点出发，沿X轴正半轴方向以每秒1单位长度的速度运动至点B的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，交四边形ABCD的边AO或AB于点Q，交OC或BC于点R．设运动时间为t（s），已知t＝3时，直线l恰好经过点 C．求①点P出发时同时点E也从点B出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点P停止时点E也停止．设△QRE的面积为S，求当0＜t＜3时S与t的函数关系式；并直接写出S的最大值．②是否存在某一时刻t，使得△ORE为直角三角形？若存在，请求出相应t的值；若不存在，请说明理由．24．在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从A地到B地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）A、B两地间的距离为km；（2）求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）求甲、乙第一次相遇的时间；（4）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．25．如图，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点D，交BC于点E；分别以点D，E为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点F ；画射线BF ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，作FH ⊥BC 于点H求证：BG ＝BH ．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．7：314．2π15．2(2)(2)a x x +-16．817．3518．5×107三、解答题19．（1）证明见解析；（2）7. 【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质和角平分线的性质可求得∠1＝∠3，再由“内错角相等，两直线平行”可得AE ∥OD ，然后再由垂线的定义和切线的判定即可证明；（2）连接BD ，由切线的性质及勾股定理可求出BD 的长，然后再根据三角形相似的判定和性质求得BFDF ，然后再在Rt △ODF 中，求DF 即可. 【详解】（1）证明：连接OD ，如图，∵OA ＝OD ，∴∠2＝∠3，∵AD 平分∠EAB ，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE ∥OD ，∵ED ⊥CA ，∴OD ⊥ED ，∵OD 是⊙O 的半径，∴ED 是⊙O 的切线；（2）连接BD ，如图，∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°．∴BD =2，∵EF 是⊙O 的切线，∴OD ⊥EF ，∴∠4+∠5＝90°，∵∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠3＝∠2，∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△FDA ， ∴BF BD DF AD ==∴BF ＝4DF ， 在Rt △ODF 中，∵（3+BF ）2＝32+DF 2，∴（3+4DF ）2＝32+DF 2，∴DF ＝7．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行线的判定、切线的性质及判定、勾股定理等知识点，综合性比较强，熟练掌握基础知识是解题的关键.20．(1) 223x<<;(2)1【解析】【分析】(1)根据A、B、C三点在数轴上的位置列不等式组即可得出x的取值范围；（2）分别求出AB、BC的距离，根据AB=2BC列方程即可得出x的值.【详解】（1）由题意得：231123xx x-+>-⎧⎨+>-+⎩①②解不等式①得：x＜2；解不等式②得：x＞23．∴不等式组的解集为：23＜x＜2．（2）∵AB=2BC，∴-2x+3-(-1)=2[x+1-(-2x+3)]-2x+4=2x+2+4x-68x=8解得x=1.故答案为：1【点睛】本题考查数轴的性质、解一元一次不等式组及解一元一次方程，不等式解集遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．21．x+2，3.【解析】【分析】利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．【详解】2222334424x x x x x x x ⎛⎫---÷ ⎪-+--⎝⎭ ＝22(2)33(224x x x x x x ⎡⎤---÷⎢⎥---⎣⎦） ＝233()224x x x x x --÷--- ＝(-2)(2)323x x x x x -⋅--+ ＝x+2，∵x 2﹣4≠0，x ﹣3≠0，∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，∴可取x ＝1代入，原式＝3．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则是解题的关键，注意分式有意义的条件．22．(1)若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)见解析；(3)750≤m≤900．【解析】【分析】:(1)根据题意,直接按照第一个标准,由底薪每单补贴,求解即可(2)按照x ＞m,0＜x≤500和0＜x≤500三种情况,分别求解即可;(3)根据(2)中的关系式,分别代入求解,注意要符合工资要求【详解】(1)由题意可得，1000+500×6+(600﹣500)×8＝1000+3000+800＝4800(元)，答：若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；(2)由题意可得，当0＜x≤500时，y ＝1000+6x ，当500＜x≤m 时，y ＝1000+500×6+(x﹣500)×8＝8x ，当x ＞m 时，y ＝1000+500×6+(m﹣500)×8+(x﹣m)×10＝10x ﹣2m ，由上可得，y ＝10006(05008(500102(x x x x m x m x m +⎧⎪⎨⎪-⎩＜≤）＜≤）＞） ；(3)若800＜m≤900，y ＝8×800＝6400，符合题意，若700≤m≤800，6400≤﹣2m+10×800≤6500，解得，750≤m≤800，综上所述：750≤m≤900．【点睛】此题考查不等式组的应用，解题关键在于列出方程23．（1）A （4，4）；（2）①2728.S (t 2)33=-+，S 有最大值为283；②t 的值为4或3614. 【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）①首先求出直线OA 、OB 、OC 、BC 的解析式．①求出P 、Q 的坐标即可解决问题；即可表示出QR 和PE 的长，即可得到三角形面积解析式利用配方法求出最值即可；②分三种情况讨论，即∠REO ＝90°或∠ORE ＝90°或∠ROE ＝90°分别求解即可．【详解】解：（1）由题意△OAB 是等腰直角三角形，∵OB ＝8，即B （8，0）∴A （4，4），（2）∵A （4，4），B （8，0），∴直线OA 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式y ＝﹣x+6，∵t ＝3时，直线l 恰好过点C ，即OP ＝3，OC ＝5，∴PR ＝4，C （3，﹣4），∴直线OC 的解析式为y ＝-43x ，直线BC 的解析式为y ＝43255x -， ①当0＜t ＜3时，Q （t ，t ），R （t ，-43t ）， ∴QR=t-(-43t)=73t ．PE ＝8﹣2t ． ∴S ＝2117728(82)(2)22333PE QR t t t =-=--+． ∴t ＝2时，S 有最大值为283． ②要使△ORE 为直角三角形，则有三种情况：Ⅰ．若∠REO＝90°，如图1，则点P与E点重合，∴8﹣2t＝0，解得t＝4，Ⅱ．若∠ORE＝90°，如图2．△ORP∽△REP，∴OP RPRP PE=，即RP2＝OP•PE，∴24(82) 3tt t⎛⎫=-⎪⎝⎭，解之得：t＝36 17，Ⅲ．当t＞4时，△ORE不可能为直角三角形．故使得△ORE为直角三角形时，t的值为：4或36 17，【点睛】本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．24．（1）30；（2）y＝﹣30x+60；（3）甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）25≤x≤56或76≤x≤2．【解析】【分析】（1）观察图形即可求得A 、B 两地间的距离；（2）乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1=k 1x ，设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2=k 2x+b 2，由待定系数法可求乙与B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的函数关系式；（3）由相遇问题的数量关系直接求出结论；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx+b ，甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x+b 3，由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可．【详解】解：（1）由题意，得A 、B 两地间的距离为30km ．故答案为：30；（2）设乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1＝k 1x ，由题意，得 30＝k 1，∴y 乙1＝30x ；设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2＝k 2x+b 2，由题意，得 22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：223060k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝-30x+60．（3）由函数图象，得（30+20）x ＝30，解得x ＝0.6．故甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1＝kx+b ，由题意，得30150.75b k b =⎧⎨=+⎩， 解得：k 20b 30=-⎧⎨=⎩， y 甲1＝﹣20x+30，设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2＝k 3x+b 3，由题意，得333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩，解得：332040k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 甲2＝﹣20x+40，当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨-⎩…时， ∴25≤x≤56； 306015102x x -+-⎧⎨⎩……， 解得：76≤x≤2． ∴25≤x≤56或76≤x≤2．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间=速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，不等式组的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．25．详见解析【解析】【分析】由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，再证明△GBF ≌△HBF 即可得到结论.【详解】证明：由作法可知BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠ABF ＝∠CBF ，∵FG ⊥AB ，FH ⊥BC ．∴∠FGB ＝∠FHB ，在△GBF 和△HBF 中，FGB FHB GBF HBF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△GBF ≌△HBF （AAS ），∴BG ＝BH ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．。

2022最新中考数学专题测试：相似三角形及应用(含解析)

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专题17 相似三角形及应用学校：___________姓名：___________班级：___________1.【江苏省南通市海安县2022模拟届九年级上学期期末考试数学试题】下列条件不能判定△ABC 与△DEF 相似的是（ ）A ．AB BC AC DE EF DF == B ．AB BCDE EF=,A D ∠=∠ C ．∠A=∠D ，∠B=∠E D ．AB BCDE EF=，∠B=∠E【考点定位】相似三角形的判定．2.【江苏省徐州市市区、铜山县2022模拟届九年级中考模拟数学试题】直线l 1∥l 2∥l 3，且l 1与l 2的距离为1，l 2与l 3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A ，B ，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线l 2交于点D ，则线段BD 的长度为（）A ．254 B ．253C ．203D ．154【答案】A ．【解析】分别过点A 、B 、D 作AF ⊥l 3，BE ⊥l 3，DG ⊥l 3，先根据全等三角形的判定定理得出△BCE ≌△ACF ，故可得出CF 及CE 的长，在Rt △ACF 中根据勾股定理求出AC 的长，再由相似三角形的判定得出△CDG ∽△CAF ，故可得出CD 的长，在Rt △BCD 中根据勾股定理即可求出BD 的长．分别过点A 、B 、D 作AF ⊥l 3，BE ⊥l 3，DG ⊥l 3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC=BC ，∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF ，∠BCE=∠CAF ， 在△BCE 与△ACF 中，EBC ACF BC ACBCE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，【考点定位】1.相似三角形的判定与性质；2.平行线之间的距离；3.全等三角形的判定与性质；4.等腰直角三角形．3.【江苏省淮安市2022模拟年中考数学试题】如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a ，b 与l 1、l 2、l 3分别相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若32=BCAB ，DE =4，则EF 的长是（ ）A ．38 B ．320C ．6D ．10 【答案】C ．【考点定位】平行线分线段成比例．4.【江苏省南京市2022模拟年中考数学试题】如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若12AD DB =，则下列结论中正确的是（ ） A ．12AE EC = B ．12DE BC = C ．1=3ADE ABC △的周长△的周长 D ．1=3ADE ABC △的面积△的面积【答案】C ．【考点定位】相似三角形的判定与性质．5.【江苏省南通市海安县2022模拟届九年级上学期期末考试数学试题】若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1：3，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为．【答案】1：9．【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．故答案为：1：9．【考点定位】相似三角形的性质．6.【江苏省扬州市2022模拟年中考数学试题】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4 cm，则线段BC=cm【答案】12【考点定位】平行线分线段成比例7.【江苏省常州市2022模拟年中考数学试题】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ：DB =1：2，DE =2，则BC 的长是．【答案】6．【考点定位】相似三角形的判定与性质．8.【江苏省无锡市2022模拟年中考数学试题】已知：如图，AD 、BE 分别是△ABC 的中线和角平分线，AD ⊥BE ，AD ＝BE ＝6，则AC 的长等于．【答案】952BACDE故答案为：952【考点定位】全等三角形的判定及性质；相似三角形的判定及性质；勾股定理. 9.【江苏省苏州市吴中、相城、吴江区2022模拟届九年级中考一模数学试题】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，6），B （8，0）．点P 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿AO 运动；同时，点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿OB 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动． （1）求运动时间t 的取值范围；（2）t 为何值时，△POQ 的面积最大？最大值是多少？（3）t 为何值时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似？【答案】(1) 0≤t ≤4；(2) 当t=3时，△POQ 的面积最大，最大值是9．(3) 当t 为125或1811时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似． 【解析】试题分析：（1）由点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿OB 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，可得：2t=8，解得：t=4，进而可得：0≤t ≤4；（2）先根据三角形的面积公式，用含有t 的式子表示△POQ 的面积=－t 2+6t ，然后根据二次函数的最值公式解答即可；试题解析：（1）∵点A （0，6），B （8，0），∴OA=6，OB=8，∵点Q 从O 出发，以每秒2个单位的速度沿OB 运动，当Q 点到达B 点时，P 、Q 两点同时停止运动， ∴2t=8，解得：t=4， ∴0≤t ≤4；（2）根据题意得：经过t 秒后，AP=t ，OQ=2t ，∴OP=OA －AP=6－t ， ∵△POQ 的面积=12•OP •OQ ，即△POQ 的面积=12×（6－t ）×2t=－t 2+6t ． ∵a=－1＜0，∴△POQ 的面积有最大值，当t=－2ba=3时，△POQ 的面积的最大值=244ac b a =9，即当t=3时，△POQ 的面积最大，最大值是9． （3）①若Rt △POQ ∽Rt △AOB 时，∵Rt △POQ ∽Rt △AOB ，∴PO OQ AO OB =，即6268t t -=，解得：t=125②若Rt △QOP ∽Rt △AOB 时， ∵Rt △QOP ∽Rt △AOB ，∴PO OQ OB AO =，即6286t t -=，解得：t=1811．所以当t 为125或1811时，以点P 、0、Q 为顶点的三角形与Rt △AOB 相似． 【考点定位】相似三角形与一次函数综合题．10.【江苏省南京市2022模拟年中考数学试题】如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CDCD BD=．（1）求证：△ACD ∽△CBD ； （2）求∠ACB 的大小．【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°． 【解析】【考点定位】相似三角形的判定与性质．。

2023年中考数学----《相似综合》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----《相似综合》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

2023年中考数学----《相似综合》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 比例的性质：①基本性质：两内项之积等于量外项之积。

即若d c b a ::=，则ad bc =。

②合比性质：若d c b a =，则dd c b b a +=+。

③分比性质：若d c b a =，则dd c b b a −=−。

④合分比性质：若d c b a =，则dc d c b a b a −+=−+。

⑤等比性质：若n m d c b a ===...，则n m d c b a n d b m c a ====++++++.........。

2. 平行线分线段成比例：三条平行线被两条直线所截，所得的对应线段成比例。

即如图：有EFDE BC AB =； DFDE AC AB =； DFEF AC BC =。

推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

②如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

③平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等。

对应边的比叫做相似比。

②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比。

4.相似三角形的判定：①平行线法判定：平行于三角形一边的直线与三角形的另两边或另两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似。

②对应边判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似。

③两边及其夹角判定法：两组对应边的比相等，且这两组对应边的夹角相等的两个三角形相似。

④两角判定：有两组角（三组角）对应相等的两个三角形相似。

练习题1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB ＝∠AED ，∴∠C ＝∠AED ，∵AD ⊥BE ，∴∠D ＝∠ABC ＝90°，∴△ADE ∽△ABC ．2．如图，在△ABC 与△A ′B ′C ′中，点D 、D ′分别在边BC 、B ′C ′上，且△ACD ∽△A ′C ′D ′，若 ，则△ABD ∽△A ′B ′D ′． 请从①''''=D C D B CD BD ；②''''=D C B A CD AB ；③∠BAD ＝∠B ′A ′D ′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【分析】利用相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似可证明．【解答】解：③．理由如下：∵△ACD ∽△A ′C ′D ′，∴∠ADC ＝∠A 'D 'C '，∴∠ADB ＝∠A 'D 'B '，又∵∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，∴△ABD ∽△A 'B 'D '．同理，选①也可以．故答案是：③（答案不唯一）．3．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF ＝BE ，求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，利用SAS证明△ACE≌△ABF，根据全等三角形的性质即可得解；（2）利用全等三角形的性质，结合题意证明△ACE∽AFQ，△CAF∽△BFQ，根据相似三角形的性质即可得解．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF﹣EF＝BE﹣EF，即CE＝BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE＝∠BAF；（2）∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵AE2＝AQ•AB，AC＝AB，∴＝，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEF＝∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE，∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴＝，即CF•FQ＝AF•BQ．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点E是DC边上的任一点（不包括端点D，C），过点A作AF⊥AE交CB的延长线于点F，设DE＝a．（1）求BF的长（用含a的代数式表示）；（2）连接EF交AB于点G，连接GC，当GC∥AE时，求证：四边形AGCE是菱形．【分析】（1）根据矩形的性质可得∠ADE＝∠ABF，∠∠DAE+∠BAE＝90°，结合题干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE＝90°，进而可得∠DAE＝∠BAF，进而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得BF的长度；（2）先根据AG∥CE，GC∥AE进而可得四边形AGCE是平行四边形，通过勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再过点G作GM⊥AF于点M，易得△MGF∽△AEF，进而利用相似三角形的性质可得GM的长，即可得GM＝GB，进而可得GF是∠AFB的角平分线，最后利用角平分线得性质可得EA＝EC，即可得平行四边形AGCE是菱形．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠BAE＝90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAF，∴△ADE∽△ABF，∴，即，∴BF＝2a，（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AG∥CE，∵GC∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．∴AG＝CE＝8﹣a，∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，如图，过点G作GM⊥AF于点M，∴GM∥AE，∴△MGF∽△AEF，∴，∴，∴＝，∴GM ＝a ，∴GM ＝BG ，又∵GM ⊥AF ，GB ⊥FC ，∴GF 是∠AFB 的角平分线，∴EA ＝EC ，∴平行四边形AGCE 是菱形．5．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ．已知四边形BFED 是平行四边形，41=BC DE ． （1）若AB ＝8，求线段AD 的长．（2）若△ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．【分析】（1）证明△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形对应边的比相等列式，可解答；（2）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC 的面积是16，同理可得△EFC 的面积＝9，根据面积差可得答案．【解答】解：（1）∵四边形BFED 是平行四边形，∴DE ∥BF ，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积是16，∵四边形BFED是平行四边形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面积＝9，∴平行四边形BFED的面积＝16﹣9﹣1＝6．6．如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD＝∠ABE．（1）求证：△ABC∽△AEB；（2）当AB＝6，AC＝4时，求AE的长．【分析】（1）根据两角相等可得两三角形相似；（2）根据（1）中的相似列比例式可得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．7．如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．（1）若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；（2）找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3＝∠6，从而求证BF⊥AC；（2）根据相似三角形的判定进行分析判断；（3）利用相似三角形的性质分析求解．【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF；（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．又∵∠OFB＝∠BFA，∴△OBF∽△BFA．∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF．∴，∴，即3CF＝2BF，∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，∴3OC＝2BF+9∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴，∴BF2＝OF•AF，∴BF2＝3（OA+3）②，联立①②，可得BF＝1±（负值舍去），∴DE＝BE＝2+1+＝3+．8．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sin B＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．9．【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【类比探究】如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD ，CE ．请直接写出CE BD 的值．【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，且43==DE AD BC AB ．连接BD ，CE ． （1）求CEBD 的值； （2）延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin ∠BFC 的值．【分析】【问题呈现】证明△BAD CAE ，从而得出结论；【类比探究】证明△BAD ∽△CAE ，进而得出结果；【拓展提升】（1）先证明△ABC ∽△ADE ，再证得△CAE ∽△BAD ，进而得出结果；（2）在（1）的基础上得出∠ACE ＝∠ABD ，进而∠BFC ＝∠BAC ，进一步得出结果．【解答】【问题呈现】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠DAE ＝∠BAC ＝60°，∴∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝CE ；【类比探究】解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE ＝∠BAC ＝45°，∴∠DAE ﹣∠BAE ＝∠BAC ﹣∠BAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ∽△CAE ，∴＝＝；【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，，∴∠CAE ＝∠BAD ，∴△CAE ∽△BAD ，∴＝＝；（2）由（1）得：△CAE ∽△BAD ，∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠AGC ＝∠BGF ，∴∠BFC ＝∠BAC ，∴sin ∠BFC ＝＝．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．（1）当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；（2）若BF EF＝2，求ND AN的值；（3）若MN ∥BE ，求NDAN 的值． 【分析】（1）根据矩形的性质，利用AAS 证明△BMF ≌△ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的中点，即可证明结论；（2）利用△BMF ∽△ECF ，得，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得，求出AN 的长，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF ＝∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得，可得BM 的长，由（2）同理可得答案．【解答】（1）证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝DE ，∴BM ＝CE ＝DE ，∵AB ＝CD ，∴AM ＝CE ；（2）解：∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；（3）解：∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴＝，由（2）同理得，，∴，解得AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴＝．11．在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE 交BC于O，连接GD．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．【分析】（1）连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．证明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝DG，∠AEG ＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGC，推出＝，可得结论；（2）过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．证明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGT，推出＝，可得结论．【解答】（1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠AFB＝∠BAF＝45°，∴BA＝BF，∵BE＝CF，∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，∵AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，∵AD∥FC，AG＝GF，∴DJ＝JC，∵GJ⊥CD，∴GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG＝∠GCO，∴∠OEB＝∠OCG，∵∠BOE＝∠GOC，∴△OBE∽△OGC，∴＝，∵GC＝GD，BE＝CF，∴BO•GD＝GO•FC；（2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAG＝∠BAF，∴BAF＝∠AFB，∴AE ＝AB +BE ＝BF +CF ＝BC ＝AD ， ∵AG ＝AG ，∴△EAG ≌△DAG （SAS ）， ∴∠AEG ＝∠ADG ， ∵AD ∥FT ，AG ＝GF ， ∴DJ ＝JT ， ∵GJ ⊥DT ， ∴GD ＝GT ， ∴∠GDT ＝∠GTD ， ∵∠ADT ＝∠BTD ＝90°， ∴∠ADG ＝∠GTO ， ∴∠OEB ＝∠OTG ， ∵∠BOE ＝∠GOT ， ∴△OBE ∽△OGT ， ∴＝，∵GT ＝GD ，BE ＝CF ， ∴BO •GD ＝GO •FC ． 12．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD 是△ABC 的角平分线，可证CDBDAC AB =．小慧的证明思路是：如图2，过点C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于点E ，构造相似三角形来证明CDBDAC AB =．（1）请参照小慧提供的思路，利用图2证明：CDBDAC AB =； 应用拓展：（2）如图3，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是边BC 上一点．连接AD ，将△ACD 沿AD 所在直线折叠，点C 恰好落在边AB 上的E 点处． ①若AC ＝1，AB ＝2，求DE 的长；②若BC ＝m ，∠AED ＝α，求DE 的长（用含m ，α的式子表示）．【分析】（1）证明△CED ∽△BAD ，由相似三角形的性质得出，证出CE ＝CA ，则可得出结论；（2）①由折叠的性质可得出∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝DE ，由（1）可知，，由勾股定理求出BC＝，则可求出答案；②由折叠的性质得出∠C ＝∠AED ＝α，则tan ∠C ＝tan α＝，方法同①可求出CD ＝，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵CE ∥AB ， ∴∠E ＝∠EAB ，∠B ＝∠ECB ， ∴△CED ∽△BAD ， ∴，∵∠E ＝∠EAB ，∠EAB ＝∠CAD ， ∴∠E ＝∠CAD ， ∴CE ＝CA ，（2）解：①∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，又∵AC＝1，AB＝2，∴，∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝，∴BD+CD＝，∴3CD＝，∴CD＝；∴DE＝；②∵将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，∴tan∠C＝tanα＝，由（1）可知，，∴tanα＝，∴BD＝CD•tanα，又∵BC＝BD+CD＝m，∴CD•tanα+CD＝m，∴CD＝，∴DE ＝．13．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，BF ＝CF ，AF 交DE 于点G ，求证：DG ＝EG ．【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD ，CG ．若CG ⊥DE ，CD ＝6，AE ＝3，求BCDE的值． 【拓展提高】（3）如图3，在▱ABCD 中，∠ADC ＝45°，AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG ∥BD 交AD 于点G ，EF ⊥EG 交BC 于点F ．若∠EGF ＝40°，FG 平分∠EFC ，FG ＝10，求BF 的长．【分析】（1）证明△AGD ∽△AFB ，△AFC ∽△AGE ，根据相似三角形的性质得到＝，进而证明结论；（2）根据线段垂直平分线的性质求出CE ，根据相似三角形的性质计算，得到答案；（3）延长GE 交AB 于M ，连接MF ，过点M 作MN ⊥BC 于N ，根据直角三角形的性质求出∠EFG ，求出∠MFN ＝30°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵DE ∥BC ， ∴△AGD ∽△AFB ，△AFC ∽△AGE ， ∴＝，＝，∴＝，∵BF ＝CF ， ∴DG ＝EG ；（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，∴CE＝CD＝6，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝；（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，∵MG∥BD，∴ME＝GE，∵EF⊥EG，∴FM＝FG＝10，在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，∵FG平分∠EFC，∴∠GFC＝∠EFG＝50°，∵FM＝FG，EF⊥GM，∴∠MFE＝∠EFG＝50°，∴∠MFN＝30°，∴MN＝MF＝5，∴NF＝＝5，∵∠ABC＝45°，∴BN＝MN＝5，∴BF＝BN+NF＝5+5．14．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE；（2）如图2，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．【分析】（1）由矩形的性质及直角三角形的性质证出∠DCE＝∠AEF，根据相似三角形的判定可得出结论；（2）①连接AM，由直角三角形的性质得出MB＝CM＝GM＝，则点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，由勾股定理求出AM＝5，则可得出答案；②方法一：过点M作MN∥AB交FC于点N，证明△CMN∽△CBF，由相似三角形的性质得出，设AF＝x，则BF＝4﹣x，得出MN＝BF＝（4+x），证明△AFG∽△MNG，得出比例线段，列出方程，解得x＝1，求出AF＝1，由（1）得，设DE＝y，则AE＝6﹣y，得出方程，解得y＝3+或y＝3﹣，则可得出答案．方法二：过点G作GH∥AB交BC于点H，证明△MHG∽△MBA，由相似三角形的性质得出，求出GH＝，MH＝，证明△CHG∽△CBF，得出，求出FB＝3，则可得出AF＝1，后同方法一可求出DE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED+∠DCE＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，∴△AEF∽△DCE；（2）解：①连接AM，如图2，∵BG⊥CF，∴△BGC是直角三角形，∵点M是BC的中点，∴MB＝CM＝GM＝，∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上，当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于第三边得：AG+GM＞AM，当A，G，M三点共线时，AG+GM＝AM，此时，AG+GM取得最小值，在Rt△ABM中，AM＝＝＝5，∴AG+GM的最小值为5．②如图3，过点M作MN∥AB交FC于点N，∴△CMN∽△CBF，∴，设AF＝x，则BF＝4﹣x，∴MN＝BF＝（4﹣x），∵MN∥AB，∴△AFG∽△MNG，∴，由（2）可知AG+GM的最小值为5，即AM＝5，又∵GM＝3，∴AG＝2，∴，解得x ＝1， 即AF ＝1， 由（1）得，设DE ＝y ，则AE ＝6﹣y ， ∴，解得：y ＝3+或y ＝3﹣， ∵0＜6，0＜3﹣＜6， ∴DE ＝3+或DE ＝3﹣．15．已知矩形ABCD ，点E 为直线BD 上的一个动点（点E 不与点B 重合），连接AE ，以AE 为一边构造矩形AEFG （A ，E ，F ，G 按逆时针方向排列），连接DG ．（1）如图1，当1==AE AGAB AD 时，请直接写出线段BE 与线段DG 的数量关系与位置关系； （2）如图2，当2==AEAGAB AD 时，请猜想线段BE 与线段DG 的数量关系与位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG ，EG ，分别取线段BG ，EG 的中点M ，N ，连接MN ，MD ，ND ，若AB ＝5，∠AEB ＝45°，请直接写出△MND 的面积．【分析】（1）证明△BAE ≌△DAG ，进一步得出结论； （2）证明BAE ∽△DAG ，进一步得出结论；（3）当点E在线段BD上时，解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2）可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可证得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果；同理可得点E在DB的延长线时的情形．【解答】解：（1）由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（2）BE＝，BE⊥DG，理由如下：由（1）得：∠BAE＝∠DAG，∵＝＝2，∴△BAE∽△DAG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，∴∠BDG＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图，当B在线段BD上时，作AH⊥BD于H，∵tan∠ABD＝，∴设AH＝2x，BH＝x，在Rt△ABH中，x2+（2x）2＝（）2，∴BH＝1，AH＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠AEB＝，∴，∴EH＝AH＝2，∴BE＝BH+EH＝3，∵BD＝＝5，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，由（2）得：，DG⊥BE，∴DG＝2BE＝6，∴S△BEG＝＝＝9，在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，∴DM＝GM＝，∵NM＝NM，∴△DMN≌△GMN（SSS），∵MN是△BEG的中位线，∴MN∥BE，∴△BEG∽△MNG，∴＝（）2＝，∴S△MND＝S△MNG＝S△BEG＝，如图，同上可得：BE＝EH﹣BH＝2﹣1＝1，DG＝2BE＝2，∴＝1，∴S△BEG＝，综上所述：△DMN的面积是或．。

【2021中考数学】四边形综合：动点与相似(一)含答案

【2021中考数学】四边形综合：动点与相似(一)含答案

2021年中考数学一轮复习专题《四边形综合：动点与相似》1．[学习概念]有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形．[理解运用]（1）如图1，在对余四边形ABCD中，连接AC，∠D＝30°，∠ACD＝105°，AB ＝AC，求∠BAD的度数；（2）如图2，在凸四边形ABCD中，DA＝DB，DA⊥DB，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形？并证明你的结论；（3）[拓展提升]如图3，在对余四边形ABCD中，∠A＝45°．∠ABD+∠BDC＝180°，BC＝4．求AB+CD的长．2．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．3．已知：如图，在菱形ABCD中，E、G在直线AC上，F在直线BD上，M、N分别为EF、DG的中点，若OM⊥ON，且OM＝ON．（1）求证：OD＝OE；（2）若GD的延长线过M点，∠ABC＝120°，AB＝4，求DF的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，以B为顶点，作∠CBE＝∠ACB交DC延长线于点E（1）求证：四边形ABEC是矩形；（2）若AB＝6，BC＝10，点P从点E出发，沿E→C→B方向，以每秒1个单位的速度向终点B运动；点Q从点D出发，沿D→C→A方向，以每秒2个单位的速度向终点A运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动．设运动时间为t（s）．若△APD是等腰三角形，求t的值．5．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF ＝CE，将线段FA绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF的数量关系和位置关系．【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段FA绕点F 顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）6．已知点E，F分别是平行四边形ABCD的边BC，CD上的点，∠EAF＝60°．（1）如图1，若AB＝2，AF＝5，点E与点B，点F与点D分别重合，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求证：AE＝AF；（3）如图3，若BE＝CE，CF＝3DF，AB＝4，AF＝6，求AE的长度．7．如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．（1）请说明△ADE≌△FCE；（2）试说明AM＝BC+MC；（3）设S△AEM＝S1，S△ECM＝S2，S△ABM＝S3，试探究S1，S2，S3，三者之间的等量关系，并说明理由．8．在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），动点E 沿边AO从A向O以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G．（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK 是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由．（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线AD﹣DB向终点B运动，当点P不与点D重合时，将线段PD绕着点P顺时针旋转60°得到线段PE，连结DE，设点P的运动时间为t（s）（1）当点P在边AD上时，求PD的长（用含t的代数式表示）．（2）当△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时，求t的取值范围．（3）当直线PE截△ABC所得的四边形是轴对称图形时，求t的值．（4）设F为线段BD上的点（点F不与点D、P重合），当点F在△PDE的对称轴上，且该对称轴将△ABD分成面积比为1：8的两部分时，直接写出DF的长．10．勾股定理是数学史上非常重要的一个定理．早在2000多年以前，人们就开始对它进行研究，至今已有几百种证明方法．在欧几里得编的《原本》中证明勾股定理的方法如下，请同学们仔细阅读并解答相关问题：如图，分别以Rt△ABC的三边为边长，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI．（1）连接BI、CE，求证：△ABI≌△AEC；（2）过点B作AC的垂线，交AC于点M，交IH于点N．①试说明四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等；②请直接写出图中与正方形BCFG的面积相等的四边形．（3）由第（2）题可得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝的面积，即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是对余四边形，依题意得，∠B+∠D＝90°，∵∠D＝30°，∴∠B＝90°﹣∠D＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠ACD＝105°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝165°，在四边形ABCD中，∠BAD＝360°﹣∠B﹣∠ACD﹣∠D＝360°﹣60°﹣165°﹣30°＝105°；（2）四边形ABCD为对余四边形，证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠ABD＝45°，如图2，过点D作DM⊥CD，使CD＝CM，连接CM，BM，∴∠DMC＝∠DCM＝45°，∵∠ADB＝∠CDM＝90°，∴∠ADB+∠BDC＝∠CDM+∠BDC，∴∠ADC＝∠BDM．在△ADC和△BDM中，，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM．在Rt△MDC中，根据勾股定理得，CM2＝CD2+DM2＝2CD2，∵2CD2+CB2＝AC2，∴CM2+CB2＝BM2，∴△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°，∵∠DCM＝45°，∴∠DCB＝∠BCM﹣∠DCM＝45°，∴∠DCB+∠DAB＝90°，∴四边形ABCD为对余四边形；（3）如图3，过点B作BE⊥BC交CD的延长线于点E，∵四边形ABCD为对余四边形，依题意得，∠A+∠C＝90°，∵∠A＝45°，∴∠C＝∠E＝45°＝∠A，∵∠ABD+∠BDC＝180°，∠BDE+BDC＝180°，∴∠ABD＝∠EDB，在△ABD和△EDB中，，∴△ABD≌△EDB（AAS），∴AB＝ED，EB＝BC＝4，在Rt△EBC中，根据勾股定理得，BE2+BC2＝CE2，∴CE＝4，即AB+CD＝4．2．解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG＝HE，∠EAH＝∠D＝90°，∵∠DHG+∠AHE＝90°，∠DHG+∠DGH＝90°，∴∠DGH＝∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG＝AH＝2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG（AAS），∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此S△FCG＝×FM×GC＝×2×（7﹣6）＝1；（3）设DG＝x，则由（2）得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为7﹣，此时DG＝，∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（7﹣）．3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠EOF＝∠COD＝90°，∵M、N分别为EF、DG的中点，∴OM＝EF＝EM＝FM，ON＝DG＝DN＝CN，∴∠F＝∠MOF，∠G＝∠NOG，∵OM⊥ON，∴∠MOF＝∠NOG，∴∠F＝∠G，∵OM＝ON，∴EF＝DG，在△OEF和△ODG中，，∴△OEF≌△ODG（AAS），∴OD＝OE；（2）解：GD的延长线过M点，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADC＝∠ABC＝120°，AC⊥BD，OD＝OB，∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∴OD＝BD＝2，由（1）得：∠F＝∠G，∵∠G+∠ODG＝90°，∠MDF＝∠ODG，∴∠F+∠MDF＝90°，∴∠DMF＝90°，∴DM⊥EF，作OH⊥DM于H，则DH∥FM，∵OM＝ON，OM⊥ON，∴OH＝MN＝MH，∴FM＝OM＝OH，∵OH∥FM，∴△DMF∽△DHO，∴＝＝，∴DF＝OD＝2．4．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵∠CBE＝∠ACB，∴AC∥BE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠BAC＝90°，∴四边形ABEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∵四边形ABEC是矩形，∴CE＝AB＝6，若△APD是等腰三角形，则有：（i）当DP＝AD，此时有12﹣t＝10，解得t＝2；（ii）当AP＝AD，此时有AD＝AE＝10，解得t＝0；（iii）当AP＝DP时，如图，过点P作PM⊥AD于点M，则DM＝AM＝5，∴．在Rt△PDM中，，∴．综上，若△APD是等腰三角形，t值为2或0或．5．【观察与猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°，由旋转的性质得：GC＝AC，∠ACG＝90°，∴∠ACB＝∠GCD＝45°，在△ABC和△GDC中，，∴△ABC≌△GDC（SAS），∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝CD＝BC，∵点E与点D重合，点F与点C重合，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：EG＝BF，EG∥BF；【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置时，如图③所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图④所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；【拓展与延伸】解：＝＝k（k≠1）时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立；理由如下：作GM⊥BC，交BC延长线于M，如图⑤所示：则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BFA＝90°，∠B＝∠GMF，由旋转的性质得：∠AFG＝90°，∴∠BFA+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，∴＝＝，∵＝＝k，∴＝＝k，＝＝k，∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：＝＝k（k≠1）．6．（1）解：过点B作BH⊥AD于H，如图1所示：在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，∴∠ABH＝30°，∵AB＝2，∴AH＝1，BH＝＝＝，∴S＝AD×BH＝AF×BH＝5×＝5；▱ABCD（2）证明：连接AC，如图2所示：∵AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，∴四边形ABCD是菱形，∴∠ACF＝∠ACB＝60°，∴∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF；（3）解：延长AE交DC延长线于P，过点F作FG⊥AP于G，如图3所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＝∠ECP，在△ABE和△PCE中，，∴△ABE≌△PCE（ASA），∴AE＝PE，PC＝AB＝CD＝4，∵CF＝3DF，∴CF＝3，∴PF＝7，在Rt△AFG中，AF＝6，∠EAF＝60°，∴∠AFG＝30°，∴AG＝AF＝3，FG＝＝＝3在Rt△PFG中，由勾股定理得：PG＝＝＝，∴AP＝AG+PG＝3+，∴AE＝PE＝AP＝．7．证明：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵E是边CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF＝BC，又∵ME⊥AF，∴AM＝FM，∵FM＝MC+CF，∴AM＝BC+CM；（3）S3＝2S1﹣4S2，理由如下：∵S△ABM＝×AB×（BC﹣CM）＝×AB×BC﹣×AB×CM，∴S3＝×AB×BC﹣×AB×CM，∵S△AMF＝×AB×（MC+CF）＝AB×MC+AB×BC，∴S△AEM＝S△AMF＝S1＝AB×MC+AB×BC，∵S△EMC＝×CM×EC，∴S2＝CM×AB＝×AB×CM，∴S3＝2S1﹣4S2．8．解：（1）AF＝DE．理由如下：∵四边形OADC是正方形，∴OA＝AD，∠DAE＝∠AOF＝90°，由题意得：AE＝OF，在△AOF和△DAE中，，∴△AOF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE．（2）四边形HIJK是正方形．理由如下：如图①所示：∵H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，HI∥AF，HK∥ED，∵AF＝DE，∴HI＝KJ＝HK＝IJ，∴四边形HIJK是菱形，∵△AOF≌△DAE，∴∠ADE＝∠OAF，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠OAF+∠AED＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥ED，∵HI∥AF，HK∥ED，∴HI⊥HK，∴∠KHI＝90°，∴四边形HIJK是正方形．（3）存在，理由如下：∵四边形OADC为正方形，点D的坐标为（4，4），∴OA＝AD＝OC＝4，∴C（4，0），∵点E为AO的中点，∴OE＝2，E（0，2）；分情况讨论：如图②所示：①当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的对角线时，OC与MN互相垂直平分，则M 为CE的中点，∴点M的坐标为（2，1），∵点M和N关于OC对称，∴N（2，﹣1）；②当OC是以O，C、M、N为顶点的菱形的边时，若CM为边且M在第一象限（点C的左上方），点N的坐标为（﹣2，1）；若M在y轴的左侧时，∵四边形OCM'N'是菱形，∴OM'＝OC＝4，M'N'∥OC，∴△M'FE∽△COE，∴＝＝2，设EF＝x，则M'F＝2x，OF＝x+2，在Rt△OM'F中，由勾股定理得：（2x）2+（x+2）2＝42，解得：x＝，或x＝﹣2（舍去），∴M'F＝，FN＝4﹣M'F＝，OF＝2+＝，∴N'（，）；若M在y轴的右侧时，a、由①得：N的坐标为（﹣2，1）；b、作N''P⊥OC于P，∵ON''∥CM''，∴∠PON''＝∠OCE，∴tan∠PON''＝＝tan∠OCE＝＝，设PN''＝y，则OP＝2y，在Rt△OPN''中，由勾股定理得：y2+（2y）2＝42，解得：y＝，∴PN''＝，OP＝，∴N''（，﹣），N'''（﹣，）；综上所述，存在点N使以O，C、M、N为顶点的四边形是菱形，点N的坐标为（2，﹣1）或（，）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣2，1）．9．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，．∴．在Rt△BCD中，∠C＝90°，．∴．∴AD＝2．∴PD＝2﹣2t．（2）如图1中，当点E在边AB上时，PE＝PD＝AP．∴2t＝1．∴．∴当时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．如图2中，当点E与点C重合时，AD+PD＝AC．∴2t＝3∴．∴当时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．综上所述，当或时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．也可以写成：当且t≠1时，△PDE与△ABC重叠部分图形是轴对称图形．（3）如图③，当0≤t＜1时，四边形CPMB为轴对称图形，则CP＝CB．∴．解得．如图④，当1＜t≤2时，四边形CAMN为轴对称图形，则AM＝AC．∴．解得．综上所述，满足条件的t的值为或．（4）如图5中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB＝8：9时，可得＝，∴DF＝，如图6中，当DE的垂直平分线经过点F，且S△DPF：S△DAB＝1：9时，可得＝，∴DF＝，如图7中，当DP的垂直平分线经过点F，且S△BFM：S△BDA＝1：9时，可得•BF•FM＝××2×，∴BF•BF＝，∴BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝2﹣，综上所述，或或．10．（1）证明：∵四边形ABDE、四边形ACHI是正方形，∴AB＝AE，AC＝AI，∠BAE＝∠CAI＝90°，∴∠EAC＝∠BAI，在△ABI和△AEC中，，∴△ABI≌△AEC（SAS）；（2）①证明：∵BM⊥AC，AI⊥AC，∴BM∥AI，∴四边形AMNI的面积＝2△ABI的面积，同理：正方形ABDE的面积＝2△AEC的面积，又∵△ABI≌△AEC，∴四边形AMNI与正方形ABDE的面积相等．②解：四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等，理由如下：连接BH，过H作HP⊥BC于P，如图所示：易证△CPH≌△ABC（AAS），四边形CMNH是矩形，∴PH＝BC，∵△BCH的面积＝CH×NH＝BC×PH，∴CH×NH＝BC2，∴四边形CMNH与正方形BCFG的面积相等；（3）解：由（2）得：正方形ABDE的面积+正方形BCFG的面积＝正方形ACHI的面积；即在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2；故答案为：正方形ACHI，AC2．。

2024年黑龙江鸡西中考数学试题及答案

2024年黑龙江鸡西中考数学试题及答案

2024年黑龙江鸡西中考数学试题及答案考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列计算正确的是（ ）A. 326a a a ⋅=B. ()527a a =C. ()339328a b a b -=-D.()()22a b a b a b -++=-【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可．【详解】解：A 、3256a a a a ⋅=≠，故选项A 计算错误，此选项不符合题意；B 、()52107a a a =≠，故选项B 计算错误，此选项不符合题意；C 、()339328a b a b -=-，此选项计算正确，符合题意；D 、 ()()()()22a b a b b a b a b a -++=-+=-，故选项D 计算错误，此选项不符合题意；故选：C ．2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．故选：B．3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．4. 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A. 1B. 0.8C. 0.6D. 0.5【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．【详解】平均数为：()233443+++÷=方差为：()()()()222221233333434S ⎡⎤=⨯-+-+-+-⎣⎦()110014=⨯+++0.5=故选：D ．5. 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 4m ≤ B. 4m ≥ C. 4m ≥-且2m ≠ D. 4m ≤且2m ≠【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，解得：4m ≤，m ∴取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．6. 已知关于x 的分式方程2333x x kx -=--无解，则k 的值为（ ）A. 2k =或1k =- B. 2k =- C. 2k =或1k = D. 1k =-【答案】A【解析】【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，2(3)3kx x --=-，整理得，(2)9k x -=-，的当2k =时，方程无解，当2k ≠时，令3x =，解得1k =-，所以关于x 的分式方程2333x x kx -=--无解时，2k =或1k =-．故选：A ．7. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，利用总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，再结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，依题意得：3228x y +=，3142y x ∴=-．又x ，y 均为正整数，∴211x y =⎧⎨=⎩或48x y =⎧⎨=⎩或65x y =⎧⎨=⎩或82x y =⎧⎨=⎩，∴共有4种不同的购买方案．故选：B ．8. 如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（ ）A. 4.5B. 3.5C. 3D. 2.5【答案】A【解析】【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明AFE ODE ∽，有AF AE EF OD OE DE ==，根据E 为AO 的中点，可得AF OD =，EF DE =，进而有1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，可得6B y OD a==，2B x a =，则有32BE BD DE a =-=，问题随之得解．【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0a >，∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥，∴AF y ∥轴，DF a =，∴AFE ODE ∽，∴AF AE EF OD OE DE==，∵E 为AO 的中点，∴AE OE =，∴1AF AE EF OD OE DE===，∴AF OD =，EF DE =∴1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，∵B OD y =，∴6B y OD a==，∴2B x a =，∴2B BD x a ==，∴32BE BD DE a =-=，∴11639 4.52222ABE S AF BE a a =⨯⨯=⨯⨯== ，故选：A ．9. 如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（ ）【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线AC 与BD 交于点O ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得2OA OC OM ===，进而由菱形对角线求出边长，由sin sin MAC OBC ∠=∠=sin MC AC MAC =∠=，tan MN BM OBC =∠=．【详解】解：连接AC ，如图，∵菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，又∵点O 是BD 的中点，∴A 、O 、C 三点在同一直线上，∴OA OC =，∵2OM =，AM BC ⊥，∴2OA OC OM ===，∵8BD =，∴142OB OD BD ===，∴BC ===，21tan 42OC OBC OB ===∠，∵90ACM MAC ∠+∠=︒，90ACM OBC ∠+∠=︒，∴MAC OBC∠=∠∴sin sin OC MAC OBC BC ∠=∠===，∴sin MC AC MAC =∠=，∴BM BC MC =-=-=，∴1tan 2MN BM OBC =∠==故选：C ．10. 如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sin NBC ∠=BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（ ）A. ①②③④B. ①③⑤C. ①②④⑤D. ①②③④⑤【答案】A【解析】【分析】连接DG，可得BD AB=AC 垂直平分BD ，先证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，即可判断①；根据AC 垂直平分BD ，结合互余可证明DG FG =，即有DG FG BG ==，则可判断②正确；证明ABM DBN ∽，即有BN BD BM AB ==，可判断④；根据相似有212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，根据12AH D H =可得3AH AD =，再证明AHM CBM ∽，可得13AHM ABM S HM S BM == ，即可判断⑤；根据点H 是AD 的中点，设2AD =，即求出BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，可得23BM BH ==，即可得BN ==，进而可判断③．【详解】连接DG ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BDC BAC ADB ∠=∠=∠=︒，BD AB =90BAD ADC ∠=∠=︒，AC 垂直平分BD ，∴90CDP ∠=︒，∵DF 平分CDP ∠，∴1452CDF CDP CDB ∠=∠=︒=∠，∴90BDF CDF CDB ∠=∠+∠=︒，∵90BHF BDF ∠=︒=∠，∴点B 、H 、D 、F四点共圆，∴45HFB HDB ∠=∠=︒，DHF DBF ∠=∠，∴18045HBF HFB FHB ∠=︒-∠-∠=︒，故①正确，∵AC 垂直平分BD ，∴BG DG =，∴BDG DBG ∠=∠，∵90BDF ∠=︒，∴90BDG GDF DBG DFG ∠+∠=︒=∠+∠，∴GDF DFG ∠=∠，∴DG FG =，∴DG FG BG ==，∴点G 是BF 的中点，故②正确，∵90BHF BAH ∠=︒=∠，∴90AHB DHF AHB ABH ∠+∠=︒=∠+∠，∴DHF ABH ∠=∠，∵DHF DBF ∠=∠，∴ABH DBF ∠=∠，又∵45BAC DBC ∠=∠=︒，∴ABM DBN ∽，∴BNBDBM AB ==，∴BN =，故④正确，∴212ABM DBN S AB S BD⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，若12AH D H =，则()1122AH HD AD AH ==-，∴3AH AD =，∴13=AH AD ，即13H HA ABC AD ==，∵AD BC ∥，∴AHM CBM ∽，∴13HMAHBM BC ==，∴13AHM ABM S HM S BM == ，∴3ABM AHM S S = ，∵12ABM DBN S S = ，∴26BND ABM AHM S S S == △，故⑤错误，如图，③若点H 是AD 的中点，设2AD =，即2AB BC AD ===，∴112AH AD ==，∴BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，∴12HM AH BM BC ==，∴32HM BM BH BM BM+==，∴23BM BH ==，∵BN =，∴BN ==，∵2BC =，∴在Rt BNC △中，23NC ==，sin NC NBC BN ∠==，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A ．【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，ABM DBN ∽，是解答本题的关键．二、填空题（每小题3分，共30分）11. 国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为________．【答案】121.390810⨯【解析】【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．【详解】1 亿81.010=⨯，13908亿48121.39081010 1.390810=⨯⨯=⨯故答案为：121.390810⨯12. 在函数y =中，自变量x 的取值范围是________．【答案】3x ≥##3x≤【解析】【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，30x -≥，且20x +≠，解得，3x ≥，故答案为：3x ≥．13. 已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件_________________可使菱形ABCD 成为正方形．【答案】AC BD =或AB BC⊥【解析】【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可.【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC BD =；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC ⊥；故添加的条件为：AC BD =或AB BC ⊥．14. 七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________．【答案】35【解析】【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：123205=，故答案为：35．15. 关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．【答案】102a -≤<【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，即可得到关于a 的不等式组，然后求解即可．【详解】解：由420-≥x ，得：2x ≤，由102x a ->，得：2x a >， 不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，∴这3个整数解是0，1，2，120a ∴-≤<，解得102a -≤<，故答案为：102a -≤<．16. 如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠________︒．【答案】65【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵ AC AC =,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒-︒=︒，故答案为：65．17. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________︒．【答案】90【解析】【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式πS rl =求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【详解】根据圆锥侧面积公式：πS rl =，可得π336πl ⨯⨯=解得：12l =，2π1236π360n ⨯∴=，解得90n =，∴侧面展开图的圆心角是90︒．故答案为：90．18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是________．【答案】12+【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出BP 取最大值时B 、P 、M 三点的位置关系．取AC 的中点M ，连接PM 、BM ，利用解三角形求出BM ==，利用三角形中位线定理推出1122PM AD ==，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值．【详解】解：取AC 的中点M ，连接PM 、BM ．∵90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，∴124tan 2BC AC BAC ==÷=∠，∴122AM CM AC ===，∴BM ===，∵P 、M 分别是CD AC 、的中点，∴1122PM AD ==．如图，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值，最大值为12BM MP +=，故答案为：12+．19. 矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为________．【答案】52或72或10【解析】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC 即可．【详解】解：①点B 的对称点落在矩形对角线BD 上，如图1，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，由折叠性质可知：BB AP '⊥，∴BAP BPA BPA CBD∠+∠=∠+∠∴=BAP CBD∠∠∴3tan =tan =4CD BAP CBD BC ∠∠=，∴39tan 642BP AB BAP =∠=⨯=∴97822PC BC BP =-=-=；②点B 的对称点B '落在矩形对角线AC 上，如图2，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴532B C AC AB ''=-=-=∴452cos 52B C PC ACB '==÷=∠；③点B 的对称点B '落在矩形对角线CA 延长线上，如图3，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴538B C AC AB ''=+=+=∴4810cos 5B C PC ACB '==÷=∠；综上所述：则PC 长为52或72或10．故答案为：52或72或10．20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→ ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是________．【答案】()1,3【解析】【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A 的对应点1A ，2A ， ，12A 的坐标，发现规律即可解决问题．【详解】解： 正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，3OM MN NP OP ∴====,OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，∴，由题知，1A 的坐标是()2,0；2A 的坐标是()2,0；3A 的坐标是132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；继续滚动有，4A 的坐标是()3,2；5A 的坐标是()3,2；6A 的坐标是5,32⎛ ⎝；7A 的坐标是()1,3；8A 的坐标是()1,3；9A 的坐标是52⎫⎪⎪⎭；10A 的坐标是()0,1；11A 的坐标是()0,1；12A 的坐标是12⎛ ⎝；13A 的坐标是()2,0； 不断循环，循环规律为以1A ，2A ， ，12A ，12个为一组，2024121688÷= ，∴2024A 的坐标与8A 的坐标一样为()1,3，故答案为：()1,3．三、解答题（满分60分）21. 先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭，其中cos 60m =︒．【答案】1m -+，12【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可．【详解】解：原式()()()()21111m m m m m m-+=⋅+--1m =-+，当1cos 602m =︒=时原式12=．22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；（2）画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）【答案】（1）作图见解析，()12,3B（2）作图见解析，()23,0B -（3【解析】【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据题意画出即可；关于y 轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B 、C 以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB =，再由旋转角等于90︒，利用弧长公式即可求出．【小问1详解】解：如图，111A B C △为所求；点1B 的坐标为()2,3，小问2详解】如图，22AB C 为所求；()23,0B -，【小问3详解】AB ==，点B 旋转到点2B=．23. 如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．（1）求抛物线的解析式．（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得APC △的面积最大．若存在，请直接写出点P 坐标和APC △的面积最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+（2）存在，点P 的坐标是315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，APC △的面积最大值是278【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：【（1）将B ，C 两点坐标代入函数解析式，求出b ，c 的值即可；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，根据APC APE AOC PCOE S S S S =+- 梯形可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.【小问1详解】解：将()1,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++得，103b c c -++=⎧⎨=⎩解得：23b c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=--+【小问2详解】解：对于223y x x =--+，令0,y =则2230,x x --+=解得，123,1x x =-=，∴()3,0A -，∴3,OA =∵()0,3C ，∴3OC =，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，如图，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，∴,3,OE x AE x =-=+∴APC APE AOCPCOE S S S S =+- 梯形()111222AE PE OC PE OE OA OC =⨯++⨯-⨯()()()()2211132332333222x x x x x x =+--++--+--⨯⨯23327228x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵302-<，∴S 有最大值，∴当32x =-时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭24. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组别分组（cm ）频数A50100x <≤3B 100150x <≤m C150200x <≤20D200250x <≤14E 250300x <≤5（1）频数分布表中m = ，扇形统计图中n = ．（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在 组别．（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm 为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？【答案】（1）8，40（2）C （3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人【解析】【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，（1）用A 组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B 组的人数，用C 组的人数除以总人数即可求解；（2）根据中位数的求法，即可求解；（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．【小问1详解】解：被抽取的学生数为：36%50÷=(人)故503201458m =----=（人），%205040%n =÷=，即40n =，故答案为：8，40；【小问2详解】解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，382526+<< ，5142526+<<，∴把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C 组，故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C 组，答案为：C ；【小问3详解】解：14560022850+⨯=（人）答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人．25. 甲、乙两货车分别从相距225km 的A 、B 两地同时出发，甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，乙货车沿同一条公路从B 地驶往A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h ，乙货车的速度是 km/h ；（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．【答案】（1）30，40（2）EF 的函数解析式是()802154 5.5y x x =-≤≤（3）经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，乙货车到达配货站路程为120km ，到达后返回，所用时间为6h ，根据速度=距离÷时间即可得；（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象结合已知条件可知(4,105)E 和点(5.5,225)F ，再利用待定系数法求出y 与x 的关系式即可得答案；（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B 地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x 的值即可得答案．【小问1详解】解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，所以甲货车到达配货站之前的速度是105 3.5=30÷（km/h ）∴乙货车到达配货站路程为225105=120(km)-，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，总路程为240km ，总时间是6h ，∴乙货车速度240640km /h =÷=，故答案为：30；40【小问2详解】甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象可知(4,105)E 和点(5.5,225)F 设(4 5.5)EF y kx b x =+≤≤∴41055.5225k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：21580b k =-⎧⎨=⎩，∴甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式()802154 5.5y x x =-≤≤【小问3详解】设甲货车出发h x ，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：1053012040x x -=-，解得：32x =,②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：1053040120x x -=-，解得：4514x =，③甲货车在配货站卸货后驶往B 地时：0802151054012x x =---，解得：5x =，答：经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等．26. 已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN 、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．【答案】图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=；图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=；证明见解析【解析】【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，构造全等三角形，得出AN AQ =，CAN QAB ∠=∠，再证明AQM ANM △≌△，得到MN QM =；在Rt QHM △中由勾股定理得222QH HM QM +=，即22212BM BQ QM ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，整理可得结论；选③方法同②【详解】解：图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=证明：∵,60,AB AC BAC =∠=︒∴ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ=ACN ABQ∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB∠=∠又30CAN BAM ∠+∠=︒30BAM QAB ∴∠+∠=︒即QAM MAN∠=∠又AM AM = ，AQM ANM ∴△≌△，MN QM ∴=；∵60,60,ABQ ABC ∠=︒∠=︒∴60QBH ∠=︒，∴30,BQH ∠=︒12B BH Q ∴=，QH BQ =∴12HM BM BH BM BQ =+=+，在Rt QHM △中,可得：222QH HM QM +=即22212BM BQ QM ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭整理得222BM BQ B Q M M B Q ⋅++=222NC B M N N B M M C ∴=⋅++图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=证明：以点B 顶点在ABC 外作30ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，为AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ=ACN ABQ∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB∠=∠又60CAN BAM ∠+∠=︒60BAM QAB ∴∠+∠=︒即QAM MAN∠=∠又AM AM = ，AQM ANM ∴△≌△，MN QM∴=在Rt BQH 中，60QBH ∠=︒，30BQH ∠=︒12B BH Q ∴=，QH BQ =12HM BM BH BM BQ =-=-，在Rt QHM △中,可得：222QH HM QM +=即22212BQ BM BQ QM ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭整理得222BM BQ B Q M M B Q ⋅+-=222NC B M N N B M M C ∴=⋅+-27. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元的（2）共有3种购买方案（3）学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，（1）设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；（2）设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子31002x ⎛⎫-⎪⎝⎭个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）设商家获得总利润为y 元，即有一次函数3541002y x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，根据一次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元．由题意得：1052001510325a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1510a b =⎧⎨=⎩，答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；【小问2详解】解：设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子1000153100102x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭个．由题意得：3510023161002x x x x ⎧⎛⎫≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：14586417x ≤≤，x 和31002x ⎛⎫- ⎪⎝⎭均为正整数，60x ∴=，62，64，3100102x -=，7，4，∴共有3种购买方案．【小问3详解】设商家获得总利润为y 元，3541002y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，400y x =-+，10k =-< ，y ∴随x 的增大而减小，∴当60x =时，340y =最大，答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．28. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x --=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB -运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA -运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．（1）求点A 的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S =时，点M 在y 轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）点A的坐标为(A （2）()())2202233 3.6t S t t ⎧<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<<⎪⎩ （3）存在，(12,4N +，()22,4N -，(32,N -，4N ⎛⎝【解析】【分析】（1）运用因式分解法解方程求出OA 的长，根据等边三角形的性质得出6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，求出AC 的长即可；（2）分02t <≤，23t <≤和3 3.6t <<三种情况，运用三角形面积公式求解即可；（3）当2=时求出2t =，得4OP =，分OP 为边和对角线两种情况可得点N 的坐标；当2+=和+=O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形【小问1详解】解：2560x x --=，解得16x =，21x =-OA 的长度是2560x x --=的根，6OA ∴=∵OAB 是等边三角形，∴6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，在Rt AOC 中，60,AOC ∠=︒∴30,OAC ∠=︒116322OC OA ∴==⨯=，∴AC ===∴点A 的坐标为(A 【小问2详解】解：当02t <≤时．过P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴2OP t =，3OQ t =，30OPD ∴∠=︒∴,OD t =∴PD ===，211322S OQ PD t ∴=⨯⨯=⨯=；当23t <≤时，过Q 作QE OA ⊥，垂足为点E∵60,A ∠=︒∴30,AQE ∠=︒又123,AQ t =-∴13622AE AQ t ==-，QE ==又2OP t =，2122S t ⎛⎫∴=⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭。

四川中考综合模拟考试《数学试题》含答案解析

四川中考综合模拟考试《数学试题》含答案解析

四川数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上)1.-2的倒数是( )A. -2B. 12-C. 12D. 22.下列所给图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B. C. D. 3.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( )A. 越长B. 越短C. 一样长D. 随时间变化而变化 4.如今青白江投资环境，得到越来越多的境内外优质企业的青睐，外资和注册资本5000万以上的企业相比去年同期翻了一番，将5000万这个数用科学记数法表示为( )A. 65010⨯B. 7510⨯C. 8510⨯D. 9510⨯ 5.已知3( ) A. 75° B. 60° C. 45° D. 30°6.下列运算正确的是( )A. 2x 2•3x 2＝6x 2B. x 3+x 5＝x 8C. x 4÷x ＝x 3D. (x 5)2＝x 77.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论错误．．的是( )A. 0a <B. 0b <C. 0c >D. 240b ac -> 8.样本数据4，m ，5，n ，9的平均数是6，众数是9，则这组数据的中位数是( )A. 3B. 4C. 5D. 99.如图，ABC 中，//DE BC ，若:1:2AD DB =，ADE 的周长是6，则ABC 的周长是( )A. 6B. 12C. 18D. 24 10.当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x 的大小顺序是( ) A. 21x x x << B. 21x x x << C. 21x x x << D. 21x x x<< 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上)11.计算(31)(31)+-的结果等于_____________．12.如图，等边OAB 的边长为2，则点B 的坐标为_____.13.若23b a =，则a b b -的值等于_____. 14.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为10，AB ＝16，则CD 的长是__．三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上)15.(1)计算30(2)2716sin 60(2019)π︒--+-+-. (2)先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中1x =-. 16.已知23+是方程240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．17.小明调查了本校九年级300名学生到校的方式，根据调査结果绘制出统计图的一部分如图：(1)补全条形统计图;(2)求扇形统计图中表示”步行”的扇形圆心角的度数;(3)请估计在全校1200名学生中乘公交的学生人数.18.如图，有一个三角形的钢架ABC ，30A ︒∠=，C 45︒∠=，AC 2(31)m =+.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.4m 的圆形门?19.如图，已知三角形OAB 的顶点B 在x 轴的负半轴上，AB OB ⊥，点A 的坐标为(4,2)-)，双曲线k y (k 0)x=<的一支经过OA 边的中点C ，且与AB 相交于点D.(1)求此双曲线的函数表达式;(2)连结OD ，求AOD 的面积.20.将一副三角板Rt △ABD 与Rt △ACB (其中∠ABD ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝60°，∠ABC ＝45°)如图摆放，Rt △ABD 中∠D 所对的直角边与Rt △ACB 的斜边恰好重合．以AB 为直径的圆经过点C ，且与AD 相交于点E ，连接EB ，连接CE 并延长交BD 于F ．(1)求证：EF 平分∠BED ;(2)求△BEF 与△DEF 的面积的比值．四、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上)B 卷(共50分) 21.已知a 2a -_____．22.在试制某种洗发液新品种时，需要选用两种不同添加剂.现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理，通常要先从芳香度为0，1，2的三种添加剂中随杋选取一种，再从芳香度为3，4，5的三种添加剂中随机选取一种，进行搭配试验，则芳香度之和等于5的概率为____. 23.如图，在平面直角坐标系中，直线11:y x 2l =-与反比例函数k y x =的图象交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，已知A 点的纵坐标是1：将直线11:y x 2l =-沿y 向上平移后的直线2l 与反比例函数k y x =在第二象限内交于点C ，如果ABC 的面积为3，则平移后的直线2l 的函数表达式为_____.24.如图，等边三角形ABC 中，3AB =，点D 是CB 延长线上一点，且BD 1=，点E 在直线．．AC 上，当BAD CDE ∠=∠时，AE 长为_____.25.如图，线段AC ＝n +1(其中n 为正整数)，点B 在线段AC 上，在线段AC 同侧作菱形ABMN 与菱形BCEF ，点F 在BM 边上，AB ＝n ，∠ABM ＝60°，连接AM 、ME 、EA 得到△AME ．当AB ＝1时，△AME 的面积记为S 1;当AB ＝2时，△AME 的面积记为S 2;当AB ＝3时，△AME 的面积记为S 3;…;当AB ＝n 时，△AME 的面积记为S n ，当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣1＝__．五、解答题(本小题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上)26.某服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销，商销商愿意经销5000件，并且表示每降价0.1元，愿意多经销500件.服装厂决定批发价在不低于11.4元的前提下，将批发价下降0.1x 元.(1)求销售量y 与x 的关系，并求出x 的取值范围;(2)不考虑其他因素，请问厂家批发单价是多少时所获利润W 可以最大?最大利润为多少?27.已知：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ︒∠=∠=，AB AC =，AD AE =，连接BD CD CE ，，.(1)如图1所示，线段BD 与CE 的数量关系是_____，位置关系是_____;(2)在图1中，若点M 、P 、N 分别为DE DC BC 、、的中点，连接PM PN MN ，，，请判断PMN 的形状，并说明理由;(3)如图2所示，若M 、N 、P 分别为DE BC DC 、、上的点，且满足DM BN DP 1DE BC DC 3===，6BD =，连接PM PN MN ，，，则线段MN 长度是多少? 28.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于A (3，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，3)，点B 在x 轴的负半轴上，且OA 3OB =.(1)求抛物线的函数关系式;(2)若P 是抛物线上且位于直线AC 上方的一动点，求ACP 的面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)在线段OC 上是否存在一点M ，使2BM CM 2+值最小?若存在，请求出这个最小值及对应的M 点的坐标;若不存在，请说明理由.答案与解析一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上)1.-2的倒数是()A. -2B.12C. 12D. 2【答案】B【解析】【分析】根据倒数的定义求解.【详解】-2的倒数是-1 2故选B【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握2.下列所给的图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念对各选项进行逐一分析即可．【详解】A.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误;B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误;C.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误;D. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确;故选：D.【点睛】本题考查的是中心对称图形，轴对称图形.熟知中心对称图形与轴对称图形的概念是解答此题的关键．3.如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子( )A. 越长B. 越短C. 一样长D. 随时间变化而变化【答案】B【解析】 由图易得AB ＜CD ，那么离路灯越近，它的影子越短，故选B ．【点睛】本题考查了中心投影，用到的知识点为：影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．4.如今的青白江投资环境，得到越来越多的境内外优质企业的青睐，外资和注册资本5000万以上的企业相比去年同期翻了一番，将5000万这个数用科学记数法表示为( )A. 65010⨯B. 7510⨯C. 8510⨯D. 9510⨯【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数;当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】解：5000万=50000000=7510⨯.故选：B.【点睛】本题考查用科学记数法表示一个数. 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，能正确确定a 和n 是关键.5.已知sin=32，且是锐角，则等于( ) A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】 试题分析：本题只需要根据特殊角的三角函数值即可得出答案.sin60°=32，则=60°. 6.下列运算正确的是( )A. 2x 2•3x 2＝6x 2B. x 3+x 5＝x 8C. x 4÷x ＝x 3 D. (x 5)2＝x 7 【答案】C【解析】【分析】 根据同底数幂的乘除法运算法则与合并同类项法则及积的乘方运算法则逐一计算，然后再加以判断即可.【详解】A ：224236x x x ⋅=，故A 错误;B ：3x 与5x 不是同类项，无法合并，故B 错误;C ：43x x x ÷=，故C 正确;D ：()2510x x =，故D 错误;故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算与合并同类项及积的乘方运算，熟练掌握相关方法是解题关键.7.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论错误．．的是( )A. 0a <B. 0b <C. 0c >D. 240b ac ->【答案】B【解析】【分析】据抛物线的开口方向得出a 的符号，可判断A ;根据抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，得出b 的符号，可判断B ;根据抛物线与y 轴的交点情况得到c 的符号，可判断C ;根据抛物线与x 轴交点情况得到24b ac -的符号，可判断D.【详解】解：A ．由二次函数的图象开口向下可得a ＜0，故A 正确; B. 0,0,02b x a b a=-><∴>，故B 错误; C.图象与y 轴相交于正半轴，所以0c >，故C 正确;D.图象与x 轴有两个交点，所以240b ac ->，故D 正确.故选：B.【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系. 对于二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)来说，①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口;当a ＜0时，抛物线开口向下;|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左; 当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右．(简称：左同右异)③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于(0，c )．④抛物线与x 轴交点个数．△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点;△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点;△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴无交点．8.样本数据4，m ，5，n ，9的平均数是6，众数是9，则这组数据的中位数是( )A. 3B. 4C. 5D. 9【答案】C【解析】【分析】先判断出m ，n 中至少有一个是9，再用平均数求出12m n +=，即可求出这两个数，由中位数的定义排序后求中位数即可．【详解】解：∵一组数据4，m ，5，n ，9的众数为9，∴m ，n 中至少有一个是9，∵一组数据4，m ，5，n ，9的平均数为6， 45965m n ++++= ∴12m n +=∴m ，n 中一个是9，另一个是3∴这组数按从小到大排列为：3,4,5,9,9.∴这组数的中位数为：5.故选：C.【点睛】本题考查了众数、平均数和中位数的知识.能结合平均数和众数的定义对这组数据正确分析是解决此题的关键.9.如图，ABC 中，//DE BC ，若:1:2AD DB =，ADE 的周长是6，则ABC 的周长是( )A. 6B. 12C. 18D. 24【答案】C【解析】【分析】 根据:1:2AD DB =可得出:1:3AD AB =,根据//DE BC 可证明△ADE ∽△ABC ，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】:1:2AD DB =:1:3AD AB ∴=//DE BC∴△ADE ∽△ABC ，相似比为：1:3 ∴13ADE ABC C C =△△ ∴ABC 的周长是：1618.3÷= 故选：C 【点睛】本题考查比例的性质，相似三角形的性质与判定.掌握相似三角形周长比等于相似比是解决此题的关键.10.当0＜x ＜1时，x 2、x 、1x 的大小顺序是( ) A. 21x x x <<B. 21x x x <<C. 21x x x <<D. 21x x x<< 【答案】A【解析】分析：先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．详解：当0＜x＜1时，在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x，在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜1x，又∵x＜1，∴x2、x、1x的大小顺序是：x2＜x＜1x．故选A．点睛：本题主要考查了不等式，解决问题的关键是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或a bm m ＞．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上)11.计算(31)(31)+-的结果等于_____________．【答案】2【解析】【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：原式=3﹣1=2．故答案为2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键．12.如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为_____.【答案】3).【解析】【分析】过B作BD⊥OA于D，则∠BDO=90°，根据等边三角形性质求出OD，根据勾股定理求出BD，即可得出答案．【详解】解：如图，过B 作BD ⊥OA 于D ，则∠BDO=90°，∵△OAB 是等边三角形，112122OD AD OA ∴===⨯= 在Rt △BDO 中，由勾股定理得：22213BD =-=∴点B 的坐标为：3). 故答案为：3).【点睛】本题考查了等边三角形的性质，坐标与图形和勾股定理.能正确作出辅助线，构造Rt △BDO 是解决此题的关键.13.若23b a =，则a b b -的值等于_____. 【答案】12. 【解析】【分析】 根据23b a =可得32a b =，然后利用分比性质即可得解. 【详解】解：∵23b a = ∴32a b = ∴32122a b b --==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查比例的性质.熟练掌握分比性质(如果a c b d=，则a b c d b d --=)是解决此题的关键. 14.如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为10，AB ＝16，则CD 的长是__．【答案】4【解析】【分析】连接OA ，如图，利用垂径定理得到AD ＝BD ＝12AB ＝8，再利用勾股定理计算出OD ，然后计算OC ﹣OD 即可．【详解】解：连接OA ，如图，∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB ＝12×16＝8， 在Rt △OAD 中，OD ＝22108-＝6，∴CD ＝OC ﹣OD ＝10﹣6＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．三、解答题(本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上)15.(1)计算30(2)2716sin 60(2019)π︒--+-. (2)先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中1x =-. 【答案】(1)-8;(2)化简为：13x x -+，结果为：. 【解析】【分析】(1)原式第一项利用乘方进行计算，第二项化简二次根式，第三项绝对值内利用特殊角的三角函数值计算后化简绝对值，第四项利用零指数幂进行计算，将各自计算的结果相加(减);(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可.【详解】解：(1)原式=6811--+-=811+--+=-8;(2)原式=231221111x x x x x x x +--÷++-++()()()()=23(1)(1)1(3)x x x x x ++-++ =13x x -+. 当1x =-时，原式=11113--=--+. 【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值.(1)中能根据乘方、二次根式的性质、绝对值、三角函数、零指数幂分别计算是解决此问的关键;(2)中熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则是解决此问的关键.16.已知2是方程240x x c -+=的一个根，求方程的另一个根及c 的值．【答案】1x 2=1c =【解析】试题分析：设另一根为x 1,由根与系数的关系得,两根和为4,求得x 1,,再根据两根积求得常数项c.试题解析：设另一根为x 1,由根与系数的关系得:12x 4∴=1x 2∴=(2c =1c =考点：根与系数的关系.17.小明调查了本校九年级300名学生到校的方式，根据调査结果绘制出统计图的一部分如图：(1)补全条形统计图;(2)求扇形统计图中表示”步行”的扇形圆心角的度数;(3)请估计在全校1200名学生中乘公交的学生人数.【答案】(1)补全条形统计图见解析;(2)”步行”的扇形圆心角的度数为60°;(3)1200名学生中乘公交的人数约为560人.【解析】【分析】(1)先计算乘公交的学生数=300-步行人数-骑自行车人数-乘私车人数，据此补充条形统计图即可;(2)先计算步行所占调查人数的比，再计算步行扇形圆心角的度数;(3)先计算乘公交的学生占调查学生的比例，再估计1200名学生中乘公交的人数．【详解】(1)乘公交的人数为：300−50−80−30=140(人)补全的条形图如图所示：(2)”步行”的扇形圆心角的度数为：5036060300︒⨯=︒;(3)因为调查的九年级300名学生中，乘公交的学生有140人，所以乘公交的学生占调查学生的比例为：1407= 30015，所以1200名学生中乘公交的人数约为：71200=56015⨯人.答：1200名学生中乘公交的人数约为560人.【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体.能读懂条形图和扇形图，从中提取有用信息是解决本题的关键．18.如图，有一个三角形的钢架ABC ，30A ︒∠=，C 45︒∠=，AC 2(31)m =+.请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.4m 的圆形门?【答案】工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.4m 的圆形门.【解析】【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，设BD=xm ，解直角三角形求出3,AD x CD x ==，根据AD CD AC += 得出方程，求出方程即可求出BD 的长度，与2.4m 比较即可.【详解】解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.4m 的圆形门，理由是：过B 作BD ⊥AC 于D ，∵AB ＞BD ，BC ＞BD ，AC ＞AB ， ∴求出BD 长和2.4m 比较即可，设BD=xm ，∵∠A=30°，∠C=45°，∴在Rt △ABD 和Rt △BDC 中,33DC BD xm AD BD xm ====，2(31)AC m =，331)x x ∴=，解得x=2，即BD=2m ＜2.4m ，∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.4m 的圆形门．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，一元一次方程的应用.能正确作出辅助线，构造Rt △ABD 和Rt △BDC 是解决此题的关键.19.如图，已知三角形OAB 的顶点B 在x 轴的负半轴上，AB OB ⊥，点A 的坐标为(4,2)-)，双曲线k y (k 0)x=<的一支经过OA 边的中点C ，且与AB 相交于点D.(1)求此双曲线的函数表达式;(2)连结OD ，求AOD 的面积.【答案】(1)2y x-=;(2)3. 【解析】【分析】(1)根据C 为OA 的中点，由A 点的坐标求出C 点坐标，根据C 点坐标利用待定系数法可求双曲线的函数表达式;(2)根据AOD ABO DBO S S S ∆∆∆=-，分别求出ABO S ∆和DBO S ∆即可求出AOD 的面积.【详解】(1)∵点A 的坐标为(4,2)-，C 为OA 的中点，∴C 点的坐标为(2,1)-， 将C (2,1)-代入k y (k 0)x=<中得12k =-， 解得k=-2， 所以，此双曲线的函数表达式为：2y x-=; (2)∵AB OB ⊥，D 点在双曲线2y x-=上 ∴|2|12DBO S ∆-==，1142422ABO S BO AB ∆=⋅=⨯⨯= ∴413AOD ABO DBO S S S ∆∆∆=-=-=故AOD 的面积为3.【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，反比例函数比例系数k 的几何意义及应用.(1)中能利用C 为OA 的中点求出点C 坐标是解决此问的关键;(2)中理解过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连接原点，围成的三角形的面积为||2k 是解决此问的关键. 20.将一副三角板Rt △ABD 与Rt △ACB (其中∠ABD ＝∠ACB ＝90°，∠D ＝60°，∠ABC ＝45°)如图摆放，Rt △ABD 中∠D 所对的直角边与Rt △ACB 的斜边恰好重合．以AB 为直径的圆经过点C ，且与AD 相交于点E ，连接EB ，连接CE 并延长交BD 于F ．(1)求证：EF 平分∠BED ;(2)求△BEF 与△DEF 的面积的比值．【答案】(1)见解析;(23【解析】【分析】(1)利用圆周角定理证明∠AEC ＝∠ABC ＝45°即可解决问题．(2)首先证明BE 3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】(1)证明：∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠ABC ＝∠AEC ＝45°，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝∠BED ＝90°，∵∠AEC ＝∠DEF ＝45°， ∴FEB ＝∠FED ＝45°，∴EF 平分∠BED ．(2)解：∵∠BED ＝90°，∠D ＝60°，∴tan ∠D ＝BE DE 3 ∵S △BEF ＝12•BE •EF •sin45°，S △EDF ＝12•DE •EF •sin45°， ∴BEFDEF S S ＝BE DE3 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的面积和三角函数，解题的关键是掌握圆周角定理、三角形的面积和三角函数的使用.四、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上)B卷(共50分)21.已知a_____．【答案】0【解析】【分析】根据非负数性质，只有a＝0【详解】解：根据非负数的性质a2≥0，根据二次根式的意义，﹣a2≥0，故只有a＝00．故填：0．【点睛】考查了算术平方根．注意：平方数和算术平方根都是非负数，这是解答此题的关键．22.在试制某种洗发液新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用.根据试验设计原理，通常要先从芳香度为0，1，2的三种添加剂中随杋选取一种，再从芳香度为3，4，5的三种添加剂中随机选取一种，进行搭配试验，则芳香度之和等于5的概率为____.【答案】1 3 .【解析】【分析】列举出所有情况，让芳香度之和等于5的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：列表如下：所有可能出现的结果共有9种，芳香度之和等于5的结果有3种，故概率为31 93 =.故答案为：1 3 .【点睛】考查的是用列表法或树状图法求概率，能根据题意利用列表法或树状图法列出所有可能的结果是解决此题的关键. 概率=所求情况数与总情况数之比．23.如图，在平面直角坐标系中，直线11:y x 2l =-与反比例函数k y x =的图象交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，已知A 点的纵坐标是1：将直线11:y x 2l =-沿y 向上平移后的直线2l 与反比例函数k y x =在第二象限内交于点C ，如果ABC 的面积为3，则平移后的直线2l 的函数表达式为_____.【答案】1322y x =-+. 【解析】【分析】 先求出A 点坐标，根据题意可得A 、B 关于原点对称，求出B 点坐标. 设平移后的直线l 2与y 轴交于点D ，连接AD 和BD ，可知△ABC 的面积与△ABD 的面积相等.由此可求出D 点坐标. 直线2l 的一次项系数与直线1l 的一次项系数相同，它的常数项即为D 点的纵坐标.【详解】解：∵直线11:y x 2l =-经过A 点，且A 点纵坐标是1， ∴当y=1时，x=-2，∴(2,1)A -，∵反比例函数与正比例函数都关于原点中心对称，∴(2,1)B -如下图，设平移后的直线l 2与y 轴交于点D ，连接AD 和BD ，根据平移的性质12l l //，∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，∵△ABC 的面积为3，3AOD BOD S S∴+=，即()132A B OD x x +=， ∴1432OD ⨯=，解得32OD =， 即平移后的直线2l 的函数表达式为：1322y x =-+. 故答案为：1322y x =-+. 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，一次函数的平移，一次函数与几何问题.本题的关键点有两个①根据正比例函数与反比例函数的对称性求得B 点坐标;②构造△ABD ，依据△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，得到D 点的坐标.24.如图，等边三角形ABC 中，3AB =，点D 是CB 延长线上一点，且BD 1=，点E 在直线．．AC 上，当BAD CDE ∠=∠时，AE 的长为_____.【答案】2或133. 【解析】【分析】 分①在线段AC 上，②在线段AC 的延长线上两种情况讨论.对于①作EF//AB 与BC 相交于F ，证明△DFE ∽△ABD ，利用相似三角形对应边相等可求得EC ，即也可求得AE ;对于②作EF//AB 与BC 的延长线交于F ，证明△DCE ∽△ABD ，利用相似三角形对应边相等可求得EC ，即也可求得AE.【详解】解：E 点的位置有两种可能，①在线段AC 上，②在线段AC 的延长线上. E 不可能在CA 的延长线上(因为若E 在CA 的延长线上由①可知CDE ∠不可能等于BAD ∠).①若E 在线段AC 上，如图作EF//AB 与BC 相交于F ，∵ABC ∆等边三角形，3AB =，∴AC=BC=AB=3，60BAC ABC C ∠=∠=∠=︒，∴∠ABD=120°，∵EF//AB ，∴60,60CFE ABC CEF BAC ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴△EFC 为等边三角形，∠EFD=120°，设EF=FC=EC=x .∵BAD CDE ∠=∠，∠ABD=∠EFD=120°，∴△DFE ∽△ABD ， ∴EF DF BD AB= ∵1BD =，∴314BFBC FC BD x x =-+=-+=- ∴413x x -=，解得 1.x = ∴EF=FC=EC=1，∴AE=AC-EC=3-1=2;②若E 点在线段AC 的延长线上，作EF//AB 与BC 的延长线交于F.与①同理可证△EFC为等边三角形，∠ECD=120°，设EF=FC=EC=x. ∵BAD CDE∠=∠，∠ABD=∠ECD=120°，∴△DCE∽△ABD，∴EC DC BD AB=，∵1BD=，∴BD=BC+BD=4，∴413x=，解得43x=，∴EF=FC=EC=43，413333AE AC CE∴=+=+=，故答案为：2或13 3.【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定. 解题的关键是学会用分类讨论的思想，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.25.如图，线段AC＝n+1(其中n为正整数)，点B在线段AC上，在线段AC同侧作菱形ABMN与菱形BCEF，点F在BM边上，AB＝n，∠ABM＝60°，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB＝1时，△AME的面积记为S1;当AB＝2时，△AME的面积记为S2;当AB＝3时，△AME的面积记为S3;…;当AB＝n时，△AME的面积记为S n，当n≥2时，S n﹣S n﹣1＝__．【答案】2334n-【解析】【分析】根据连接BE，则BE∥AM，利用△AME的面积＝△AMB的面积即可得出S n＝34n2，S n﹣1＝34(n﹣1)2，即可得出答案．【详解】连接BE．∵菱形ABMN及菱形BCEF，∠ABM＝60°，∠FBC＝180°﹣∠ABM＝120°，∴NA∥MB，∠EBC＝60°，∴NAB＝180°﹣∠ABM＝120°，∴∠MAB＝60°，∴∠MAB＝∠EBC，∴BE∥AM，∴△AME与△AMB同底等高，∴△AME的面积＝△AMB的面积，∴当AB＝n时，△AME的面积记为S n＝S△ABM 32，S n﹣13n﹣1)2，∴当n≥2时，S n﹣S n﹣13n﹣1)232233n-;故答案为：2334n．【点睛】本题考查三角形面积求法以及菱形的性质，根据已知得出正确图形，得出S与n的关系是解题关键．五、解答题(本小题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上)26.某服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销，商销商愿意经销5000件，并且表示每降价0.1元，愿意多经销500件.服装厂决定批发价在不低于11.4元的前提下，将批发价下降0.1x 元.(1)求销售量y 与x 的关系，并求出x 的取值范围;(2)不考虑其他因素，请问厂家批发单价是多少时所获利润W 可以最大?最大利润为多少?【答案】(1)5005000y x =+，016x ≤≤;(2)批发单价是12元时所获利润W 可以最大，最大利润为20000元.【解析】【分析】(1)根据销售量=原销量+多经销的销量即可列出函数关系式，根据批发价在不低于11.4元，可得x 的取值范围;(2)根据利润W=销量×单利润即可列出函数关系式，将函数化为顶点式，根据顶点式求最值即可.【详解】解：(1)根据题意：5005000y x =+，因为批发价在不低于11.4元,所以130.111.4x -≥，解得16x ≤，又0x ≥，所以016x ≤≤.所以销售量y 与x 的关系为：5005000y x =+，x 的取值范围为016x ≤≤;(2)根据题意：22(5005000)(13100.1)5010001500050(10)20000W x x x x x =+--=-++=--+ 因为-50＜0，所以当x=10时(在x 取值范围之内)，利润最大为20000元.因为当x=10时，13-0.1x=12元所以当批发单价是12元时所获利润W 可以最大，最大利润为20000元.【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用.能根据题意得出等量关系，根据等量关系列出函数关系式是解决此题的关键.27.已知：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ︒∠=∠=，AB AC =，AD AE =，连接BD CD CE ，，.(1)如图1所示，线段BD 与CE 的数量关系是_____，位置关系是_____;(2)在图1中，若点M 、P 、N 分别为DE DC BC 、、的中点，连接PM PN MN ，，，请判断PMN 的形状，并说明理由;(3)如图2所示，若M 、N 、P 分别为DE BC DC 、、上的点，且满足DM BN DP 1DE BC DC 3===，6BD =，连接PM PN MN ，，，则线段MN 长度是多少?【答案】(1)相等，垂直;(2)PMN 为等腰直角三角形，证明见解析;(3)25MN =.【解析】【分析】(1)延长BD 与EC 相交于F ，证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形的性质可得BD=CE,ABD ACE ∠=∠，再进一步证明90DBC BCE ∠+∠=︒可得∠BFC=90°，由此可证明BD 与CE 垂直且相等;(2)结合(1)，根据中位线的定理，可推出PMN 为等腰直角三角形;(3)证明△CPN ∽△CDB ，△DPM ∽△DCE ，根据相似三角形的性质可求得NP 和MP 的值，结合(2)可证明∠NPM=90°，根据勾股定理可求得MN 的长度.【详解】解：(1)如下图延长BD 与EC 相交于F ，∵ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，∴90,90,BAD DAC EAC DAC ∠+∠=︒∠+∠=︒∴,BAD EAC ∠=∠又∵AB AC =，AD AE =∴△ABD ≌△ACE(SAS)∴BD=CE,ABD ACE ∠=∠，∵BAC 90∠=︒∴90ABC ACB ∠+∠=︒,∴ 90ABD DBC ACB ∠+∠+∠=︒∴90ACE DBC ACB ∠+∠+∠=︒,即90DBC BCE ∠+∠=︒∴90BFC ∠=︒,即BF EC ⊥.故线段BD 与CE 的数量关系是相等，位置关系是垂直.答案为:相等，垂直.(2)PMN 为等腰直角三角形，理由如下：∵点M 、P 、N 分别为DE DC BC 、、的中点，∴NP 和MP 分别为△BCD 和△ECD 的中位线， ∴11//,,//,,22NP BD NP BD MP CE MP CE == ∴,DPN FDC DPM DCE ∠=∠∠=∠，由(1)得BD=CE ，∴NP MP =，由(1)得BF EC ⊥，∴90FDC DCE ∠+∠=︒∴90DPN DPM ∠+∠=︒,即90NPM ∠=︒.∴PMN 为等腰直角三角形.(3)∵13BN DP BC DC == ∴23CP BC C DC N == 又∵∠BCD=∠BCD∴△CPN ∽△CDB ∴23CP BD N DC P ==，NPC BDC ∠=∠， ∴NP//BD ，∵6BD = ∴243NP BD ==, 同理可证△DPM ∽△DCE ，13PM DP EC DC ==，MP//EC ，∴11233PM CE BC === 与(2)同理可证90NPM ∠=︒，∴在Rt △NPM 中，根据勾股定理22224225MN NP MP =+=+=.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理.(1)中掌握全等三角形的判定定理并能灵活运用是解决此问的关键;(2)掌握三角形中位线的判定定理是解决此问的关键;(3)能根据证明三角形相似，并根据相似三角形的性质求出NP 和PM 是解题关键.本题中的难点是利用角之间的数量关系证明∠BFC 和∠MPN 为90°. 28.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于A (3，0)、B 两点，与y 轴交于点C (0，3)，点B 在x 轴的负半轴上，且OA 3OB =.(1)求抛物线的函数关系式;(2)若P 是抛物线上且位于直线AC 上方的一动点，求ACP 的面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)在线段OC 上是否存在一点M ，使2BM +的值最小?若存在，请求出这个最小值及对应的M 点的坐标;若不存在，请说明理由.【答案】(1)2y x 2x 3=-++;(2)ACP 的面积的最大值为278，此时315(,)24P -;(3)当(0,1)M 时，2BM CM 2+的最小值为2【解析】【分析】(1)根据OA 3OB =求出B 点坐标，设交点式，用待定系数法即可求出函数关系式;(2)作PD ⊥x 轴，与线段AC 相交于D ，根据APC DPC DPA S S S ∆∆∆=+表示ACP 的面积，利用二次函数的性。

初中中考数学试题及答案

初中中考数学试题及答案

初中中考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1416B. πC. √2D. 0.33333答案：C2. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-1答案：D3. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数的绝对值是它本身，这个数可能是：A. 正数B. 负数C. 零D. A或C答案：D5. 以下哪个是二次根式？A. √3xB. √x/2C. √x^2D. √x + 1答案：A6. 如果一个多项式的次数是3，那么它至少有几个项？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B7. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C8. 下列哪个是整式？A. 2x/3B. 3x^2 + 2x + 1C. √xD. x^3 - √x答案：B9. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是：A. 1B. -1C. 0D. A或C答案：D10. 一个长方体的长、宽、高分别为2、3和4，那么它的体积是：A. 24B. 26C. 28D. 30答案：A二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，这个数是______。

答案：512. 如果一个数的平方根是4，那么这个数是______。

答案：1613. 一个数的绝对值是8，这个数可能是______或______。

答案：8 或 -814. 一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式是b^2 - 4ac，当判别式大于0时，方程有______个实数解。

答案：215. 一个数列的前三项是2、5、10，如果这个数列是等差数列，那么第四项是______。

答案：17三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分）16. 解方程：2x - 5 = 3x + 1。

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练09(三角形相似大题)(30题)(解析版)

2021年上海市中考数学考点必杀500题专练09(三角形相似大题)(30题)(解析版)

2021中考考点必杀500题专练09（三角形相似大题）（30道）1．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在△ABC 中，DE△BC ，AD 2=AE•AC ．求证：（1）△BCD△△CDE ；（2）22CD AD BC AB=． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）由2·AD AE AC =，易证得ADC AED ∆∆∽，即可得ACD ADE =∠∠，又由//DE BC ，易证得ECD B ∠=∠，则可证得BCD CDE ∆∆∽；（2）由BCD CDE ∆∆∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可得CD DE BC CD=，又由//DE BC ，可得ADE ABC ∆∆∽，即可得AD DE AB BC =，继而得到结论． 【详解】证明：（1）2·AD AE AC =， ∴AD AC AE AD=， A ∠是公共角，ADC AED ∴∆∆∽，ACD ADE ∴∠=∠，//DE BC ，ADE B ∴∠=∠，BCD CDE ∠=∠，ECD B ∴∠=∠，BCD CDE ∴∆∆∽；（2）BCD CDE ∆∆∽， ∴CD DE BC CD=， 2CD DE BC∴=， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴AD DE AB BC=， ∴22CD AD BC AB=． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．（2021·上海九年级其他模拟）如下图，已知在△AB C 中，AD 平分△BAC ，EM 是AD 的中垂线，交BC 延长线于E .（1）连接AE ，证明：△EAC =△B .（2）求证：DE 2=BE ·CE .【答案】（1）证明见解析（2）2DE BE CE =⋅【详解】试题分析：（1）由中垂线的性质得，EAD EDA ∠=∠，由三角形的外角定理得出EAD B CAD ∠=∠+∠，故EAC B ∠=∠.（2）由（1）的结论∠EAC =∠B 和共公角，判断出∠EAC∠∠EBA ，根据相似三角形的性质即可得出等积式即可.试题解析：（1）EM 是AD 的中垂线，∴ EA=ED ,EAD EDA ∠=∠,又AD 平分BAC ∠，∴ CAD DAB ∠=∠EAD EAC CAD EDA B DAB∠=∠+∠∴∠=∠+∠ EAD B CAD ∠=∠+∠由上知：EAC B ∠=∠ （2在EAC ∆与EBA ∆中，,AEC BEA EAC B ∠=∠∠=∠∠∠EAC∠∠EBA ∠2,EA CE AE BE CE BE AE=⇒=⋅． 即2DE BE CE =⋅点睛：本题的关键是对于几何定理的熟悉程度，可以观察已知条件和图形的关系，第二问根据给出结论，找到要证明的相似三角形即可.3．（2021·上海九年级其他模拟）如图，AB 为△O 的直径，直线CD 切△O 于点M ，BE△CD 于点E ． （1）求证：△BME=△MAB ；（2）求证：BM 2=BE•AB ；（3）若BE=185，sin△BAM=35，求线段AM 的长．【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）8.【详解】试题分析：（1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；（2）由（1）得出的结论和直角，判断出∠BME∠∠BAM ，即可得出结论，（3）先在Rt∠BEM 中，用三角函数求出BM ，再在Rt∠ABM 中，用三角函数和勾股定理计算即可． 试题解析：（1）如图，连接OM ，∠直线CD切∠O于点M，∠∠OMD=90°，∠∠BME+∠OMB=90°，∠AB为∠O的直径，∠∠AMB=90°．∠∠AMO+∠OMB=90°，∠∠BME=∠AMO，∠OA=OM，∠∠MAB=∠AMO，∠∠BME=∠MAB；（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，∠BE∠CD，∠∠BEM=∠AMB=90°，∠∠BME∠∠BAM，∠BM BE AB BM∠BM2=BE•AB；（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，∠sin∠BAM=35，∠sin∠BME=35，在Rt∠BEM中，BE=185，∠sin∠BME=BEBM=35，∠BM=6，在Rt∠ABM 中，sin∠BAM =35， ∠sin∠BAM =BM AB =35， ∠AB =53BM =10，据勾股定理得，AM =8． 4．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 、E 在边AB 上，45DCE ∠=︒，过点A 作AB 的垂线交CE 的延长线于点M ，联结MD ．（1）求证：2CE BE DE =⋅；（2）当3AC =，2AD BD =时，求DE 的长；（3）过点M 作射线CD 的垂线，垂足为点F ，设BD x BC =，tan FMD y ∠=，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．【答案】（1）见解析；（2）DE=6-；（3）．【分析】（1）先证∠B=∠DCE ，再由∠DEC=∠CEB ，得出∠DEC∠∠CEB ，进而得出结论；（2）由∠DEC∠∠CEB 得BC=BE ，再由∠DEC∠∠DCA ，得AD=AC ，最后利用勾股定理求解即可；（3）连接EF ，先证∠BDC∠∠EDF ，得出FD DE CD BD =，进而得出FD MF=y ，然后结合已知条件得出结果． 【详解】解：（1）∠∠ACB=90°，∠∠B=45°，∠∠DCE=45°，∠∠B=∠DCE ，∠∠DEC=∠CEB ，∠∠DEC∠∠CEB ，∠EC DEBE CE=，故CE²=BE·DE；（2）由题意得∠DCE是等腰三角形，DC=CE，由∠DEC∠∠CEB得BC=BE，同理可得∠DEC∠∠DCA，AD=AC，∠BC=AC，∠BE=AD=BC=AC，∠AC=3，∠在Rt∠ABC中，AB²=BC²+AC²=9+9=18，，∠AD=2BD，∠BD=AB-AD=AB-3，-6，-3，∠DE=AB-BD--3)=6-．（3）连接EF，由三角形相似可得∠FED=∠DBC，∠EF∠BC，∠∠EFD=∠BCD，∠∠EDF=∠BDC，∠∠BDC∠∠EDF，∠FD DE CD BD=，∠tan∠FMD=y，∠FDMF=y，在Rt∠MFC中，∠MCF=45°，∠MF=CF ， ∠FD FD CF MF==y ， ∠BD x BC=，BE=BC ， ∠BD BD x BE BC==， ∠,FD BD y x CF BE==， ∠DE=1x BD x -，CD=1y FD x -， ∠FD DE CD BD =，11y x y x=--， 则y(1-y)=x(1-y)，y -xy=x -xy ，．．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质与判定．5．（2021·上海九年级专题练习）如图，点E 为ABC 边BC 上一点，过点C 作CD BA ⊥，交BA 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F ，且AF CD BC AD ⋅=⋅．（1）求证：AE BC ⊥；（2）如果BE CE =，求证：22BC BD AC =⋅．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明ADF CDB △△，再根据相似三角形的性质、对顶角相等和三角形内角和即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出1B ∠=∠，再证明BCD CAE △△，根据相似三角形的性质得出BC CE BD AC ⋅=⋅，根据等式的性质和等量代换即可得证．【详解】（1）CD BD ⊥，90ADF CDB ∴∠=∠=︒，AF CD BC AD ⋅=⋅,AD CD AF BC∴=, 在ADF 和CDB △中AD BC AF CD ADF CDB⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩， ADF CDB ∴△△，F B ∴∠=∠，FAD EAB ∠=∠，90FDA BEA ∴∠=∠=︒，AE BC ∴⊥；（2）BE CE AE BC =⊥，AB AC ∴=1B ∴∠=∠又90BDC AEC ︒∠=∠=,BCD CAE ∴△△BC BD AC CE∴= BC CE BD AC ∴⋅=⋅22BC CE BD AC ∴⋅=⋅BE CE =∴2BC CE =∠22BC BD AC =⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．6．（2021·上海松江区·九年级一模）如图，已知//AB CD ，AD 、BC 相交于点E ，6AB =，4BE =，9BC =，连接AC ．（1）求线段CD 的长；（2）如果3AE =，求线段AC 的长．【答案】（1）CD=152；（2）92． 【分析】（1）利用线段的和差关系可求出CE 的长，由AB//CD 可得∠ABE∠∠DCE ，根据相似三角形的性质即可得答案； （2）由AB 、BE 、BC 的长可得BE AB AB BC=，即可证明∠ABE∠∠CBA ，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】∠BC=9，BE=4，∠CE=5，∠AB//CD ，∠∠ABE∠∠DCE ， ∠BE AB CE CD =，即465CD=， 解得：CD=152． （2）∠6AB =，4BE =，9BC =， ∠BE AB AB BC ==23， ∠∠B 为∠ABE 和∠CBA 的公共角，∠∠ABE∠∠CBA ， ∠AC BC AE AB =，即936AC =， 解得：AC=92． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．7．（2021·上海九年级专题练习）已知△MAN 是锐角，点B 、C 在边AM 上，点D 在边AN 上，△EBD =△MAN ，且CE △BD ，sin△MAN =35， AB =5，AC =9． （1）如图1，当CE 与边AN 相交于点F 时，求证：DF ·CE =BC ·BE ；（2）当点E 在边AN 上时，求AD 的长；（3）当点E 在△MAN 外部时，设AD =x ，△BCE 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域．【答案】（1）证明见解析；（2）AD=4±（3）224825x y x x =-+．定义域为：44x <<． 【分析】（1）根据CE∠BD ，得出∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE 结合题干证明出∠ABD∠∠ECB ，进而得到AD EB AB EC＝，再等量代换即可得到DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．根据条件先证明出∠CEB∠∠CAE ，得到2CE =CB CA ⋅，代入求出CE ，再根据BD ABCE AC=求出BD ，利用三角函数求出BH ，根据勾股定理即可求出AD ． （3）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．BH=4，AH=3，DH=4x -根据∠ECB∠∠ABD 得到22EBC ADB S BC S BD △△＝，代入化简为224825xy x x =-+即可求解．【详解】解：（1）∠CE∠BD ， ∠∠CEB=∠DBE ，∠DBA=∠BCE ． ∠∠A=∠DBE ， ∠∠A=∠BEC ． ∠∠ABD∠∠ECB ， ∠AD EBAB EC＝． ∠AD DFAB BC=， ∠EB DFEC BC=， ∠DF·CE=BC·BE ．（2）过点B 作BH∠AN ，垂足为H ．∠CE∠BD ， ∠∠CEB=∠EBD=∠A ，又∠∠BCE=∠ECA，∠∠CEB∠∠CAE，∠CE CA CB CE=，∠2CE=CB CA⋅．∠AB=5，AC=9，∠BC=4，∠24936 CE==⨯，∠CE=6．∠BD AB CE AC=，∠561093AB CEBD==AC⋅⨯=．在Rt∠ABH中，3sin535BH AB A=⋅=⨯=，4．==．AD=4．（3）过点B作BH∠AN，垂足为H．BH=4，AH=3，DH=4x-．2222224)3825BD=DH+BH x x x=-+=-+（．∠∠ECB∠∠ABD，∠22EBCADBS BCS BD△△＝．∠1322ABDS AD BH x=⋅△＝，∠21638252yx xx=-+，∠224825xyx x=-+．定义域为44x<．【点睛】此题属于平面几何的综合应用，主要利用三角形相似，找到相似比，根据相似比求值，计算量较大，有一定难度．8．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，//AB DE ，//AC DF ，AC 与DE 相交于点G ，12AG DG GC GE ==，2BE =．（1）求BF 的长；（2）设EG a =，BE b =，那么BF = ，DF = （用向量a 、b 表示）． 【答案】（1）8BF =；（2）4b ，332b a - 【分析】（1）先证∠CEG∠∠CBA ，再证∠ECG∠∠EFD ，然后求解即可； （2）先证22EC BE b ==，CF b =，再证32ED EG CD a =+=，然后再由23EF EC CF b b b =+=+=得出结论即可． 【详解】解：（1）∠AB∠GE ， ∠∠B=∠DEC ， ∠∠ACB=∠ACB ， ∠∠CEG∠∠CBA ， ∠1=2AG BE GC CE =， ∠CE=2BE=4， 同理∠ECG∠∠EFD ， ∠1=2DG FC GE CE =， ∠CE=2FC=4， ∠FC=2，∠BF=BE+EC+FC=2+4+2=8；（2）BE b =，由（1）可知BE=CF=12EC ， ∠22EC BE b ==，CF b =， ∠4BF BE EC CF b =++= ， ∠EG a = ，∠1122GD EG a ==， ∠32ED EG CD a =+=，∠23EF EC CF b b b =+=+=， ∠332DF EF ED b a =-=-． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定与向量，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定．9．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC =，//EG AB ，AE 、BD 交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解． 【分析】（1）由//EG AB 易证∠CGE∠∠CAB ，由性质得CG CE =CA CB 由比例性质得CG CE=AG BE，由已知BF=AG 比例式变为CG CE=BF BE，由已知DB DC =，利用等边对等角得∠FBE=∠GCE ，利用两边成比例夹角相等知BFE CGE △∽△；（2）由//EG AB ，利用性质内错角相等∠BAE=∠AEG ，由已知AEG C ∠=∠，推出∠BAE=∠C ，又∠ABE=∠CBA 共用，可证∠ABE∠∠CBA ，由性质AB BE=BC AB，∠BEA=∠BAC ，把比例变等积得2AB =BC BE ，由（1）BFE CGE △∽△利用性质∠BEF=∠CEG ，∠BFE=∠CGE ，推出∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC ，利用等角对等边得AC=BC ，GC=EC ，利用等量代换得AG=BE ，可证2AB =AC AG ． 【详解】（1）∠//EG AB ，∠∠CGE=∠CAB ，∠CEG=∠CBA ， ∠∠CGE∠∠CAB ，∠CG CE=CA CB ， ∠CG CE =CA-CG CB-CE 即CG CE=AG BE，∠BF=AG ∠CG CE=BF BE， ∠DB DC =，∠∠DBC=∠DCB ，即∠FBE=∠GCE ， ∠BFE CGE △∽△， （2）∠//EG AB ， ∠∠BAE=∠AEG ， 又∠AEG C ∠=∠， ∠∠BAE=∠C ，又∠∠ABE=∠CBA 共用， ∠∠ABE∠∠CBA ， ∠AB BE=BC AB，∠BEA=∠BAC ， ∠2AB =BC BE ，由（1）BFE CGE △∽△，∠∠BEF=∠CEG，∠BFE=∠CGE，EG AB，∠//∠∠ABC=∠GEC，∠BAC=∠EGC，∠∠BAC=∠GEC=∠ABC=∠EGC，∠AC=BC，GC=EC，∠AG=BE，2AB=BC BE=AC AG．．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似证角等转化边角关系是解题关键．10．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知矩形DEFG的边DE在ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上．ABC的高AH交GF于点I．（1）求证：BD EH DH CE ⋅=⋅； （2）设DE n EF =⋅（n 为正实数），求证：11n BC AH EF+=． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）证明,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽，根据相似三角形的性质列出比例关系，整理即可证得结论； （2）要证明11n BC AH EF +=只需证明1nEF EF BC AH +=即1DE EFBC AH+=，证明∠AGF∠∠ABC ，根据相似三角形的性质以及比例的性质即可证明． 【详解】解：（1）证明：∠四边形DEFG 为矩形，ABC 的高AH 交GF 于点I ， ∠GD=EF,90GDH GDB FEC FEB AHB AHC ∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒, 又∠∠B=∠B,∠C=∠C ，∠,BDG BHA CEF CHA ∆∆∆∆∽∽，∠GD BD BD AH BH BD DH ==+,EF CE CE AH CH CE EH ==+, ∠=BD CEBD DH CE EH++，∠BD EH DH CE ⋅=⋅；（2）证明：∠四边形DEFG 为矩形，∠,//GF DE GF BC =，90FEB EFG ∠=∠=︒， ∠,AGF B AFG C ∠=∠∠=∠， ∠∠AGF∠∠ABC ， ∠AH 为∠ABC 的高， ∠∠AIF=∠AHC=90°，GF AI BC AH =,即DE AIBC AH=, ∠90FEB EF C G AH ∠=∠=∠=︒， ∠四边形IHEF 为矩形， ∠EF=IH ， ∠DE n EF =⋅，∠1nEF EF DE IH AI IH AI IH AHBC AH BC AH AH AH AH AH ++=+=+===， ∠11n BC AH EF+=．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质和判断．本题中相似三角形有很多，能结合结论判断是需要证明哪组三角形相似是解题关键．11．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 上一点，联结BE 、CE ，延长BA 、CE 相交于点F ，2CE DE BC =⋅（1）求证：EBC DCE ∠=∠； （2）求证：··BE EF BF AE =． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据2CE DE BC =⋅得CE BCED CE=，再由BCE CED ∠=∠，可以证明BCE CED ，即可得到结论；（2）根据平行四边形的性质结合（1）的结论，证明BFE AEB ∠=∠，即可证明EBF ABE ，就能得到结论． 【详解】解：（1）∠2CE DE BC =⋅， ∠CE BCED CE=， ∠四边形ABCD 是平行四边形， ∠//AD BC ， ∠BCE CED ∠=∠， ∠BCECED ，∠EBC DCE ∠=∠；（2）∠四边形ABCD 是平行四边形， ∠//AD BC ，∠AEB EBC ∠=∠， ∠EBC DCE ∠=∠， ∠AEBDCE ，∠//AB CD ， ∠BFE DCE ∠=∠， ∠BFE AEB ∠=∠， ∠EBF ABE ∠=∠， ∠EBF ABE ，∠EF BFAE BE=， ∠BE EF BF AE ⋅=⋅． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．12．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CH△AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ．（1）求证：△ACE△△ABD ；（2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）先证ACH B ∠=∠，再证AEC ADB ∠=∠，利用相似三角形的判定求解即可；（2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出ACE ACDS AE SAD =和ACD ABDSCDSBD=，再根据∠ACE∠∠ABD ，得出结果． 【详解】证明（1）∠∠ACB=90°，CH∠AB ，∠∠CHA=90°=∠ACB ， ∠∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH ， ∠ACH B ∠=∠， ∠CE CD =， ∠CED CDE ∠=∠，∠∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°， ∠AEC ADB ∠=∠， ∠ACE ABD ∽； （2）∠∠ACE 与∠ACD 同高，∠ACE ACDS AESAD=， ∠∠ACD 与∠ABD 同高，∠ACD ABDS CDSBD=， ∠CD=CE ，∠ACD ABDS CESBD=， ∠∠ACE∠∠ABD ， ∠AE CEAD BD = ， ∠ACE ACD ACDABDS S SS=，∠∠ACD 的面积是∠ACE 的面积与∠ABD 的面积的比例中项． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．13．（2021·上海九年级专题练习）Rt ABC 中，△ACB=90°，点D 、E 分别为边AB 、BC 上的点，且CD=CA ，DE△AB ．（1）求证：2CA CE CB =⋅．（2）联结AE ，取AE 的中点M ，联结CM 并延长与AB 交于点H ．求证：CH△AB ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明∠DCE∠∠BCD，根据相似三角形的对应边成比例即可得证；（2）证明∠CAE∠∠CBA，可得∠CEA=∠CAB，由直角三角形的性质可证CM=AM，从而∠CAE=∠ACM，然后由等量代换可证∠CAB+∠ACM=90°，进而可证结论成立．【详解】证明：（1）∠CA=CD，∠∠A=∠CDA．∠∠ACD=90°，∠∠A+∠B=90°．∠DE∠AB，∠∠CDA+∠CDE=90°，∠∠B=∠CDE．∠∠DCE=∠BCD，∠∠DCE∠∠BCD，∠CD CB CE CD=．∠CD=CA，∠CA CB CE CA=，∠2CA CB CE=⋅；（2）∠CA CBCE CA=，∠ACE=∠BCA，∠∠CAE∠∠CBA，∠∠CEA=∠CAB．∠∠ACB=90°，∠∠CEA+∠CAE=90°．∠M 为AE 的中点，∠ACE=90°，∠CM=AM ，∠∠CAE=∠ACM ．∠∠CEA=∠CAB ，∠∠CAB+∠ACM=90°，∠∠AHC=90°，∠CH∠AB ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．14．（2021·上海青浦区·九年级一模）如图，在平行四边形ABCD 中，8BC =，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE EF FD ==，AE 的延长线交BC 于点G ，GF 的延长线交AD 于点H ．（1）求HD 的长；（2）设BGE △的面积为a ，求四边形AEFH 的面积．（用含a 的代数式表示）【答案】（1）2HD =；（2）7=2四边形AEFH a S 【分析】（1）由∠ADE∠∠GBE ，可求出BG 的长，再由∠HDF∠∠GBF ，即可求出HD 的长；（2）由∠ADE∠∠GBE ，可求出S ∠ADE =4S ∠BGE =4a ，再由∠HDF∠∠GBF ，即可求出S ∠DHF =14S ∠BGF ，由三角形的面积公式可求出S ∠DHF =14S ∠BGF ，进而可求四边形AEFH 的面积．【详解】解：（1）∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD//BC，AD=BC=8，∠∠ADE∠∠GBE，∠AD DE BG BE=．∠BE EF FD==，∠BG=12AD=4．∠AD//BC，∠∠HDF∠∠GBF，∠HD DF BG BF=．∠BE EF FD==，∠HD=12BG=2；（2）∠∠ADE∠∠GBE，BE EF FD==，∠S∠ADE=4S∠BGE=4a．∠∠HDF∠∠GBF，∠S∠DHF=14S∠BGF．∠BE EF=，∠S∠BGF=2S∠BGE，∠S∠DHF=12S∠BGE=12a，∠17=4-=22AEFHaS a a四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．15．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，已知AD//BE//CF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．（1）求DEDF的值；（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．【答案】（1）37；（2）11【分析】（1）根据AD//BE//CF可得DE ABDF AC=，由此计算即可；（2）过点A作AG//DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．【详解】解：（1）∠AD//BE//CF，∠DE AB DF AC=，∠AB=6，BC=8，∠63687 DEDF==+，故DEDF的值为37；（2）如图，过点A作AG//DF交BE于点H，交CF于点G，∠AG//DF，AD//BE//CF，∠AD=HE=GF=5，∠CF=19，∠CG=CF-GF=14，∠BE//CF，∠BH AB CG AC =， ∠3147BH =， 解得BH=6，∠BE=BH+HE=11．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH 是解决问题的关键．16．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD ∠=∠．（1）求证：2AB BF DE =⋅；（2）若BE DN DE DC=，求证：//EF MN ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）先根据菱形的性质和角的和差可证AED ∆∠FAB ∆，再根据相似的性质得到AD DE BF AB =结合AB AD =即可证明；（2）先根据菱形的性质得到AD BC =、//AD BC ，再根据平行线分线段成比例定理可得BE BM DE AD =，再结合BE DN DE DC =可得BM DN AD DC =即BM DN BC DC=即可证明． 【详解】证明：（1）∠四边形ABCD 是菱形；∠AB AD =；∠ABD ADB ∠=∠；∠AED ABD BAE ∠=∠+∠，BAF MAN BAE ∠=∠+∠；又∠MAN ABD ∠=∠；∠AED BAF ∠=∠；∠AED ∆∠FAB ∆； ∠AD DE BF AB=，即AD AB BF DE ⋅=⋅； ∠2AB BF DE =⋅；（2）∠四边形ABCD 是菱形；∠AD BC =，//AD BC ； ∠BE BM DE AD=； ∠BE DN DE DC=； ∠BM DN AD DC=， ∠BM DN BC DC =； ∠//MN BD ，即//EF MN ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及菱形的性质，灵活应用相关性质定理成为解答本题的关键．17．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点，且AED ABC ∠=∠，连接BE 、CD 相交于点F ．（1）求证：ABE ACD ∠=∠；（2）如果ED EC =，求证：22DF EF BD EB=．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先说明ADE ACB 可得AE AB AD AC =，再说明ADC AEB △△，最后根据相似三角形对应角相等即可证明：（2）先说明EDF EBD △△得到DF EF DE BD DE BE ==，进一步可得2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即可证明． 【详解】证明：（1）∠AED ACB ∠=∠，A A ∠=∠，∠ADE ACB ， ∠AE AB AD AC=， 又∠A A ∠=∠，∠ADC AEB △△，∠ABE ACD ∠=∠；（2）∠ED EC =，∠EDC ACD ∠=∠，∠ABE ACD ∠=∠∠EDC ABE ∠=∠，又∠DEF DEF ∠=∠，∠EDF EBD △△， ∠DF EF DE BD DE BE==， ∠2DF EF DE BD DE BE ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭， ∠22DF EF BD EB=． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理成为解答本题的关键． 18．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ACB △中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，AD AB =，BE CE =，AD 与BE 交于点F ，且AF DF BF EF ⋅=⋅．求证：（1）ADC BEC ∠∠=；（2）AF CD EF AC ⋅=⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据题意证明∠AFE∠∠BFD ，即可得到∠FDB=∠AEF ，故可求解；（2）根据题意证明∠AEF∠∠CBA ，得到AF AC EF AB =,再得到AB=CD ，故可求解． 【详解】证明：（1）∠AF DF BF EF ⋅=⋅ ∠AF EF BF DF= ∠∠BFD=∠AFE∠∠AFE∠∠BFD∠∠FDB=∠AEF ，∠180°-∠FDB=180°-∠AEF ，即ADC BEC ∠∠=（2）∠ADC BEC ∠∠=∠180°-∠ADC -∠C=180°-∠BED -∠C即∠DAC=∠EBC∠BE=CE,∠∠C=∠DAC=∠EBC∠AD=AB ，∠∠ADB=∠ABD∠∠ADB=∠C+∠DAC ，∠ABD=∠ABE+∠EBC ，∠∠ABE=∠DAC=∠C=∠EBC∠∠AEB=∠C+∠EBC∠∠BEA=∠ABE+∠EBC=∠ABC∠∠AEF∠∠CBA ， ∠AF AC EF AB= ∠AF AB EF AC ⋅=⋅∠∠C=∠DAC∠CD=AD∠AB=AD∠AB=CD∠AF CD EF AC ⋅=⋅．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及相似三角形的判定定理． 19．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，//AD BC ，ABD C ∠=∠，AE BD ⊥，DF BC ⊥，点E 、F 分别为垂足．（1）求证：AE BD DF BC=； （2）连结EF ，如果ADB BDF ∠=∠，求证：DF DC EF BC ⋅=⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）先证ABD △与DCB 相似，再根据相似三角形对应线段成比例再进行证明，问题得证； （2）先证ABD EFD ∽，再证DCB EFD △∽△，最后根据相似三角形对应线段成比例进行证明，问题得证．【详解】证明（1）/AD/BCADB DBC ∠=∠∴ABD C ∠=∠∠ABD DCB △∽△，又∠AE 、DF 分别是ABD △与DCB 对应边上的高，AE BD DF BC∴= （2）如图，连结EF/AD/BC ，DF BC ⊥，∠90ADF ∠=︒，ADB BDF ∠=∠，∠45ADB BDF ∠==︒AE BD ⊥，∠90∠=︒AED ∠cos45DE DF DA DB=︒= ABD EFD ∴△∽△DCB EFD ∴△∽△DC BC EF DF∴= DF DC EF BC ∴⋅=⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（2021·上海九年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，,B DCB ∠=∠联结AC ．点E 在边BC 上，且,CDE CAD DE ∠=∠与AC 交于点,F CE CB AB CD ⋅=⋅．()1求证：//AD BC ；()2当AD DE =时，求证：2AF CF CA =⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明ACB EDC ∆∆可得∠ACB=∠EDC=∠CAD ，从而可得结论；（2）根据ASA 证明ADF DEC ∆≅∆，得到AF=DC ，再证明FCDDCA ∆∆，得到2FC CA CD =，即可得到结论．【详解】解：（1）∠B DCB ∠=∠，且CE CB AB CD ⋅=⋅，即CE CD AB CB = ∠ACB EDC ∆∆∠ACB CDE ∠=∠∠CDE CAD ∠=∠∠∠ACB=∠CAD∠//AD BC（2）∠//AD BC∠∠ADE=∠CED在∠ADF 和∠DEC 中，FAD EDC AD CEADF DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠∠ADF∠∠DEC∠AF=DC又∠∠CDF=∠CAD ，∠FCD=∠ACD∠FCDDCA ∆∆ ∠FC CD CD CA=，即2FC CA CD = ∠2AF CF CA =⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用相似三角形的性质找出比例式．21．（2021·上海长宁区·九年级一模）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，点E 、点F 在边AC 上，且//DE BC ，AF AE FE EC=.（1）求证：//DF BE ；（2）如果AF ＝2，EF ＝4，AB =DE BE的值．【答案】（1）见解析；（2【分析】 （1）由平行线分线段成比例，得到AE AD AF EC BD FE==，即可得到//DF BE ； （2）根据题意，由相似三角形的判定定理，先证明ADE AEB ∽△△，即可求出DE BE的值． 【详解】证明：（1）∠//DE BC ， ∠AE AD ECBD =， ∠AF AE FEEC =， ∠AD AF BD FE=， ∠//DF BE ；（2）∠AF ＝2，EF ＝4，AB = ∠2142AD AF BD FE ===，∠AD =BD =AE=AF+EF=6，∠63AD AE ==，3AE AB ==， ∠=AD AE AE AB ，又A A ∠=∠，∠ADE AEB ∽△△，∠DE AE BE AB ==； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例．解题的关键是利用平行线得出相似三角形及比例，从而进行解题．22．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作//AF DC ，交对角线BD 于点F ．（1）求证：DF DE BD BE=； （2）如果ADB ACD ∠=∠，求证：线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）延长AF 交BC 于点G ，可证AD=GC ，由//AF DC ，可证DF CG AD BD BC BC ==，由ADE CBE △△，可证AD DE BC BE=，进而可证结论成立； （2）证明ADE CBE △△，可证2CD BD DE =⋅，由（1）得AD DE BC BE=，即DF BE BD DE ⋅=⋅，进而可证线段CD 是线段DF 、BE 的比例中项．【详解】证明：（1）如图，延长AF 交BC 于点G ，∠//AD BC ，//AF DC ，∠四边形AGCD 是平行四边形，∠AD=GC ．∠//AF DC ，∠DF CG AD BD BC BC==，∠//AD BC，∠ADE CBE △△，∠AD DE BC BE=，∠DF DE BD BE=；（2）∠//AD BC，∠CBD ADB ∠=∠．∠ADB ACD ∠=∠，∠CBD ACD ∠=∠，∠CDE BDC ∠=∠，∠CDE BDC，∠CD DE BD CD=，∠2CD BD DE=⋅．∠DF DE BD BE=，∠DF BE BD DE⋅=⋅，∠2CD DF BE=⋅．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．23．（2020·上海宝山区·九年级二模）已知：如图，△O与△P相切于点A，如果过点A的直线BC交△O于点B，交△P点C，OD△AB于点D，PE△AC于点E．（1）求DEBC的值：（2）如果△O和△P的半径比为3:5，求ABAC的值．【答案】（1）12；（2）35【分析】(1)由垂径定理可得AD=12AB、AE=12AC，然后根据线段的和差求得DE和BC并代入DEBC即可解答；（2）连接OP、OB、CP，然后说明一系列角相等，证明OB//PC，然后判定∠BOA∠∠CPA,最后利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：（1）∠OD∠AB，PE∠AC，∠AD=12AB，AE=12AC，∠1=2 DE AD AEBC BA AC+=+；（2）连接OP，OP必过切点A，连接OB、CP ∠OB=OA，PA=PC∠∠OBA=∠OAB=∠PAC=∠PCA∠OB//PC∠∠BOA∠∠CPA∠3=5 AB OAAC AP=．【点睛】本题考查了垂径定理和相似三角形的判定和性质，掌握垂径定理和相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．24．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在ABC中，AD是ABC的中线，△DAC=△B，点E在边AD上，CE=CD.（1）求证：AC BD AB AD=；（2）求证：22AC AE AD=⋅.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由CE=CD=BD转化比例式,再证出∠ACE∠∠BAD即可；（2）由（1）中相似可得出，DC2=AD•AE①，再证∠ACD∠∠BCA，得出AC2=BC·CD=2CD2②，结合①②即可得出结果．【详解】证明：（1）∠AD为∠ABC的中线，∠BD=CD，∠CD=CE，∠BD=CD=CE，∠∠CDE=∠CED，∠∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠DAC+∠ACE，∠DAC=∠B，∠∠BAD=∠ACE∠∠ACE∠∠BAD，∠AC EC AB AD=∠AC BD AB AD=；（2）∠∠ACE∠∠BAD，∠AE EC BD AD=，∠BD•CE=AE•AD，∠DC2=AD•AE①．∠∠DAC=∠B，∠ACD=∠ACB，∠∠ACD∠∠BCA，∠AC CD BC AC=∠AC2=BC·CD=2CD2②,∠由①②可得，22AC AE AD=⋅.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解题的关键．25．（2020·上海金山区·九年级二模）如图，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和正方形CBGF，点F在CD上，联结AF、BD，BD与FG交于点M，点N是边AC上的一点，联结EN交AF与点H．（1）求证：AF=BD；（2）如果AN GMAC GF=，求证：AF EN⊥．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据SAS证明∠ACF∠∠DCB即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到AE=AC，GF=GB，由AN GMAC GF=证得AN GMAE GB=得到∠EAN∠∠BGM，再证明∠MBG∠∠BDC，由∠BDC∠∠FAC，得到∠EAN∠∠ACF，推出∠CAF+∠ANE=90°，即可得到结论.【详解】（1）在正方形ACDE和正方形CBGF中，AC=CD，CF=CB，∠ACD=∠BCD=90°，∠∠ACF∠∠DCB，∠AF=BD；（2）在正方形ACDE和正方形CBGF中，AE=AC，GF=GB，∠AN GM AC GF=，∠AN GM AE GB=，∠∠EAN=∠G=90°，∠∠EAN∠∠BGM，∠CD∠BG，∠∠CDB=∠MBG，∠∠DCB=∠G=90°，∠∠MBG∠∠BDC，∠∠BDC∠∠FAC，∠∠EAN∠∠ACF，∠∠AEN=∠CAF，∠∠AEN+∠ANE=90°，∠∠CAF+∠ANE=90°，∠∠AHN=90°，∠AF EN⊥.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质.26．（2020·上海大学附属学校九年级三模）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD△BC，AB＝DC，过点D 作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．求证：（1）△ABC△△DCB；（2）DE·DC＝AE·BD．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据三角形全等的判定条件找到相应的条件：AC ＝DB ，AB ＝DC ，BC ＝CB ，即可证明；（2）根据题意证明∠ADE∠∠CBD ，对应边成比即可求证．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD 是等腰梯形，∠AC ＝DB ，∠AB ＝DC ，BC ＝CB ，∠∠ABC∠∠BCD ，（2）∠∠ABC∠∠BCD ，∠∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ，∠AD∠BC ，∠∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC ，∠ED∠AC ，∠∠EDA ＝∠DAC ，∠∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB ，∠∠ADE∠∠CBD ，∠DE ︰BD ＝AE ︰CD ，∠DE·DC ＝AE·BD ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，相似三角形的证明及性质．27．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF 的值． 【答案】（1）4；（2）23 【分析】（1）分别求出CD ，BC ，BD ，证明BDE BCA ∽，根据相似性质即可求解；（2）先证明DF AG =，再证明BEF BAG △∽△，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∠AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∠30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∠CD =在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∠BC =∠BD BC CD =-=．∠//DE CA ，∠BDE BCA ∽ ∠23DE BD CA BC ==． ∠4DE =．（2）∠点M 是线段AD 的中点，∠DM AM =．∠//DE CA ，∠DFM AGM △∽△ ∠DF DM AG AM=． ∠DF AG =．∠//DE CA ，∠BEF BAG △∽△ ∠23EF BE BD AG BA BC === ∠23EF DF =．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．28．（2020·上海九年级一模）如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且EB BH BG FH=，DG △AB ，求证：DF ＝BG ．【答案】详见解析【分析】证明∠DFH∠∠EBH ，证出DF‖BC ，可证出四边形BGDF 平行四边形，则DF=BG ．【详解】证明：∠DG ∠AB ， ∠=EB EH BG DH， ∠EB BH BG FH= ， ∠EH BH DH FH =， ∠∠EHB ＝∠DHF ，∠∠DFH ∠∠EBH ，∠∠E ＝∠FDH ，∠四边形BGDF 平行四边形，∠DF ＝BG ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．29．（2020·上海长宁区·）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ，若AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅．（1）求证：AFD AEC ∠=∠；（2）若//EG CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD CG FC BD ⋅=⋅．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先证∠BAE∠∠CAF ，推出∠AEB ＝∠AFC ，由等角的补角相等可得出结论；（2）先后证明∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，推出∠BDC∠∠GCE ，由相似三角形的性质可得出结论．【详解】（1）证明：∠AB•AF ＝AC•AE ， ∠AB AC AE AF=， ∠AE 平分∠BAC ，∠∠BAE ＝∠CAE ，∠∠BAE∠∠CAF ，∠∠AEB ＝∠AFC ，∠180°−∠AEB ＝180°−∠AFC ，∠∠AEC ＝∠AFD ；（2）证明：∠∠CFE ＝∠AFD ＝∠CEF ，∠DC∠EG，∠∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∠∠BDC∠∠GCE，∠BD GC GC DC CE CF==，∠CD•CG＝FC•BD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．30．（2020·上海闵行区·九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE△BC，垂足为E，CE=AB，点F 为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且△DFC=△EGC．（1）求证：CG=DG；（2）求证：2CG GM AG=⋅．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先证明∠ECG∠∠DCF，则有CG=CF，因为CF=12CE，则有CG=12CD，则结论可证；（2）延长AG、BC交于点H，首先证明∠ADG∠∠HCG，则有AG=HG，然后根据直角三角形斜边中线有AG=HG=EG，进而得出∠CDF=∠DAH，进一步可证∠ADG∠∠DMG，则有MG DGDG AG=，即2DG GM AG=⋅，又因为CG=DG即可证明结论．【详解】证明：（1）∠四边形ABCD是平行四边形，CE=AB，∠AB=CD=EC．又∠∠DFC=∠EGC，∠FCD=∠GCE，∠∠ECG∠∠DCF，∠点F为CE的中点，∠CF=12 CE，∠CG=12 CD，即：CG=DG．（2）延长AG、BC交于点H．∠∠ECG∠∠DCF，∠∠CEG=∠CDF，DG=CG．∠四边形ABCD是平行四边形，∠AD∠BC，∠∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．∠∠ADG∠∠HCG，∠AG=HG．∠AE∠BC，∠∠AEC=90°，∠AG=HG=EG．∠∠CEG=∠H，∠∠CDF=∠DAH．又∠∠AGD=∠DGM，∠∠ADG∠∠DMG．∠MG DG DG AG=，∠2DG GM AG=⋅又∠CG=DG，。

人教版中考综合模拟检测《数学卷》含答案解析

人教版中考综合模拟检测《数学卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题(共10小题)1.(﹣1)2020等于( )A. ﹣2020B. 2020C. ﹣1D. 12.下列计算正确的是( )A. (﹣2a2)4＝8a8B. a3+a＝a4C. a5÷a2＝a3D. (a+b)2＝a2+b23.已知反比例函数y＝kx(k≠0)图象位于二、四象限，则一次函数y＝x+k图象大致是( )A. B.C. D.4.(2016甘肃省兰州市)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )A. 34B.43C.916D.1695.如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是()A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°6.若分式211xx-+的值为0，则x的取值为( )A. x≠1B. x≠﹣1C. x＝1D. x＝﹣17.某公司10名职工的5月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是( ) 工资(元) 2000 2200 2400 2600人数(人) 1 3 4 2A. 2400元、2400元B 2400元、2300元C. 2200元、2200元D. 2200元、2300元8.已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为( )A. 6πB. 3πC. πD. 2π9.货车行驶25 千米与小车行驶35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是( )A. 253520x x=-B.253520x x=-C.253520x x=+D.253520x x=+10.如图已知点A(1，4)，B(2，2)是反比例函数y＝4x图象上的两点，动点P(x，0)在x轴上运动，当线段AP＝BP时，点P的坐标是( )A. (﹣92，0) B. (﹣94，0) C. (92，0) D. (94，0)二．填空题(共8小题)11.世界文化遗产长城总长约6 700 00 m，用科学记数法可表示为_____m．12.因式分解：a4﹣2a3+a2＝_____．13.菱形的两条对角线长分别是方程214480x x-+=的两实根，则菱形的面积为______．14.四边形ABCD是某个圆内接四边形，若∠A=100°，则∠C= ．15.现定义运算”☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b＝a2﹣3a+b，若x☆2＝6，则实数x值是_____．16.一个不透明的袋子中装有形状、大小均相同的3个红球，2个白球，1个黑球，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为_____．17.如图，点D在ΔABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=47，AD=65，CD=13，则线段AC的长为．18.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定22016的个位数字是_____．三．解答题(共6小题)19.(1)计算：(π﹣2016)0+6cos45°﹣|﹣18|+(12)﹣2(2)先化简，再求值：(1111x x-+-)÷21x-，其中x＝2．20.铜仁市教育局为了了解七年级学生寒假参加社会实践活动的天数，随机抽查本市部分七年级学生寒假参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)a＝%，并写出该扇形所对圆心角的度数为;补全条形图;(2)在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生?(3)如果该市有七年级学生20000人，请你估计”活动时间不少于5天”的大约有多少人?21.已知：如图，AB＝CD，BC＝DA，求证：∠A＝∠C．22.如图，一艘渔船以60海里每小时的速度向正东方向航行．在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上;继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30°方向上．已知在灯塔C周围50海里范围内有暗礁，问这艘渔船继续向东航行有无触礁的危险?23.某超市销售一种进价为40元/千克的产品，若按60元/千克出售时，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．(1)若该超市销售这种产品计划平均每天获利2240元，则这种产品应将售价定为多少元?(2)将售价定为多少元时，可使超市销售这种产品一天获利最大，最大利润是多少?24.如图，AC是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连结PC交⊙O于B，连结PA、AB，且满足PC=50，PA=30，PB=18．(1)求证：△PAB∽△PCA;(2)求证：AP是⊙O的切线．答案与解析一．选择题(共10小题)1.(﹣1)2020等于( )A. ﹣2020B. 2020C. ﹣1D. 1【答案】D【解析】【分析】根据负数的偶次方是正数可以解答．【详解】(﹣1)2020=1，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道-1的奇次方是-1，-1的偶次方是1，是常考题型．2.下列计算正确的是( )A. (﹣2a2)4＝8a8B. a3+a＝a4C. a5÷a2＝a3D. (a+b)2＝a2+b2【答案】C【解析】【分析】分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可．【详解】A．(﹣2a2)4＝16a8，故本选项不合题意;B．a3与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意;C．a5÷a2＝a3，正确;D．(a+b)2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查幂运算、合并同类项以及完全平方公式，掌握相关的公式以及运算法则是解题关键．3.已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象位于二、四象限，则一次函数y＝x+k图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象所经过的象限判定k＜0，由此可以推知一次函数y＝x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．【详解】解：∵反比例函数kyx(k≠0)的图象在第二、四象限，∴k＜0，∴一次函数y＝x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．观察选项，只有B选项正确．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点，根据图象象限分布判断参数正负性以及根据参数正负性判断象限分布是解题关键．4.(2016甘肃省兰州市)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )A. 34B.43C.916D.169【答案】A 【解析】试题分析：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为34，∴△ABC与△DEF对应中线的比为34，故选A．考点：相似三角形的性质．5.如图，点A、B、C是⊙0上的三点，若∠OBC=50°，则∠A的度数是()A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°【答案】A【解析】【分析】在等腰三角形OBC中求出∠BOC，继而根据圆周角定理可求出∠A的度数．【详解】解：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=50°，∴∠BOC=180°﹣50°﹣50°=80°，∴∠A=12∠BOC=40°;故选A．【点睛】本题考查在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．6.若分式211xx-+的值为0，则x的取值为( )A. x≠1B. x≠﹣1C. x＝1D. x＝﹣1【答案】C【解析】【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，故选：C．【点睛】本题考查分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子为零，分母不为零是解题关键．7.某公司10名职工的5月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是( ) 工资(元) 2000 2200 2400 2600人数(人) 1 3 4 2A. 2400元、2400元B. 2400元、2300元C. 2200元、2200元D. 2200元、2300元【答案】A【解析】【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据;中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)【详解】这组数据中，出现次数最多的是2400元，故这组数据的众数为2400元.将这组数据重新排序为2000，2200，2200，2200，2400，2400，2400，2400，2600，2600，∴中位数是按从小到大排列后第5，6个数的平均数，为：2400元.故选A.8.已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为( )A. 6πB. 3πC. πD. 2π【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的周长为6，可得BC＝2，设点D为BC边与内切圆的切点，连接AD，则AD⊥BC，可得BD＝DC＝12BC＝1，再根据勾股定理可得OB2﹣OD2＝BD2＝1，再根据S圆环＝S外接圆﹣S内切圆即可得结论．【详解】解：如图，∵等边三角形ABC的周长为6，∴BC＝2，设点D为BC边与内切圆的切点，连接AD ，则AD ⊥BC ， ∴BD ＝DC ＝12BC ＝1， 在Rt △BOD 中，根据勾股定理，得 OB 2﹣OD 2＝BD 2＝1， ∴S 圆环＝S 外接圆﹣S 内切圆 ＝OB 2π﹣OD 2π ＝BD 2π ＝π． 故选：C ．【点睛】本题考查三角形的外接圆与内切圆，掌握正三角形的外接圆与内切圆半径求算是解题关键． 9.货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20千米，求两车的速度各为多少?设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A.253520x x =- B.253520x x=-C.253520x x =+ D.253520x x=+【答案】C 【解析】题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式． 解：根据题意，得253520x x =+． 故选C ．10.如图已知点A(1，4)，B(2，2)是反比例函数y ＝4x的图象上的两点，动点P(x ，0)在x 轴上运动，当线段AP ＝BP 时，点P 的坐标是( )A. (﹣92，0) B. (﹣94，0) C. (92，0) D. (94，0) 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中距离公式得到：(x﹣1)2+42＝(x﹣2)2+22，求解即可．【详解】解：∵点A(1，4)，B(2，2)，动点P(x，0)在x轴上运动，∴2AP＝(x﹣1)2+42，2BP＝(x﹣2)2+22，∵AP＝BP，∴(x﹣1)2+42＝(x﹣2)2+22，解得x＝﹣92，∴点P的坐标是(﹣92，0)，故选：A．【点睛】本题考查距离公式，掌握平面直角坐标系中距离公式是解题关键．二．填空题(共8小题)11.世界文化遗产长城总长约6 700 00 m，用科学记数法可表示为_____m．【答案】6.7×105．【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数;当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】解：将670 000用科学记数法表示为6.7×105m．故答案为：6.7×105【点睛】本题考查科学记数法，确定,a n的值是解题关键．12.因式分解：a4﹣2a3+a2＝_____．【答案】a2(a﹣1)2．【解析】【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式＝a2(a2﹣2a+1)＝a2(a﹣1)2．故答案为：a2(a﹣1)2．【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法因式分解解题关键．13.菱形的两条对角线长分别是方程214480x x-+=的两实根，则菱形的面积为______．【答案】24【解析】【详解】解：x2﹣14x+48=0，则有(x-6)(x-8)=0解得：x=6或x=8．所以菱形的面积为：(6×8)÷2=24．菱形的面积为：24．故答案为24．点睛：本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系．14.四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C= ．【答案】80°．【解析】试题分析：已知四边ABCD是圆的内接四边形，∠A=100°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠C=180°﹣100°=80°．考点：圆内接四边形的性质.15.现定义运算”☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b＝a2﹣3a+b，若x☆2＝6，则实数x的值是_____．【答案】4或﹣1．【解析】【分析】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【详解】解：∵x☆2＝6，∴x2﹣3x+2＝6，x2﹣3x﹣4＝0，即(x﹣4)(x+1)＝0，x﹣4＝0，x+1＝0，x1＝4，x2＝﹣1，故答案为：4或﹣1．【点睛】本题考查定义新运算与一元二次方程，正确理解定义新运算是解题关键．16.一个不透明的袋子中装有形状、大小均相同的3个红球，2个白球，1个黑球，从袋中随机摸出一个球是红球的概率为_____．【答案】12．【解析】【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．【详解】解：从袋中随机摸出一个球是红球的概率为31= 3+2+12故答案为：12．【点睛】本题考查概率求算，掌握利用概率公式求算是解题关键．17.如图，点D在ΔABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC，tan∠BAD=47，AD=65，CD=13，则线段AC的长为．【答案】13【解析】试题分析：过点A作AE⊥BC，然后根据∠BAD的正切值以及角度之间的关系和AD、CD的长度大小求出AC的长度．考点：三角函数的应用．18.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通过观察，用所发现的规律确定22016的个位数字是_____．【答案】6．【解析】【分析】观察发现，每四个一组，个位数字循环，然后用2016除以4，正好能够整除，所以与第四个数的个位数字相同．【详解】解：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，所以，每四个一组，个位数字循环，∵2016÷4＝504，∴22016的个位数字与24的个位数字相同是：6．故答案为：6．【点睛】本题考查了尾数特征，利用有理数的乘法考查了数字变化规律的问题，观察得到”每四个数一组，个位数字循环”是解题的关键．三．解答题(共6小题)19.(1)计算：(π﹣2016)0+6cos45°﹣|(12)﹣2(2)先化简，再求值：(1111x x -+-)÷21x -，其中x ．【答案】(1)5;(2)11x +，﹣1． 【解析】【分析】(1)根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和负整数指数幂可以解答本题;(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．详解】解：(1)(π﹣2016)0+6cos45°﹣|(12)﹣2＝1+6×2﹣+4＝﹣+4＝5;(2)(1111x x -+-)÷21x - ＝1(1)(1(1)1)2x x x x x -•--+-+ ＝1)12(1x x x --+-- ＝2()21x --+ ＝11x +，当x 时，﹣1．【点睛】本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20.铜仁市教育局为了了解七年级学生寒假参加社会实践活动的天数，随机抽查本市部分七年级学生寒假参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)a＝%，并写出该扇形所对圆心角的度数为;补全条形图;(2)在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生?(3)如果该市有七年级学生20000人，请你估计”活动时间不少于5天”的大约有多少人?【答案】(1)25，90°，图详见解析;(2)200;(3)15000【解析】【分析】(1)用100%减去3天、4天、5天、7天所占百分比可得a，利用360°乘以所占百分比可得该扇形所对圆心角的度数，求出总数，再乘以所占百分比可得6天的人数，再补图即可;(2)由(1)的计算可得答案;(3)利用样本估计总体的方法计算即可．【详解】解：(1)a＝100%﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%＝25%，360°×25%＝90°，调查人数：20÷10%＝200(人)，200×25%＝50(人)，如图所示：故答案为：25;90°;(2)由(1)可得一共调查了200名学生;(3)20000×(30%+20%+25%)＝15000(人)，答：”活动时间不少于5天”的大约有15000人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．21.已知：如图，AB＝CD，BC＝DA，求证：∠A＝∠C．【答案】详见解析【解析】分析】根据SSS可证明△ABD≌△CDB，则可得出结论．【详解】证明：∵AB＝CD，BC＝DA，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠A＝∠C．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．22.如图，一艘渔船以60海里每小时的速度向正东方向航行．在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上;继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30°方向上．已知在灯塔C周围50海里范围内有暗礁，问这艘渔船继续向东航行有无触礁的危险?【答案】渔船继续向正东方向航行是安全的，理由详见解析．【解析】【分析】作CH⊥AB于H．利用解直角三角形，求出PH的值即可判定; 【详解】解：作CH⊥AB于H．∵∠CAB＝30°，∠ABC＝120°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∵∠BAC＝∠BCA＝30°，∴BA＝BC＝60海里，在Rt△CBH中，CH＝CB•sin60°＝60×33海里)，∵350，∴渔船继续向正东方向航行是安全的．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．23.某超市销售一种进价为40元/千克的产品，若按60元/千克出售时，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．(1)若该超市销售这种产品计划平均每天获利2240元，则这种产品应将售价定为多少元?(2)将售价定为多少元时，可使超市销售这种产品一天获利最大，最大利润是多少?【答案】(1)这种产品应将售价定为54元或56元;(2)销售价格定为55时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是2250元．【解析】【分析】(1)设每千克水果应降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可;(2)设每天获得的利润为W，销售价格为x，列出W与x的函数关系式即可解答．【详解】解：(1)设每千克水果应降价x元，根据题意，得：(60﹣x﹣40)(100+10x)＝2240，解得：x1＝4，x2＝6，答：这种产品应将售价定为54元或56元;(2)设每天获得利润为W，销售价格为x，则W＝(x﹣40)[100+10(60﹣x)]＝(x﹣40)(﹣10x+700)＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10(x﹣55)2+2250．∴销售价格定为55时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是2250元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式．24.如图，AC是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连结PC交⊙O于B，连结PA、AB，且满足PC=50，PA=30，PB=18．(1)求证：△PAB∽△PCA;(2)求证：AP是⊙O的切线．【答案】见解析【解析】【分析】(1)根据△PAB与△PCA的对应边成比例，夹角相等证得结论．(2)欲证明AP是⊙O切线，只需证得∠PAC=90°．【详解】证明：(1)∵PC=50，PA=30，PB=18，∴PC505PA305,PA303PB183 ====．∴PC PA PA PB=．又∵∠APC=∠BPA，∴△PAB∽△PCA．(2)∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°．∴∠ABP=90°．又∵△PAB∽△PCA，∴∠PAC=∠ABP．∴∠PAC=90°．∴PA是⊙O的切线．。

2020年中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》(含答案)

2020年中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》(含答案)

备战2020中考数学三轮复习专项练习：《相似综合》1．如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE＝CE，点D为边BC上一点，GD＝GB，连接AD交BE于点F．（1）求证：∠ABE＝∠EAF；（2）求证：AE2＝EF•EC；（3）若CG＝2AG，AD＝2AF，BC＝5，求AE的长．2．在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；②若BD＝3CD，求的值；（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．3．已知▱EFGH的顶点E、G分别在▱ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在▱ABCD的对角线BD上．（1）如图1，求证：BF＝DH；（2）如图2，若∠HEF＝∠A＝90°，，求的值；（3）如图1，当∠HEF＝∠A＝120°，，时，求k的值．4．如图，BM、DN分别平分正方形ABCD的两个外角，且∠MAN＝45°，连接MN．（1）猜想以线段BM、DN、MN为三边组成的三角形的形状，并证明你的结论；（2）若△AMN为等腰直角三角形，探究线段BM、DN之间的数量关系；（3）当MN∥AD时，直接写出的值．5．如图，锐角△ABC中，BC＝12，BC边上的高AD＝8，矩形EFGH的边GH在BC上，其余两点E、F分别在AB、AC上，且EF交AD于点K．（1）求的值；（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S．①求S与x的函数关系式；②请直接写出S的最大值为．6．如图1，△ABC中，BD，CE是△ABC的高．（1）求证：△ABD∽△ACE．（2）△ADE与△ABC相似吗？为什么？（3）如图2，设cos∠ABD＝，DE＝12，DE的中点为F，BC的中点为M，连接FM，求FM的长．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．（1）求证：△AEF∽△BDF；（2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的长．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P，Q在对角线BD上，且BQ＝BP，过点P作PH⊥AB于点H，连接HQ，以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG，设BQ＝m．（1）若m＝2时，求此时PH的长．（2）若点C，G，H在同一直线上时，求此时的m值．（3）若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，求此时m的值．9．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．10．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．11．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．12．矩形ABCD中，AD＝9，AB＝12，点E在对角线BD上（不与B、D重合），EF⊥AE 交CD于F点，连接AF交BD于G点．（1）如图1，当G为DE中点时．①求证：FD＝FE；②求BE的长．（2）如图2，若E为BD上任意点，求证：AG2＝BG•GE．13．已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且＝＝k．（1）点D与点B重合时，①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是，位置关系是；②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；（2）BD＝2CD时，①如图3，k＝1时，若AE＝2，S＝6，求FC的长度；△CDF②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．14．如图1，△ABC的两条中线BD、CE交于点F．（1）＝；（2）如图2，若BE2＝EF•EC，且，EF＝，求DE的长；（3）如图3，已知BC＝4，∠BAC＝60°，当点A在直线BC的上方运动时，直接写出CE的最大值．15．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第62页的部分内容．已知：如图，DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE∽△ABC．请根据教材提示，结合图①，运用相似三角形的定义，写出完整的证明过程．证明：过点D作AC的平行线交BC于点F．结论应用：如图②，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD交AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．16．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF 的位置关系是，数量关系是．（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．17．如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别为AB，AD边上任意一点，现将△AEF沿直线EF对折，点A对应点为点G．（1）如图2，当EF∥BD，且点G落在对角线BD上时，求DG的长；（2）如图3，连接DG，当EF∥BD且△DFG是直角三角形时，求AE的值；（3）当AE＝2AF时，FG的延长线交△BCD的边于点H，是否存在一点H，使得以E，H，G为顶点的三角形与△AEF相似，若存在，请求出AE的值；若不存在，请说明理由18．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度数；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，点D是BC延长线上一点．若△ABD是“准互余三角形”，求CD的长；（3）如图②，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“准互余三角形”，求BD的长．参考答案1．（1）证明：∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵AG⊥BD，BG＝GD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD＝∠ABE+∠EBC，∠ADB＝∠DAC+∠C，∴∠ABE＝∠DAC，即∠ABE＝∠EAF．（2）证明：∵∠AEF＝∠BEA，∠EAF＝∠ABE，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∴AE2＝EF•EB，∵EB＝EC，∴AE2＝EF•EC．（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．∵AG垂直平分线段BD，∴JB＝JD，∴∠JBD＝∠JDG，∵∠JBD＝∠C，∴∠JDB＝∠C，∴DJ∥AC，∴∠AEF＝∠DJF，∵AF＝DF，∠AFE＝∠DFJ，∴△AFE≌△DFJ（AAS），∴EF＝FJ，AE＝DJ，∵AF＝DF，∴四边形AJDE是平行四边形，∴DE∥AG，∵AG⊥BC，∴ED⊥BC，∵EB＝EC，∴BD＝DC＝，∴BG＝DG＝，∵tan∠JDG＝tan∠C＝＝＝，∴JG＝，∵∠JGD＝90°，∴DJ＝＝＝＝，∴AE＝DJ＝＝．2．解：（1）①∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，∴当α＝90°，AB＝AC时，△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠AFC，∴在△ABE与△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF＝EF，∴BE＝AF＝2EF＝2CF，∴＝2；②如图，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，∴∠ABE＝∠CAG，∠F＝∠BED＝α＝∠CGF，∴∠AEB＝∠AGC，∴△ABE∽△CAG，∴＝．∵CF∥BE，∴△BED∽△CFD，∴＝＝3，设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，∴＝，解得：＝，∴＝；（2）如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，则∠BAD＝∠F，∠DAC＝∠ACF，又∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAD＝∠DAC，∴∠ACF＝∠F，∴AF＝AC＝5，又AE＝ED，∴FG＝CG，∴AG⊥CF，∴∠CAG＝∠FAG，∴AD⊥AG，∵tan∠BED＝2，∴tan∠AEG＝2，∵AE＝ED＝2，∴＝2，∴AG＝2AE＝4，又∵AC＝5，∴FG＝CG＝3，∵DE∥CG，∴＝，∴＝，∴解得，BE＝4．3．（1）证明：∵四边形EFGH是平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠EFD＝∠GHB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠GBH，在△EFD和△GHB中，，∴△EFD≌△GHB（AAS），∴DF＝BH，∴DF﹣HF＝BH﹣HF，∴BF＝DH；（2）解：作EM⊥FH于M，如图2所示：设MH＝a，∵四边形ABCD、四边形EFGH都是平行四边形，∠A＝∠FEH＝90°，∴四边形ABCD、四边形EFGH都是矩形，∴AD＝BC，∴tan∠ADB＝＝＝，tan∠EFH＝＝，∵∠FEH＝∠EMH＝90°，∴∠MEH+∠EHM＝90°，∠EFH+∠EHF＝90°，∴∠MEH＝∠EFH，∴tan∠MEH＝tan∠EFH＝＝＝，∴EM＝2a，FM＝4a，∵tan∠EDM＝＝，∴DM＝4a，FH＝5a，由（1）得：BF＝DH，∴BF＝DH＝3a，∴＝＝；（3）过点E作EM⊥BD于M，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵＝，∴＝，即＝，∵∠HEF＝∠A，∴△EFH∽△ADB，∴∠EFH＝∠ADB，∴EF＝ED，∴FM＝DM，设BF＝3a，∵＝，∴FH＝7a，∴DF＝10a，∴DM＝5a，由（1）得：BF＝DH，∴DH＝3a，MH＝DM﹣DH＝5a﹣3a＝2a，过点E作∠NEH＝∠EDH，交BD于N，∵∠ENH＝∠DNE，∴△ENH∽△DNE，∴＝，∴EN2＝DN•HN，设HN＝x，∴EN2＝x•（3a+x），∴EN＝，∵∠NEH＝∠EDH，∴∠NEH＝∠EFH，∵∠EHN＝∠FHE，∴△ENH∽△FEH，∴∠END＝HEF＝120°，∴∠ENM＝60°，∴∠NEM＝30°，∴EN＝2MN，∴＝2（2a﹣x），解得：x＝a，∴EN＝2a，MN＝a，由勾股定理得：EM＝＝＝a，EH＝＝＝a，EF＝DE＝＝＝2a，∴k＝＝＝．4．解：（1）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF＝AN，连接BF、FM，∵∠1+∠BAN＝90°，∠3+∠BAN＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴BF＝DN，∠FBA＝∠NDA＝135°，∵∠FAN＝90°，∠MAN＝45°，∴∠1+∠2＝∠FAM＝∠MAN＝45°，在△AFM和△ANM中，，∴△AFM≌△ANM（SAS），∴FM＝NM，∴∠FBP＝180°﹣∠FBA＝180°﹣135°＝45°，∴∠FBP+∠PBM＝45°+45°＝90°，∴△FBM是直角三角形，∵FB＝DN，FM＝MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形；（2）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠NAD＝45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB＝∠MBP＝45°，∴∠NAD＝∠AMB，在△ABM和△NDA中，，∴△ABM∽△NDA，∵△AMN是等腰直角三角形，∴；（3）连接BD并延长交MN延长线于点G，如图2，由题意知∠GDN＝∠GBM＝90°，∠ADN＝135°，∵MN∥AD，∴∠GND＝45°，∴∠G＝90°﹣∠GND＝45°，∴△DGN和△BGM均为等腰直角三角形，∴GN＝DN，GM＝BM，由（1）知，DN2+BM2＝MN2，∴设BM＝x，DN＝y，则GM＝x，GN＝y，∴MN＝（y﹣x），∴x2+y2＝[（y﹣x）]2，∴x1＝（2+）y（舍），x2＝（2﹣）y，∴．5．解：（1）∵四边形EFGH是矩形，∴EF∥BC，∵AD⊥BC，∴AK⊥EF，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴；（2）∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝∠EHG＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形EHDK是矩形，∴EH＝DK＝x，∵AK+DK＝AD，∴AK＝8﹣x，∵，∴，∴S＝EH•EF＝x•（8﹣x）＝﹣x2+12x．②∵S＝﹣x2+12x＝，，∴当x＝4，时S有最大值24．故答案为：24．6．（1）证明：如图1中，∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE（2）相似．理由：∵△ABD∽△ACE，∴，即，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC．（4）如图2中，连接DM、EM．由得，∴BC＝18，又EM＝DM＝9，MF⊥DE，且FD＝FE＝6，∴FM＝＝＝3．7．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠AEF＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF．（2）解：∵△AEF∽△BDF，∴＝＝＝，∵DF+EF＝9，∴EF＝3，DF＝6，∴BF＝＝＝10，AF＝＝＝5，∴AD＝5+6＝11，∴AB＝＝＝∵＝，∴＝，∵∠AFB＝∠EFD，∴△AFB∽△EFD，∴＝，∴＝，∴DE＝．8．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝＝＝5，∵BQ＝2，，∴BP＝3，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴，∴；（2）如图，设HG与PQ交于点O，设BQ＝2x，则BP＝3x，PQ＝x，∴PO＝QO＝，∴BO＝x，∵PH∥BC，∴△PHO∽△BCO，∴，∴PH＝＝，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴，∴，∴x＝，∴BQ＝；（3）连接AC交BD于O，∵经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，∴这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O．①如图，当直线OG经过PH的中点R时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，∵PH∥GQ，∴，∴，∴m＝；②如图，当直线OG经过HQ的中点N时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，∵PG∥HQ，∴＝＝，∴＝，∴m＝；综上所述，满足条件的m的值为或．9．（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．10．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△FAE，∴＝，∵CD＝AD，AE＝CE，∴＝，即EC•CF＝AF•AD．11．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴．同理，△EMF∽△AMB，∴．∵EF＝CD，∴，即．解得x＝6.6，∵，∴．解得AB＝9.6．答：大树AB的高度为9.6米．12．（1）①证明：如图1，取AF的中点O，连接OD，OE，∵∠ADF＝∠FEA＝90°，∴OE＝OD＝AF，∵点G是DE的中点，∴OG⊥DE，∴AF⊥DE，∵点G是DE的中点，∴FD＝FE；②解：由①知，AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵∠ADG＝∠ADB，∴△ADG∽△BDA，∴，在Rt△ABD中，AD＝9，AB＝12，根据勾股定理得，BD＝15，∴，∴DG＝，∴DE＝2DG＝，∴BE＝BD﹣DE＝；（2）如图2，过点E作MN∥BC分别交AB，CD于M，N，∴BC⊥CD，∴MN⊥CD且MN⊥AB，∴∠DNE＝∠AME＝90°，∵∠FEA＝90°，∴∠NEF＝∠MAE，∴△NEF∽△MAE，∴，∵AM＝DN，∴，∵∠FEA＝∠END＝90°，∴△FEA∽△END，∴∠FAE＝∠EDN，∵∠EDN＝∠ABG，∴∠FAE＝∠ABG，∵∠AGE＝∠BGA，∴△AGE∽△BGA，∴，∴AG2＝BG•GE．13．解：（1）①如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF理由：由题意：BA＝BC，BE＝BE，∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，∠A＝∠ACB＝45°，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∠A＝∠BCF＝45°，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝90°，∴AE⊥CF，故答案为AE＝CF，AE⊥CF．②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF．理由：∵＝＝2，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴＝＝2，∠A＝∠BCF，∴AE＝2CF，∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACB＝90°，∴AE⊥CF．（2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T．由题意AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵DT∥AB，∴∠CDT＝∠CBA＝90°，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，∵DH⊥CT，∴HT＝HC，∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，∵DT∥AB，∴＝＝，∴AT ＝4m ，∵AE ＝2，∴ET ＝4m ﹣2，∵DE ＝DF ，DT ＝DC ，∠EDF ＝∠TDC ＝90°，∴∠EDT ＝∠FDC ，∴△EDT ≌△FDC （SAS ），∴S △EDT ＝S △FDC ＝6，ET ＝FC ， ∴•（4m ﹣2）•m ＝6，解得m ＝2或﹣（舍弃），∴CF ＝ET ＝4m ﹣2＝8﹣2＝6．②如图4中，连接DM ，CM ，根点M 作MK ⊥BC 于K ，交AC 于J ．同法可证：AE ⊥CF ，∵∠EDF ＝∠ECF ＝90°，EM ＝MF ，∴DM ＝MC ＝EF ，∴点M 在长度CD 的垂直平分线MK 上，当NM ⊥NK 时，MN 的值最小， 由题意：AB ＝10，BC ＝5，CD ＝，CK ＝DK ＝，在Rt △ABC 中，AC ＝＝5，∵AN ＝CN ，∴CN ＝AC ＝， ∵JK ∥AB ，∴＝，∴＝，∴CJ＝，∴NJ＝CN﹣CJ＝﹣＝，∵NM⊥MK时，△NMK∽△CKJ，∴＝，∴＝，∴MN＝，∴MN的最小值为．14．解：（1）如图1中，∵AE＝BE，AD＝DC，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△EDF∽△CBF，∴＝＝，故答案为：．（2）如图2中，∵DE∥BC，且DE＝BC，∵△EDF∽CBF，∴＝＝＝，∵EF＝，∴CF＝2，EC＝3，∵BE2＝EF•EC，∴BE＝3，∵DF＝BE＝2，∴BF＝4，∵＝，∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴＝，∴＝，∴CB＝4，∴DE＝BC＝2．（3）如图3中，如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，取OB的中点F，连接EF，过点O作OH⊥BC于H，过点F作FT⊥BC于T．∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，OH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝2，∠BOH＝∠COH＝60°，∴OH＝＝，OB＝2OH＝，∵AE＝EB，BF＝OF，∴EF＝OA＝，∴点E的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的⊙F，∴CE的最大值＝EF+CF，∵FT⊥BC，OH⊥BC，∴FT∥OH，∵BF＝OF，∴BT＝TH＝1，FT＝OH＝，在Rt△FCT中，CF＝＝＝，∴CE的最大值为．15．教材呈现：证明：过点D作AC的平行线交BC于点F，∵DE∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴DE＝CF，∵DE∥BC，∴＝，∠AED＝∠C，∠ADE＝∠B，∵DF∥AC，∴＝，∴＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；结论应用：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．16．解：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，AE＝AB，AF＝AD，∴AE＝AF，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，∵∠ABE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，∴∠ADF+∠PHD＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BE⊥DF．故答案为BE＝DF，BE⊥DF．（2）如图3中，结论不成立．结论：DF＝nBE，BE⊥DF，∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，∴AF＝nAE，∴AF：AE＝AD：AB，∴AF：AE＝AD：AB，∵∠DAB＝∠EAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF：BE＝AF：AE＝n，∠ABE＝∠ADF，∴DF＝nBE，∵∠ABE+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，∴∠ADF+∠PHD＝90°，∴∠DPH＝90°，∴BE⊥DF．（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，AE＝3，∴BE＝＝3，∵△ABE∽△ADF，∴＝，∴＝，∴DF＝4，∵四边形AEPF是矩形，∴AE＝PF＝3，∴PD＝DF﹣PF＝4﹣3；如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF＝4，PF＝AE＝3，∴PD＝DF+PF＝4+3，综上所述，满足条件的PD的值为4﹣3或4+3．17．解：（1）连接AG，如图2所示，由折叠得：AG⊥EF，∵EF∥BD，∴AG⊥BD，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴∠DAB＝90°，AD＝BC＝6，∴DB＝＝＝10，∴cos∠ADB＝＝＝，∴DG＝AD•cos∠ADB＝6×＝．（2）①当∠DGF＝90°时，此时点D，G，E三点共线，设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，在Rt△DFG中，DG2+FG2＝DF2，即DG2＝（6﹣3t）2﹣（3t）2＝36﹣36t，∵tan∠FDG＝＝，∴＝，解得t＝，∴AE＝．②当∠GDF＝90°时，点G在DC上，过点E作EH⊥CD于H，则四边形ADHE是矩形，EH＝AD＝6．设AF＝3t，则FG＝3t，AE＝4t，DF＝6﹣3t，∵∠FDG＝∠FGE＝∠EHG＝90°，∴∠DGF+∠DFG＝90°，∠DGF+∠EGH＝90°，∴∠DFG＝∠EGH，∴△GDF∽△EHG，∴＝＝，∴＝＝，∴DG＝，GH＝8﹣4k，∵DG+GH＝AE，∴+8﹣4k＝4k，∴k＝，∴AE＝．综上所述：AE＝或．（3）①当△AEF∽△GHE时，如图4﹣1，过点H作HP⊥AB于P，∵∠AEF＝∠FEG＝∠EHG，∠EHG+∠HEG＝90°，∴△FEG+∠HEG＝90°，∴∠A＝∠FEH＝90°，∴△AEF∽△EHF，∴EF：HE＝AF：AE＝1：2，∵∠A＝∠HPE＝90°，∴∠AEF+∠HEP＝90°，∠HEP+∠EHP＝90°，∴∠AEF＝∠EHP，∴△AEF∽△HPE，∴EA：HP＝EF：EH＝1：2，∵HP＝6，∴AE＝3．②当△AEF∽△GHE时，如图4﹣2，过点H作HP⊥AB于P，同法可得EF：HE＝1：2，EA：HP＝1：2，设AF＝t，则AE＝2t，EP＝2t，HP＝4t，∴BP＝8﹣4t，∵△BHP∽△BDA，∴4t：6＝（8﹣4t）：8，解得：t＝，AE＝．③当△AEF∽△GEH时，如图4﹣3，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN 于N．设AF＝t，则AE＝2t，DF＝6﹣t，由翻折可知：△AEF≌△GEF，AE＝GE，∵△AEF∽△GEH，AE＝GE，∴△AEF≌△GEH（AAS或ASA），∴FG＝GH，∵MG∥DH，∴FM＝（6﹣t），∴AM＝EN＝AF+FM＝，又∵△FMG∽△GNE，且GF：GE＝1：2，∵MG＝NE＝AM＝，GN＝2FN＝6﹣t，∵MN＝AE，∴+6﹣t＝2t，解得t＝，∴AE＝．④当△AEF∽△GEH时，如图4﹣4，过点G作MN∥AB交AD于点M，过点E作EN⊥MN 于N，过点H作HQ⊥AD于Q，设AF＝t，则AE＝2t，设FM＝a，∴NG＝2a，NE＝a+t，∴MG＝EN＝AM＝，∴+2a＝2t①，由上题可知：MF＝MQ＝a，QH＝2MG＝a+t，∴DQ＝6﹣t﹣2a，∵＝，∴＝②，解得t＝，∴AE＝，综上所述，满足条件的AE的值为3或或或．18．解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，若∠A﹣∠B＝90°，则∠A＝110°，∴∠C＝180°﹣110°﹣20°＝50°，若∠A﹣∠C＝90°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝35°；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，∴AC＝＝＝3，∵△ABD是“准互余三角形”，∴∠BAD﹣∠B＝90°，或∠BAD﹣∠ADB＝90°，当∠BAD﹣∠ADB＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠ADB＝90°，∴∠CAD＝∠ADB，∴AC＝CD＝3，当∠BAD﹣∠B＝90°，∴∠BAC+∠CAD﹣∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD，∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA，∴，∴，∴CD＝；（3）如图，将△ABC沿BC翻折得到△EBC，∴CE＝AC＝4，∠BCA＝∠BCE，∠CBA＝∠CBE，∠E＝∠BAC＝90°，∴∠ABE+∠ACE＝180°，∵∠ACD＝2∠ABC＝∠ABE，∴∠ACD+∠ACE＝180°，∴点D，点C，点E三点共线，∵∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝2∠ABC+∠ACB＝90°+∠ABC，∴∠BCD﹣∠CBD＝90°，∵△BCD是“准互余三角形”，∴∠BCD﹣∠CDB＝90°，∴90°+∠ABC﹣∠CDB＝90°，∴∠CDB＝∠ABC＝∠EBC，又∵∠E＝∠E，∴△CEB∽△BED，∴，即，∴BE＝6，∴BD＝＝＝3．。

中考数学圆与相似综合经典题含答案

中考数学圆与相似综合经典题含答案

中考数学圆与相似综合经典题含答案一、相似1．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，如图；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．（3）在的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：由直线：知：、；∵，∴，即．设抛物线的解析式为：，代入，得：，解得∴抛物线的解析式：（2）解：在中，，，则；∵，∴；而；∴，∴当时，s有最小值，且最小值为1（3）解：在中，，，则；在中，，，则；∴；以P、B、D为顶点的三角形与相似，已知，则有两种情况：，解得；，解得；综上，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与相似【解析】【分析】（1）由直线与坐标轴相交易求得点A、C的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）由题意可将ED、OP用含t的代数式表示出来，并代入题目中的s与OP、DE的关系式整理可得s=（0<t<2），因为分子是定值1，所以分母越大，则分式的值越小，则当分母最大时，分式的值越小，即t=1时，s有最小值，且最小值为1；（3）解直角三角形可得BC和CD、BD的值，根据题意以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似所得的比例式有两种情况：，，将这些线段代入比例式即可求解。

2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.（1）填空：点B的坐标为________；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值【答案】（1）（2）解：存在，理由如下：∵OA=2,OC=2，∵tan∠ACO==,∴∠ACO=30°,∠ACB=60°①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DCE=∠EDC=30°,∴∠DBC=∠BCD=60°,∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC-CD=4-2=2，∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形，②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2.（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。

2024年安徽合肥中考数学试题及答案

2024年安徽合肥中考数学试题及答案

2024年安徽合肥中考数学试题及答案注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4、考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．审核：魏敬德老师一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A ，B ，C ，D 四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1. ﹣5的绝对值是（ ）A. 5B. ﹣5C. 15-D. 152. 据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（ ）A. 70.94410´B. 69.4410´C. 79.4410´D. 694.410´3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B.C. D.4. 下列计算正确的是（ ）A. 356a a a +=B. 632a a a ÷=C. ()22a a -=a=5. 若扇形AOB 的半径为6，120AOB Ð=°，则»AB 的长为（ ）A. 2pB. 3pC. 4pD. 6p6. 已知反比例函数()0ky k x =¹与一次函数2y x =-的图象的一个交点的横坐标为3，则k 的值为（）A. 3-B. 1-C. 1D. 37. 如图，在Rt ABC △中，2AC BC ==，点D 在AB 延长线上，且CD AB =，则BD 的长是（ ）C. 2-D. 8. 已知实数a ，b 满足10a b -+=，011a b <++<，则下列判断正确的是（ ）A 102a -<< B. 112b <<C. 2241a b -<+< D. 1420a b -<+<9. 在凸五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE =，F 是CD 中点．下列条件中，不能推出AF 与CD 一定垂直的是（ ）A. ABC AEDÐ=Ð B. BAF EAF Ð=ÐC. BCF EDF Ð=Ð D. ABD AECÐ=Ð10. 如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若代数式14-x 有意义，则实数x 的取值范围是_____．的.的12.，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为227．比较大______227（填“>”或“<”）．13. 不透明的袋中装有大小质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球．从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是______．14. 如图，现有正方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边,AB BC 上，沿垂直于EF 的直线折叠得到折痕MN ，点B ，C 分别落在正方形所在平面内的点B ¢，C ¢处，然后还原．（1）若点N 在边CD 上，且BEF a Ð=，则C NM ¢Ð=______（用含α的式子表示）；（2）再沿垂直于MN 的直线折叠得到折痕GH ，点G ，H 分别在边,CD AD 上，点D 落在正方形所在平面内的点D ¢处，然后还原．若点D ¢在线段B C ¢¢上，且四边形EFGH 是正方形，4AE =，8EB =，MN 与GH 的交点为P ，则PH 的长为______．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 解方程：223x x -=16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy ，格点（网格线的交点）A 、B ，C 、D 的坐标分别为()7,8，()2,8，()10,4，()5,4．（1）以点D 旋转中心，将ABC V 旋转180°得到111A B C △，画出111A B C △；（2）直接写出以B ，1C ，1B ，C为顶点的四边形的面积；为（3）在所给的网格图中确定一个格点E ，使得射线AE 平分BAC Ð，写出点E 的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植A B ，两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：农作物品种每公顷所需人数每公顷所需投入资金（万元）A48B 39已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元．问A B ，这两种农作物的种植面积各多少公顷？18. 数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N 能否表示为22x y -（x y ，均为自然数）”的问题．（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n 为正整数）：N 奇数4的倍数22110=-22420=-22321=-22831=-22532=-221242=-22743=-221653=-22954=-222064=-表示结果LL 一般结论()22211n n n -=--4n =______按上表规律，完成下列问题：（ⅰ）24=（ ）2-（ ）2；（ⅱ）4n =______；（2）兴趣小组还猜测：像261014L ，，，，这些形如42n -（n 为正整数）的正整数N 不能表示为22x y -（x y ，均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设2242n x y -=-，其中x y ，均为自然数．分下列三种情形分析：①若x y ，均为偶数，设2x k =，2y m =，其中k m ，均为自然数，则()()()222222224x y k m k m -=-=-为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为偶数．②若x y ，均为奇数，设21x k =+，21=+y m ，其中k m ，均为自然数，则()()22222121x y k m -=+-+=______为4的倍数．而42n -不是4的倍数，矛盾．故x y ，不可能均为奇数．③若x y ，一个是奇数一个是偶数，则22x y -为奇数．而42n -是偶数，矛盾．故x y ，不可能一个是奇数一个是偶数．由①②③可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形②横线上填写所缺内容．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19. 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处．已知BE 与水平线的夹角36.9a =°，点B 到水面的距离 1.20BC =m ，点A 处水深为1.20m ，到池壁的水平距离 2.50m AD =，点B C D ，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为b ，折射角为g ，求sin sin b g的值（精确到0.1，参考数据：sin 36.90.60°»，cos36.90.80°»，tan 36.90.75°»）．20. 如图，O e 是ABC V 的外接圆，D 是直径AB 上一点，ACD Ð的平分线交AB 于点E ，交O e 于另一点F ，FA FE =．的（1）求证：CD AB ⊥；（2）设FM AB ⊥，垂足为M ，若1OM OE ==，求AC 的长．六、（本题满分12分）21. 综合与实践【项目背景】无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．【数据收集与整理】从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x （单位：cm ）表示．将所收集的样本数据进行如下分组：组别A B C D Ex 3.5 4.5x £< 4.5 5.5x £< 5.5 6.5x £< 6.57.5x £<7.58.5x ££整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：任务1 求图1中a 的值．【数据分析与运用】任务2 A ，B ，C ，D ，E 五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．①两园样本数据的中位数均在C 组；②两园样本数据的众数均在C 组；③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．任务4 结合市场情况，将C ，D 两组的柑橘认定为一级，B 组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．根据所给信息，请完成以上所有任务．七、（本题满分12分）22. 如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．（1）求证：OE OF =；（2）连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求ACBD 的值．八、（本题满分14分）23. 已知抛物线2y x bx =-+（b 为常数）的顶点横坐标比抛物线22y x x =-+的顶点横坐标大1．（1）求b 的值；（2）点()11,A x y 在抛物线22y x x =-+上，点()11,B x t y h ++在抛物线2y x bx =-+上．（ⅰ）若3h t =，且10x ³，0t >，求h 的值；（ⅱ）若11x t =-，求h 的最大值．数学试题注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4、考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．审核：魏敬德老师一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）【11题答案】x¹【答案】4【12题答案】【答案】>【13题答案】【答案】16【14题答案】【答案】 ①. 90a °-##90a -+° ②. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）【15题答案】【答案】13x =，21x =-【16题答案】【答案】（1）见详解 （2）40（3）()6,6E (答案不唯一)四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）【17题答案】【答案】A 农作物的种植面积为3公顷，B 农作物的种植面积为4公顷．【18题答案】【答案】（1）（ⅰ）7，5；（ⅱ）()()2211n n +--； （2）()224k m k m -+-五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）【19题答案】【答案】43【20题答案】【答案】（1）见详解 （2）六、（本题满分12分）【21题答案】【答案】任务1：40；任务2：6；任务3：①；任务4：乙园的柑橘品质更优，理由见解析七、（本题满分12分）【22题答案】【答案】（1）见详解（2）（ⅰ）见详解，八、（本题满分14分）【23题答案】【答案】（1）4b=（2）（ⅰ）3；（ⅱ）10 3。

人教版中考模拟考试数学试卷及答案(共七套)

人教版中考模拟考试数学试卷及答案(共七套)
∴ME=MC+EC= 。
19.（1） ；
（2）如下表：
小辰
A
A
A
B
B
B
C
C
C
小安
A
B
C
A
B
C
A
B
C
同一型号
√
√ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
√
由表知：他们选择同一型号的概率为 。
20.（1）由两张图知：A有32人，占40%，所以样本容量是80人；
（2）求出B的人数是16人，补全条形图如图；
（3）D等占10%，扇形圆心角是36°；
（4）在被抽到的80人中，C等级24人，占30%，
以此估计全校2000人中评为C的可能有
2000×30%=600，即可能有600人。
21. 解：设增加了 行，则共有（ ）行，（ ）列，
根据题意： ， ，
∵ ，∴ ，
答：增加了3列。
22. 提示（1）AB是直径，∠ACB=90°，∠B+∠2=90°；
DC=AC，那么∠D=∠1，而∠D=∠B，
（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是________；
（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一型号免洗洗手液的概率。
20.（本题8分）
学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行。在建党100周年之际，某校对全校学生进行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A，B，C，D四个等级，随机抽取了部分学生的成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：
则D（8，6），CD=5，
而A（5，0），OA=5，∴CD=OA，
∵CD∥OA，且CD=OA，∴四边形OADC是平行四边形；
（3）点C纵坐标为6，则CD与OA之间的距离为 ，

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》含答案

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》含答案

2020年九年级数学典型中考压轴题训练《相似综合》1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG ＝，求线段AH长．2．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．3．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，延长弦CD至点E，CD＝6，AB⊥CD于点F，点M在AB 上，AM＝，连接EM，点N在半径OB上，ON＝2，ND∥ME．（1）求tan∠E的值；（2）延长OB至点G，使BG＝，连接GD并延长交ME于点H，判断GH与⊙O的位置关系，并求MH的长．4．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：CD2＝AD•DB；（2）如图2，若AC＝BC，EF⊥CD于H，EF与BC交于E，与AC交于F，且＝，求的值；（3）如图3，若AC＝BC，点H在CD上，且∠AHD＝45°，CH＝3DH，直接写出tan∠ACH 的值为．5．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．（1）判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．（2）如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段AC上的一个动点且＝k（0＜k＜1），点F在线段BC上，且DEFH为矩形；过点E作MN⊥BC，分别交AD，BC于点M，N．（1）求证：△MED∽△NFE；（2）当EF＝FC时，求k的值．（3）当矩形EFHD的面积最小时，求k的值，并求出矩形EFHD面积的最小值．7．如图1，△ABC中，∠ACB的平分线CE交AB于点E．（1）求证：＝；（2）如图2，AD⊥BC交CE于F，BD＝2AD，∠AEC＝45°．①求证：BE＝2AE；②直接写出sin∠ACE的值．8．如图1，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，∠ABD＝∠C．（1）求证：△ADB∽△ABC；（2）点E在AB边上，连接DE，BE＝DE．①如图2，若∠C＝30°，求证：3AE•BE＝AD•CD；②如图3，△ABC为锐角三角形，AB＝6，AC＝9，tan C＝，请直接写出AE的长．9．在四边形ABCD中，E、F分别是BD、BC上的点，∠BAE＝∠BDA．（1）如图1，求证：AB2＝BE•BD；（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，A、E、F三点在同一条直线上，，∠ABC＝60°，求的值；（3）如图3，若A、E、F不在同一条直线，∠DEF＝∠C，AB＝2，BD＝4，，，则CD＝（直接写出结果）．10．矩形ABCD 中，点P 在对角线BD 上（点P 不与点B 重合），连接AP ，过点P 作PE ⊥AP 交直线BC 于点E ．（1）如图1，当AB ＝BC 时，猜想线段PA 和PE 的数量关系： ； （2）如图2，当AB ≠BC 时．求证：（3）若AB ＝8，BC ＝10，以AP ，PE 为边作矩形APEF ，连接BF ，当PE ＝时，直接写出线段BF 的长．11．已知矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF ⊥AE 于点F ． （1）如图1，若BE ＝，求AE •AF 的值；（2）如图2，连接AC 交DF 于点G ，若＝，求cos ∠FCE 的值；（3）如图3，延长DF 交AB 于点G ，若G 点恰好为AB 的中点，连接PC ，过A 作AK ∥FC 交FD 于K ，设△ADK 的面积为S 1，△CDF 的面积为S 2，则的值为 ．12．如图1，AB⊥BC，分别过点A，C作BM的垂线，垂足分别为M，N．（1）求证：BM•BC＝AB•CN；（2）若AC＝BC．①如图2，若BM＝MN，过点A作AD∥BC交CM的延长线于点D，求DN：CN的值；②如图3，若BM＞MN，延长BN至点E，使BM＝ME，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，若E是CF的中点，且CN＝1，直接写出线段AF的长．13．请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D，E，F依次是OABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．过点C作CM∥DE交AB于点M，则，（依据）∴＝∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即．情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．…（1）情况①中的依据指：（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明．（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC．上的点，且AD：DB＝CF：FA＝2：3，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，那么BE：CE＝．14．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．15．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为．类比探究（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由拓展延伸：（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为．参考答案1．证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJK由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．2．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．3．解：（1）如图，连接OD，∵AB＝10，∴OA＝OB＝5，∵AB⊥CD，∴CF＝DF＝CD＝3，∴OF＝＝＝4，∴NF＝OF﹣ON＝2，∵DN∥ME，∴∠E＝∠NDF，∴tan∠E＝tan∠NDF＝＝；（2）∵FB＝OB﹣OF＝1，∴FG＝+1＝，∵，∴，且∠DFG＝∠DFO＝90°，∴△DFO∽△GFD，∴∠G＝∠ODF，∵∠FOD+∠ODF＝90°＝∠FOD+∠G，∴∠ODG＝90°，∴OD⊥DG，且OD是半径，∴GH是⊙O的切线，∵AM＝，∴GM＝10﹣+＝，在Rt△DFN中，DN＝＝＝，∵DN∥ME，∴∴∴MH＝2．4．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD，∴△CBD∽△ACD，∴CD：AD＝BD：CD，∴CD2＝AD•DB；（2）解：∵＝，∴设FH＝4a，则HE＝9a（a＞0），∵∠ACB＝90°，EF⊥CD，∴同（1）得：CH2＝HE•FH＝9a×4a＝36a2，∴CH＝6a，在Rt△CHF中，tan∠ACD＝＝＝，过D作DP⊥AC于P，如图2所示：则DP∥BC，在Rt△DPC中，tan∠ACD＝＝，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝45°，∴△ADP是等腰直角三角形，∴AP＝DP，∴＝＝，∵DP∥BC，∴＝＝；（3）解：过点D作DM⊥AH于M，如图3所示：∵CH＝3DH，∴设DH＝2x，则CH＝6x（x＞0），∴CD＝DH+CH＝8x，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°＝∠AHD，又∵∠ADH＝∠CDA，∴△ADH∽△CDA，∴∠DAH＝∠ACH，AD：CD＝DH：AD，∴AD2＝DH•CD＝16x2，∴AD＝4x，∵DM⊥AH，∠AHD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴DM＝HM＝DH＝x，∴AM＝＝＝x，∴tan∠ACH＝tan∠DAH＝＝＝；故答案为：．5．解：（1）①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE＝120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B＝∠AED，若∠AED＝∠B＝60°，则∠CED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠CDE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC＝α（0°＜α＜90°），∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C＝180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE，当∠AED＝∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC＝α（0°＜α＜90°），E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED；（2）①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE＝2，AB＝AD＝4，由（1）③得：△ABE∽△DEA，∴＝＝，∴AE2＝BE•AD＝2×4＝8，∴AE＝2，DE＝＝＝4，②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得：EM2＝DE2﹣DM2＝AE2﹣AM2，即（4）2﹣（x+4）2＝（2）2﹣x2，解得：x＝1，∴AM＝1，EN＝DM＝5，∴DN＝EM＝＝＝，在Rt△BDN中，∵BN＝BE+EN＝2+5＝7，∴tan∠DBC＝＝．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，DC＝AB＝3，AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，∴∠EMD＝∠FNE＝90°，∵四边形DEFH是矩形，∴∠MED+∠NEF＝90°，∴∠NEF＝∠MDE，∴△MED∽△NFE；（2）解：设AM＝x，则MD＝NC＝4﹣x，∵tan∠DAC＝tan∠MAE＝＝＝，∴ME＝x，∴NE＝3﹣x，∵△MED∽△NFE，∴＝，即＝，解得：NF＝x，∴FC＝4﹣x﹣x＝4﹣x，EF＝＝，当EF＝FC时，4﹣x＝，解得：x＝4或x＝，由题意可知x＝4不合题意，当x＝时，AE＝，∵AC＝＝＝5，∴k＝＝；（3）解：由（1）可知：△MED∽△NFE，∴＝＝，∴DE＝EF，∴矩形EFHD的面积＝DE×EF＝EF2＝[（3﹣x）2+（x）2]＝[（x﹣）2+]，∴当x﹣＝0时，即x＝时，矩形EFHD的面积最小，最小值为：×＝，∵cos∠MAE＝＝＝，∴AE＝AM＝×＝，此时k＝＝．7．（1）证明：过B作BG∥AC交CE的延长线于G，如图1所示：则∠G＝∠ACE，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠G＝∠BCE，∴BG＝BC，∵BG∥AC，∴△ACE∽△BGE，∴，∴；（2）①证明：过E作EM⊥AB交BC于M，如图2所示：则∠AEM＝90°，∵∠AEC＝45°，∴∠MEC＝45°＝∠AEC，在△AEC和△MEC中，，∴△AEC≌△MEC（ASA），∴ME＝AE，∵AD⊥BC，EM⊥AB，∴∠MEB＝∠ADB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BME∽△BAD，∴，∴BE＝2EM，∴BE＝2AE；②解：由（1）得：＝，∵BE＝2AE，∴，设AC＝x，BC＝2x，AD＝1，BD＝2，则CD＝2x﹣2，又AC2＝AD2+CD2，∴x2＝12+（2x﹣2）2，＝1，，∴x1又2x﹣2＞0，∴x＝，∴AC＝，CD＝，作FG⊥AC于G，如图3所示：∵CE平分∠ACB，AD⊥BC，∴FD＝FG，∴＝＝＝，∴，∴DF＝AD＝×1＝，∴CF＝＝＝，∴sin∠DCF＝，∴sin∠ACE＝sin∠DCF＝．8．（1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC（2）①证明：过点A作AF∥DE交BD的延长线于点F，过E作EG⊥BD于点G，如图2所示：∵BE＝DE，∴∠ABD＝∠BDE，∵AF∥DE，∴∠F＝∠BDE，∵∠ABD＝∠C＝30°，∴∠ABD＝∠BDE＝∠F＝∠C＝30°，∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△BDC，∴DF：CD＝AD：BD，∴BD•DF＝AD•CD，∵BE＝DE，EG⊥BD，∴BG＝DG，EG＝BE，∴BG＝EG＝BE，∴BD＝2BG＝BE，∵AF∥DE，∴DF：AE＝BD：BE，∴DF＝AE，∴BE•AE＝AD•CD，∴3AE•BE＝AD•CD；②解：AE＝，理由如下：由（1）得：△ADB∽△ABC，∴AB：AC＝AD：AB，∴AB2＝AD•AC，即62＝9AD，∴AD＝4，∴CD＝AC﹣AD＝5，过点A作AF∥DE交BD的延长线于点F，过E作EG⊥BD于点G，如图3所示：∵BE＝DE，∴∠ABD＝∠BDE，∵AF∥DE，∴∠F＝∠BDE，∵∠ABD＝∠C，∴∠ABD＝∠BDE＝∠F＝∠C，∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△BDC，∴DF：CD＝AD：BD，∴BD•DF＝AD•CD，∵BE＝DE，EG⊥BD，∴BG＝DG，tan∠ABD＝＝tan C＝，∴BG＝EG＝BE，∴BD＝2BG＝BE，∵AF∥DE，∴DF：AE＝BD：BE＝8：5，∴DF＝AE，∴BE•AE＝AD•CD，∴64AE•BE＝25AD•CD；设AE＝x，则BE＝6﹣x，∴64x（6﹣x）＝25×4×5，解得：x＝，或x＝，∵AE＝＞4＝AD，∴∠ADE＞∠AED＝2∠C，∵AF∥DE，∴∠DAF＝∠ADE＞2∠C，∵△ADF∽△BDC，∴∠DBC＝∠DAF＞2∠C，∴∠ABC＞3∠C＞90°，∴x＝不合题意舍去，∴AE═．9．（1）证明：∵∠BAE＝∠BDA，∠ABE＝∠DBA，∴△BAE～△BDA，∴AB：BD＝BE：AB，∴AB2＝BE•BD；（2）解：作BG⊥AD于G，如图2所示：∵，∴设BF＝x，则FC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝BF+CF＝3x，AD∥BC，∴∠BAG＝∠ABC＝60°，△BEF∽△DEA，∴＝＝，∴DE＝3BE，设BE＝y，DE＝3y，则BD＝BE+DE＝4y，由（1）得：AB2＝BE•BD＝y×4y＝4y2，∴AB＝2y，∵BG⊥AD，∠BAG＝60°，∴∠ABG＝30°，∴AG＝AB＝y，BG＝AG＝y，∴DG＝AG+AD＝y+3x，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BG2+DG2＝BD2，即（y）2+（y+3x）2＝（4y）2，解得：x＝，∴＝，∴＝＝＝；（3）解：作FH⊥BD于H，在BC的延长线上截取DT＝DC，连接DT，如图3所示：则∠DCT＝∠T，由（1）得：AB2＝BE•BD，即22＝BE×4，解得：BE＝1，∵＝，∴EH＝2FH，设FH＝a，则EH＝2a，BH＝1﹣2a，在Rt△BFH中，由勾股定理得：a2+（1﹣2a）2＝（）2，解得：a＝，或a＝（不合题意舍去），∴FH＝，EH＝，∴EF＝＝＝，∵∠DEF＝∠BCD，∠DEF+∠BEF＝180°，∠BCD+∠DCT＝180°，∴∠BEF＝∠DCT＝∠T，∵∠EBF＝∠TBD，∴△BEF∽△BTD，∴＝，即＝，∴DT＝，∴CD＝；故答案为：．10．（1）解：线段PA和PE的数量关系为：PA＝PE，理由如下：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴PM＝PN，∴四边形MBNP是正方形，∴∠MPN＝90°，∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN，在△APM和△EPN中，，∴△APM≌△EPN（ASA），∴PA＝PE，故答案为：PA＝PE；（2）证明：过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝AB，AD⊥AB，CD⊥BC，∠ABC＝90°，∴四边形MBNP是矩形，∴∠MPN＝90°，∵PE⊥AP，∴∠APE＝90°，∴∠APM+∠MPE＝90°，∠EPN+∠MPE＝90°，∴∠APM＝∠EPN，∵∠AMP＝∠ENP＝90°，∴△APM∽△EPN，∴＝，∵PM⊥AB，PN⊥BC，AD⊥AB，CD⊥BC，∴PM∥AD，PN∥CD，∴△BPM∽△BDA，△BPN∽△BDC，∴＝，＝，∴＝，∴＝＝，∴；（3）解：连接AE、PF交于Q，连接QB，过点A作AO⊥BD于O，①当P在O的右上方时，如图3所示：由（2）得：＝＝，∴PA＝PE＝×＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，∵AO⊥BD，∵△ABD的面积＝BD×AO＝AB×AD，∴AO＝＝＝，∵tan∠ABD＝＝，∴＝，解得：BO＝，由勾股定理得：OP＝＝＝，∴BP＝BO+OP＝，∵四边形APEF是矩形，∴∠AEP＝90°，AE＝PE，QA＝QE＝QP＝QF，∴PF＝AE＝＝＝，∵∠ABE＝90°，∴QB＝AE＝QE，∴QA＝QE＝QP＝QF＝QB，∴点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，∴∠PBF＝90°，∴BF＝＝＝；②当P在O的左下方时，如图4所示：同理可得：AO＝，BO＝，OP＝，PF＝，则BP＝BO﹣OP＝，同理可得：点A、P、E、B、F五点共圆，AE、PF为圆的直径，∴BF＝＝＝；综上所述，当PE＝时，线段BF的长为或．11．解：（1）∵E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，AD∥BC，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∴△ABE∽△DFA，∴＝，∴AE•AF＝AD•BE＝2×＝4；（2）延长DE交CB的延长线于H，连接DE、AH，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠BCD＝90°，∴△ADG∽△CHG，∴＝＝，∴BH＝BC，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝BH，∴EH＝BC＝AD，∴四边形ADEH是平行四边形，∵DF⊥AE，∴四边形ADEH是菱形，∴DF＝HF，∠AEH＝∠AED，DE＝AD＝EH＝BC，∴CE＝DE，∴∠CDE＝30°，∴∠CED＝90°﹣30°＝60°，∴∠AEH＝∠AED＝60°，∵DF⊥AE，∴∠FDE＝30°＝∠CDE，∴FE＝CE，∴∠FCE＝∠CFE＝∠AEH＝30°，∴cos∠FCE＝；（3）过F作PQ⊥AB于P，交CD于Q，作KH⊥AD于H，如图3所示：则PQ＝AD，AP＝DQ，PQ∥BC∥AD，∵G是AB的中点，E是BC的中点，∴AB＝2AG，BC＝2BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠DAG＝90°，∵DF⊥AE，∴∠ADF+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAG，∴＝，∴AB•AG＝AD•BE，即AB2＝AD2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝PQ，设AB＝BC＝CD＝AD＝PQ＝4a，则BE＝AG＝2a，∴tan∠ADG＝tan∠BAE＝＝，AE＝DG＝＝2a，∵DF⊥AE，∴AF＝＝＝a，∵PQ∥BC，∴△APF∽△ABE，∴＝＝，即＝＝，解得：AP＝a，PF＝a，∴CQ＝PB＝AB﹣AP＝4a﹣a＝a，FQ ＝PQ ﹣PF ＝4a ﹣a ＝a ，∵KH ⊥AD ，∴tan ∠ADG ＝＝， 设KH ＝x ，则DH ＝2x ，∵PQ ∥AD ，AK ∥FC ，∴∠DAF ＝∠QFE ，∠KAF ＝∠CFE ，∴∠DAK ＝∠QFC ，又∵∠AHK ＝∠FQC ＝90°，∴△AHK ∽△FQC ， ∴＝，即＝，解得：AH ＝x ，∵AH +DH ＝AD ， ∴x +2x ＝4a ，解得：x ＝a ，∴KH ＝a ，∵△ADK 的面积为S 1＝AD ×KH ，△CDF 的面积为S 2＝CD ×FQ ， ∴＝＝＝； 故答案为：．12．（1）证明：如图1中，∵AM⊥BN，CN⊥BN，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠N＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBN＝90°，∴∠A+∠CBN＝90°，∴△ABM∽△BCN，∴＝，∴BM•BC＝AB•CN．（2）解：如图2中，连接AN，延长AN交BC的延长线于H，作BK⊥AN于K．由（1）可知：△ABM∽△BCN，∴＝∵AB＝BC，∴AM＝BN，BM＝CN，设CN＝m，∵BM＝MN，∴BM＝CN＝MN＝m，BN＝AM＝2m，∵AM⊥BN，BM＝MN，∵S＝•BN•AM＝•AN•BK．△ABN∴BK＝＝m，∴AK＝＝＝m，∵∠BAK＝∠BAH，∠ABH＝∠AKB＝90°，∴△ABK∽△AHB，∴＝，∴＝，∴AH＝m，∴HN＝AH﹣AN＝m﹣m＝m，∵AD∥CH，∴＝＝＝．（3）解：如图3中，连接AE，延长AE交BC的延长线于H．∵AF∥CH，∴∠F＝∠ECH，∵∠AEF＝∠CEH，EF＝CF，∴△AFE≌△HCE（ASA），∴AE＝EH，AF＝CH，∵AM⊥BE，BM＝ME，∴AB＝AE，∵∠ABH＝90°，∵CN＝BM＝ME＝1，∴BE＝AE＝EH＝2，∴AB＝BC＝AE＝2，∴BH＝＝2，∴CH＝BH﹣BC＝2﹣2，∴AF＝2﹣2．13．解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．故答案为两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．则有＝，＝，＝，∴•＝•，∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，∴••＝1．（3）如图3中，∵••＝1，AD：DB＝CF：FA＝2：3，∴＝．故答案为．14．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∵GE∥BN，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB15．解：问题发现：（1）∵DE∥BC，∴，∵AB＝k•AC，∴BD＝k•EC，故答案为：BD＝k•EC；类比探究：（2）成立，理由如下：连接BD由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE∵＝，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝k，故BD＝k•EC；拓展延伸：（3）BF•CF的值为2或1；由旋转的性质可知∠BAD＝∠CAE∵＝，∴△ABD∽△ACE∴∠ACE＝15°＝∠ABD∵∠ABC+∠ACB＝90°∴∠FBC+∠FCB＝90°∴∠BFC＝90°∵∠BAC＝90°，AC＝1，AB＝，∴tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°∴∠ACB＝60°分两种情况分析：①如图2，∴在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AC＝1，∴BC＝2AC＝2，∵在Rt△BFC中，∠CBF＝30°+15°＝45°，BC＝2 ∴BF＝CF＝∴BF•CF＝（）2＝2②如图3，设CF＝a，在BF上取点G，使∠BCG＝15°∵∠BCF＝60°+15°＝75°，∠CBF＝∠ABC﹣∠ABD＝30°﹣15°＝15°，∴∠CFB＝90°∴∠GCF＝60°∴CG＝BG＝2a，GF＝a．∵CF2+BF2＝BC2∴a2+（2a+a2＝22，解得a2＝2﹣，∴BF•CF＝（2+）a•a＝（2+）•a2＝1，即：BF•CF＝1或2．故答案为：1或2．。

九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《相似综合》(二)(word版,带答案)

九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《相似综合》(二)(word版,带答案)

九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《相似的综合》（二）1．已知：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？2．如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：∠GDA＝∠GCB；（2）连接FE，求证：∠GDA＝∠GFE；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，试判断是否为定值，若为定值请求出；若不存在定值请说明理由．3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG ∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF．（1）①求证：∠ABC＝∠ACD；②求证：△EGC∽△CBD（2）如图2，若∠BAC＝90°，AD＝2，BD＝6，求CG的长．4．如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点M的坐标为（，），点N的坐标为（，）；（2）当四边形AMNB的面积恰好为76时，求此时t的值；（3）当t为何值时，△MON与△AOB相似．5．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM 交BD于点N，ND＝1．（1）证明：△MNO～△CND；（2）求BD的长．6．如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高．（1）证明：△ABD∽△CBE；（2）若△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，求点B到直线AC的距离．7．如图1，正方形ABCD的边长为4，把三角板的直角顶点放置BC中点E处，三角板绕点E旋转，三角板的两边分别交边AB、CD于点G、F．（1）求证：△GBE∽△ECF；（2）设BG＝x，CF＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（3）如图2，连接AC交GF于点Q，交EF于点P．当△AGQ与△CEP相似，求线段AG的长．8．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板．把两块边长为4的等边三角形板ABC和DEF叠放在一起，使三角形板DEF的顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，把三角形板ABC固定不动，让三角形板DEF绕点O旋转，设边DE与边AB相交于点M，边DF与边BC相交于点N．（1）如图1，当边DF经过点B，即点N与点B重合时，易证△ADM∽△CND．此时，AMCN＝．（2）将三角形板DEF绕点O沿逆时针方向旋转得到图2，问AMCN的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设AM＝x，两块三角形板重叠面积为y，则y与x的函数关系式为．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交边AC或边BC于点D，点E是射线PB上的一点，且PE＝2PD，以PD、PE为邻边作矩形PEFD．设矩形PEFD与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示线段PE的长．（2）当点F落在BC上时，求t的值．（3）当矩形PEFD与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）若△ABC重心为G，矩形DPEF中心为O，当点O与点G到直线AB距离相同时，请直接写出t的值．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是；（2）如图2，当，求的值；（3）如图3，当，不需要求解过程，直接写出的值．参考答案1．解：∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝＝5，则BP＝t，AQ＝2t，AP＝5﹣t，∵∠P AQ＝∠BAC，当＝时，△APQ∽△ABC，即＝，解得t＝；当＝时，△APQ∽△ACB，即＝，解得t＝；答：t为s或s时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．2．（1）证明：∵点E是AB的中点，GE⊥AB，∴GE是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，同理：GD＝GC，在△AGD和△BGC中，，∴△AGD≌△BGC（SAS），∴∠GDA＝∠GCB；（2）证明：∵∠AGD＝∠BGC，∴∠AGB＝∠DGC，∵＝，∴△AGB∽△DGC，∴＝，∵∠AGE＝∠DGF，∴∠AGD＝∠EGF，∴△AGD∽△EGF，∴∠GDA＝∠GFE；（3）解：如图1，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，∵△AGD≌△BGC，∴∠GAD＝∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，∴∠AGB＝∠AHB＝90°，∴∠AGE＝∠AGB＝45°，∴＝，∵△AGD∽△EGF，∴＝＝．3．解：（1）①证明：∵CE＝CF，∴∠CEF＝∠CFE．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，又∵∠CEF＝∠ABC+∠BAE，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，∴∠ABC＝∠ACD；②证明：∵EG∥CD，∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G，∵∠ABC＝∠ACD，∴∠ABC＝∠G，∴△EGC∽△CBD；（2）在△AEB和△AEG中，∴△AEB≌△AEG（AAS），∴AG＝AB．∠ABC＝∠G，∵AD＝2，BD＝6，∴AB＝AD+BD＝2+6＝8，∴AG＝8．∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴AB：AC＝AC：AD，∴AC2＝ABAD＝8×2＝16，∴AC＝4（舍负），∴CG＝AG﹣AC＝8﹣4＝4．4．解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10﹣t）cm，∴N（0，2t），M（10﹣t，0）；故答案为：0，2t，10﹣t，0；（2）∵S四边形AMNB＝S△ABO﹣S△MON，∴76＝×10×20﹣×2t×（10﹣t），∴t＝4或6，∴当t＝4或6时，四边形AMNB的面积为76cm2．（3）∵△MON与△AOB相似，∠MON＝∠AOB＝90°，∴＝或∴或，解得：t＝5或2，∴当t＝5或2时，△MON与△AOB相似．5．∵OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD．∵由（1）知，△MNO～△CND，ND＝1，∴＝＝，∴ON＝，∴OD＝ON+ND＝，∴BD＝2OD＝3．6．解：（1）证明：∵AD、CE分别是BC、AB边上的高，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE；（2）∵△ABD∽△CBE，∴＝，又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，∴＝．∵△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，∴＝，∴AC＝4，∴点B到直线AC的距离为：＝＝6．7．解：如图1，延长FE交AB的延长线于F'，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠F'＝∠CFE，在△BEF'和△CEF中，，∴△BEF'≌△CEF（SSA），∴BF'＝CF，EF'＝EF，∵∠GEF＝90°，∴GF'＝GF，∴∠BGE＝∠EGF，∵∠GBE＝∠GEF＝90°，∴△GBE∽△GEF；（2）∵∠FEG＝90°，∴∠BEG+∠CEF＝90°，∵∠BEG+∠BGE＝90°，∴∠BGE＝∠CEF，∵∠EBG＝∠C＝90°，∴△BEG∽△CFE，∴，由（1）知，BE＝CE＝2，∵BG＝x，CF＝y，∴＝，∴y＝（0≤x≤4）；（3）∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵△AGQ与△CEP相似，∴①△AGQ∽△CEP，∴∠AGQ＝∠CEP，由（2）知，∠CEP＝∠BGE，∴∠AGQ＝∠BGE，由（1）知，∠BGE＝∠FGE，∴∠AGQ＝∠BGQ＝∠FGE，∴∠AGQ+∠BGQ+∠FGE＝180°，∴∠BGE＝60°，∴∠BEG＝30°，在Rt△BEG中，BE＝2，∴BG＝，∴AG＝AB﹣BG＝4﹣，②△AGQ∽△CPE，∴∠AQG＝∠CEP，∵∠CEP＝∠BGE＝∠FGE，∴∠AQG＝∠FGE，∴EG∥AC，∴△BEG∽△BCA，∴＝，∴，∴BG＝2，∴AG＝AB﹣BG＝2，即：当△AGQ与△CEP相似，线段AG的长为2或4﹣．8．解：（1）∵∠A＝∠C＝∠EDB＝60°，∴∠ADM+∠CDN＝120°，∠ADM+∠AMD＝120°，∴∠CDN＝∠AMD，∴△ADM∽△CND，∴，∴AMCN＝ADCD，∵顶点D与三角形板ABC的AC边中点O重合，∴AD＝CD＝2，∴AMCN＝ADCD＝2×2＝4，故答案为：4；（2）AMCN的值不会改变．在△ADM与△CND中，∵∠A＝∠C＝60°，∠DNC＝∠DBN+∠BDN＝30°+α，∠ADM＝30°+α，∴∠ADM＝∠CND，∴△ADM∽△CND∴，∴AMCN＝ADCD＝2×2＝4，∴AMCN的值不会改变；（3）情形1，当0°＜α＜60°时，1＜AM＜4，即1＜x＜4，此时两三角形板重叠部分为四边形DMBN，如图2，过D作DQ⊥AB于Q，DG⊥BC于G，∴DQ＝DG＝，由（2）知，AMCN＝4，得CN＝，于是y＝AB2﹣AMDQ﹣CNDQ＝4﹣x﹣（1＜x＜4）；情形2，当60°≤α＜90°时，AM≥4时，即x≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN，如图3，过点D作DH∥BC交AM于H，易证△MBP∽△MHD，∴，又∵MB＝x﹣4，MH＝x﹣2，DH＝2，∴BP＝，∴PN＝4﹣﹣，于是y＝PNDG＝（4﹣﹣）＝﹣，综上所述，y＝．故答案为：y＝．9．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝4，∴AB＝，如图2，当D与C重合时，CP⊥AB，cos∠A＝，即，AP＝，tan∠A＝，即，∴PD＝t，∴当0＜t≤时，如图1，PE＝2PD＝2×t＝2t，如图3，AP＝2t，∴PB＝4﹣2t，tan∠DBP＝，即，PD＝8﹣4t，当＜t≤4时，如图3，PE＝2PD＝2（8﹣4t）＝16﹣8t；（2）当点F落在BC上时，如图4，BE＝4﹣4t，EF＝PD＝t，∵EF＝2BE，∴t＝2×（4﹣4t），t＝（秒）；（3）当0＜t≤时，如图1，矩形PEFD与△ABC重叠部分图形是矩形PEFD，S＝PDPE＝t2t＝10t2；如图5，当E与B重合时，PB＝2PD，则4﹣2t＝2×，t＝1，当1＜t≤时，如图6，cos∠A＝，即，AD＝5t，∴CD＝8﹣5t，∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠A，∴cos∠A＝cos∠CDM＝，即，DM＝4﹣t，S＝（4﹣t+4﹣2t）t＝﹣t2+20t；综上，S与t之间的函数关系式是：S＝．（4）∵AQ＝QB，G是△ABC的重心，∴QG：GC＝1：2，∵AC＝8，BC＝4，∴AB＝，∴CK＝，∵GJ∥CK，∴△QGJ∽△QCK，∴，∴，∴GJ＝，当点O与点G到直线AB距离相同时，当0＜t≤时，PD＝，解得：t＝，当＜t≤4时，PD＝，解得：t＝，综上所述，当点O与点G到直线AB距离相同时，t的值为或．10．解：如图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，∵CD⊥AB，∴四边形EMDN为矩形，∴∠MEN＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴AD＝CD，∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，∴EN＝AD，同理可知，EM＝CD，∴EN＝EM，∵∠GEB＝90°，∠MEN＝90°，∴∠NEF＝∠GEM，在△EFN和△EGM中，，∴△EFN≌△EGM（ASA），∴EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）如图2，过点E作EP⊥AB于点P，作EQ⊥CD于点Q，则△CEQ和△APE均为等腰直角三角形，∴＝＝，由（1）可知，∠QEF＝∠PEG，∵∠EQF＝∠EPG＝90°，∴△EQF∽△EPG，∴＝＝；（3）如图3，过点E作EH⊥AB于点H，作ER⊥CD于点R，则＝＝，由（2）可知，△ERF∽△EHG，∴＝＝．。

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中考数学相似综合试题及答案一、相似1．如图,在一个长40 m、宽30 m的矩形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3 m/s的速度跑向C地.当他出发4 s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶,当张华跑到距B地2 m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好落在一条直线上.（1）此时两人相距多少米(DE的长)?（2）张华追赶王刚的速度是多少?【答案】（1）解：在Rt△ABC中：∵AB=40，BC=30，∴AC=50 m.由题意可得DE∥AC，∴Rt△BDE∽Rt△BAC，∴ = ，即 = .解得DE= m.答：此时两人相距 m.（2）解：在Rt△BDE中：∵DB=2，DE=，∴BE=2 m.∴王刚走的总路程为AB+BE=42 m.∴王刚走这段路程用的时间为 =14(s).∴张华用的时间为14-4=10(s)，∵张华走的总路程为AD=AB-BD=40-2=37（m）,∴张华追赶王刚的速度是37÷10≈3.7（m/s）.答：张华追赶王刚的速度约是3.7m/s.【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC=50 m，利用平行投影的性质得DE∥AC，再利用相似三角形的性质得出对应边的比相等可求得DE长.（2）在Rt△BDE中,根据勾股定理得BE=2 m，根据题意得王刚走的总路程为42 m，根据时间=路程÷速度求得王刚用的时间，减去4即为张华用的时间，再根据速度=路程÷时间解之即可得出答案.2．平面上，Rt△ABC与直径为CE的半圆O如图1摆放，∠B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圆O交BC边于点D，将半圆O绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆O旋转且∠ECD始终等于∠ACB，旋转角记为α（0°≤α≤180°）．（1）当α=0°时，连接DE，则∠CDE=________°，CD=________；（2）试判断：旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）若m=10，n=8，当旋转的角度α恰为∠ACB的大小时，求线段BD的长；（4）若m=6，n= ，当半圆O旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长．【答案】（1）90；（2）解：如图3中，∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACE=∠BCD．∵，∴△ACE∽△BCD，∴．（3）解：如图4中，当α=∠ACB时．在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=8，∴AB= =6．在Rt△ABE中，∵AB=6，BE=BC﹣CE=3，∴AE= = =3 ，由（2）可知△ACE∽△BCD，∴，∴ = ，∴BD= ．故答案为：（4）解：∵m=6，n= ，∴CE=3，CD=2 ，AB= =2，①如图5中，当α=90°时，半圆与AC相切．在Rt△DBC中，BD= ==2 ．②如图6中，当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切，作EM⊥AB于M．∵∠M=∠CBM=∠BCE=90°，∴四边形BCEM是矩形，∴，∴AM=5，AE= = ，由（2）可知 = ，∴BD= ．故答案为：2 或．【解析】【解答】（1）①如图1中，当α=0时，连接DE，则∠CDE=90°．∵∠CDE=∠B=90°，∴DE∥AB，∴ =．∵BC=n，∴CD= ．故答案为：90°， n．【分析】（1）连接DE，当α=0时，由直径所对的圆周角时直角可得∠CDE=90°，判断DE∥AB，从而可得比例式进而求解。

（2）旋转过程中 B D： A E 的大小有无变化，可以看 B D， A E 所在的三角形相似，从而可的△ACE∽△BCD，进而得出结论。

（3）根据勾股定理求得AB和AE，即可求出BD。

（4）由题意分两种情况：当α=90°时，半圆与AC相切。

当α=90°+∠ACB时，半圆与BC相切。

3．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D.（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD.求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝ AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离.【答案】（1）证明：∵将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，∴∠ADP'＝∠ADP，∵AE∥PD，∴∠EAD＝∠ADP，∴∠EAD＝∠ADP'，∴AE＝DE（2）解：①∵DP∥BC，∴△APD∽△ACB，∴，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴ = ，∵BC＝7，∴PD＝，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝ D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝＝ = ，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝，∵CM＝AM﹣AC＝﹣3，∴CM＝，∴点D'到直线BC的距离为若点D'在直线BC的上方，如图，过点D'作D'M⊥AC，交CA的延长线于点M，同理可证：△AMD'≌△DPA，∴AM＝PD＝，∵CM＝AC+AM，∴CM＝3+ ＝，∴点D'到直线BC的距离为综上所述：点D'到直线BC的距离为或；【解析】【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD＝∠ADP＝∠ADP'，即可得AE＝DE；（2）①由题意可证△APD∽△ACB，可得，由旋转的性质可得AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，即∠P'AC＝∠D'AB，，则△AP'C∽△AD'B；②分点D'在直线BC的下方和点D'在直线BC的上方两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD＝，通过证明△AMD'≌△DPA，可得AM＝PD＝，即可求点D'到直线BC 的距离.4．（1）【探索发现】如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且AD，BE，CF相交于同一点O.用”S”表示三角形的面积，有S△ABD：S△ACD＝BD：CD，这一结论可通过以下推理得到：过点B作BM⊥AD，交AD延长线于点M，过点C作CN⊥AD于点N，可得S△ABD：S△ACD＝，又可证△BDM～△CDN，∴BM：CN＝BD：CD，∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD.由此可得S△BAO：S△BCO＝________；S△CAO：S△CBO＝________；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝________.（2）【灵活运用】如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，连接AF，BE 和CE，AF分别交BE，CE于点G，M.若AE＝DF.判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；（3）若点E，F分别是边AD，CD的中点，且AB＝4.则四边形EMFD的面积是多少？（4）【拓展应用】如图3，正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P，BG⊥AF于点G，连接OG，请直接写出S△OGP的值.【答案】（1）AE：EC；AF：BF；1：6（2）解：结论：AF＝BE，AF⊥BE.理由：如图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，∵AE＝DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠AGE＝90°，∴AF⊥BE.（3）解：如图2﹣1中，连接DM.根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称，∴S△DME＝S△DMF，∵AE＝DE，∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF，∵S△ADF＝ ×4×2＝4，∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF＝，∴S四边形EMFD＝ .故答案为 .（4）拓展应用：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AC＝BD＝4 ，OA＝OB＝OD＝OC＝2 ，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝2，∵DF∥AB，∴，∴OP：OB＝OP：OA＝1：3，∵BG⊥PA，AO⊥OB，∴∠AGB＝∠AOB＝90°，∵∠OAP+∠APO＝90°，∠PBG+∠BPG＝90°，∴∠PAO＝∠PBG，∵∠APO＝∠BPG，∴△AOP∽△BGP，∴∴，∵∠GPO＝∠BPA，∴△GPO∽△BPA，∴，∴S△ABP＝ S△ABD＝，∴S△GOP＝ .【解析】【解答】（1）探索发现：由题意：S△BAO：S△BCO＝AE：EC；S△CAO：S△CBO＝AF：BF；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝1：6，故答案为：AE：EC，AF：BF，1：6.【分析】【探索发现】利用等高模型，解决问题即可.【灵活运用】（1）结论：AF＝BE，AF⊥BE.证明△BAE≌△ADF（SAS）即可解决问题.（2）根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称，推出S△DME＝S△DMF，由AE＝DE，推出S△AEM＝S△DME＝S△DMF，求出△ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由△GPO∽△BPA，推出即可解决问题.5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2cm/s 的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.（1）当△BDE 是直角三角形时，求t的值；（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：如图1，当∠BED=90°时，△BDE是直角三角形，则BE=t，AC+AD=2t，∴BD=6+10-2t=16-2t，∵∠BED=∠C=90°，∴DE∥AC，∴，∴，∴DE= ，∵sinB= ，∴，t= ；如图2，当∠EDB=90°时，△BDE是直角三角形，则BE=t，BD=16-2t，cosB= ，∴，∴t= ；答：当△BDE是直角三角形时，t的值为或（2）解：①如图3，当0＜t≤3时，BE=t，CD=2t，CE=8-t，∴S▱CDEF=2S△CDE=2× ×2t×（8-t）=-2t2+16t，如图4，当3＜t＜8时，BE=t，CE=8-t，过D作DH⊥BC，垂足为H，∴DH∥AC，∴，∴，∴DH= ，∴S▱CDEF=2S△CDE=2× ×CE×DH=CE×DH=（8-t）× = t2− t+ ；∴S于t的函数关系式为：当0＜t≤3时，S=-2t2+16t，当3＜t＜8时，S= t2− t+ ；②存在，如图5，当▱CDEF为菱形时，DH⊥CE，由CD=DE得：CH=HE，BH= ，BE=t，EH= ，∴BH=BE+EH，∴ =t+ ，∴t= ，即当t= 时，▱CDEF为菱形．【解析】【分析】（1）因为△BDE 是直角三角形有两种情况：①当∠BED=90°时，可得DE∥AC，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将DE用含t的代数式表示，再根据sinB=可得关于t的方程，解方程即可求解；② 当∠EDB=90°时，同理可求解；（2）①当0＜t≤3时，S▱CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，过D作DH⊥BC，垂足为H，根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得,于是可得比例式将DH用含t的代数式表示，则S▱CDEF=2S△CDE可得s与t的关系式；当3＜t＜8时，同上；②存在，当▱CDEF为菱形时，DH⊥CE，根据BH=BE+EH可得关于t的方程，解方程即可求解。

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