全等三角形培优专题训练(供参考)

八年级数学培优专题训练（二）探索三角形全等的条件1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D在同一条直线上.⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的是（ ）3、如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA ＝BC ，EB ＝AC ，FC ＝AB ，∠AFB ＝51°，求∠DFC 的度数.A4、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线M、N上，且OE＝OF.⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；⑵求证：∠MAE＝∠NCF5、在△ABC中，高所在直线AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝_____________.6、下列三个判断：⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.E八年级数学培优专题训练（三）全等三角形的应用全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：①线段和角的等量关系②线段和角的和差倍分关系③直线与直线的平行或垂直等位置关系1、如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在并证明.2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，求证：BE⊥AC3、（2012·阜新中考）如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°.⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.B②4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线 BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝_______度.⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝βa、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.①②辅助线作法之连接法在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.证明∶AC＝AB2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD求证：AC∥DF3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？A辅助线作法之倍长中线法在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围.2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线求证：AB＝AC3、（2014·襄阳初三模拟）在△ABC中，D是边BC上的一点，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.求证∶AC＝2AEB文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.4、（竞赛014）△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB，AC于点E，F.求证：BE＋CF＞EF6、（竞赛015）例：已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF.求证:AC＝BFB辅助线作法之截长补短法截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等. 补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等. 1、已知AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，点E 在CD 上.求证：AB ＝AC ＋BD2、在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝½（AB ＋AD ）.求证∶∠B ＋∠D ＝180°3、如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F.求证：∠ADB ＝∠CDF4、如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的角平分线. 求证∶AC ＋CD ＝AB12、如图，已知AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五边形ABCDE 的面积.AB辅助线作法之利用特殊条件构造全等三角形2、（2012·“华罗庚杯”）如图，在△ABC 中，AC ＝½AB ，AD 平分∠BAC ，且AD ＝BD求证：CD ⊥AC八年级数学培优专题训练（八）全等三角形在动态几何中的运用1、(竞赛·014·3)如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC.△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP.⑴在图①中,请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系; ⑵将△EFP 沿直线l 向左平移到图②的位置时,EP 交AC 于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系,并证明你的猜想;⑶将△EFP 沿直线l 向左平移到图③的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.B探究角平分线一、知识清单角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）. 由定义可知，三角形的角平分线是一条线段.角平分线性质:1、角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.2、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半.3、三角形的三条角平分线交于一点，且到各边的距离相等，这个点称为内心.二、方法点拨证明角平分线有两种方法:一是运用定义证明两个角相等;二是运用角平分线的判定方法.三、规律清单①遇到角平分线,可从角平分线上的某一点向角的两边作垂线段(图1).②遇到角平分线,常可利用翻折法或截长补短法解题(图2).③有两条角平分线(内角或外角)交于一点,则连接该点与三角形第三个顶点的线段会平分一个内角或外角(图3).④有垂直于角平分线的线段,则延长这条线段以利用三线合一解题(图4).⑤遇到角内的一点到角的两边有垂线段时,就连接这点与角的顶点,看能否平分已知角(图5).⑥遇到有多条角平分线时,可尝试用整体的思想解题(图6).⑦有翻折条件时,除注意全等的结论,还应关注折线就是角平分线、是对称轴（如图7）.⑧角平分线、平行线、等腰三角形三个条件中出现任意两个,常可直接得到另一个(如图8）.四、真题训练1、(2011·鄂州·竞赛·018 ·重庆中考）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_____________.2、(竞赛·019)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证:AM平分∠DABB3、(竞赛·019)如图,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ＝AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE.求证:CE ＝12BD4、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD ＝CD 求证：∠B ＝∠C5、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝10cm ，则△DBE 的周长是多少？6、（2011，恩施中考）AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为多少？B7、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：BE ＝CF8、在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°⑴求证：DE ＝DF⑵如果把最后一个条件改为AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝180°，那么结论还成立吗？ 9、如图，已知AB ＝AC ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 与CF 交于点D 求证：点D 在∠BAC 的平分线上.10、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是( )A.AB －AD ＞CB －CDB.AB －AD ＝CB －CDC.AB －AD ＜CB －CDD.AB －CD 与CB －CD 的大小关系不确定11、（竞赛014）如图，已知△ABC 中，∠B ＝60°，∠BAC ，∠BCA 的平分线AD ，CE 相交于点O.求证：DC ＋AE ＝AC12、(竞赛·019)如图，已知△ABC ，P 为内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，过点P 作PG ⊥BC 于G 点。

试说明∠BPD 与∠CPG 的大小关系，并说明理由。

B八年级数学培优专题训练（十）应用线段垂直平分线的性质和判定解题一、知识清单定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

线段垂直平分的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。