全等三角形培优专题训练(供参考)

八年级数学培优专题训练（二）

探索三角形全等的条件

1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D

在同一条直线上.

⑴求证：AB ⊥ED ；

⑵若PB ＝BC ，请找出图中与此条件有

关的一对全等三角形，并给予证明

2、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD ＝BF ；②CF ＝CD ；③AC ＋CD ＝AB ；④BE ＝CF ；⑤BF ＝2BE.其中正确的是（ ）

3、如图，点C 在线段AB 上，DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，FC ⊥AB ，且DA ＝BC ，EB ＝AC ，FC ＝AB ，∠AFB ＝51°，求∠DFC 的度数.

A

4、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O

作一条直线分别与AB、CD交于点M、N，点E、F在直线M、N上，且OE＝OF.

⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；

⑵求证：∠MAE＝∠NCF

5、在△ABC中，高所在直线AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝_____________.

6、下列三个判断：

⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.

上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.

E

八年级数学培优专题训练（三）

全等三角形的应用

全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：

①线段和角的等量关系

②线段和角的和差倍分关系

③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在

并证明.

2、如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且

BF＝AC，FD＝CD，

求证：BE⊥AC

3、（2012·阜新中考）如图,在△ABC中,AB＝AC,AD＝AE,∠BAC＝∠DAC＝90°.

⑴当点D在AC上时,如图①,线段BD,CE有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论.

⑵将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，如图②，线段BD、CE有怎样的

数量关系和位置关系？问明理由.

B

②

4、在△ABC中，AB＝AC，点D是直线 BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE.

⑴如图①，当点D在线段BC上时，若∠BAC＝90°，则∠BCE＝_______度.

⑵设∠BAC＝α，∠BCE＝β

a、如图②，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.

b、当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.

①

②

辅助线作法之连接法

在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形.常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法、倍长中线法、翻折法、旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.

1、如图，△ABC的两条高BD，CE相交于点P，且PD＝PE.

证明∶AC＝AB

2、已知AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，AF＝CD

求证：AC∥DF

3、如图，AB交CD于点O，AD、CB的延长线相交于点E，且OA＝OC，EA＝EC.∠A＝∠C吗？点O在∠AEC的平分线上吗？

A

辅助线作法之倍长中线法

在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.

1、△ABC中，AB＝5，AC＝3，求中线AD的取值范围.

2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，又是BC上的中线

求证：AB＝AC

3、（2014·襄阳初三模拟）在△ABC中，D是边BC上的一点，且CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线.

求证∶AC＝2AE

B

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4、（竞赛014）△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB，AC于点E，F.

求证：BE＋CF＞EF

6、（竞赛015）例：已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF.

求证:AC＝BF

B

辅助线作法之截长补短法

截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等. 补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等. 1、已知AC ∥BD ，EA ，EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，点E 在CD 上.

求证：AB ＝AC ＋BD

2、在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝½（AB ＋AD ）.

求证∶∠B ＋∠D ＝180°

3、如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F.

求证：∠ADB ＝∠CDF

4、如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的角平分线. 求证∶AC ＋CD ＝AB

12、如图，已知AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，∠ABC ＝∠AED ＝90°，求五

边形ABCDE 的面积.

A

B