匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法
最大化指派问题匈牙利算法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是用于解决最大化指派问题（Maximum Bipartite Matching Problem）的经典算法。
最大化指派问题是在一个二分图中，找到一个匹配（即边的集合），使得匹配的边权重之和最大。
下面我将从多个角度全面地介绍匈牙利算法。
1. 算法原理：匈牙利算法基于增广路径的思想，通过不断寻找增广路径来逐步扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止。
算法的基本步骤如下：初始化，将所有顶点的标记值设为0，将匹配集合初始化为空。
寻找增广路径，从未匹配的顶点开始，依次尝试匹配与其相邻的未匹配顶点。
如果找到增广路径，则更新匹配集合；如果无法找到增广路径，则进行下一步。
修改标记值，如果无法找到增广路径，则通过修改标记值的方式，使得下次寻找增广路径时能够扩大匹配集合。
重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法优势：匈牙利算法具有以下优势：时间复杂度较低，匈牙利算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是顶点的数量。
相比于其他解决最大化指派问题的算法，如线性规划算法，匈牙利算法具有更低的时间复杂度。
可以处理大规模问题，由于时间复杂度较低，匈牙利算法可以处理大规模的最大化指派问题，而不会因为问题规模的增加而导致计算时间大幅增加。
3. 算法应用：匈牙利算法在实际中有广泛的应用，例如：任务分配，在人力资源管理中，可以使用匈牙利算法将任务分配给员工，使得任务与员工之间的匹配最优。
项目分配，在项目管理中，可以使用匈牙利算法将项目分配给团队成员，以最大程度地提高团队成员与项目之间的匹配度。
资源调度，在物流调度中，可以使用匈牙利算法将货物分配给合适的运输车辆，使得货物与运输车辆之间的匹配最优。
4. 算法扩展：匈牙利算法也可以扩展到解决带权的最大化指派问题，即在二分图的边上赋予权重。
在这种情况下，匈牙利算法会寻找一个最优的匹配，使得匹配边的权重之和最大。
运筹学匈牙利法
运筹学匈牙利法运筹学匈牙利法（Hungarian Algorithm），也叫匈牙利算法，是解决二部图最大（小）权完美匹配（也称作二分图最大权匹配、二分图最小点覆盖）问题的经典算法，是由匈牙利数学家Kuhn和Harold W. Kuhn发明的，属于贪心算法的一种。
问题描述在一个二分图中，每个节点分别属于两个特定集合。
找到一种匹配，使得所有内部的节点对都有连边，并且找到一种匹配方案，使得该方案的边权和最大。
应用场景匈牙利算法的应用场景较为广泛，比如在生产调度、货车调度、学生对导师的指定、电影的推荐等领域内，都有广泛的应用。
算法流程匈牙利算法的伪代码描述如下：进行循环ɑ、选择一点未匹配的点a作为起点，它在二分图的左边β、找出a所有未匹配的点作为下一层节点ɣ、对下一层的每个节点，如果它在右边未匹配，直接匹配ɛ、如果遇到一个已经匹配的节点，进入下一圈，考虑和它匹配的情况δ、对已经匹配的点，将它已经匹配的点拿出来，作为下一层节点，标记这个点作为已被搜索过ε、将这个点作为当前层的虚拟点，没人配它，看能否为它找到和它匹配的点ζ、如果能匹配到它的伴侣，令它们成对被匹配最后输出最大权匹配。
算法优缺点优点：相比于暴力求解二分图最大权匹配来说，匈牙利算法具有优秀的解决效率和高效的时间复杂度，可以在多项式时间（O(n^3)）内解决二分图最大权匹配问题。
缺点：当二分图较大时，匈牙利算法还是有很大的计算复杂度，复杂度不佳，算法有效性差。
此时就需要改进算法或者使用其他算法。
总结匈牙利算法是一个常见的解决二分图最大权匹配问题的算法，由于其简洁、易用、效率优秀等特性，广泛应用于学术和实际问题中。
匈牙利算法虽然在处理较大规模问题时效率不佳，但仍然是一种值得掌握的经典算法。
匈牙利算法
匈牙利算法本文讲述的是匈牙利算法，即图论中寻找最大匹配的算法，暂不考虑加权的最大匹配（用KM 算法实现），文章整体结构如下：1.基础概念介绍2.算法的实现一. 部分基础概念的介绍概念点1. 图G的一个匹配是由一组没有公共端点的不是圈的边构成的集合。
这里，我们用一个图来表示下匹配的概念：如图所示，其中的三条边即该图的一个匹配；所以，匹配的两个重点：1. 匹配是边的集合；2. 在该集合中，任意两条边不能有共同的顶点。
那么，我们自然而然就会有一个想法，一个图会有多少匹配？有没有最大的匹配（即边最多的匹配呢）？我们顺着这个思路，继续往下走。
概念点2. 完美匹配：考虑部集为X={x1 ,x2, ...}和Y={y1, y2, ...}的二部图，一个完美匹配就是定义从X-Y的一个双射，依次为x1, x2, ... xn找到配对的顶点，最后能够得到 n！个完美匹配。
这里有一个概念，有点陌生，即什么是二部图，这个其实很好理解，给定两组顶点，但是组内的任意两个顶点间没有边相连，只有两个集合之间存在边，即组1内的点可以和组2内的点相连，这样构建出来的图就叫做二部图（更好理解就是n个男人，n个女人，在不考虑同性恋的情况下，组成配偶）。
这样是不是简单多了？既然说到了双双组成配偶，那我们干的就是月老做的活了，古话说得好，宁拆一座庙，不毁一桩婚，如果真的给出n个帅气的男孩，n个漂亮的女孩，他们之间互相有好感，但一个男孩可以对多个女孩有感觉，一个女孩也可能觉得多个男孩看起来都不错，在这种情况下，我们怎么让他们都能成双成对呢？将这个问题抽象出来，互有好感就是一条条无向边（单相思我们先不考虑），而男孩和女孩就是一个个节点，我们构建出这么一个图，而完美匹配就是让所有看对眼的男孩和女孩都能够在一起。
完美匹配是最好的情况，也是我们想要的情况。
当然，有些情况下我们做不到完美匹配，只能尽可能实现最多的配对，这个就叫做最大匹配。
可以看出来，完美匹配一定是最大匹配，而最大匹配不一定是完美匹配。
匈牙利算法
匈牙利算法是一种组合优化算法，用于解决多项式时间内的任务分配问题，并推广了后来的原始对偶方法。
美国数学家Harold Kuhn在1955年提出了该算法。
之所以将该算法称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerv áry的先前工作。
匈牙利算法是一种组合优化算法，用于解决多项式时间内的任务分配问题，并推广了后来的原始对偶方法。
美国数学家Harold Kuhn在1955年提出了该算法。
之所以将该算法称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerv áry的先前工作。
众所周知，匈牙利是一个国家的名称，与算法的发明者有关。
匈牙利算法的发明者埃德蒙兹（Edmonds）于1965年提出了匈牙利算法。
我不知道为什么匈牙利算法的发明者是匈牙利算法，而且我从未见过其他以国家命名的算法。
是因为匈牙利人提出的算法太少了吗？
匈牙利算法的核心原理非常简单，即找到增强路径以实现最大匹配。
我们将匈牙利算法与Gale-Shapley算法的原理进行了比较，您发现了什么？实际上，这两种算法的核心原理是相同的。
在GS算法中，我们首先开始追求男孩，并尽可能地进行匹配。
然后，单身男孩一次又一次地认罪，如果有更好的比赛，以前的比赛将被打破。
在稳定婚
姻的问题中，我们定义了匹配的质量，而在本地二分匹配的问题中，匹配既不是好事也不是坏事。
如果我们抛开匹配的好坏，而把高品质男生抓住劣等男生的过程当作匹配调整的过程，那么这两种算法的核心几乎是相同的。
匈牙利算法——精选推荐
匈⽛利算法0 - 相关概念0.1 - 匈⽛利算法 匈⽛利算法是由匈⽛利数学家Edmonds于1965年提出，因⽽得名。
匈⽛利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是⼆部图匹配最常见的算法，该算法的核⼼就是寻找增⼴路径，它是⼀种⽤增⼴路径求⼆分图最⼤匹配的算法。
0.2 - ⼆分图 若图G的结点集合V(G)可以分成两个⾮空⼦集V1和V2，并且图G的任意边xy关联的两个结点x和y分别属于这两个⼦集，则G是⼆分图。
1 - 基本思想1. 找到当前结点a可以匹配的对象A，若该对象A已被匹配，则转⼊第3步，否则转⼊第2步2. 将该对象A的匹配对象记为当前对象a，转⼊第6步3. 寻找该对象A已经匹配的对象b，寻求其b是否可以匹配另外的对象B，如果可以，转⼊第4步，否则，转⼊第5步4. 将匹配对象b更新为另⼀个对象B，将对象A的匹配对象更新为a，转⼊第6步5. 结点a寻求下⼀个可以匹配的对象，如果存在，则转⼊第1步，否则说明当前结点a没有可以匹配的对象，转⼊第6步6. 转⼊下⼀结点再转⼊第1步2 - 样例解析 上⾯的基本思想看完肯定⼀头雾⽔（很⼤程度是受限于我的表达能⼒），下⾯通过来就匈⽛利算法做⼀个详细的样例解析。
2.1 - 题⽬⼤意 农场主John有N头奶⽜和M个畜栏，每⼀头奶⽜需要在特定的畜栏才能产奶。
第⼀⾏给出N和M，接下来N⾏每⾏代表对应编号的奶⽜，每⾏的第⼀个数值T表⽰该奶⽜可以在多少个畜栏产奶，⽽后的T个数值为对应畜栏的编号，最后输出⼀⾏，表⽰最多可以让多少头奶⽜产奶。
2.1 - 输⼊样例5522532342153125122.2 - 匈⽛利算法解题思路2.2.1 - 构造⼆分图 根据输⼊样例构造如下⼆分图，蓝⾊结点表⽰奶⽜，黄⾊结点表⽰畜栏，连线表⽰对应奶⽜能在对应畜栏产奶。
2.2.2 - 模拟算法流程为结点1（奶⽜）分配畜栏，分配畜栏2（如图(a)加粗红边所⽰）为结点2（奶⽜）分配畜栏，由于畜栏2已经被分配给结点1（奶⽜），所以寻求结点1（奶⽜）是否能够分配别的畜栏，以把畜栏2腾给结点2（奶⽜）。
匈牙利算法
匈牙利算法是一种组合优化算法，可以在多项式时间内解决任务分配问题，并在以后推广原始的对偶方法。
美国数学家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）在1955年提出了该算法。
该算法之所以称为匈牙利算法，是因为它很大程度上是基于前匈牙利数学家Denes K nig和Jen Egervary的工作。
假设它是无向图。
如果顶点集V可以分为两个不相交的子集，则在该子集中选择具有最大边数的子集称为图的最大匹配问题。
如果存在匹配项和匹配项数，则该匹配项称为完美匹配项，也称为完全匹配项。
称为完美匹配时的特殊。
在介绍匈牙利算法之前，只有几个概念，M是G的匹配项。
如果，则边缘已经在匹配的M上。
M交错的路径：P是G的路径。
如果P中的边是属于M的边和不属于M而是属于G的边交替，则称P为M交错的路。
如：路径，。
M饱和点：例如，如果V与M中的边关联，则V为m饱和点；否则，V为非M饱和点。
例如，它们都属于M饱和点，而其他所有点都属于非M饱和点。
M扩展路径：P是M交错的路径。
如果P的起点和终点均为非M饱和点，则P称为m增强路径。
例如（不要与流网络中的增强路径混淆）。
寻找最多匹配项的一种明显算法是找到所有匹配项，然后保留最多匹配项。
但是该算法的时间复杂度是边数的指数函数。
因此，我们需要找到一种更有效的算法。
下面介绍使用增强路径查找最大匹配的方法（称为匈牙利算法，由匈牙利数学家爱德蒙兹（Edmonds）于1965年提出）。
增强轨道（也称为增强轨道或交错轨道）的定义：如果P是连接图G中两个不匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边（即已匹配和待匹配）在P上交替，则称P为扩充路径相对于M从增强路径的定义可以得出以下三个结论：（1）到P的路径数必须是奇数，并且第一个边缘和最后一个边缘都不属于M。
（2）通过将M和P取反可以获得更大的匹配度。
（3）当且仅当没有M的增加路径时，M是G的最大匹配。
算法简介：（1）令M为空（2）通过异或运算找到增强路径P并获得更大的匹配项而不是M（3）重复（2），直到找不到扩展路径。
匈牙利算法
匈牙利算法匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
在介绍匈牙利算法之前还是先提一下几个概念，下面M是G的一个匹配。
M-交错路:p是G的一条通路，如果p中的边为属于M中的边与不属于M但属于G中的边交替出现，则称p是一条M-交错路。
如:路径(X3,Y2,X1,Y4)，(Y1,X2,Y3)。
M-饱和点:对于v∈V(G)，如果v与M中的某条边关联，则称v 是M-饱和点，否则称v是非M-饱和点。
如X1，X2，Y1，Y2都属于M-饱和点，而其它点都属于非M-饱和点。
M-可增广路:p是一条M-交错路，如果p的起点和终点都是非M-饱和点，则称p为M-可增广路。
如(X3,Y2,X1,Y4)。
(不要和流网络中的增广路径弄混了)求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。
因此，需要寻求一种更加高效的算法。
下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)。
增广路的定义(也称增广轨或交错轨):若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。
由增广路的定义可以推出下述三个结论:1-P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2-将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M'。
3-M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。
算法轮廓:⑴置M为空⑵找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M'代替M⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止折叠。
匈牙利算法详解
匈牙利算法详解
匈牙利算法是一种解决二分图最大匹配问题的经典算法，也叫做增广路算法。
它的基本思想是从左侧一端开始，依次匹配左侧点，直到无法添加匹配为止。
在匹配过程中，每次都通过BFS 寻找增广路径，即可以让已有的匹配变得更优或添加新的匹配。
增广路的长度必须为奇数，因为必须从未匹配的左侧点开始，交替经过已匹配的右侧点和未匹配的左侧点，最后再到达未匹配的右侧点。
当没有找到增广路径时，匹配结束。
匈牙利算法的具体实现可以使用DFS 或BFS，这里以BFS 为例。
算法步骤如下：
1. 从左侧一个未匹配的点开始，依次找增广路径。
如果找到，就将路径上的匹配状态翻转（即已匹配变未匹配，未匹配变已匹配），并继续找增广路径；如果找不到，就说明已经完成匹配。
2. 使用BFS 寻找增广路径。
从左侧的某个未匹配点开始，依次搜索路径中未匹配的右侧点。
如果找到右侧未匹配点，则说明找到了增广路径；否则，将已搜过的左侧点打上标记，以免重复搜索。
如果找到增广路径，就将路径的左侧和右侧点的匹配状态翻转。
3. 重复步骤1 和2，直到找不到增广路径为止。
匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V 和E 分别为二分图中的左侧点数和右侧点数。
实际运行效率很高，可以处理百万级别的数据。
匈牙利算法
匈牙利算法：匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。
美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。
此算法之所以被称作匈牙利算法，是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerváry 的工作之上创建起来的。
设G=(V,E)是一个无向图。
如顶点集V可分割为两个互不相交的子集V1，V2，选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximalmatchingproblem)。
果一个匹配中，|V1|≤|V2|且匹配数|M|=|V1|，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
特别的当|V1|=|V2|称为完美匹配。
作用：解决指派问题。
所谓的指派问题就比如：甲乙丙三个人去做ABC 三件事情。
每个人做每件事情所花的时间可能不一样。
每个人只能安排一件事情，问怎样安排才能使三个人所工作的时间之和最小？扩展成n个人n件事也可以，但要求是：事情数和人数一样多每人只能做一件事这样的问题就称作指派问题匈牙利算法就是解决这样的问题的。
步骤概括：每行减去此行最小数判断是否达到算法目标，如未达到算法目标，继续下一步。
否则结束。
横纵交替，从行开始。
找出所有还没有选中0的行（具体见步骤实例），在此行后面打钩；把此行中有0的列全打钩。
在打钩的列中，如果有零，又在有0的行打钩，如此交替，直到不能再打钩。
在没有打钩的行和打钩的列上划线，会得到发现所有的0已经被划去，如果没有划去，请检查前面的步骤。
此时剩下的所有元素中，找到最小值，就记为min吧。
在第4步画线的行减去min（此时原来的0变成-min)，再在画线的列加上min(此时矩阵中没有了负数）。
回到第2步。
匈牙利算法
匈牙利算法是一种用于在多项式时间内解决任务分配问题的组合优化算法，它推广了后来的原始对偶方法。
美国数学家哈罗德·库恩（Harold Kuhn）于1955年提出了该算法。
该算法之所以称为匈牙利算法，是因为该算法的很大一部分是基于前匈牙利数学家DéNESKőnig和Jenőegerváry的工作。
概念在介绍匈牙利算法之前，我想介绍一些概念。
接下来的M是G 的匹配项。
如果是，则边缘已经在匹配的M上。
M交织路径：P是G的路径。
如果P中的边缘是属于m的边缘，而不属于m但属于G的边缘是交替的，则p是M交织的路径。
例如：路径。
M饱和点：例如，如果V与M中的边相关联，则称V为m饱和，否则V为非m饱和。
如果它们全部属于m饱和点，则其他点都属于非m饱和点。
M扩展路径：P是m隔行扫描路径。
如果P的起点和终点均为非m饱和点，则p称为m增强路径。
例如（不要与流网络中的扩展路径混淆）。
寻找最大匹配数的一种显而易见的算法是先找到所有匹配项，然后保留匹配数最大的匹配项。
但是该算法的时间复杂度是边数的指数函数。
因此，我们需要找到一种更有效的算法。
本文介绍了一种使用扩展路径查找最大匹配的方法（称为匈牙利算法，由匈牙利的Edmonds于1965年提出）。
增强导轨（也称为增强导轨或交错导轨）的定义如果P是连接图G中两个不匹配顶点的路径，并且属于m和不属于m的边缘（即，匹配边缘和待匹配边缘）在P上交替，则p称为相对于M.从增强路径的定义可以得出三个结论（1）P的路径数必须为奇数，并且第一个边缘和最后一个边缘都不属于M。
（2）通过将m和P取反可以获得更大的匹配度。
（3）当且仅当没有M的增强路径时，M是G的最大匹配。
算法概述：（1）将M设置为null（2）通过XOR操作找到扩展路径P并获得更大的匹配项而不是m（3）重复（2），直到找不到增强路径。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述匈牙利算法是图论中一种用于解决二分图匹配问题的算法。
它首次由匈牙利数学家Denzel匈牙利在1955年发表，因而得名。
匈牙利算法属于图匹配算法的范畴，在实际应用中有着很强的效率和准确性。
本文将介绍匈牙利算法的原理、实现方法和应用领域等相关内容。
一、匈牙利算法原理匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法之一。
在二分图中，匈牙利算法的目标是寻找图中的最大匹配，即尽可能多地找到满足匹配条件的边，也就是找到尽可能多的配对节点。
在匈牙利算法中，主要使用了增广路的概念，通过不断地寻找增广路，来不断地扩展匹配。
具体而言，匈牙利算法的核心思想是利用增广路径寻找最大匹配。
在每一次匹配的过程中，首先选择一个未匹配的节点，然后通过交替路径寻找增广路径，直到无法找到增广路径为止。
当无法找到增广路径时，说明找到了最大匹配。
增广路径指的是一条由未匹配的节点和匹配节点交替构成的路径，其中未匹配节点为起点和终点。
通过不断地寻找增广路径，可以逐步扩展匹配。
在匈牙利算法中，为了记录节点的匹配状态和寻找增广路径，通常使用匈牙利标号和匈牙利交错路的方式。
匈牙利标号是为每个节点标记一个代表节点匹配状态的值，而匈牙利交错路则是一种用于寻找增广路径的方法。
借助这些工具，匈牙利算法可以高效地解决最大匹配问题。
二、匈牙利算法实现方法匈牙利算法的实现方法较为复杂，需要结合图论和图匹配的相关知识。
在实际应用中，匈牙利算法通常通过编程实现，以解决特定的二分图匹配问题。
下面简要介绍匈牙利算法的一般实现方法。
1. 初始化匈牙利标号：首先对图中的所有未匹配节点进行初始化标号，即给它们赋予一个初始的匈牙利标号。
2. 寻找增广路径：选择一个未匹配的节点作为起点，通过交替路径和增广路的方法寻找增广路径。
在寻找增广路径的过程中，要根据节点的匈牙利标号来选择下一个节点，从而找到满足匹配条件的路径。
3. 匹配节点：如果成功找到一条增广路径，就可以将路径中的节点进行匹配，即将原来未匹配的节点与匹配节点进行匹配。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述
摘要：
1.匈牙利算法简介
2.匈牙利算法的应用背景
3.匈牙利算法的基本思想
4.匈牙利算法的实现步骤
5.匈牙利算法的优缺点分析
6.结论
正文：
匈牙利算法是一种解决匈牙利问题的图论算法，也被称为Munkres算法。
它主要用于解决最大匹配问题和最小生成树问题。
匈牙利算法在运筹学、计算机科学、通信网络等领域具有广泛的应用背景。
匈牙利算法的基本思想是：通过不断地寻找增广路径来寻找最大匹配。
增广路径是指一条从已匹配顶点出发，到达未匹配顶点的路径。
算法的基本流程如下：
1.初始化未匹配顶点和已匹配顶点集合。
2.遍历所有未匹配顶点，找到一条增广路径。
3.将增广路径上的所有顶点标记为已匹配。
4.重复步骤2和3，直到找不到增广路径为止。
匈牙利算法的实现步骤如下：
1.初始化一个长度与顶点数相同的数组，用于记录每个顶点所在的连通分
量。
2.遍历所有边，对于每条边，如果两个顶点不在同一连通分量，则将它们合并到同一个连通分量中。
3.遍历所有顶点，如果一个顶点所在的连通分量只有一个顶点，则将其标记为已匹配。
4.重复步骤3，直到找不到未匹配顶点为止。
匈牙利算法的优缺点分析：
优点：
1.匈牙利算法的时间复杂度为O(nm)，其中n和m分别为顶点数和边数。
2.匈牙利算法可以保证找到最大匹配。
缺点：
1.匈牙利算法需要额外的存储空间来记录顶点所在的连通分量。
2.匈牙利算法不能保证找到最优解，因为可能存在多个最大匹配。
匈牙利算法(bfs)
匈牙利算法 by gqp1、算法原理：用找增广路的方式来解决二分图最大匹配问题。
流程大致如下。
（1）从一个点出发找增广路，直到所有点都找过。
（2）如果找到增更新路径并匹配数加1，重复（1）。
（3）如果未找到增广路则重复（1）。
这个算法很简单，就是找增广路。
所谓的增广路也就是在图中找到一条交错路（见图示，红色找过，蓝色没找过），也就是已经找过的边和未找过的边交替出现，并且开始和结尾都是没找过的。
如下图所示就是一条增广路。
我可以发现这条路一定是奇数，并且把这条路取反就可以获得一种更多匹配的方案，也就是把蓝色边取，而放弃红色边。
从实际出发就是本来是A ——C ，而现在发现D ——C 并且还有A ——B ，由于A 还可以匹配C 之外的点，而C 又可以被D 匹配，那么我们就用D 代替A ，让A 可以匹配其他点，这样显然方案变得更优。
而算法就是不断找增广路。
找到增广路就意味着我们的方案变得更优。
而当找不到方案时，一定就已经找到最优解。
我们可以这样考虑，如果没有达到最优，那么一定是有这样一种情况，有点C 已经匹配A ——C ，而这时C 还可被其他闲置点匹配且A 还可以匹配其他闲置点。
而这种情况与上图一致，我们可以发现这时一定可以找到增广路。
所以当找不到增广路时就找到了最优解。
2、算法实现，dfs 很简单，就不说了。
可以上网找代码。
不过递归总归是有缺点，于是我写了个bfs 来实现。
Dfs 实现和算法思想很一致，找到个点就增广，如果找到闲置点则找到增广路，否则看谁跟此点匹配，再继续找增广。
也就是一条路走完看是不是增广再找其他路。
而bfs 则是同时多路查找，一旦找到增广路就停止。
对于常见题目，稀疏的图，bfs 显然更好。
当然他们的复杂度差的不多，至少我跑十万点的图，时间上只差0.1以内。
不过由于栈的限制，所以还是bfs 更实用。
Bfs 的实现其实也很简单，不过要引入一个数组fa 来记录找寻的路径，因为bfs 无法回溯改路径，所以要记录每次查找的路径。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法，它由匈牙利数学家DénesKőnig和JenőEgerváry于1930年代开发而成。
该算法的主要用途是在给定一个二分图后，找出其最大的匹配，即找到最大的匹配顶点对，使得图中的边连接了尽可能多的顶点。
匈牙利算法在组合优化、网络流、计算几何等领域都有广泛的应用。
一、匈牙利算法原理匈牙利算法的基本原理是通过不断增广现有的匹配来逐步找到最大匹配。
在算法执行的过程中，它会不断尝试改进当前的匹配，找到更多的匹配边，直到无法再增广为止。
匈牙利算法是通过交替路径来实现增广匹配的。
在每一轮中，它会选择一个未匹配的起始顶点，并试图在图中找到一条交替路径，这条路径的定义是一种交替的交错顶点序列，其中相邻的两个顶点分别属于两条不相交的边。
找到这样的交替路径后，就可以通过将原匹配中的所选路径上的所有边的匹配状态进行交换，来增大当前的匹配数，如此不断重复直到无法再找到增广路径为止。
在匈牙利算法的执行过程中，需要着重考虑如何找到一条增广路径，以及如何有效地交换匹配。
通过合适的优化策略，匈牙利算法可以在较短的时间内找到最大匹配。
二、匈牙利算法步骤实际应用匈牙利算法时，通常会按照以下步骤来执行：1. 初始化：首先将所有顶点标记为未访问状态，并设置所有匹配为未知。
然后从第一个顶点开始，尝试寻找从该顶点出发的增广路径。
2. 寻找增广路径：从未匹配的顶点开始，逐一尝试寻找增广路径。
如果找到了增广路径，则将原来的匹配进行交换；如果找不到增广路径，则执行第4步。
3. 重标记：如果无法找到增广路径，需要对当前的标记状态进行调整，重新寻找增广路径。
4. 完成匹配：当无法再找到增广路径时，当前的匹配即为最大匹配，算法结束。
在实际的算法实现中，还可以通过一些优化措施来提高匈牙利算法的效率，例如路径压缩、节点标记等。
这些优化措施可以进一步提高算法的运行效率，使得匈牙利算法可以应用到更大规模的问题中。
图论：匈牙利算法
图论：匈⽛利算法匈⽛利算法是⼀种⽤于求解任务分配问题的组合优化算法，⽤于解决最⼤匹配问题。
假定存在a个⼈和b个任务，每个⼈对应多个任务，每个任务也对应多个⼈，我们希望提供⼀种策略，尽可能的为每个⼈分配⼀个独⽴的任务，则可以使⽤匈⽛利算法。
基本概念图的基本概念⼆分图设G = (V, E)是⼀个⽆向图，表⽰V个顶点，E条边。
若能将G的顶点V划分为两个不想交的⼦集V1和V2，并且任意边的两个端点都分属于两个集合，则称图G为⼀个⼆分图。
例如图G1可以分为两个⼦集a = (a1, a2, a3, a4, a5, a6)和b = (b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7)。
最⼤匹配在图G = (V, E)中，取边集E的⼦集M，如果M中的任意两条边都不依附于同⼀个顶点，则称M是⼀个匹配；边数最⼤的M则称为图G的最⼤匹配。
例如：图G1中{(a1, b1), (a6, b4)}为G1的⼀个匹配；⽽{(a1, b1), (a2, b2), (a3, b7), (a4, b6), (a5, b4)}为G1的⼀个最⼤匹配。
完备匹配如果在⼀个匹配M中，图的每个顶点都和M中的某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称完备匹配。
匈⽛利算法基本概念交替路从⼀个未匹配点出发，依次经过⾮匹配边、匹配边、⾮匹配边......形成的路径叫交替路。
增⼴路从⼀个未匹配点出发，⾛交替路，如果途径另⼀个未匹配点（⾮出发点），则称该条路径为增⼴路。
注意如果路径仅包含⼀条边，也是增⼴路。
匈⽛利算法匈⽛利算法就是不断寻找增⼴路的过程。
例如上⾯的图G1中，顶点被划分为a、b两个集合，使⽤匈⽛利算法为a集合中每个顶点寻找⼀条增⼴路，就能得到G1的最⼤匹配。
具体过程如下：1.为a1寻找增⼴路a1与b1、b2、b4相连，很容易就能为a1找到⼀条增⼴路{(a1, b1)}，将b1标记为占⽤。
2.为a2寻找增⼴路a2与b2、b5相连，a2的增⼴路为{(a2, b2)}，将b2标记为占⽤。
匈牙利算法原理
匈牙利算法原理
匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。
在二分图中，将图中的节点分为两个集合，分别为左侧节点集合和右侧节点集合，且左侧节点集合中的节点与右侧节点集合中的节点之间不存在边，只有左侧节点集合中的节点与右侧节点集合中的节点之间存在边。
二分图最大匹配问题就是找到一种最优的匹配方式，使得左侧节点集合中的每个节点都与右侧节点集合中的一个节点匹配。
匈牙利算法的基本思想是：从左侧节点集合中的每个节点开始，依次寻找与其匹配的右侧节点，如果找到了一个右侧节点，就将该右侧节点与左侧节点匹配，并继续寻找下一个左侧节点的匹配。
如果找不到一个右侧节点与该左侧节点匹配，就回溯到上一个左侧节点，并尝试匹配其他右侧节点，直到找到一个能够匹配的右侧节点或者所有的右侧节点都已经尝试过。
匈牙利算法的实现过程可以分为以下几个步骤：
1. 初始化：将所有的左侧节点都标记为未匹配状态。
2. 从左侧节点集合中的每个未匹配节点开始，依次进行匹配。
3. 对于每个未匹配节点，寻找与其相连的所有右侧节点，并尝试将其与该左侧节点匹配。
4. 如果找到了一个未匹配的右侧节点，就将该右侧节点与该左侧节点匹配，并将该左侧节点标记为已匹配状态。
5. 如果找不到一个未匹配的右侧节点与该左侧节点匹配，就回溯到上一个左侧节点，并尝试匹配其他右侧节点。
6. 如果所有的左侧节点都已经匹配完成，就得到了一个最大匹配。
7. 如果还存在未匹配的左侧节点，就说明无法找到一个最大匹配。
匈牙利算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点的数量。
虽然时间复杂度比较高，但是匈牙利算法在实际应用中表现良好，可以处理大规模的二分图最大匹配问题。
匈牙利算法 描述
匈牙利算法描述
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种用于解决指派问题的优化算法。
指派问题即在给定若干个任务和执行者之间，找到最佳的任务分配方案，使总体成本最小或总体效益最大。
匈牙利算法的基本思想是通过构建一个初始的匹配矩阵，然后通过一系列的步骤来逐步优化任务分配。
下面是匈牙利算法的主要步骤：
1.构建初始匹配矩阵：根据给定的任务和执行者之间的成本
或效益，构建一个初始的n × n 的匹配矩阵，其中n 表示
任务或执行者的数量。
2.执行最小化匹配：在初始匹配矩阵中，通过找到每一行和
每一列的最小值，并减去该最小值，使得每行和每列都至
少有一个零元素。
3.进行任务分配：在完成步骤2后，判断匹配矩阵中是否存
在完美匹配（即每一行和每一列都有且只有一个零元素）。
如果存在完美匹配，则结束算法，任务分配完成。
如果不
存在完美匹配，则进入下一步。
4.寻找零元素覆盖：在匹配矩阵中查找未被选择的零元素，
并尝试通过最少线覆盖来覆盖所有的零元素，以找到可能
的任务分配方案。
5.更新匹配矩阵：在覆盖了所有的零元素后，根据覆盖线的
位置来对匹配矩阵进行更新和调整，以准备下一次迭代。
6.重复步骤2至步骤5，直到找到合适的任务分配方案或达
到停止条件。
通过上述步骤，匈牙利算法能够找到最佳的任务分配方案，使得总体成本最小或总体效益最大。
该算法的时间复杂度为O(n^4)，其中n 表示任务或执行者的数量。
匈牙利算法在实际应用中广泛用于任务分配、资源调度、运输优化等问题。
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法
（实用版）
目录
一、匈牙利算法简介
二、匈牙利算法的基本原理
三、匈牙利算法的应用实例
四、匈牙利算法的优点与局限性
正文
一、匈牙利算法简介
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的经典算法，由匈牙利数学家 Mátyás Klán 首先提出。
该算法主要用于解决一些实际问题，如任务分配、资源调度等，其核心思想是尽可能地将两个顶点之间的距离缩小，从而实现图的最大匹配。
二、匈牙利算法的基本原理
1.匈牙利算法的基本思想是“贪心”，即每一步都选择当前可以得到的最佳匹配。
2.从未匹配的顶点中选择距离最小的两个顶点进行匹配，直到所有顶点都匹配完毕或者再也找不到匹配的顶点为止。
3.如果当前未匹配的顶点数量为奇数，则无法进行匹配，算法结束。
三、匈牙利算法的应用实例
1.任务分配：假设有 n 个任务和 n 个工人，每个工人完成不同任务的效率不同，匈牙利算法可以帮助我们找到最优的任务分配方案，使得总效率最大。
2.资源调度：假设有 m 个资源和 n 个任务，每个任务需要不同数量
的资源，匈牙利算法可以帮助我们找到最优的资源调度方案，使得总资源消耗最小。
四、匈牙利算法的优点与局限性
1.优点：匈牙利算法思路简单，计算效率较高，可以解决实际生活中的许多问题。
2.局限性：匈牙利算法只能解决无向图的最大匹配问题，对于有向图和带权图，需要进行相应的改进。
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匈牙利算法是一种在多项式时间内求解任务分配问题的组合优化算法，并推动了后来的原始对偶方法。
美国数学家哈罗德·库恩于1955年提出该算法。
此算法之所以被称作匈牙利算法，是因为算法很大一部分是基于以前匈牙利数学家Dénes Kőnig和Jenő Egerváry的工作之上创建起来的。
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
二分图：二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。
设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
图一就是一个二分图。
匈牙利算法：匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。
匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
Hall定理：二部图G中的两部分顶点组成的集合分别为X, Y; X={X1, X2, X3,X4, .........,Xm}, Y={y1, y2, y3, y4 , .........,yn}, G中有一组无公共点的边，一端恰好为组成X的点的充分必要条件是：X中的任意k个点至少与Y中的k个点相邻。
（1≤k≤m)匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
图一中红线为就是一组匹配。
未盖点：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。
如图一中的a 3、b1。
设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。
如图一中a2->b2->a1->b4。
可增广路：两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。
如图一中的b1->a2->b2->a1->b4->a3。
顶点的数目：图中顶点的总数。
最大独立数：从V个顶点中选出k个顶，使得这k个顶互不相邻。
那么最大的k就是这个图的最大独立数。
最小顶点覆盖数：用最少的顶点数k来覆盖图的所有的边，k就是这个图的最小顶点覆盖数。
最大匹配数：所有匹配中包含的边数最多的数目称为最大匹配数。
顶点的数目=最大独立数+最小顶点覆盖数（对于所有无向图都有效）最大匹配数=最小顶点覆盖数（只对二分图有效）这么多概念罗列出来了，下面放个实际中可能遇到的问题。
其实就是算法竞赛中的一道题目，简化阐述下。
问题：幼儿园有G个女孩、B个男孩。
女孩之间都相互认识，男孩之间都相互认识，部分男女之间相互认识。
要求从中选出一部分小孩，他们之间都要相互认识，求能从中选出的最多人数。
分析：可以按男女画出二分图。
因为要求选出的小孩都要相互认识，则可以在相互不认识的小孩之间连线，这样只要小孩之间没有线直接相连，那么他们就肯定就是相互认识的了。
也就因此转化为了求这个二分图的最大独立数。
为了便于理解，首先我们来做个游戏。
假设现在有5个男孩（b1,b2,b3,b4,b5）、五个女孩(g1,g2,g3,g4,g 5)。
b1不认识g1,g2;b2不认识g2,g3;b3不认识g2,g5;b4不认识g3;b5不认识g3,g4,g5。
男孩女孩站两排，相互不认识的他们之间用一根线相连。
得到的图如下：因为相互不认识的小孩之间会有一根线，所以如果我们想得到相互都认识的小孩，那么最终留下的小孩他们的手里都不能握有线了，很简单如果他们手中还有线，那就说明留下的人还有他不认识的。
这样，之前的问题也就转变为了如何去除最少的小孩，使留下的小孩手中没有线。
再换一种说法，也就是怎么在这么多小孩中找出最少的人，他们握有所有的线。
这下就转换为了寻找最小顶点覆盖数。
这样如果找到了最小顶点覆盖数，我们又知道顶点数（所有的小孩的数目），就可以求出最大独立数（现场留下的小孩）。
又因为对于二分图，最大匹配数=最小顶点覆盖数。
这个问题进而也就变成了求解最大匹配数。
而匈牙利算法正是用来求最大匹配数的一个很好的方法。
下面我们就来看看匈牙利算法的具体流程。
上面的流程有些抽象，具体要怎么来找增广路呢，下面给出具体操作的流程图。
是不是感觉有些乱，让我们来一步一步的分析。
为了简化步骤我们用下图来分析第一个最外层的循环从x1开始：按照流程图，第一次肯定有xi了，清空标记后，yi肯定也是没有标记的了。
然后对yi进行标记，第一次M自然也是空的了，M中加入（x1,y1）得到新的M{(x1,y1)}，于是得到下图。
最外层循环到了x2：好，接下来最大匹配数加1，循环继续。
下面就该轮到x2了。
首先清空Y的标记。
这时x2再找到y1时它已经没有标记了，这时再来标记它。
但y1已经在M中了，它的对应顶点为x1。
所以接下来x1要更新关联点。
由x1开始查找时，在Y中y1已经被标记了，只能找下一个顶点，于是便找到了y2。
y2未被标记，标记它。
x1的关联点更新为y2，x2的关联点更新为y1。
因此得新的M为{(x2,y1),(x1,y2)}好，最大匹配数加1，循环继续。
清空Y中标记。
最外层循环到了x3：下面就轮到x3了。
x3找到y1，y1未标记，标记之。
y1的关联是x2。
又轮到x2找了。
x2找到y1，但y1已被标记，于是便找到y2。
y2未被标记，标记之。
y2的关联为x1，x1开始找。
x1找到y1，y1已被标记，找到y2，y2已被标记。
找到y3，y3未被标记，标记之。
同时y3没有关联。
更改x1的关联为y3。
原(x1,y2)的关联也因为x1的改变，变为了(x2,y2)同时新增关联(x3,y1)更新M为{(x3,y1),(x2,y2),(x1,y3)}。
最大匹配数加1。
这时已经没有更多的X中顶点可选了。
最大匹配数就这样被找出来了。
细心的人可能已经看出来了，有M'{(x2,y1),(x1,y2)}，最后找出的路径x3->y1->x2->y2->x1->y3是一条增广路径。
下面说一些增广路的特性，匈牙利法的正确性验证自己有兴趣可以证明下。
(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。
(4)整条路径上没有重复的点。
(5)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。
(6)把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
接下来就要用计算机来实现这个算法的过程了。
相信有了上面的基础，已经不难完成了。
我是用c++编译的，程序很多地方肯定还有待优化，主要是为了展示算法流程。
到这里至少应该对匈牙利算法有所了解了，算法讲解到此结束。
#include <stdio.h>#include <string.h>#define MAXNUM 1000//递归//xi 二分图左部中的顶点//ytotal 二分图右部顶点总数//relation xy之间的关联关系//link xy之间的匹配//y的标记bool recursion(const int xi, const int ytotal, const bool relation[][MAXNUM], int link [], bool* sign){for(int i = 0; i < ytotal; i++){if(relation[xi][i] && !sign[i])//有关联并且没被标记{sign[i] = true;//标记if(link[i] == -1 || recursion(link[i], ytotal, relation, link, sign))//y没有有匹配则更新y的匹配；y有匹配则用它的匹配继续查找{link[i] = xi;//更新y的匹配return true;}}}return false;}//匈牙利算法//xtotal 二分图的左部包含顶点总数//ytotal 二分图的右部包含顶点总数//xy之间的关联int Hungary(const int xtotal, const int ytotal,const bool relation[][MAXNUM]) {int link[MAXNUM][2];//与y匹配的xmemset(link, -1, sizeof(link));int cnt = 0;//最大匹配数for(int i = 0; i < xtotal; i++){bool sign[MAXNUM] = {false};//清空标记if(recursion(i, ytotal, relation, link[i], sign))//寻找增广路径{cnt++;}}return cnt;}int main(int argc, char** argv){while(true){int boytotal = 0;int girltotal = 0;bool relation[MAXNUM][MAXNUM] = {false};//获取男孩总数do{fflush(stdin);printf("请输入男孩总数（不大于%d）：\n", MAXNUM);scanf("%d",&boytotal);}while(0 == boytotal || boytotal > MAXNUM);printf("男孩总数输入成功。
\n");printf("------------------------\n");//获取女孩总数do{fflush(stdin);printf("请输入女孩总数（不大于%d）：\n", MAXNUM);scanf("%d",&girltotal);}while(0 == girltotal || girltotal > MAXNUM);printf("女孩总数输入成功。
\n");printf("------------------------\n");//获取相互不认识的男女do{int boyno = 0;int girlno = 0;fflush(stdin);printf("请输入相互不认识的异性小孩，如第一个男孩不认识第二个女孩则输入1, 2：\n");scanf("%d,%d",&boyno, &girlno);if(boyno>0&&boyno<=boytotal&&girlno>0&&girlno<=girltotal){relation[boyno-1][girlno-1] = true;char ret = '\0';fflush(stdin);printf("一对互不认识的男女输入成功，是否结束输入？(Y/N)\n");scanf("%c",&ret);if('Y' == ret || 'y' == ret){break;}}}while(true);printf("------------------------\n");printf("男孩个数：%d；女孩个数：%d；小孩总数：%d\n",boytotal,girltotal,boytotal +girltotal);//寻找最大匹配int tmp = Hungary(boytotal, girltotal, relation);printf("最大匹配数：%d\n", tmp);printf("最多可以留下人数：%d\n", boytotal+girltotal-tmp);printf("------------------------\n");char ret;fflush(stdin);printf("是否退出？(Y/N)\n");scanf("%c",&ret);if('Y' == ret || 'y' == ret){break;}printf("------------------------\n");}return1; }。