指派问题_匈牙利算法

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指派问题的匈牙利算法

摘要

在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab和lingo编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。最后通过实例来说明运用matlab，lingo编译程序来解决整数规划问题的简便和有效性。

关键词：指派问题；匈牙利算法；0-1整数规划；matlab模型；lingo模型

Abstract

In business, the company's operations and management, managers always want the best distribution of the staff to maximize their efficiency, reduce costs and improve efficiency. However, if there is no scientific method is difficult to achieve optimal management, which we introduced the assignment problem. Multi-assignment problem is to get the project working hours at least, and in many cases people do not care about how much the total project work, but only care about whether the project can be completed within the shortest possible time, that lasted for at least the assignment problem. Such problems is the n individual execution of tasks n, the number of people to perform each task and assign the total number of items are restricted to two people, requiring the optimal assignment. Integer programming in operations research for solving the assignment problem is usually solved by Hungarian algorithm, but the assignment problem can be reduced to a 0-1 integer programming problem, this paper first to make a statement on the assignment problem, leads to the solution of practical problems. Assignment problem in the background to fully understand the problem description, the first assignment problem using Hungarian algorithm, and then a 0-1 integer programming model and compiler using matlab and the lingo of the problem to be compiled using the software solution model problem Ultimately in the assignment of the application in practical problems. By using the Hungarian algorithm and the 0-1 integer programming to solve assignment problems simultaneously, we found that 0-1 integer programming method to solve a more simple and easier to read and understand the program. At the same time, we also 0-1 integer programming problem in-depth study by the integer data to a decimal data. Finally, an example to illustrate the use of matlab, lingo compiler to solve the integer programming problem is simple and effective.

指派问题匈牙利算法最大值

指派问题是一个优化问题，旨在确定如何将 n 个任务分配给 n 个人员，以便完成总成本最小或总利润最大。匈牙利算法是解决指派问题的经典算法之一，通过寻找增广路径来找到最大权值的匹配。

在指派问题中，我们有一个 n x n 的成本矩阵，其中的每个元素表

示将特定任务分配给特定人员的成本或利润。问题的目标是找到一种分配方式，使得总成本最小或总利润最大。

匈牙利算法是一种基于图论的算法，它通过构建二分图和寻找增广路径来解决指派问题。算法的核心思想是通过不断改进当前的匹配，直到找到最优解。

具体来说，匈牙利算法的步骤如下：

1. 初始化一个空的匹配集合。

2. 对于每个任务，找到一个未被分配的人员，并将其分配给该任务。如果该任务没有未被分配的人员，则考虑将其他任务分配给当前人员，并将当前任务分配给其它人员。

3. 如果存在一个未被匹配的任务，寻找一条从该任务出发的增广路径。增广路径是一条交替经过匹配边和非匹配边的路径，起点和终点都是未匹配的任务。

4. 如果存在增广路径，则改进当前的匹配，即通过将增广路径上的

非匹配边变为匹配边，并将增广路径上的匹配边变为非匹配边。5. 重复步骤3和步骤4，直到不存在增广路径为止。

匈牙利算法的运行时间复杂度为 O(n^3)，其中 n 是任务或人员的数量。该算法可以找到指派问题的最优解，并且在实践中表现良好。

总之，指派问题是一个重要的优化问题，而匈牙利算法是一种解决指派问题的经典算法。通过构建二分图并寻找增广路径，匈牙利算法可以找到指派问题的最优解。

匈牙利法求解指派问题

任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
匈牙利算法的步骤：
第一步：使分配问题的系数矩阵经变换，在各行各列中都出现0元素：
➢从系数矩阵的每行元素减去该行的最小元素。
➢再从所得系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。
若某行已经有0元素，就不必再减了。
4
乙 10 4 14 15
丙
9
14 16 13
丁
7
8 11 9
类似有：有n项加工任务，怎样分配到n台机床上分别完成；有n 条航线，怎样指定n艘船分别去航行….. 等。
表中数据称为效益矩阵或系数矩阵，其元素大于零，表示分配第 i人去完成第j 项任务时的效益（或时间、成本等）。
引入0-1变量xij=1分配第i人去完成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
如何安排讲座的日程，使不能出席的学生总数最少？
解：这是一个不平衡的的分配问题，需虚设一个讲座，且Ci,5=0 , i=1,2,..,5
生态学能源运输生物虚设工程讲座
一 50 40 60 20 0
二 40 30 40 30 0
三 60 20 30 20 0

匈牙利算法步骤和公式

匈牙利算法是一种求解指派问题的算法，其步骤如下：对指派问题的系数矩阵进行变换，使每行每列至少有一个元素为“0”。具体做法是让系数矩阵的每行元素去减去该行的最小元素，再让系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。从第一行开始，若该行只有一个零元素，就对这个零元素加括号，对加括号的零元素所在的列画一条线覆盖该列。若该行没有零元素或者有两个以上零元素（已划去的不算在内），则转下一行，依次进行到最后一行。从第一列开始，若该列只有一个零元素。就对这个零元素加括号（同样不、考虑已划去的零元素）。再对加括号的零元素所在行画一条直线覆盖该列。若该列没有零元素或有两个以上零元素，则转下一列，依次进行到最后一列为止。重复上述步骤（1）和（2）可能出现3种情况：（5）按定理进行如下变换：①从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的k；②当矩阵中的第i行有直线覆盖时，令；无直线覆盖时。

指派问题的最优解法

指派问题是一个最优化问题，在给定若干个任务和执行者（或机器）的情况下，要求将每个任务指派给一个执行者，并使得总体的执行成本或者效益最优。指派问题可以用匈牙利算法（Hungarian algorithm）或者KM算法（Kuhn-Munkres algorithm）来求解，这两个算法是目前被广泛采用的指派问题

求解方法。

匈牙利算法是一个具有全局优势的贪心算法，它通过不断优化当前的局部选择，最终得到全局最优解。其基本思想是通过给任务和执行者之间的边标注权重，然后选取最小权重的边进行指派，如果发现某个任务或者执行者已经被指派，就将其它相关的边进行更新，并继续寻找最小权重的边进行指派，直到所有的任务都得到指派。

KM算法是匈牙利算法的一种更加高效的变体。它首先将指派

问题转化为一个最大权匹配问题，然后通过不断调整边的权重，使得每次迭代都可以找到一个指派边的增广路径，并更新相应的匹配结果。KM算法的核心思想是通过对匹配结果进行调整，减小局部优势并增加全局优势。

无论是匈牙利算法还是KM算法，在最坏情况下的时间复杂

度都是O(n^3)，其中n表示任务和执行者的数量。这两个算

法的主要区别在于实现的复杂度和算法的效率，KM算法相对

于匈牙利算法来说具有更好的性能。

除了匈牙利算法和KM算法之外，还有一些其他的指派问题

求解方法，例如启发式搜索、遗传算法等。这些方法一般适用于指派问题的规模比较大、复杂度比较高的情况下，但是相对于匈牙利算法和KM算法，它们的效率和准确性可能会有所降低。

总之，指派问题的最优解法可以通过匈牙利算法或者KM算法来求解，具体选择哪一种方法可以根据问题的规模和复杂度来决定。

指派问题的匈牙利法

获得初始解：圈零/划零操作
将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行和每一列都含有零；从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来，并划去它所在行和所在列的其它零；反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。得到初始解。判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。
8 0 5 0 9 4 3 4 0 3 8 5
圈零划零
0 11 2 0
8 0 5 0 9 4 3 4 0 3 8 5
得最优解
将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得最优解如下
0 0 （xij ) = 0 1
最小总时间为22。
0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
例二、例二、有一份中文说明书，需译成英、有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种
文字，分别记作A、、、。现有甲、文字，分别记作、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
4 0 2 3
5 9 0 1 5 4 0 9 3 7 6 0
4 0 2 3
5 4 0 1 0 4 0 4 3 7 1 0

匈牙利算法

对于标准的指派问题,匈牙利算法的一般步骤可以表述如下:

①变换系数矩阵。先对各行元素分别减去本行中的最小元素,再对各列元素分别减去本列中最小元素。这样系数矩阵中每行及每列至少有一个零元素,同时不出现负元素。

Q个,则己得

②在变换后的系数矩阵中确定独立零元素。若独立零元素有e

Q个,则作能覆盖所有零元素的最少直线数目的直出最优解；若独立零元素少于e

线集合,进行③。

③继续变换系数矩阵。在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素。对未被直线覆盖的元素所在行(或列)中各元素都减去这一最小元素。这样,在未被直线覆盖的元素中势必会出现零元素,但同时却又使己被直线覆盖的元素中出现负元素。为了消除负元素,只要对它们所在列(或行)中各元素都加上这一最小元素(可以看作减去这一最小元素的相反数)即可,重复②。

匈牙利算法求解教学任务指派问题

Xij
（1）
使得总效益最高（时间最少、成本最小、收益最大等），
即目标函数
。当
且
时，为
一对一指派问题；否则为多人协作或兼职问题。求解指派问题的方法通常有分支定界法、隐枚举法、
匈牙利法等 [1]。匈牙利算法由匈牙利数学家 Edmonds 于 1965 年提出，是基于 Hall 定理中充分性证明的思想，用增广路径求二分图最大匹配的算法，算法的核心是寻找增广路径，也可用于指派问题的求解 [2]。
１前言
随着教学内容的扩展，各类前沿技术在课堂中得到充分体现，教学课程的设置、教学任务的分配等问题也变得更加复杂。传统的教学任务指派，主要是根据任务之间的关系、教师的授课情况和学生的偏好，由专门的教学管理人员制定课程表，费时、费力且效率低，属于典型的经验型管理。随着教学管理信息化含量的日益提升，定性的人工进行教学任务指派的情况已无法适应定量、快速、自动的科学管理要求。因此，有必要引入运筹学的理论和方法解决教学任务指派问题，并以计算机辅助解决实际问题。
本文基于匈牙利算法，建立教学任务指派优化模型，分析如何分配教师承担教学任务以使系统整体满意度最大
化，并采用 MATLAB 编程实现求解。
２指派问题
指派问题的常用描述是有 n 个人可承担 m 项任务，由于每人的专长不同，完成不同任务的效率也不同，如何指派哪个人完成哪项任务，使完成所有任务的总效率最高或所需总时间最少？指派问题是运输问题中的一种特殊情况， “派合适的人去做合适的事”是对该问题的最贴切描述。

指派问题匈牙利算法步骤

匈牙利算法是解决二分图最大匹配问题的经典算法。以下是匈牙利算法的步骤：

初始化：创建一个二分图，并将所有边的匹配状态初始化为未匹配。

选择一个未匹配的左侧顶点作为起始点，开始进行增广路径的寻找。

在增广路径的寻找过程中，首先选择一个未访问的左侧顶点作为当前路径的起点。

针对当前路径的起点，依次遍历与其相邻的右侧顶点。

对于每个右侧顶点，如果该顶点未被访问过，则标记为已访问，并判断该顶点是否已匹配。

如果该右侧顶点未匹配，则找到了一条增广路径，结束路径的寻找过程。

如果该右侧顶点已匹配，将其与之匹配的左侧顶点标记为已访问，并继续寻找与该左侧顶点相邻的右侧顶点，构建新的路径。

如果当前路径无法找到增广路径，则回溯到上一个路径的起点，并继续寻找其他路径。

当所有的路径都无法找到增广路径时，算法结束。

根据最终得到的匹配结果，即可得到二分图的最大匹配。

这些步骤描述了匈牙利算法的基本流程。具体实现时，可以采用递归或迭代的方式来寻找增广路径，通过标记顶点的访问状态来进行路径的选择和回溯。算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。

运筹学指派问题的匈牙利法

运筹学课程设计

指

派

问

题

的

匈

牙

利

法

专业：

姓名：

学号：

1.算法思想：

匈牙利算法的基本思想是修改效益矩阵的行或列，使得每一行或列中至少有一个为零的元素，经过修正后，直至在不同行、不同列中至少有一个零元素，从而得到与这些零元素相对应的一个完全分配方案。当它用于效益矩阵时，这个完全分配方案就是一个最优分配，它使总的效益为最小。这种方法总是在有限步內收敛于一个最优解。该方法的理论基础是：在效益矩阵的任何行或列中，加上或减去一个常数后不会改变最优分配。

2.算法流程或步骤：

1.将原始效益矩阵C的每行、每列各元素都依次减去该行、该列的最小元素，

使每行、每列都至少出现一个0元素，以构成等价的效益矩阵C’。

2.圈0元素。在C’中未被直线通过的含0元素最少的行（或列）中圈出一

个0元素，通过这个0元素作一条竖（或横）线。重复此步，若这样能圈出不同行不同列的n个0元素，转第四步，否则转第三步。

3.调整效益矩阵。在C’中未被直线穿过的数集D中，找出最小的数d，D

中所有数都减去d，C’中两条直线相交处的数都加的d。去掉直线，组成新的等价效益矩阵仍叫C’，返回第二步。

X=0，这就是一种最优分配。最低总

4.令被圈0元素对应位置的X ij=1,其余

耗费是C中使

X=1的各位置上各元素的和。

算法流程图：

3.算法源程序：

#include

typedef struct matrix

{

float cost[101][101];

int zeroelem[101][101];

float costforout[101][101];

指派问题匈牙利算法最大值

匈牙利算法(匈牙利算法,也被称为“插入-删除算法”或“排序算法”)是一种整数排序算法,在指派问题中可以将一个整数数组按照一定规则排序,使得所有指派中最大的元素出现的位置都不相同。

以下是匈牙利算法在解决指派问题的最大值问题的步骤:

1. 将数组分为两个部分,左半部分尽可能地小,右半部分尽可能地大。

2. 从右半部分开始,将一个元素与它的指派对象的最大值进行

比较。如果两个元素之间的指派关系不符合要求,就将它们交换位置。

3. 接下来,从左边半部分开始,将一个元素与它的指派对象的最大值进行比较。如果两个元素之间的指派关系不符合要求,就将它们交换位置。

4. 重复步骤2和步骤3,直到左半部分的最大值与右半部分的最大值相等。

5. 在最右半部分找到最大的元素,将它与左半部分的最大值交换。

6. 重复步骤1到步骤5,直到数组中的所有元素都被排序。

匈牙利算法的时间复杂度为O(nlogn),其中n为数组的长度。在实际应用中,该算法通常用于小规模数据的排序,对于大规模数据的

排序则需要使用更高效的算法。

匈牙利法解决人数及任务数不等的指派问题

匈牙利法解决人数与任务数不等的指派问题

于凯

重庆科技学院经济管理学院物流专业重庆沙坪坝区

摘要：本文将讨论运筹学中的指派问题，而且属于非标准指派问题，即人数与任务数不相等的指派问题，应当视为一个多目标决策问题，首先要求指派给个人任务数目两两之间相差不能超过1，其次要求所需总时间最少，并且给出了该类问题的求解方法。

关键词：运筹学指派问题匈牙利算法系数矩阵解矩阵

引言：在日常的生产生活中常遇到这样的问题：有n项任务，有n个人员可以去承担这n 项任务，但由于每位人员的特点与专长不同，各对象完成各项任务所用的时间费用或效益不同；有因任务性质要求和管理上需要等原因，每项任务只能由一个人员承担来完成，这就涉及到应该指派哪个人员去完成哪项任务，才能使完成n项任务花费总时间最短，总费用最少，产生的总效益最佳。我们把这类最优匹配问题称为指派问题或分配问题。

1.指派问题的解法——匈牙利法

早在1955年库恩（，该方法是以匈牙利数学家康尼格（koning）提出的一个关于矩阵中0元素的定理为基础，因此得名匈牙利法（The Hungonrian Method of Assignment）

1.1匈牙利解法的基本原理和解题思路

直观的讲，求指派问题的最优方案就是要在n阶系数矩阵中找出n个分布于不用行不同列的元素使得他们的和最小。

而指派问题的最优解又有这样的性质：若从系数矩阵C（ij）的一行（列）各元素都减去该行（列）的最小元素，得到新矩阵CB（ij），那么以CB（ij）为系数矩阵求得的最优解和原系数矩阵C（ij）求得的最优解相同。

匈牙利法求解指派问题

第i人只能完成一项任务。
满足约束条件的解称为可行解可写成矩阵形式：
0100
0010 X=
1000
2000
称为解矩阵其各行各列元素之和为1。
匈牙利算法依据：
对同一工作i来说，所有机床的效率都提高或降低同一常数，不会影响最优分配；同样，对同一机床j来说,做所有工作的效率都提高或降低同一常数，也不会影响最优分配。
指派问题（分配问题）
(Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译成英、日、德、俄四种文字，分别记作E、J、G、R，现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成英、日、德、俄四种文字所需时间如下，问应该如何分配工作，使所需总时间最少？
任务 E
J
G
R
人员
甲
2
15 13
在打列中各元素都加上这最小元素2。
70202 4 3 000 08350 11 8 0 0 4 04143
重复第二步，寻找独立0元素。
70202 4 3 000 08350 11 8 0 0 4 04143
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
70202 4 3 000 08350 11 8 0 0 4 4 1 4 3
➢对没有的行，打；
➢对已打行中所有含0元素的列打；
➢再对打列中含0元素的行打；

指派问题的匈牙利法

指派问题
指派问题是一种特殊的整数规划问题一、问题的提出
设有m个工人，能做n件事，但效率不同，并规定每个工人做且只能做一件事，每件事有且只能有一个工人做，问应该如何安排他们的工作，使花费的总时间（成本）最少或效率最高？
二、指派问题的数学模型
设第i个工人做第j件事的时间是 cij ，决策
文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？
任务
人员
A
B
C
D
甲
6
7
11
2
乙
4
5
9
8
丙
3
1
10
4
丁
5
9
8
2
求解过程如下：
第一步，变换系数矩阵：
6 7 11 2 2
(cij
)

4 3
5 1
11 8 0 0 10
0 4 1 4 3
得最优解
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
( xij
)

0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
1 0 0 0 0
另一最优解
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
(
xij

二次指派问题匈牙利算法

匈牙利算法（匈牙利算法）是一个经典的用于解决二分图最大匹配问题的算法。它的基本思想是通过交替路径的方法来寻找增广路径，从而不断增加匹配的数量。

以下是匈牙利算法的步骤：

1. 初始化一个空的匹配，即所有顶点都不属于任何一个匹配；

2. 从左侧的一个未匹配顶点开始，尝试为其查找增广路径；

3. 在查找增广路径时，可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）等方法；

4. 如果找到增广路径，则将路径上的边进行反转，即原来是匹配边的变成非匹配边，原来是非匹配边的变成匹配边；

5. 如果没有找到增广路径，则说明已经得到了最大匹配，算法终止；

6. 重复步骤2至5，直到所有的顶点都被匹配。

匈牙利算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。在实际应用中，通过使用一些优化技巧，可以达到更高的效率。

需要注意的是，匈牙利算法只能解决二分图最大匹配问题，即图的边集可以分割成两个互不相交的子集，将每个子集的顶点与另一个子集的顶点相连。对于一般的图，可能需要使用其他算法来解决最大匹配问题。

指派问题

i, j
C′ = (M − cij )
则与
′ min w = ∑∑cij xij
i j
max z = ∑∑cij xij
i j
的最优解相同。
§5.5 指派问题 Assignment Problem
Ch5 Integer Programming
2012年4月20日星期五 Page 9 of 12
【例】某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的例得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。
5 0 5 7
7 0 C ′＝ 8 4
0 19 2 8 17 0 7 11 0 0 10 2
0 9 2 8 7 0 7 1 0 0 0 2
1 1 最优解：最优解： X＝ 1 1
即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项。总分为：＝＋＋＋＝总分为：Z＝92＋95＋90＋80＝357
9 14 0 3
15 0 9 5 0 9 0 0 3 6 0 0
(2) 直线相交处的元素加上k，未被直线覆盖的元素减去k，被直线覆盖而没有相交的元素不变，得到下列矩阵
6 12 0 9 11 2 0 9 0 0 3 6 0 3 0 0
未被直线覆盖元素中最小元素k=2,直线相交处的元素加上2，未被直线覆盖的元素减去2，被直线覆盖而没有相交的元素不变，得到下列矩阵

指派问题_匈牙利算法

指派问题的匈牙利算法

指派问题匈牙利算法最大值

匈牙利法求解指派问题

匈牙利算法步骤和公式

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指派问题匈牙利算法最大值

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指派问题的匈牙利法

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指派问题

二次指派问题匈牙利算法