分配问题匈牙利算法的Matlab实现

运筹学匈牙利法

运筹学匈牙利法运筹学匈牙利法（Hungarian Algorithm），也叫匈牙利算法，是解决二部图最大（小）权完美匹配（也称作二分图最大权匹配、二分图最小点覆盖）问题的经典算法，是由匈牙利数学家Kuhn和Harold W. Kuhn发明的，属于贪心算法的一种。

问题描述在一个二分图中，每个节点分别属于两个特定集合。

找到一种匹配，使得所有内部的节点对都有连边，并且找到一种匹配方案，使得该方案的边权和最大。

应用场景匈牙利算法的应用场景较为广泛，比如在生产调度、货车调度、学生对导师的指定、电影的推荐等领域内，都有广泛的应用。

算法流程匈牙利算法的伪代码描述如下：进行循环ɑ、选择一点未匹配的点a作为起点，它在二分图的左边β、找出a所有未匹配的点作为下一层节点ɣ、对下一层的每个节点，如果它在右边未匹配，直接匹配ɛ、如果遇到一个已经匹配的节点，进入下一圈，考虑和它匹配的情况δ、对已经匹配的点，将它已经匹配的点拿出来，作为下一层节点，标记这个点作为已被搜索过ε、将这个点作为当前层的虚拟点，没人配它，看能否为它找到和它匹配的点ζ、如果能匹配到它的伴侣，令它们成对被匹配最后输出最大权匹配。

算法优缺点优点：相比于暴力求解二分图最大权匹配来说，匈牙利算法具有优秀的解决效率和高效的时间复杂度，可以在多项式时间（O(n^3)）内解决二分图最大权匹配问题。

缺点：当二分图较大时，匈牙利算法还是有很大的计算复杂度，复杂度不佳，算法有效性差。

此时就需要改进算法或者使用其他算法。

总结匈牙利算法是一个常见的解决二分图最大权匹配问题的算法，由于其简洁、易用、效率优秀等特性，广泛应用于学术和实际问题中。

匈牙利算法虽然在处理较大规模问题时效率不佳，但仍然是一种值得掌握的经典算法。

基于Matlab编程的一类指派问题解法

ｔｅｒｐｒｉｓｅｓｔａｆｆａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｉｓｔｈａｔｅｎｔｅｐｒｒｉｓｓｅａｓｓｉｇｎａｎｕｍｂｅｒｏｆｅｍｐｌｏｙｅｅｓｔｏａｃｃｏｍｐｌｉｓｈｓｏｍｅｔｓｋａｓｉｎｈｉｇｈｅｆｉｆｃｉｅｎｃｙ（ｔｈｅ
ＬＩＬｉｎ－ｈａｎ，ＺＨＡＮＧＷｅｎ－ｌｉａｎｇ
【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｉｎｍｏｄｅｒｎｓｏｃｉｅｔｙ，ｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎｅｘｉｓｔｓｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ，ＳＯｄｏｅｓｔｈｅｃｏｍｐｅｔｉｔｉｏｎａｍｏｎｇｅｎｔｅｒｐｉｒｓｅｓ．Ｓｔａｆｆａｓｓｉｇｎ－
２０１５年２月
廊坊师范学院学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＬａｎｇｆａｎｇＴｅａｃｈｅｒｓＣｏＵｅｇｅ（ＮａｔｕｒｌａＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
［中图分类号）０２２４
［文献标识码］Ａ
［文章编号］１６７４ — ３２２９（２０１５）０１ — ００１１ — ０４
０引言
在实际的生产活动中，有各种类型的０—１整数规划问题，其中有一类在运筹学中称为指派问题。即决策者在生产中，希望把人员进行最佳的技术分配，以发挥不同人员的不同优势，以求达到整体的最优价值。例如某项目有ｍ项不同的部分要

匈牙利法求解指派问题

然后划去所在的列的其他0 元素，记作Ø。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø1 0 0
➢给只有一个0元素的列的0 元素加圈，记。
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 0
然后划去所在的行的其他0元素，记作Ø
Ø 13 7 0 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
➢给最后一个0元素加圈，记。
Ø 13 7 6 6 9 5 3 2 Ø 1 Ø
可见m=n=4,得到最优解。
0001 0100 1000 0010
即甲译俄文、乙译日文、丙译英文、丁译德文所需时间最少。Z=28小时
例6 分配问题效率矩阵
任务 A B C D E 人员
甲 12 7 9 7 9 乙8 9 6 6 6 丙 7 17 12 14 9 丁 15 14 6 6 10 戊 4 10 7 10 9
12 7 9 7 9 7 89666 6 7 17 12 14 9 7 15 14 6 6 10 6 4 10 7 10 9 4
50202 23000 0 10 5 7 2 98004 06365
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0元素加圈，记
50202 23000
10 5 7 2
98004 06365
然后划去所在的列的其他0元素，记作Ø。
70202 4 3 000 Ø 8350 11 8 0 0 4 4 1 4 3
➢从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
70202 4 3 000 Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3
然后划去所在的列的其他0元素，记作Ø。
70202 4 3 00Ø Ø 8 3 5 11 8 0 0 4 4 1 4 3

匈牙利算法求解教学任务指派问题

匈牙利算法求解教学任务指派问题思想，用增广路径求二分图最大匹配的算法，算法的核心是寻找增广路径，也可用于指派问题的求解。

针对多人执行多项工作的指派问题，张云华采用匈牙利算法的基本和步骤进行了研究。

目标分配问题作为指派问题的一种类型，谷稳综合匈牙利算法及其进化算法的特点，对机器人足球的目标分配问题进行了研究。

为避免匈牙利算法多次试分配导致处理速度慢的不足，周莉等人对寻找独立零的次序进行改进，得到匈牙利算法求解指派问题的一次性分配算法。

李延鹏等人提出利用虚拟工作代替并联环境，将具有并联环节的人员指派问题转化为典型的指派问题，提高了匈牙利算法的适用性。

谢博耶夫采用反圈法和对称差，对匈牙利算法进行了推广。

对于“人少任务多”型指派问题的解决，与“加边补零”法、“加边补最小值”法等传统解法不同，马晓娜通过差额法对匈牙利算法进行了改进。

3 基于匈牙利算法的任务指派优化模型问题描述教学课程的指派优化问题，需要综合考虑教学特长、学生满意度、课程内容等多因素，追求教学质量、满意度和教学精力等多目标的优化决策问题，任何一个参数的改变都可能影响最终的指派结果。

该类问题可描述为：假设有n名不同教研室的教师，N={N1，N2，...，Nn}，所有教师可以讲授课程共m门，M={M1，M2，...，Mm}。

已知n 名教师对m门课程的擅长程度矩阵G、n名教师的课时上限序列U和学员对教师满意度序列S，如何安排n名教師教授的课程，使得总体教学质量、教师精力和学生满意度最优化？指派优化模型由于该问题涉及因素较多，因此，采用解析方法或传统的匈牙利算法难以给出合适结果。

总体最优化的前提是教师擅长课程、精力和学生满意度满足基本要求，本文采用比值的方式求解三种因素的综合表现。

矩阵G元素值为百分比，Gij 值越高，表明第i名教师对第j门课程的擅长程度越好。

序列U 和S经过归一化处理后，也可表现为百分比形式，Ui值越高，表明第i名教师的教学任务越饱满；Si值越高，表明学生对第i名教师的满意度越高。

匈牙利法的matlab实现

匈牙利法的Matlab实现引言匈牙利法（Hungarian algorithm）是一种经典的组合优化算法，用于解决二分图的最佳匹配问题。

该算法的基本思想是通过不断修改图中的顶标以及通过交换匹配边和非匹配边来寻找最佳匹配。

在本文中，我们将介绍匈牙利法的原理，并使用Matlab编写相应的实现代码。

通过具体的例子，我们将展示如何使用Matlab解决实际问题。

二级标题一：匈牙利法的原理匈牙利法是一种基于图论的算法，用于在二分图中找到最佳匹配。

二分图是一种图，其顶点可以划分为两个不相交的集合，并且所有边都连接两个不同集合中的顶点。

最佳匹配是指在图中找到一组边，使得每个顶点最多与一条边相连，并且使得匹配边的权重之和最小。

匈牙利法的基本思路如下： 1. 给定一个二分图和初始的匹配。

2. 对于每个未匹配的顶点，尝试通过增广路径来扩展当前匹配。

3. 如果找到增广路径，则修改当前匹配以增加一个匹配边。

4. 重复步骤2和3，直到无法找到增广路径。

匈牙利法的关键在于如何寻找增广路径。

其核心算法是通过深度优先搜索来查找增广路径，该算法使用了一种可行的贪心策略来优化搜索过程。

二级标题二：Matlab实现在Matlab中，我们可以使用图论工具包来实现匈牙利法。

首先，我们需要创建一个二分图并初始化初始匹配。

然后，我们使用深度优先搜索来寻找增广路径，并通过修改匹配来扩展当前匹配。

最后，我们重复这个过程，直到无法找到增广路径。

下面是匈牙利法在Matlab中的实现代码：function [matching, cost] = hungarian_algorithm(cost_matrix)n = size(cost_matrix, 1);m = size(cost_matrix, 2);% 初始化初始匹配为空matching = zeros(1, n);for u = 1:n% 初始化顶标slack = inf(1, m);% 初始化访问标记visited = false(1, m);% 尝试扩展当前匹配while true% 初始化增广路径为空predecessor = zeros(1, m);max_slack = inf;% 寻找增广路径for v = 1:mif ~visited(v)curr_slack = cost_matrix(u, v) - matching(u);if curr_slack < slack(v)slack(v) = curr_slack;predecessor(v) = u;endif slack(v) < max_slackmax_slack = slack(v);endendend% 更新顶标和访问标记for v = 1:mif visited(v)cost_matrix(u, v) = cost_matrix(u, v) - max_slack; matching(u) = matching(u) + max_slack;elseslack(v) = slack(v) - max_slack;endendfor v = 1:mif ~visited(v) && slack(v) == 0if matching(v) == 0% 找到增广路径while predecessor(v) ~= 0matching(v) = predecessor(v);u = predecessor(v);v = matching(u);endbreak;else% 继续寻找增广路径visited(v) = true;u = matching(v);endendendif v ~= mbreak;endendend% 计算匹配的总权重cost = sum(cost_matrix(sub2ind(size(cost_matrix), 1:n, matching)));end二级标题三：案例研究在这个案例研究中，我们将使用上述实现代码来解决一个具体的问题。

匈牙利算法求解教学任务指派问题

Xij
（1）
使得总效益最高（时间最少、成本最小、收益最大等），
即目标函数
。当
且
时，为
一对一指派问题；否则为多人协作或兼职问题。求解指派问题的方法通常有分支定界法、隐枚举法、
匈牙利法等 [1]。匈牙利算法由匈牙利数学家 Edmonds 于 1965 年提出，是基于 Hall 定理中充分性证明的思想，用增广路径求二分图最大匹配的算法，算法的核心是寻找增广路径，也可用于指派问题的求解 [2]。
指派问题的数学模型通常是：设 n 个人（或机器）被分配去做 m 件工作，由于工作性质和各人（或机器）的专长不同，完成不同工作的效益（时间、成本、收益等）将有差别，用系数矩阵 C 表示，Cij 表示第 i 个人完成第 j 件工作的效益，Cij ≥ 0（i=1,...,n;j=1,...,m）。当 n=m 时，为平衡状态下的标准指派问题；当 n ＞ m 时，人数多于任务数，属于不平衡状态下择优录用问题；当 n ＜ m 时，人数少于任务数，可以分为某些任务不管和一人完成多项任务两种情况，属于不平衡状态下指派问题的拓展。求解指派矩阵 X：
针对多人执行多项工作的指派问题，张云华采用匈牙利算法的基本思想和步骤进行了研究 [3]。目标分配问题作为指派问题的一种类型，谷稳综合匈牙利算法及其进化算法的特点，对机器人足球的目标分配问题进行了研究 [4]。为避免匈牙利算法多次试分配导致处理速度慢的不足，周莉等人对寻找独立零的次序进行改进，得到匈牙利算法求解指派问题的一次性分配算法 [5]。李延鹏等人提出利用虚拟工作代替并联环境，将具有并联环节的人员指派问题转
本文基于匈牙利算法，建立教学任务指派优化模型，分析如何分配教师承担教学任务以使系统整体现求解。

数学建模匈牙利算法

数学建模匈牙利算法
【最新版】
目录
一、匈牙利算法的概念与基本原理
二、匈牙利算法的应用实例
三、匈牙利算法的优缺点
正文
一、匈牙利算法的概念与基本原理
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的算法，由匈牙利数学家 Mátyásovszky 于 1937 年首次提出。

该算法的基本思想是：通过不断循环寻找图中的偶数长度路径，并将路径中的顶点依次匹配，直到找不到这样的路径为止。

此时，图中的所有顶点都已匹配，即得到了二分图的最大匹配。

二、匈牙利算法的应用实例
匈牙利算法广泛应用于任务分配、资源调度、数据融合等领域。

下面举一个简单的例子来说明匈牙利算法的应用。

假设有 5 个工人和 8 个任务，每个工人完成不同任务的效率不同。

我们需要为每个任务分配一个工人，使得总效率最大。

可以用一个二分图来表示这个问题，其中顶点分为两类：工人和任务。

边表示任务与工人之间的效率关系。

匈牙利算法可以用来求解这个问题，找到最优的任务分配方案。

三、匈牙利算法的优缺点
匈牙利算法的优点是简单、高效，可以解决二分图的最大匹配问题。

然而，它也存在一些缺点：
1.匈牙利算法只能解决无向图的匹配问题，对于有向图，需要将其转
换为无向图才能使用匈牙利算法。

2.当图中存在环时，匈牙利算法无法找到最大匹配。

这时需要使用其他算法，如 Euclidean algorithm（欧几里得算法）来解决。

3.匈牙利算法在实际应用中可能存在数值稳定性问题，即在计算过程中可能出现精度误差。

线性规划中Matlab的运用

§1 线性规划在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。

此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。

自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。

特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。

1.1 线性规划的实例与定义例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。

生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。

若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足（目标函数）2134m ax x x z += (1)s.t.（约束条件）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0,781022122121x x x x x x x （2）这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。

上述即为一规划问题数学模型的三个要素。

由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。

总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。

在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。

而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。

求kM算法和匈牙利算法的程序代码

求kM算法和匈牙利算法的程序代码kM算法和匈牙利算法的程序代码，最好是用matlab给出的，用c语言亦可。

不要用其他的编程语言。

//二分图最佳匹配,kuhn munkras算法,邻接阵形式,复杂度O(m*m*n)//返回最佳匹配值,传入二分图大小m,n和邻接阵mat,表示权值//match1,match2返回一个最佳匹配,未匹配顶点match值为-1//一定注意m<=n,否则循环无法终止//最小权匹配可将权值取相反数#include <string.h>#define MAXN 310#define inf 1000000000#define _clr(x) memset(x,0xff,sizeof(int)*n)int kuhn_munkras(int m,int n,int mat[][MAXN],int* match1,int* match2){ int s[MAXN],t[MAXN],l1[MAXN],l2[MAXN],p,q,ret=0,i,j,k;for (i=0;i<m;i++)for (l1[i]=-inf,j=0;j<n;j++)l1[i]=mat[i][j]>l1[i]?mat[i][j]:l1[i];for (i=0;i<n;l2[i++]=0);for (_clr(match1),_clr(match2),i=0;i<m;i++){for (_clr(t),s[p=q=0]=i;p<=q&&match1[i]<0;p++)for (k=s[p],j=0;j<n&&match1[i]<0;j++)if (l1[k]+l2[j]==mat[k][j]&&t[j]<0){s[++q]=match2[j],t[j]=k;if (s[q]<0)for (p=j;p>=0;j=p)match2[j]=k=t[j],p=match1[k],match1[k]=j;}if (match1[i]<0){for (i--,p=inf,k=0;k<=q;k++)for (j=0;j<n;j++)if (t[j]<0&&l1[s[k]]+l2[j]-mat[s[k]][j]<p)p=l1[s[k]]+l2[j]-mat[s[k]][j];for (j=0;j<n;l2[j]+=t[j]<0?0:p,j++);for (k=0;k<=q;l1[s[k++]]-=p);}}for (i=0;i<m;i++)ret+=mat[i][match1[i]];return ret;}昨天帮一个同学完成了他的毕业论文上的指派问题的匈牙利算法程序。

人员分配问题的匈牙利算法

案例分析
➢ 则可得二部图如下：
案例分析
由于N{y1, y4, y5} {x2, x5} {y1, y4, y5} 3 N{y1, y4, y5} {x2, x5} 2 则不满足二部图存在完美匹配定理，所以该网络图不存在完美匹配。因此，该5人不能都得到聘书。
求最多几人能得到聘书？该问题可以转化为最大匹配问题，及在上述二部图中找一个最大匹配，可以结合 MATLAB编程进行求解。
35.4000 34.7000 28.5000 29.2000
0
t1 = 127.8000
案例分析
结果分析：
s 矩阵保存指派问题求最小解时的指派方案及对应方案的权值。
t 为指派问题的最小解，也即最小费用。
15
人员1分配任务5 花销35.4
24
32
4 1
53
பைடு நூலகம்总成本：127.8
案例分析
➢ 例5-2 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人，有5人应聘。已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文，问这五个人是否都能得到聘书？最多几人能得到聘书，招聘后每人从事哪方面的翻译工作？解：我们可以利用网络图把它作为一个匹配问题来进行求解。
5.2人员分配问题的匈牙利算法
5.2.1 匈牙利算法基本步骤 5.2.2 匈牙利算法的MATLAB实现 5.2.3 案例分析
5.2.1 匈牙利算法基本步骤
➢ 首先给出匈牙利算法的关键概念。在人员分配问题中，耗费矩阵是指工作所需要的时间，该矩阵的第i行第j列元素表示的j 是工人做工作所需要的时间或者所耗费的原料，即指派问题中的耗费数值。总耗费是指给定一种指派方案后，该方案总的耗费数值之和。因此，耗费矩阵就是匹配问题的权值矩阵，而总耗费就是给出的一个匹配方案所对应边的权值之和。

匹配算法MATLAB

求二部图G 的最大匹配的算法(匈牙利算法), 其基本思想是：从G 的任意匹配M 开始,对X 中所有M 的非饱和点, 寻找M -增广路. 若不存在M -增广路, 则M 为最大匹配; 若存在M -增广路P, 则将P 中M 与非M 的边互换得到比M 多一边的匹配M1 , 再对M1 重复上述过程.设G = ( X, Y, E )为二部图, 其中X = {x1, x2, ⋯, xn }, Y = { y1, y2, ⋯, yn}. 任取G 的一初始匹配M (如任取e∈E, 则M = {e}是一个匹配).①令S = f , T = f , 转向②.②若M 饱和X \ S 的所有点, 则M 是二部图G 的最大匹配. 否则, 任取M 的非饱和点u∈X \ S , 令S = S ∪{ u }, 转向③.③记N (S ) = {v | u∈S, uv∈E }. 若N (S ) = T, 转向②. 否则取y∈N (S ) \ T. 若y 是M的饱和点, 转向④, 否则转向⑤.④设x y∈M, 则令S = S ∪{ x }, T = T ∪{ y }, 转向③.⑤u - y 路是M-增广路, 设为P, 并令M = M⊕P, 转向①. 这里M⊕P = M∪P\ M∩P, 是对称差.由于计算M-增广路P 比较麻烦, 因此将迭代步骤改为：①将X 中M 的所有非饱和点(不是M 中某条边的端点)都给以标号0 和标记*, 转向②.②若X 中所有有标号的点都已去掉了标记*, 则M 是G 的最大匹配. 否则任取X 中一个既有标号又有标记*的点xi , 去掉xi 的标记*, 转向③.③找出在G 中所有与xi 邻接的点yj (即xi yj∈E ), 若所有这样的yj 都已有标号, 则转向②, 否则转向④.④对与xi 邻接且尚未给标号的yj 都给定标号i. 若所有的yj 都是M的饱和点, 则转向⑤,否则逆向返回. 即由其中M的任一个非饱和点yj的标号i 找到xi, 再由xi的标号k找到yk , ⋯,最后由yt 的标号s 找到标号为0 的xs 时结束, 获得M -增广路xs yt ⋯xi yj, 记P = {xs yt, ⋯,xi yj }, 重新记M 为M⊕P, 转向①.⑤将yj在M 中与之邻接的点xk (即xk yj∈M), 给以标号j 和标记*, 转向②.例1 求图6-9 中所示的二部图G 的最大匹配.匈牙利算法的MATLAB 程序代码如下：m=5;n=5;A=[0 1 1 0 01 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 0 00 0 0 1 1];M(m,n)=0;for(i=1:m)for(j=1:n)if(A(i,j))M(i,j)=1;break;end;end %求初始匹配Mif(M(i,j))break;end;end %获得仅含一条边的初始匹配Mwhile(1)for(i=1:m)x(i)=0;end %将记录X中点的标号和标记*for(i=1:n)y(i)=0;end %将记录Y中点的标号和标记*for(i=1:m)pd=1; %寻找X中M的所有非饱和点for(j=1:n)if(M(i,j))pd=0;end;endif(pd)x(i)=-n-1;end;end %将X中M的所有非饱和点都给以标号0 和标记*, 程序中用n+1 表示0 标号, 标号为负数时表示标记*pd=0;while(1)xi=0;for(i=1:m)if(x(i)<0)xi=i;break;end;end %假如X 中存在一个既有标号又有标记*的点, 则任取X中一个既有标号又有标记*的点xiif(xi==0)pd=1;break;end %假如X中所有有标号的点都已去掉了标记*, 算法终止x(xi)=x(xi)*(-1); %去掉xi 的标记*k=1;for(j=1:n)if(A(xi,j)&y(j)==0)y(j)=xi;yy(k)=j;k=k+1;end;end %对与xi 邻接且尚未给标号的yj 都给以标号iif(k>1)k=k-1;for(j=1:k)pdd=1;for(i=1:m)if(M(i,yy(j)))x(i)=-yy(j);pdd=0;break;end;end %将yj 在M中与之邻接的点xk (即xkyj∈M), 给以标号j 和标记*if(pdd)break;end;endif(pdd)k=1;j=yy(j); %yj 不是M的饱和点while(1)P(k,2)=j;P(k,1)=y(j);j=abs(x(y(j))); %任取M的一个非饱和点yj, 逆向返回if (j==n+1)break ;end %找到X 中标号为0 的点时结束, 获得M-增广路P k=k+1;endfor (i=1:k)if (M(P(i,1),P(i,2)))M(P(i,1),P(i,2))=0; %将匹配M 在增广路P 中出现的边去掉else M(P(i,1),P(i,2))=1;end ;end %将增广路P 中没有在匹配M 中出现的边加入到匹配M 中break ;end ;end ;endif (pd)break ;end ;end %假如X 中所有有标号的点都已去掉了标记*, 算法终止 M %显示最大匹配M, 程序结束图 6-9利用可行点标记求最佳匹配的算法步骤如下：设 G = ( X , Y , E , F )为完备的二部赋权图, L 是其一个初始可行点标记, 通常取 (){}()max |,()0,L L x F xy y Y x X M G L y y Y ⎧=∈∈⎪⎨=∈⎪⎩是的一个匹配 ① 若X 的每个点都是M 的饱和点, 则M 是最佳匹配. 否则取 M 的非饱和点u ∈X , 令S= {u }, T = f , 转向②.② 记NL (S ) = {v | u ∈S , uv ∈EL }. 若NL ( S ) = T , 则GL 没有完美匹配, 转向③. 否则转向④.③ 调整可行点标记, 计算aL = min { L ( x ) + L ( y ) - F (x y ) | x ∈S , y ∈Y \T }.由此得新的可行顶点标记(),,(),,(),L L L a S L v a v T L v νν-∈⎧⎪+∈⎨⎪⎩否则令 L = H , GL = GH , 重新给出GL 的一个匹配M , 转向①.④ 取 y ∈NL ( S ) \T , 若y 是M 的饱和点, 转向⑤. 否则, 转向⑥.⑤ 设 x y ∈M , 则令S = S ∪{ x }, T =T ∪{ y }, 转向②.⑥ 在 GL 中的u - y 路是M -增广路, 记为P , 并令M = M ⊕P , 转向①. 利用可行点标记求最佳匹配算法的 MATLAB 程序代码如下：n=4;A=[4 5 5 12 2 4 64 2 3 35 0 2 1];for (i=1:n)L(i,1)=0;L(i,2)=0;endfor (i=1:n)for (j=1:n)if (L(i,1)<A(i,j))L(i,1)=A(i,j);end ; %初始可行点标记L M(i,j)=0;end ;endfor (i=1:n)for (j=1:n) %生成子图Glif (L(i,1)+L(j,2)==A(i,j))Gl(i,j)=1;else Gl(i,j)=0;end;end;endii=0;jj=0;for(i=1:n)for(j=1:n)if(Gl(i,j))ii=i;jj=j;break;end;endif(ii)break;end;end %获得仅含Gl 的一条边的初始匹配MM(ii,jj)=1;for(i=1:n)S(i)=0;T(i)=0;NlS(i)=0;endwhile(1)for(i=1:n)k=1;否则.for(j=1:n)if(M(i,j))k=0;break;end;endif(k)break;end;endif(k==0)break;end %获得最佳匹配M, 算法终止S(1)=i;jss=1;jst=0; %S={xi}, T=while(1)jsn=0;for(i=1:jss)for(j=1:n)if(Gl(S(i),j))jsn=jsn+1;NlS(jsn)=j; %NL(S)={v|u∈S,uv∈EL} for(k=1:jsn-1)if(NlS(k)==j)jsn=jsn-1;end;end;end;end;endif(jsn==jst)pd=1; %判断NL(S)=T?for(j=1:jsn)if(NlS(j)~=T(j))pd=0;break;end;end;endif(jsn==jst&pd)al=Inf;%如果NL(S)=T, 计算al, Inf 为∞for(i=1:jss)for(j=1:n)pd=1;for(k=1:jst)if(T(k)==j)pd=0;break;end;endif(pd&al>L(S(i),1)+L(j,2)-A(S(i),j))al=L(S(i),1)+L(j,2)-A(S(i),j);end;end;endfor(i=1:jss)L(S(i),1)=L(S(i),1)-al;end %调整可行点标记for(j=1:jst)L(T(j),2)=L(T(j),2)+al;end %调整可行点标记for(i=1:n)for(j=1:n) %生成子图GLif(L(i,1)+L(j,2)==A(i,j))Gl(i,j)=1;else Gl(i,j)=0;endM(i,j)=0;k=0;end;endii=0;jj=0;for(i=1:n)for(j=1:n)if(Gl(i,j))ii=i;jj=j;break;end;endif(ii)break;end;end %获得仅含Gl 的一条边的初始匹配MM(ii,jj)=1;breakelse %NL(S)≠Tfor(j=1:jsn)pd=1; %取y∈NL(S)\Tfor(k=1:jst)if(T(k)==NlS(j))pd=0;break;end;endif(pd)jj=j;break;end;endpd=0; %判断y 是否为M的饱和点for(i=1:n)if(M(i,NlS(jj)))pd=1;ii=i;break;end;endif(pd)jss=jss+1;S(jss)=ii;jst=jst+1;T(jst)=NlS(jj); %S=S∪{x}, T=T∪{y}else %获得Gl 的一条M-增广路, 调整匹配Mfor(k=1:jst)M(S(k),T(k))=1;M(S(k+1),T(k))=0;endif(jst==0)k=0;endM(S(k+1),NlS(jj))=1;break;end;end;end;endMaxZjpp=0;for(i=1:n)for(j=1:n)if(M(i,j))MaxZjpp=MaxZjpp+A(i,j);end;end;end M %显示最佳匹配MMaxZjpp %显示最佳匹配M的权, 程序结束。

匈牙利算法代码解析

匈牙利算法代码解析匈牙利算法又称作增广路算法，主要用于解决二分图最大匹配问题。

它的基本思想是在二分图中查找增广路，然后将这条增广路上的边反转，这样可以将匹配数增加一个，由此不断寻找增广路并反转边直到无法找到为止，最后所找到的就是二分图的最大匹配。

匈牙利算法的流程如下：1. 从左边开始选择一个未匹配的节点，将其标记为当前节点；2. 再从当前节点出发，依次寻找与它相连的未匹配节点；3. 如果找到了一个未匹配节点，则记录该节点的位置，并将当前节点标记为该节点；4. 如果当前节点的所有连边都不能找到未匹配节点，则退回到上一个节点，再往其他的连接点继续搜索；5. 如果到达已经匹配节点，则将该节点标记为新的当前节点，返回步骤4；6. 如果找到了一条增广路，则将其上的边反转，并将匹配数+1；7. 重复以上步骤，直至无法找到增广路为止。

在匈牙利算法中，增广路的查找可以使用DFS或BFS，这里我们以DFS为例进行解释。

匈牙利算法的时间复杂度为O(nm)，n和m分别表示左边和右边的节点数，因为每条边至多遍历两次，所以最多需要执行2n次DFS。

以下为匈牙利算法的Python代码：```Pythondef findPath(graph, u, match, visited):for v in range(len(graph)):if graph[u][v] and not visited[v]:visited[v] = Trueif match[v] == -1 or findPath(graph, match[v], match, visited):# 如果v没有匹配或者匹配的右匹配节点能找到新的匹配match[v] = u # 更新匹配return Truereturn Falsedef maxMatching(graph):n = len(graph)match = [-1] * n # 右部节点的匹配数组，初始化为-1表示没有匹配count = 0return match, count```其中，findPath函数是用来查找增广路的DFS函数，match数组是右边节点的匹配数组，初始化为-1表示没有匹配，count则表示匹配数。

匈牙利算法详解

匈牙利算法详解
匈牙利算法是一种解决二分图最大匹配问题的经典算法，也叫做增广路算法。

它的基本思想是从左侧一端开始，依次匹配左侧点，直到无法添加匹配为止。

在匹配过程中，每次都通过BFS 寻找增广路径，即可以让已有的匹配变得更优或添加新的匹配。

增广路的长度必须为奇数，因为必须从未匹配的左侧点开始，交替经过已匹配的右侧点和未匹配的左侧点，最后再到达未匹配的右侧点。

当没有找到增广路径时，匹配结束。

匈牙利算法的具体实现可以使用DFS 或BFS，这里以BFS 为例。

算法步骤如下：
1. 从左侧一个未匹配的点开始，依次找增广路径。

如果找到，就将路径上的匹配状态翻转（即已匹配变未匹配，未匹配变已匹配），并继续找增广路径；如果找不到，就说明已经完成匹配。

2. 使用BFS 寻找增广路径。

从左侧的某个未匹配点开始，依次搜索路径中未匹配的右侧点。

如果找到右侧未匹配点，则说明找到了增广路径；否则，将已搜过的左侧点打上标记，以免重复搜索。

如果找到增广路径，就将路径的左侧和右侧点的匹配状态翻转。

3. 重复步骤1 和2，直到找不到增广路径为止。

匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V 和E 分别为二分图中的左侧点数和右侧点数。

实际运行效率很高，可以处理百万级别的数据。

匈牙利法的matlab实现

匈牙利法的matlab实现一、什么是匈牙利法匈牙利算法，也称为Kuhn-Munkres算法，是解决二分图最大权匹配问题的经典算法。

其基本思想是通过增广路径来不断扩大已有的匹配，直到无法再找到增广路径为止。

二、如何实现匈牙利算法1. 确定初始匹配首先需要确定一个初始的匹配方案。

一般可以将所有的边都标记为未匹配状态，然后从左侧顶点开始遍历，依次找到能够与其相连的未匹配右侧顶点进行匹配。

2. 寻找增广路径在寻找增广路径时，可以采用深度优先搜索或广度优先搜索等方法。

以深度优先搜索为例，在每次递归时会尝试扩展当前左侧顶点所连接的所有未访问过的右侧顶点。

如果找到了一条能够扩展当前匹配方案的路径，则将该路径上所有边进行反转操作，并返回true表示成功找到一条增广路径。

3. 更新匹配方案当无法再找到新的增广路径时，已经得到了最大权匹配方案。

此时需要对当前的匹配方案进行更新。

具体做法是将所有在交错树上的左侧顶点与右侧顶点进行交换，从而得到一个新的匹配方案。

4. 重复迭代更新匹配方案后，需要重新开始一轮迭代。

如果发现当前的匹配方案已经达到最大权匹配，则算法结束。

三、如何用Matlab实现匈牙利算法1. 确定初始匹配在Matlab中，可以使用矩阵来表示二分图，并将所有边都标记为未匹配状态。

例如，假设有一个5个左侧顶点和6个右侧顶点的二分图，则可以使用如下代码生成相应的矩阵：n = 5; % 左侧顶点数m = 6; % 右侧顶点数w = rand(n, m); % 权重矩阵match = zeros(1, m); % 初始匹配方案其中，w表示权重矩阵，match表示初始匹配方案。

由于初始时所有边都是未匹配状态，因此可以将match中所有元素设置为0。

2. 寻找增广路径在Matlab中，可以采用递归函数来寻找增广路径。

具体做法是从每个未匹配的左侧顶点开始进行深度优先搜索，并记录搜索过程中所经过的右侧顶点。

如果找到了一条增广路径，则将该路径上所有边进行反转操作，并返回true表示成功找到一条增广路径。

匈牙利算法代码范文

匈牙利算法代码范文匈牙利算法（Hungarian Algorithm）是用于解决最佳二分匹配问题（Bipartite Matching Problem）的一种经典算法。

它通过递归地寻找增广路径来不断优化匹配，直到找到最佳的匹配方案。

以下是一个实现匈牙利算法的Python代码：```pythondef hungarian_algorithm(graph):#初始化顶点的标记数组rows = len(graph)cols = len(graph[0])row_match = [-1] * rowscol_match = [-1] * cols#为每个未匹配的顶点寻找增广路径for row in range(rows):if row_match[row] == -1:path = [False] * colsfind_augmenting_path(graph, row, row_match, col_match, path) return row_matchdef find_augmenting_path(graph, row, row_match, col_match, path):cols = len(graph[0])for col in range(cols):if graph[row][col] and not path[col]:path[col] = Trueif col_match[col] == -1 or find_augmenting_path(graph,col_match[col], row_match, col_match, path):row_match[row] = colcol_match[col] = rowreturn Truereturn False```在这个代码中，`graph`是一个二维矩阵，表示二分图的邻接矩阵。

其中，`graph[i][j]`表示顶点i和顶点j是否存在一条边。

匈牙利法求最优解步骤

匈牙利法求最优解步骤匈牙利法是一种用于求解二分图最大匹配问题的算法，其基本思想是通过交替路径的方法不断增大匹配的数量，直到无法找到更多的交替路径为止。

以下将详细介绍匈牙利法的步骤：1.建立二分图：首先，将给定的问题转化为二分图的形式。

二分图由两个不相交的点集U和V组成，边连接U中的点和V中的点。

其中，U中的点表示左侧的元素，V中的点表示右侧的元素。

2. 初始化匹配：开始时，所有的边都没有匹配，称为未配对边。

可以用一个数组match[]来表示，match[u]表示与点u匹配的点。

将match数组初始化为-1，表示没有匹配。

3.查找增广路：对于U中的每个未配对点u，从点u出发，尝试找到一条路径，路径的边交替进入和离开匹配数，直到无法找到路径为止。

a) 如果点u未匹配，说明找到了一条增广路。

将路径上的边加入匹配中，并更新match数组。

b) 如果点u已匹配，需要从与之匹配的点v出发，继续寻找增广路。

这时，需要用dfs或bfs进行递归或迭代的路径查找，直到找到增广路或者无法找到为止。

4.更新匹配：通过查找增广路，可以找到一条新的增广路径，将其加入匹配中。

重复上述步骤，不断更新匹配，直到无法找到增广路径为止。

5.返回最大匹配：所有增广路径都找不到时，匹配就已经达到最大，并且无法再增加匹配数量。

此时，将匹配数返回作为最大匹配。

匈牙利法是一个比较高效的算法，其时间复杂度为O(V*E)，其中V和E分别表示二分图中的点和边的数量。

需要注意的是，匈牙利法中可能存在多个不同的最大匹配，具体的匹配结果可能与初始点的顺序有关。

不同的初始点可能找到不同的增广路，从而得到不同的最大匹配。

因此，在实际应用中，可以多次运行匈牙利法，以得到不同的匹配结果，并从中选择最优解。

匈牙利算法原理

匈牙利算法原理
匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。

在二分图中，将图中的节点分为两个集合，分别为左侧节点集合和右侧节点集合，且左侧节点集合中的节点与右侧节点集合中的节点之间不存在边，只有左侧节点集合中的节点与右侧节点集合中的节点之间存在边。

二分图最大匹配问题就是找到一种最优的匹配方式，使得左侧节点集合中的每个节点都与右侧节点集合中的一个节点匹配。

匈牙利算法的基本思想是：从左侧节点集合中的每个节点开始，依次寻找与其匹配的右侧节点，如果找到了一个右侧节点，就将该右侧节点与左侧节点匹配，并继续寻找下一个左侧节点的匹配。

如果找不到一个右侧节点与该左侧节点匹配，就回溯到上一个左侧节点，并尝试匹配其他右侧节点，直到找到一个能够匹配的右侧节点或者所有的右侧节点都已经尝试过。

匈牙利算法的实现过程可以分为以下几个步骤：
1. 初始化：将所有的左侧节点都标记为未匹配状态。

2. 从左侧节点集合中的每个未匹配节点开始，依次进行匹配。

3. 对于每个未匹配节点，寻找与其相连的所有右侧节点，并尝试将其与该左侧节点匹配。

4. 如果找到了一个未匹配的右侧节点，就将该右侧节点与该左侧节点匹配，并将该左侧节点标记为已匹配状态。

5. 如果找不到一个未匹配的右侧节点与该左侧节点匹配，就回溯到上一个左侧节点，并尝试匹配其他右侧节点。

6. 如果所有的左侧节点都已经匹配完成，就得到了一个最大匹配。

7. 如果还存在未匹配的左侧节点，就说明无法找到一个最大匹配。

匈牙利算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为节点的数量。

虽然时间复杂度比较高，但是匈牙利算法在实际应用中表现良好，可以处理大规模的二分图最大匹配问题。

分配问题与匈牙利法

0 1 0 5
2 0 4 4
2
6
0
0

试指派
3 4 3 ◎
◎ 1 Ø 5
2 ◎ 4 4
2
6
◎
Ø

得到4个独立零元素，所以最优解矩阵为：
0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
即完成4个任务的总时间最少为：2＋4＋1+8=15
2 ◎0 4 2 4 2 5 Ø0 3 ◎0 4 1 ◎0 1 3 4 Ø0 3 5 1 0◎ 2 3 Ø0 5
独立0元素的个数l＝4<5，故画直线调整矩阵。
分配问题与匈牙利法
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2 ◎0 4 2 4 √
2 5 Ø0 3 ◎0
选择直线外的最小元素为1；直线外元素减1，直线交点元素加1，其
总费用为=8+9+4+3+4=28
分配问题与匈牙利法
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课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。
练习1：
练习2：
7 9 10 12
13
12
16
17

15 16 14 15
11 12 15 16
3 8 2 10 3

8
7
29
7

6 4 2 7 5
分配问题与匈牙利法
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指派问题的求解步骤：
1) 变换指派问题的系数矩阵(cij)为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即
从(cij)的每行元素都减去该行的最小元素；再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。
2) 进行试指派，以寻求最优解。